ROVNICE, NEROVNICE A PRŮBĚH FUNKCÍ

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ SEKCE ROVNICE, NEROVNICE A PRŮBĚH FUNKCÍ (EQUATIONS, UNEQUATIONS AND BEHAVIOUR OF FUNCTIONS) RIGORÓZNÍ PRÁCE OBOR UČITELSTVÍ MATEMATIKY PRO STŘEDNÍ ŠKOLY ZAMĚŘENÍ DIDAKTIKA MATEMATIKY PAVEL KOLISKO

2 Prohlšuji, že jsem rigorózní práci vyprcovl smosně s použiím uvedené lierury.

3 - - OBSAH Úvod I. Progrm pro zobrzování funkcí. Rozhrní progrmu Možnosi využií progrmu II. Sbírk řešených příkldů. Přehled použié symboliky Sručný přehled eorie Vlsnosi definiční obor funkcí Lineární rovnice Lineární nerovnice Rovnice nerovnice v součinovém vru Rovnice v podílovém vru Nerovnice v podílovém vru Kvdrické rovnice Kvdrické nerovnice Eponenciální rovnice Eponenciální nerovnice Logrimické rovnice Logrimické nerovnice Rovnice s bsoluní hodnoou Nerovnice s bsoluní hodnoou Ircionální rovnice Goniomerické rovnice Goniomerické nerovnice Rovnice nerovnice s prmerem Sousvy dvou rovnic se dvěm neznámými Sousvy více rovnic s více neznámými Sousvy nerovnic Limi funkce Derivce funkce Inegrální poče Seznm lierury Přílohy

4 - -

5 - - ÚVOD Hlvním cílem éo rigorózní práce je usndni sudenům pochopení učiv reálných funkcí reálné proměnné při sudiu n sřední škole připrvi je v éo oblsi k muriní zkoušce i k přijímcím zkouškám n vysoké školy, neboť oo ém pří ve sředoškolské memice ke klíčovým je mu věnován znčná čás hodinové doce. Práce je určen ké pedgogům pro usndnění jejich náročné práce. Tvoří ji dvě hlvní čási. První čásí je progrm pro zobrzování funkcí s popisem jeho rozhrní uvedením možnosí jeho využií. Ke vzniku progrmu mě vedl nedosek jednoduchého volně přísupného progrmového vybvení podobného ypu sálá pořeb podpory názornosi, rozvoje předsvivosi bsrkce sudenů při výuce memiky. I po několik úvodních hodinách do éo problemiky, po podání eoreických zákldů seznámení s pojmem funkce, sudeni věšinou ne zcel porozumí podsě nového pojmu bez použií názorné pomůcky. N mnoh školách je do výuky zřzen zpěný projekor s promíáním fólií, kde lze ukáz zobrzování souřdného sysému jednolivých memických funkcí, keré lze posouv, sklád, přidáv. Ješě efeknější je nhrzení plán bulí, n kerou lze fiou libovolně i brevně přidáv následně i mz dlší objeky. Proože žijeme ve svěě rychle se rozvíjejících informčních echnologií věšin škol má lespoň jednu vybvenou učebnu výpočení echniky, nbízí se možnos uplnění víceúčelového výukového sofwru, kerého je ovšem zvlášě pro memiku velice málo čso není vyvořen pedgogy, by splňovl jejich předsvy. Výhodou mého sofwrového produku je o, že nemusí bý vázán pouze n společnou práci ve vyučovcí hodině, le lze ho doporuči i k individuální příprvě mimo vyučovcí hodinu i školu. Použií výpočení echniky, kerá je u sudenů velmi oblíbená, má v memice i moivční význm. Progrm umožňuje zobrzení všech funkcí povinného i rozšiřujícího sudi všech ypů sředních škol včeně funkcí cyklomerických hyperbolických. Zákldní elemenární funkce lze zdáv pomocí koeficienů vybrného memického předpisu, obecné funkce jsou dány zápisem rovnice. Progrm umožňuje grfy do zobrzovcí plochy přidáv i odebír, sledov rovnice zdných funkcí, jejich průsečíky se souřdnými osmi, zvěšov zmenšov měříko, pohybov zobrzovcí plochou. Ovládání progrmu je jednoduché drží se zvyklosí při obsluze progrmů n plformě Windows včeně práce se soubory isku. Druhou čás mé práce voří sbírk řešených příkldů členěná do jednolivých kpiol. Její hlvní náplní je řešení rovnic nerovnic, součásí je i diferenciální inegrální poče. Vzorově řešené příkldy s úplným řešením mjí sudenům ukáz, jk příkldy řeši po sránce formální i obshové. Obshovou náplní jsou ypové i dlší příkldy seřzené dle obížnosi náročnosi memických opercí logických úvh. Jedná se o příkldy z vlsních zdrojů, všk sejné zdání s příkldy z jiných zdrojů vylouči nelze. V příkldech jsou kromě učiv reálných funkcí reálné proměnné procvičovány operce s reálnými čísly, bsoluní hodno, úprvy výrzů, práce s prmerem, zákldy nlyické geomerie v rovině, z plnimerie pojmy ečn sečn, obshy rovinných úvrů, ze sereomerie objem ěles. Důrz je klden nejen n zápis, le i posup řešení, kerý nemusí bý jediným možným. Při řešení někerých příkldů je uvedeno i více posupů. Sbírk má zkvliňov zběhlos sudenů ve výpočech, posilov jejich logické myšlení. N věšinu příkldů lze využí progrm hled k souvislos lgebrického problému s jeho geomerickou inerprecí. Ten lze využí i k modifikcím ěcho úloh k, by vedly k rozumným výsledkům, což uvíjí především učielé memiky.

6 - - Součásí sbírky nejsou zákldní příkldy k jednolivým elemenárním funkcím vyplývjící především z jejich grfů, neboť je lze řeši zobrzením v progrmu. Přehled použié symboliky sručny přehled eorie vzorců použiých při řešení jsou uvedeny v úvodní čási sbírky.

7 - - I. PROGRAM PRO ZOBRAZOVÁNÍ FUNKCÍ. ROZHRANÍ PROGRAM U. výběr nové funkce. předpis funkce. volb prmerů funkce. ovládcí lčík. zobrzovcí ploch. výběr funkcí 7. nbídk. pnel násrojů 9. svový řádek 7. nbídk. pnel násrojů. výběr nové funkce. předpis funkce. zobrzovcí ploch. volb prmerů funkce. ovládcí lčík 9. svový řádek. výběr funkcí

8 - - Jednoduchý průvodce funkcemi progrmu podle jednolivých čásí rozhrní:. výběr nové funkce To čás slouží k výběru druhu memické funkce, kerou lze uskuečni i z nbídky. Prvních devě voleb oevře předem připrvené předpisy jednolivých funkcí, keré jsou uvedeny v čási. podle níže uvedeného seznmu čás. pro nsvení prmerů funkce. Poslední položk umožní zdání funkce obecné ve vru řeězce.. předpis funkce Obshuje předpis zvolené funkce, v někerých přípdech s dlší volbou rovnice předpisu. Použié předpisy: lineární funkce y b kvdrická funkce y b c c mocninná funkce y ( b) d nepřímá úměrnos y c b lineární lomená funkce b y c d eponenciální funkce c y b d logrimická funkce y b ( c) d log nebo y ( b) c [ ] d c [ e b ] d c goniomerická funkce sinus kosinus y sin ( e b) nebo y cos ( e b) c [ ] d c [ e b ] d goniomerická funkce ngens kongens y g nebo y cog Modifikovné předpisy oproi zákldním definicím sředoškolské memiky mjí dále rozvíje předsvivos spojenou především s posunem jednolivých grfů v souřdném sysému. V přípdě obecné funkce zdáváme funkci ve vru řeězce s okmžiou konrolou zápisu. Pokud je vše v pořádku (zelená indikce) dojde ke zobrzení funkce, v opčném přípdě dojde k vypsání chybového hlášení bez zobrzení funkce (indikce červená). Nápověd popisuje použiou symboliku operáorů podporovných funkcí.

