5 ZÁKLADY TOI SPOLHLIVOSTI 5.1 Základní úvahy Základní úlohou teorie spolehlivosti stavebních konstrukcí je rozbor zdánlivě jednoduché podmínky mezi účinkem zatížení a odolností konstrukce ve tvaru nerovnosti < (5.1) Podmínka (5.1) popisuje vyhovující (bezpečný) stav sledované konstrukce. Porucha konstrukce nastane v případě, že nerovnost (5.1) není splněna. Předpokládá se tedy, že existuje ostré (jednoznačné) rozhraní mezi vyhovujícím (bezpečným) a nevyhovujícím stavem (poruchou) konstrukce, popsané rovností - = 0 (5.) kterému se říká mez porušení (mezní stav). Příklad 5.1. Ocelová tyč podle obrázku 5.1 má odolnost v axiálním tahu (= π d f y /4, kde d značí průměr tyče a f y mez kluzu) a přenáší břemeno o tíze (= Vρ, kde V značí objem a ρ objemovou tíhu břemene). Podmínka (5.1) má tedy tvar Vρ < πd f y /4 Mez porušení je dána rovnicí π d f y /4 - Vρ = 0 Mezní stav je zde definován jako dosažení meze kluzu f y. To je sice často přijímané zjednodušení, nemusí však být pro některé druhy ocele výstižné. Obrázek 5.1. Táhlo. Obě veličiny a jsou náhodné veličiny a platnost nerovnosti (5.1) nelze zaručit absolutně, tj. s pravděpodobností 1. Je tedy nutno připustit, že s určitou malou pravděpodobností dojde k překročení meze porušení (mezního stavu) popsaného rovnicí (5.) a nastane porucha. Základním cílem teorie spolehlivosti je stanovit pravděpodobnost poruchy p f. Pro jednoduchou podmínku vyhovujícího (bezpečného) stavu ve tvaru nerovnosti 59
(5.1) lze pravděpodobnost poruchy zapsat ve tvaru p f = P( > ) (5.3) Náhodné chování účinku zatížení a odolnosti je obvykle popsáno vhodným typem rozdělení pravděpodobností, tj. distribuční funkcí Φ (x), Φ (x) a odpovídající hustotou pravděpodobnosti ϕ (x), ϕ (x), kde x označuje obecný bod sledované veličiny X (např. napětí, síla, ohybový moment), prostřednictvím které jsou obě veličiny a vyjádřeny. ozdělení veličin a jsou dále závislá na příslušných parametrech, např. na momentových parametrech µ, σ, α, µ, σ a α. Předpokládáme dále, že a jsou vzájemně nezávislé (což je možné zajistit případnou transformací). Obrázek 5. ukazuje příklad rozdělení pravděpodobností obou veličin a jejich vzájemnou polohu. Typy rozdělení a údaje o jejich parametrech (vyjádřené v bezrozměrných jednotkách, např. v procentech) uvedené na obrázku 5. jsou ukázkou možných teoretických modelů pro veličiny a. Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0.06 0.04 Účinek zatížení gama rozdělení, µ = 70, σ = 7 Odolnost lognomální rozdělení, µ = 100, σ = 10 0.0 0.00 40 60 80 100 10 140 Náhodná veličina X Obrázek 5.. Účinek zatížení a odolnost jako náhodné veličiny. Všimněme si, že hustoty pravděpodobnosti ϕ (x) a ϕ (x) se na obrázku 5. překrývají a je tedy zřejmé, že může dojít k současnému výskytu takových (nepříznivých) realizací e a r veličin a, že platí e > r a nastane tedy porucha. Aby k takovému stavu došlo pouze s přijatelně malou pravděpodobností p f, musí být v závislosti na typech rozdělení splněny určité podmínky o vzájemné poloze a rozptylu veličin a. Jednou z takových podmínek 60
bude patrně nerovnost µ < µ, která je na obrázku 5. splněna. Zřejmě však tato "podmínka polohy" obou rozdělení nebude postačující. 5. Zvláštní případ jedné náhodné veličiny Sledujme nejdříve zvláštní případ, kdy jedna z veličin a, řekněme účinek zatížení, má velmi malou (zanedbatelnou) variabilitu v porovnání s variabilitou odolnosti. Pak lze považovat za veličinu nenáhodnou (deterministickou), tj. za takovou veličinu, která při každé relizaci nabývá určité pevné hodnoty e 0 ( = e 0 ). Takové případy mohou jistě v praxi nastat. Ukázkou je táhlo s břemenem z příkladu 5.1, kdy tíhu F zavěšeného břemena je možno stanovit dostatečně přesně (bez významných nejistot). Popsaný zvláštní případ je zachycen na obrázku 5.3, kde účinek zatížení je vyznačen jedinou hodnotou e 0 = 80 (µ = 80, σ = 0). Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,06 0,04 Deterministický účinek zatížení : e 0 = 80 (µ = 80, σ = 0) Náhodná odolnost : lognomální rozdělení, µ = 100, σ = 10 0,0 -u 0 σ 0,00 40 60 80 100 10 140 Náhodná veličina X Obrázek 5.3. Deterministický účinek zatížení a náhodná odolnost. Pravděpodobnost poruchy p f pro zvláštní případ deterministického účinku zatížení zachyceného na obrázku 5.3 je možno stanovit přímo z distribuční funkce Φ (x) p f = P( < e 0 ) = Φ (e 0 ) (5.4) Hodnota distribuční funkce Φ (e 0 ) se obvykle stanoví z tabulek pro normovanou náhodnou veličinu U, pro kterou se vypočte hodnota u 0 odpovídající e 0. Z transformačního vzorce (3.14) vyplývá, že 61
u 0 = (e 0 - µ ) /σ (5.5) Pravděpodobnost poruchy p f je pak dána p f = P( < e 0 ) = Φ (e 0 ) = Φ U (u 0 ) (5.6) kde Φ U (u 0 ) je hodnota distribuční funkce normované náhodné veličiny příslušného rozdělení (např. normálního nebo lognormálního). Všimněme si, že hodnota -u 0 je vzdálenost pevné hodnoty e 0 účinku zatížení od průměru µ odolnosti vyjádřená v jednotkách směrodatné odchylky σ. Jestliže rozdělení odolnosti je normální, pak se takto definovaná vzdálenost nazývá index spolehlivosti β β = (µ e 0 ) /σ (5.7) a pravděpodobnost poruchy lze vyjádřit vztahem p f = P( < e 0 ) = Φ U ( β) (5.8) Pokud však odolnost má jiné rozdělení než normální, definuje se index spolehlivosti β formálně jako záporná hodnota normované náhodné veličiny odpovídající pravděpodobnosti poruchy p f. Obecně tedy platí definice U1 ( pf β = Φ ) (5.9) kde Φ U1 ( pf ) označuje funkci, která je inverzní k distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Takto formálně definovaný index spolehlivosti je dnes všeobecně používanou mírou spolehlivosti konstrukcí. Příklad 5.. Uvažujme, že odolnost má průměr µ = 100 (vyjádřeno v bezrozměrných jednotkách), směrodatnou odchylku σ = 10 (variační koeficient je tedy w = 0,10). Pro deterministický účinek zatížení platí, že e 0 = 80 (viz obrázek 5.3). Jestliže má normální rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti β = (100 80) /10 = a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8) p f = P( < 80) = Φ U ( ) = 0,03 kde Φ U ( ) je hodnota distribuční funkce normovaného normálního rozdělení pro u =. Jestliže však nemá normální rozdělení, nýbrž lognormální rozdělení s dolní mezí v nule 6
(podle rovnice (3.0) pro šikmost platí α = 3 w + w 3 = 0,301), pak z rovnice (5.5) plyne u 0 = (80 100) /10 = Pravděpodobnost poruchy p f je pak dána p f = P( < 80) = Φ U ( ) = 0,014 kde Φ U ( ) je distribuční funkce normované náhodné veličiny U s lognormálním rozdělením, která má šikmost α = 0,301. Výsledné pravděpodobnosti se navzájem příliš neliší, jejich hodnoty jsou však poněkud vysoké. Pokud se pevná hodnota účinku zatížení sníží na e 0 = 70, vychází pro normální rozdělení odolnosti index spolehlivosti β = 3 a pravděpodobnost poruchy p f = P( < 70) = Φ U ( 3) = 0,00135 pro lognormální rozdělení s dolní mezí v nule p f = P( < 70) = Φ U ( 3) = 0,0001 Výsledné pravděpodobnosti poruchy jsou významně nižší než pro e 0 = 80. Jejich vzájemné rozdíly však také ukazují, že předpoklad o typu rozdělení tu hraje významnou roli a může být rozhodující. Formálně definovaný index spolehlivosti podle rovnice (5.9) v posledním případě 1 Φ U vychází β = (0,0001)= 3,53, tedy větší než hodnota 3, která platí pro předpoklad normálního rozdělení odolnosti. 5.3 Zvláštní případ dvou náhodných veličin Jestliže účinek zatížení i odolnost jsou náhodné veličiny, je stanovení pravděpodobnosti p f definované rovnicí (5.3) složitější. Nejjednodušší je v tomto případě předpoklad normálního rozdělení obou veličin a. Za tohoto předpokladu má také rozdíl G = (5.10) který se nazývá rezerva spolehlivosti, normální rozdělení. Parametry rezervy spolehlivosti pro vzájemně nezávislé veličiny a (bez ohledu na typ jejich rozdělení) jsou µ G = µ µ (5.11) G σ = σ + σ (5.1) Pro pravděpodobnost poruchy p f lze nyní modifikovat rovnicí (5.3) na tvar p f = P( > ) = P(G < 0) = Φ G (0) (5.13) 63
