MASARYKOVA UNIVERZITA. Dluhopisy

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Dluhopisy Bakalářská práce Brno 008 Silvie Kafková

PODĚKOVÁNÍ Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinovi Kolářovi Ph.D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu.

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že bakalářskou práci na uvedené téma jsem vypracovala samostatně. Použitou literaturu uvádím v seznamu literatury....

Obsah Úvod 4 Trh dluhopisů 5. Definice dluhopisu a základní rozdělení dluhopisů....... 5. Tržní úroková míra........................ 6.. Diskontovaný dluhopis.................. 7.. Výnosová míra...................... 8..3 Krátkodobá úroková míra (instantaneous rate)..... 0..4 Forwardová úroková míra..................5 Shrnutí.......................... 3..6 Ukázkový příklad..................... 4 Diskrétní modely pro oceňování dluhopisů 6. Očekávaná hodnota........................ 6. Metoda zpětné indukce...................... 8.3 Srovnání oceňování dluhopisů pomocí očekávané hodnoty a zpětné indukce.............. 9 3 Spojité modely pro oceňování dluhopisů 3. Wienerův proces a Itôovo tvrzení................ 3. Model ceny dluhopisu....................... 4 3.. Jednoduchý příklad spojitého modelu.......... 6 Seznam použité literatury 30 3

Úvod Dluhopisy patří k tradičním zdrojům financování firem, institucí, států a dalších subjektů soukromého i veřejného sektoru. Jedná se o nástroj klasický, prověřený, efektivní a hojně užívaný. Na rozdíl od úvěrů jsou dluhopisy zpravidla veřejně obchodovatelné. Základní otázkou, kterou investoři řeší při rozhodování o tom, do jakých dluhopisů investovat své prostředky, je, zda jim u daného dluhopisu vyhovuje poměr výnosu a rizika. Výnos dluhopisu je cena, kterou musí dlužník zaplatit věřiteli za to, že investuje peníze do jeho dluhopisů a podstoupí tak riziko nesplacení úroků a jistiny dluhopisu. Výnos dluhopisu závisí na řadě faktorů. Mezi hlavní faktory patří časová hodnota peněz, která je určena výší úrokové míry. Časová hodnota peněz je závislá na době splatnosti a situaci na finančním trhu. Pro odhad ceny dluhopisu se využívá matematického aparátu. V mé práci se budu zabývat základními modely pro odhad ceny dluhopisů. V první kapitole se zaměřím hlavně na terminologii týkající se dluhopisů, a také na základní charakteristiky, jejichž vývoj má vliv na cenu dluhopisů. Součástí první kapitoly jsou také grafické příklady vývoje charakteristik dluhopisů a příklad konstrukce výnosové křivky s využitím funkce spline v Maplu. Druhá kapitola se věnuje diskrétním modelům pro oceňování dluhopisů. Uvažuji dva modely a jejich srovnání, konkrétně model založený na očekávané hodnotě a následně na zpětné indukci. Ve třetí kapitole se soustředím na spojité modely. Uvádím Wienerův proces a Itôovo tvrzení a poté se zabývám konstrukcí diferenciální rovnice pro výpočet ceny dluhopisů. Pro názornost uvádím také několik příkladů, které se zabývají výpočtem úrokové míry a ceny dluhopisů pomocí uvedených modelů. 4

Kapitola Trh dluhopisů Trhy s dluhopisy existují již dlouhou dobu. Vlády mnoha zemí získávaly hotovost emisí dluhopisů s pevným kuponem na trzích od 7. století, zejména na financování válek. Nyní vlády emitují dluhopisy k financování státních výdajů. Podniky i různé místní orgány je vydávají za účelem financování existujících nebo nových programů. Hlavní rozdíl mezi úvěry a dluhopisy je zejména v tom, že s dluhopisy je možné dále obchodovat. V mnoha zemích probíhá obchodování s dluhopisy na stejných trzích jako obchodování s akciemi.. Definice dluhopisu a základní rozdělení dluhopisů Dluhopisy jsou cenné papíry, které vyjadřují dlužnický závazek emitenta vůči každému vlastníku tohoto dokumentu. Představují dlouhodobé úvěrové cenné papíry, jejichž splatnost je zpravidla pevně stanovena. Jsou emitovány s cílem získat peněžní prostředky na delší dobu a s jistotou, že věřitel později od svého rozhodnutí neustoupí. Podstata dluhopisů a jejich náležitosti jsou v České republice upraveny zákonem o dluhopisech. Tento zákon definuje dluhopis jako...zastupitelný cenný papír, s nímž je spojeno právo požadovat splacení dlužné částky ve jmenovité hodnotě dluhopisu ke dni splatnosti dluhopisu a vyplacení výnosů z něho k určenému datu nebo datům a povinnost osoby, která dluhopisy vydala, tato práva uspokojit... Dluhopisy můžeme podle různých hledisek rozdělit do určitých kategorií. Zaměříme se na rozdělení podle emitenta dluhopisů a následně také podle druhu kuponu. 5