9 - 7 - Operáory podporovné funkce: sčíání kongens cog odčíání sekns sec násobení * kosekns cosec dělení / rkussinus rcsin umocnění ^ rkuskosinus rccos druhá odmocnin sqr rkusngens rcg bsoluní hodno bs rkuskongens rccog signum sgn hyperbolický sinus sinh dekdický logrimus log hyperbolický kosinus cosh přirozený logrimus ln hyperbolický ngens gh sinus sin hyperbolický kongens cogh kosinus cos Ludolfovo číslo pi ngens g Eulerovo číslo e. volb prmerů funkce Prmery funkce lze voli v rozpěí od - do pomocí posuvníku, nebo uží číselníku v rozpěí od 999 do 999. Prmery můžeme zps ké klávesnicí včeně deseinných čísel.. ovládcí lčík Přidáním nvrhovné funkce (zobrzen šedě) n zobrzovnou plochu dojde k jejímu zřzení mezi kolekci již eisujících funkcí (zobrzeny brevně), u kerých lze sledov jejich předpisy průsečíky s osmi. Zrušením kuální funkce sejně jko vymzáním všech dříve eisujících funkcí se opě zpřísupní nbídk čási.. zobrzovcí ploch Zobrzuje nvrhovnou všechny již přidné funkce, jejich průsečíky se souřdnými osmi, mřížku, předpis souřdnice průsečíků funkcí se souřdnými osmi, umožňuje posun změnu měřík.

10 - -. vybrná funkce Ve spodní čási okn progrmu jsou zpsány všechny předpisy eisujících funkcí. Při oznčení jedné z nich můžeme zjisi, o jkou funkci se jedná, co je jejím grfem jkou brvou je zobrzen. Pokud si nepřejeme někeré z funkcí zobrzov n zobrzovcí ploše, sčí zruši zržíko. Nepořebnou funkci lze definiivně odsrni pomocí lčík Vymz. 7. nbídk Nbídk podporuje práci se soubory nový soubor, oevření eisujícího souboru funkcí uložení v plikčním dresáři grfy jko soubor s koncovkou *.fce, nebo jko bimpový obrázek. Tisk umožňuje výběr ninslovné iskárny, nsvení kvliy brvy isku, legendy se zápisem předpisů funkcí.. pnel násrojů Pnel násrojů slouží k rychlejší práci se soubory, isku, spoušění zobrzení průsečíků, mřížky, posunu myší, k kivci lupy pomocí prvého levého lčík myši, ke změně kvliy zobrzení, ke změně velikosi zobrzení posuvníkem. Dále následuje kuální popis souřdnic polohy kurzoru myši nd zobrzovcí plochou, údj o poču grfů zržíko pro volbu zobrzení hodnoy průsečíků předpisu kuální funkce u kurzoru myši. 9. svový řádek Svový řádek obshuje položky čs, dum, kuální nápověd, dres prcovního souboru předpis nově vořené funkce.. MOŽNOSTI VYUŽITÍ PROGR AMU Zákldní využií progrmu spočívá v zobrzování grfů memických funkcí pomocí volby prmeru dného předpisu známé elemenární funkce nebo pomocí zdání rovnice funkce ve vru eového řeězce. Výhodou je zobrzení návrhu průběhu funkce ješě před jejím přidáním do kolekce dlších funkcí. Proože je podporován práce se soubory, lze jednolivé kolekce grfů uklád do eového souboru minimální velikosi. Grfickou obls lze uloži jko bimpový obrázek. Progrm lze dále využí k isku zobrzovných funkcí ím i k esování. Lze isknou odděleně mřížku, nebo jen průsečíky grfů se souřdnými osmi bez legendy či s legendou viz přílohy. Tiskne se vždy kuální podob zobrzovcí plochy.

11 - 9 - II. SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ. PŘEHLED POUŽITÉ SYMBOLIKY N N Z Q R - R R R { } množin všech přirozených čísel množin všech celých nezáporných čísel množin všech celých čísel množin všech rcionálních čísel množin všech reálných čísel množin všech záporných reálných čísel množin všech kldných reálných čísel množin všech nezáporných reálných čísel R \ množin všech reálných čísel různých od nuly A je prvkem množiny A A není prvkem množiny A prázdná množin A B množin A je podmnožinou množiny B A B množin A se rovná množině B A \ B rozdíl množin A, B A B sjednocení množin A, B A B průnik množin A, B A doplněk množiny A v množině B U k Z A B k sjednocení všech množin A k, kde A : V pro kždé plí, že má vlsnos V k Z A : V eisuje spoň jedno z množiny A, keré má vlsnos V negce výroku b konjunkce výroků, b ; čeme: b b disjunkce výroků, b ; čeme: nebo b b implikce výroků, b ; čeme: implikuje b (jesliže, poom b ) b ekvivlence výroků, b ; čeme: je ekvivlenní s b ( právě ehdy, když b ) bsoluní hodno reálného čísl (, b) oevřený inervl, množin { R ; < < b}, b uzvřený inervl, množin { R ; b}, b) polouzvřený inervl, množin { R ; < b} (, b polouzvřený inervl, množin { R ; < b}, neomezený inervl, množin { R ; } (, neomezený inervl, množin { R ; > } (, neomezený inervl, množin { R ; } (, ) neomezený inervl, množin { R ; < } (, neomezený inervl, množin R n k f kombinční číslo n nd k funkce f f hodno funkce f v bodě D f H f definiční obor funkce f obor hodno funkce f [, y], [, f ] souřdnice bodu, kerý náleží grfu funkce y f

12 - - h go f funkce h složená z funkcí g, f g( f ) h hodno složené funkce h go f v bodě se blíží (konverguje) k bodu f f f f se blíží (konverguje) k f i funkce f v bodě f i funkce f v bodě zprv f i funkce f v bodě zlev f i funkce f v nevlsním bodě f i funkce f v nevlsním bodě dy y,, f d první derivce funkce y f y, f druhá derivce funkce y f f d primiivní funkce (neurčiý inegrál) k funkci y f b f d určiý inegrál z funkce f y od do b

13 - -. STRUČNÝ PŘEHLED TEORIE Mnohočleny Pro kždé, b, c R, n N plí: ( b) ( ± b b ) ± ( b) ( b) ( b) ( b) ( ± b) ± b b ± b n n n n n n n n n n n n n ( b) b b b b b ( b)( b) ± b ± b m b b binomická vě Rozkld kvdrického rojčlenu: ( )( ) b c, kde, jsou kořeny kvdrické rovnice b c b c Vieovy vzorce:, pro plí: b, c rychlý rozkld pro : ( A)( B) ( A B) AB obecný posup výpoču kořenů kvdr. rovnice: diskriminn D b c, kořeny, b ± D Mocniny odmocniny Pro R \ { } : m Pro R \ { }, m N : m Pro kždé, b R, r, s Z,, b, (přípdně pro, b, r, s R, >, b > ):.. r r s s rs r rs. s b r r s b r r. r. r b b r Ke kždému R, n N eisuje právě jedno z čísl ) oznčujeme n n. n. Pokud je N Pro kždé, b R, m, n, k N,, b :. n n n b b n. n b n b b m n n m... m n n nk mn Pro R :. k R k, že n ( nzýváme n-ou odmocninou n liché, definujeme n-ou odmocninu i pro n m Pro kždé R, >, pro m Z, n N definujeme:. m n R ko:

