V EKONOMETRICKÉM MODELU

J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha

Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům ČNB. 3

4

Obsah Úvod.. 6 Zpoždění v modelu. 9. Model rozdělených zpoždění. 9. Auoregresní model rozdělených zpoždění. 3 Funkční forma ekonomerického modelu a její volba 5 3. Obecná funkční forma 6 3. Odhad parameru. 7 4 Prakická aplikace... 9 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR. 9 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR analýza zkrácených časových řad. 6 5 Závěr. 35 Lieraura.. 37 5

6

Úvod Jednou ze základních oázek vznikajících při analýze ransmisního mechanismu je zjišťování zpoždění, s jakým se průběh jisé časové řad odráží v průběhu jiných časových řad. Exisují dva způsob získání éo důležié informace. Jejím zdrojem může bý na jedné sraně věcný ekonomický rozbor dané problemaik, kerý je založen na ekonomické eorii a logice ekonomické úvah. Neméně důležiým zdrojem éo informace je však aké empirická analýza spočívající v ekonomerickém posouzení vzahů časových řad. Předkládaná sudie se zabývá problemaikou zjišťování časového zpoždění na základě ekonomerického modelu zachcujícího charaker vzahu mezi časovými řadami. Skládá se ze ří základních čásí. První čás se zabývá oázkou sřední hodno zpoždění, rozplu zpoždění a mediánu zpoždění v rámci modelu rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění. Obsahem druhé čási je problemaika ransformace časových řad vsupujících do ekonomerického modelu. Tao čás bezprosředně navazuje na čás první, neboť odhad základních charakerisik zpoždění v modelu závisí na formě ransformace časových řad. Třeí čás je prakická, obsahuje analýzu vzahu a časového zpoždění mezi časovými 7

řadami úrokové sazb na nové úvěr a úrokové sazb R PRIBOR v České republice. 8

Zpoždění v modelu Tpickou vlasnosí saické regrese ekonomických sacionárních a nesacionárních časových řad je auokorelace nessemaické složk. Teno problém lze řeši ak, že se saická regrese dnamizuje, j. do modelu se na pravou sranu vloží vsvělované a vsvělující časové řad v různých zpožděních. Tako konsruované jednorovnicové model se označují jako model rozdělených zpoždění ("Disribued Lags Models"), pokud jsou na pravé sraně pouze zpožděné vsvělující časové řad a jako model auoregresních rozdělených zpoždění ("Auoregressive Disribued Lags Models"), jsou-li na pravé sraně jak zpožděné vsvělující časové řad, ak i časová řada vsvělovaná v různých zpožděních. Právě model ohoo pu lze vuží pro získání odpovědi na oázku s jakým zpožděním se změn v průběhu jedné časové řad projevují v průběhu druhé časové řad.. Model rozdělených zpoždění Obecný model rozdělených zpoždění lze vjádři ve varu 9

= c + w i x i + a, (.) i= kde w i jsou neznámé konsan, x je slabě exogenní proměnná, a je nessemaická složka pu IIN(,σ a ). Časo se předpokládá, že w i, i =,,, Předpokládejme, že podmíněná sřední hodnoa je konečná, j. Budeme-li definova i= w = ω, kde ω je konečné. (.) i w i w i =, i =,,,, (.3) ω poom bude plai = i w =, w i, i =,,, (.4) i Koeficien w i, i =,,,, se označují jako koeficien zpoždění a řada w = {w i, i =,,, } se označuje jako srukura zpoždění. Koeficien w i, i =,,, se nazývají normalizované koeficien zpoždění a řada w = {w i, i =,,,, i= w i = } je poom normalizovaná srukura zpoždění. Model (.) je možné vjádři aké pomocí normalizovaných koeficienů zpoždění, má formu = c + ω w x + a i i. (.5) i= Definujme nní diskréní náhodnou veličinu Z ak, ab plailo P(Z = i) = w i, i =,,, (.6) Náhodnou veličinou jsou ed zpoždění modelu (.5) a normalizovaná srukura zpoždění se ak sává množinou pravděpodobnosí. Tuo srukuru lze vjádři pomocí pravděpodobnosní funkce obsahující jeden nebo více paramerů. Nní je vhodné zavés zv. operáor zpěného posunuí B [bližší informace viz Dhrmes (985)]. Teno operáor předsavuje zpoždění, lze psá BX = X - a obecně B p X = X -p. Model (.5) je s pomocí operáoru zpěného posunuí možné vjádři ve varu

= c + ω W(B)x + a, kde W(B) = i i w i B. (.7) Lze zjisi, že (k + ). derivace funkce W(B) v bodě B = má formu W (k+) () = [ i( i )( i )... ( i k)] w i = E[Z(Z-)(Z-) (Z-k)], (.8) i= k + kde E(.) je sřední hodnoa. Je-li k =, poom ze vzahu (.8) získáme sřední hodnou veličin Z, j. E(Z) = W () = i= Je-li k =, poom ze vzahu (.8) získáme vzah W () = i ( i ) i= w i iw. (.9) i = E[Z(Z-)] = E(Z ) E(Z) = E(Z ) - W (). Vzhledem k definici rozplu jej lze vjádři jako D(Z) = E(Z ) [E(Z)] D(Z) = W () + W () - [W ()]. (.) Mediánem zpoždění M(Z) je nejmenší m, pro keré plaí relace m m w i w i. (.) i= i= Uvažujme nní model rozdělených zpoždění s l vsvělujícími proměnnými. Teno model lze pomocí operáoru zpěného posunuí vjádři ve formě ji = c + ω W (B)x + ω W (B)x + + ω l W l (B)x l + a, (.) kde ω j = w, W j (B) = i w ji B pro j =,,, l. Za předpokladu, že w ji, i= i= j =,,, l, i =,,, sřední hodno zpoždění jednolivých vsvělujících proměnných mají var E(Z j ) = W j () = iw ji pro j =,,, l (.3) i= a rozpl zpoždění jednolivých vsvělujících proměnných lze vjádři jako