a celý problém se redukuje na stanovení hodnoty distribuční funkce Φ G (g) pro (g = 0), která udává pravděpodobnosti výskytu záporných hodnot rezervy G. Víme, že se hodnota distribuční funkce Φ G (g) stanoví z tabulek pro normovanou náhodnou veličinu U, pro kterou se nejdříve zjistí hodnota u 0 odpovídající hodnotě g = 0 podle transformačního vzorce (3.14) Pravděpodobnost poruchy p f je pak dána u 0 = (0 µ G ) /σ G = µ G /σ G (5.14) p f = P( < ) = Φ G (0) = Φ U (u 0 ) (5.15) Hustota pravděpodobnosti ϕ G (g) rezervy spolehlivosti G je zachycena na obrázku 5.4, šedá plocha pod křivkou ϕ G (g) odpovídá pravděpodobnosti p f. 0,04 Hustota pravděpodobnosti ϕ G (g) 0,03 0,0 1 p f u 0 σ G 0,01 p f 0,00 10 0 10 0 30 40 50 ezerva spolehlivosti G Obrázek 5:4. ozdělení rezervy spolehlivosti G. Jak již bylo řečeno, za předpokladu, že G má normální rozdělení, se hodnota u 0 nazývá index spolehlivosti a označuje se symbolem β. Z rovnice (5.14) vyplývá pro index spolehlivosti vztah β = µ G /σ G = µ σ µ + σ (5.16) Víme již také, že takto definovaný index spolehlivosti β lze popsat geometricky jako vzdálenost průměru µ G rezervy spolehlivosti G od počátku, stanovenou v jednotkách směrodatné odchylky σ G. 64
Příklad 5.3. Uvažujme, že stejně jako v příkladu 5. má odolnost průměr µ = 100 (vyjádřeno v bezrozměrných jednotkách), směrodatnou odchylku σ = 10 (variační koeficient je tedy pouze w = 0,10). Pro účinek zatížení nechť platí µ = 80 a σ = 8. Z rovnic (5.11) a (5.1) vyplývá µ G = 100 80 = 0 σ G = 10 + 8 = 1,81 Jestliže i má normální rozdělení, pak z rovnice (5.7) plyne přímo index spolehlivosti β = 0 /1,81= 1,56 a pravděpodobnost poruchy plyne ze vztahu (5.8) p f = P(G <0) = Φ U ( 1,56) = 0,059 Jestliže veličiny a nejsou normální, pak rozdělení rezervy spolehlivosti G také není normální a uvedený postup je třeba upravit. V obecném případě se obvykle obě základní veličiny transformují na veličiny s normálním rozdělením, a pak je možno postupovat podle předcházející vztahů. Tyto transformace se uplatňují zejména u softwarových produktů, neboť jde o náročné operace. Pro první (řádovou) představu však zpravidla postačí následující jednoduchá aproximace, při které se rozdělení rezervy spolehlivosti G pokládá za tříparametrické lognormální rozdělení. Předpokládáme, že rozdělení veličin a jsou závislá na momentových parametrech µ, σ, α, µ, σ a α. Průměr a směrodatná odchylka rezervy spolehlivosti G lze stanovit z předchozích rovnic (5.11) a (5.1), šikmost α G rezervy spolehlivosti G ze vztahu α G 3 3 σ α σ α = (5.17) 3 / ( σ + σ ) Předpokládá se, že rezervu spolehlivosti G lze dostatečně výstižně popsat lognormálním rozdělením s takto stanovenými parametry µ G, σg a α G. Ukazuje se, že tato aproximace poskytuje vyhovující výsledky, pokud pravděpodobnost poruchy není velmi malá. Příklad 5.4. Uvažujme táhlo s odolností se zavěšeným břemenem o tíze. Nechť odolnost má logormální rozdělení s počátkem v nule s parametry (vyjádřenými opět v relativních bezrozměrných jednotkách) µ = 100 a σ = 10 (a tedy α = 0,301), tíha nechť má Gumbelovo rozdělení s momentovými parametry µ = 50 a σ = 10 (z oddílu 3.4 plyne, že α 65