14 - - Absoluní hodno Kždému R je přiřzeno právě jedno R k, že: pro, pro <. Číslo se nzývá bsoluní hodno reálného čísl. Logrimus věy o logrimech Logrimus kldného čísl y při kldném zákldu různém od jedné je kové číslo, kerým musíme umocni zákld, bychom dosli logrimovné číslo y: log y y ( >,, y > ) Pro kždé,, y R,, k R :. log y log log y. log log log y y k. log k log log Pro kždé,, b c b c R,, b : log c log Pro kždé, b R, : b log b b Funkce jejich vlsnosi Reálná funkce f reálné proměnné je předpis, podle kerého je kždému zpisujeme f y. R přiřzeno nejvýše jedno y R ; Definiční obor funkce f je množin D f { R ; eisuje právě jedno R Obor hodno funkce f je množin H f { y R ; eisuje spoň jedno R y, pro keré f y }., pro keré f y }. Grf funkce f v sousvě souřdnic v rovině je množin všech bodů roviny [ f ] Funkce f je n množině A D f :, A < f < f rosoucí : ( ) ( ) klesjící, A : < f ( ) > f ( ) nerosoucí, A : < f ( ) f ( ) neklesjící, A : < f ( ) f ( ) prosá, A f ( ) f ( ) Funkce f je: : sudá D f : D f f ( ) f lichá D : D f ( ) f periodická Funkce f je n množině A D f : shor omezená R zdol omezená R omezená R f f,, kde D f. p R kové, že k Z, D f : kp D f f ( kp) f k kové, že A : f k K kové, že A : f K c kové, že A f c : omezená shor i zdol K prosé funkci definujeme inverzní (prosou) funkci y f ( y) f y ). f :, plí D H f, H D f (grfy funkcí f f f, f jsou souměrné podle přímky

15 - - Přehled elemenárních funkcí y P n n n n..., kde n P n je polynom (mnohočlen), n,..., R,, n Z je polynomická funkce D R, kde R \{ }, b R je lineární funkce D f H f R b b je konsnní funkce D f R, H f { b} b c, kde R \{ }, b R, c R je kvdrická funkce D f R Pn, Q Q m je rcionální funkce D f { R, Q } y b y, kde R y y m k y, kde, k b y, kde, b, c, d R, c, d bc je lineární lomená funkce c d n y, N n y, k R je nepřímá úměrnos D H R \ { } D f f f f n je mocninná funkce s přirozeným eponenem D R d R \ -, H f R \ c c n Z je mocninná funkce s celým záporným eponenem D R \ { } n y, Q \ Z n je mocninná funkce s rcionálním eponenem y, kde zákld R \{ } f D f f R je eponenciální funkce D f R, H f R y log, kde zákld R \{ } je logrimická funkce D R f, H f R y sin je funkce sinus D R, H, f f y cos je funkce kosinus D R, H, f f y g je funkce ngens D f R \U k, H f R k Z je funkce kongens D f R \U{ k}, H f R y cog Funkce h je složen z funkcí D { D f D } g, f právě když plí: h f ; g pro kždé Dh Vzhy mezi goniomerickými funkcemi Pro kždé sin g, y R plí: je g( f ) k Z h. Funkci h oznčujeme h go f. ( ) sin cos ( ) cos ( ) g cog( ) cog sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin ( y) sin cos y cos sin y cos( y) cos cos y sin sin y ( y) sin cos y cos sin y cos ( y) cos cos y sin sin y sin sin n sin cos cos cos y y sin sin y sin cos y y sin sin y cos sin y y cos cos y cos cos y y cos cos y sin sin

16 - - Pro kždé R \ U k Z plí: g cog k Pro kždé R \ U k Z plí: g k \ plí: g Pro kždé R U{ k} k Z Pro kždé R U{ k} \ plí: cog k Z Spojios i funkce Funkce f je spojiá v bodě g g cos cos cos cos R právě ehdy, když k libovolně zvolenému okolí bodu okolí bodu, že pro všechn z ohoo okolí bodu pří hodnoy f eisuje kové f do zvoleného okolí bodu Symbolický zápis: funkce je spojiá v bodě ε > δ > R : < δ f f < ε Funkce f je v bodě ε R spojiá zprv (zlev) právě ehdy, když: > δ > R :, δ ) f f < ε R :, ). ( ε > δ > ( δ f f < ε Funkce f je spojiá v bodě, právě když je v omo bodě spojiá zprv i zlev. f.. Funkce f je spojiá v oevřeném inervlu (, b), je-li spojiá v kždém bodě ohoo inervlu. Funkce f je spojiá v uzvřeném inervlu v bodě b je spojiá zlev. Weiersrssov vě Je-li funkce f spojiá v uzvřeném inervlu, b plí f ( ) f všechn, b, je-li spojiá v inervlu (, b) v bodě je spojiá zprv, b, eisuje lespoň jeden kový bod, b, že pro f lespoň jeden kový bod, b, že pro všechn, b plí f. (Funkce spojiá v uzvřeném inervlu, b nbývá v omo inervlu lespoň v jednom bodě mim lespoň v jednom bodě minim.) Bolznov-Weiersrssov vě Je-li funkce f spojiá v uzvřeném inervlu mezi čísly, b f f ( b), poom ke kždému číslu K, keré leží f f ( b), eisuje lespoň jeden kový bod c (, b), že ( c) K Je-li funkce f spojiá v uzvřeném inervlu f., b mjí-li čísl f ( b) f f ( b) <, poom eisuje lespoň jeden kový bod c (, b), v němž plí ( c) f různá znménk, j. f. Funkce f má ve bodě R iu L R, jesliže k libovolně zvolenému okolí bodu L eisuje okolí bodu k, že pro všechn reálná z ohoo okolí náleží hodnoy f zvolenému okolí bodu L. Zpisujeme L f. Symbolický zápis: f L ε > δ > < < δ f L < ε R : Funkce f má ve bodě R iu L R zlev (zprv), jesliže ke kždému okolí bodu L eisuje levé (prvé) okolí bodu k, že pro všechn reálná z levého (prvého) okolí bodu pří hodnoy f okolí bodu L. Zpisujeme f L ( f L ). Plí: f L f f L

17 Funkce má v bodě nejvýše jednu iu. Funkce f je v bodě Jesliže pro všechn R spojiá právě ehdy, když f f. z jisého okolí bodu R v bodě iu i funkce f plí f g L Dlší iy: plí: f g zároveň g L. Nevlsní i ( ± funkce f v bodě R : f K R δ > R : < < δ f > K f K R δ > R : < < δ f < K Vlsní i ( L R) funkce f v nevlsním bodě ± : f L ε > R R > f L < ε : f L ε > R R < f L < ε : Nevlsní i ( ± funkce f v nevlsním bodě ± : f K R > f > K R R : f K R > f < K R R : f K R < f > K R R : f K R < f < K R R : Jesliže funkce f g mjí v bodě. [ f ± g ] f ± g. [ f g ] f g. f g Někeré iy: Přímk e f g, R vlsní iy, plí: g sin k, k k g y b je sympoou se směrnicí grfu funkce f, jesliže: [ f ( b) ] [ f ( b) ], edy, edy f, b [ f ] f, b [ f ] nebo., poom má Přímk je sympoou bez směrnice grfu funkce f, právě když má funkce f v bodě lespoň jednu jednosrnnou nevlsní iu. Je dán funkce y f, jejímž grfem je křivk. Eisuje-li vlsní i křivky v bodě T [, y ] je přímk o rovnici y y k ( ). f k f ( ), pk ečn - -

18 - - Derivce funkce Nechť je funkce f definován v jisém okolí bodu nzýváme ji derivcí funkce f v bodě R. Eisuje-li vlsní i znčíme ji f nebo y. Funkce f má v inervlu (, b) derivci, jesliže má derivci v kždém bodě (, b) Má-li funkce f v bodě derivci, je v omo bodě spojiá. Funkce f má v inervlu zprv v bodě b má derivci zlev.. f f ( ), b derivci, jesliže má derivci v kždém bodě (, b) v bodě má derivci Derivci funkce využíváme k výpoču směrnice ečny v dném bodě. Derivce elemenárních funkcí: k k R n n n ( e ) e ( ) ln ln konsn n N, R n Z, R \ n R \ Z, R ln R { } { } R R \, R ( log ) R \ { }, R ( sin ) cos ( cos ) sin R R g cos R \ U k Z k ( cog ) R \ { } U k sin k Z Prvidl pro derivování: Jesliže funkce f, g mjí v bodě derivci, mjí v bodě derivci i funkce f g ( ) ké funkce g plí: f g, f g, f g pro ( f g) ( ) f ( ) g ( ) ( f g) ( ) f ( ) g ( ) ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g f g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) g ( ) Jesliže má funkce g složená funkce y ( f g) f ( g ) z derivci v bodě o derivci v bodě součin derivce vnější vniřní funkce).. jesliže funkce y f ( z) má derivci v bodě g( ) plí ( f g) f ( g( )) g z, má o (jde o

