Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Transkript

1 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >, <, ), přípdně (, ) ) neo je neohrničená integrovná funke. Tyto zoeněné určité integrály se nzývjí nevlstní. Seznámíme se se dvěm typy nevlstníh integrálů. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte pojem určitý integrál, předpokldy eistene vlstnosti určitého integrálu, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu. Předpokládá se znlost pojmu limit funke postupy výpočtu těhto limit (Mtemtik I, kpitoly...). Výkld V definii Riemnnov určitého integrálu f ( d ) jsme vyházeli ze dvou předpokldů:. Integrční oor je konečný uzvřený intervl <, >.. Integrovná funke f( ) je n tomto intervlu ohrničená (ohrničená zdol i shor viz or...5). Integrály definovné z těhto předpokldů nzýváme vlstní integrály. Jestliže se v určitém integrálu ojeví neohrničený intervl neo neohrničená funke, hovoříme o nevlstníh integráleh. Rozeznáváme dv druhy nevlstníh integrálů:. Je-li intervl, n kterém integrujeme, neohrničený, hovoříme o nevlstním integrálu prvního druhu (nevlstní integrál n neohrničeném intervlu). Jde o integrály typu f ( d ), f ( d ), f ( d ).. Je-li integrovná funke v intervlu <, > neohrničená (tedy nespojitá), hovoříme o nevlstníh integráleh druhého druhu. e Může se vyskytnout i komine uvedenýh dvou typů, npříkld integrál d

2 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Nevlstní integrály. druhu (integrály n neohrničeném intervlu) Uvžujme funki f( ) definovnou n intervlu <, ), R. Předpokládejme, že pro kždé <, ) eistuje určitý integrál f ( d ). Pk můžeme definovt funki F vzthem F () = f() d,. Nyní udeme neomezeně zvětšovt horní mez udeme sledovt, jk se hová veličin F (). Situe je znázorněn n orázku.5.. Or..5.. Definie nevlstního integrálu n neohrničeném intervlu <, ) Zelená ploh předstvuje hodnotu integrálu f ( d ). Při posouvání nás ude zjímt, zd se hodnot tohoto integrálu líží k nějkému konečnému číslu L (tj. zd eistuje konečná limit) neo tto hodnot roste nde všeky meze (limit je hodnot neeistuje (hodnot osiluje). Definie.5.. (Definie nevlstního integrálu. druhu) Je-li funke f( ) spojitá pro všehn čísl, pk integrál tvru f ( d ) neo ), přípdně nzýváme nevlstní integrál prvního druhu (n nekonečném intervlu) přiřzujeme mu hodnotu rovnou limitě f ( d ) = lim f( d ) = L

3 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvžovný nevlstní integrál konverguje (je konvergentní). V opčném přípdě, tj. když limit je nevlstní ( L = neo L = ) neo neeistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje (je divergentní). Řešené úlohy Příkld.5.. Vypočtěte integrál d. + Řešení: Budeme postupovt podle definie.5.. Nejprve nlezneme pomonou funki horní meze F () = f() d potom spočítáme její limitu L = lim F ( ). [ ], tkže + F ( ) = d= rtg = rtg rtg = rtg π L= lim F( ) = lim rtg =. Integrál tedy konverguje pltí π d =. + Or..5.. Grf funke f( ) = pro

4 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Příkld.5.. Vypočtěte integrál d. + Řešení: Postupujeme stejně jko v předházejíím příkldu , tkže F() = d = d = ln( + ) = ln( ) L= lim F( ) = lim ln( + ) =. Integrál tedy diverguje. Or..5.. Grf funke f( ) = pro + Příkld.5.. Vypočtěte integrál Řešení: V tomto přípdě je os d. [ ], tkže F () = osd= sin = sin L = lim F ( ) = lim sin neeistuje (hodnoty funke osilují mezi - +. Integrál tudíž rovněž diverguje. - -

