Nevlsní inegrál Dosud jsme se zbývli Riemnnovým inegrálem, kerý je denován pro ohrni enou funki f() n uzv eném inervlu, b. Teno ur iý inegrál jsme zpisovli ve vru V omo lánku pon kud roz²í íme pojem Riemnnov ur iého inegrálu i n p ípdy, kdy je inegr ní obor neohrni ený (j. (, b,, ) nebo p ípdn (, )) nebo je neohrni- ená inegrovná funke. Tyo zoben né ur ié inegrály se nzývjí nevlsní. Seznámíme se se dv m ypy nevlsníh inegrál. Obsh. Úvod 2. Nevlsní inegrál vzhledem k inervlu 2 3. Nevlsní inegrál vzhledem k funki 3 Úvod V p ípd Riemnnov ur iého inegrálu f()d jsme vyházeli ze dvou p edpokld : Inegr ní obor je kone ný uzv ený inervl, b. 2 Inegrovná funke f() je n omo inervlu ohrni ená (ohrni ená zdol i shor). Inegrály denovné z ho p edpokld nzýváme vlsní inegrály. Jesliºe se v ur iém inegrálu objeví neohrni ený inervl nebo neohrni ená funke, hovo íme o nevlsníh inegráleh. Rozeznáváme dv druhy nevlsníh inegrál : Je-li inervl, n kerém inegrujeme, neohrni ený, hovo íme o nevlsním inegrálu vlivem meze (prvního druhu, nevlsní inegrál n neohrni eném inervlu). Jde o inegrály ypu f()d, f()d, 2 Je-li inegrovná funke v inervlu, b neohrni ená, hovo íme o nevlsníh inegráleh vlivem funke (druhého druhu). hp://mhs.eon.muni.z/ Memik II. kpiol
Nevlsní inegrál Mh & Ss Suppor Cenre Nevlsní inegrál vlivem meze Neh funke f() je inegrovelná v inervlu, ), kde R. Eisuje-li vlsní b limi lim b + f()d, íkáme, ºe inegrál f()d konverguje. Pk pokládáme b Pokud limi lim b + f()d neeisuje nebo je nevlsní, pk íkáme, ºe inegrál diverguje. + Inerpre ní poznámk. Je-li singulri v dolní mezi, je denie nlogiká plí D leºié vrzení Pokud jsou singulární body v horní i v dolní mezi, pk inervl rozd líme bodem pí²eme f()d = f()d + f()d + lim + Témiký p íkld. Vypo e inegrál + 2 d. Budeme posupov podle denie. Nejprve nlezneme pomonou funki horní meze F () = f()d poom spo íáme její limiu L = lim + F (). F () = + 2 d = [rn ] = rn rn = rn, kºe L = lim + F () = lim + rn = π 2. Inegrál edy konverguje plí d = π + 2 2. Témiký p íkld. Vypo e inegrál + 2 d. Posupujeme sejn jko v p edházejíím p íkldu. F () = + 2 d = 2 2 + 2 d = 2 [ln( + 2 )] = 2 ln( + 2 ), kºe L = lim + F () = lim + ln( + 2 2 ) = +. Inegrál edy diverguje. Hndou 2 Memik II. kpiol
Nevlsní inegrál Mh & Ss Suppor Cenre Témiký p íkld. Vypo e inegrál 2 e 3 d. Funke f() = 2 e 3 je spojiá pro v²ehn reálná. Nlezn me nejprve primiivní funki k dné funki: subsiue : 2 e 3 d = 3 = 3 2 d = d = 3 e d = 3 e = 3 e3 + C. [ ] ) G() = 2 e 3 d = 3 e3 = ( e 3, kºe 3 ) L = lim G() = lim ( e 3 = lim 3 3 3 e 3 = = 3 3 3. Inegrál edy konverguje plí Cvi ení Vypo e inegrály () + 3 + 4 d (b) d 2 +2+5 2 e 3 d = 3. () + 2 + d (d) e 2 d ln Nevlsní inegrál vlivem funke Neh funke f() je inegrovelná v kºdém inervlu, kde < < b neh je f() neohrni ená v levém okolí bodu b (viz Obrázek ). Eisuje-li vlsní limi lim b f()d, íkáme, ºe inegrál f()d konverguje. Pk pokládáme Pokud limi lim b f()d neeisuje nebo je nevlsní, pk íkáme, ºe inegrál diverguje. b Obrázek. Funke neohrni ená v levém okolí bodu b. Hndou 3 Memik II. kpiol
Nevlsní inegrál Mh & Ss Suppor Cenre Bodu b, pro kerý plí, ºe v jeho levém okolí je funke f() neohrni ená konverguje íkáme singulární bod. f()d Inerpre ní poznámk. Je-li singulárním bodem bod (j. f() je neohrni ená v prvém okolí bodu f()d konverguje), je denie nlogiká pí²eme + D leºié vrzení Pokud jsou ob krjní body inervlu, b singulární funke f() je inegrovelná n, b, pk rozd líme inervl libovolným bodem (viz Obrázek 2) spo eme f()d = f()d + + f()d + lim b Pokud se singulri vyskyne uvni inervlu, b, pk inegrál rozd líme práv v omo bod (viz Obrázek 3) spo íáme f()d = f()d + f()d + lim + Obrázek 2. Funke se singulrimi v obou krjníh bodeh. Obrázek 3. Funke se singulriou uvni. Hndou 4 Memik II. kpiol
Nevlsní inegrál Mh & Ss Suppor Cenre Témiký p íkld. Vypo e inegrál 2 d. Inegrovná funke je spojiá n inervlu, ) v bod = není denován. Prooºe plí lim 2 = ( ) = +, jedná se o nevlsní inegrál z neohrni ené funke. + Nejprve nlezneme pomonou funki F () = limiu zlev L = lim F (). F () = 2 d = = 2 [ /2 /2 ] 2 subsiue : 2 = 2d = d d = 2 d, 2 f()d, < poom spo íáme její = 2 = [ ] 2 = 2. Vypo eme limiu pro : L = lim F () = lim ( 2 ) = =. Inegrál je edy konvergenní plí: Témiký p íkld. Vypo e inegrál 4 2 d =. d. 2 d = Inegrovná funke je spojiá n inervlu (, 4 v bod = není denován. Prooºe plí lim + = ( ) = +, jedná se o nevlsní inegrál z neohrni ené funke. Grfem + funke je rovnoosá hyperbol s sympomi = y =. Nejprve vypo eme ur iý inegrál n inervlu (, 4, kde < 4: G() = 4 d = [ln ]4 = ln 4 ln. Nyní vypo eme limiu pro + : L = lim + G() = lim +(ln 4 ln ) = ln 4 () = +. Inegrál je edy divergenní. Cvi ení 2 Vypo e inegrály () d 5 3 (b) Odpov di n vi ení Cvi ení ln d () π 2 d sin os (d) () diverguje; (b) 3π ; () diverguje; (d). 8 Cvi ení 2 () 5 ; (b) ; () diverguje; (d) diverguje. 2 2 d 2 4+3 Hndou 5 Memik II. kpiol