Z hlediska emitentů rozdělujeme dluhopisy na: Dluhopisy veřejného sektoru, které emituje vláda, její instituce, obce nebo města. Jejich prodejem si orgány veřejné správy opatřují dlouhodobé finanční prostředky. Získané prostředky slouží k financování deficitů státních rozpočtů, k financování investic a k financování speciálních úvěrových programů. Věřitelé mají nárok na úrok, který se vyplácí ze státního rozpočtu, popř. z rozpočtu příslušného emitenta. Bankovní dluhopisy, které vydávají banky, aby získaly finanční prostředky na delší dobu. Vydávání bankovních dluhopisů představuje samostatný druh bankovních operací. Banka vyplácí majiteli dluhopisu úrok. Dluhopisy korporací, které emituje podnikový sektor s cílem získat dlouhodobé finanční prostředky. Podle druhu kuponu rozdělujeme dluhopisy na: Bezkuponový (diskontovaný) dluhopis, který je nejjednodušším dluhopisem. Emise bezkuponového dluhopisu zavazuje emitenta splatit k určitému datu v budoucnosti jeho nominální (jmenovitou) hodnotu. Bezkuponový dluhopis se prodává za cenu nižší než je jeho nominální hodnota. Rozdíl mezi nominální hodnotou a cenou prodeje se nazývá diskont. Bezkuponový dluhopis nemá kuponové splátky mezi emisí a splatností nominální hodnoty. Dluhopis s pevným kuponem, který opravňuje k pravidelným (stejně vysokým) příjmům mezi emisí a dobou splatnosti nominální hodnoty. Pravidelné platby se nazývají kupony. Většinou se vyplácejí ročně nebo pololetně. Na konci doby splatnosti se stejně jako u diskontovaných dluhopisů vyplácí nominální hodnota dluhopisu. Dluhopis s proměnlivým (plovoucím) kuponem, u kterého se úroková sazba pravidelně přizpůsobuje aktuální úrokové míře. Nová úroková sazba je odvozena pro následující úrokové období 3 nebo 6 měsíců na základě určité aktuální referenční úrokové sazby. V dalším výkladu se blíže seznámíme s charakteristikami dluhopisu, jejichž vývoj má vliv na cenu dluhopisu.. Tržní úroková míra Peníze jsou komodita a jako každá komodita na trhu, mají svou cenu. Cena peněz se nazývá úroková míra. Uvedeme si jednoduchý příklad obchodu, 6

kde je využita úroková míra. Představme si, že souhlasíme s tím, že nyní zaplatíme určitou částku a výměnou za to získáme v budoucnosti (obvykle) částku vyšší. Cena takového kontraktu závisí na časové hodnotě peněz, ale také na dalších faktorech, jako je spolehlivost dlužníka a jeho schopnost dluh splácet. My však u dluhopisů budeme dále uvažovat pouze časovou hodnotu peněz. Mezi důležité charakteristiky dluhopisu patří doba splatnosti (zralosti) dluhopisu, která říká, kdy bude dluhopis proplacen, a pak současná cena dluhopisu. Datum zralosti dluhopisu označíme T a současnou cenu dluhopisu označíme P(0, T). Jinými slovy, částka Kč v čase T může být v čase 0 pořízena za cenu P(0,T)... Diskontovaný dluhopis Nyní se už budeme zabývat pouze diskontovaným dluhopisem s nulovým kuponem. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že nominální hodnota dluhopisu je Kč, čili v čase T za dluhopis obdržíme částku Kč. 0.8 0.6 cena 0.4 0. 0 4 6 8 0 doba_zralosti_v_letech Obrázek.: Cena dluhopisů s různou dobou zralosti v čase t=0 Cena diskontovaného dluhopisu v čase 0 je P(0, T). Cenu dluhopisu v libovolném čase t < T, kde T je doba zralosti dluhopisu, označíme P(t, T). Existují dluhopisy s různými dobami zralosti. Cena dluhopisů s časově blízkou dobou zralosti (např. za 0 a za 9 let) se bude v krátkém časovém období vyvíjet podobně. Cena dluhopisu je funkce, která vždy závisí na okamžiku počátku a konce obchodu. 7

