ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Řešené příklady ze stavební fyzky Šíření tepla konstrukcí, tepelná blance prostoru a vlhkostní blance vzduchu v ustáleném stavu doc. Dr. Ing. Zbyněk Svoboda Ing. Jří Novák, Ph.D. Praha 04 Evropský socální fond Praha a EU: Investueme do vaší budoucnost
Obsah Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu... 3. Základní teore... 3.. Šíření tepla vedením... 3.. Šíření tepla prouděním... 4..3 Šíření tepla sáláním... 5..4 Dlouhovlnné sálání mez povrchy těles... 7..5 Dlouhovlnné sálání prot asné obloze... 9..6 Sluneční záření... 9..7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutnách... 0..8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součntel prostupu tepla.....9 Vlv tepelných mostů... 3..0 Teplo procházeící konstrukcí... 3.. Rozložení teploty v konstrukc... 3.. Elektrcká analoge... 5. Základní modelové příklady... 0.3 Komplexní modelové příklady... 7.3. Obvodová stěna... 7.3. Obvodová stěna... 3.3.3 Obvodová stěna 3... 36.3.4 Obvodová stěna 4... 4 Tepelná blance prostoru v ustáleném stavu... 49. Základní teore... 50.. Měrný tepelný tok prostupem tepla... 50.. Měrný tepelný tok větráním... 5..3 Průměrný součntel prostupu tepla budovy... 5..4 Tepelná blance prostoru... 5..5 Potřeba tepla na vytápění bez vlvu tepelných zsků... 53. Modelové příklady... 54 3 Vlhkostní blance vzduchu v ustáleném stavu... 6 3. Základní teore... 6 3.. Vlastnost vzduchu nasyceného vodní párou... 6 3.. Vlastnost běžně vlhkého vzduchu... 6 3..3 Vlhkostní blance vzduchu v uzavřeném prostoru... 6 3..4 Teplota rosného bodu a povrchová kondenzace vodní páry... 6 3. Modelové příklady... 63 Přílohy... 7 Příloha Emsvta vybraných materálů a povrchových úprav (dlouhovlnné tepelné záření)... 7 Příloha Pohltvost slunečního záření pro vybrané materály a povrchové úpravy... 7
Šíření tepla konstrukcí v ustáleném stavu. Základní teore.. Šíření tepla vedením Hustota tepelného toku vedením e obecně defnována Fourerovým zákonem q cd x, y, z [W/m ] (.) x y z kde λ e součntel tepelné vodvost ve W/(m.K) θ teplota ve C. Pro ednorozměrné šíření tepla vedením přechází rovnce (.) na tvar q cd d [W/m ] (.) dx přčemž samotnou velkost hustoty tepelného toku lze vyádřt vztahem q cd [W/m ] (.3) d kde Δθ e rozdíl teplot na obou površích materálu (Obr. -) ve C d tloušťka materálu ve směru tepelného toku v m. θ směr tepelného toku pro θ > θ θ d Obr. -: Tepelný tok materálem s rozdílným povrchovým teplotam Časové a prostorové rozložení teploty e popsáno rovncí vedení tepla v obecném tvaru Q c (.4) x x y y z z t kde Q e velkost vntřního zdroe tepla (produkce tepla v materálu) ve W/m 3 ρ obemová hmotnost materálu v kg/m 3 c měrná tepelná kapacta materálu v J/(kg.K)
t čas v s x,y,z souřadnce bodu, v němž se určue teplota θ v m. Pro neednodušší ednorozměrné šíření tepla v ustáleném stavu přechází rovnce (.4) na tvar d 0 (.5) dx který lze vyřešt pro homogenní oblast analytcky a získat rovnc pro lneární průběh teploty v materálu ( x) x [ C] (.6) d kde θ e teplota na -tém povrchu homogenního materálu (Obr. -) ve C d celková tloušťka homogenního materálu ve směru tepelného toku v m x vzdálenost od povrchu s teplotou θ v m. θ θ Přrozené proudění e vyvoláno rozdílem hustoty vzduchu v důsledku rozdílné teploty. Pokud e např. teplota vzduchu nžší než teplota povrchu, bude se vzduch př povrchu ohřívat, eho hustota bude klesat a vzduch začne v tenké vrstvě př povrchu proudt směrem vzhůru. K přrozenému proudění doθ d x Obr. -: Lneární průběh teploty v homogenním materálu v ustáleném stavu.. Šíření tepla prouděním Pro analýzu šíření tepla stavební konstrukcí e významné především šíření tepla prouděním mez povrchem konstrukce a okolním vzduchem. Hustotu tepelného toku prouděním z povrchu konstrukce do okolí lze určt vztahem q c h c s a [W/m ] (.7) kde h c e součntel přestupu tepla prouděním ve W/(m K) θ s teplota povrchu konstrukce ve C teplota okolního vzduchu ve C. θ a Rozlšuí se dva případy proudění vzduchu př povrchu konstrukce: přrozené proudění vynucené proudění
chází především na vntřních površích konstrukcí. Součntel přestupu tepla prouděním na vntřním povrchu h c se v technckých výpočtech obvykle uvažue hodnotam,5 W/(m.K) pro vodorovný tepelný tok; 5,0 W/(m.K) pro tepelný tok nahoru a 0,7 W/(m.K) pro tepelný tok dolů. V případě potřeby (např. pokud očekáváme neobvyklý rozdíl mez teplotou povrchu a okolního vzduchu) můžeme pro odhad součntele přestupu tepla přrozeným prouděním na vntřním povrchu konstrukcí použít zednodušený vztah: 4 c a s h [W/(m.K)] (.8) směr proudění s a > s směr tepelného toku směr tepelného toku s a < s směr proudění Obr. -3: Přestup tepla přrozeným prouděním. s e teplota povrchu konstrukce a e teplota vzduchu Vynucené proudění není vyvoláno rozdílem teplot, ale např. větracím zařízením, větrem apod. Pro výpočty ve stavební tepelné technce e důležté proudění větru na vněším líc konstrukce. Součntel přestupu tepla pro vněší povrch konstrukce h ce e možné vypočítat v závslost na rychlost větru takto: hce 4 4 v [W/m ] (.9) kde v e rychlost větru v m/s. Obvykle se uvažue rychlost větru v = 4 m/s a součntel přestupu tepla h ce = 0 W/m.K. K přrozenému proudění na vněším líc konstrukce by mohlo doít př úplném bezvětří, takový předpoklad e ovšem pro technckou prax nereálný...3 Šíření tepla sáláním Hustota tepelného toku sáláním emtovaného (vyzářeného) povrchem tělesa se obecně stanoví ze Stefanova-Boltzmannova zákona q r T 4 [W/m ] (.0) kde ε e emsvta povrchu tělesa σ Stefanova-Boltzmannova konstanta (5,67.0-8 W/(m K 4 )) T absolutní (termodynamcká) teplota povrchu tělesa v K. Př dopadu na povrch tělesa může být část dopadaícího sálavého toku odražena, část pohlcena a část může tělesem procházet (Obr. -4): qr qref qa qt [W/m ] (.) kde q r e hustota tepelného toku sáláním dopadaící na povrch tělesa ve W/m
