FUZZY STOCHASTICKÁ ANALÝZA SLOŽITÝCH SOUSTAV ČÁST II CHARAKTERISTIKY FUZZY NÁHODNÉ VELIČINY

FUZZY STOCHASTICKÁ ANALÝZA SLOŽITÝCH SOUSTAV ČÁST II CHARAKTERISTIKY FUZZY NÁHODNÉ VELIČINY FUZZY STOCHASTIC ANALYSIS OF COMPLEX SYSTEMS PART II CHARACTERISTICS OF FUZZY RANDOM VARIABLE Mirolav Pokorný Moravká vyoká škola Olomouc, Útav informatiky a aplikované matematiky mirolav.pokorny@mvo.cz Vratilava Mošová Moravká vyoká škola Olomouc, Útav informatiky a aplikované matematiky vratilava.moova@mvo.cz Zdeňka Krišová Moravká vyoká škola Olomouc, Útav informatiky a aplikované matematiky zdenka.kriova@mvo.cz Abtrakt: Vlatnoti výběrových ouborů náhodných veličin čato neplňují podmínky tatitické korektnoti. V takových případech definujeme fuzzy náhodnou veličinu jako náhodnou veličinu, která byla měřena za neurčitých podmínek, tj. pokud nebylo ukutečněno pozorování eaktně definovanými podmínkami eperimentů. Pro odhady charakteritik takových fuzzy náhodných veličin lze použít tatitických metod, které jou ale rozšířeny zahrnutím neurčitoti (fuzzitivnoti) náhodných dat. Přípěvek obahuje problematiku tanovení jejich funkčních i číelných fuzzy charakteritik fuzzy náhodných veličin a uvádí numerický příklad. Klíčová lova: Stochatičnot, fuzzitivita, fuzzy množina, fuzzy-náhodná veličina, funkční charakteritiky, číelné charakteritiky. Abtract: In practice it i neceary to conider the radom variable, which are affected by vague influence. In thi cae it i neceary to define the fuzzy random variable. Fuzzy random variable can be regarded a a random variable, which wa meaured under uncertain condition or if it wa not obtain under eactly defined eperimental condition. To etimate uch fuzzy random variable the tatitical method can be applied but etended by the fuzzitivene of the random data. The paper preent the problem of functional and numerical fuzzy tochatic characteritic determining. The numerical eample i included a well. Keyword: Stochaticity, fuzzitivity, fuzzy et, fuzzy-tochatic value, functional characteritic, nmerica characteritic. JEL: C51 36

1 Úvod Souborně můžeme říci, že eitence fuzzy tochatičnoti může být opodtatněna v praktických případech, kdy rozah výběrových ouborů je malý abencí dodatečných apriorních informací o tatitických vlatnotech měřené veličiny, tatitická data mají vlatnot fuzzitivity, tj. mají pochybnou přenot nebo data byla zíkána v neurčitých, nedefinovaných nebo nereprodukovaných podmínkách [1] 3, [ 4 ]. Výběrový oubor pak reprezentuje fuzzy náhodnou veličinu jako náhodnou veličinu, která je noitelem doplňkové neurčitoti fuzzitivity [3] 5, [4] 6. Uvažujme protor Ω náhodných jevů ω (pozorování). Označme fuzzy realizací jednorozměrné fuzzy náhodné veličiny X jako ( ω ), ω Ω. Každé fuzzy čílo je definováno jako konvení normální fuzzy množina [4] = { ; µ ( ) kde funkce přílušnoti µ ( ) X } je funkce přílušnoti fuzzy číla Fuzzy náhodná veličina X je pak definována jako fuzzy výledek neurčitého mapování alepoň po čátech pojitá. X : Ω F( R n ) n kde F( R ) n je množina všech (normálních) fuzzy číel v R. Prakticky je pak fuzzy náhodná veličina popána vými fuzzy číelnými parametry, které jou identifikovány jako neurčitá fuzzy číla a neurčitými fuzzy funkčními charakteritikami, které zahrnují neurčité pámo. Jejich teoretický popi obahuje přípěvek [5] 7, [6] 8, [7] 9. Charakteritiky fuzzy náhodné veličiny.1 Definice číelných parametrů fuzzy náhodné veličiny Typ rozložení hutoty pravděpodobnoti a parametry fuzzy náhodné veličiny muí být tanoveny na základě analýzy výběrového ouboru fuzzy náhodné veličiny X. V dalším tetu budeme uvažovat jednorozměrnou fuzzy náhodnou veličinu X. Uveďme vztahy pro parametry (momenty) její funkce rozložení hutoty pravděpodobnoti. Vztah pro fuzzy třední hodnotu fuzzy náhodné veličiny X definujeme ve tvaru =+ m = EX =. f ( ) d = 3 [1] BUDÍKOVÁ,M. Průvodce základními tatitickými metodami. GRADA Publihing, a.. 010. ISBN:978-80-47-343-5 4 [] SIEGEL, A. Practical Buine Statitic, 011, ISBN: 97801385083, 5 [3 ] CELIKZILMAZ, A., TURKSEN,B. Modelling Uncertainty with Fuzzy Logic. Springer-Verlag. 009. ISBN 978-3-540-8993-5. 6 [4 ] NOVÁK, V. Základy fuzzy modelování. BEN Praha, 000, ISBN 80-7300-009-1 7 [5] POKORNÝ,M., KRIŠOVÁ,Z. Fuzzy tochatická analýza ložitých neurčitých outav, čát I Fuzzy neurčitot náhodné veličiny. EMI Ekonomika- Management-Inovace. MVŠO Olomouc. ISSN 8 [6] MÖLLER,B. Fuzzy Randomne A Contribution to Imprecie Probability. WILLEY-VCH ZAMM Z Mech.84. No.10-14. Str.754-764. 004 9 [7] MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomne Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanic. Springer, 004, ISBN 3-540-4094-37

