Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Modely vyjednávání

Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Modely vyjednávání Anna Řezníčková A07143 5. 1. 2009

Obsah 1 Úvod...3 2 Modelování základních vztahů...3 3 Koncepce modelování vyjednávacího procesu...7 3.1 Koncepce užitku...7 3.2 Koncepce tlaku...9 3.3 Koncepce efektivních rozhodnutí... 11 3.4 Koncepce vytváření koalic... 13 2

1 Úvod Často používaným prostředkem pro dosažení konsensu při skupinovém rozhodování je vyjednávací proces. Pro účastníka není tak důležitá sama o sobě pozice, kterou dosáhne vyjednáváním, ale především jak tato pozice splňuje jeho zájmy. Některé zájmy účastníků mohou být společné a některé protichůdné. Jde o to vystihnout společné zájmy a při prosazování protichůdných zájmů pomocí vzájemných ústupků dojít k rozhodnutí přijatelnému pro všechny účastníky rozhodování. Rozhodující subjekty účastníci vyjednávání: jsou obdařeny tvořivostí a originalitou lidského myšlení, jejich dovednosti a schopnosti však nemohou být považovány za čistě subjektivní, ale mají na znalostech založené racionální vysvětlení. Při modelování vyjednávacího procesu se zaměřím zejména na určité koncepce vícekriteriálních modelů: Vícekriteriální modely vycházejí z reálného předpokladu, že o účastník hodnotí variantu podle několika kritérií, o porovnává tyto varianty podle dosažených cílových hodnot, každá varianta je ohodnocena několika cílovými hodnotami podle počtu použitých kritérií. Perspektivní se jeví kombinace vícekriteriálních modelů, které: komplexně hodnotí varianty, umožňují modelovat řadu vyjednávacích činností, a modelů založených na aplikaci umělé inteligence, které zabezpečí informace o ostatních účastnících vyjednávání. V oblasti technického zabezpečení to znamená propojení systémů na podporu rozhodování a expertních systémů jednotlivých účastníků, kteří jsou navzájem propojeni komunikačním systémem. V další části se budeme zabývat některými koncepcemi pro modelování vyjednávacího procesu s více kritérii, které odpovídají různým typům chování účastníků při vyjednávání. 2 Modelování základních vztahů Modelování vyjednávacího procesu je obtížné, proto vezmeme jednoduché modely a jen základní vztahy, které mohou sloužit jako základ pro složitější typy vyjednávání. Předpokládejme, že se vyjednávání zúčastní r účastníků. Označme X rozhodovací prostor pro daný vyjednávací proces. Prvky tohoto prostoru jsou přípustná rozhodnutí x X, což jsou vektory, jejichž složky představují parametry hledaného rozhodnutí. 3

Rozhodovací prostor je zadán omezeními. Tato omezení budeme nazývat tvrdá omezení a během vyjednávání není možné je měnit. Z rozhodovacího prostoru X má být vybráno kompromisní rozhodnutí x*, které má co nejlépe vyhovovat všem účastníkům vyjednávání. Každý účastník hodnotí rozhodnutí podle několika kritérií a srovnává tato rozhodnutí podle dosažených cílových hodnot. Kritéria jsou ve tvaru kriteriálních funkcí, o kterých budeme pro jednoduchost značení předpokládat, že všichni účastníci chtějí všechny své kriteriální funkce maximalizovat. Každý z r účastníků vyjednávání může mít různý počet kritérií, označme f 1 (x), f 2 (x),, f r (x) vektorové kriteriální funkce, které transformují rozhodnutí x z rozhodovacího prostoru X do vektorů cílových hodnot y 1, y 2,, y r z cílových prostorů jednotlivých účastníků Y 1, Y 2,, Y r. Účastníka vyjednávání ani tak nezajímá, které z přípustných rozhodnutí x je vybráno, ale zajímají jej dosažené cílové hodnoty. Tyto dosažené cílové hodnoty však tají před ostatními účastníky vyjednávání, aby neprozradil svoje zájmy a svoji strategii. Vlastní vyjednávání a výměna informací mezi účastníky se děje v rozhodovacím prostoru. Někdy se transformují vektory dosažených cílových hodnot pomocí funkcí užitku jednotlivých účastníků u 1 (y 1 ), u 2 (y 2 ),, u r (y r ) na hodnotu užitku, kterou přinášejí účastníkům. Tyto hodnoty užitku, které můžeme společně zachytit jako bod v tzv. užitkovém prostoru U, jsou důsledkem výběru rozhodnutí x. V následujícím Obr. 1 jsou schematicky znázorněny vztahy zavedených pojmů pro případ dvou účastníků vyjednávání, z nichž každý má dvě kritéria (z důvodů znázornění v rovině). u 1. u U u 2 Y 1 y 1. Y 2. x f 2 f 1 X Obr. 1. y 2 X x U u 1, u 2 f 1 (x), f 2 (x) Y 1, Y 2 y 1, y 2 rozhodovací prostor přípustné rozhodnutí užitkový prostor funkce užitku jednotlivých účastníků vektorové kriteriální funkce cílový prostor jednotlivých účastníků vektory cílových hodnot 4