q ref odražená složka dopadaícího sálavého toku ve W/m q a pohlcená složka dopadaícího sálavého toku ve W/m q t procházeící složka dopadaícího sálavého toku ve W/m Velkost ednotlvých složek závsí na pohltvost, odrazvost a propustnost: q ref q [W/m ] (.) r q q a t q [W/m ] (.3) r r q [W/m ] (.4) kde e odrazvost (bezrozměrná) pohltvost (bezrozměrná) propustnost (bezrozměrná) Ze vztahu (.0) vyplývá, že pro odrazvost, pohltvost a propustnost vždy platí: [W/m ] (.5) q r q ref = q r q t = q r q a = q r povrch materál těleso Obr. -4: Rozklad tepelného toku sáláním př dopadu na povrch tělesa Emsvta, odrazvost a pohltvost sou vlastnostm povrchu tělesa, propustnost e vlastností materálu. Emsvta a odrazvost závsí na vlnové délce záření (sálání). Povrchy s vysokou teplotou emtuí záření s krátkou vlnovou délkou, povrchy s nízkou teplotou emtuí záření s delším vlnovým délkam. Ve stavební tepelné technce proto rozlšueme: krátkovlnné sluneční záření (Slunce má teplotu přblžně 5 800 K) dlouhovlnné sálání, které emtuí povrchy př běžných teplotách, které sou o řád nžší než teplota Slunce (okolo 300 K) Pro dlouhovlnné sálání ve výpočtech stavební tepelné technky platí: emsvta povrchu e rovná eho pohltvost ( = ) emsvta (tedy pohltvost) se pro většnu stavebních materálů uvažue 0,9 - výmkou sou např. leštěné kovy bez povrchové úpravy, echž emsvta může být nžší než 0, stavební materály nepropustné pro dlouhovlnné sálání ( = 0) Pro krátkovlnné sluneční záření platí: s emsvtou se nepracue (edným zdroem slunečního záření e Slunce; ntenzta slunečního záření se měří, není potřeba počítat pomocí vztahu (.0) pohltvost slunečního záření a pohltvost (emsvta) př dlouhovlnném sálání se pro stený povrch často lší pohltvost slunečního záření dobře korelue s barvou povrchu (emsvta ne) - světleší povrchy maí menší pohltvost slunečního záření než tmavší
Př výpočtech tepelné výměny dlouhovlnným sáláním e potřeba důsledně dávat pozor na to, aká teplota se má dosadt do výpočetních vztahů zda teplota v Celsově stupnc (v této publkac se značí a udává se ve C) nebo tzv. absolutní (termodynamcká) teplota (v této publkac se značí a udává se v K). Pro absolutní teplotu platí: T 73,5 [K] (.6)..4 Dlouhovlnné sálání mez povrchy těles V reálné stuac dochází ke vzáemnému sálání povrchů několka těles. Vzáemná sálavá výměna závsí neen na teplotě a emsvtě povrchu těles, ale také na ech prostorovém uspořádání. Výpočet hustoty tepelného toku sáláním e v obecných případech komplkovaný. Pro výměnu tepla sáláním mez dvěma povrchy platí: Φ A h ( T T ) [W] (.7), r kde, e tepelný tok sáláním z povrchu na povrch ve W A plocha povrchu v m h r součntel přestupu tepla sáláním ve W/(m.K) T absolutní teplota -tého povrchu v K. Součntel přestupu tepla sáláním mez dvěma povrchy se vypočítá takto: h r 3 4 T, A F A, [W/(m.K)] (.8) kde, ε T e střední absolutní teplota sálaících povrchů v K emsvta -tého povrchu F, poměr sálání z povrchu na povrch A plocha -tého povrchu Střední absolutní teplota sálaících povrchů se vypočítá takto: T T T, [K] (.9) Poměr sálání F, vyadřue, aká část sálavého toku vyzářeného z plochy A (povrch ) dopadá přímo (bez odrazů) na plochu A (povrch ). Poměr sálání e geometrcká velčna, eí hodnota může být nanevýše rovná. Závsí na velkost, tvaru, vzdálenost a úhlu, který svíraí sálaící povrchy. Výpočet poměru sálání pro obecné případy e složtý, v lteratuře e však možné nalézt vztahy pro typcké stuace, které se v prax často opakuí. Např. pro rovnný povrch na Obr. -5, který e zcela obklopen povrchem, a dohromady s ním vytváří uzavřenou plochu, platí F, = (veškerý sálavý tepelný tok vyzářený povrchem dopadá bez odrazu na povrch ). Totéž platí pro dva rovnoběžné, rovnné povrchy. Výměna tepla sáláním mez dvěma rovnoběžným povrchy e zvláštním a důležtým případem. Tepelný tok sáláním mez dvěma rovnoběžným povrchy se stanoví obecně ako 4 4,, A T T [W] (.0) kde A e plocha povrchů v m (platí A = A = A ) T teplota -tého povrchu v K emsvta vzáemného sálání obou povrchů, která se určí ze vztahu ε,
, [-] (.) kde ε e emsvta -tého povrchu. A A A A Obr. -5: Zvláštní případy dvou povrchů, pro které e poměr sálání F, =. Vlevo dva povrchy, které tvoří uzavřenou plochu. Vpravo dva rovnoběžné povrchy. V techncké prax se místo obecného vztahu (.0) používá častě upravený vztah, h r A [W] (.) kde h r e součntel přestupu tepla sáláním ve W/(m.K) θ teplota -tého povrchu ve C. Součntel přestupu tepla sáláním h r lze obecně vyádřt ako T 4 4 h r, [W/(m.K)] (.3) T ale obvykle se v technckých výpočtech uvažue zednodušeně konstantní hodnotou 4,6 W/(m.K), která e použtelná pro povrchy s běžnou emsvtou 0,9. Tepelný tok sáláním mez dvěma rovnoběžným povrchy se můžeme pochoptelně vypočítat také pomocí vztahů (.7) a (.8). Pro dva rovnoběžné povrchy platí: F, [-] (.4) A A A [m ] (.5) Když dosadíme (.4) a (.5) postupně do (.8) a (.7), dostáváme po úpravách: 3, Φ Ah ( T T ) A 4 T T T [W] (.6), r, kde ε, e emsvta vzáemného sálání obou povrchů podle (.) T, střední absolutní teplota sálaících povrchů v K podle (.9).
..5 Dlouhovlnné sálání prot asné obloze Př asné, bezoblačné obloze mohou tělesa na zemském povrchu emtovat sálavý tepelný tok prot vrchním vrstvám atmosféry. Jasnou oblohu s tedy můžeme představt ako fktvní povrch s velm nízkou teplotou. Zdánlvou teplotu asné oblohy sky e možné odhadnout v závslost na teplotě venkovního vzduchu a takto: sky, 4 a pro vodorovný povrch [ C] (.7) sky, 5 [ C] (.8) pro svslý povrch a Př zatažené obloze se teplota oblohy uvažue shodná s teplotou venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mez tělesy na zemském povrchu a vrchním vrstvam atmosféry): sky [ C] (.9) a..6 Sluneční záření Sluneční záření e rovněž formou sálavého tepelného toku. Hustotu tohoto sálavého toku budeme v této publkac nazývat ntenztou slunečního záření I [W/m ]. Sluneční záření se skládá z přímé a dfuzní složky. Intenztu obou složek e možné změřt, ech součet se nazývá celková (globální) ntenzta slunečního záření. V této publkac se pracue pouze s celkovou ntenztou slunečního záření ako s okraovou podmínkou převzatou např. z meteorologckých záznamů. Sluneční záření se po dopadu na povrch nepropustného tělesa částečně odrazí a zbývaící část e na povrchu tělesa pohlcena ve formě tepla ( = 0; stavební materály kromě skla a průsvtných plastů). Absorbované teplo se může dále šířt: vedením uvntř tělesa prouděním a dlouhovlnným sáláním z povrchu tělesa do okolního prostředí Po dopadu slunečního záření na vněší povrch tělesa z propustného materálu (sklo, průsvtné plasty) e část sálavého toku odražena, část propuštěna přímo a část pohlcena ve formě tepla. Absorbované teplo se může dále šířt: prouděním a dlouhovlnným sáláním z vněšího povrchu tabule do venkovního prostředí vedením od vněšího povrchu tabule k vntřnímu a z vntřního povrchu dále prouděním a dlouhovlnným sáláním do vntřního prostředí Energe slunečního záření se tedy skrz skleněnou tabul šíří (Obr. -6): přímo, ve formě krátkovlnného sálání (propuštěné sluneční záření) nepřímo, ve formě tepla předaného z vntřního povrchu tabule I [W/m ] q ref = q r q ae q a = q r propustný prvek sálavý tok teplo q t = q r q a Obr. -6: Rozklad slunečního záření př prostupu propustným prvkem (např. skleněnou tabulí)
