Motivácia. Väčšina úloh vo fyzike je založená na hľadaní závislosti nejakých veličín od iných veľmi často od času: x(t) U(t) I(t)

Transkript

1 Moiváci Väčšin úloh vo fyzike je zložená n hľdní závislosi nejkých veličín od iných veľmi čso od čsu: () U() I() Väčšin fyzikálnych zákonov nehovorí primo o ýcho čsových priebehoch, le o om, ko rýchlo s dná veličin mení: Rýchlosť zmeny rýchlosi eles: Rýchlosť zmeny npäi n kondenzáore: Rýchlosť zmeny poču rádiokívnych jdier: Vo všekých ýcho zákonoch vysupuje okmžiá rýchlosť dnej veličiny, z korej ju reb vypočíť dv d du d dn d F m i C N v u Inegrovnie - Operáci, korá dokáže z derivácie dnej veličiny (z rýchlosi jej zmeny) zrekonšruovť úo veličinu N

2 v Proces rekonšrukcie dnej veličiny, z rýchlosi jej zmeny V i, priemer v d d 0 1 Δ i

3 Geomerický význm určiého inegrálu v V i, priemer Ploch vyšrfovného obdĺžnik zodpovedá posunuiu eles v čsovom inervle Δ i 0 v d lim v 0 i Je o číslo, koré zodpovedá ploche pod krivkou. i i i 0 1 Δ i URČITÝ INTEGRÁL geomericky zodpovedá ploche pod krivkou v.

4 Hrubšie delenie inervlov + - S n - Hodno, k poče obdĺžnikov je n Jemnejšie delenie inervlov Pri nekonečnom delení sumu príspevkov môžeme zpísť ko určiý inegrál

5 Vlsnosi určiého inegrálu

6 Vlsnosi určiých inegrálov b c b c b b f d f d f d f d f d f d c c Oočenie inegrčných hrníc: c c lim lim f d f f i i i i1 i i0 i0 i i lim lim f d f f i i i i1 i i0 i0 i i i+1 i > 0 Opčné znmienk!!!! i+1 i < 0 c c f d f d

7 f d 0 b kf d k f d b b b b f g d f d g d

8 c b c f d f d f d b

9 Inegrál ko funkci hornej hrnice Ambicióznejši úloh : Určme polohu eles () v koromkoľvek čse, nielen v čse = 1 Prírsok súrdnice počs dného čsového inervlu v 0 i i i Čs je premenná preo celý inegrál je funkciou čsu. v i priemerná rýchlosť v čsovom inervle Δ i lim 0 i i v v d i i 0 = v d v okmžiá rýchlosť

10 Inegrál ko funkci hornej hrnice 0 v d 0 URČITÝ INTEGRÁL ko funkci hornej hrnice URČITÝ INTEGRÁL s hornou hrnicou fyzikálne zodpovedá posunuiu eles v čsovom inervle < 0,>. Už o nie je číslo, le funkci.

11 Geomerický význm určiého inegrálu v Ploch vyšrfovného obdĺžnik zodpovedá posunuiu eles v čsovom inervle Δ i 0 v d lim v 0 i i i i V i, priemer 0 Δ i URČITÝ INTEGRÁL geomericky zodpovedá ploche pod krivkou v.

12 V ejo čsi je rýchlosť kldná, -ov súrdnic nrsá, eleso s pohybuje v smere v v 0 V ejo čsi je rýchlosť záporná, -ov súrdnic s zmenšuje, eleso s pohybuje dozdu, hodno inegrálu klesá. v d 0 0

13 Ako nájsť hodnou určiého inegrálu respekíve, ké požidvky musí spĺňť : Vypomôžeme si fyzikou: v d d d 0 0 d 0 d v d d d d v v d d 0 0 d v d 0 v d Treb nájsť kú funkciu, korú keď zderivujeme, dosneme podinegrálnu funkciu

14 Inegrál ko funkci hornej v d d d d d 0 0 d 0 v d d v d I d d v d 0 0 hrnice ANALÓGIA v memike I f d d I d d lim f d f f d f d f d lim lim lim I I f lim d 0 0 d Inegrujeme nd infinienzimálnou oblsťou, nd korou môžeme povžovť funkciu z konšnnú f

15 f f Δ + d I f d f d f d lim lim lim d Inegrujeme nd infinienzimálnou oblsťou, nd korou môžeme povžovť funkciu z konšnnú f

16 d d f d f d f d f d

17 Neurčiý inegrál Funkci F() je primiívn funkci n inervl (,b) k plí: F f Primiívn funkci Ak poznáme primiívnu funkciu F() k primiívn funkci bude j F() +C. Súhrn všekých primiívnych funkcií nzývme neurčiým inegrálom zpisujeme: f d F C Neurčiý inegrál nemá hrnice n rozdiel od určiého