Podívejme se nyní na obrázky. Na grafu. sledujeme cenu dluhopisů s dobou zralosti v rozmezí 0 až 0 let v čase t = 0 a na grafu. sledujeme vývoj ceny dluhopisu s dobou zralosti T = 0 během deseti let. 0.8 0.6 cena 0.4 0. 0 4 6 8 0 cas_v_letech Obrázek.: Cena dluhopisu s dobou zralosti T=0 Na obrázku. vidíme současnou cenu celého spektra dluhopisů s různou dobou zralosti. Obecně platí, že čím vzdálenější je doba zralosti, tím nižší je cena dluhopisu. Obrázek. zachycuje vývoj ceny jediného dluhopisu (s dobou zralosti T = 0). Počáteční bod tohoto grafu je koncový bod grafu.... Výnosová míra Důležitou informací trhu je veličina zahrnující v sobě průměrnou úrokovou míru. Jestliže úroková míra bude konstantní (označíme ji r), cenu dluhopisu v čase t pak určíme takto: V tomto případě můžeme psát r jako P(t, T) = e r(t t). r = logp(t, T). T t 8

6 5 4 vynos 3 0 4 6 8 0 doba_zralosti_v_letech Obrázek.3: Výnosová křivka v čase t=0 Úroková míra však není konstantní. Proto si budeme definovat veličinu R(t, T), která se nazývá výnosová míra. Výnosová míra Necht cena dluhopisu v čase t je P(t, T), pak výnosová míra R(t, T) je dána vztahem R(t, T) = logp(t, T). T t Pro danou cenovou křivku diskontovaného dluhopisu jsme schopni odvodit výnosovou křivku (graf výnosové míry). Cenová křivka obsahuje tytéž informace jako výnosová křivka. Dluhopisy s pozdější dobou zralosti mají nižší cenu, a proto je cenová křivka klesající. Na druhé straně výnosová křivka může být rostoucí i klesající funkcí T. Rozdíly ve výnosech dluhopisů s různou dobou zralosti jsou způsobeny odhady budoucí úrokové míry. Jestliže je tu možnost, že úroková míra bude v budoucnosti stoupat, dlouhodobé půjčky budou mít vyšší úrok než ty krátkodobé. Obvykle bývá výnos rostoucí s vyšší dobou zralosti, což je způsobeno rostoucí nejistotou ohledně budoucí úrokové míry (obrázek.3). Ale jestliže je současná úroková míra vysoká a očekává se její pokles, výnosová 9

0 8 vynos 6 4 0 4 6 8 0 doba_zralosti_v_letech Obrázek.4: Výnosová křivka (t=4) křivka bude klesající a výnos dlouhodobých dluhopisů bude nižší než u krátkodobých, jak vidíme na obrázku.4...3 Krátkodobá úroková míra (instantaneous rate) Výnosová křivka nám udává cenu půjčky na různě dlouhá období, ale bylo by lepší vyjádřit současnou cenu půjčky jedním číslem. Můžeme sledovat úrokovou míru pro krátkodobou půjčku (instantaneous borrowing). Je to taková půjčka, která je splacena v krátkém časovém intervalu. Jestliže si v čase t půjčíme na období t, kde t je velice krátké časové období, úroková míra, kterou dostaneme, je rovna výnosové míře R(t, t + t): R(t, t + t) = logp(t, t + t). t Pro každé kratší období se hodnota úroku přibližuje hodnotě R(t, t). Tuto veličinu nazýváme krátkodobá úroková míra r t (instantaneous rate, short rate), která je dána výrazem a platí r t = logp T r t = R(t, t), 0 (t, t)

kde R(t, t) = lim t 0 R(t, t + t). Krátkodobá úroková míra je náhodná veličina, která se vyvíjí v čase, nezávisle na ostatních parametrech. Obrázek.5 zachycuje vývoj krátkodobé úrokové míry v průběhu deseti let. 6 4 0 urokova_mira 8 6 4 0 4 6 8 0 cas_v_letech Obrázek.5: Vývoj krátkodobé úrokové míry Můžeme vidět, že cena dluhopisu závisí na vývoji krátkodobé úrokové míry. Cena dluhopisu je nižší, jestliže je úroková míra vyšší, což můžeme vidět na obrázku.5 okolo 4 a 8 let, kdy je úroková míra vysoká a cena padá. Vysoká úroková míra dokonce převyšuje výnos dlouhodobých dluhopisů a výnosová křivka je klesající (viz obr..4)...4 Forwardová úroková míra Uvažujme forwardový obchod, čili obchod, kdy je v čase t dohodnuto, že později v čase T si vypůjčíme určitou částku, a tuto částku splatíme k datu T. Budeme mluvit o forwardovém obchodu s dluhopisem s dobou zralosti T. Ukážeme si, jak určit cenu takového obchodu. V čase t nakoupíme dluhopis s dobou zralosti T, (v době zralosti bude mít hodnotu Kč) a prodáme k jednotek dluhopisu s dobou splatnosti T (nominální hodnota je také Kč). Tento obchod má v čase t hodnotu

