Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou podélnou deformaci ε = σ E Poissonovův zákon [poměr poměrného příčného zúžení a poměrného podélného prodloužení konstantní a záporně vzatý podíl obou veličin pak nazýváme Poissonovo číslo μ = ε př [-] (pro ocel v elastické oblasti μ 0.3)] ε př = μ ε odkud lze vyjádřit také poměrné příčné zúžení pomocí axiálního napětí ε př = μ σ E ε U většiny konstrukčních materiálů dochází při namáhání tahem k zužování průřezu vzorku a tehdy nabývá poměrné příčné zúžení záporné hodnoty a Poissonovo číslo hodnoty kladné. V praxi často potřebujeme popsat chování materiálu i při víceosé napjatosti v pružné oblasti, tehdy musíme použít rozšířenou verzi Hookeova zákona tzv. obecný Hookeův zákon. Pro jeho získání je možné využít tzv. princip superpozice: Princip superpozice umožňuje složitou úlohu rozdělit na jednodušší části, tyto vyřešit a znovu sečíst do výsledku. Výsledek získaný součtem rozdělených úloh je shodný s výsledkem řešení celé úlohy. Obecný Hookeův zákon zahrnuje vztahy mezi složkami tenzoru napjatosti a složkami tenzoru deformace. K sestavení rovnic pro normálové složky tenzoru deformace využijeme Hookeův zákon a Poissonův zákon. Uvažujme nejprve platnost principu superpozice napětí (obr.1). Trojosé namáhání normálovými složkami tenzoru napjatosti v elementární krychli rozložíme na tři samostatné případy s tahovým zatížením A, B, C (jednou v ose x, jednou v ose y a jednou v ose z). Obr.1 Princip superpozice napětí
Vysvětleme si řešení pro složku ε x. U jednotlivých zátěžných stavů vyjádříme podélnou poměrnou deformaci ve směru x, přičemž aplikujeme Hookeův či Poissonův zákon dle toho, zda se jedná o podélnou respektive příčnou deformaci, tedy Nyní využijeme principu superpozice deformace. Poměrnou deformaci ε x vyjádříme součtem deformací pro jednotlivé zátěžné stavy a po úpravě Analogicky lze postupovat i ve zbývajících dvou směrech y, z. Vztahy lze získat také záměnou indexů Kompletní obecný Hookeův zákon pro elastický izotropní materiál získáme doplněním o tři rovnice Hookeova zákona pro smyk, tedy Vzhledem k tomu, že platí Vliv teploty Změna teploty se projeví u normálových složek tenzoru deformace, proto můžeme obecný Hookeův zákon pro (elastický izotropní materiál) přepsat do tvaru
Hlavní roviny a hlavní napětí Matematicky lze dokázat, že v každém bodě tělesa lze nalézt takovou polohu elementární krychličky, kdy jsou smyková napětí nulová. Označíme-li osy pravoúhlého souřadnicového systému ztotožněné s třemi hranami elementární krychle 1, 2, 3, bude platit τ 12 = τ 13 = τ 23 = 0. Na stěnách této elementární krychličky působí tedy pouze normálová napětí σ 1,σ 2,σ 3. Roviny, na nichž je smykové napětí rovno nule, se nazývají hlavní roviny. V každém bodě tělesa existují tři hlavní roviny. Normálová napětí v hlavních rovinách (σ 1,σ 2,σ 3) se nazývají hlavní napětí. Tenzor napjatosti, který, jak bylo uvedeno dříve, vyjadřuje stav napjatosti v bodě tělesa, lze potom psát ve tvaru σ 1 0 0 T σ = [ 0 σ 2 0 ] 0 0 σ 3 Dle velikosti hlavních napětí rozlišujeme tři základní typy napjatosti: Jednoosá (přímková) napjatost (obr.2a), kdy jsou dvě z hlavních napětí nulová, tedy σ 1 0; σ 2 = 0; σ 3 = 0. K jednoosé napjatosti dochází ve zkušební části vzorku u tahové zkoušky (při ideálním upnutí vzorku) až do vzniku lokálního zúžení (krčku). Dvojosá (rovinná) napjatost (obr.2b), která je definována podmínkou, že jedno z hlavních napětí je nulové, tedy σ 1 0; σ 2 0; σ 3 = 0. Příkladem rovinné napjatosti je těleso rovinného tvaru, u kterého jsou dva rozměry větší než třetí, nebo tenkostěnná tlaková nádoba. Trojosá (prostorová) napjatost (obr.2c), kdy žádné z hlavních napětí není rovno nule. Obr. 2 Základní typy napjatosti Je zvykem po stanovení velikosti hlavních napětí tato seřadit tak, že platí σ 1<σ 2<σ 3.