= 1,14). Parametry rezervy spolehlivosti se stanoví z rovnic (5.11), (5.1) a (5.17) µ G = µ µ =100 50 = 50 G σ = σ + σ =10 +10 = 14,14 α G σ = 3 α σ 3 10 = 0,301 10 ( σ + σ ) 3 / ( 10 + 10 ) α 3 3 3 / 1,14 = 0,30 Pro normovanou náhodnou veličinu z rovnice (5.14) plyne u 0 = µ G /σ G = 50/14,14 = 3,54 Pro lognormální rozdělení se šikmostí α G = - 0,30 platí p f = P( < ) = Φ U ( 3,54) = 0,00100 což odpovídá indexu spolehlivosti β = 3,09. Přesnější výsledek získaný aplikací softwaru VaP [3] je p f = 0,00181. Jestliže by se však při odhadu pravděpodobnosti nepřihlíželo k šikmosti, pak z normálního rozdělení plyne p f = P( < ) = Φ U ( 3,54) = 0,0000 což je řádově odlišný výsledek proti předpokladu lognormálního rozdělení. 5.4 Přesné řešení pro dvě náhodné veličiny Přesné řešení pravděpodobnosti poruchy p f, která je pro případ dvou náhodných veličin a definována rovnicí (5.3), lze získat integrací. Vysvětlíme ji s použitím obrázku 5.5. Označme jev A výskyt účinku zatížení v diferenciálním úseku <x, x+dx>. Pravděpodobnost jevu A je dána vztahem P(A) = P(x< <x+dx) = ϕ (x) dx (5.18) Označme jev B výskyt odolnosti v intervalu < -, x >. Pravděpodobnost jevu B je podle oddílu 3.1 dána vztahem P(B) = P( < x) = Φ (x) (5.19) Diferenciál (přírůstek) pravděpodobnosti poruchy dp f odpovídající výskytu veličiny v intervalu <x, x+dx> je dán pravděpodobností současného výskytu jevů A a B, tj. 66
pravděpodobností jejich průniku A B. Podle věty o součinu pravděpodobností (.) platí dp f = P(A B) = P( A) P(B) = P(x< <x+dx) P(<x) = Φ (x) ϕ (x) dx (5.0) Zde se však uplatňuje výše uvedený předpoklad vzájemné nezávislosti veličin a, a tedy také nezávislosti jevů A a B. Hustota pravděpodobnosti ϕ(x) 0,06 0,04 Účinek zatížení gama rozdělení, µ = 70, σ = 7 Odolnost lognomální rozdělení, µ = 100, σ = 10 dx 0,0 0,00 40 60 x x+dx 100 10 140 Náhodná veličina X Obrázek 5.5. ozdělení veličin a. Integrace diferenciálního vztahu (5.0) v intervalu současného výskytu obou veličin a (obecně v intervalu < -, >) vede ke vztahu p f = Φ ( x) ϕ ( x) dx (5.1) Integraci vztahu (5.1) je zpravidla nutno provést numericky, popř. simulační metodou Monte Carlo. Pro numerickou integraci vztahu (5.1) za předpokladu, že obě veličiny a lze popsat (alespoň aproximativně) obecným (tříparametrickým) rozdělením, autor sestavil jednoduchý program "PFLN" v jazyce FOTAN, který je uveden v dodatku 1. Příklad 5.5. Účinek zatížení i odolnost jsou popsány lognormálním rozdělením se stejnými parametry jako v příkladu 5.4 (Gumbelovo rozdělení pro je nahrazeno lognormálním rozdělením se stejnými parametry). Aproximativní řešení v příkladu 5.4 vedlo k pravděpodobnosti poruchy p f = P( < ) = Φ U ( 3,54) = 0,00100. Numerická integrace podle 67
vztahu (5.1) s využitím programu PFLN vede k výsledku p f = P( < ) = 0,0043, program VaP poskytuje výsledek p f = P( < ) = 0,00184, což lze pokládat za velmi dobrou shodu. Pravděpodobnost poruchy p f stanovená pro dané parametry veličin a (µ = 100, σ = 10, µ = 50 a σ = 10) programem PFLN je v závislosti na šikmostech α a α zachycena na obrázku 5.6. Šikmost α 1,00-0 1,00-03 1,00-04 0 0,5 1 1,5 - -1 0 1 Šikmost α 1,00-05 1,00-06 p f Obrázek 5.6. Pravděpodobnost poruchy p f v závislosti na šikmostech α a α pro µ = 100, σ = 10, µ = 50 a σ = 10. Z obrázku 5.6 je zřejmé, že pravděpodobnost poruchy p f je významně závislá na šikmostech α a α a může se v praktických podmínkách při stejných průměrech a směrodatných odchylkách veličin a pohybovat v rozmezí několika řádů. Ukazuje se tedy, že přesné stanovení pravděpodobnosti poruchy v případě jednoduché podmínky ve tvaru nerovnosti (5.1), ve které se uplatňují pouze dvě náhodné veličiny a, je snadné jen za předpokladu, že obě veličiny mají normální rozdělení. Jestliže mají jiná rozdělení, je přesné řešení obtížnější a výsledné hodnoty jsou významně závislé na typech rozdělení. Přibližné řešení s využitím lognormálního rozdělení je užitečné pro první odhad, výsledné pravděpodobnosti je však třeba ověřit přesnějšími postupy. 5.5 Návrhový bod Pro praktické využití důležitých poznatků teorie spolehlivosti se v urokódech přijímají různá zjednodušení, aby bylo možno obecné postupy efektivně přenášet do 68