P(t, T ) kp(t, T ). V čase T musíme zaplatit částku k a v čase T obdržíme částku Kč. Aby měl obchod nulovou počáteční hodnotu, musí platit k = P(t, T ) P(t, T ). Takové k je forwardovou cenou nákupu dluhopisů v čase T, jejichž doba zralosti je v čase T. Odpovídající (forwardový) výnos je logp(t, T ) logp(t, T ) T T. Zvolme si T a T blízko u sebe, T = T a T = T + t. Zmenšujeme-li t, blížíme se forwardové míře pro krátkodobou půjčku: f(t, T) = logp(t, T). T Takovou míru označujeme jako forwardovou úrokovou míru, je to forwardová cena krátkodobé půjčky v čase T. Jak se dá očekávat, forwardová úroková míra u současné krátkodobé půjčky v čase T = t, je právě očekávaná krátkodobá úroková míra, tedy f(t, t) = r t. 6 5 4 forwardova_mira 3 0 4 6 8 0 doba_zralosti_v_letech Obrázek.6: Křivka forwardové míry v čase t=0

Na obrázku.6 vidíme graf forwardové míry. Na první pohled se zdá podobný grafu výnosové míry. Oba mají totožný levý krajní bod, ale ostatní body budou obecně odlišné. Forwardovou míru můžeme vyjádřit pomocí výnosové míry následně: f(t, T) = R(t, T) + (T t) Nyní si toto tvrzení dokážeme: Připomeňme, že: logp(t, T) R(t, T) = T t logp(t, T) f(t, T) = T Zderivujeme R(t,T) podle T: R(t, T). (.) T R(t, T) T (T t) logp(t,t) logp(t, T) T = = (T t) logp(t,t) T (T t) + logp(t, T) (T t) A nakonec dosadíme do pravé strany rovnice.: [ ] logp(t,t) logp(t, T) T logp(t, T) logp(t, T) + (T t) + = = f(t, T) T t (T t) (T t) T Z rovnice. je patrné, že forwardová míra je vyšší než výnosová míra, jestliže křivka výnosové míry je rostoucí, a je nižší než výnosová míra, jestliže je křivka výnosové míry klesající. Forwardová míra v závislosti na čase už nebude tak hladká křivka, bude začínat nějakou hodnotou f(0, T), dále se bude vyvíjet jako stochastický proces a koncovým bodem bude hodnota r T v době zralosti dluhopisu T...5 Shrnutí Míry R(t, T) a f(t, T) obsahují informace o ceně a mohou být zaměněny. Platí, že forwardová míra i výnosová míra mohou být vyjádřeny pomocí ceny dluhopisu logp(t, T) f(t, T) =, T logp(t, T) R(t, T) =. T t 3

A naopak, cena dluhopisu může být vyjádřena pomocí forwardové i výnosové míry: [ T ] P(t, T) = exp f(t, u)du t a P(t, T) = exp [ (T t)r(t, T)]. Cena vyjádřená pomocí krátkodobé úrokové míry je:..6 Ukázkový příklad P(t, T) = exp [ r t (T t)]. Průměrné měsíční výnosy ze státních dluhopisů ČR za měsíc duben roku 008, zveřejněné ve veřejné databázi ARAD České národní banky, jsou: Doba zralosti(v letech) Výnos (v procentech) 3 3,97 5 3,94 0 4,68 5 4,94 30 5, Vykreslete výnosovou křivku. Tento problém budeme řešit pomocí programu Maple. Využijeme funkci spline. Poznámka: Splajn nám umožňuje aproximaci původní funkce analytickými funkcemi po částech. Nejpoužívanější jsou kubické splajnové polynomy. Definice kubického splajnu: Necht je dána funkce f definována v intervalu [a, b] a množina bodů, které nazýváme uzly, a = x o < x <... < x n = b. Kubický splajn S C [a, b] pro funkci f vyhovuje následujícím podmínkám: S je kubickým polynomem S j na subintervalu [x j, x j+ ] pro každé j = 0,,..., n ; S(x j ) = f(x j ), j = 0,,...n; S j+ (x j+ ) = S j (x j+ ), j = 0,,..., n ; S j+ (x j+) = S j (x j+), j = 0,,..., n ; S j+ (x j+) = S j (x j+), j = 0,,..., n. 4

Řešení: Nejprve načteme knihovnu, zadáním >readlib(spline). Do proměnné zralost vložíme doby zralosti > zralost:=[3,5,0,5,30]. Proměnné výnos přířadíme průměrné výnosy > vynos:=[3.97,3.94,4.68,4.94,5.]. A nyní pomocí funkce spline definujeme funkci Vkřivka > Vkrivka:=spline(zralost,vynos,t). A obdržíme tento výsledek 4.03 0.044t + 0.007(t 3) 3, t < 5 3.7 + 0.044t + 0.044(t 5) 0.004(t 5) 3, t < 0 V krivka := 3.34 + 0.36t 0.05(t 0) + 0.00(t 0) 3, t < 5 4.787 + 0.00t + 0.00(t 5) 0.40 0 5 (t 5) 3, otherwise Nyní zadáme příkaz pro konstrukci křivky. Nejdříve načteme balík plot > with(plots). A na závěr provedeme vykreslení křivky > plot(vkrivka,t=0..35,0..6,labels=[ doba do zralosti, vynos ]). 6 5 4 vynos 3 0 5 0 5 0 5 30 35 doba_do_zralosti Obrázek.7: Výnosová křivka 5