Poměr mez ntenztou slunečního záření dopadaícího na vněší povrch tabule a hustotou tepelného toku předanou přímo nepřímo do vntřního prostředí se nazývá celková propustnost slunečního záření g [-]: g q q I t a [-] (.30) kde g e celková propustnost slunečního záření q t hustota tepelného toku sáláním (sluneční záření), které prostupue přímo q a hustota tepelného toku, prostupuící nepřímo I ntenzta slunečního záření dopadaící na vněší povrch Steným způsobem se defnue celková propustnost slunečního záření pro zasklívací ednotky (dvosklo, trosklo), rozklad slunečního záření e složtěší. Celková propustnost slunečního záření e závslá na vlastnostech skla, eho povrchu, úhlu dopadu slunečního záření a podmínkách, které ovlvňuí přestup tepla z vntřního povrchu do vntřního prostředí. Výrobc průsvtných prvků uváděí hodnoty g stanovené pro standardzované podmínky...7 Šíření tepla v nevětraných vzduchových dutnách V nevětraných vzduchových dutnách se teplo šíří vedením, prouděním sáláním. Celkovou hustotu tepelného toku z ednoho povrchu ohrančuícího vzduchovou dutnu na druhý lze určt ako součet dílčích hustot tepelných toků q q q q [W/m ] (.3) cd c r kde q cd e hustota tepelného toku vedením ve W/m q c hustota tepelného toku prouděním ve W/m q r hustota tepelného toku sáláním ve W/m. Jednotlvé hustoty tepelných toků sou defnovány ako q cd [W/m ] (.3) d c c q h [W/m ] (.33) r r q h [W/m ] (.34) takže celkovou hustotu tepelného toku nevětranou vzduchovou dutnou lze vyádřt také vztahem q h c hr [W/m ] (.35) d kde e součntel tepelné vodvost nehybného vzduchu (obvykle se uvažue hodnotou 0,05 W/(mK)) d tloušťka vzduchové dutny ve směru tepelného toku v m teplota -tého povrchu ohrančuícího vzduchovou dutnu ve C. θ
..8 Hustota tepelného toku konstrukcí, tepelný odpor a součntel prostupu tepla Prostup tepla konstrukcí standardně zahrnue ednak šíření tepla vedením samotnou konstrukcí (resp. šíření tepla vedením, sáláním a prouděním v nevětraných vzduchových dutnách v konstrukc) a ednak dvoí přestup tepla mez povrchem konstrukce a okolním vzduchem (Obr. -7). přestup vedení přestup s se e d x Obr. -7: Průběh teploty v ednovrstvé konstrukc s vyznačením přestupu a vedení tepla Na vntřním vněším povrchu konstrukce dochází k přestupu tepla prouděním a sáláním. Pro vntřní povrch lze hustotu tepelného toku prouděním a sáláním vyádřt ako q s h s s [W/m ] (.36) kde h s e součntel přestupu tepla na vntřním povrchu konstrukce ve W/(m.K) teplota vntřního vzduchu ve C teplota vntřního povrchu konstrukce ve C. s Pro hustotu tepelného toku na vněším povrchu se použe analogcký vztah q se h se se e [W/m ] (.37) kde h se e součntel přestupu tepla na vněším povrchu konstrukce ve W/(m.K) e teplota vněšího vzduchu ve C teplota vněšího povrchu konstrukce ve C. se Hustotu tepelného toku vedením uvntř konstrukce lze vyádřt vztahem q cd s se [W/m ] (.38) d který platí v této formě pro ednovrstvou konstrukc. V ustáleném stavu e hustota tepelného toku ve všech místech konstrukce (tedy na eím povrchu) shodná. Platí tedy q cd q q [W/m ] (.39) s se
Do vztahu (.38) lze proto dosadt vyádření povrchových teplot ze vztahů (.36) a (.37) a získat vyádření hustoty tepelného toku konstrukcí ve tvaru q e d h h s se [W/m ] (.40) Obrácené hodnoty součntelů přestupu tepla se obvykle nahrazuí tepelným odpory př přestupu tepla na vntřním a na vněším povrchu konstrukce: R s [m K/W] (.4) h s R se [m K/W] (.4) h se a vztah (.40) pak přechází do tvaru q e d Rs R se [W/m ] (.43) Tepelné odpory př přestupu tepla R s a R se se v techncké prax uvažuí smluvním hodnotam. Pro odpor př přestupu tepla na vntřním povrchu R s se používaí hodnoty 0,3 W/(m.K) pro vodorovný tepelný tok; 0,0 W/(m.K) pro tepelný tok vzhůru a 0,7 W/(m.K) pro tepelný tok dolů. Pro odpor př přestupu tepla na vněším povrchu R se se používaí hodnoty 0,04 W/(m.K) pro povrchy v kontaktu s venkovním vzduchem; 0,3 W/(m.K) pro povrchy uvntř větrané dutny ve dvouplášťových stěnách; 0,0 W/(m.K) pro povrchy uvntř větrané dutny ve dvouplášťových střechách a 0,0 W/(m.K) pro povrchy v kontaktu se zemnou. Podíl tloušťky a součntele tepelné vodvost defnue tepelný odpor konstrukce, který lze pro obecně vícevrstvou konstrukc vyádřt ako d R [m K/W] (.44) kde d e tloušťka vrstvy konstrukce v m součntel tepelné vodvost vrstvy konstrukce ve W/(m.K). Součet tepelného odporu a tepelných odporů př přestupu tepla se označue ako tepelný odpor př prostupu tepla R T R R R [m K/W] (.45) s se Jeho obrácená hodnota vyadřue základní tepelně techncký parametr stavební konstrukce - součntel prostupu tepla, pro který se standardně používá vztah U R T R s R R se [W/(m.K)] (.46) Dosadíme-l odvozené velčny do vztahu (.40), můžeme hustotu tepelného toku konstrukcí vyádřt také ako
q e e U e [W/m ] (.47) Rs R Rse RT..9 Vlv tepelných mostů Obsahue-l konstrukce vrstvy, v nchž se vyskytuí pravdelně se opakuící (systematcké) tepelné mosty, e nutné ech vlv zohlednt. Pro ruční výpočet e vhodné orentační zohlednění vlvu tepelných mostů s pomocí váženého průměru, kterým se vypočte součntel prostupu tepla vrstvy s tepelným mosty A eq [W/(m.K)] (.48) A kde A e průřezová plocha -tého materálu v charakterstckém výseku v m součntel tepelné vodvost -tého materálu v charakterstckém výseku ve W/(m.K)...0 Teplo procházeící konstrukcí Množství tepla procházeící konstrukcí (tepelná ztráta č zsk) se stanoví ze vztahu e AU [W] (.49) kde A e plocha konstrukce v m. Množství tepla, které prode konstrukcí za určtý časový úsek, se určí ako t t Q AU [Wh] (.50) e kde t e délka časového úseku v h. Zadá-l se délka časového úseku v sekundách, vyde množství tepla ve Ws, tedy v J... Rozložení teploty v konstrukc Průběh teploty v konstrukc v ustáleném stavu lze stanovt buď grafcky, nebo výpočtem. Grafcká metoda vyžadue vytvoření grafu, na ehož svslou osu se vynášeí teploty a na vodorovnou osu tepelné odpory ednotlvých vrstev konstrukce a tepelné odpory př přestupu tepla. Průběh teploty e reprezentován přímkou spouící známou teplotu vntřního vzduchu a známou teplotu venkovního vzduchu e. Teplota v lbovolném místě konstrukce se odečte přímo z grafu (Obr. -8). Pro analytcké řešení se vyde z ž ednou použtého pravdla o shodné hustotě tepelného toku ve všech místech konstrukce. Hustota tepelného toku celou skladbou musí být tedy stená ako hustota tepelného toku přes část konstrukce od nteréru k bodu x: q q x [W/m ] (.5) což lze vyádřt také ve tvaru x R R s x e R R R s se [W/m ] (.5)
kde R x e tepelný odpor od vntřního povrchu k místu x v m.k/w. x e R R s R R R 3 R se R x Obr. -8: Grafcké stanovení průběhu teploty v konstrukc o 3 vrstvách Úpravou vztahu (.5) lze získat rovnc pro průběh teploty v konstrukc v ustáleném stavu R R U R R e x s x e s x [C] (.53) Rs R Rse z níž lze odvodt vztah pro přímý výpočet vntřní povrchové teploty s e Rs U Rs e [C] (.54) Rs R Rse a vněší povrchové teploty e se Rs R U e R s R [C] (.55) R R R s se kde R e celkový tepelný odpor konstrukce v m.k/w. Na závěr zbývá upozornt, že pro výpočty vntřní povrchové teploty se v techncké prax používá odpor př přestupu tepla na vntřní straně konstrukce R s = 0,3 m.k/w pro výplně otvorů a R s = 0,5 m.k/w pro ostatní konstrukce.