Vztah pro fuzzy diperzi fuzzy náhodné veličiny X je definován ve tvaru =+ = = D X = ( - m ). f ( ) d a fuzzy měrodatná odchylka fuzzy náhodné veličiny X je dána vztahem =+ D X m = = ( - ). f ( ) d = Číelné parametry fuzzy náhodné veličiny jou formalizovány ve tvaru fuzzy číel. Funkce přílušnoti jou aproimovány lomenými přímkovými úeky [3] 10, [4] 11 Obr. 1. Obrázek 1: Funkce přílušnoti fuzzy třední hodnoty m µ ( m ) m m, L m m, R m Zdrojem pro pecifikaci funkce přílušnoti je výběrový oubor pozorovaných hodnot. Východikem pro kontrukci funkcí přílušnoti číelných parametrů je pak hitogram nebo konfidenční interval. Pro korekci jeho tvaru mohou být použity ubjektivní apekty. Metoda hitogramu Pozorované hodnoty i jou rozděleny do podmnožin Xk a je etrojen hitogram. Hitogram je pak aproimován vhodnou funkcí. Uvažujme aproimaci lineární funkcí, vedoucí k zíkání funkce přílušnoti ve tvaru trojúhelníka nebo lichoběžníku. Levá a pravá hranice noiče funkce přílušnoti je přitom zíkána jako průečík levé a pravé aproimační přímky hitogramu oou. Průečík levé a pravé aproimační přímky určuje vrchol trojúhelníkové aproimace, v případě lichoběžníkové aproimace vymezují levá a pravá aproimační přímka jádro fuzzy množiny (Obr. ). Rovnice levé a pravé aproimační přímky jou zíkány metodou nejmenších čtverců minimalizací n( X ) čtverců diferencí mezi počtem pozorování v k-tém loupci k a funkční hodnotou aproimace µ ( ) A k,m k m, kde, je třed k-tého loupce 10 [3] CELIKZILMAZ, A., TURKSEN,B. Modelling Uncertainty with Fuzzy Logic. Springer-Verlag. 009. ISBN 978-3-540-8993-5. 11 [4] NOVÁK, V. Základy fuzzy modelování. BEN Praha, 000, ISBN 80-7300-009-1 38