Kapitola Diskrétní modely pro oceňování dluhopisů Existuje velké množství modelů pro ocenění dluhopisů. Protože cena dluhopisu závisí na vývoji úrokové míry, jsou tyto modely založeny na zvláštních předpokladech o tom, jak se mění úroková míra v průběhu určitého období. Začneme s diskrétním modelem pro odhad úrokové míry pomocí očekávané hodnoty. Pak se budeme zabývat oceněním dluhopisů na základě očekávané hodnoty a zpětné indukce. V dalším výkladu budeme čas považovat za diskrétní veličinu. Za časovou jednotku si zvolíme rok.. Očekávaná hodnota Při odvození úrokové míry budeme vycházet z toho, že známe dnešní úrokovou míru a budeme se snažit zjistit, jak na základě předpovědí úrokové míry najít tu nejvhodnější úrokovou míru pro příští období. Toto období budeme označovat [0, ]. Nyní si provedeme odvození úrokové míry, jestliže máme strom úrokové míry se dvěma časovými obdobími. Předpokládejme, že model. reprezentuje budoucí úrokovou míru. Pro jednoduchost zvolíme pravděpodobnost obou větví. Jakou úrokovou míru by měla zvolit banka pro období [0, ]? Mohlo by se zdát, že vhodná úroková míra bude + r = a+b. Ale to není správná odpověd. 6

c + r = a p = + r = b p = d Čas 0 Obrázek.: Model očekávané úrokové míry Předpokládejme (pro jednoduchost), že banka má k dispozici částku Kč. Mohou nastat dva případy:. Tuto částku v čase t=0 investuje na kapitálovém trhu. Pak očekáváme, že v čase t= je hodnota částky investované v čase t=0 rovna: ac + bd (ac + bd) =.. Tuto částku na období [0,] vypůjčí s úrokovou mírou +r = x. V čase t= obdrží x. V období [,] investuje obnos x na kapitálovém trhu. Očekávaný návrat za období [,] je ( + r)x = c + d x. Banka tedy za období [0,] získá díky půjčce a následnému investování částky na kapitálovém trhu částku c+d x. Tyto hodnoty by se měly rovnat ac + bd Odtud vyjádříme, že úroková míra je x = = c + d x. ac + bd c + d. (.) Pro banku by bylo nevýhodné, kdyby přijala úrok nižší než ac+bd c+d, a díky konkurenci si také nemůže dovolit požadovat vyšší úrok. Odtud tedy vyplývá odpověd na naši otázku. Banka bude požadovat za období [0,] úrok ac+bd c+d. 7

Nyní budeme uvažovat strom úrokové míry s N periodami. Pak při určování efektivní neboli tržní úrokové míry (+r) pro období [0,] postupujeme takto:. Najdeme očekávanou hodnotu částky Kč v čase t = T = N, kterou jsme investovali v čase t = t 0 = 0. Nazveme tuto hodnotu E[Kč t = T].. Nahradíme hodnoty větví (pojmenované a a b) pro období [0,] neznámou x. Jako v předchozím kroku, vypočteme očekávanou hodnotu částky Kč v čase t = T = N, kterou jsme investovali v čase t = t 0 = 0. Nazveme tuto hodnotu E x [Kč t = T]. 3. Položíme E[Kč t = T] = E x [Kč t = T] a vyřešíme rovnici pro neznámou x. Nalezli jsme tak hledanou tržní úrokovou míru r = x. Pomocí očekávané hodnoty můžeme odhadnout cenu dluhopisu s nulovým kuponem. Předpokládejme, že máme strom úrokové míry s N úseky. Vypočteme očekávanou hodnotu částky Kč v čase t = T, kterou jsme investovali na kapitálové trhu v čase t = t 0 = 0. Označíme toto číslo E[Kč [0, T]]. Tedy cena dluhopisu, který bude v čase t = T odkoupen za Kč, je v čase t=0 rovna E[Kč [0,T]].. Metoda zpětné indukce V modelu zpětné indukce vycházíme z toho, že známe cenu dluhopisu v den splatnosti. V našem případě je to Kč. Na základě odhadu vývoje úrokové míry se snažíme určit jaká by měla být hodnota dluhopisu. Ukážeme si proces zpětné indukce na jednoduchém modelu na obrázku., kde P u, P d a P o označují cenu dluhopisu. Chceme vypočíst hodnotu P o, jestliže známe hodnoty P u a P d. Pro jednoduchost budeme opět uvažovat pravděpodobnost každé větve. Platí, že P o = [ Pu a + P ] d. (.) b 8

