Řešení úloh 1. kola 48. ročníku FO. Kategorie E a F 1. úloha: a) Závislost rychlosti vlaku na čase 30 5 0 v/m/s 15 5 0 0 50 0 150 00 t/s b)s 1 = v p1.t 1 = 7,5.0 = 150 m c) s = s 1 + s + s 3 + s 4 = v p1.t 1 + v p.t + v 3.t 3 + v p4.t 4 = 150 + 0. + 5.90 + 1,5.60 = 3350 m d) s 3350 v p = = = 18,6 m / s = 67 km / h t 180
-. úloha: 5. poschodí je ve výšce: 6 + 3,5.4 = 90 m b) Potenciální energie tíhová šroubováku se přemění na energii kinetickou; platí 1 m. v m. g. h odtud v =. h. g = 1800 = 4 m / s = 150 km / h c) h 90 v = = = 0,6 m / s =, km / h t 150 d) 35. patro je ve výšce h 1 = 6 + 3,5.34 = 15 m Potřebná rychlost při odpálení svisle vzhůru v 1 =. h 1. g = 50m / s < 65 m/s (Lze vypočítat, že golfista musí odpálit míček alespoň pod úhlem 51 ) e) Řekněme, že ostrov má tvar kruhu. Pak poloměr tohoto kruhu je S r = π = 640 = 14,3 km π ; protože město Singapur je na kraji ostrova, musí pozorovatel dohlédnout do vzdálenosti 8 km, což je za dobré viditelnosti docela určitě možné. Bránit ve výhledu asi bude nejvyšší hora ostrova o výšce 155 m. (Lze spočítat, že když vezmeme v úvahu zakřivení zemského povrchu a budeme předpokládat, že je dokonale hladký, stačila by rozhledna o výšce 16 m stojící uprostřed ostrova k jeho úplnému přehlédnutí) 3. úloha Přibližné vzdálenosti mezi městy v kilometrech: Londýn 900 Berlín 0 Kyjev 3880 Islamabád 760 Dillí 130 Kalkata 560 Kuala Lumpur 300 Singapur. Celkem: 90 km = 6785 mil (britských) Zpáteční cesta: Singapur 300 Kuala Lumpur 5560 Dubai 080 Damašek 880 Ankara 760 Bukurešť 640 Budapešť 0 Vídeň 350 Mnichov 650 Rotterdam 30 Londýn. Celkem: 11760 km = 7307 mil (britských) b) Doba letu Londýn Singapur byla: 19h 50-6h na časové posunutí = 11h50 Doba letu Singapur Londýn byla: 6h46 + 6h na časové posunutí = 14h46 c) průměrná rychlost tam: 90km v p = = 93km / h 11,83h průměrná rychlost zpět: 11760km v p = = 796km / h 14,77h
4. úloha: - 3 - a) Singapur: 3 50 E (východní délky); 1 N (severní šířky) Pontianak: 9 0 E; 0 N Samarinda: 117 E; 0 30 N Sandakan: 118 E; 5 50 N Bandar Seri Begawan: 114 50 E; 4 50 N b) Singapur Pontianak: 60 km Pontianak Samarinda: 870 km Samarinda Sandakan: 7 km Sandakan Bandar Seri Begawan: 360 km Bandar Seri Begawan Singapur: 180 km s 870 t = = = 3, 48h c) doba letu Pontianak Samarinda: v 50 přestávka 1,5h s 7 t = = =, 84h Samarinda Sandakan: v 50 přestávka 1,5h s 360 t = = = 1, 44h Sandakan Bandar Seri Begawan: v 50 přestávka 1,5h t s 830 = = = 3, h Bandar Seri Begawan Pontianak: v 50 3 Celková doba letu: 1,08h + 4,5h na přestávky = 16,58 h. Filmování se stihnout v jednom dni nedá. d) Když se režisér musí vrátit přímo do Singapuru, poletí s 180 t = = = 5, 1h Bandar Seri Begawan Singapur: v 50, což je téměř stejná doba, jako doba letu přes Pontianak. Dorazí tak do Singapuru dříve o dobu přestávky tj. o 1,5 h.