.. Elektrcká analoge Všmněme s podobnost mez vztahy pro výpočet hustoty tepelného toku vedením, prouděním a sáláním: q cd R [W/m ] (.56) q c R [W/m ] (.57) c q r R [W/m ] (.58) r kde R e tepelný odpor vrstvy nebo konstrukce v m.k/w R c tepelný odpor př přestupu prouděním v m.k/w tepelný odpor př přestupu sáláním v m.k/w R s Pro tepelné odpory př přestupu platí: R R c r [m.k/w] (.59) h c [m.k/w] (.60) h r kde h c e součntel přestupu tepla prouděním v W/m.K h r součntel přestupu tepla sáláním v W/m.K Vztahy (.56) až (.58) sou podobné Ohmovu zákonu pro elektrcký obvod (Obr. -9): U I G U [A] (.6) R R kde I e ntenzta elektrckého proudu v A G elektrcká vodvost v S (Semens, S = m kg s 3 A = Ω ) U elektrcké napětí (rozdíl elektrckých potencálů) ve V R elektrcký odpor v Ω elektrcký potencál v uzlu ve V I R U Obr. -9: Schéma elektrckého obvodu, Ohmův zákon Analoge mez elektrckým proudem v elektrckém obvodu a šířením tepla e zřemá. Intenzta elektrckého proudu mez dvěma uzly elektrckého obvodu závsí na odporu a rozdílu potencálu mez uzly. Čím větší e rozdíl potencálu (napětí), tím větší e ntenzta elektrckého proudu. Se zvyšuícím se odporem ntenzta elektrckého proudu klesá. To samé platí pro vztah mez tepelným tokem (nebo hustotou tepelného toku), rozdílem teploty a tepelným odporem (Tab. -).
Tab. -: Elektrcká analoge Elektrcká velčna elektrcký potencál [V] elektrcké napětí U = - [V] elektrcký odpor R [Ω] elektrcká vodvost G R [S] Tepelná velčna teplota [ C], T [K] rozdíl teplot = [ C], T = T T [K] tepelný odpor R [m.k/w] (tepelný odpor vrstvy, souvrství, konstrukce, odpor př přestupu tepla nebo odpor př prostupu tepla) obrácená hodnota tepelného odporu K [W/(m.K)]: obrácená hodnota tepelného odporu vrstvy, souvrství nebo konstrukce K R součntel přestupu tepla (obrácená hodnota odporu př přestupu tepla) K h R součntel prostupu tepla (obrácená hodnota odporu př prostupu tepla) K U RT ntenzta elektrckého proudu U I G U [A] R R hustota tepelného toku q K R [W/m ] tepelný tok A A K [W] R Elektrcká analoge pomáhá př řešení tepelných problémů. Umožňue přehledné, schématcké zobrazení problému a záps matematckého modelu pro eho řešení. Tepelný problém s můžeme představt ako elektrcký obvod sestavený z větví, které se spouí v uzlech. Větve s tepelným odpory a dalším prvky podle Tab. - se uspořádaí tak, že každá reprezentue určtý způsob šíření tepla nebo cestu pro šíření tepla (např. přestup tepla sáláním na vntřním povrchu v modelu stěny nebo prostup tepla oknem v modelu budovy Obr. -0). Uzly reprezentuí místa se známou (předepsanou) nebo neznámou teplotou - např. povrch konstrukce, rozhraní mez vrstvam konstrukce nebo teplotu vzduchu v místnost. Pro uzel v elektrckém obvodu platí, že součet ntenzt elektrckého proudu, které vstupu í do uzlu e rovný součtu ntenzt vystupuících v uzlu (první Krchhoffův zákon). To samé platí v ustáleném stavu pro tepelné toky vstupuící a vystupuící z uzlu ech součet e rovný nule a teplota v uzlu se nemění. V neustáleném stavu nemusí být součty vstupuících a vystupuících tepelných toků navzáem sobě rovné. V uzlu se akumulue teplo, což se proeví změnou teploty v čase. Změna teploty e úměrná tepelné kapactě, kterou e potřeba uzlu přřadt. Tato pravdla sou klíčová pro řešení tepelných problémů, protože umožňuí sestavt tepelné blance v ednotlvých uzlech. Řešení problémů v neustáleném stavu není do této publkace zařazeno. Informace e zde uvedena pro úplnost.
4 Q sol s přestup tepla vedení stěnou se přestup tepla e 3 R s R R se Q sol R T R T s se e R T3 e R T4 Obr. -0: Příklady tepelných problémů zobrazených pomocí elektrcké analoge. Vlevo prostup tepla stěnou. Vpravo tepelná blance budovy. Tab. - Základní prvky elektrcké analoge Prvek Matematcký vztah Grafcká značka uzel Φ 0 uzel s kapactou (pro výpočty v neustáleném stavu) d Φ C d t C odpor/vodvost Φ A A K R R,K předepsaná teplota = 0 předepsaný tepelný tok (do uzlu) = 0 0 Složtá schémata tepelných problémů s více odpory zapoeným sérově nebo paralelně e možné postupně zednodušovat podle pravdel známých z teore elektrckých obvodů (Tab. -3). To umožňue zednodušt matematcký model složtých problémů.