Jedná se tedy o průměr P u a P d (uvažujeme-li pravděpodobnost p = u obou větví), diskontovaný běžnou úrokovou mírou pro období [k,k+]. a P u P o b P d Čas k k + Obrázek.: Proces zpětné indukce Máme-li strom s N úseky, pak tento proces opakujeme, dokud neobdržíme cenu u kořene stromu..3 Srovnání oceňování dluhopisů pomocí očekávané hodnoty a zpětné indukce Na konkrétním příkladu si ukážeme rozdíl v ocenění dluhopisů metodou očekávané hodnoty a metodou zpětné indukce. P u 3 4 P d 3 Čas 0 Obrázek.3: Strom úrokové míry Příklad: Mějme strom úrokové míry (viz obrázek.3). Víme, že hodnota diskontovaného dluhopisu s nulovým kuponem v čase t = bude Kč. 9

Chceme zjistit jeho nynější hodnotu pomocí. metody zpětné indukce. metody očekávané hodnoty. Řešení metodou zpětné indukce: Nejprve pomocí známého vzorce vypočteme hodnoty P u a P d. P u = + 3 = 5 A tedy P o = P d = 4 + 3 = 7 4 ( Pu + P ) d = ( 7 48 + 5 ) = = 0, 9. 48 Cena dluhopisu s nulovým kuponem nalezená metodou zpětné indukce je 48. Řešení pomocí očekávané hodnoty: Vypočteme E[Kč [0, ]] = ( + 3 + 8 + 6) 4 A odtud dostaneme, že cena dluhopisu P o = 4 9 = 9 4. = 0,. Výsledky u obou metod se odlišují. Jestliže rozdělíme časové úseky na menší intervaly t, nahradíme naši úrokovou míru + r mírou + r t, pak pro t 0 obdržíme u obou metod shodný výsledek. Toto tvrzení si ukážeme na příkladě. + a t + b t + c t Čas 0 Obrázek.4: Model úrokové míry 0

Příklad: Mějme model úrokové míry na obrázku.4. Cena dluhopisu s nulovým kuponem se zralostí za dvě období vypočtená pomocí metody očekávané hodnoty je P O = ( + a t) + (b+c) t A cena téhož dluhopisu určená metodou zpětné indukce je P Z = + a t ( + b t + + c t. ). Výraz vystupuje v obou případech. Můžeme ho tedy vynechat a +a t soustředit se na zbytek zápisu. Připomeňme si, že platí: + x = ( ) k x k = x + x x 3 +... k=0 Pro malá x platí, že x k x, kde k. Tedy +x P O =. Můžeme tedy psát Označíme si také Po úpravě dostáváme P O P Z =. = ( + (b+c) t (b + c) t. ) + +b t +c t P Z = + (b+c) t ( + b t)( + c t). (b + c) t = [ + ]( b t)( c t). (b + c) t = [ + ][ (b + c) t]. (b + c) t =. Tedy jestliže vynecháme výrazy ( t) k, pro k >, platí. = P Z, a tedy také P O P O. = PZ... = x. Označme

Kapitola 3 Spojité modely pro oceňování dluhopisů Nyní si uvedeme příklady spojitých modelů. Nejdříve se seznámíme se stochastickými procesy, které budeme využívat. Jedná se o speciální typ Markovova procesu, tzv. Wienerův proces. Také si uvedeme Itôovo tvrzení. 3. Wienerův proces a Itôovo tvrzení Wienerův proces je definovaný na intervalu 0, ) a má tyto vlastnosti: W 0 = 0 (proces začíná nulovou hodnotou), W t W t,..., W tn W tn jsou nezávislé pro libovolné 0 t <... < t n, W t W s N(0, s t ) pro libovolné s, t 0, to znamená, že přírůstky mají normální rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem s t. Dále budeme používat označení, které z matematického hlediska není zcela exaktní, ale ve finančních aplikacích se běžně používá. Pro přírůstky Wienerova procesu budeme psát dw t ε dt, kde ε představuje náhodnou veličinu, pro kterou platí P(ε = ) = P(ε = ) =. Tedy přírůstky dw t mají střední hodnotu 0 a rozptyl dt.

