2. Racionální ísla 7. roník -2. Racionální ísla 2.1. Vymezení pojmu Každé íslo, které lze vyjáditjako podíl dvou celýchísel, je íslo racionální. Pi podílu dvou celýchísel a a bmohou nastattyto situace : 1 a)dlení je ukonené; výsledkem je celé íslo ; = 7 2 b)dlení je ukonené; výsledkem je desetinné íslo; = 0,8 c)dlení je neukonené; bezprostedn za desetinnou árkou se opakuje stále stejná íslice (skupina íslic ) 8 = 2,66666. íslo ryze periodické íslice /skupina íslic ), která se opakuje nazýváme perioda. V našem pípad je perioda íslice 6. d)dlení je neukonené; bezprostedn za desetinnou árkou následuje íslice (skupina íslic ), které se v daném poadí neopakují. 229 = 1,281111 íslo neryze periodické 00 Skupinu íslic 1 nazýváme perioda, skupinu íslic 28 (neopakuje se )nazýváme pedperioda. Výstavba ísel obor :ísla pirozená = ísla kladná celá ísla celá kladná celá, nula, záporná celá ísla racionální ísla ve tvaru x y kde xc, yc y 0 2.2. Zlomek,smíšené íslo 2.2.1. Druhyzlomk,smíšené íslo Zlomek se skládá z itatele, jmenovatele a zlomkové áry. Zlomek pravý itatel je menší než jmenovatel zlomek je menší než jeden celek Nap. Zlomek nepravý itatel je vtší než jmenovatel. Zlomek je vtší než jeden celek. Nepravé zlomky jako výsledek budeme pevádtna smíšené íslo. Smíšené íslo se skládá z potu celk a pravého zlomku. 2.2.2. Vzájemné pevodyzlomku a smíšeného ísla 1
7 2 102 Píklad:Uvedené zlomky pevete na smíšené íslo: a) b) c) 2 0 7 1 2 102 12 a) = b) = c) = 2 2 0 0 7. roník -2. Racionální ísla Píklad 1 :Jaký zlomek mžeme vyjádit jako smíšené íslo? 9 1 6 18 20 2 2 19 27 Píklad 2 :Které ze zlomk ; ; ; ; ; ; ; ; ; jsou : a) 7 6 6 10 18 8 10 160 pravé zlomky b) nepravé zlomky 12 9 16 70 29 Píklad :Zapište které zlomky : ; ; ; ; ; ; ; ; ; jsou : 7 10 10 9 10 100 20 a) menší než 1; b) vtší než 1; c) rovny 1 Píklad :Pevete dané zlomky na smíšená ísla: 10 2 29 8 1 69 ; ; ; ; ; ; ; ; 8 6 7 Píklad :Smíšená ísla vyjádete zlomkem: 1 ; 7 6 8 ; 11 ; 10 2 6 ; 12 7 2 ; 8 10 7 ; 6 ; 2 1 2.2.. Desetinný zlomek Desetinný zlomek je takový zlomek, který má ve jmenovateli, 10; 100 ; 1 000 ; atd. Zlomek je kladný, má-li itatel i jmenovatel stejné znaménko. Zlomek je záporný, má-li itatel a jmenovatel rzné znaménko. Záporné znaménko pipisujeme ped zlomkovou áru nebo k itateli i jmenovateli. Každé celé íslo mžeme napsat jako zlomek se jmenovatelem 1. Zlomek, který má stejného itatele a jmenovatele, je roven 1. Zlomek je zapsán v základním tvaru jestliže v itateli a jmenovateli jsou ísla nesoudlná ( zlomek nelze krátit ). 2.. Rozšiování a krácení zlomk 2