Dosažené hodnoty užitku by měl účastník tajit před ostatními účastníky ze stejných důvodů jako dosažené cílové hodnoty. Zprostředkovatel: subjekt, jehož cílem je dosažení konsensu účastníků, nemá žádné vlastní zájmy. Jestliže ve vyjednávacím procesu existuje zprostředkovatel, je možné, aby v zájmu usnadnění vyjednávacího procesu znal cílové prostory anebo užitkový prostor. Reprezentací procesu vyjednávání jsou dynamické modely: Jednotlivým časovým okamžikům odpovídají stavy vyjednávání, v nichž průběžná společná reprezentace problému ukazuje na stupeň shody nebo konfliktu mezi účastníky vyjednávání. Vývoj reprezentace problému může být popsán jako hledání shody pomocí výměny informací mezi účastníky. Vyjednávací proces je dynamický a předpokládejme, že probíhá v diskrétních časových okamžicích t=1, 2,, T. V okamžiku T je proces dokončen nalezením kompromisního rozhodnutí x*. Vyjednávací proces v čase může být modelován: o jako postupná změna tzv. vyjednávacího prostoru, což je podmnožina rozhodovacího prostoru obsahující akceptovatelná rozhodnutí účastníků v daném okamžiku vyjednávání, až je dosažen jednoprvkový vyjednávací prostor, o postupným generováním kompromisních návrhů a protinávrhů, které by postupně konvergovaly ke kompromisnímu rozhodnutí. Kromě tvrdých omezení, která definují rozhodovací prostor X, můžeme uvažovat i tzv. měkká omezení, která jsou definována každým účastníkem samostatně. Jako měkká omezení budeme brát omezení hodnot kriteriálních funkcí aspiračními úrovněmi, které se mění během vyjednávání. Množina měkkých omezení na počátku vyjednávání (v čase t=0) má tvar X(0) = x; f (x) b (0), i = 1, 2,, r. Levé strany omezení jsou vektorové kriteriální funkce účastníků a pravé strany jsou vektory aspiračních hodnot těchto funkcí v časovém okamžiku 0. Vyjednávací prostor na počátku vyjednávání (t=0) můžeme definovat jako průnik rozhodovacího prostoru X, tj. množiny tvrdých omezení, a množiny měkkých omezení X(0) X (0) = X X(0). 5

Pro každého účastníka vyjednávání můžeme formulovat množinu akceptovatelných rozhodnutí, což je množina rozhodnutí, která jsou přípustná a akceptovatelná z hlediska požadovaných aspiračních úrovní jeho kriteriálních funkcí. Na počátku vyjednávání má tvar X (0) = x; x X, f (x) b (0), i = 1, 2,, r. Potom můžeme definovat vyjednávací prostor na počátku vyjednávání jako průnik množin akceptovatelných rozhodnutí všech účastníků vyjednávání X (0) = X (0) X (0) X (0) X (0) Obr. 2 Na Obr. 2 je vyznačen vyjednávací prostor jako průnik množin akceptovatelných rozhodnutí dvou účastníků. Jestliže je vyjednávací prostor X (0): jednobodová množina Potom je vyjednávací problém triviální. Tento bod je hledaným kompromisním rozhodnutím x*=x (0). prázdný Účastníci vyjednávání musí snížit některé nebo všechny aspirační úrovně kriteriálních funkcí, ale účastníci jsou zainteresováni na snížení některých kritérií více a na jiných méně. obsahuje více než jeden bod Každý bod vyjednávacího prostoru je akceptovatelný pro všechny účastníky vyjednávání, avšak různé body jsou hodnoceny různě, protože splňují kritéria účastníků na různé úrovni. Další vyjednávání probíhá v časových okamžicích t=1, 2,, T a mělo by vést k nalezení kompromisního rozhodnutí x*, to znamená k dosažení jednobodového vyjednávacího prostoru X (T) =x*. 6