19 Má-li funkce v kždém bodě inervlu ( b) (klesjící). Funkce f má v bodě Funkce f má v bodě, kldnou (zápornou) derivci, je v omo inervlu rosoucí lokální mimum právě ehdy když: δ > : < δ f f ( ) lokální minimum právě ehdy když: δ > : < δ f f ( ) R. R. Jesliže plí v nerovnosi rovnos pouze pro, mluvíme o osrém lokálním mimu, přípdně osrém lokálním minimu. Lokální mim lokální minim nzýváme souhrnně lokální erémy, osrá lokální mim osrá lokální minim nzýváme osré lokální erémy. lokální erém eisuje-li v omo bodě derivce f, pk plí Má-li funkce f v bodě (Opčná vě neplí, v přípdě f ( ) mluvíme o bodu podezřelém z erému.) Nechť f. Mění-li derivce f. f v bodě znménko, má funkce f v bodě lokální erém. Měníli se znménko derivce z plus n minus (minus n plus), má funkce v bodě lokální mimum (lokální minimum). f nechť eisuje v bodě druhá derivce. f <, má funkce f v bodě osré lokální mimum. f >, má funkce f v bodě osré lokální minimum. Nechť Je-li Je-li (Je-li f, nelze o erému rozhodnou.) Funkce f se nzývá konvení v inervlu I, právě když pro libovolná čísl <, I splňující nerovnos, < plí, že bod [ f ] leží pod přímkou procházející body [ f ], [ f ], Funkce f se nzývá konkávní v inervlu I, právě když pro libovolná čísl <,, nebo n ní., I splňující nerovnos, < plí, že bod [ f ] leží nd přímkou procházející body [ f ], [ f ],,, nebo n ní. Vyloučíme-li možnos, by bod [ f ] ležel n přímce procházející body [ f ], [ f ], o funkci ryze konvení či ryze konkávní. f >, je funkce f v bodě f <, je funkce f v bodě Je-li Je-li konvení. konkávní., Je-li funkce konvení v kždém bodě inervlu I, říkáme, že je konvení v inervlu I. Je-li funkce konkávní v kždém bodě inervlu I, říkáme, že je konkávní v inervlu I.,, mluvíme Bod, ve kerém přechází grf funkce z polohy konvení do polohy konkávní nebo nopk, nzýváme inflení bod funkce. V omo bodě dochází ke změně znménk druhé derivce funkce. inflením bodem funkce f má-li o funkce v omo bodě druhou derivci, pk Je-li bod (Opčná vě neplí, v přípdě f ( ) mluvíme o bodu podezřelém z inflee.) f. L Hospilovo prvidlo Nechť f g nebo g eisuje ké f plí: g f f. g g. Eisuje-li vlsní nebo nevlsní f g, poom Inegrální poče Funkce F se nzývá primiivní funkce (neurčiý inegrál) k funkci f v oevřeném inervlu (, b), jesliže pro kždé (, b) plí F f.. Množinu všech primiivních funkcí k funkci f v (, b) zpisujeme: f d F c

20 - - Neurčié inegrály elemenárních funkcí: d c R d c R n N, R n Z, R \ n R \ Z, R { } d ln c R nebo R e d e c R d c R \ { }, R ln sin d cos c R cos d sin c R d g c cos d cog c sin k, k, Z k, k, Z k Prvidl pro inegrování: Eisují-li v oevřeném inervlu I primiivní funkce k funkcím f, f jsou-li c, c libovolné konny, eisuje primiivní funkce k funkci f c f c f plí: [ c f c f ] d c f d c f d. Z oho vyplývjí vzhy: [ c f ] d c f d [ f g ] d f d g d [ f g ] d f d g d Meod per pres: Mjí-li funkce u, v v inervlu ( b) u v d u v u v Meod subsiuce: d k, spojié derivce, pk v ( b), plí: Nechť funkce F je primiivní funkcí k funkci f ( ) v inervlu ( α, β). Nechť funkce g g v inervlu (, b). Pro kždé (, b) nechť hodno g pří do inervlu ( β) (, b) je funkce F ( g ) primiivní funkcí k funkci f ( g ) g, j. f ( g ) g d F( g ) c. Jesliže funkce F je primiivní funkcí k funkci f v inervlu b má derivci α,. Pk v inervlu, b, poom číslo F( b) F oznčujeme symbolem f d nzýváme určiý inegrál funkce f v mezích od do b. Zpisujeme: b b d [ F ] F( b) F f. n n d c n Je-li f spojiá nezáporná funkce v inervlu b f d,, poom plí: b.

21 - 9 - Jsou-li b f, g spojié v inervlu, b pro kždé, b d gd f b Pro záměnu mezí určiého inegrálu plí: f d f d b plí g. b f, poom plí: Meod subsiuce v určiém inegrálu: g g spojié v uzvřeném inervlu, b je-li zároveň spojiá i Jsou-li funkce její derivce funkce f ( ) pro všechn g b ( b) ( g ) g d f ( ) f g g, kde, b, pk plí: d Meod per pres v určiém inegrálu: Mjí-li funkce u, v v inervlu, b spojié derivce, pk plí: b b v d [ u v ] u v d u b Užií určiého inegrálu: Obsh rovinného obrzce omezeného osou, přímkmi o rovnicích funkce v inervlu, b : S f d (v přípdě nekldné funkce S f d f d b b ). b, b grfem spojié nezáporné Obsh rovinného obrzce omezeného osou, přímkmi o rovnicích v inervlu, b grfem spojié funkce, b, kerá nbývá jk kldných, k záporných hodno řešíme rozdělením n inervly nezáporných nekldných hodno příslušné inegrály vypočeme dle výše uvedených vzorců. Obsh obrzce omezeného nezápornými spojiými funkcemi y f, y g, kde je g všechn vypočeme jko: S f g, b b [ ]d. f pro Objem ročního ěles, keré vznikne rocí úvru kolem osy vypočeme jko: V b f d.

22 - -. VL ASTNOSTI A DEFINIČNÍ OBOR FUNKCÍ. Je dán funkce y f :. Určee f je-li: ) b). způsob řešení doszení ) f b) f. způsob řešení úprv rovnice funkce y ) f b) f. Rozhodněe, zd je dná funkce sudá nebo lichá ve svém definičním oboru: ) y f : b) : y g c) : y h ) { } D R \ f f D f D f f f f funkce f je lichá (grf je souměrný podle počáku) b) R g D g D g D g g g g funkce g je sudá (grf je souměrný podle osy y) c) { } \ D R h h neeisuje h funkce h není sudá ni lichá

23 . Je dán funkce f : y. Určee inverzní funkci hodno. f je funkce prosá f : y D f R H f (, y log ( ) f k funkci f doplňe její definiční obor obor y D (, f H f R - -. Určee definiční obor, obor hodno hodnou erému kvdrické funkce g : y bez výpoču jejího vrcholu. hledáme, pro kerá má následující rovnice lespoň jedno řešení: D R Dg o o kvdrická rovnice - má lespoň jedno řešení pro D D ( ) ( o) o o o o / o o (, H (, g mimum v bodě má hodnou g g. Určee definiční obor obor hodno funkce f : y. hledáme D f D R \{ }, pro kerá má následující rovnice lespoň jedno řešení: o o o pro o lineární rovnice pro o kvdrická rovnice - má lespoň jedno řešení pro D D o o o o, { } o, f H f. Je dán funkce w : y, kde R je prmer. Určee, pro keré hodnoy, je funkce w klesjící. eponenciální funkce je klesjící při zákldu (,), dosáváme sousvu nerovnic: < < > < < < ( < < ) ( > > > K (, ( < < ) ( > > ) K,, K K K K K K K K (,) (, K (, ) w je klesjící pro (, )