2..1. Rozšiování zlomk 7. roník -2. Racionální ísla Rozšíit zlomek znamená násobit itatele i jmenovatele stejným íslem, které je rzné od nuly. Zlomek rozšííme tak, že jeho itatele i jmenovatele vynásobíme týmž íslem rzným od nuly. a a. m Platí: =, kde b 0, m 0. b b. m Píklad : Rozšite zlomek íslem v závorce : a) 2 (); b) 7 (); c) 9 (8) ešení : a) b) c) 2 7 9 2... 7. 9.8.8 8 12 20 72 0 Píklad 6: Rozšite zlomky: 9 7 1 99 9 a) íslem 2: ; ; ; ; ; ; 7 8 10 100 0 8 10 2 1 2 b) íslem : ; ; ; ; ; ; 9 11 2 0 2 1 6 1 10 11 c) íslem : ; ; ; ; ; ; 2 10 1 20 99 Píklad 7: Zapište jako zlomky: 1 2 a) se jmenovatelem 6: ; ; 2 ; 6 7 11 19 20 ; ; ; ; ; 9 12 6 18 7 11 1 9 10 1 b) se jmenovatelem 2: ; ; ; ; ; ; ; ; 12 8 6 2 2 2 1 9 7 19 10 9 20 c) se jmenovatelem 8: ; ; ; ; ; ; ; ; 6 16 12 2 8 2 1 10 2 20 d) s itatelem 0 : ; ; ; ; ; 6 2 18 1 9 1 9 20 Píklad 8: Kolik centimetr je : ; ; ; ; ; ; ; ; 10 2 10 20 100 2 7 0 metru? 2..2. Krácení zlomk
7. roník -2. Racionální ísla Krátit zlomek znamená dlit itatele a jmenovatele stejným íslem, které je rzné od nuly. Zlomek krátíme tak, že jeho itatel i jmenovatel dlíme týmž íslem rzným od nuly. a : m a Jestliže ísla a, b jsou dlitelná íslem m a zárove je b 0, m 0, pak platí =. b : m b 1 8 Píklad : Zkrate zlomky : a) ; b) ; c) 12 18 0 ; d) - 8 ; 10 : 1 ešení : a) = = 12 12 : 1 1 : 2 7 b) = = 18 18 : 2 9 8 8 : 2 2 2 : 8 c) = = = 0 0 : 2 1 1 : 8 8 : 2 d) - = - = - 10 10 : 2 Jako výsledek budeme uvádt pouze takový zlomek, který je v základním tvaru. Píklad 9: Zkrate zlomky na základní tvar: 1 16 6 6 27 108 12 a) ; ; ; ; ; ; ; ; 18 2 6 8 6 126 168 16 6 1 21 2 2 18 2 b) ; ; ; ; ; ; ; ; 8 2 6 60 72 2 2 28 27 2 7 62 28 c) - ; ; ; ; ; ; ; ; 9 6 81 9 9 91 88 21 2 2 108 Píklad 10: Upravte smíšená ísla : a) 22 ; b) ; c) -9 ; d) - ; 6 60 72 126 12 e) 6 ; 168 7 9 2 9 Píklad 11 : Kolik metr je: ; ; ; ; ; 8 10 20 2 0 6 1000 kilometru? 0 ; ; 100 1000 ; 1 2 6 10 9 21 1 18 Píklad 12 : Kolik gram je: ; ; ; ; ; ; ; ; 2 8 10 20 2 2 0 100 27 1000 kilogramu? ;
7. roník -2. Racionální ísla Píklad 1 : Vyjádete v jednotkách uvedených v závorce: 2 1 t ( q) ; 1 hl ( l ) ; 2 hod ( 1 8 2 1 min ) ; m ( mm ) ; min ( s ) ; kg ( g ) ; kg ( g ) ; q(kg ) 20 10 Píklad 1 : Doplte itatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost: 2 7 1 a) = ; = ; = ; = ; = ; = 18 9 27 2 0 100 7 8 11 ; = ; 1 7 7 6 1 9 9 81 8 72 60 2 100 b) = ; = ; = ; = ; = ; = 9 17 11 9 6 61 2 122 ; = ; 16 9 Píklad 1 : Pevete na základní tvar : a) = b) = c) 12 = 