ČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková

Podobné dokumenty
Nejpoužívanější podmínky plasticity

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární problémy a MKP

Mezní analýza rámových konstrukcí

Předpjatý beton Přednáška 13

Pružnost a pevnost I

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

7. Základní formulace lineární PP

PRUŽNOST A PEVNOST II

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost. Napětí statické rovnice Deformace geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Příklad zemní tlak v klidu

Přetváření a porušování materiálů

Autor: Vladimír Švehla

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

OOFEM: Implementace plasticitního materiálového modelu Cam-Clay. Ondřej Faltus, ZS 2016/17 Vyučující: Ing. Martin Horák, PhD.

Pružnost a plasticita II CD03

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Prvky betonových konstrukcí BL01 3. přednáška

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Nejpoužívanější podmínky plasticity

Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli

Část 3: Analýza konstrukce. DIF SEK Část 3: Analýza konstrukce 0/ 43

Kontraktantní/dilatantní

4. Napjatost v bodě tělesa

Analýza napjatosti PLASTICITA

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

16. Matematický popis napjatosti

Jednoosá tahová zkouška betonářské oceli

Předpjatý beton Přednáška 9. Obsah Prvky namáhané smykem a kroucením, analýza napjatosti, dimenzování.

Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice

Přednáška 08. Obecná trojosá napjatost

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.

Pružnost a pevnost. 6. přednáška 7. a 14. listopadu 2017

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Základy teorie plasticity

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Typy nelinearit. jen v tahu (jen v tlaku), pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení.

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

Mechanické vlastnosti technických materiálů a jejich měření. Metody charakterizace nanomateriálů 1

Stanovení požární odolnosti. Přestup tepla do konstrukce v ČSN EN

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Sylabus přednášek OCELOVÉ KONSTRUKCE. Vzpěrná pevnost skutečného prutu. Obsah přednášky. Únosnost tlačeného prutu. Výsledky zkoušek tlačených prutů

DIPLOMOVÁ PRÁCE OPTIMALIZACE MECHANICKÝCH

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA I

Obr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Přednáška 01 PRPE + PPA Organizace výuky

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

TENKOSTĚNNÉ A SPŘAŽENÉ KONSTRUKCE

Prvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška. Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk,

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM

DVA ZÁKLADNÍ PROBLÉMY PLASTICITY KOVŮ

Pružnost a plasticita II DD6

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Betonové konstrukce (S)

Cvičební texty 2003 programu celoživotního vzdělávání MŠMT ČR Požární odolnost stavebních konstrukcí podle evropských norem

Pružnoplastická analýza

PRUŽNOST A PLASTICITA

Pružnost a plasticita CD03

8. Základy lomové mechaniky. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

Betonové konstrukce (S)

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Předpjaté stavební konstrukce

1 Zatížení konstrukcí teplotou

14/03/2016. Obsah přednášek a cvičení: 2+1 Podmínky získání zápočtu vypracovaná včas odevzdaná úloha Návrh dodatečně předpjatého konstrukčního prvku

12. Prostý krut Definice

Jednotný programový dokument pro cíl 3 regionu (NUTS2) hl. m. Praha (JPD3)

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

Technologie a procesy sušení dřeva

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

Vícerozměrné úlohy pružnosti

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

1 Vedení tepla stacionární úloha

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

Desky. Petr Kabele. Pružnost a pevnost 132PRPE Přednášky. Deska/stěna/skořepina, desky základní předpoklady, proměnné a rovnice

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty

TENKOSTĚNNÉ A SPŘAŽENÉ KONSTRUKCE

Pružnost, pevnost, plasticita

Biomechanika srdečněcévnísoustavy a konstitutivnímodelování

Transkript:

ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková

Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace zobecnění principu PMPD pro víceosou napjatost 4. Důkaz základní věty mezní analýzy pro spojité modely 2

Úvod Princip maxima plastické disipace (PMPD) Teoretický základ mezní plastické analýzy yšetřování mezního plastického stavu Dosažení max. úrovně zatížení Únosnost konstrukce je zcela vyčerpána Pro ideláně pružnoplastický materiál 3

1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Ideálně pružnoplastický model Jednoosé napětí (σ) působí na objem d deformace dε ykonaná práce (σdε) na jednotku objemu dε e - elastický přírůstek deformace ( potenciální energie pružné deformace) dε p - plastický přírůstek deformace (disipace vykonané práce v plastických přetvárných procesech; pot.en. pružné def. je konstantní) Plastické namáhání: ε = ε e + ε p ; σ = Eε e = E(ε ε p ) 4

1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Plastická disipace D (disipační výkon, hustota plastické disipace) na jednotku objemu ýkon = práce / čas D εp = σdε p dt = σεp = σ 0 εp σ = σ 0 εp > 0 ; σ = σ 0 εp < 0 PMPD: max σ ε σ εp = σεp = σ 0 εp = D εp ε =< σ 0, σ 0 > plasticky přípustná oblast (σ εp) = fiktivní výkon na jednotku objemu, který by napětí σ vykonalo na rychlosti plastické disipace εp (σεp)=skutečné napětí σ maximalizuje plastickou disipaci 5