[ n( X k ) µ A ( k, m )] k min Obrázek : Lineární aproimace a tranformace hitogramu Ypilonová ouřadnice průečíku levé a pravé aproimační přímky je normována na hodnotu 1 [6] 1. a p( i ) µ ( i ) =, a (, ) up( p( i )) Pro a = 1 je tvar funkce přílušnoti čitě normalizační. Pro a > 1 e funkce přílušnoti zužuje, pro a < 1 e rozšiřuje. Trojúhelníková funkce přílušnoti může být na úrovni 1 dodatečně modifikována jádrem na funkci lichoběžníkovou nebo dalšími (ubjektivními, epertními) podmínkami (Obr. ). Metoda konfidenčního intervalu Za předpokladu eitence odhadu typu rozložení pravděpodobnoti náhodné veličiny e problém redukuje na tanovení číelných parametrů rozdělení. Parametry jou modelovány fuzzy číly. Střední hodnota je definována bodovým odhadem a meze fuzzy intervalu trojúhelníkového fuzzy číla jou vypočítány jako meze pravděpodobnotního intervalu třední hodnoty na hladině významnoti α [1] 13, [] 14. m Odhady fuzzifikované třední hodnoty a odhad fuzzifikovaného rozptylu jou tanoveny ve formě fuzzy číel. Funkce přílušnoti jou aproimovány lomenými přímkami. Hraniční body - noič a jádro fuzzy množin - jou dány parametry m [ m, m, m ], [ ],, L R L Význam parametrů je zřejmý z Obr. 1. Hodnoty jader m a jou tanoveny jako třední hodnota a dipere pomocí konvenčních vztahů pro náhodnou veličinu Gauovým rozložením R 1 [6] MÖLLER,B. Fuzzy Randomne A Contribution to Imprecie Probability. ZAMM Z Agnew. Match. Mech.84. No.10-14. Str.754-764.WILLEY-VCH. 004 13 [1] BUDÍKOVÁ,M. Průvodce základními tatitickými metodami. GRADA Publihing, a.. 010. ISBN:978-80-47-343-5 14 [] SIEGEL, A. Practical Buine Statitic, 011, ISBN: 97801385083, 39

m 1 = n i n i= 1 1 = n 1 n i= 1 ( i m ) Výpočet je třeba provét použitím fuzzy aritmetiky [8] 15, [9] 16. Hodnoty levé a pravé meze noiče obou fuzzy číel jou tanoveny jako levá a pravá mez konfidenčního intervalu odhadu třední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny Gauovým rozložením na hladině významnoti α = 0, 01 (pravděpodobnot P = ( 1 α ) = 0, 99. µ Funkce přílušnoti ( m ) je aproimována lomenými přímkami, Body zlomů jou dány levými a pravými mezemi konfidenčních intervalů, použitých jako levé a pravé meze α- řezů Obr. 3 µ ( m ) Obrázek 3: Konfidenční intervaly a α-řezy funkce přílušnoti α-level µ ( m 1,00 0,75 ) DL m DR conf. level α 0,00 0,50 0,50 CL CR 0,75 0,5 BL BR 0,90 0,00 AL m Pro kontrukci aproimačních závilotí je třeba mít k dipozici tabulky hodnot kvantilů nebo přímo výpočtovou proceduru pro tanovení mezí konfidenčních intervalů pro vybrané hodnoty hladin významnoti α [] 17.. Specifikace funkčních charakteritik fuzzy náhodné veličiny Realizace fuzzy náhodné veličiny X jou fuzzy číla, proto jou její parametry rovněž fuzzy číla a funkční charakteritiky mají formu neurčitého páma. Příklad funkce F ( ) pro jednorozměrnou fuzzy náhodnou veličinu X nakrelena na Obr. 4. Její funkční hodnoty jou fuzzy číla. Šířka neurčitého intervalu F ( ) = b a je tupněm fuzzitivity (vágnoti) fuzzy náhodné veličiny X. Jetliže F ( ) = 0, fuzzy náhodná veličina e tává náhodnou veličinou obyčejnou. Fuzzy náhodnou veličinu tak můžeme chápat jako zobecnění, které zahrnuje obyčejnou náhodnou veličinu a fuzzy veličinu jako peciální případy. AR 0,99 m 15 [8] KEPRT,A. Programový ytém pro fuzzy aritmetiku využitím přítupu α-řezů In EMI Ekonomika Management - Inovace. MVŠO Olomouc. 16 [9] MOLLER,B.,GRAF,W.,BEER,M. Fuzzy Structural Analyi Uing α-level Optimization. Computational Mechanic, 6(6), 000 17 [] SIEGEL, A. Practical Buine Statitic, 011, ISBN: 97801385083, 40