operativních dokumentů. Základem těchto zjednodušení je grafické vyjádření základních vztahů veličin a tak, jak je zachycuje obrázek 5.7. Předpokládá se, že veličiny a jsou nezávislé a že obě mají normální rozdělení. σ mez porušení /σ = /σ návrhový bod (e d /σ, r d /σ ) α β µ /σ α β β µ /σ σ Obrázek 5.7. Návrhový bod. Na obrázku jsou náhodné veličiny a zachyceny v dvojrozměrném grafu, kde na vodorovné ose je vyznačen poměr /σ, na svislé ose poměr /σ. Je zřejmé, že bezpečná oblast, kde je splněna podmínka 5.1, je na obrázku 5.7 pod diagonálou os (pod mezí porušení), nebezpečná oblast je nad diagonálou. Návrhovým bodem (e d, r d ) může být kterýkoli bod na mezi porušení (diagonále), ukázalo se však [1,,3,4], že nejlepší volbou, která zaručuje řadu důležitých vlastností (konsistenci a invariantnost řešení při různých formulacích téže podmínky, volnost výběru základních veličin) je nejbližší bod od průměru (µ, µ ). Pak lze souřadnice návrhového bodu zapsat e d = µ α β σ (5.) r d = µ α β σ (5.3) kde α a α značí tak zvané váhové součinitele veličin a (znaménko "minus" je v rovnicích zachováno v souladu s urokódem 1 [1]), ne tedy šikmost jako v předcházejících oddílech (tato nepříjemná dvojznačnost je přijata s ohledem na zachování stejných značek jako v dokumentech CN a ISO [1,]). Pro váhové součinitele (směrové kosiny přímky meze porušení) však z obrázku 5.7 vzhledem ke konvenci v rovnicích (5.) a (5.3) vyplývá α = σ / α = σ / σ σ + (5.4) σ σ + (5.5) 69
V urokódech se dále přijímá aproximace těchto váhových součinitelů pevnými hodnotami α = σ / α = σ / σ σ + = 0,7 (5.6) σ σ + = 0,8 (5.7) přičemž se vymezuje platnost aproximace prostřednictvím podmínky pro poměr směrodatných odchylek ve tvaru nerovnosti 0,16 < σ /σ < 7,6 (5.8) Mimo tento obor se doporučuje pro tu veličinu, která má větší směrodatnou odchylku, dosadit váhový součinitel α = ±1,0. Poznamenejme, že toto zjednodušení je na straně bezpečnosti, neboť součet čtverců směrových kosinů by se měl rovnat jedné. Návrhové hodnoty e d a r d veličin a jsou tedy definovány jako kvantily normálního rozdělení P( > e d ) = Φ U (+α β) = Φ U ( 0,7β) (5.9) P( < r d ) = Φ U ( α β) = Φ U ( 0,8β) (5.30) kde Φ U (u) značí distribuční funkci normovaného normálního rozdělení. Jestliže β = 3,8, pak návrhové hodnoty e d a r d jsou kvantily odpovídající přibližně pravděpodobnostem 0,999 a 0,001. Všimněme si, že v rovnici (5.9) se využívá symetrie normálního rozdělení, tj. vztahu 1 Φ U (+α β) = Φ U (+α β). Jestliže model pro zatížení nebo pro odolnost obsahuje více základních veličin (více druhů zatížení, více materiálů, geometrické údaje), platí rovnice (5.9) a (5.30) pouze pro dominantní veličiny (nejvýznamnější z hlediska sledované podmínky spolehlivosti). Pro ostatní (nedominantní) veličiny se požadavky na návrhové hodnoty redukují a platí rovnice P( > e d ) = Φ U (+0,4α β) = Φ U ( 0,8β) (5.31) P( < r d ) = Φ U ( 0,4 α β) = Φ U ( 0,3β) (5.3) Jestliže β = 3,8, pak návrhové hodnoty nedominantních veličin jsou kvantily odpovídající přibližně pravděpodobnostem 0,9 a 0,1. Návrhové hodnoty jsou tedy horní (u zatížení) nebo dolní (u odolnosti) kvantily s odpovídajícími pravděpodobnostmi jejich překročení (u zatížení) nebo jejich podkročení (u odolnosti). U dominantních veličin jde o pravděpodobnosti dané distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení pro hodnoty u =+α β a α β, u nedominantních veličin pro redukované hodnoty u = +0,4α β a 0,4α β. Tyto pravděpodobnosti (pro dolní kvantil 70