D(Z j ) = W j () + W j () [W j ()] pro j =,,, l. (.4) Medián zpoždění M(Z j ) jsou nejmenší m j, j =,,, l, pro kerá plaí relace m w ji w ji pro j =,,, l. (.5) i m j j i= =. Auoregresní model rozdělených zpoždění Uvažujme model = c + φ - + φ - + + φ m -m + α x + α x - + + α n x -n + a. (.6) Teno model se označuje jako auoregresní model rozdělených zpoždění řádu m a n [ADL(m,n)]. Lze jej vjádři aké ve formě φ m (B) = c + α n (B)x + a, (.7) kde φ m (B) = ( - φ B - φ B - - φ m B m ), α n (B) = (α + α B + α B + + α n B n ). Model (.7) je možné zapsa jako = c + [φ m (B)] - α n (B)x + u, kde c = [φ m (B)] - c, u = [φ m (B)] - a. (.8) Poom plaí [φ m (B)] - α n (B) = W (B) = w + w B + w B + (.9) Koeficien (w, w, w ) lze vjádři pomocí koeficienů modelu (.7): w = α, w = α + α φ, w = α + (α + α φ )φ + α φ ad. Model (.7) lze ed zapsa ve formě modelu rozdělených zpoždění = c + W (B)x + u = c + i= w + u. (.) i x i Leží-li kořen polnomiální rovnice φ m (B) = vně jednokového kruhu, poom koeficien w i, i =,,,, polnomu W (B) konvergují a zároveň plaí i= w = ω. V modelu (.) předpokládáme, že w i, i =,,, Řada normalizovaných koeficienů zpoždění se konsruuje jako i

w i w i =, i =,,, (.) ω Na jejich základě se poom ze vzahů (.9), (.) a (.) určí sřední hodnoa, medián a rozpl zpoždění vsvělující časové řad. Lze uvažova rovněž model auoregresních rozdělených zpoždění s l vsvělujícími proměnnými φ m (B) = c + α,n (B)x + α,n (B)x + + α l,n(b)x l + a, (.) kde φ m (B) = ( - φ B - φ B - - φ m B m ), α j,n (B) = (α j + α j B + α j B + + α jn B n ) pro j =,,, l. Teno model je možné vjádři jako = c + [φ m (B)] - α,n (B)x + [φ m (B)] - α,n (B)x + + [φ m (B)] - α l,n (B)x l + u,(.3) kde c = [φ m (B)] - c, u = [φ m (B)] - a. V souladu s (.9) jej lze zapsa jako = c + W (B)x + W (B)x + + W l (B)x l + u, (.4) kde i W j (B) = w ji B pro j =,,, l. i= Leží-li kořen polnomiální rovnice φ m (B) = vně jednokového kruhu, poom paramer polnomu W j (B), j =,,, l, konvergují a zároveň plaí i = w = ω j, j =,,, l. V modelu (.4) předpokládáme, že w ji, j =,,, l, i =,,, Řada normalizovaných koeficienů zpoždění se vpočíá jako ji w ji = w ji ω j, j =,,, l, i =,,, (.5) Na jejich základě se poom ze vzahů (.3), (.4) a (.5) určí sřední hodno, medián a rozpl zpoždění vsvělujících časových řad. Jsou-li řad a x koinegrované, poom kořen polnomiální rovnice φ m (B) = leží vně jednokového kruhu, akže paramer polnomu W (B) konvergují. 3

4

3 Funkční forma ekonomerického modelu a její volba Při konsrukci ekonomerického modelu exisuje několik možnosí ransformace časových řad. Nejčasěji se v praxi můžeme seka se dvěma z nich. Buď jsou do modelu vkládán neransformované časové řad nebo logarimick ransformované. Časým argumenem pro logarimickou ransformaci je relaivní jednoduchos inerpreace paramerů ekonomerického modelu (jsou inerpreován jako elasici vsvělované časové řad vzhledem k vsvělující časové řadě). Teno argumen je zajímavý především při konsrukci modelů ve formě saické regrese, kd model neobsahuje žádné zpožděné proměnné. V případě dnamické regrese se zpožděnými proměnnými je inerpreace paramerů modelu složiější problém. Přirozenější argumen pro volbu určié ransformace časových řad vsupujících do ekonomerického modelu vplývá z charakeru ěcho časových řad. Primárním cílem ekonomerické analýz je hledání nejvhodnějšího lineárního modelu vjadřujícího vzah časových řad. Ab bl splněn podmínk pro konsrukci akového modelu, je řeba časových řad s jisými vlasnosmi. Proože mnoho časových řad o vlasnosi nemá, což způsobuje, že jejich vzah není možné považova za lineární, je řeba provés ransformaci. Pro eno argumen svědčí i skuečnos, že model s odlišně ransformovanými časovými řadami časo vedou nejen ke zcela rozdílným hodnoám odhadnuých paramerů, ale aké k rozdílným 5