Dvojoosá napjatost Případ rovinné napjatosti je charakteristický tím, že všechny nenulové složky tenzoru napjatosti působí v jedné rovině. Element tělesa lze tedy znázornit opět jako čtverec (obr.1). Uvažujme šikmý řez vedený pod úhlem ρ, přičemž je tento úhel vynesen ve stejném smyslu jako v předchozí sekci. Obr.1 Rovinná napjatost Předpokládejme, že jsou známy složky napětí σ x,σ y, xy. Pro normálová a smyková napětí je zavedena znaménková dohoda v souladu se smyslem zavedení smykového napětí u jednoosé napjatosti (obr.2). Normálová napětí jsou kladná, jestliže jsou tahová, a záporná, jestliže působí tlakově. Smyková napětí jsou kladná tehdy, jestliže tvoří dvojici ve směru pohybu hodinových ručiček, záporná pro směr opačný. Obr. 2 Znaménková dohoda pro normálové a smykové napětí u dvojosé napjatosti Úlohou je určit složky napětí na obecně skloněné rovině. Aplikujeme tedy metodu řezu. Element (obr. 3) rozdělíme řezem vedeným pod úhlem α na dvě části a dále se zabýváme pouze částí vlevo od řezu. Účinek odstraněné části nahradíme hledanými složkami napětí σ α a τ α v rovině (obr.7). Obr. 3 Aplikace metody řezu
Složky napětí určíme z podmínek rovnováhy psanými pro normálový směr a tečný směr k rovině, tedy F n = 0 a po dosazení σ α ds (σ x cos α τ xy sin α)ds cos α (σ y cos α τ yx sin α)ds sin α = 0. Uvážením, že τ xy = τ yx a po vydělení ds dostaneme σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α 2τ xy sin α cos α. Z podmínky rovnováhy pro směr tečný po dosazení F t = 0 a úpravě τ α ds (σ x sin α +τ xy cos α)ds cos α + (σ y cos α + τ yx sin α)ds sin α = 0 τ = (σ x σ y ) sin α cos α + τ xy (cos 2 α sin 2 α). Zavedením dvojnásobného argumentu 2α vztahy cos 2 α = 1 (1 + cos 2α), 2 sin 2 α = 1 (1 cos 2α), 2 dostaneme po úpravě 2 sin α cos α = sin 2α a σ α = 1 2 (σ x + σ y ) + 1 2 (σ x σ y ) cos 2α τ xy sin 2α τ α = 1 2 (σ x σ y ) sin 2α + τ xy cos 2α. Při požadavku numerického určení polohy hlavních rovin a velikosti hlavních napětí si musíme uvědomit jejich definici. Potřebujeme tedy určit úhel α= 0, při kterém normálová napětí nabývají extrémní hodnoty. Přesněji chceme znát polohu hlavních rovin. Z podmínky pro extrém obdržíme dσ α dα = 0 tg2α =. σ x σ y Z tvaru rovnic je zřejmé, že se jedná opět o parametrické rovnice kružnice. Zvolíme kartézský souřadnicový systém. Na osu úseček budeme opět vynášet normálové napětí σ a na svislou osu smykové napětí. 2τ xy