- 4 5. úloha: b) V době rovnodennosti je výška Slunce nad obzorem v pravé poledne 90-50 1 = 39,8 Délka stínu x = h.tg 50 1 = 180 m c) Při slunovratu je výška Slunce nad obzorem v pravé poledne: 90-50 1 + 3 7 = 63 15 Délka stínu x = h. tg 6 45 = 75 m d) Z podobnosti trojúhelníků; poměr délky svisle postavené tyče a jejího stínu musí být stejný, jako poměr výšky vysílače k délce jeho stínu. 190 tgα = = 0,76 α = 38 e) Délka stínu vysílače je 190 m. 50. To odpovídá výšce Slunce nad obzorem 38. Výšku stožáru nelze přímo změřit, souřadnicový systém je spojen se zemským povrchem. 6.úloha: b) 1 palec(inch) = 0,054 m Rozměry desek: 70.,54 = 177,8 cm 150.,54 = 381 cm 0,.,54 = 0,51 cm Délka oblouku, který přísluší úhlu 160 je 160. π. r = 41, 86m 180 41,86 = 3,5 Po obvodu lze rozložit 1,778 tedy 3 desek, mezi kterými budou asi 4 cm mezery. Desky jsou ovšem rovinné, nikoli prohnuté do oblouku. Z rovnoramenného trojúhelníku o základně rovné šířce desky a rameni o velikosti poloměru válce plyne, že α 0,889 α = 0,0593 = 3, 4 160 = 3,5 sin = 15 α = 6,8 Desek tedy může být 6,8. c) Objem desky V = 1,778.3,81.0,051 = 0,0345 m 3 Hmotnost desky: m = ρ.v = 600.0,0345 = 89,8 kg pro desku ze skla Takovou desku by 4 lidé měli unést. d) 3 skleněných desek váží: 3.89,8 kg = 065,4 kg Stačí tedy jedno auto o nosnosti 5 tun.
- 5 7. úloha: a) 16 km/h = 45 m/s Závislost rychlosti letadla na čase 50 40 30 v/m/s 0 0 0 5 15 0 5 30 35 t/s b) Dráha s = v p.t =,5.30 = 675 m. Dráhu lze rovněž určit jako obsah trojúhelníka v grafu závislosti rychlosti na čase. c) 864 km/h = 40 m/s Jestliže letadlo zvyšuje svojí rychlost každou sekundu o 1,5 m/s, pak rychlosti 40 m/s 40 = 160s dosáhne za 1,5 od startu. d) Celková dráha od startu: s = v p.t =.160 = 19 00m Dráha ve vzduchu: l = 19 00 675 = 18 55 m Letadlo se bude nacházet ve výšce: h = l.sin18 = 1855.sin18 = 575 m 8. úloha: Možný objem vody v bazénu: 1,8. 6. 1,5 = 13,5 m 3 Objem vody v listopadu: 1,8. 6. 0,5 = 5,4 m 3. a) 3 hl vody 80 C teplé dodají teplo Q = m.c.δt = 300.4180.80 = 1,003. 8 J = 0,3 MJ Q 0,3 = = 300,3kg Je to vlastně skupenské teplo tání, takže v bazénu bylo m = lt 0,334 ledu. m 300,3 = = 0,030m = 3,0cm Tloušťka ledu: x = ρ. a. b 917.1,8.6. P. t 4.0.6.3600 = = 3 b) Hmotnost ledu, který roztaje bude m = l t 334000 kg ledu m 3 = = 0,031m = 3,1 cm Tloušťka ledu: x = ρ. a. b 917.1,8.6 c) Podle kalorimetrické rovnice: m 1.c.(t 1 t) = L t + m.c.(t t 0 )