závěrům esů paramerů. Tao skuečnos se samozřejmě musí projevi při výpoču průměrného zpoždění, mediánu zpoždění a rozplu zpoždění. 3. Obecná funkční forma Uvažujme auoregresní model rozdělených zpoždění bez nessemaické složk ve formě = c + φ - + α x + α x - ). (3.) Model s mocninnou ransformací všech proměnných lze zapsa jako = c + φ + α x + α x. (3.) Teno model je možné ransformova následujícím způsobem - = d + φ ( ) + α (x ) + α ( x ), (3.3) kde d = c + φ + α + α. Dělení éo rovnice konsanou vede k rovnici d x = + φ + α x + α. (3.4) Proože limia pro všech proměnných v modelu (3.4) je pu /, podle l Hospialova pravidla plaí, že model d x x lim = lim + φ lim + α lim + α lim lze vjádři ve formě ln = ln d + φ ln - + α lnx + α ln x -. (3.5) Jesliže ed =, poom model (3.) je idenický s modelem (3.). V případě, že, model (3.) konverguje k modelu (3.5). Jesliže =, je model (3.) definován jako logarimický. ) Pro jednoduchos a názornos volíme model auoregresních rozdělených zpoždění. Závěr jsou oožné jak pro model ve formě saické regrese (regrese bez zpoždění), ak i pro obecný model auoregresních rozdělených zpoždění. 6

7 3. Odhad parameru Uvažujme model (3.4) s nessemaickou složkou, j. α α φ + + + = x x d + e, (3.6) kde e ~ IIN(,σ e ). Teno model vnásobíme číslem, kde je geomerický průměr časové řad, =,,, T, j. = = = = T T T T / ln exp. Nní má model formu ( ) α α φ / + + + = x x d + e, (3.7) kde = /, e = e, e ~ IIN(,σ() ). Lze jej zjednodušeně vjádři následujícím způsobem ) ( ) ( ) ( ) ( e x x d + + + + = α α φ, (3.8) kde φ φ =, α α =, α α =. Věrohodnosní funkce pro odhad paramerů ohoo modelu (pro původní časovou řadu ransformovanou geomerickým průměrem) má formu, ) ( ) ( exp ) ( ) ( ), ) (,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( / J x x d d L T T T = = σ α α φ σ π σ α α φ (3.9) kde J je jakobián ransformace závisle proměnné, j. Velmi časým argumenem pro použií logarimického modelu je inerpreace elasici vsvělované časové řad vzhledem k vsvělujícím časovým řadám. V případě modelu (3.) je elasicia řad vzhledem k x dána vzahem η x = x x. = α x. Jesliže =, elasicia je dána paramerem regresního modelu, j. η x = α.

Logarimus věrohodnosní funkce T ( d J = d ) = T = = T T T T ln L( d, φ = e, α, α, σ ( ), ) ln(π ) lnσ ( ) + ( ) ln (3.) σ ( ) je maximalizován pro paramer d,φ,α,α,σ() za předpokladu. Maximalizovaná funkce za předpokladu, bez konsan má var. = = max() = T T lnσ ˆ ( ) + ( ) ln. (3.) = Vzhledem k omu, že ln = ln ln = ln T ln T =, plaí T T T ln = ln ln =. = = T = Funkci (3.) lze ed zapsa jako max() = T lnσˆ( ). (3.) Je zřejmé, že k maximalizaci (3.) vede minimalizace σ ˆ ( ). Odhad parameru maximalizující funkci (3.) lze získa ak, že se pomocí meod nejmenších čverců odhadnou paramer modelu (3.8) pro různé hodno (pro = jsou v modelu všechn proměnné logarimick ransformované) a volí se aková hodnoa, kerá vede k minimálnímu reziduálnímu souču čverců (T-4) σ ˆ ( ). Funkci (3.) je možné vjádři pro různé hodno rovněž grafick a podle maxima éo funkce se najde ˆ. Na základě ohoo grafu lze získa rovněž aproximaci 95% inervalu spolehlivosi pro paramer. Vchází se přiom ze vzahu max( ˆ ) max() < χ (), 5 =,9. (3.3) 8

4 Prakická aplikace V éo čási budeme zkouma zpoždění ve vzahu úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR. V éo souvislosi nás bude zajíma nejen oázka vývoje základních charakerisik zpoždění v průběhu opimalizace modelu, ale aké výsledk rekurzivní analýz, keré nám podají velmi zajímavé informace o vývoji zpoždění v určiém časovém úseku. 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR Máme k dispozici měsíční časové řad dvou úrokových sazeb od ledna roku 993 do září roku 999. Úroková sazba na nově čerpané klienské úvěr celkem (RNUC) bla vpočena jako vážený arimeický průměr sazeb z nově posknuých úvěrů, úroková sazba R PRIBOR (RR) bla vpočena jako prosý arimeický průměr denních hodno. Průběh ěcho časových řad je zachcen na obrázku. Pro analýzu bl z časových řad vnechán hodno z kvěna, června a července roku 997, ed z období měnových urbulencí. 9