přibližně 0,001 u dominantních a 0,1 u nedominantních veličin) se pak uplatňují při stanovení návrhových hodnot i těch veličin, která nemají normální rozdělení. Poznamenáme, že ve smyslu obecných zásad kapitoly 4 je třeba u horních kvantilů (zatížení) pracovat s doplňkovými pravděpodobnostmi (blízkými hodnotě 1). Příklad 5.6. Pro návrhové hodnoty veličin a z příkladu 5.4 stanovíme návrhové hodnoty e d a r d za předpokladu, že index spolehlivosti β = 3,8, α = 0,7 a α = 0,8. Pro z rovnice (5.9) tedy platí P( > e d ) = Φ U (α β) = Φ U (,66) = 0,0039 Doplňková pravděpodobnost je tedy 0,9961 a z rovnice (4.5) obdržíme e d = µ (0,45 + 0,78 ln( ln( p))) σ =50 (0,45+0,78 ln( ln(0,9961))) 10 = 88,75 Poznamenáme, že za předpokladu normálního rozdělení z rovnice (4.) obdržíme e p = µ + u p σ = 50 +,66 10 = 76,6 Pro z rovnice (5.30) platí P( < r d ) = Φ U ( α β) = Φ U (-3,04) = 0,001 Pro lognormální rozdělení s průměrem 100 a variačním koeficientem 10 z rovnice (4.4) plyne r ( u w ) µ exp =100 exp( 3,04 0,10) = 73,79 p norm, p Pro normální rozdělení vychází r p = µ + u p σ = 50 3,04 10 = 69,6 Zřejmě e d > r d a táhlo tedy nevyhoví (z příkladu 5.4 víme, že β je pouze 3,09). Aby táhlo vyhovělo indexu spolehlivost 3,8, bylo by nutné parametry veličin a upravit. 5.6 Obecný případ více náhodných veličin Stavební konstrukce a systémy jsou zpravidla popsány řadou základních veličin X 1, X, X n, které pro jednoduchost zápisu označíme jako vektor X [X 1, X, X n ], realizace x 1, x,, x n jako vektor x [x 1, x,, x n ]. V tomto případě se vztah (5.10) pro rezervu spolehlivosti G zapíše v symbolickém tvaru G = g(x) (5.33) a bezpečná oblast je popsána podmínkou spolehlivosti ve tvaru 71
G = g(x) > 0 (5.34) která je zobecněním podmínky (5.1). Mez porušení (funkce mezního stavu) je dána vztahem G= g(x) = 0 (5.35) Pravděpodobnost poruchy p f (5.3) je pak zapsána ve tvaru p f = P(g(X) < 0) (5.36) Označme ϕ X (x) n-rozměrnou hustotu pravděpodobnosti rozdělení vektoru X. Pak pravděpodobnost poruchy p f se obecně stanoví integrálem pf = ϕ X g( X ) < 0 ( x) dx (5.37) kde obor integrace je dán podmínkou G = g(x) < 0 (5.38) která vymezuje nebezpečnou oblast vektoru X. Příklad 5.7. Vraťme se k příkladu 5.1 tažené ocelové tyče, jejíž odolnost je vyjádřena vztahem = π d f y /4, kde d značí průměr tyče, f y mez kluzu, přenáší břemeno o tíze = F (viz obrázek 5.8). ezerva spolehlivosti (5.33) má tedy tvar G(X) = g(d, f y, F) = π d f y /4 F > 0 =π d f y /4 Mez porušení je popsána rovnicí G(X) = g(d, f y, F) = π d f y /4 F = 0 Kromě konstant vystupují v příkladu tři základní veličiny d, f y a F. Připomeneme opět, že mezní stav je zde definován jako =F dosažení meze kluzu f y, což je všeobecně uvažované zjednodušení, nemusí však pro některé druhy ocele odpovídat Obrázek 5.8. Táhlo. skutečnosti. Mez porušení je v případě více než dvou základních veličin poněkud obtížnější zachytit graficky. Pro dané tíhy F = 100 a 50 kn je mez porušení G(X) = 0 zakreslena na obrázku 5.9, kde je také vyznačena bezpečná oblast G(X) > 0 a nebezpečná oblast G(X) < 0. Jde o nelineární, ale spojitou a hladkou křivku. Na obrázku 5.9 jsou rovněž vyznačeny 7