24 Určee definiční obor funkce: f : y ryze kvdrická rovnice ( ) ( )( ) jmenovel různý od nuly ± D f R \{, }. Určee definiční obor funkce: g : y ryze kvdrická nerovnice / obrácení znku nerovnosi odmocnin nezáporného čísl geomerická inerprece bsoluní hodnoy D, g 9. Určee definiční obor funkce: u : y 9 9 vzorec pro rozkld kvdrického rojčlenu: ( 9)( ) ( A)( B) ( A B) AB 9 D R \{ 9,} u. Určee definiční obor funkce: h : y log > > < < logrimus kldného čísl D (, ) h. Určee definiční obor funkce: sin : y g g k g definice g k Z k D R \ U k, k Z k

25 - -. Určee definiční obor funkce: m : y cos cos cos cos cos > cos > cos > D m U k Z k, k. Určee definiční obor funkce: > ( 9 )( ) > z : y log nulové body: 9,, (, 9), npř., >, neplí 9, >, neplí ( 9, ), npř., >, plí, >, neplí (, ), npř., >, neplí, >, není definováno (,, npř., >, plí ( 9, ) (, D z. Určee definiční obor funkce: n : y cog subsiuce: k definice cog k Z k k / k / { } D n R \ k, k Z

26 - -. Určee definiční obor funkce: f : g subsiuce: g k k < k k k k < k k k < definice g k Z D f U k Z k, k. Určee definiční obor funkce: g : y log( ) > ( ) > D, ( < < ) ( > > ) ( < < ) ( > > ) D,, D D D D (, ) (, D D g D D, ) (, D g 7. Určee definiční obor funkce: cos sin j : y ln cos sin cos cos sin sin cos > > subsiuce: > cos cos > k < < k k Z k < < k k < < k D j U k, k k Z. Určee definiční obor funkce: v : y

27 - - nulové body:, (, ), npř.,, plí,, plí,, npř.,, neplí,, není definováno,, npř.,, plí D v (,, 9. Určee definiční obor funkce: f : y ln > ln > > (, D f. Určee definiční obor funkce: g : y log > log pomocný výpoče: nulové body, D ( ) nemá řešení v R, z čiele nulové body nejsou < ve vrcholu prboly mimum z grfu pouze záporné funkční hodnoy

28 - - (, ), npř.,, neplí,, není definováno (, ), npř., ;, plí,, není definováno (,, npř.,, neplí D (,) g g. Určee definiční obor funkce: w : y log sin g g sin > g ( g g > ) ( g g < ) k, k D ( g g > ) ( g g < ) U k Z k, k D D D U k Z w ( D D ) D D w U ( k Z k D definice g \ k R k, k k, k. Určee definiční obor funkce: f : y log( ) nulové body: - ) (, ) y log( ( ) ) y log ( ) b), (, ), > log ( ) y log ( ( ) ), ) y log( ) > log( ) D D D D, D, D f f

29 Určee definiční obor funkce: nulové body:, ln f : y,, ), ), y y ln( ) ln( ) ( ) > < b), ) y y ln ln ( ) D (, ), > > c), y y ln ln ( ) D, D > > D ) (,, f D D D D f (, ),, (,. Určee definiční obor funkce: g : y ln( e ) nulové body: ln( e ) e e ln &, 9

30 - - (, ln ) ln, ( e ) ln( e ) ln( e ) ln e > e > > y ln( e ) ln( e / ln ( e ) ln( e ) ln( e ) ) (, ln ) b) ln, e ln zákld e (, ) e logrimizce e ln e ln e ln e ln ln e e ln &, e y ln( e ) ln( e ) e ln( e ) e e e ln zákld e (, ) e e ln e ln ( e ) ln e logrimizce D (, ln e ln ( e ) ln e ln ( e ) &, D ln( e ), D g D D D g (, ln ln( e ), e

31 LINEÁRNÍ ROVNICE. Řeše v R rovnici: ( ) ( ) definiční obor rovnice: D R 7 K { }. Řeše v R Z rovnici: ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D R (D Z ) K v R, K v Z. Řeše v R rovnici: ( ) ( ),( ) definiční obor rovnice: D R K. Řeše v R rovnici:, (,) (,,),( ), definiční obor rovnice: D R,,,,,,,,,,,,,,,, K R. Řeše v R rovnici: { [ ( ) ] ( ) } definiční obor rovnice: D R { [ ] } { [ 9 7] } K { }. Řeše v N rovnici: ( 9) ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D N ( 9) vzorec: ( ± b) ( ± b b ) plí: ( b) ( b) plí: ( b) ( b) K { }

32 Řeše v Z rovnici: ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D Z ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) K { }. Řeše v Q rovnici: (, ) ( ) (, ) definiční obor rovnice: D Q 7 7 / K Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 9 / ( ) (9 ) ( ) K { }. Řeše v Z rovnici: definiční obor rovnice: D Z / / 9 9 K { }

33 . Řeše v Z rovnici: 9 9 definiční obor rovnice: D Z / 7 9 ( ) ( ) 9( 9) ( ) K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R subsiuce: / K. Dnes je Filipovi právě dvkrá olik le, než bylo Jně, když jemu bylo olik, jko jí je dnes. Dnes je jim dohromdy le. Kolik le je dnes Filipovi kolik Jně? Filip Jn věk dnes věk dříve ( ) rozdíl věku: podle zdání se má rovn dnešní věk Jny dřívějšímu věku Filip 7 Filip Jn Dnes je Filipovi le Jně le.

34 - -. LINEÁRNÍ NEROVNICE. Řeše v R nerovnici: < ( ) ( 7 ) < < < < definiční obor nerovnice: D R K (, ). Řeše v R nerovnici: ( )( ) ( ) definiční obor nerovnice: D R vzorec: b ( b)( b) b b b K, vzorec:. Řeše v R nerovnici: ( )( 7) > ( ) definiční obor nerovnice: D R 7 > 7 > b b plí: plí: ( b) ( b) 9 > / : ( 9) obrácení znku nerovnosi < K (, ). Řeše v R nerovnici: ( ) ( )( ) definiční obor nerovnice: D R K. Řeše v R nerovnici: ( ) ( ) ( )( ) definiční obor nerovnice: D R 7 ( ) ( ) vzorec: b b b vzorec: b b b b K R. Řeše v N nerovnici: definiční obor nerovnice: D N / 9 9 / obrácení znku nerovnosi K {,,,,, }

35 Řeše v Z nerovnici: definiční obor nerovnice: D Z, / 7 vzorec: ( ± b) ( ± b b ) K N. Řeše v Z nerovnici: 7 < definiční obor nerovnice: D Z 7 < / ( ) ( ) < ( 7) < 7 < 7 9 < < 7 K { Z ; < 7} 9. Řeše v R nerovnici: ( ) definiční obor nerovnice: D R ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 K (,. Řeše v Q nerovnici: 9 ( ) < < ( ) < 9( ) < definiční obor rovnice: D Q \ { }

36 - - 9 < / obrácení znku nerovnosi 9 > / výměn srn nerovnice < < { }, ; K < Q. Řeše v R nerovnici: definiční obor nerovnice: D { } \, R vzorec: b b b : / obrácení znku nerovnosi ),,, K

37 - -. ROVNICE A NEROVNICE V SOUČINOVÉM TVARU. Řeše v R rovnici: ( ) definiční obor rovnice: D R N součin lineárních dvojčlenů, kerý je roven nule, použijeme prvidlo. Součin je roven nule právě ehdy, když se rovná nule lespoň jeden z činielů. / / K { } K { } K K K K {, }. Řeše v R rovnici: ( ) definiční obor rovnice: D R ( ) nulování rovnice vzorec: ( A)( B) ( A B) AB ( )( ) K K K K K K,, K { } { } K { } { }. Řeše v R rovnici: ( 9 )( ) definiční obor rovnice: D R ( 9 )( ) vzorec: ( A)( B) ( A B) AB ( )( )( )( ) vzorec: b ( b)( b) K K K K K K K K { } K { } K,,,. Řeše v R nerovnici: ( ) ( ) > definiční obor nerovnice: D R. způsob řešení diskuse pro nerovnici pro nulovný vr Provedeme úvhu o om, kdy je součin lineárních dvojčlenů >,, <,. ( < < ) ( > > ) ( > > ( < <, K K K K (, ) K (, ), K