Obrázek Úroková sazba na nově čerpané klienské úvěr, úroková sazba R PRIBOR 3 9 RR RNUC 7 5 3 9 7 5 /93 4/93 7/93 /93 /94 4/94 7/94 /94 /95 4/95 7/95 /95 /96 4/96 7/96 /96 /97 4/97 7/97 /97 /98 4/98 7/98 /98 /99 4/99 7/99 Při konsrukci modelu charakerizujícího vzah ěcho časových řad je účelné vcháze z definice ransmisního mechanismu české ekonomik (viz Arl, Guba, Maalík, Siller, Srováka, 998), ze kerého vplývá, že kauzální závislos jde od úrokové sazb R PRIBOR směrem k úrokové sazbě na nové úvěr. Vzhledem ke konsrukci analzovaných časových řad (průměrné měsíční hodno) lze předpokláda kauzální závislos v různých zpožděních včeně zv. okamžié kauzální závislosi, při keré jsou příčina a následek předpokládán ve sejném čase. Budeme ed uvažova jednorovnicový model, kde závisle proměnnou je úroková sazba na nové úvěr a nezávisle proměnnou je sazba R PRIBOR. Analýza reziduí vcházejících ze saické regrese pu RNUC = c + α RR + ε (4.) a další ověřovací posup nás přivedl k auoregresnímu modelu rozdělených zpoždění řádu (,), kerý se označuje jako ADL(,). Teno model má var RNUC = c + φ RNUC - + α RR + a. (4.) Důležiým předpokladem, ze kerého při vorbě modelu vcházíme, je slabá exogenia sazb R PRIBOR vzhledem k paramerům podmíněného modelu (4.). Pro výpoče základních charakerisik zpoždění je řeba nají vhodnou ransformaci časových řad. Budeme přiom vcháze z modelu pu (3.7), kerý má v omo případě formu

( RNUC / RNUC) ( d / RNUC) = + φ RNUC RNUC RR + α RNUC + e (4.3) kde RNUC je geomerický průměr časové řad RNUC. Tabulka obsahuje hodno logarimu věrohodnosní funkce (3.), reziduální směrodané odchlk, odhadu paramerů modelu (4.3), průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a mediánu zpoždění pro hodno od -, do,4. Tučně jsou zde vjádřen hodno pro =, j. pro logarimickou ransformaci, =, j. pro žádnou ransformaci a pro =,9, j. pro ransformaci maximalizující věrohodnosní funkci. Tvar logarimu věrohodnosní funkce je zachcen na obrázku. Tabulka Logarimus věrohodnosní funkce, odhad paramerů, průměr, rozpl a medián zpoždění pro dané L max () σˆ ( ) φˆ αˆ ˆd z S z z~ -, 47,5596,4843,745,9,,98,434 48,85,456,737,95,,85,67, 48,4973,4343,73,,,699 9,983,4 48,86,48,7,6,,6 9,363,6 49,67,473,75,,,5 8,88,8 49,45,47,78,6,,46 8,34,9 49,335,47,75,8,,388 8,88 49,3,49,7,,,35 7,875, 49,57,447,695,4,,8 7,487,4 48,8987,43,689,8,,9 7,44 Z uvedené abulk a obrázku vplývá, že pro výpoče průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a mediánu zpoždění není řeba provádě žádnou ransformaci časových řad. Teno závěr je dán jednak skuečnosí, že při = nabývá věrohodnosní funkce všší hodno než při = a dále ím, že =,9, keré maximalizuje věrohodnosní funkci, vede pouze k malé změně odhadů paramerů modelu, jejich inerpreace je však obížná.

Obrázek Logarimus věrohodnosní funkce pro dané L max ( ) 5 49 48 47 46 45 44-3 Zajímavou informaci podávají obrázk 3a), 3b), na kerých je zachcen vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění pro hodno od - do 3. Obr. 3a) Průměrné zpoždění pro dané z 4, 3,5 3,,5,,5,,5 Obr. 3b) Odhad rozplu zpoždění pro dané S z 6 4 8 6 4, - -,5,5,5,5 3 - -,5,5,5,5 3 V případě modelu bez ransformace, j. z našeho pohledu "opimálního" modelu, je hodnoa průměrného zpoždění,3 měsíce, medián zpoždění je však pouze měsíc. Teno rozpor je dán charakerem normalizovaných koeficienů zpoždění, keré jsou obsažen v abulce a zakreslen na obr. 4. Tabulka Normalizované koeficien zpoždění i 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 w i,98,9,47,3,7,5,36,5,8,,9,6,4,3,,

Obrázek 4 Normalizované koeficien zpoždění w i,35,3,5,,5,,5, i 4 6 8 4 6 8 Normalizované koeficien zpočáku klesají poměrně výrazně, zaímco pozdější pokles je pomalý, což znamená, že do výpoču průměrného zpoždění jsou zahrnua aké zpoždění, kerá bchom mohli označi jako exrémně vsoká. Z éo úvah vplývá, že měsíce je řeba považova za horní mez sřední hodno zpoždění, se kerým působí úroková sazba R PRIBOR na úrokovou sazbu na nové úvěr. V éo souvislosi je rovněž zajímavé, že hodnoa rozplu zpoždění je přibližně 7,9, což je exrémně vsoké číslo. Z éo informace lze zpěně usuzova na přesnos odhadu sřední hodno zpoždění prosřednicvím průměru zpoždění. Lze konsaova, že eno odhad je značně nepřesný. Vzniká oázka, co způsobuje uo nepřesnos. Jisou odpověď může dá rekurzivní analýza zpoždění. Tabulka 3 obsahuje odhad paramerů modelu (4.), odhad jejich směrodaných chb, průměrné zpoždění, medián zpoždění a rozpl zpoždění pro = a pro časové řad začínající lednem 993 a končící lednem 996, dubnem 996,, srpnem 999, zářím 999. 3