Tab. -3: Pravdla pro úpravy obvodů Případ Schéma před úpravou Schéma po úpravě Odpory/vodvost zapoené sérově R,K R,K R N,K N R,K N N R R n n N... K K K K N Odpory/vodvost zapoené paralelně Více předepsaných teplot Více předepsaných tepelných toků do ednoho uzlu R,K R,K R,K R N,K N R,K R,K R N,K N N... R R R R N N K K n N K K R,K n n n N ekv Kn n K n R K ekv ekv Předepsaná teplota s vodvostí a předepsaný tok do ednoho uzlu N R 0,K 0 0 Φ ekv N Φ n R 0,K 0 n ekv 0 ekv Φ 0 K 0 0 V tepelných problémech řešených ve stavební tepelné technce e často potřeba vypočítat neznámé teploty. Př výpočtu v ustáleném stavu e možné postupovat např. takto: určí se známé velčny určí se neznámé teploty analyzue se tepelné chování řešeného systému a eho součástí pokud e to potřeba, zavedou se zednodušuící předpoklady pro řešení problému
sestaví se schéma (model) problému pomocí elektrcké analoge e-l to možné, schéma se zednoduší pomocí známých pravdel, každá neznámá teplota však má mít ve schématu svů uzel pro každý uzel s neznámou teplotou se sestaví blance tepelných toků - rovnce, která říká, že součet tepelných toků do uzlu se rovná součtu tepelných toků z uzlu z blančních rovnc se sestaví soustava rovnc, eímž řešením sou neznámé teploty výsledek řešení se zkontrolue dosazením vypočítaných teplot zpět do blančních rovnc Podobným způsobem se může postupovat v případech, kdy neznámá není teplota, ale ná velčna, např. tepelný tok nebo tepelný odpor něakého prvku. Blanční rovnce se sestaví pro vhodně zvolené uzly tak, aby v nch fgurovaly všechny neznámé velčny. Příklad použtí elektrcké analoge Pro obvodovou stěnu z Obr. -0 se maí vypočítat povrchové teploty s a se. Známé velčny: vntřní teplota = 0 C odpor př přestupu tepla na vntřním povrchu R s = 0,3 m.k/w tepelný odpor stěny R = 3 m.k/w odpor př přestupu tepla na vntřním povrchu R se = 0,04 m.k/w venkovní teplota e = -0 C Neznámé velčny: teplota vntřního povrchu s teplota vněšího povrchu se Sestavíme blanc tepelných toků pro uzly, které reprezentuí vntřní a venkovní povrch stěny. Blance tepelných toků pro vntřní povrch hustota tepelného toku z uzlu do uzlu s, q, se musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu s do uzlu se, q : q q ( s ) ( s se) R R s Blance tepelných toků pro venkovní povrch hustota tepelného toku z uzlu s do uzlu se, q, se musí rovnat hustotě tepelného toku z uzlu se do uzlu e, q 3 : q q ( s se) ( se e) R R 3 Soustava rovnc: ( s ) ( s se) R Rs ( s se) ( se e) R R se Soustava rovnc po úpravě: R R R R s s s se R R R R se s se se e se Soustava rovnc po dosazení číselných hodnot známých velčn: 3,3 0,3 60 s se 3,3 0,3 60 Řešení: s s = 8,8 C, se = -9,6 C se
. Základní modelové příklady Zadání Uvažute dvouvrstvou stěnu ze železobetonu tl. 00 mm a tepelné zolace tl. 50 mm (na vněší straně). Tepelná vodvost železobetonu e,6 W/(m.K) a tepelné zolace 0,05 W/(m.K). Na konstrukc působí trvale teplota vntřního vzduchu 30 ºC a teplota venkovního vzduchu 0 C. Vypočtěte teplotu na rozhraní vrstev konstrukce, hustotu tepelného toku tepelnou zolací a množství tepla, které prode celou konstrukcí za 0 h. Použte přtom hodnoty odporů př přestupu tepla, které se užívaí př výpočtu součntele prostupu tepla konstrukce. Řešení Jedná se o ustálený stav, takže hustota tepelného toku musí být ve všech místech konstrukce konstantní. Tepelný tok od vntřního povrchu do místa x musí být tedy stený ako tok od vntřního povrchu k vněšímu povrchu, t. q x = q. Tuto rovnc lze rozepsat do tvaru x R R s x e R R R s se a z ně pak vyádřt vztah pro výpočet teploty v lbovolném bodě konstrukce (vz také vztah (.53)): R R U R R e x s x e s x. Rs R Rse Hodnocená konstrukce má tepelný odpor R = 0,/,6 + 0,5/0,05 = 0,5 + 3 = 3,5 m K/W a součntel prostupu tepla U R R R /(0,3+3,5+,04) = 0,303 W/(m K). s se Tepelný odpor od vntřního povrchu k rozhraní vrstev e R x = 0,/,6 = 0,5 m K/W. Teplota na roz- 30 0,303 30 0 0,3 0,5 = 7,7 ºC. hraní vrstev e tedy x Hustota tepelného toku tepelnou zolací se stanoví ze vztahu se q, kde se e teplota vněšího povrchu konstrukce, x e teplota na rozhraní vrstev a R e tepelný odpor tepelné zolace. Dopočítat e třeba teplotu venkovního povrchu ze vztahu se 30 0,30330 00,3 3,5 = 0,4 ºC. Tepelný odpor R e ž známý (3,0 m K/W). 7,7 0,4 Tepelný tok tepelnou zolací e tedy q 9,0 W/m. 3 Alternatvně lze přímo dosadt do vztahu vztahu q U 0,30330 0 e x q R R s x x R 30 7,7 9,0 W/m a nebo dokonce do 0,3 0,5 9,0 W/m. Ve všech případech musí v daném případě vyít hustota tepelného toku shodně (drobné rozdíly ncméně as vznknou kvůl zaokrouhlování mezvýsledků). Měrné množství tepla procházeící konstrukcí za časovou ednotku se stanoví ze vztahu Q q t, kde t e čas. Protože v ustáleném stavu e tepelný tok skrz celou konstrukc stený ako tepelný tok skrz lbovolnou eí vrstvu, lze množství tepla přímo vypočítat ako Q 90 = 90 Wh/m.
Zadání V laboratorních podmínkách byly v ustáleném stavu uvntř a v okolí stavební konstrukce naměřeny teploty podle Obr. -. 0, m -0,0 ºC 0,5 ºC 6,5 ºC 0,0 ºC směr tep. toku Obr. -: Výsledky měření teplot uvntř a v okolí konstrukce v ustáleném stavu Tepelná vodvost materálu stěny byla současně stanovena ve výš 0,35 W/(m.K). Jaký e součntel prostupu tepla konstrukce? Řešení Ze známých údaů lze určt hustotu tepelného toku vedením uvntř konstrukce ako 0,35 qcd s se 6,5 0, 5 0,5 W/m. d 0,0 V ustáleném stavu e hustota tepelného toku konstrukcí shodná s hustotou tepelného toku eí lbovol- q U q. Hledaný součntel prostupu tepla konstrukce e nou částí. Můžeme proto psát e cd tedy U 0,5 0 0 q cd e 0,35 W/(m.K). Zadání Uvažute sendvčovou konstrukc o skladbě (od nteréru): - železobeton tl. 00 mm a tepelné vodvost,5 W/(m.K) - tepelná zolace o tepelné vodvost 0,05 W/(m.K) - železobeton tl. 50 mm a tepelné vodvost,5 W/(m.K). Jak velká musí být tloušťka tepelné zolace, aby byla teplota na rozhraní mez železobetonem tl. 00 mm a tepelnou zolací vyšší než 0 ºC, působí-l na konstrukc teplota vntřního vzduchu 0 ºC a teplota venkovního vzduchu -30 ºC? Uvažute ustálený stav a použte hodnoty odporů př přestupu tepla pro výpočet součntele prostupu tepla konstrukce. Řešení Vydeme z rovnce pro průběh teploty v konstrukc U R R, přčemž místo x, pro které se určue teplota θ x, bude rozhraní mez vntřní železobetonovou stěnou a tepelnou zolací. Podle zadání musí platt 0 ºC. x x e s x