38 - -. způsob řešení meod nulových bodů pro nulovný vr Nulové body jsou čísl, ve kerých je hodno lineárních dvojčlenů rovn. Nulové body rozdělí číselnou osu n inervly. > nulové body:, V jednolivých inervlech i jejich krjních bodech určíme doszením pro jednolivé dvojčleny jejich hodnou (kldná, záporná, nul). Výsledky zpíšeme nebo přehledně sesvíme do bulky, příp. vyjádříme n číselné ose. Rozhodneme o plnosi nerovnosí. U spojiých funkcí (n levé srně nulovné nerovnice) se znménk v sousedních inervlech sřídjí, sčí edy výpoče v jediném inervlu. Výjimkou je eisence vícenásobného nulového bodu, kdy je nuné výpočy provés kompleně. (, ), npř., >, plí, >, neplí,, npř., >, neplí, >, neplí,, npř., >, plí K (, ),. Řeše v R nerovnici: definiční obor nerovnice: D R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K, K K K K K,. Řeše v R nerovnici: < definiční obor nerovnice: D R ( ) < ( ) < nulové body:, - (dvojnásobný) komplení výpočy nuné (, ), npř., <, plí, <, neplí (, ), npř., <, plí, <, neplí (,, npř., <, neplí K (, ) (,)

39 Řeše v R nerovnici: > definiční obor nerovnice: D R ( ) > ( )( ) > nulové body: -,, znménk v sousedních inervlech se sřídjí (, ), npř., >, neplí K (,) (,. Řeše v R nerovnici v součinovém vru: ( )( )( ) definiční obor nerovnice: D R ( )( )( )( ) > žádný nulový bod nulové body:,,,,, (, součin K,,

40 ROVNICE V PODÍLOVÉM TVARU. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R \{ } N podíl lineárních dvojčlenů, kerý je roven nule, použijeme prvidlo. Zlomek je roven nule právě ehdy, když se rovná nule jeho čiel. Jmenovel musí bý od nuly různý. K 9. Řeše v R rovnici:. způsob řešení odpovídá předchozímu příkldu po úprvě n nulovný vr 9 9 ( ) definiční obor rovnice: D R \{ } 9 K. způsob řešení násobení jmenovelem různým od nuly 9 / ( ) 9 ( ) K. Řeše v Q rovnici: / definiční obor rovnice: D Q \{ } K

41 Řeše v R rovnici: / definiční obor rovnice: D K { } R. Řeše v R rovnici: / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D R \{, } K { } 9. Řeše v N rovnici: / ( 7)( ) ( ) ( ) 9 ( 7 ) definiční obor rovnice: D N \{ } 7 N 7 K { 7} 7. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R \{, }

42 - - / ( )( ) ( ) ( ) ( ) D K. Řeše v R rovnici: / ( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) definiční obor rovnice: D R \{ } K R \{ } 9. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R - { } ( ) ( )( ) K { } 9. Řeše v Q rovnici: 9 / ( )( ) ( )( ) 9 ( ) ( ) definiční obor rovnice: D Q \{, } vzorec: b ( b)( b) 9 K { 9}

43 - -. Řeše v N rovnici: / ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) D definiční obor rovnice: D N \{ } N vzorec: ( A)( B) ( A B) AB K 7. Řeše v R rovnici: 7 / ( )( ) ( ) ( 7)( ) definiční obor rovnice: D R \{ }, > vzorec: b ( b)( b b ) K { }. Řeše v Q rovnici: ( ) ( ) ( ) / ( ) definiční obor rovnice: D Q \{ } K { }

44 - -. Řeše v N rovnici: definiční obor rovnice: D N N N / / { } K. Řeše v R rovnici: defin. obor rovnice: D \ R R subsiuce: / / 7 D K

45 - -. Řeše v R rovnici: defin. obor rovnice: D R \{, } subsiuce: / / ( ) K

46 - -. NEROVNICE V PODÍLOVÉM TV ARU. Řeše v R nerovnici v podílovém vru: > > nulování nerovnice ( ) > > > definiční obor nerovnice: D R \{ }. způsob řešení diskuse pro nerovnici pro nulovný vr Provedeme úvhu o om, kdy je podíl lineárních dvojčlenů >,, <,. ( < < ) ( > > ) ( < < ) ( > > ),, K K K K K (, ) ( K,. způsob řešení meod nulových bodů pro nulovný vr Nulové body jsou čísl, ve kerých je hodno lineárních dvojčlenů rovn. Nulové body rozdělí číselnou osu n inervly. nulové body:, V jednolivých inervlech i jejich krjních bodech určíme doszením pro jednolivé dvojčleny jejich hodnou (kldná, záporná, nul, není definován). Výsledky zpíšeme nebo přehledně sesvíme do bulky, příp. vyjádříme n číselné ose. Rozhodneme o plnosi nerovnosí. V inervlech spojiosi funkce (n levé srně nulovné nerovnice) se znménk v sousedních inervlech sřídjí, sčí edy výpoče v jediném inervlu. Výjimkou je eisence vícenásobného nulového bodu, kdy je nuné výpočy provés kompleně. Pozor ké n body nespojiosi. (, ), npř., >, plí, >, neplí (, ), npř., >, neplí, >, není definováno (,, npř. 7, >, plí (, ) (, ) (, není def. (, ) ( K,

47 - -. způsob řešení násobení jmenovelem pro výchozí vr > / ( ) z podmínky > > > > (, > / ( ) z podmínky < < < změn znménk při násobení zápornou hodnoou < (, ) K K K K K K (, ) (,. Řeše v R nerovnici: ( ) definiční obor nerovnice: D R \{ }. způsob řešení diskuse pro nerovnici ( > ) ( < ) ( > ) ( < ) K K, ) K, ). způsob řešení meod nulových bodů nulové body:, (, ), npř.,, neplí,, plí (, ), npř.,, plí,, není definováno (,, npř.,, neplí K, ). způsob řešení násobení jmenovelem / ( ) z podmínky > > ( ) K

48 - - / ( ) z podmínky < < ( ) změn znménk K, ) K K K K, ). Řeše v R nerovnici: 7 7 7( ) 7 ( ) ( ) definiční obor nerovnice: D R \{, } čiel je vždy kldný, hodno zlomku je pouze při záporném jmenoveli ( < > ) ( > < ) ( < > ) ( > < ) K, K K K K K (, ). Řeše v R nerovnici: < ( ) ( ) ( ) < definiční obor nerovnice: D R \{, } nulové body:,,, (, ), npř., <, neplí, <, neplí (, ), npř., <, plí, <, není definováno (, ), npř., <, neplí

49 - 7 -, <, neplí (, ), npř., <, plí, <, není definováno (,, npř., <, neplí K (, ) (,). Řeše v R nerovnici: ( ) ( ) ( ) definiční obor nerovnice: D R \{, } nulové body:,,, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ( ) ( ) ( ) není def. není def. (, (,) K, 7. Řeše v R nerovnici: ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) definiční obor nerovnice: D R \{, } 9 nulové body:,, (, ), npř.,, plí

50 - -,, není definováno 9,, npř.,, neplí 9,, plí 9,, npř.,, plí,, není definováno (,, npř., 9, neplí K (, ), ) 7. Řeše v R nerovnici: 7 definiční obor nerovnice: D R \{ } 7 ( 7) ( ) ( ) 7 ( ) nulové body:,, (, ) (, ) (, ) (, ( ) není def. K (, ), 99. Řeše v R i N nerovnici: ( ) definiční obor nerovnice: D R \{ }

51 ( ) 9 čiel ( 9) je vždy věší nebo roven hodno zlomku je pouze při nulovém čieli nebo kldném jmenoveli 9 > 9 > { 9} (, K N \ { } v N K v R