Tabulka 3 Rekurzivní odhad paramerů, směrodaných chb, průměr, rozpl a medián zpoždění φˆ S φˆ αˆ Sαˆ ĉ Sc ˆ z S z z~ /96,77,7,54,5 6,858,34,383,53 4/96,3,,47,48 6,468,35,45,654 7/96,39,,4,45 6,75,48,49,73 /96,39,7,4,43 6,7,6,49,733 /97,38,3,4,4 6,83,7,489,78 4/97,38,,4,4 6,8,38,489,78 /97,33,4,78,44 6,9,67,435,64 /98,97,,9,43 6,56,99,43,6 4/98,336,97,9,43 5,66,94,56,76 7/98,36,88,85,4 5,368,85,568,89 /98,364,84,85,4 5,347,8,573,9 /99,375,9,37,44 4,873,866,6,96 /99,43,9,94,45 4,34,84,756,39 3/99,483,89,83,46 3,66,8,935,8 4/99,54,86,74,46 3,6,764,,36 5/99,574,83,6,46,63,73,35 3,73 6/99,599,78,53,45,369,659,49 3,74 7/99,648,77,39,46,838,638,84 5,9 8/99,68,73,7,46,56,585,47 6,755 9/99,7,69,,45,3,536,35 7,875 Odhad paramerů modelu (4.) a odhad jejich směrodaných chb zachcují obrázk 5a), b), c). Obr. 5a) Rekurzivní odhad parameru φ φˆ,9,8,7,6,5,4,3,,, /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 αˆ Obr. 5b) Rekurzivní odhad parameru α,45,4,35,3,5,,5,,5, /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 ĉ Obr. 5c) Rekurzivní odhad parameru c 9 8 7 6 5 4 3 /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 4

Vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění ukazují obrázk 6a), b). Z rekurzivní analýz vplývá, že v lednu roku 999 došlo k výrazné změně hodno paramerů modelu, a ím i ke změně průměrného zpoždění a rozplu zpoždění. Do éo dob se průměrné zpoždění pohbovalo pod hranicí hodno,5. Rovněž rozpl zpoždění bl poměrně nízký, pohboval se pod hodnoou. Od ledna 999 se však průměrné zpoždění výrazně zvšovalo, značně se zvšoval aké rozpl zpoždění. Tao skuečnos vplývá ze zlomu ve vývoji odhadů paramerů ohoo modelu. Od července 998 docházelo k posupnému snižování T repo-sazb, keré se promílo i do poklesu sazb R PRIBOR. Ne vžd ovšem panovalo jednoznačné přesvědčení o dalším snižování klíčové úrokové sazb, což se projevilo zvýšenou nejisoou ohledně dalšího vývoje a zřejmě i zpomalením reakce komerčních bank. Obr. 6a) Rekurzivní průměr zpoždění Obr. 6b) Rekurzivní rozpl zpoždění z 3,,5,,5,,5, S z 9 8 7 6 5 4 3 /96 5/96 9/96 /97 8/97 /97 4/98 8/98 /98 4/99 8/99 /96 5/96 9/96 /97 8/97 /97 4/98 8/98 /98 4/99 8/99 Na závěr éo čási ješě posoudíme, zda mezi analzovanými časovými řadami exisuje dlouhodobý vzah. Model (4.) lze ransformova do varu modelu korekce chb RNUC = c +α RR + (φ )(RNUC - α RR -) + a. (4.4) φ Z abulk 4, kde jsou uveden odhad paramerů modelu (4.) vplývá, že v modelu (4.4) je příomen člen korekce chb, neboť odhad zaížení (paramer (φ -)) je poměrně vsoký. Časové řad úrokových sazeb lze ed považova za koinegrované. 5

Tabulka 4 Model RNUC = c + φ RNUC - + α RR + a Závisle proměnná: RNUC Proměnná Odhad Směrodaná Hladina -es parameru chba významnosi c,3,5363,4643,65 RNUC(-),753,686,66, RR,36,4458 4,9497, R,9435 Průměr závisle proměnné 3,4338 Upravený R,93 Směrodaná odchlka závisle Směrodaná odchlka reziduí,5458 proměnné,9555 Reziduální souče čverců,986 F-es 45,8 D-W saisika,868 Hladina významnosi F, 4. Vzah úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR - analýza zkrácených časových řad V minulé čási blo pomocí věrohodnosní funkce ukázáno, že vzah mezi úrokovou sazbou na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR má lineární charaker, resp. že je vhodné analzova vzah původních neransformovaných časových řad. Tuo skuečnos povrzuje obrázek 7a), na kerém je zachcen bodový graf vjadřující vzah analzovaných úrokových sazeb. Křížk vjadřují charaker vzahu časových řad od ledna 993 do září 994. Je zřejmé, že vzah časových řad je v omo období odlišný od vzahu časových řad v následujícím období. Tao skuečnos je dána ím, že zpočáku nebla úroková sazba na nově čerpané klienské úvěr příliš ěsně navázána na hladinu úrokových sazeb na mezibankovním rhu. Po zkrácení časových řad o oo období (leden 993 až září 994) má vzah mezi analzovanými časovými řadami zřeelně nelineární charaker, což je parné z obrázku 7b). Zkrácené časové řad obsahuje obrázek 8. 6