10 100 100 d) 10000 2 1 = e) 1 10000 6 0 = f) = g) 12100 = 1000 Píklad 16 : Ovte, zda platí rovnost: 18 6 29 11 a) = b) = c) = 21 77 19 7 17 8 20 0 d) = 100 200 9 e) = 1 60 2.. Pevádní zlomk na desetinné íslo a naopak 2..1. Pevádní zlomk na desetinné íslo 1) pevedeme zlomek na desetinný zlomek ; 2) vydlíme itatele jmenovatelem ; a) Dlení je ukonené ( zbytek je nula). b) Dlení není ukonené a za desetinnou árkou se opakuje stejná íslice nebo stejná skupina íslic. Tuto íslici nebo skupinu íslic nazýváme perioda. Nad periodou píšeme vodorovnou áru. Píklad 17 : Zlomky upravte na desetinné zlomky ( pokud je to nutné ) a potom pevete na desetinná ísla: 7 287 1 a) = f) - = k) = p) = 10 1000000 2 200 126 1 1 b) = g) - = l) - = r) - = 100 10 20 c) = 1000 7 h) 1000 = m) = 18 s) = 12 7 d) = 100 8 i) = 100 7 n) - = 20 0 t ) = 0 e) - 10000 = 2 j) = 10000 o) - = 2 u) = 8
7. roník -2. Racionální ísla Píklad : Pevete zlomky na desetinné íslo : a) 8 ešení : a) 8 = : 8 = 0,62 1 1 b) = 1 : 2 = 0, = 2 10 2. 2 7 c) = = 0,7. 2 100 d) : = 1,...= 1, e) 22 1 = 1 : 22 = 0,681 81...= 0,681 1 1 b) c) d) e) 2 22 Píklad 18 : Zlomky vyjádete desetinnými ísly a) 6 = d) 8 = 21 = g) - 12 j) 16 7 = 17 b) = c) - = 2 e) 16 9 = 91 f) = 1 21 h) = 2 9 i) - = 6 Píklad 19 : Zlomky vyjádete desetinnými ísly 7 29 19 ; ; ; 7 2 6 2 a) s pesností na setiny: ; 18 18 89 b) s pesností na tisíciny: ; ; ; ; 7 1 1 2 Píklad 20 : Napište jako desetinné íslo a urete periodu: 1 7 9 1 ; ; ; 9 27 6 7 a) ; 9 9 6 91 1 8 b) ; ; ; ; ; 22 11 7 6 2..2. Pevádní desetinného ísla na zlomek Píklad : Pevete desetinné íslo na zlomek v základním tvaru : a) 0, b) -1,1 1 ešení : a) 0, = 10 2 1 7 b) -1,1 = 1 1 100 0 Píklad 21 : Zapište jako zlomek v základním tvaru: 6
a) 0,12; 0,2; 1,2;,087; 8,02; 2, ; b),6; 8,00; 0,2;,92;,; 0,000; 7. roník -2. Racionální ísla 2.. Uspoádání racionálních ísel Píklad 22 : Zobrazte na íselné ose racionální ísla : a) 1 ; 1, 1,6 ; 1, ; 1,99 ; 16 ; b) 2 10 2 10 ; 2 10 9 ; 10 27 2 0 c) ; ; 100 ; 100 ; 10 100 d) 2,7 ; 2 10 ; 2, 210 7 ; 2,; e) 1 2 1 ; 1 6 10 ; 1 7 ; 27 2 f) - ; - ; - ; -100 10 100 100 27 2 0 g) ; -100 ; - ; 10 100 100 0 ; ; 2..1. Porovnávání zlomk Vtší je ten zlomek, který leží na íselné ose vpravo. a)se stejnými jmenovateli : Je vtší ten zlomek, který má vtšího itatele. Menší je ten zlomek, který má menšího itatele. Píklad: a) 1 < b) 2 > 1 b)se stejnými itateli : Je vtší ten zlomek, který má menšího jmenovatele. Je menší ten zlomek, který má vtšího jmenovatele. Píklad : a) > b) 7 < c)s rznými jmenovateli: 7