3 Koncepce modelování vyjednávacího procesu Modelování vlastního vyjednávání může být založeno na různých koncepcích, vycházejících z různých představ o chování účastníků vyjednávání. 3.1 Koncepce užitku Koncepce užitku je založena na maximalizaci užitku z dosaženého konsensu pro všechny účastníky vyjednávání. Modelem preference rozhodnutí účastníka je tzv. funkce užitku, která agreguje všechna kritéria do jediného kritéria u(y)=u(f(x)). Hodnota funkce užitku pro nějaké rozhodnutí x se nazývá užitkem tohoto rozhodnutí. Účastník se při vyjednávání chová tak, že se snaží dosáhnout maxima užitku z vybraného rozhodnutí. Pro konstrukci funkce užitku existuje řada metod, které se dělí na dvě třídy: Do 1. třídy patří metody založené na odhadu dílčích užitků buď na základě ocenění z hlediska každého kritéria zvlášť, nebo za pomoci kompenzačních metod, využívajících koeficientů substituce nebo indiferenčních křivek. Metody 2. skupiny vycházejí ze srovnání a uspořádání vybraných rozhodnutí a odhadu funkce užitku co nejvíce konzistentní s tímto uspořádáním. Účastníků vyjednávání je r a všichni si zkonstruují svoje funkce užitku, které označíme u 1 (y 1 ), u 2 (y 2 ),, u r (y r ). Předpokládejme, že na začátku vyjednávání (t=0) je vyjednávací prostor X 0 (0) neprázdný a obsahuje více než jeden bod. Potom vyjednávání založené na koncepci užitku vychází z toho, že každý účastník vyjednávání chce maximalizovat svůj užitek z nalezeného kompromisního rozhodnutí x*. Z vlastního pohledu každého účastníka vyjednávání je nejlepším rozhodnutím takové rozhodnutí x, které maximalizuje užitek na množině rozhodnutí z vyjednávacího prostoru. Takováto rozhodnutí jednotlivých účastníků označme x 1, x 2,,x r. Kdyby platilo x 1 = x 2 = = x r, bylo by toto rozhodnutí hledaným kompromisním rozhodnutím x*. Tato situace však většinou nenastane a dochází ke konfliktu mezi zájmy účastníků vyjednávání. Pokud označíme: maximální užitky pro jednotlivé účastníky u, u,, u, užitek, který plyne z hodnot kriteriálních funkcí na původní aspirační úrovni y i =b i (0) označíme pro jednotlivé účastníky vyjednávání u, u,, u, 7

potom vyjednávání spočívá ve změnách aspiračních úrovní užitku u i (t) v okamžicích t= 1, 2,, T. pro aspirační úrovně užitku musí platit u u (t) u. Množiny akceptovatelných rozhodnutí jsou potom definovány takto X (t) = x; x X, u (y ) u (t), i = 1, 2,, r. Snížením aspiračních úrovní užitku se rozšiřuje množina akceptovatelných rozhodnutí a zvyšováním aspiračních úrovní užitku se zužuje. Cílem změn množin akceptovatelných rozhodnutí je získat jednobodový průnik x* v čase T. Kompromisní rozhodnutí leží na hranici původního vyjednávacího prostotu X 0 (0). Při konfrontaci ve vyjednávání může být konstruována tzv. skupinová funkce užitku jako rostoucí funkce individuálních užitků jednotlivých účastníků vyjednávání u(u 1, u 2,, u r ). Jestliže je skupinová funkce užitku stanovena explicitně, potom kompromisní rozhodnutí x* najdeme řešením jednokriteriální úlohy maximalizace skupinové funkce užitku na původním vyjednávacím prostoru. Jinak dostáváme vícekriteriální úlohu maximalizace všech funkcí užitku účastníků na vyjednávacím prostoru. Pro nalezení kompromisního rozhodnutí je tak možné použít interaktivní postup, ve kterém si účastníci vyměňují informace o vzájemných ústupcích. Na obr. 3 znázorníme maximalizaci funkcí užitku dvou účastníků a nalezení kompromisního rozhodnutí. u 1 (y 1 )=u u 1 (y 1 )=u 1 (T) u 1 (y 1 )=u u 2 (y 2 )=u u 2 (y 2 )=u 2 (T) u 2 (y 2 )=u Obr. 3 Změny aspiračních úrovní je možné sledovat v užitkovém prostoru na Obr. 4. 8