tedy Uvažujme stochastický proces X, jehož přírůstky splňují dx = adt + bdw t, dx = adt + bε dt. Přírůstky uvažovaného procesu mají střední hodnotu adt a rozptyl b dt. Jestliže ve výše uvedeném modelu připustíme, že parametry a a b jsou funkcemi x a t, dostaneme proces, jehož přírůstky jsou tvaru dx = a(x, t)dt + b(x, t)dw t, který se nazývá Itôův proces nebo též zobecněný Wienerův proces. Itôovo lemma Uvažujme Itôův proces dx = adt + bdw t, (3.) kde dw t ε dt je Wienerův proces. Přitom se opět předpokládá, že pro náhodnou veličinu ε platí P(ε = ) = P(ε = ) =. Bud G libovolná diferencovatelná funkce proměnných x a t. Potom platí dg = ( a G x + G t + G b x ) dt + b G x dw t. Toto tvrzení si nyní dokážeme. Rozložíme G pomocí Taylorova rozvoje a převedeme na diferenciální tvar. dg = G G dx + x t dt + G x (dx) + G x t dxdt + G t (dt) +... Dosadíme výraz 3. a dále budeme ignorovat výrazy obsahující dt stupně vyššího než jedna dg = G G dt + t x (adt + bdw t) + G x (adt + bdw t) + G x t (adt + bdw t)dt+ + G t (dt). Máme (adt + bdw t )dt = adt + bdw t dt (3.) Připomeňme, že dw t = ε dt, takže dw t dt = εdt 3. Oba výrazy, dt i dt 3, jsou stupně vyššího než jedna a tudíž můžeme ignorovat celý výraz 3.. Dále (dx) = a dt + abdtdw t + b (dw t ). 3

První dva výrazy opět vypustíme, nebot obsahují dt ve vyšších stupních než jedna. Na druhou stranu výraz (dw t ) = (ε dt) = ε dt obsahuje dt pouze v prvním stupni, tudíž jej ponecháme. Tedy dg = G G dt + t x (adt + bdw t) + a ε G x dt ( G = t + G x a + ) b ε G dt + a G x x dw t Dosadíme ε =. Pak dostaneme ( dg = a G x + G a x + G ) dt + b G t b dw t. (3.3) 3. Model ceny dluhopisu Nyní si odvodíme obecný spojitý model pro cenu dluhopisu. Předpokládejme, že cena dluhopisu P(t, T) závisí pouze na datu zralosti T, čase t a krátkodobé úrokové míře r. Uvažujme následující model pro úrokovou míru r dr = µ(r, t)dt + σ(r, t)dw t, (3.4) kde W t představuje Wienerův proces, µ je odchylka a σ se nazývá volatilita. Nyní na cenu P aplikujeme Itôovo lemma: ( dp(t, T) = µ P r + P σ r + P ) dt + σ P t r dw t. (3.5) Tento zápis zjednodušíme jako dp(t, T) = u(t, T)dt + v(t, T)dW t. (3.6) Nyní provedeme konstrukci diferenciální rovnice. Uvažujme portfolio skládající se z nakoupeného dluhopisu s dobou splatnosti T, jehož cena je P(t, T ), a z množství prodaného dluhopisu s dobou zralosti T, jehož cena je P(t, T ). Do portfolia zahrneme také hotovost C. Pak hodnota uvažovaného portfolia Π je Π = P P + C. 4

Změna hodnoty portfolia za krátký časový okamžik dt je dπ = dp dp + rcdt. Dosazením výrazu 3.6 za dp a dp dostaneme Když položíme dπ = (u u ) dt + (v v )dw t + rcdt. pak výraz obsahující dw t zmizí. Čili = v v, dπ = (u u )dt + rcdt. Nyní z rovnice vyjadřující hodnotu portfolia vyjádříme Po dosazení obdržíme C = Π (P P ). dπ = (u u ) + r ( Π P + v ) P dt (3.7) v Všimneme si, že rovnice 3.7 neobsahuje výraz dw t a tudíž neobsahuje žádnou náhodnou složku. Proto je možné během krátkého časového období dt považovat toto portfolio za bezrizikové. Aby se eliminovala možnost arbitráže (možnost neomezeného bezrizikového zisku), musí být výnos z portfolia roven krátkodobé úrokové míře. Musí tedy platit tedy dπ = r(t)πdt. V rovnici 3.7 se tento výraz také vyskytuje. Rovnici můžeme upravit ( dπ = (u u ) + rπdt + r P + v ) P dt, v a odtud dostáváme 0 = ( u v ) ( u + r P + v ) P v v 0 = u rp v v (u rp ). 5

Přeuspořádáním výrazů v (u rp ) = v (u rp ). Levá strana obsahuje pouze výrazy závislé na T a pravá strana obsahuje výrazy závislé na T. Zavedeme λ(t, r) = [u(t, T) r(t, T)P(t, T)] v nezávislé na T. λ nazýváme tržní cena rizika. Výraz pro λ můžeme přepsat jako u(t, T) = rp(t, T) + λv(t, T). Nyní dosadíme za u a v výrazy z rovnice 3.5. Získáme tak diferencialní rovnici pro výpočet ceny dluhopisu Tu můžeme psát jako µ P r + P σ r + P t = rp + λσ P r. P t + (µ λσ) P r + P σ rp = 0. (3.8) r 3.. Jednoduchý příklad spojitého modelu Jelikož rovnici 3.8 neumíme analyticky vyřešit, pokusíme se ji vyřešit numericky. Budeme předoklkádat, že úroková míra vyhovuje rovnici dr = µdt + σdw t, (3.9) kde oba parametry, µ i σ, jsou konstanty. Protože tyto parametry jsou konstanty, můžeme rovnici 3.9 vyřešit pro r a dostaneme r(t) = r 0 + µt + σw t. (3.0) Jako velké zjednodušení budeme předpokládat, že µ λσ = a, kde a je také konstanta. Pak budeme řešit rovnici v následujícím tvaru P t + a P r + P σ rp = 0. (3.) r 6