průměry veličin d a f y (30 mm a 90 MPa) i návrhové body, které jsou odvozeny za předpokladu, že směrodatné odchylky jsou 3 mm a 5 MPa. Pravděpodobnost p f se stanoví ze vzorce (5.37), přičemž obor integrace podle vztahu (5.38) je na obrázku 5.9 označen jako nebezpečná oblast pod křivkou meze porušení. 400 350 300 50 00 150 100 50 F=50 kn fy [MPa] Návrhové body Nebezpečná oblast F=100 kn Průměr (30,90) Bezpečná oblast 0 0 10 0 30 40 50 60 d [mm] Obrázek 5.9. Mez porušení a návrhové body pro táhlo. Výpočet pravděpodobnosti p f podle vztahu (5.37) lze provést na základě několika základních postupů: - přesná analytická metoda - numerické metody integrace - přibližné analytické metody (FOM, SOM, metoda momentů) - simulační metody - kombinace předchozích metod. Přesný výpočet integrálu (5.37) analytickými postupy je možný jen v jednodušších případech. V obecném případě, zejména je-li mez porušení g(x) = 0 komplikovaná (interakce několika funkcí), je nutno aplikovat různé numerické metody, přibližné analytické metody nebo simulačních metody. Základní dvě skupiny přibližných analytických postupů se označují zkratkami FOM (First Order eliability Method) a SOM (Second Order eliability Method). Odlišují se řádem Taylorova rozvoje meze porušení g(x) = 0 v okolí návrhového bodu (lineární aproximace meze porušení je naznačena na obrázku 5.9). Autor má velmi dobrou zkušenost se systémem STUL (STUctural Liability System) [31], který používá metody FOM, SOM a simulační metody. Systém zahrnuje několik samostatných programů (STATL, COML, SYSL, NASL), je vhodný pro 73
řešení náročných úloh s časově závislými procesy. Uživatelsky velmi přátelský je program VaP, Variable Processor) [3], který vedle metody FOM využívá metody momentové a simulační. Tento program je vhodný zejména pro řešení jednodušších časově nezávislých úloh. Simulační metodu výpočtu umožňuje také u nás dostupný produkt M-Star [7, 33]. Podrobný popis jednotlivých metod je uveden v odborné literatuře [1,,3,4,5, 6,7] nebo v manuálu k softwaru STUL [31]. Stručně se zmíníme o hlavních krocích metody FOM, která je základem pro odvození pravděpodobnostních ukazatelů metody dílčích součinitelů. Nejdůležitější kroky výpočtu pravděpodobnosti p f jsou: - transformace základních veličin X na normované náhodné veličiny U a odpovídající transformace meze porušení g(x)=0 na g(u)=0 - mez porušení g(u)=0 se aproximuje lineární funkcí (tečnou nadrovinou) v návrhovém bodě u d, což je bod na mezi porušení g(u)=0 nejblíže počátku - stanoví se vzdálenost β návrhového bodu u d od počátku a stanoví se pravděpodobnost poruchy p f = Φ U ( β) Metoda SOM se od metody FOM v zásadě odlišuje tím, že se mez porušení g(u)=0 aproximuje v návrhovém bodě x d kvadratickou funkcí. Návrhový bod x d původních veličin X je podle metody FOM dán vztahem Φ Xi (x id ) = Φ U ( α i β) (5.39) kde Φ Xi (x id ) je distribuční funkce původní proměnné X i, Φ U je normovaná distribuční funkce normálního rozdělení. Pro α i >0 (odolnosti) návrhové body odpovídají dolním kvantilům, pro αi <0 (zatížení) návrhové body odpovídají horním kvantilům V urokódu [1] se uplatňuje tak zvaná metoda návrhových hodnot (viz přehled na obrázku 5.10), která vychází z podmínky g( x d ) = g(x 1d, x d,..., x nd ) > 0 (5.40) kde návrhové body x id jednotlivých základních veličin X i jsou závislé na typu rozdělení a parametrech veličiny, na váhových součinitelích α i, které vyplývají z výpočtu metodou FOM a na indexu spolehlivosti β. Hodnoty součinitelů α i, doporučené pro účely tvorby norem, jsou uvedeny v tabulce 5.1 (viz též rovnice (5.6) až (5.30). Tabulka 5.1. Doporučené hodnoty váhových součinitelů α i. Základní veličina X i Doporučený váhový součinitel α i odolnosti, dominantní 0,8 odolnosti, nedominantní 0,4 0,8 = 0,3 74