5 Mtemtik II Příkld.5.. Pro která p je nevlstní integrál p d, p > konvergentní?.5. Nevlstní integrály Řešení: Nejprve počítejme tento integrál pro p. p+ p p p ( ) F () = d= = + p. p Musíme určit limitu lim. Jedná se o moninnou funki s eponentem s = p. N orázku.5. jsou grfy moninné funke s y =, > pro různá s (viz Mtemtik I, kpitol.5.). Or..5.. Grf funke y =, s R, > s Z grfu.5. vidíme, že pro s = p > (tedy pro p < ) je p ( ) L= lim F( ) = lim =, integrál diverguje. p p lim =, proto Pro s = p< (tedy pro p > ) je p ( ) p lim =, proto L= lim F( ) = lim = =, integrál konverguje. p p p Ještě musíme uvžovt možnost, že p =. V tomto přípdě F( ) = d = [ ln ] = ln ln = ln, pk - -

6 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály L= lim F( ) = lim ln =,, integrál diverguje. Shrnutí: konverguje pro p > d p. diverguje pro p Poznámky. Hrnie mezi konvergení divergení je p =.. Stejný výsledek dostneme i pro přípdy, kdy dolní mez integrálu neude, le liovolné číslo d >. Výkld Nprosto nlogiky definujeme nevlstní integrál f ( d ) n intervlu (, >, R. Předpokládejme, pro kždé (, > eistuje určitý integrál f ( d ). Pk můžeme definovt funki G vzthem G () = f() d, vyšetřujeme limitu L = lim G ( ). Terminologie je stejná jko v definii.5.. Or Definie nevlstního integrálu n neohrničeném intervlu (, > Poznámk Je-li funke f( ) spojitá n intervlu (, ) konvergují-li pro liovolné číslo o - -

7 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály nevlstní integrály L = f( ) d, L = f( ) d, pk definujeme nevlstí integrál n intervlu (, ) : f ( d ) = L+ L. Příkld.5.5. Vypočtěte integrál e d. Řešení: Funke f ( ) = e je spojitá pro všehn reálná. Nlezněme nejprve primitivní funki k dné funki: sustitue: t t e d= = t = e dt = e = e + C d= dt. G () = e d= e = e, tkže L lim G( ) lim e = = = lim e = =. Integrál tedy konverguje pltí Příkld.5.6. Vypočtěte integrál e d=. d +. Řešení: Integrál rozdělíme n dv nevlstní integrály npř. d = d + d. Pro první integrál pltí G () = d= d= rtg rtg = + +, - -

8 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály π π L = lim G( ) = lim ( rtg ) = = (konverguje). Pro druhý integrál dostneme F( ) = d = d = rtg rtg = + + L, π π = lim F( ) = lim ( rtg ) = = (konverguje). Tedy L = L (grf je souměrný podle osy y).. To nás nepřekvpuje, protože integrovná funke f( ) = je sudá + Or Grf funke f( ) = + π π π Proto d = L + L = + = (integrál konverguje). + Poznámk Pomoí nevlstního integrálu. druhu definujeme pro > funki Gm: t Γ ( ) = e t dt, která má řdu zjímvýh vlstností. Npříkld pltí Γ () =, Γ ( n+ ) = n! pro n N. - -

9 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Nevlstní integrály. druhu (integrály z neohrničené funke) Uvžujme funki f( ) definovnou n intervlu <, ),, R, <. Předpokládejme, že je tto funke spojitá n intervlu <, ) pro kždé <, ) (tedy eistuje určitý integrál vzthem f ( d ) ), ztímo lim f( ) =. Pk můžeme definovt funki F F () = f() d, <. Nyní udeme sledovt, jk se hová veličin zlev. Situe je znázorněn n orázku.5.7. F (), když se horní mez přiližuje k odu Or Definie nevlstního integrálu z neohrničené funke n intervlu <, ) Modrá ploh předstvuje hodnotu integrálu f ( d ). Při posouvání nás ude zjímt, zd se hodnot tohoto integrálu líží k nějkému konečnému číslu L (tj. zd eistuje konečná limit), neo zd se tto hodnot nekonečně zvětšuje (limit je přípdně hodnot neeistuje (hodnot osiluje). Definie.5.. (Definie nevlstního integrálu. druhu) Je-li funke f ( d ) neo ), f( ) spojitá n intervlu <, ), ztímo lim f( ) =, pk integrál tvru nzýváme nevlstní integrál druhého druhu (neohrničené funke) přiřzujeme mu hodnotu rovnou limitě - 5 -