Obr. 4 3.2 Koncepce tlaku Tato koncepce vyjednávání předpokládá, že účastníci jsou pod vnitřním i vnějším tlakem nuceni k určitým ústupkům, až je dosaženo společného konsensu. Účastník je pod tlakem, jestliže např.: chce dosáhnout kompromisu, je si vědom ceny za opožděné rozhodnutí, ostatní účastníci ovlivňují jeho chování atd. Tlak je pojem, který zahrnuje vnitřní hodnoty a vnější vlivy a určuje rozhodovací proces. Předpokládejme, že tlak neovlivňuje výběr rozhodnutí přímo, ale prostřednictvím množiny podmínek, které musí rozhodnutí splňovat. Potom můžeme uvažovat účinky tlaku, které se projeví ve změnách množiny měkkých omezení. To vede ke změně množin akceptovatelných rozhodnutí účastníků a změn vyjednávacího prostoru a může to vést k nalezení kompromisu. Jestliže účastníci jsou při výběru rozhodnutí ovlivněni jen vnitřními tlaky, potom je možné uvažovat přístupy založené na teorii užitku. Koncepce tlaku uvažuje vnitřní i vnější tlaky a je v tomto smyslu obecnější a můžeme pomocí ní popsat problémy, kdy koncepce užitku selhává. Na rozdíl od teorie užitku můžeme pomocí koncepce tlaku určit jako kompromisní rozhodnutí i vnitřní bod původního vyjednávacího prostoru X 0 (0). Tlaky působí na aspirační úrovně kriteriálních funkcí, které se mění v časových okamžicích t=1, 2,, T, a tím se mění i množiny akceptovatelných rozhodnutí X (t) = x; x X, f (x) b (t), i = 1, 2,, r. Změny aspiračních úrovní jsou popsány vektorem hodnot p i (t) v čase t (p i (0)=0) b (t) = b (t 1) + p (t). 9

Vektor p i (t) popisuje změny aspiračních úrovní i-tého účastníka v okamžiku t. Vektor p(t) popisuje změny všech aspiračních úrovní u všech účastníků v okamžiku t. Tento vektor má tolik složek, kolik je dohromady všech měkkých omezení. Spojením bodů p(0), p(1),, p(t) dostaneme spojitou vektorovou funkci p(t) definovanou na intervalu <0,T>, kterou nazveme trajektorie tlaků. Zavedené pojmy a prostředky umožňují popsat a analyzovat několik typů vyjednávání. Účastník vyjednávání může měnit měkká omezení v závislosti na stavu vyjednávání. Je také možné popsat účinnost vyjednávání použitím dynamiky vyjednávání. Dvě vyjednávání se stejnou trajektorií tlaků mohou mít různou dynamiku. Jeden typ vyjednávání může měnit aspirační úrovně několikrát tak, že celkové změny jsou shodné se změnami, které se udělají v druhém typu vyjednávání najednou. Pro některé jednoduché typy vyjednávání existují jediné trajektorie tlaků dosažení kompromisního rozhodnutí. U složitějších typů vyjednávání mohou různé trajektorie tlaků vést ke stejnému kompromisnímu rozhodnutí. Jako příklad uvažujme vyjednávání dvou účastníků, z nichž každý mění aspirační úrovně jedné kriteriální funkce. Na Obr. 5 je několik různých trajektorií tlaků, které vedou ke stejnému kompromisnímu rozhodnutí. p 2 (t) p 2 (T) (b) (a) (c) p 1 (T) p 1 (t) Obr. 5 Trajektorie (a) odpovídá vyjednávání s konstantními účinky tlaků. Trajektorie (b) reprezentuje vyjednávání s účinky tlaku nelineárně závislých na čase. Jestliže účastníci vyjednávání zvyšují i snižují aspirační úrovně, potom takovému typu vyjednávání odpovídá trajektorie (c). 10