Neprve určíme dílčí potřebné hodnoty. Tepelný odpor od vntřního povrchu k místu x e R x = 0,/,5 = 0,33 m K/W. Tepelný odpor př přestupu tepla na vntřní straně e R s = 0,3 m K/W a na vněší straně R s = 0,04 m K/W. Vyřešíme nerovnc 0 0 0 300,3 0,33 U a dostaneme požadavek pro součntel pro- 0 U, a tedy U,5 W/(m.K). 50 0,63 stupu tepla konstrukce ve tvaru Ze základního vztahu pro součntel prostupu tepla pak můžeme určt nenžší potřebný tepelný odpor konstrukce ako R R s Rse. Po dosazení konkrétních hodnot dostáváme další nerovnc U R 0,3 0,04 a posléze výsledek R 0,488 m K/W.,5 Protože souhrnný tepelný odpor vntřní a vněší železobetonové stěny e známý (R žb = 0,5/,5 = 0,67 m K/W), můžeme ž snadno určt mnmální potřebný tepelný odpor tepelné zolace ako R zol 0,3 m K/W a následně pak hledanou nenžší potřebnou tloušťku tepelné zolace ze vztahu d, a tedy d 0,06 m. zol R zol zol Zadání Uvažute stěnu s povrchem o emsvtě 0,9 a teplotě 0 ºC. Rovnoběžně se stěnou e ve vzdálenost 00 mm natažená hlníková fole o emsvtě 0, a teplotě 40 ºC. Jak velký bude tepelný tok sáláním mez oběma povrchy? Řešení povrchů ze vztahu Hustota tep. toku sáláním z povrchu na povrch se stanoví za předpokladu rovnoběžnost obou 4 4 q T, kde σ = 5,67.0-8 W/(m K 4 ), T e absolutní teplota povrchu v K a, Po dosazení získáme 0, 0,9,,, T, přčemž ε e emsvta povrchu. 0,099 8 4 a výsledný tepelný tok 5,670 0,099 40 73,5 0 73, q 5,5 W/m., 4 Zadání Uvažute dvouplášťovou stěnu o skladbě (od nteréru): - železobeton tl. 00 mm (tepelná vodvost,5 W/(m.K)) - tepelná zolace tl. 00 mm (tepelná vodvost 0,05 W/(m.K)) - větraná vzduchová vrstva tl. 00 mm
- obklad tl. 0 mm (tepelná vodvost 0,5 W/(m.K)). Předpokládete ustálený stav s teplotou vntřního vzduchu 30 ºC, teplotou ve větrané dutně ºC a teplotou venkovního vzduchu 0 ºC. Určete hustotu tepelného toku sáláním mez povrchy větrané dutny. Použte přtom hodnoty odporů př přestupu tepla, které se užívaí př výpočtu součntele prostupu tepla konstrukce. Řešení 4 4 Aby bylo možné vypočítat hustotu tepelného toku sáláním ze vztahu q T,, T nutné určt teploty povrchů větrané dutny. Pro teplotu venkovního povrchu tepelné zolace použeme e vztah se Rs R, do kterého dosadíme tepelný odpor vntřního pláště konstrukce R = 0,/,5 + 0,/0,05 =,33 m K/W. Teplota na vněším povrchu tepelné zolace pak vyde Rs R Rse 30 se 30 0,3, 33 3,5 ºC. Odpor př přestupu tepla na vněší straně R se 0,3,33 0,3 se v tomto případě uvažoval shodně s odporem na vntřní straně R s, protože de o povrch ve větrané vzduchové vrstvě a nkol přímo ve venkovním prostředí. e Teplotu na vntřním povrchu obkladu určíme ze vztahu s Rs, přčemž tepelný Rs R Rse odpor bude v tomto případě R = 0,0/0,5 = 0,0 m K/W. V hodnotách odporů př přestupu tepla zohledníme skutečnost, že na edné straně obkladu e větraná vzduchová vrstva a na druhé straně venkovní prostředí a vypočteme 0 s 0, 3 0,63 ºC. 0,3 0,0 0,04 Zbývá vypočítat hustotu tepelného toku sáláním mez oběma povrchy (pro které předpokládáme ob- vyklou emsvtu 0,9 a určíme emsvtu vzáemného sáláním ako, 0, 8 ) ze 0,9 0,9 8 4 vztahu 5,67 0 0,8 3,5 73,5 0,63 73, q 5, W/m., 4, e Zadání Uvažute stěnu v dřevostavbě, eíž skladba e zachycena na vodorovném řezu na Obr. -. 0 00 00 00 600 00 600 00 600 0 Obr. -: Vodorovný řez stěnou dřevostavby
Šrafovaně e vyznačeno dřevo s tepelnou vodvostí 0,0 W/(m.K), zbylý materál e tepelná zolace s tepelnou vodvostí 0,04 W/(m.K). Dřevěné sloupky sou umístěny pouze v první a třetí vrstvě tepelné zolace. Určete množství tepla, které prode m konstrukce za h př časově ustáleném teplotním rozdílu 0 C. Řešení Množství tepla za časovou ednotku určíme ze vztahu Q AU t, do kterého e třeba dosadt součntel prostupu tepla konstrukce. Pro eho výpočet e nutné neprve určt charakterstcký výsek konstrukce, což e v daném případě osová vzdálenost sloupků, t. 0,7 m. Následně stanovíme ekvvalentní tepelnou vodvost vrstev s tepelným mosty, t. první a třetí vrstvy (druhá vrstva tepelné mosty neobsahue). Použeme přblžný výpočet s pomocí váženého průměru A 0,6 0, 0,04 0, 0, 0, 0,063 W/(m.K). A 0,6 0, 0, 0, Tepelný odpor konstrukce e tedy R = 0,0/0, + 0,/0,063 + 0,/0,04 + 0,/0,063 + 0,0/0, = 5,875 m K/W a součntel prostupu tepla U 0,65 W/(m.K). 0,3 5,875 0,04 Hledané množství tepla za h př teplotním rozdílu 30 C tedy ční Q 0,6530 4,96 Wh. Zadání Stěna o součntel prostupu tepla U=,5 W/(m.K) obsahue uzavřenou (nevětranou) vzduchovou vrstvu o tloušťce 00 mm. Na stěnu působí z edné strany teplota vzduchu 0 ºC a z druhé strany teplota vzduchu 0 ºC. Jaká e teplota povrchu vzduchové dutny blíže k exteréru, má-l povrch blíže k nteréru teplotu 8 ºC? Př výpočtu uvažute ustálený stav a běžné techncké smluvní hodnoty pro všechny potřebné velčny. Řešení Známe-l teplotu ednoho z povrchů uzavřené vzduchové dutny, můžeme stanovt teplotu zbývaícího povrchu ze vztahu pro hustotu tepelného toku vzduchovou dutnou q h c hr. d Neprve musíme ovšem určt samotnou hustotu tepelného toku, což e ale pro předpoklad ustáleného stavu poměrně ednoduché, protože celková hustota tepelného toku konstrukcí musí být shodná s hustotou tepelného toku v eím lbovolném místě. Platí tedy q U,5 0 0 30 W/m. Pro součntel přestupu tepla sáláním ve vzduchové dutně použeme běžný techncký odhad h r =4,6 W/(m.K), steně ako pro součntel přestupu tepla prouděním (h c =,5 W/(m.K)). 0,05 Po dosazení do výchozí rovnce 30,5 4,68 získáme ž snadno hledanou 0, teplotu povrchu vzduchové dutny blíže k exteréru ve výš θ = 3,9 ºC. e
Zadání Uvažute stropní konstrukc mez půdou a nterérem o skladbě podle Chyba! Nenalezen zdro odkazů.. 00 00 0 0 80 0 0 00 0?? 5 900 900 Obr. -3: Řez stropem pod půdou Nosným prvkem sou ocelové profly (tepelná vodvost 50 W/(m.K)) v osových vzdálenostech 900 mm. Na proflech sou shora zdola upevněny OSB desky s tepelnou vodvostí 0, W/(m.K). Mez profly e umístěna tepelná zolace o tepelné vodvost 0,05 W/(m.K). Stená tepelná zolace e umístěna pod spodní OSB deskou a e opatřena omítkou s tepelnou vodvostí,0 W/(m.K). Jaká musí být mnmální tloušťka spodní tepelné zolace, aby byl součntel prostupu tepla stropu nevýše 0,5 W/(m.K)? Uvažute pouze vlv zadaných tepelných mostů a použte pro eho zohlednění orentační manuální výpočet. Řešení Cílem návrhu e konstrukce splňuící podmínku U 0,5 W/(m.K). Do této podmínky můžeme dosadt za součntel prostupu tepla konkrétní hodnoty odporů př přestupu tepla (na obou stranách se uplatní hodnota 0,0 m K/W, protože de o konstrukc v nteréru s tepelným tokem vzhůru) a získat nerovnc 0, 5. 0,0 R 0,0 Z ní pak už snadno získáme podmínku pro tepelný odpor R 6,47 m K/W. d Dílčí tepelné odpory ednotlvých vrstev sce snadno vypočítáme ze standardního vztahu R, ale u hlavní tepelné zolace musíme neprve zohlednt tepelné mosty s pomocí ekvvalentní tepelné vodvost této nehomogenní vrstvy. Výpočet musíme začít určením charakterstckého výseku, ehož šířka e v tomto případě 900 mm. Dále pak vypočteme průřezové plochy ednotlvých materálů ve výseku a posléze získáme ekvvalentní tepelnou vodvost hlavní tepelné zolace ze vztahu A A 0,00, 0,00, 50 0,9 0, 0,00, 0,00,,6 W/(m.K). Tepelný odpor konstrukce e tedy 0,9 0, 0,05