Obr. 7a) Vzah úrokových sazeb Obr. 7b): Vzah úrokových sazeb-zkrácené řad 7 6 5 4 3 RNUC 7/94 9/94 4/94 /93 9/93 /93 5/93 /93 3/93 /93 4/93 7 6 5 4 3 RNUC 6/94 5/94 9 RR 8 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 9 RR 8 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Obr. 8 Úroková sazba na nově čerpané klienské úvěr, úroková sazba R PRIBOR zkrácené časové řad 3 9 RR RNUC 7 5 3 9 7 5 /94 /95 4/95 7/95 /95 /96 4/96 7/96 /96 /97 4/97 7/97 /97 /98 4/98 7/98 /98 /99 4/99 7/99 Pro zachcení vzahu mezi časovými řadami použijeme opě model ADL(,) ve varu (4.). Při hledání vhodné ransformace vcházíme z modelu (4.3). Tabulka 5 obsahuje hodno logarimu věrohodnosní funkce (3.), reziduální směrodané odchlk, odhadu paramerů modelu (4.3), průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a mediánu zpoždění pro hodno od - do. Tučně jsou zde vjádřen hodno pro = -,, j. pro ransformaci maximalizující věrohodnosní funkci, pro =, j. pro logarimickou ransformaci a pro =, j. pro žádnou ransformaci. Tvar logarimu věrohodnosní funkce je zachcen na obrázku 9. 7

Tabulka 5 Logarimus věrohodnosní funkce, odhad paramerů, průměr, rozpl a medián zpoždění pro dané L max () σˆ ( ) φˆ αˆ ˆd z S z z~ - 9,5979,3485,57,338,47,4,354 -,8 93,76,3368,59,344,46,3,384 -,6 93,7445,3346,53,349,46,37,49 -,4 94,5,3344,536,35,45,55,488 -, 94,6,3383,54,355,44,76,558 94,78,33,545,357,43,99,637, 93,8965,3337,55,359,4,4,7,4 93,599,3349,555,359,4,49,89,6 93,,3375,56,36,4,74,896,8 9,79,34,565,36,39,97,979 9,64,34346,569,36,39,38 3,55 Obrázek 9 Logarimus věrohodnosní funkce pro dané L max ( ) 96 95 94 93 9 9 9 89 88 87 86 85 - - Z uvedené abulk a obrázku vplývá, že pro výpoče průměrného zpoždění, rozplu zpoždění a mediánu zpoždění je vhodné časové řad logarimova.teno závěr je dán ím, že hodnoa = -,, kerá maximalizuje věrohodnosní funkci je blízká nule, j. logarimické ransformaci a vede pouze k malé změně paramerů modelu, jejich inerpreace je však obížná. Na obrázcích a), b) je zachcen vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění pro hodno od - do. 8

Obr. a) Průměrné zpoždění pro dané z,6,5,4,3,,,,9,8 - -,5 - -,5,5,5 Obr. b) Odhad rozplu zpoždění pro dané S z 5, 4,5 4, 3,5 3,,5,,5,,5, - -,5 - -,5,5,5 S lineárně rosoucím se průměrné zpoždění a rozpl zpoždění sinusoidně mění. V případě modelu s logarimick ransformovanými časovými řadami, j. "opimálního" modelu, je průměrné zpoždění přibližně, měsíce a medián zpoždění měsíc. Je ed zřejmé, že zkrácení časových řad vedlo ke značnému snížení průměrného zpoždění a ím i rozdílu hodno ěcho dvou měr poloh. Normalizované koeficien zpoždění modelu s logarimovanými časovými řadami jsou obsažen v abulce 6 a zakreslen na obrázku. Tabulka 6 Normalizované koeficien zpoždění i 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 w i,455,48,35,74,4,,,7,4,,,,,,, Obrázek Normalizované koeficien zpoždění w i,5,45,4,35,3,5,,5,,5, i 4 6 8 4 6 8 9

Z abulk a obrázku je vidě, že normalizované váh klesají daleko rchleji než v případě modelu dlouhých neransformovaných časových řad. Právě o vede ke značnému sblížení průměrného zpoždění a mediánu zpoždění. Také rozpl zpoždění se výrazně snížil, jeho hodnoa je přibližně,6. Tabulka 7 Rekurzivní odhad paramerů, směrodaných chb, průměr, rozpl a medián zpoždění φˆ S φˆ αˆ Sαˆ ĉ S c ˆ z S z /96,37,97,34,85,49,536,3,48 4/96,34,74,3,8,46,473,57,783 7/96,377,6,3,58,7,44,64,969 /96,47,3,3,5,975,89,686,56 /97,397,,3,47,,5,658,9 4/97,399,4,9,45,998,36,665,8 /97,68,,48,57,96,,366,5 /98,99,8,396,5,4,8,48,3 4/98,6,3,39,5,56,65,9,377 7/98,5,9,384,47,,4,333,445 /98,53,83,38,44,7,9,339,455 /99,6,97,468,5,9,5,93,3 /99,9,99,459,53,899,5,8,359 3/99,6,,455,55,798,46,353,478 4/99,84,97,45,55,745,37,396,553 5/99,34,98,437,57,69,3,5,79 6/99,37,89,45,54,58,5,593,944 7/99,44,96,45,6,447,,789,4 8/99,54,89,37,58,339,6,56,7 9/99,545,8,357,55,93,93,99,637 z~ Rekurzivní analýza je obsažena v abulce 7, zde jsou odhad paramerů modelu (4.) s logarimovanými časovými řadami, odhad jejich směrodaných chb, průměrné zpoždění, medián zpoždění a rozpl zpoždění pro časové řad začínající říjnem 994 a končící lednem 996, dubnem 996,, srpnem 999, zářím 999. Odhad paramerů modelu (4.) a odhad jejich směrodaných chb zachcují obrázk a), b), c). 3