Jestliže je trajektorie tlaků: známa předem, dostáváme vyjednávací model se spojitým časem. Potom je cílem nalézt kompromisní rozhodnutí a zkonstruovat nejefektivnější dynamiku pro nalezené kompromisní rozhodnutí. neznáma, je možné vytvořit interaktivní procedury pro nalezení kompromisního rozhodnutí, kdy tlak je brán jako externí faktor. Je také možné analyzovat již ukončené vyjednávací procesy. V tomto případě je znám dosažený kompromis i vyjednávací dynamika a je možné stanovit trajektorii tlaků a analyzovat faktory, které ji ovlivňují. Vyjednávání za obecných předpokladů vede ke složitým vyjednávacím modelům a obtížným vyjednávacím procedurám. Tyto potíže mohou být částečně překonány užitím jednodušších modelů k aproximaci vyjednávacího procesu v reálných problémech. Jedním z nejjednodušších modelů je vyjednávání s kontaktními účinky tlaku, které vychází z těchto předpokladů: 1) Jestliže původní vyjednávací prostor: je prázdný X 0 =, potom během vyjednávacího procesu účinky tlaku odpovídají snižování aspiračních úrovní pro všechny účastníky je neprázdný X, potom účinky tlaku odpovídají zvyšování aspiračních úrovní. 2) Snižování nebo zvyšování je konstantní v čase p i (t)=d i. Za těchto předpokladů získáme kompromisní rozhodnutí řešením jedné úlohy nebo posloupností úloh lineárního programování, jestliže omezení a kriteriální funkce jsou lineární. 3.3 Koncepce efektivních rozhodnutí Ústupky ve vyjednávání činí účastníci změnou cílových hodnot ve svých cílových prostorech. Transformace cílových hodnot do rozhodovacího prostoru X však značně pozmění jejich význam a i význam činěných ústupků. Protivníci nemusí správně pochopit význam ústupků, mohou se domnívat, že se naopak jedná o posílení pozice účastníka. Zprostředkovatel, který zná cílové prostory účastníků, může poradit účastníkům, jak může být ústupek pochopen ostatními účastníky. Zprostředkovatel tak může potom navrhnout adekvátní změny v ústupcích. Účastníci vyjednávání mohou ověřit změny v rozhodovacím prostoru X použitím určité míry vzdálenosti mezi navrženými rozhodnutími účastníků. Budeme předpokládat, že se jedná o vyjednávání dvou účastníků, v další části uvedeme zobecnění na větší počet účastníků. Účastník nemusí dělat ústupky, pokud navržené 11

rozhodnutí je blíže k rozhodnutí vybranému protivníkem, než to rozhodnutí, které tento účastník navrhl dříve. Existují tudíž dva různé pohledy na ústupky: jeden pohled je z hlediska účastníka, který tento ústupek činí, druhý pohled je z hlediska protivníka. Účastník může brát nové rozhodnutí jako ústupek, ale vzdálenost mezi tímto rozhodnutím a rozhodnutím protivníka neklesá, ale vzrůstá. Když účastník snižuje vzdálenost mezi navrženými rozhodnutími, potom se dostává blíže ke kompromisu. Není důležité, zda účastník učinil ústupek v jeho vlastním cílovém prostoru, nebo zda je jeho návrh ohodnocen jako ústupek podle ostatních účastníků. To vede ke koncepci efektivního rozhodnutí. Předpokládejme, že: účastník 1 vybral rozhodnutí x 1 a účastník 2 na to reagoval návrhem x 2. Rozhodnutí x se nazývá efektivním vzhledem k rozhodnutí x 1, jestliže vzdálenost mezi x a x 2 je menší než vzdálenost mezi x 1 a x 2 : d(x, x 2 ) < d(x 1, x 2 ). Jestliže účastníci důsledně vybírají efektivní rozhodnutí, potom může být dosaženo konsensu mezi účastníky vyjednávání. Pro výběr efektivních rozhodnutí je možné zkonstruovat několik modelů. Jedním z modelů je minimalizace vzdálenosti d(x, x ) při podmínkách: 1) Varianta rozhodnutí x je přípustná 2) Cílové hodnoty zabezpečené rozhodnutím x nejsou horší než cílové hodnoty při rozhodnutí x 1. Řešení takové úlohy může účastníkovi 1 poskytnout efektivní rozhodnutí, aniž by byl nucen učinit ústupky ve vlastním cílovém prostoru. Na Obr. 6 je znázorněna výměna názorů mezi dvěma účastníky a nalezení efektivního rozhodnutí. Obr. 6 12