18 Primiívn funkci Funkci F() je primiívn funkci k funkcii f() n inervl (,b) k plí: Primiívn funkci F f Ted k chceme dokázť, že nejká funkci je primiívn k funkcii f(), sčí ukázť, že jeje deriváci s rovná funkcii f() Funkcie: F = ln G = ln 5 sú n inervl (0, ) primiívne k funkcii f = 1 F = 1 G = 5 5 = 1 K dnej funkcii môže n dnom inervle eisovť vic funkcií k nej primiívnych Ak poznáme primiívnu funkciu F() k primiívn funkci bude j F() +C.

19 f d F C F f Neurčiý inegrál Derivovním ľhko overíme prvdivosť vrdení: d d c c d d d c c d sin sin sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin Poprípde úprvmi s presvedčíme, či s líši obe primiívne funkcie ib konšnou: sin d sin c sin d cos c 1 sin c sin c 1

20 Súvis medzi určiým neurčiým inegrálom Ukázli sme že: I f d d d f d f f d f I f I() je ed jedn z mnohých primiívnych funkcií preo: Zoberme nejku F(), korá nie je idenická s I() F I C

21 F I C f d C Nech =: F I C f d C F C Horná dolná hrnic sú rovnké F I F Newonov-Leibnizov vzorec f d F F Sčí nájsť resp. si vybrť jednu konkrénu primiívnu funkciu F od jej hodnoy v bode zodpovedjúcom hornej hrnici, odpočíť jej hodnou v bode zodpovedjúcom dolnej hrnici určiého inegrálu.

22 Ukážme si o eše rz n príklde korý je nám známy z fyziky : HB vykonáv rovnomerne zrýchlený pohyb, predpokldjme, že počiočná rýchlosť v čse =0s je v(0)=v, (0)=0m 0 0 v v 0 Výpoče cez určiý inegrál: Prírsok súrdnice,.j. posunuie eles v čsovom inervle < 0, >: Tvr funkcie ()- musí byť ký, že keď zderivujeme inegrál dosneme rýchlosť v, korá predsvuje podinegrálnu funkciu v=+v 0 nvyše sú splnené počiočné podmienky: Tu sme obmedzený n výber konkrénej primiívnej funkcie, korá spĺň počiočné podmienky: - 0 v čse 0 je nulová 0 vd v d 0 0 d d v0 Výpoče cez neurčiý inegrál: Nájdime vr primívnej funkcie F(). Jednu už máme, osné s líši o konšnu C: 1 F() v0 C

23 Využijeme odvodený vzťh medzi neurčiým určiým inegrálom: Newonov-Leibnizov vzorec f d F F 1 1 vd F F 0 v0 C C v0 0 Súrdnic, korú má hmoný bod v čse, k v počiočnom čse 0 =0s bol jeho poloh 0 =C Súrdnic, korú má hmoný bod v počiočnom čse 0 =0s,.j 0 =C Je úplne jedno, ká bol počiočná podmienk, preože posunuie /dráh/ v čsovom inervle < 0, > závisí ib od oho, čo s dilo počs oho inervlu nie od oho, čo s dilo mimo oho inervlu.

24 Čo o vlsne znmená? 1 F vd v0 C Primiívn funkci F() určuje v podse súrdnicu HB, korého poloh v čse 0 =0s bol (0)=C, rýchlosť v(0)=v 0. HB vykonávl rovnomerne zrýchlený pohyb pričom v=+v 0. ( ) Krivky sú nvzájom posunué o konšnu 1 + v v Čs ( ) Všeky krivky mjú v dnom bode rovnké smernice doyčníc,.j. rýchlosí Je úplne jedno, ká bol počiočná podmienk, preože posunuie /dráh/ v čsovom inervle < 0 > závisí ib od oho, čo s dilo počs oho inervlu nie od oho, čo s dilo mimo oho inervl.

25 (m) Čo o vlsne znmená? 1 F vd v0 C (0) = 0 m (0) = 100 m (0) = -100 m Primiívn funkci F() určuje v podse súrdnicu HB, korého poloh v čse 0 =0s bol (0)=C, rýchlosť v(0)=v 0. HB vykonávl rovnomerne zrýchlený pohyb pričom v=+v 0. Krivky sú nvzájom posunué o konšnu, korá zodpovedá počiočnej polohe 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 (s) 1 + v v v 0 Všeky krivky mjú v ľubovoľnom čse rovnké smernice doyčníc,.j. rýchlosí Je úplne jedno, ká bol počiočná podmienk, preože posunuie /dráh/ v čsovom inervle < 0 > závisí ib od oho, čo s dilo počs oho inervlu nie od oho, čo s dilo mimo oho inervl.