52 KV ADRATICKÉ ROVNICE. Řeše v R rovnici: ( )( ) ( ) definiční obor rovnice: D R ryze kvdrická rovnice vzorec: b ( b)( b) ( )( ) K {, }. Řeše v Z rovnici: ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D Z 9 vzorec: ( ± b) ( ± b b ) kvdrická rovnice bez bsoluního členu K {, }. Řeše v R rovnici: ( )( ) ( ) ( )( ) definiční obor rovnice: D R vzorec: b ( b)( b) vzorec: ( b) ( b b ) ( )( ) K { }. Řeše v R rovnici: ( 9 ) ( 9) ( 9 ) definiční obor rovnice: D R vzorec: ( b) ( b b ) vzorec: ± b ( ± b)( m b b ) ( ) 9 9 K {, 9}

53 . Řeše v R rovnici: ( )( ) ( ) ( ) ( ) definiční obor rovnice: D R ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) vzorec: ( ± b) ( ± b b ) ( ) ( )( ) plí: ( b) ( b) vzorec: b ( b)( b) K {, } - -. Řeše v Q rovnici: { [ ( ) ] ( ) } { [ ] } definiční obor rovnice: D Q diskriminn: D b c { [ ] } { } D ( ) ±, ± ( ) kořeny: 7. Řeše v Z rovnici: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), b ± D K, defin. obor rovnice: D Z vzorec: ± b ( ± b)( m b b ) vzorec: ( b) ( b b ) 7 vzorec: ( A)( B) ( A B) AB ( )( 7) 7 K { 7, }

54 - -. Řeše v R rovnici: 7 definiční obor rovnice: D R \{,, 7} / ( )( )( 7) ( ) 7 [ 9 ] ( 9)( ) ( 7) [ 9 ] ( 9)( ) 7 7 ( 9)( ) ( 9 7) D ( ) 7 9 ± 9 ± 7, K, podílový vr 7 9. Řeše v N rovnici: definiční obor rovnice: D N \{, } 7 podílový vr 7 ( )( ) ( 9 7) ( ) ( )( ) 9 ( )( ) 7 9 ( )( ) 7 9 D ( 9) , 9 ± 9 9 ± 7 7 D 7 K { }

55 - -. Řeše v R rovnici: 7 definiční obor rovnice: D R \{, } ( ) ( ) / ( ) podílový vr D ( ) ( 7) 9 ± ±, 7 K, 7. Řeše v N rovnici: 9 7 definiční obor rovnice: D N \{ } N 9 7 / ( )( ) ( ) ( )( ) ( 9 )( ) ( 7 )( ) ( 7 ) 9 ( 7 ) D 7 ( ) 9 ± 9 ± 9, D K { } podílový vr. Řeše v Z rovnici: ( ) definiční obor rovnice: D Z \{, } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) podílový vr ( )( )

56 - - D ( ) 9 ± ±, K {, }. Řeše v Q rovnici: 9 7 definiční obor rovnice: D Q \{, 7} podílový vr / ( 7)( ) ( )( ) ( 9)( 7) ( ) ( 9 7 ) 7 7 vzorec: ( A)( B) ( A B) AB ( 7 )( ) 7 D K { }. Řeše v R rovnici: 7 9 definiční obor rovnice: D R \{ 7, } 7 / ( )( 7) podílový vr 7 ( ) ( )( 7 ) ( )( 7) ( ) ( 7) vzorec: ( A)( B) ( A B) AB ( 7 ) ( ) D 7 D K

57 - -. Řeše v R rovnici: 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7)( ) ( ) ( ) podílový vr 9 ( ) definiční obor rovnice: D R \{ } D ( ) ± ± 9,, K { ;, }. Řeše v R rovnici: 7, definiční obor rovnice: D R \{,, } 7 / ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 7)( ), ( )( ) 7, ( ), 9,,,, / ( ) K { ; } podílový vr

58 Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R \{,, } / ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 7 D ( ) ( ), ± ± podílový vr 9 K ;. Řeše v R rovnici: 7 definiční obor rovnice: D R subsiuce: 7 D ( ) ± 7 ±, K ; 9. Řeše v, rovnici: defin. obor rovnice: D, ) (,) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 / D ( ) 79 ( )( )( ) podílový vr

59 - 7 - ± 79 ± 7, D K { } 7. Řeše v R rovnici: 7 7 subsiuce: D ( ) ± ±, definiční obor rovnice: D R \{ } 7 7 / ( ) / ( ) podílový vr 7 ( ) 7 ( ) K ; 9 9. Řeše v R rovnici: 7 subsiuce: 7 7 definiční obor rovnice: D R \{ } / ( ) / ( ) podílový vr ( ) ( ) K { ; }

60 - -. Řeše v R rovnici: 9 subsiuce: 9 9 / 9 9 D 9 ( ), 9 ± 9 ± definiční obor rovnice: D R \, / ( ) / ( ) podílový vr ( ) ( ) ( ) ( ) K ;. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R \{, 9} 9 subsiuce: / D ( 7) ± 7 ±, / 9 9 / 9

61 9 ( ) ( ) D ( ) 9 ± ±, 9 9 K ; ; ; ( ) Řeše v R rovnici: ( ) ( ) ( ) subsiuce: definiční obor rovnice: D R ( ) K { 7; 7}. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R subsiuce: D ( ) 9 ± ±, 9 9 K { ; ; ; }

62 - -. Řeše v R rovnici: ( 9 )( 9 ) 77 subsiuce: definiční obor rovnice: D R ( ) K { ; ; ; } 7. Určee čyři přirozená po sobě jdoucí lichá čísl k, by souče druhých mocnin dvou čísel nejmenších zvěšený o druhou mocninu rozdílu zbývjících dvou čísel činil. čísl oznčíme npříkld:,,, má pli vzh: ( ) [( ) ( ) ] lichá čísl 7, 9,, 7 nevyhovuje zdání ověření výsledku: 7 9 ( ) 9 Jde o čísl 7, 9,,.

63 - -. KVADRATICKÉ NEROVNICE. Řeše v R nerovnici: definiční obor nerovnice: D R Anulovnou nerovnici převedeme n rovnici u vyřešíme vhodnou meodou.. způsob řešení grfické řešení Kořeny rovnice určí průsečíky grfu kvdrické funkce prboly s osou. Tvr grfu je dán hodnoou kvdrického koeficienů. > ve vrcholu prboly osré minimum (konvení grf) < ve vrcholu prboly osré mimum (konkávní grf) Řešení nerovnice určíme z obrázku. > ve vrcholu prboly osré minimum; hledáme, pro keré plí y. způsob řešení meod nulových bodů (, K, Kořeny rovnice užijeme jko nulové body, keré rozdělí číselnou osu n inervly. V jednolivých inervlech i jejich krjních bodech určíme doszením znménk hodno. Výsledky zpíšeme, sesvíme do bulky nebo vyjádříme n číselné ose. Rozhodneme o plnosi nerovnosí. Konrolou je sřídání znmének v sousedních inervlech. nulové body:, (, ) ( )( ), npř.,, plí,, plí (, ), npř.,, neplí,, plí (,, npř.,, plí (, ) (, ) (, (, K,

64 - -. Řeše v R nerovnici: ( ) 7 > ( ) definiční obor nerovnice: D R 7 > 7 > 9 >. způsob řešení grfické řešení 9 průsečíky s osou (nulové body) D ( ) 9 9 ± ±, ( ) 7 < ve vrcholu prboly osré mimum; hledáme, pro keré plí y > K, 7. způsob řešení meod nulových bodů nulové body, 7 ( 7) >,, npř., >, neplí, >, neplí, 7, npř., >, plí 7, >, neplí 7,, npř., >, neplí K, 7. Řeše v R nerovnici: ( 7 ) ( ) > ( ) definiční obor nerovnice: D R 9 > > > > průsečíky s osou (nulové body)

65 - - D ( ), ± ± 7 7 > ve vrcholu prboly osré minimum; hledáme, pro keré plí y > 7 K,,. Řeše v R nerovnici: definiční obor nerovnice: D R průsečíky s osou (nulové body) D ( ), nulový bod: ( )( ) (, ), npř.,, neplí,, plí (,, npř.,, neplí K { }. Řeše v R nerovnici: (, )( ) >, ( ),, >, ( ) definiční obor nerovnice: D R,, >,,, >,, průsečíky s osou (nulové body)