0,0 0, 0,0 d 0,005 d R 0,377 m K/W. A protože e známo, že tepelný 0,,6 0, 0,05,0 0,05 odpor musí být vyšší než 6,47 m K/W, snadno ž odvodíme mnmální potřebnou tloušťku spodní tepelné zolace ze vztahu 0,377 d 6, 47 ako d 0,305 m. 0,05 Zadání Uvažute stropní konstrukc o skladbě (shora): - dlažba tl. 0 mm s tepelnou vodvostí,0 W/(m.K) - beton tl. 00 mm s tepelnou vodvostí, W/(m.K) - pěnový polystyren tl. 00 mm s tepelnou vodvostí 0,05 W/(m.K) - železobeton tl. 50 mm s tepelnou vodvostí,5 W/(m.K), Na rozhraní mez betonovou mazannou tl. 00 mm a pěnovým polystyrenem e udržována teplota 35 C (podlahovým vytápěním). Určete hustotu tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do nteréru. Př výpočtu předpokládete ustálený stav s teplotou vzduchu nad podlahou 0 C a s teplotou pod stropem 0 C.. Použte přtom hodnoty odporů př přestupu tepla, které se užívaí př výpočtu součntele prostupu tepla konstrukce. Řešení 4 Hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahy do nteréru se určí ze vztahu q r T, do kterého e třeba dosadt absolutní teplotu povrchu podlahy. Př eím výpočtu e třeba zohlednt známou teplotu uvntř konstrukce v místě podlahového vytápění. Celková stuace e nelépe zřemá na grafu průběhu teploty v konstrukc Obr. -4. 35 0 x 0 R 0,0 0,0 0,08,00 0,0 0,7 Obr. -4: Grafcké stanovení průběhu teploty v podlaze s vytápěním
Na vodorovné ose grafu sou vyneseny tepelné odpory ednotlvých vrstev podlahy počínae zleva dlažbou. První hodnotou e ovšem odpor př přestupu tepla na povrchu dlažby R s = 0,0 m K/W (tepelný tok e orentován v daném případě nahoru). Poslední hodnotou e analogcky odpor př přestupu tepla na spodním líc stropu R se, který v tomto případě ční 0,7 m K/W (tepelný tok e orentován dolů). Z grafu na Chyba! Nenalezen zdro odkazů. e patrná neen hledaná teplota na horním líc dlažby (označeno kroužkem), ale také skutečnost, že pro eí stanovení není vůbec podstatná spodní část stropní konstrukce. Ve skutečnost se uplatní en roznášecí betonová deska a dlažba a okraové podmínky přímo na ně působící (t. teploty 0 ºC a 35 ºC). Hledanou teplotu povrchu podlahy můžeme tedy spočítat ze vztahu e 0 35 x Rs Rx 0 0, 0 7,5 Rs R Rse 0,0 0,0 0,08 ºC. Hledaná hustota tepelného toku sáláním z povrchu podlahu do nteréru e tudíž 8 4 q 0,9 5,67 0 7,5 73,5 47 W/m. r.3 Komplexní modelové příklady.3. Obvodová stěna Zadání Uvažut obvodovou stěnu s touto skladbou (od nteréru): železobetonová stěna tl. 00 mm, tepelná vodvost,6 W/m K tepelná zolace tl. 50 mm, tepelná vodvost 0,05 W/m K pohledové zdvo z plných chel tl. 50 mm, tepelná vodvost W/m K Teplota vntřního vzduchu e 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Je noc, obloha e zatažená. Fouká vítr o rychlost 4 m/s. Vypočítete teploty na vntřním povrchu, vněším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítete tepelnou ztrátu. Řešení Známé velčny: tloušťky ednotlvých materálových vrstev d 3 až d 3 součntele tepelné vodvost pro materál každé vrstvy až 3 teplota vntřního vzduchu = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s Neznámé velčny: teploty na vntřním a venkovním povrchu konstrukce s, se a teploty na rozhraní materálových vrstev, a,3 tepelná ztráta obvodové stěny vyádříme í hustotou tepelného toku q [W/m ] Další potřebné nformace: nesou Analýza problému: Teplo se šíří skrz stěnu z vntřního prostředí do vněšího. Z vntřního prostředí se teplo šíří na povrch konstrukce prouděním a sáláním. Uvntř konstrukce, mez vntřním a vněším povrchem, se teplo šíří vedením. Z vněšího povrchu se teplo může do vněšího prostředí šířt těmto způsoby: prouděním (vítr)
sáláním prot obloze (oblohu s představueme ako fktvní povrch, ehož teplota závsí na oblačnost) sáláním prot povrchu země (terénu) sáláním prot povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Kromě toho může výměnu tepla na vněším povrchu ovlvnt také sluneční záření. Protože uvažueme noční zataženou oblohu, můžeme rovnou říc, že se slunečním zářením počítat nebudeme. Hustota tepelného toku prouděním z vněšího povrchu stěny závsí na rychlost větru. Pro výpočet hustoty každého z výše uvedených tepelných toků sáláním e potřeba dopředu odhadnout teploty sálaících povrchů (včetně teploty vněšího povrchu řešené stěny) a ech vzáemné poměry sálání. Poměr sálání F, dvou povrchů přtom závsí na ech vzáemném prostorovém uspořádání. Schéma problému: zatažená obloha 3 q re r = e s,,3 se q re q s q q q 3 r = e okolní povrchy q ce e q re povrch země r = e h ce R s R R R 3 s,,3 se h re e Obr. -5: Schéma problému Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodvost tepelné zolace = 0,05 W/m K e ž zahrnutý vlv tepelných mostů (kotvení přzdívky k železobetonové stěně) protože pro vntřní prostředí nesou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyádříme přestup tepla z vntřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu př přestupu tepla R s = 0,3 m K/W přestup tepla z vněšího povrchu by bylo možné, př zadaných podmínkách, přblžně započítat pomocí běžné hodnoty odporu př přestupu tepla R se = 0,04 m K/W (tato hodnota byla stanovena pro podobné podmínky ako v tomto příkladu. My však pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobněší blanc tepelných toků pro vněší povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním pro odhad součntele přestupu tepla prouděním použeme vztah h ce = 4 + 4 v (kap...) a budeme předpokládat rychlost větru v = 4 m/s