1.1 Jednoosá napjatost & PMPD Plastická disipace D int pro prut namáhaný osovou silou N D int = Dd = D = σεpal = σaεpl = N L p D int = N L p L p - rychlost (časová derivace) plastického protažení L p Součet příspěvků prutů n D int = i=1 N i L p,i = i=1 N 0,i L p,i N 0,i - mezní plastická síla N i - skutečná osová síla n 6

1.2 Ohýbaný prut & PMPD Plastická disipace D int pro prut namáhaný momentem M Součet příspěvků kritických průřezů (příp. plast. klouby) n n D int = i=1 M i θ i = i=1 M 0,i θ i M 0,i - mezní plastický moment M i - skutečný plastický moment 7

1.2 Ohýbaný prut & PMPD Odvození D int pro prut namáhaný momentem M Plastický kloub je uvažovaný pouze v 1 průřezu Celková plastická deformace je nahrazena rotací θ ideálního kloubu Plastická deformace v lib. bodě průřezu: e p z = θz Plastická def. v z integrovaná po délce plastického koubu Energie disipovaná plastickým kloubem: D int = Dd = σεpd = σ(z)e p(z)da A = D int = A σ z θ zda = D int = θ σ z z da A = Mθ 8

2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Předepsané zatížení ~ referenční zatížení (vektor) f ektor vnějších sil f = μf μ součinitel zatížení, hledá se jeho mezní hodnota μ 0 tak, aby bylo dosažené mezního plastického stavu (plastic. kolaps) Mezní plastický stav Stav statické rovnováhy, staticky i kinematicky přípustný 1. Staticky přípustný stav μ s - staticky přípustný součinitel zatížení (odpovídá staticky přípustnému stavu kce) nitř. (pl. přípustné) síly s s v rovnováze s vnějšími silami μ s f B T s s = μ s f ; B T - statická matice Stav splňuje podm. plastické přípustnosti 9

2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Mezní plastický stav Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav μ k - kinematicky přípustný součinitel zatížení (odpovídá kinematicky přípustnému procesu) znik mechanismu kolapsu Plastické přetváření ve zplastizovaných prutech μ k f T u k = D(e pk) e pk - rychlost platic. protažení u k - rychlost styčníkových posunů μ k f T u k - výkon vnějších sil na rychlosti styčníkových posunů 10

2. Základní věta mezní analýzy Úvod pro diskrétní modely Mezní plastický stav Staticky i kinematicky přípustný 2. Kinematicky přípustný stav e pk = Bu k e pk - rychlost plastic. protažení u k - rychlost styčníkových posunů, voleny tak aby f T u k > 0 11

2. Základní věta mezní analýzy pro diskrétní modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k ; μ 0 - součinitel bezpečnosti 1. ěta o dolním odhadu: μ s μ 0 2. ěta o horním odhadu: μ 0 μ k Důkaz základní věty mezní analýzy s T s e pk D(e pk) s s - vnitřní (pl. přípustné) síly e pk - rychlost plastic. Protažení s s T e pk = s s T Bu k = (B T s s ) T u k = μ s f T u k D e pk = μ k f T u k μ s μ k 12

3. PMPD pro víceosou napjatost PMPD (maticový zápis) D ε p = max σ ε σ T ε p = σ T ε p σ skutečné napětí (sloupcová matice) ε p - skutečná rychlost plastické deformace (sloupcová matice) σ - plasticky přípustný stav napětí Platný pokud je splněna podmínka normality a konvexity 13

3. PMPD pro víceosou napjatost ýznam PMPD D ε p = max σ ε σ T ε p = σ T ε p Promítnutí všech plasticky přípustných stavů napětí (dle funkce plasticity) na rovnoběžku s ε p prochájící počátkem interval jehož krajní + bod je průmětem skutečného napětí σ σ má max. průmět do směru ε p σ T ε p= σ ε p cosα ; skalární součin 14

3. PMPD pro víceosou napjatost PMPD & normalita Odchylka ε p od normality: σ T ε p > σ T ε p narušení podmínky PMPD Směr přírůstku plastic. def. je kolmý k ploše plasticity f x, y, z = 0 ýpočet jako gradient funkce f v daném bodě plochy plasticity ε p = λ f, f, f, σ x σ y σ z f τ xy, f τ xz, f τ yz ; λ 0 f(σ) ε p = λ sdružený zákon plastického přetváření σ Singularita v bodě plochy plasticity 15

4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k 1. Staticky přípustný stav f σ ij s 0 ve (podm. plastic. přípustnosti) s σ ij x j = μ s b i ve (podm. rovnováhy) σ ij s n j = μ s ti na S t (statická podm.) σ s ε ; ε = {σ f(σ(x)) 0 x } 16

4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k 2. Kinematicky přípustný stav εij k = 1 2 u i k k + u j x j x i ve (vztah def. přemístění) u i k = 0 na S u (kinematická podmínka) b i u i k d + tiu i k ds > 0 S t na S t (podm. pro + vnější en.) μ k = D(ε ij k )d b i u i k d+ S t iu i k ds 17 t

4. Základní věta mezní analýzy pro spojité modely Základní věta mezní analýzy μ s μ k μ s μ 0 μ k Důkaz základní věty mezní analýzy PMPD: D int = D(ε p)d = σ: ε pd = max σ ε σ : ε pd σ s : ε kd D(ε k)d Clapeyronův teorém: σ s : ε kd = μ s bu kd + t u kds S t μ s D ε k d bu k d+ S t u k ds t = μ k 18

Děkuji ám za pozornost. 19