7. roník -2. Racionální ísla Pi porovnávání pevedeme zlomky na spoleného jmenovatele. Porovnáváme itatele rozšíených zlomk. Píklad: a) > 2 b) < 9 = 12 2 8 9 8 2 protože >, platí též > 12 12 12 oba zlomky porovnáme pomocí šipkového pravidla. <. 1 < 16 < Píklad 2 : Porovnejte podle velikosti dvojice zlomk: 1 1 7 11 7 17 a) ; ; g) ; ; l) - ; - ; 8 12 8 2 s) - 2 ; 6 ; b) 6 17 h) ; ; 2 1 m) - ; - ; 2 100 7 17 t) ; - ; 8 2 c) 2 ; 6 ; 1 0 i) ; ; 0 1 10 9 n) - ; - ; 9 9 1 u) ; -100 ; 2 7 17 d) ; ; 8 2 i) - - 7 11 o) - ; - ; 8 12 v) ; ; 7 1 e) ; ; 2 100 j) - - 6 17 p) - ; - ; 2 7 7 w) ; ; 9 10 10 9 f) ; ; 9 9 k) - 2 ; - 6 ; 1 0 r) - ; - ; 0 1 z) ; ; 8 Píklad 2 : Porovnejte ísla : a) 2 6 ; 2 ; b) 28 ; 2 ; 1 6 c) ; ; 7 e) 2 2 6 f) -2 6 ; -2 g) - 28 ; - 2 ; j) -9 10 7 ; - ; k) -2-2 6 l) -2 6 ; 2 1 6 n) - ; ; 7 o) 9 10 7 ; - ; p) -2 2 6 d) 9 10 7 ; ; 1 6 h) - ; - ; 7 m) 28 ; - 2 ; Píklad 2 : Které z ísel 1 2 9 1 2,,,,-, -, vyhovuje nerovnici x? 2 1 21 2 7 Píklad 26 : Seate zlomky podle velikosti: 9 20 7 16 2 2 a) ; ; ; ; ; ; ; ; 11 11 22 11 22 11 8
7. roník -2. Racionální ísla 6 8 19 11 b) ; ; ; ; ; ; ; 20 10 10 2 0 7 1 8 10 1 12 c) ; ; ; ; ; ; ; ; 8 6 12 6 9 12 6 8 19 11 1 d) - ; - ; - ; - ; - ; - ; - ; - ; 20 10 10 2 0 6 8 19 11 1 e) ; ; - ; ; - ; - ; ; - ; 20 10 10 2 0 9 11 Píklad 27 : Jedna dílna splnila svj plán na, druhá na. Která dílna zvítzila? 8 10 Píklad 28 : Ti podniky dostaly dohromady 80 000 K na odmny zamstnanc. 1 7 ástku si rozdlily tak, že první dostal, druhý a tetí. Urete, který podnik 8 2 dostal nejvtší a který nejmenší ástku. 2 7 Píklad 29 : Maminka dala na misku 60 tešní. Honza sndl, Mirek a Eva 12 20 10 tešní na misce. Vypoítejte: a) kdo sndl nejvíce tešní; b) kolik tešní sndl každý; c) kolik tešní zbylo na misce? Píklad 0 : Milan, Jana a Petr dostali na konci školního roku stejnou knížku. Na konci prázdnin ml Milan petenou 1, Jana 1 a Petr 9 2 knížky. Kdo z nich peetl nejvtší ást knížky a kdo nejmenší? Píklad 1 : Žáci soutžili v esání jablek. Z celkového množství 1 200 kg jablek 1 2 6 7 naesali žáci 6. A, žáci 6. B, žáci 6. C a žáci 6. D. Která tída naesala 8 16 0 nejvíce a která nejmén jablek? 2..2. Porovnávání zlomk a desetinných ísel Píklad 2 : Porovnejte : a) 2, 2 1 2 b) 12 1 2 c) 0,7 d) 2,1 2 10 12, 2 e) 100 f) 10, 27 100 g) 2,7 ; -2 10 h) 1 1 2-1,6 i) 0, j) -1 7 10 k) -1 1 2 100-1,07 1,777 9
7. roník -2. Racionální ísla 2.6. Poetní výkony se zlomky 2.6.1. Rovnost zlomk 10
ERROR: rangecheck OFFENDING COMMAND:.image STACK: -dictionary- -savelevel-