10 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály f ( d ) = lim f( d ) = L. Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvžovný nevlstní integrál konverguje (je konvergentní). V opčném přípdě, tj. když limit je nevlstní ( L = neo L = ) neo neeistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje (je divergentní). Řešené úlohy Příkld.5.7. Vypočtěte integrál d. Řešení: Integrovná funke je spojitá n intervlu <, ) v odě =není definován (or..5.8). Protože pltí lim. druhu (z neohrničené funke). + = =, jedná se o nevlstní integrál Or Grf funke f( ) = Nejprve nlezneme pomonou funki F () = f() d, < potom spočítáme její limitu zlev L= lim F( )

11 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály sustitue: = t t F () = d= d= dt = dt t = = t d = dt, = =. Vypočteme limitu pro : L= lim F( ) = lim = =. Integrál je tedy konvergentní pltí: d =. Výkld Nprosto nlogiky definujeme nevlstní integrál f ( d ) n intervlu (, >,, R, <. Předpokládejme, že je tto funke spojitá n intervlu (, > pro kždé (, > (tedy eistuje určitý integrál f ( d ) ), ztímo lim f( ) =. Pk + můžeme definovt funki G vzthem G () = f() d, <. Vyšetřujeme limitu pro +. Terminologie oznčení jsou stejné jko v definii

12 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Or Definie nevlstního integrálu z neohrničené funke n intervlu ( >, Poznámk Má-li integrovná funke víe odů, v nihž je funke neohrničená ( lim f( ) = ), rozdělíme intervl integre n tolik dílčíh intervlů, y v kždém z nih yl jediný od v horní neo v dolní mezi, ve kterém je limit nevlstní. Konvergují-li nevlstní integrály ve všeh těhto dílčíh intervleh, pk z jeho hodnotu n elém intervlu povžujeme součet jeho hodnot n dílčíh intervleh. Je-li nevlstní integrál divergentní spoň n jednom dílčím intervlu, povžujeme jej z divergentní n elém intervlu. Řešené úlohy Příkld.5.8. Vypočtěte integrál d. Řešení: Integrovná funke je spojitá n intervlu (, > v odě = není definován. Protože pltí lim = =+, jedná se o nevlstní integrál. druhu (z neohrničené + + funke). Grfem funke je rovnoosá hyperol s symptotmi = y =. Nejprve vypočteme určitý integrál n intervlu (, >, < : G ( ) = d= [ ln ] = ln ln. Nyní vypočteme limitu pro + : - 8 -

13 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály + + ( ) L= lim G( ) = lim ln ln = ln ( ) =. Integrál je tedy divergentní. Příkld.5.9. Vypočtěte integrál d. Řešení: Studenti ovykle postupují následujíím způsoem: d = ( ) = + =. Někteří studenti dvkrát podtrhnou výsledek jsou spokojeni, jk to lehe zvládli. Přemýšlivé studenty výsledek zrzí. Vždyť pro integrční oor <, > je integrnd vždy kldný ( >, viz or..5.), tedy hodnot integrálu musí ýt kldná (lze ji interpretovt jko osh plohy pod dnou funkí). Kde je hy? Or..5.. Grf funke f( ) = Je zřejmé, že dná funke je n intervlu <, > neohrničená není definován v odě =. Rozdělíme tento intervl n dílčí intervly, y nevlstní limit yl vždy jen v jednom krjním odě intervlu: d = d + d udeme počítt dv nevlstní integrály. F () = d= = L = lim F( ) = lim = =

14 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Proto d diverguje. Pro druhý integrál vypočteme (podle předházejíí poznámky to není nutné): G () = d= = + L = lim F( ) = lim = + =. + Proto tké d diverguje. Shrnutí: Integrál d je divergentní. Poznámk. Nevlstní integrál prvního druhu (n neohrničeném intervlu) poznáte sndno, neoť v mezíh figuruje symol neo. Prolemtičtější je situe u nevlstníh integrálů druhého druhu, neoť n první pohled nemusí ýt ptrné, že je integrnd neohrničená funke, že se jedná o nevlstní integrál. Pokud ude student postupovt, jko y se jednlo o oyčejný integrál, může dostt nesprávný výsledek.. To, že v některém odě není integrovná funke definován ještě neznmená, že musí jít o nevlstní integrál. Npříkld funke sin tedy funke je ohrničená. Proto integrál není definován pro =, le sin lim =, π sin d není nevlstní, le jedná se o oyčejný integrál. To, že nám ude výpočet tohoto integrálu dělt potíže (viz kpitol.7), je jiný prolém. Bude nutno použít nějkou numerikou metodu. Kontrolní otázky. Zpište definii nevlstního integrálu n intervlu (, >, R (nlogie definie.5.).. Kdy je nevlstní integrál konvergentní kdy je divergentní?. Jký je rozdíl mezi nevlstními integrály prvního druhého druhu? - -