Obrázek 4: Fuzzy ditribuční funkce Pro tanovení fuzzy funkční charakteritiky F ( ) je nutný odhad alepoň fuzzy číelných parametrů (třední hodnota m a rozptyl ) a odhad typu ditribuce náhodné veličiny. Funkce rozložení hutoty pravděpodobnoti f ( ) a ditribuční funkce F ( ) pak mohou být pecifikovány výpočtem využitím algebry fuzzy číel [8] 18 pomocí fuzzifikovaných funkčních vztahů pro přílušné rozdělení. Do analytických vztahů (odpovídajících odhadovanému typu rozložení FRV) jou doazeny třední hodnota m X a X jako fuzzy číla. Tak např. pro normální rozložení platí f ( ) = 1 m ep 0,5 π F ( ) = 1 π m ep 0,5 d ) Stanovení tvaru neurčitých funkcí f ( ) a F ( ) je v této práci provedeno pomocí výpočtu tvaru marginálních hodnot funkce přílušnoti třední hodnoty m [ m L, m, m R ] [ ], a rozptylu L,, R - Obr.1a,b. Pro funkci f ( ) f ( m ), ( ), ( ) jou to marginální průběhy L f m f mr. Neurčité pámo funkcí f ( ) a F ( ) pak zíkáme jako obalovou křivku těchto marginálních průběhů. 3 Numerický příklad Efektivita navržené metody byla ověřena na fuzzy-tochatické analýze náhodně vygenerovaného ouboru 15-ti prvky [10] 19 náhodné veličiny S = N[3,1]. Takový oubor pochází z náhodné veličiny e známým (normálním) rozložením malým rozahem. = [.68053,.15374, 3.33467, 1.37664,.74401,.40678, 4.55,.47141, 4.1337,.814, 4.59856, 4.34608 1.78819 1.63103.96888] 18 [8] KEPRT,A. Programový ytém pro fuzzy aritmetiku využitím přítupu α-řezů In EMI Ekonomika Management - Inovace. MVŠO Olomouc. 19 [10] STATISTICA Verion 1. StatSoft Releae Verion 1 of STATISTICA Software. On-line in: http://www.tatoft.com/v1. 41

Výběrové tatitické parametry ouboru jou [11] 0 je uveden na Obr. 5. m X =,89 a σ X = 1,13. Tvar hitogramu ouboru Obrázek 5: Hitogram ouboru Tvary funkcí přílušnoti fuzzifikovaných tatitických parametrů m X a σ X náhodné veličiny S = N[3,1] ve formě fuzzy číel byly tanoveny metodou konfidenčních intervalů náhodné veličiny normálním rozložením a jejich přiřazení α-řezům funkcí přílušnotí. Přiřazení mezí konfidenčních intervalů a mezí α-řezů je pro m pro uvedeno v Tab. 1. Confidence level α Tabulka 1: Funkce přílušnoti Memberhip function α-cut level m m a L boundary,l m, R R boundary 0,99 0,00,08 0,51 3,71 3,90 0,90 0,5,41 0,67 3,38,4 0,75 0,50,56 0,79 3, 1,9 0,50 0,75,07 0,93 3,06 1,56 -- 1,00,89 1,13,89 1,13 Aproimace funkcí přílušnoti Neymetrie funkcí přílušnoti m m X X a,r a X lomenými přímkami jou uvedeny na Obr. 6 a Obr. 7. X odpovídají tvaru hitogramu na Obr. 5. 0 [11] MATLAB - The MathWork-MATLAB and Simulink for Technical Computing. [cit. 01-07-10]. http://www.mahwork.com 4

Obrázek 6: Aproimovaná funkce přílušnoti m ouboru µ ( m ) α m α řez m Obrázek 7: Aproimované funkce přílušnoti fuzzy hodnot a ouboru Oa y µ ( ) α α řez Výběrový tatitický oubor má malý rozah, proto je možno předpokládat, že nee vlatnoti vágnoti. Funkce rozložení hutoty pravděpodobnoti f ( ) a ditribuční funkce F ( ) jou proto formalizovány pámem neurčitoti, v němž e mohou hodnoty funkcí nacházet. Stanovení tvaru neurčitých funkcí f ( ) a F ( ) náhodné veličiny S = N[3,1] je provedeno m pomocí výpočtu tvaru marginálních hodnot funkce přílušnoti třední hodnoty [ m L, m, m R ]. Pro funkci f ( ) f ( m ), ( ) jou to marginální průběhy L f mr. Neurčité pámo funkcí f ( ) a F ( ) pak zíkáme jako obalovou křivku těchto marginálních průběhů. Fuzzy funkční záviloti f ( ) a F ( ) náhodné veličiny S = N[3,1] jou nakreleny na Obr. 8. Marginální křivky charakteritik vymezují neurčité pámo, v němž e mohou charakteritiky nacházet. 43