Obr. a) Rekurzivní odhad parameru φ Obr. b) Rekurzivní odhad parameru α Obr. c) Rekurzivní odhad parameru c φˆ,8,7,6,5,4,3,,, -, -, αˆ,6,5,4,3,,, ĉ 3,,5,,5,,5, /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 /96 7/96 /97 /97 4/98 /98 4/99 Vývoj průměrného zpoždění a rozplu zpoždění ukazují obrázk 3a), b). Obr. 3a) Rekurzivní průměr zpoždění Obr. 3b) Rekurzivní rozpl zpoždění z,4 S z 3,,,5,,8,6,,5,4,,,5,, /96 5/96 9/96 /97 8/97 /97 4/98 8/98 /98 4/99 8/99 /96 5/96 9/96 /97 8/97 /97 4/98 8/98 /98 4/99 8/99 Rekurzivní analýza ukazuje, že první změna hodno paramerů je v období následujícím vnechané exrémně vsoké hodno časových řad, j. v období začínající srpnem 997. Tao změna se projevila u všech paramerů modelu, nejvíce však u parameru α, kerý vjadřuje sílu závislosi analzovaných časových řad. Změna hodno paramerů se v omo období u zkrácených časových řad projevila výrazněji než u dlouhých časových řad. V důsledku změn odhadů paramerů se snížil i průměr a rozpl zpoždění. K dalšímu zlomu ve vzahu analzovaných časových řad došlo v lednu roku 999. Posupná změna hodno odhadů paramerů, kerá od ohoo měsíce probíhala, vedla pochopielně i ke změně průměrného zpoždění a rozplu zpoždění. Od srpna 997 do ledna 999 se průměrné zpoždění 3

pohbovalo okolo hodno,3. Rovněž rozpl zpoždění bl v omo období poměrně nízký, mírně pod hranicí,5. Od ledna 999 se však průměrné zpoždění výrazně zvšovalo, značně se zvšoval aké rozpl zpoždění. Sejně jako u dlouhých časových řad se v omo období projevovala zvýšená míra nejiso na rhu, ao skuečnos způsobovala zpomalení poklesu sazb na nově čerpané klienské úvěr ve srovnání se sazbou R PRIBOR. Sejně jako v minulé čási posoudíme ješě, zda mezi analzovanými časovými řadami exisuje dlouhodobý vzah. Model lnrnuc = c + φ lnrnuc - + α lnrr + a (4.5) lze ransformova do varu modelu korekce chb lnrnuc = c +α lnrr + (φ -)(lnrnuc - α lnrr ) + a. (4.6) φ Z abulk 8, kde jsou uveden odhad paramerů modelu (4.5), vplývá, že v modelu (4.6) je příomen člen korekce chb, neboť odhad zaížení (paramer (φ -)) je poměrně vsoký. Také zkrácené časové řad úrokových sazeb lze považova za koinegrované. Tabulka 8 Model lnrnuc = c + φ lnrnuc - + α lnrr + a Závisle proměnná: lnrnuc Proměnná Odhad Směrodaná Hladina -es parameru chba významnosi c,934,938 3,4356,73 lnrnuc(-),5459,848 6,6948, lnrr,3577,5547 6,445, R,96765 Průměr závisle proměnné,56775 Upravený R,96643 Směrodaná odchlka závisle Směrodaná odchlka reziduí,33 proměnné,86 Reziduální souče čverců,5846 F-es 79,646 D-W saisika,4499 Hladina významnosi F, Na závěr éo čási je řeba učini ješě jednu poznámku. Durbinova- Wasonova saisika, ale aké auokorelační funkce reziduí ukazují, že model ADL(,) je zaížen mírně auokorelovanou nessemaickou složkou. Proože 3