zatížení, dominantní - 0,7 zatížení, nedominantní - 0,4 0,7 = - 0,8 V souladu se zásadami urokódu se dílčí součinitele spolehlivosti základních veličin x i se u veličin s nepříznivým vlivem na p f, pro které α i < 0 (zvyšující účinek zatížení), stanoví ze vztahu γ i = x id /x ik (5.41) u veličin s příznivým vlivem na p f, pro které α i > 0 (zvyšující odolnost), ze vztahu γ i = x ik /x id (5.4) Takto definované dílčí součinitele spolehlivosti γ i jsou zpravidla větší než 1. Podrobný postup uplatnění dílčích součinitelů spolehlivosti při ověřování spolehlivosti stavebních konstrukcí je uveden přímo v dokumentech [1, ], skriptech [7], článcích [9,10,11,1] a v monografii [9]. γ i Příklad 5.8. Uveďme pro základní veličiny d, f y a F táhlo z příkladu 5.7 nové údaje. Veličina Typ X rozdělení Průměr Směr. od. Součinitel Návrhové hodnoty Návrhové hodnoty µ X σ X α X x d teoretické x d doporučené d normální 30 3 0,878 0,0 0,8 f y lognorm. 90 5 0,75 63,5 60,8 F Gumbel. 70 7-0,391 81,5 91,7 Index spolehlivosti stanovený metodou FOM s využitím programu VaP [3] je β = 3,85. Návrhové hodnoty X d se za předpokladu β = 3,85 vypočítají na základě doporučených hodnot váhových součinitelů αx podle tabulky 5.1. Průměr tyče d je zřejmě dominantní veličina odolnosti, takže z rovnice (4.) plyne d d = µ(1 αβw) = 30(1 0,8 3,85 0,1)= 0,8 mm Mez kluzu f y je v tomto příkladu nedominantní veličina odolnosti, takže z rovnice (4.4) plyne f µ exp( α β w y,d ) =90 exp ( 0,3 3,85 0,086) = 60,8 kn Síla F je dominantní veličina zatížení, takže z rovnice (4.5) plyne F d µ (0,45 + 0,78ln( ln( p))) σ = 70 (0,45+0,78 ln( ln (Φ -1 (0,7 3,85)))) 7 = 91,7 kn Je patrná dobrá shoda teoretických a doporučených hodnot. Jestliže se charakteristická hodnota zatížení rovná průměru (což se obvykle předpokládá u vlastní tíhy) F k =µ k =70 kn, pak dílčí součinitel γ F pro veličinu zatížení F vyplývá ze vztahu (5.41) 75
γ F = F d /F k = 91,7/70 = 1,31 Poznamenáme,že kalibrace dílčích součinitelů γ se opírá o velké množství obdobně stanovených hodnot. Závěrem uveďme, že rozbor spolehlivosti se může buď omezit na jeden prvek nebo může zahrnovat konstrukční systém jako celek. Velké množství různých postupů a jejich rozsahů vedlo ke klasifikaci spolehlivostních metod do tří základních úrovní: - úroveň III zahrnuje postupy přesné integrace a stanovení pravděpodobnosti pro celý konstrukční systém na základě teoretických modelů základních veličin; - úroveň II se opírá o stanovení pravděpodobnosti poruchy ve vybraných návrhových bodech na mezi porušení, které jsou vyhledány iteračními postupy; - úroveň I se omezuje na ověření spolehlivosti prvků na základě dílčích součinitelů stanovených s ohledem na určené charakteristické hodnoty základních veličin. Nejnižší metoda úrovně I, která se často nazývá metoda dílčích součinitelů (nepřesně také často metoda mezních stavů), je základem současných zásad a pravidel pro navrhování konstrukcí v zemích U (podle urokódů) i jinde ve světě (v Č byla postupně zaváděná již po druhé světové válce). Uvedená klasifikace se uvádí také v přehledu spolehlivostních metod v urokódu 1 [1], kde je rovněž uveden diagram na obrázku 5.10, který zachycuje návaznosti jednotlivých metod a jejich vztah k metodě dílčích součinitelů. Pravděpodobnostní metody Předchozí metody mpirické metody FOM (úroveň II) xaktní metoda (úroveň III) Kalibrace Kalibrace Metoda návrhových hodnot (Ib) (Ia) Metoda dílčích součinitelů (Ic) (úroveň I) Kalibrace Obrázek 5.10. Přehled spolehlivostních metod. Podle obrázku 5.10 mohou být tedy ukazatele spolehlivosti metody dílčích součinitelů (úroveň I) získány trojím způsobem: - (Ia) kalibrací z historických a empirických metod; - (Ib) zjednodušenou metodou FOM prostřednictvím metody návrhových hodnot; 76
- (Ic) kalibrací z pravděpodobnostních metod. Současná generace urokódů se opírá především o metodu (Ia) s úpravami podle metody (Ic). Metoda návrhových hodnot (Ib) se uplatňuje především při navrhování pomocí zkoušek nebo ověřování spolehlivosti existujících konstrukcí. 77