- 6 Všechen led roztaje a voda v bazénu se ohřeje na teplotu 8 m1. c. t1 Lt 450.4180.80 1,003. = =,05 C t = ( m1 + m ). c (450 + 5400).4180 d) Po 6 hodinách se začne ohřívat voda. Vařiče dodají teplo Q = P.t = m.c.δt. Voda se ohřeje o Δt = P. t m. c 4.0..3600 = = 1, 5 C 5400.4180. úloha: Příklad měření: a) Délky vlaků metodou Měření: 180m; 960m;7m;830m. b, c). π.6371 km = 111, 19km Na 1 severní šířky připadá 360 na 1 připadá 1,85 km, na 1 připadá tedy 30,9 m Délka 49,5 rovnoběžky je: l =.π.r.cosϕ =.π.6371.cos49,5 = 5 997,5 km Na 1 připadá 7, km, na 1 připadá 1,036 km na 1 připadá tedy 0,1 m. Vlak 1 3 4 N1/ sev.šířka 1.konce 49 8 50,9 49 9 8,5 49 8 51,3 49 8 54,8 N/ sev.šířka.konce 49 8 47,0 49 8 46,9 49 8 35,8 49 8 36,7 E1/ vých.délka 17 0 3,4 17 19 54,0 17 0 1,0 17 0 14,9 1.konce E/ vých.délka 17 0 30,0 17 0 9,0 17 0 46,9 17 0 45,0.konce Úhlový rozdíl šířek 3,9 1,6 15,5 18,1 ΔN/ Úhlový rozdíl délek 6,6 35,0 5,9 30,1 ΔE/ Severojižní,31 667,44 478,95 559,9 souřadnice ΔN/m Východozápadní 13,66 703,5 50,6 605,0 souřadnice ΔE/m Délka vlaku 180 970 7 80 N + E m d) Kdyby tato situace opravdu nastala, museli bychom odečíst nebo přičíst vzdálenost, kterou vlak urazí, než stihneme udělat značku, tedy např. 15.5 = 75 m.
- 7 11.úloha: Plocha 1 zrnka : 0,5 mm. a) Plocha Sahary je 8. 6 km = 8. 18 mm 3. 18 zrnek. 3 Vrstvu bude tvořit = 18 750 zrnek, tedy asi 9,4 m. 18 3. Výsledek se zdá celkem reálný. b) 3 Doba odkapávání: = 17 s = 1,9. let, tedy 19 miliard let, což je doba větší, než 6 stáří celého vesmíru. c) m = ρ.v.n A = ρ.a 3.N A = 000.(0,0005) 3. 3 = 1,5. 17 kg >> 0,09 kg ( 18 x) 1. úloha: a) Z rovnosti vztlakové a tíhové síly: a.b.x.ρ.g = m.g + V.ρ l.g m + V. ρl 1500 + 1.15.1,.9 x = = = 1,068m ρ. a. b 30.15.1 To je 89%. m + m1 + V. ρl 1500 + 1800 + 1.15.1,.9 b) x = = = 1,078m ρ. a. b 30.15.1 To je 90%. Polárníci nebudou mít problémy s namočením, pokud je ovšem vrtulník nesmete proudem vzduchu. c) m = V.ρ - V.ρ l = 15.1.1,.(30 9) = 5 90 kg 13.úloha: m1 ρ1. l. S 8960 Poměr hmotností měděného a hliníkového vodiče: = = = 3, 3 m ρ. l. S 700 l ρ. R 0,045 Poměr odporu hliníkového a měděného vodiče: = S = = 1, 58 R l 1 0,0155 ρ1. S 14.úloha: V rybníce je 6 m 3 = 1 cm 3 0,35g NaCl obsahuje 0,35. 58,5 3 1 = 3, molekul; 1 3, v každém cm 3 8 tedy bude = 600 milionů iontů Na + 1 b) 3 molekul NaCl má hmotnost 58,5 g ; 8 molekul má tedy hmotnost 58,5 14 = 5,85. g. 15 58,5 6 c) Hmotnost jedné molekuly NaCl je = 9,75. kg 3