15 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály. Zpište definii nevlstního integrálu n intervlu (, >,, R, <, jestliže lim f( ) = (nlogie definie.5.) Je nevlstní integrál π 6. Jsou integrály d konvergentní?. sin d ln d nevlstní? 7. Pro která p je integrál p d konvergentní? (Anlogie příkldu.5..). ) d) g) Úlohy k smosttnému řešení d ) d + e) d h). ) d ) d) e d e) g) rtg d h) d ) d f) d + + i) ln d ) rtg d + f) d i) + d d + + d + e ln e e d d d. ) d) d ) 5 7 d e) 8 d ) ln d d f) ( ) d - -

16 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály. ) d) d ) ln d e) π d ) sin os d f) rsin d + π tg d Výsledky úloh k smosttnému řešení π π π. ) diverguje; ) ; ) diverguje; d) ; e) ; f) 8 8 ; g) π 5 5 ; h) π ; i) ln.. ) ; ) diverguje; ) ; d) ; e) 8ln π π π ; f) ; g) ; h) ; i).. ) 5 8 e ; ) ; ) ; d) e) ln ; f) diverguje. 5 ; e) diverguje; f) π.. ) ; ) diverguje; ) diverguje; d) ; Kontrolní test. Rozhodněte, zd nevlstní integrál d + je ). druhu rovná se, ). druhu diverguje, ). druhu rovná se, d). druhu diverguje.. Rozhodněte, zd nevlstní integrál + d je ). druhu rovná se, ). druhu rovná se, ). druhu diverguje, d). druhu diverguje.. Rozhodněte, zd nevlstní integrál d + + je ). druhu diverguje, ). druhu rovná se π, ). druhu rovná se π, d). druhu diverguje. - -

17 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály. Rozhodněte, zd nevlstní integrál e d je ). druhu diverguje, ). druhu rovná se ). druhu diverguje, d). druhu rovná se 5. Vypočtěte nevlstní integrál ) d +. 6 π, ) 6 π, ) π, 6. Vypočtěte nevlstní integrál ) d., e. e π π, ) diverguje, ), d). 7. Vypočtěte nevlstní integrál e d. ), ), ) diverguje, d). 8. Vypočtěte nevlstní integrál π tg d. π d) diverguje. ), ) ln, ) diverguje, d) ln. 9. Vypočtěte nevlstní integrál e d ln. ), ), ) diverguje, d).. Vypočtěte nevlstní integrál 6 d. ( ) ) 6, ) diverguje, ), d)

18 Mtemtik II.5. Nevlstní integrály Výsledky testu. );. );. );. d); 5. ); 6. ); 7. ); 8. ); 9. d);. ). Průvode studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdeh, pokrčujte dlší kpitolou. V opčném přípdě je tře prostudovt kpitolu.5 znovu. Shrnutí leke Rozlišujeme dv druhy nevlstníh integrálů. Jednk může ýt integrál nevlstní kvůli tomu, že je integrční oor neohrničený (nevlstní integrály prvního druhu) neo není n integrčním ooru ohrničená integrovná funke (nevlstní integrály druhého druhu). Je-li funke f( ) definován n intervlu <, R zprv otevřeném integrovtelná n kždém dílčím uzvřeném intervlu <, >, <, pk definujeme nevlstní integrál prvního druhu f ( d ) = lim f( d ) n intervlu, ) druhého druhu f ( d ) = lim f( d ) <, resp. nevlstní integrál pro funki ( ) neohrničenou pro f. Anlogiky se zvedou nevlstní integrály n zlev otevřeném intervlu <, R. - -