Obrázek.8: Fuzzy funkční záviloti f ( ) a F ( ) fuzzy náhodné veličiny S = N[3,1] Význam neurčitého páma e projeví zvláště v případech, kdy rovnáváme vlatnoti několika fuzzy náhodných veličin. 4 Dikuze Statitické metody jou chopny reflektovat pouze neurčitot typu tochatičnot. Nepřená, nepolehlivá data, neurčitoti, které nemohou být popány nebo jou nedotatečně popány tatiticky, mohou být vzaty v úvahu pouze přibližně. Z toho plyne, že konvenční metody tatitické analýzy mohou být použity pouze čato pouze v omezeném rozahu. V řadě analýz praktických ytémů z oblati polečenkých věd je třeba použít přítupu integrovaného fuzzy tochatického a formalizovat proměnné fuzzy náhodné. Fuzzy náhodné veličiny ice čátečně vykazují tochatický charakter, nemohou však být bez jakýchkoliv pochyb zpracovány metodami čitě tatitickými, neboť jejich tochatičnot je doprovázena a narušena fuzzitivitou. Fuzzy náhodnou veličinu lze chápat jako náhodnou veličinu, jejíž rozah výběrových ouborů je malý abencí dodatečných apriorních informací o tatitických vlatnotech měřené veličiny, tatitická data mají vlatnot fuzzitivity, tj. mají pochybnou přenot nebo konečně tatitická data byla zíkána v neurčitých, nedefinovaných nebo nereprodukovaných podmínkách. Pro odhady charakteritik takových fuzzy náhodných veličin lze použít tatitických metod, které jou ale rozšířeny zahrnutím neurčitoti (fuzzitivnoti) náhodných dat. Zpracování fuzzy tochatické neurčitoti využívá přítupů teorie fuzzy náhodných veličin. Využívá hlavně objektivních informací, ubjektivní informace jou rovněž využitelné. Přípěvek obahuje problematiku tanovení funkčních i číelných charakteritik fuzzy náhodné veličiny a uvádí numerický příklad. Poděkování Tento přípěvek vznikl finanční podporou a v rámci řešení projektu GAČR P403/1/1811: Vývoj nekonvenčních modelů manažerkého rozhodování v podnikové ekonomice a veřejné ekonomii. 44

LITERATURA [1] BUDÍKOVÁ,M. Průvodce základními tatitickými metodami. GRADA Publihing, a.. 010. ISBN:978-80-47-343-5 [] SIEGEL, A. Practical Buine Statitic, 011, ISBN: 97801385083, [3] CELIKZILMAZ,A., TURKSEN,B. Modelling Uncertainty with Fuzzy Logic. Springer-Verlag. 009. ISBN 978-3-540-8993-5. [4] NOVÁK,V. Základy fuzzy modelování. BEN Praha, 000, ISBN 80-7300-009-1 [5] POKORNÝ,M., KRIŠOVÁ,Z. Fuzzy tochatická analýza ložitých neurčitých outav, čát I Fuzzy neurčitot náhodné veličiny. EMI Ekonomika-Management-Inovace. MVŠO Olomouc. [6] MÖLLER,B. Fuzzy Randomne A Contribution to Imprecie Probability. ZAMM Z Agnew. Match. Mech.84. No.10-14. Str.754-764.WILLEY-VCH. 004 [7] MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomne Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanic. Springer, 004, ISBN 3-540-4094- [8] KEPRT,A. Programový ytém pro fuzzy aritmetiku využitím přítupu α-řezů In EMI - Ekonomika - Management - Inovace. MVŠO Olomouc. [9] MOLLER,B.,GRAF,W.,BEER,M. Fuzzy Structural Analyi Uing α-level Optimization. Computational Mechanic, 6(6), 000 [10] STATISTICA Verion 1. StatSoft Releae Verion 1 of STATISTICA Software. On-line in: http://www.tatoft.com/v1. [11] MATLAB - The MathWork-MATLAB and Simulink for Technical Computing. [cit. 01-07-10]. http://www.mathwork.com 45