26 Určiý inegrál Zhrnuie f d lim fii f d f 0 0 i i d d F f Neurčiý inegrál f d F C Možnosť, ko zo znlosi derivovnej funkcie možno zrekonšruovť pôvodnú funkciu Newonov-Leibnizov vzorec f d F F

27 Inegrovnie Inegrovnie hľdnie funkcie, korej deriváci je inegrovná funkci Šndrné meódy inegrovnie Úprv inegrálov meód per pres subsiučná meód

28 Neurčiý inegrál f d F C F f Zákldné vzorce inegrovni

29 Zákldné vzorce inegrovni

30 d ln c dln ln ln d ln C ln C d dln ln ln 1 d ln C ln C d Logrimus, by bol definovný vyžduje kldný rgumen

31 Vlsnosi neurčiých inegrálov kf d k f d f d F C F f d kf d kf d d k f d k f d k f d d kf f 1 f d f1 d f d

32 Úprv inegrálov Inegrovnie hľdnie funkcie, korej deriváci je inegrovná funkci Vhodnými úprvmi s prevedieme inegrál do kého vru, že inegrovnie môžeme vykonť podľ zákldných vzorcov inegrovni

33 Meód - úprv inegrálov d 3 d 3 3 d 1 3 cos 6 1 sin d d n d n1 c n 1 n 1 n 1 ln c 1 d rcg C 1 d C ln 1 d g C cos 1 d cog C sin

34 Ťžisko r T i mr M i i Súsv hmoných bodov r T r dm M Tuhé eleso Ťžisko súsvy hmoných bodov (resp. eleso) s pohybuje k, koby s pohybovl HB s hmonosťou celej súsvy, keby nň pôsobil sil rovnjúc s vekorovému súču všekých vonkjších síl pôsobicich n susvu (resp. eleso )

35 Nájdie ťžisko

36 Ťžisko rojuholník T y M yd y dm b y b M M b y T M yd dm b M M b y Ťžisko vrsvy

37 Ťžisko kuželu y H R R r H y H y r H dy Tenká vrsv r y H y T ydm M H 0 y M r dy R

38 Ťžisko polgule r R y y r R y T ydm M H 0 y M r dy

39 Meód per pres uv uv uv uv uvd uvd uv je primiívn funkci k u v + uv Dný inegrál s rozloží n iný inegrál, korý je známy lebo jednoduchší v vd uvd uv uv d

40 Meód per pres uvd uv uv d Voliť zderivovnú nezderivovnú funkciu s rozumom Meód s dá použiť j vedy, keď podinegráln funkci nie je dná súčinom dvoch funkcií Meód s dá použiť j niekoľkokrá z sebou

41 e d Voliť zderivovnú nezderivovnú funkciu s rozumom!!! u u d e d e e d v e v e Inegrál je zložiejší ko pôvodný nerozumný posup!!!! Skúsme vymeniť funkcie: u e u e d e e d e 1e d e e C v v 1

42 ln d Meód s dá použiť j vedy, keď podinegráln funkci nie je dná súčinom dvoch funkcií. Z druhú hunkciu budeme povžovť konšnu 1. ln d u ln u ln d???? 1 ln d v 1 v Inegrál ýmo spôsobom nevyriešime, lebo by sme s zcyklili nevhodný posup!!!! Skúsme opčnú voľbu derivovnej nederivovnej funkcie: u 1 u 1d 1 ln d 1 ln d 1 ln d ln c v ln v

43 e cos d Meód s dá použiť j vickrá z sebou u e u e d e e cos d e cos e sin d e cos e sin d v cos v sin Použime eše rz meódu per pres: u = e v = sin u = e d = e v = cos e cos d e cos e sin e cos e cos e sin e cos Rovnice o jednej neznámej, korou je náš inegrál 1 e cos d e cos e sin e cos d e cos e sin C

44 n ln d ln d cos ln d

45 u ln u ln d ln d ln c v v d u u 3 3 lnd ln 3 ln d v ln v ln ln 3 ln 3 ln 3 ln d d d ln d ln 3 ln d 4 4

46 Inegrovnie subsiúciou d f g( ) g d f d 3 cos 3 d 3 e d sind sin cos d sin 6 sin cos sin 5 3 ln d ln 5 rcg d rcg 1 d e d rcg d f f d

47 1e 3e 1e d 1 e d d e d 1 e d d 1 e e e d e e d d d C / 1e C

48 1e 3e 1e d d e d e d d e e d e e d d C 3/ 3 1/ / 1e C