budeme zednodušeně předpokládat, že teplota zatažené oblohy e stená, ako teplota venkovního vzduchu (rozumný předpoklad běžně používaný pro podobné případy) teplotu povrchu země a teplotu povrchů okolních těles př zatažené obloze budeme zednodušeně uvažovat stenou ako teplota venkovního vzduchu (oblačnost brání sálavé výměně mez tělesy na zemském povrchu a asnou oblohou vz následuící příklad). Všechna tělesa, vůč kterým může vněší povrch stěny sálat, můžeme tedy souhrnně chápat ako edný povrch s ednou (sálavou) povrchovou teplotou r = e. Problém se zednodušue na případ sálání dvou povrchů se vzáemným poměrem sálání F = (veškerý sálavý tepelný tok z povrchu (vněší stěna) dopadá přímo, bez odrazů na povrch ( náhradní povrch), což v tomto případě platí). Navíc, plocha stěny A e zanedbatelně malá oprot ploše tohoto náhradního povrchu A a ech vzáemný poměr A / A můžeme považovat za rovný nule. tento předpoklad nám podstatně zednoduší výpočet především proto, že nebudeme muset stanovovat poměry sálání povrchu stěny a každého dalšího sálaícího povrchu. Takový výpočet e obecně komplkovaný a v našem případě nemožný, neboť nemáme nformace o poloze okolních těles a povrchu země. pro výpočet součntele přestupu tepla sáláním z vněšího povrchu stěny musíme dopředu odhadnout eho teplotu budeme zednodušeně předpokládat, že teplota vněšího povrchu e rovná teplotě vněšího vzduchu se = e Postup řešení: sestavíme blanc tepelných toků pro všechna místa v konstrukc, kde chceme zstt teplotu pro vntřní povrch, vněší povrch a obě rozhraní materálových vrstev předpokládáme ustálený stav součet tepelných toků směrem k lbovolnému místu v konstrukc a směrem z tohoto místa musí být rovný nule získáme čtyř rovnce, kde neznámým sou teploty na vntřním a vněším povrchu stěny a na rozhraní vrstev řešením soustavy rovnc získáme hodnoty s, se,, a,3 správnost výsledku zkontrolueme vypočítáme tepelnou ztrátu konstrukce vykreslíme průběh teploty protože konstrukce e složena z homogenních materálových vrstev, bude průběh teploty v každé vrstvě lneární Blance tepelných toků: vntřní povrch: qs q qs q 0 rozhraní vrstev, : q q qq 0 rozhraní vrstev, 3: q q3 qq3 0 vněší povrch: q3 qce qre q3 q q 0 Hustoty tepelných toků: q ( ) h ( ) R s s s s s q ( ) K ( ) R q q s. s, ( ) K ( ) R,,3,,3 ( ) K ( se ) R 3,3 se 3,3 3 q h ( ) ce ce se e ce re
q h ( ) re re se e Soustava rovnc (neznámé sou s,,,,3 a se, hodnoty ostatních velčn sou zadané nebo se dopočítaí): h ( ) K ( ) 0 s s s, K ( ) K ( ) 0 s,,,3 K ( ) K ( ) 0,,3 3,3 K ( ) h ( ) h ( ) 0 3,3 Po roznásobení: se ce se e re se e h h K K s s s s, 0 K K K K s,,,3 0 K K K K,,3 3,3 3 se 0 K K h h h h 3,3 3 se ce se ce e re se re e 0 Po úpravách: ( h K ) K h s s, s K ( K K ) K 0 s,,3 K ( K K ) K 0, 3,3 3 K ( K h h ) ( h h ) 3,3 3 Vyčíslení: se ce re se se re e se Výpočet tepelných odporů a tepelných vodvostí ednotlvých vrstev e uspořádán do tabulky: Tab. -4: Výpočet tepelných odporů a tepelných vodvostí Vrstva [ - ] Materál Tloušťka d [m] Tepelná vodvost [W/m K] Tepelný odpor R = d / [m K/W] Tepelná vodvost K = / R [W/m K] železobeton 0,,6 0,5 8 tepelná zolace 0,5 0,05 3 0,333 3 zdvo z plných chel 0,5 0,5 0,667 Tepelný odpor konstrukce R = ΣR 3,75 0,305 h s R 0,3 s 7,69 W/(m K) Součntel přestupu tepla prouděním na vněším povrchu vypočítáme z rychlost větru v = 4 m/s (vz Předpoklady řešení): hce 4 4 v 4 4 4 0 W/(m K) Součntel přestupu tepla sáláním na vněším povrchu vypočítáme z obecného vztahu pro sálání mez dvěma povrchy:
h re 3 4 T, A F A, Protože uvažueme F, = a A /A = 0, zednoduší vztah takto (ndexem se značí vněší povrch stěny, ndexem souhrnně všechny ostatní sálaící povrchy s teplotou r = e vz Předpoklady výpočtu): h re 4 T 4 T 0 0 3 3,, 3 4 T, Průměrnou teplotu sálání vypočítáme za předpokladu, že se = e (vz Předpoklady řešení) a r = e : T T T ( 73,5) ( 73,5) ( 5 73,5) ( 5 73,5) se r, Po dosazení do vztahu pro h re : hre 4 T 45,67 0 0,9 68,5 3,94 W/(m K) 3 8 3, Soustava rovnc po dosazení číselných hodnot: 5,69 8 53,846 s, 8 8,333 0,333 0 s,,3 0,333 7 6,667 0,,3 se 0,667 30,60 9,678,3 se 68,5 K Návody na řešení soustavy lneárních rovnc v tabulkovém procesoru lze naít na nternetu. Výsledky: Teploty (po zaokrouhlení): s = 9, C, = 8, C,3 = -3,6 C se = -4,7 C Kontrola výpočet hustot tepelných toků: Do výpočtu e potřeba dosadt teploty zaokrouhlené na větší počet platných čísel nebo zcela bez zaokrouhlení (např. př výpočtu v tabulkovém procesoru). Do zápsu uvedeného níže sou pro přehlednost dosazeny teploty zaokrouhlené pouze na edno desetnné místo (což e pro kontrolu správnost málo!). q ( ) ( ) 7,69 (0 9,) 7,53 W/m h R s s s s s ( ) ( ) 8 (9, 8,) 7,53 W/m q K R s. s, q ( ) K ( ) 0,333 (8, 3,6) 7,53 W/m R,,3,,3
q q ( ) K ( se ) 6,667 ( 3,6 4,7) 7,53 W/m R 3,3 se 3,3 3 ( ) ( ) 5 ( 4,7 5) 7,57 W/m h R se se e se se e se Hustoty tepelných toků se shoduí, což odpovídá předpokladu ustáleného stavu. Podobně můžeme dopočítat hustotu tepelného toku mez povrchy konstrukce q: q ( s se) (9, 4,7) 7, 53 W/m R R R 3,75 3 Teploty tedy byly vypočítány správně. Tepelná ztráta obvodové stěny e 7,3 W/m. Průběh teploty e vynesen do grafu: Obr. -6: Výsledný průběh teploty.3. Obvodová stěna Zadání Uvažute stenou obvodovou stěnu ako v předchozím příkladu. Teplota vntřního vzduchu e 0 C a teplota venkovního vzduchu -5 C. Uvažute asnou noc a vítr o rychlost 4 m/s. Vypočítete teploty na vntřním povrchu, vněším povrchu a na rozhraní vrstev konstrukce. Vykreslete průběh teploty, vypočítete tepelnou ztrátu. Řešení Známé velčny: tepelné vlastnost ednotlvých materálových vrstev: tepelné odpory R až R 3, tepelné propustnost K až K 3 (z předchozího příkladu) teplota vntřního vzduchu = 0 C teplota venkovního vzduchu e = -5 C rychlost větru v = 4 m/s Neznámé velčny: teploty na vntřním a venkovním povrchu konstrukce s, se a teploty na rozhraní materálových vrstev, a,3 tepelná ztráta obvodové stěny vyádříme í hustotou tepelného toku q [W/m ] Další potřebné nformace: emsvta vněšího povrchu obvodové stěny
Pro povrch zdva z červených chel můžeme použít hodnotu emsvty = 0,9 (vz Přílohu ). Analýza problému: Způsob šíření tepla z vntřního prostředí až k vněšímu povrchu stěny e stený ako v předchozím příkladu. Na vněším povrchu dochází k přestupu tepla z povrchu do vněšího prostředí těmto způsoby: prouděním (vítr) sáláním prot asné obloze (obloha není zakryta oblačností, na rozdíl od předchozího příkladu e teplota asné oblohy výrazně nžší než teplota vněšího vzduchu) sáláním prot povrchu země (terénu) sáláním prot povrchům okolních těles (např. stěny okolních budov) Schéma problému: asná obloha q re r = sky 3 s,,3 se q re q s q q q 3 r = sky okolní povrchy q ce e q re povrch země r = sky h ce R s R R R 3 s,,3 se Obr. -7: Schéma problému h re e sky Předpoklady řešení: ustálený stav předpokládáme, že v hodnotě tepelné vodvost tepelné zolace = 0,05 W/m K e ž zahrnutý vlv tepelných mostů (kotvení přzdívky k železobetonové stěně) protože pro vntřní prostředí nesou předepsány žádné zvláštní podmínky, vyádříme přestup tepla z vntřního prostředí na povrch konstrukce obvyklou hodnotou odporu př přestupu tepla R s = 0,3 m K/W přestup tepla z vněšího povrchu už není možné počítat pomocí běžné hodnoty odporu př přestupu tepla R se = 0,04 m K/W, neboť v ní není zohledněno sálání prot asné obloze pro výpočet přestupu tepla sestavíme podrobněší blanc tepelných toků pro vněší povrch, ve které budeme odděleně uvažovat přestup tepla prouděním a sáláním součntel přestupu tepla prouděním h ce odhadneme steným způsobem ako v předchozím příkladu