zavedením umělé proměnné, kerá od srpna 997 obsahuje jedničk, jinak nul, se z hlediska auokorelace model výrazně zlepší, lze předpokláda, že problém auokorelace způsobuje změna vzahu, kerá nasala právě v srpnu roku 997. Při analýze nezkrácených časových řad se ao změna neprojevovala ak silně, neboť zpočáku bl časové řad poměrně variabilní. Tabulka 9 obsahuje odhad paramerů modelu ADL(,) s pomocnou proměnnou varu lnrnuc = c + bd +φ lnrnuc - + α lnrr + a, (4.7) kde D je nula-jedničková pomocná proměnná. Tabulka 9 Model lnrnuc = c + bd +φ lnrnuc - +α lnρρ + a Závisle proměnná: lnrnuc Proměnná Odhad Směrodaná Hladina -es parameru chba významnosi c,38849,83 4,669, D -,3478,789-4,4858,5 lnrnuc(-),479,7 6,557, lnrr,444,4895 8,585, R,97645 Průměr závisle proměnné,56775 Upravený R,9759 Směrodaná odchlka závisle Směrodaná odchlka reziduí,86 proměnné,86 Reziduální souče čverců,455 F-es 78,7 D-W saisika,97774 Hladina významnosi F, Porovnáme-li odhad paramerů modelu ADL(,) uvedené v abulce 4, odhad sejných paramerů v abulce 8 a odhad sejných paramerů v abulce 9 zjisíme, že zaímco odhad parameru φ klesají (,753,,5459,,479), odhad parameru α rosou (,36,,3577,,444). Lze ed očekáva, že model s pomocnou proměnnou povede k dalšímu snížení průměrného zpoždění a rozplu zpoždění. Vzhledem k variabiliě odhadů je možné předpokláda, že průměr a rozpl zpoždění dané modelem (4.5) jsou horní hranicí pro odhadované paramer. Z rekurzivní analýz modelu s pomocnou proměnnou vplývá, že b ao eze mohla plai pro období alespoň od srpna 997. 33

34

5 Závěr Zjišťování zpoždění, s jakým se měnlivos v jedné ekonomické časové řadě odráží v měnlivosi řad druhé, je velmi důležiou prakickou úlohou. Model rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění umožňují konsrukci sřední hodno, rozplu a mediánu zpoždění. Odhad paramerů modelů rozdělených zpoždění a auoregresních rozdělených zpoždění vedou k odhadům ěcho základních charakerisik zpoždění. Je zřejmé, že hodno odhadů závisí na ransformaci časových řad vsupujících do modelu. Volbu vhodné ransformace umožňuje opimalizace provedená pomocí věrohodnosní funkce. Meodologie zjišťování zpoždění bla ilusrována na příkladu analýz vzahu časových řad úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr a úrokové sazb R PRIBOR. Z definice ransmisního mechanismu ČR vplývá, že závisle proměnnou je časová řada úrokové sazb na nově čerpané klienské úvěr. Důkladnou analýzou vzahu daných časových řad blo zjišěno několik změn charakeru závislosi ve sledovaném období, což vedlo jednak ke změnám ransformace časových řad vsupujících do modelu a rovněž ke změnám odhadů základních charakerisik 35

zpoždění. Velmi cenné informace o zlomech ve vzahu analzovaných časových řad a o jeho sabiliě poskla rekurzivní analýza. Poznak z eoreické a prakické čási provedené sudie lze shrnou do následujících obecných závěrů:. Pro zjišťování zpoždění ve vzahu dvou či více ekonomických časových řad je řeba vcháze z dnamického varu modelu, j. modelu rozdělených zpoždění či auoregresních rozdělených zpoždění. Odhad paramerů ěcho modelů umožňují odhadnou sřední hodnou, rozpl a medián zpoždění.. Důležiou podmínkou pro získání relaivně přesných odhadů je ověření empirické vhodnosi zvoleného modelu. To zahrnuje nejen esování slabé exogeni vsvělujících časových řad vzhledem k paramerům modelu a esování auokorelace či heeroskedasici nessemaické složk modelu, ale aké řešení problému volb vhodné ransformace časových řad vsupujících do modelu. 3. Při prakické analýze zpoždění českých ekonomických časových řad není možné očekáva konsanní charakerisik zpoždění za celé analzované období 9. le. Lze předpokláda, že se charaker vzahu časových řad v omo období mění, jedna čás se může vznačova lineárním vzahem, jiná vzahem nelineárním. Rovněž v rámci vzahu určiého pu může docháze ke změnám, jež se projevují ve změnách hodno paramerů zvoleného modelu. Analzované období je charakerisické aké proměnlivou mírou nejiso na rhu, což se ukazuje především v přesnosi odhadů paramerů a charakerisik zpoždění. 4. Ekonomerickou analýzou získané informace o vzahu časových řad a zpoždění je nezbné konfronova s ekonomickou logikou dané problemaik, neboť znalos ekonomické podsa může výrazně pomoci nejen při volbě vhodného modelu a jeho ověřování, ale aké při inerpreaci empirických výsledků. 36

Lieraura. Arl, J. (999): Moderní meod modelování ekonomických časových řad, GRADA. Arl, J., Guba, M., Maalík, I., Siller, V., Srováka, J.: Definice měnového ransmisního mechanismu v ČR a analýza základních vbraných vazeb, Praha, ČNB 998 (inerní maeriál) 3. Box, G. E. P., Cox, D. R. (964): An Analsis of Transformaions, Journal of he Roal Saisical Socie, Ser. B, Vol. 6, No., -43 4. Dhrmes, P. J. (985): Disribued Lags, Norh-Holland, Amserdam 5. Hendr, D. F. (995): Dnamic Economerics, Oxford Universi Press 6. Spizer, J. (98): A Primer on Box-Cox Esimaion, Review of Economics and Saisics, 64, 37-33 7. Zarembka, P. (968): Funcional Form in he Demand for Mone, Journal of he American Saisical Associaion, 63, 5-5 37