Nyní se pokusíme odhadnout tvar pro cenu P z rovnice 3.. Z předchozího víme, že pro konstantní úrokovou míru platí P = e r(t t). Budeme předpokládat, že P je ve tvaru P = exp[a(t)r + B(t)] a A i B jsou závislé pouze na t. Vypočteme parciální derivace P t = (A r + B )exp[a(t)r + B(t)] = (A r + B )P P r = AP P r = A P. Dosadíme tyto derivace do rovnice 3. Po úpravě obdržíme tvar (A r + B )P + aap + σ A P rp = 0. A r + B + aa + σ A r = 0. Abychom se zbavili výrazů obsahujících r, zvolme A = a dostaneme B + aa + σ A = 0, zde A = t + C, C je konstanta. Dosadíme-li C = T, kde T je doba zralosti dluhopisu, dostaneme A(t) = t T. Za těchto předpokladů má nyní cena P tvar P = exp[(t T)r + B], 7

a víme, že cena dluhopisu s nulovým kuponem v době zralosti je P =. Musíme ještě vyřešit B = aa σ A = a(t T) σ (t T). Tuto rovnici integrujeme a výsledkem je tvar B(t) = a (t T) σ 6 (t T)3 = a (T t) + σ 6 (T t)3. Našli jsme tedy řešení. Tedy za předpokladu, že parametry µ i σ jsou konstanty, cena dluhopisu má tvar P(t, T) = exp[ (T t)r a (T t) + σ 6 (T t)3 ]. (3.) Tento jednoduchý vzorec předpovídá cenu dluhopisu jestliže: známe úrokovou míru r v konkrétním čase t známe správnou hodnotu parametrů σ a a. Vezmeme-li v úvahu poznatky o současné úrokové míře, dosazením do vzorce 3. obdržíme cenu dluhopisu k tomuto datu. Příklad: Za jakou cenu se dnes budou prodávat dluhopisy s nulovým kuponem s dobou zralosti za 5 let a za 0 let, jejichž nominální hodnota je Kč, víme-li, že dnešní úroková míra je r = 0, 05 a známe-li parametry a = 0, 005 a σ = 0, 03? Řešení: Dluhopis s dobou splatnosti za 5 let: t = 0, T = 5, r = 0, 05, σ = 0, 03 a a = 0, 005 Nyní provedeme výpočet pomocí vzorce 3.: P(t, T)) = P(0, 5) = exp[ (5 0)0, 05 = e 0,30375 = 0, 738Kč. 0, 005 (5 0) + 0, 03 (5 0) 3 ] = 6 8

Dluhopis se zralostí za 5 let s nominální hodnotou Kč se dnes bude prodávat za 0,738Kč. Dluhopis s dobou splatnosti za 0 let: t = 0, T = 0, r = 0, 05, σ = 0, 03 a a = 0, 005 Opět provedeme výpočet pomocí vzorce 3.: P(t, T) = P(0, 0) = exp[ (0 0)0, 05 = e 0,6 = 0, 538Kč. 0, 005 (0 0) + 0, 03 (0 0) 3 ] = 6 Dluhopis se zralostí za 0 let s nominální hodnotou Kč se dnes bude prodávat za 0,538Kč. 9

Literatura [] Stampfli J., Goodman V.: The Mathematics of Finance: Modeling and Hedging, Brooks/Cole, 003 [] Baxter M., Rennie A.: Financial Calculus: An introduction to derivative pricing, Cambridge University Press, 996 [3] Bohuslav Sekerka: Matematické a statistické metody ve financování, cenných papírech a pojištění, Profess Consulting s.r.o., Praha, 00 [4] Jílek J.: Finanční trhy, Grada, Praha, 997 [5] Musílek P.: Trhy cenných papírů, Ekopress, Praha, 00 [6] Cipra T.: Finanční a pojistné vzorce, Grada Publishing, Praha, 006 [7] Tuček M.: Jak emitovat dluhopisy a akcie na veřejném trhu, Komise pro cenné papíry, 004 [8] Horová I., Zelinka J.:Numerické metody, MU Brno, 004 [9] www.cnb.cz [0] Vernerová L.: Modely oceňovania opcií Bakalárska práca, PřF MU Brno, 007 30