66 - - nulové body:, ( )( ), > D, (,),,, ±,, ±,, (,),,, (, ) (,) (, ( )( ), K (, ). Řeše v R nerovnici: 7 definiční obor nerovnice: D R 7 / 7 ( ) průsečíky s osou (nulové body) ( 7 ) ( )( ) < ve vrcholu prboly osré mimum; hledáme, pro keré plí y (, K,

67 7 7. Řeše v R nerovnici: < 7 7 < 7 / ( ) 7 < < nulové body: neeisují < definiční obor nerovnice: D R nerovnice v podílovém vru - - > vždy násobení kldnou hodnoou průsečíky s osou (nulové body) D ( ) ( ), vyšeříme celý inervl (, (průsečíky) neeisují, npř., <, plí K R. Řeše v R nerovnici: ( ) ( ) < ( ) definiční obor nerovnice: D R 7 < ( ) 7 9 < 7 9 < < 9 < 9 průsečíky s osou (nulové body) D ( ) ( 9) ( ) 9 9, ( 9) 9 < ve vrcholu prboly osré mimum; hledáme, pro keré plí y < K,, R \ 9. Řeše v R nerovnici: ( ) ( ) ( ) definiční obor nerovnice: D R 7

68 - - průsečíky s osou (nulové body) D ( ) 9 9, (průsečíky) neeisují > ve vrcholu prboly osré minimum; hledáme, pro keré plí y K. Řeše v N nerovnici: ( ) ( ) ( ) definiční obor nerovnice: D N ± b ± b b ± b b binomická vě: ( ) průsečíky s osou (nulové body) D ( ) 9 ( ), ± ± 9 9 > ve vrcholu prboly osré minimum; hledáme, pro keré plí y K, v R, K { } v N

69 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE V příkldech jsou použiy vzorce pro mocniny odmocniny viz Sručný přehled eorie n sr. 9.. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R ( ) K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 9 9 ( ) 9 9 K {, }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 7 K

70 - -. Řeše v R rovnici: ( ), ( ) definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) D ( ) ± ±, K { ; }. Řeše v R rovnici:,, definiční obor rovnice: D R ( ) 9 9 ( ) ( ) K { }. Řeše v R rovnici: ( ) ( ) 9 ( ) 9 / : ( ) definiční obor rovnice: D R K { ; }

71 Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) 9 K {,}. Řeše v Z rovnici: ( ) ( ) definiční obor rovnice: D Z K { } 9. Řeše v N rovnici: definiční obor rovnice: D N ( ) / ( ) K { }. Řeše v R rovnici:,7 definiční obor rovnice: D R 9 K { }

72 Řeše v R rovnici:,,, definiční obor rovnice: D R,,,,,, 7 9 7, / { } K. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R subsiuce: D 7 7, 7 ± ± { }, K

73 Řeše v inervlu (, rovnici: definiční obor rovnice: D 9 7 ( 9 ) 7 9 ( 9 ) subsiuce: 9 / D ( 7) ( 79) ± 9 7 ± 7, K { } R. Řeše v R rovnici: 7 definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) ( ) 7 subsiuce: K { }. Řeše v Q rovnici: definiční obor rovnice: D Q / 9 9 ( ) 9 K { }

74 Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R / K { 7} 7 7. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 7 ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) subsiuce: 79 7 D , 7 7 ± 97 7 ± K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) ( ) ( ) subsiuce: D ( ) ( ) 99, ± 99 ± ( )

75 - 7 - K {, } 9. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) / : ( ) K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 9 9 / : ( ) K { }. Řeše v Z rovnici: ( ) definiční obor rovnice: D Z

76 - 7 - / K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R 9 9 / : K { }. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) subsiuce: K { }

77 Řeše v R rovnici: ( ) 7 7 definiční obor rovnice: D, ( ) ( ) subsiuce: 7 D 7 ± 9, ± zkoušk: 9 / důsledková úprv D D L P ( ) L P L ( ) ( ) P ( ) L ( ) P ( ) K {, }. Řeše v R rovnici: ( ) definiční obor rovnice: D R \ { } / : /

78 - 7 - subsiuce: D, ± ± K { }. Řeše v R rovnici: 9 definiční obor rovnice: D R ( ) ( ) 9 9 subsiuce: 9 9 / , 9 9 D 9 9 K

79 Řeše v R rovnici: 7 7 definiční obor rovnice: D R log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 logrimizce věy o logrimech sr. log7 log 7 log 7 log 7 log 7 log log 7 log 7 &, log 7 konrolní zkoušk: log 7 log log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 L 7 log 7 P 7 log 7 L log 7 P log K log 7. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R logrimizce věy o logrimech sr. log log log log log log log log ( ) log log log &, konrolní zkoušk: log L log P log log log ( log ) log log ( log ) log log log log log L ( log ) P ( log ) { log } K 9. Řeše v R rovnici: definiční obor rovnice: D R logrimizce věy o logrimech sr. log log log log log log / log

80 - 7 - konrolní zkoušk: L P log log &, log log log log log log log log log log log log ( log ) &, log ( log ) &, dokážeme, že výsledky jsou si skuečně rovny: log log log log / log log log log L ( log ) P ( log ) K { log }

81 EXPONENCIÁLNÍ NEROVNICE. Řeše v R nerovnici: >, definiční obor nerovnice: D R >, ( ) >, 7 >, / : 7 > > > zákld (, ) K (,. Řeše v R nerovnici: (,) (,) definiční obor nerovnice: D R zákld (,) změn znménk K (, >. Řeše v R nerovnici: 7 definiční obor rovnice: D R 7 > 7 zákld (, ) > kvdrická nerovnice D 7 ±, ± 7 K, (,

82 - -. Řeše v R nerovnici:, definiční obor nerovnice: D R 9 9 zákld, změn znménk kvdrická nerovnice D nulové body neeisují K. Řeše v R nerovnici:,, definiční obor nerovnice: D R zákld, kvdrická nerovnice D, ± ±, K. Řeše v R nerovnici:, > definiční obor nerovnice: D { }, \ R > zákld,

83 < změn znménk < < < ( ) ( ) < nulové body: -,, ( ) < (, ), npř., <, plí, <, neplí (, ), npř., <, neplí, <, není definováno (, ), npř., <, plí, <, plí, le v rozporu s podmínkou (,, npř., <, plí (, ) (, ) ( K, Řeše v R nerovnici: <,7 < < < < < ( ) ( ) < zákld (, ) < nulový bod definiční obor nerovnice: D R \{ } pro výpoče dlších nulových bodů

84 - - D, nulové body:,, (, ) ± ± &, 7 &, 7, npř., <, plí ( ) <, <, neplí (, ), npř., <, neplí, <, není definováno ( ; ), npř., <, plí, <, neplí (,, npř. 7, <, neplí (, ) ( ; ) K. Řeše v R N nerovnici: 7 < definiční obor nerovnice: D R ( D N ) 7 ( ) 7 subsiuce: < < 7 < / < kvdrická nerovnice D ( ) ( ) 99 9 ± 9 ± 99,, > plí vždy R < zákld (, ) < < K (, ) v R, K {,,} v N

85 - -. LOGARITM ICKÉ ROVNICE Příkldy jsou řešeny jk s užiím výpoču definičního oboru D rovnice, k konrolní zkoušky pro jednolivé kořeny. Zkoušk se sává nunou součásí řešení, pokud definiční obor nezjišťujeme (výpoče definičního oboru může bý prcnější než vykonání zkoušky) nebo užijeme důsledkových úprv při úprvě rovnice. V příkldech jsou použiy věy o logrimech viz Sručný přehled eorie n sr.. Řeše v R rovnici: log ( ) log( ) log definiční obor rovnice: D (, > > log log log > > log log / ( ) ( ) D konrolní zkoušk: L ( ) log( ) log( ) log log log log P ( ) log log log log( ) log L P K { }. Řeše v R rovnici: log ( ) log ( ) definiční obor rovnice: D (, ( ) log ( ) ( ) log 9 9 D D > > > > 7 konrolní zkoušk: L log log logrimus záporného čísl není definován ( ) P ( ) log [ ( ) ] log L ( ) P ( ) L log ( ) log log P log ( ) log L P K { }