3.4 Koncepce vytváření koalic Jestliže existují více než dva účastníci vyjednávání, potom se stává analýza návrhů kompromisů a ústupků obtížnější. Kompromis může být dosažen vytvořením silné koalice, která nutí ostatní účastníky dělat odpovídající ústupky. Vytváření koalice může být předmětem vnitřního vyjednávání a ostatní účastníci se mohou pokoušet rozpustit koalici tím, že učiní odpovídající ústupky. Vytváření a rozpouštění koalic je jedním z klíčových momentů vyjednávání s více účastníky. Kombinovaný kompromis Pro porovnání návrhů jednotlivých účastníků je navržena jejich agregace. Kombinovaný kompromis je agregované rozhodnutí, které splňuje vlastnosti: 1) Rozhodnutí je přípustné. 2) Rozhodnutí je co nejblíže všem kompromisním návrhům účastníků. Každý účastník může porovnávat vzdálenosti mezi kompromisními návrhy a kombinovaným kompromisem v rozhodovacím prostoru. Účastník si může promítnout kombinovaný kompromis do vlastního cílového prostoru. Tyto informace pak může účastník použít při další strategii. Jestliže někteří účastníci nabídnou nové kompromisní návrhy, potom je možné určit nový kombinovaný kompromis. Při vybírání efektivních rozhodnutí se snižuje vzdálenost mezi kompromisními návrhy účastníků a kombinovaným kompromisem. Koncepce kombinovaného kompromisu je vhodná pro situace, kdy účastníci netvoří koalice a jejich strategie jsou podřízeny dosažení konsensu. Agregovaný protivník Podobnou koncepcí je koncepce agregovaného protivníka. Pro každého účastníka je možné určit agregovaného protivníka, což je rozhodnutí, které splňuje vlastnosti: 1) rozhodnutí je přípustné, 2) rozhodnutí je co nejblíže všem kompromisním návrhům účastníků s výjimkou daného účastníka. Účastník může srovnávat rozhodnutí agregovaného protivníka v rozhodovacím prostoru i jeho odraz ve vlastním cílovém prostoru. Tímto způsobem je možné převést vyjednávání s více účastníky na vyjednávání se dvěma účastníky a použít i stejné postupy. Oba přístupy, kombinovaný kompromis i agregovaný protivník, usnadňují analýzu ústupků, protože zjednodušují situaci a poskytují účastníkům prostředek pro ověření změn u ostatních účastníků. 13

Pomocí množiny akceptovatelných rozhodnutí účastníka můžeme rozdělit ostatní účastníky na spojence a protivníky podle toho, zda jejich kompromisní návrhy patří nebo nepatří do této množiny. Spojenci jsou bráni jako členové koalice, protivníci jsou zařazení do agregovaného protivníka. Jako potenciální kandidáti na koalici jsou uvažování účastníci, jejichž kompromisní návrhy jsou v zadané vzdálenosti od množiny akceptovatelných rozhodnutí. Změnami množiny akceptovatelných rozhodnutí účastníka a změnami kompromisních návrhů ostatních účastníků mohou vznikat nové koalice. Ověřování teorie na příkladech, které by plně využívaly nabídnutého teoretického aparátu je výpočetně obtížné. Bylo by potřeba řešit posloupnosti optimalizačních úloh. Proto místo tohoto postupu zvolíme experimentální postup, kdy účastníci vyjednávání si mohou sami experimentálně vyzkoušet svoje techniky při prosazování vlastních zájmů. Použitá literatura: [1] Modely a metody rozhodování, Petr Fiala, Praha 2006, ISBN 80-245-0622-X 14