ÁVR DECETRALIZVAÉ ŘÍZEÍ METDU DYAMICÉ MPEZACE Mlan Cepák, ranslav Rehák, Vladír avlena ČVUT FEL, katedra řídcí technky Abstrakt: Tento příspěvek se zabývá návrhe decentralzovaného řízení rozlehlých systéů etodou dynacké kopenzace. Rozdíl tohoto řešení oprot centralzovanéu spočívá v to, že ke vše výpočtů a ěření systéových velčn nedochází v jedné ístě, ale daný problé se rozkládá do jednotlvých, vzájeně se ovlvňujících subsystéů. Tak lze redukovat výpočetní časové náročnost řešení a nalzovat strukturu regulátoru. Algortus etody byl pleentován v Matlabu s využtí sybolckého toolboxu a získané výsledky porovnány s klascký návrhe.. Úvod Většna rozlehlých systéů obsahuje velké nožství ěřených vstupů a výstupů způsobující značnou rozsáhlost nashroážděných dat. Jedna z ožností, jak tento obje nforace jednodušej a rychlej zpracovávat, spočívá v pleentac decentralzované řídcí struktury. Její hlavní prvky tvoří regulátory generující akční zásahy na základě j přřazené nožny vstupů. aždý kontrolér tak obsluhuje určtou část soustavy, přčež přenos dat ez vznklý podsystéy je dost oezován. 2. Decentralzované řízení 2. Stablzace decentralzovaný řízení br.. Příklad decentralzovaného systéu Předpokládeje rozlehlý lneární časově nvarantní systé s regulátory, x& ( = Ax( + u (, y ( = C x(, =, 2,..., () = kde x je vektor stavu (n ), u vstupní ( ) a y výstupní vektor ( r ) odpovídající -téu subsystéu. Stablzace decentralzování spočívá v nalezení atc ( n ), ( r ), F ( n n ), S ( n r ), =,2,..., v rovncích kopenzátoru u ( = z ( y (, z& ( = F z ( S y ( (2) + + tak, aby se póly uzavřené syčky systéu () nacházely v nožně M, tj. neprázdné syetrcké otevřené podnožně koplexní rovny []. Sybol z v rovnc (2) představuje stavový vektor regulátoru ( n ).
Rovnce (), (2) se dají přepsat do kopaktního tvaru x &( = Ax( + u(, y ( = Cx( (3) z &( = Fz( + Sy(, u ( = z( + y( (4) kde vektory u( = { u (... u ( }, y( = { y (... y ( }, z( { z (... z ( } T = [ ], C [ C... C ]... ( S,..., S ), (,..., ) =, atce = a F, S,, jsou blokově dagonální atce F,..., F ), (, (,..., ). Pokud se regulátor (4) zapojí k soustavě (3), získá se rozšířený systé s uzavřenou syčkou x& ( A+ C = z& ( SC x( F z( (5) který je stablní, leží-l jeho póly v levé polorovně koplexní rovny. Př stablzac soustav hrají velkou rol fxní ódy. Ty se původně defnují pro etodu pole placeent v centralzovaných systéech, kde odpovídají neřdtelný a nepozorovatelný ódů. Zobecnění tohoto postupu lze použít př decentralzované řízení. Fxní ódy představují nožnu vlastních čísel atce (A + C), které pro různé atce zpětnovazebních zesílení zůstávají neěnné. jejch nacházení se používá například Davsonův algortus []. Poloha ódů poskytuje nforace o stablzovatelnost uzavřené syčky. Jak se dá najít v [2], systé (3) lze asyptotcky stablzovat řízení (4) tehdy a jen tehdy, je-l nožna fxních ódů systéu se zavedenou zpětnou vazbou obsažena v levé polovně koplexní rovny. ( A C) x( ) 2.2 Decentralzace etodou dynackého kopenzátoru x &( = + t (6) Měje řdtelnou a pozorovatelnou soustavu (3), k níž hledáe dynacký kopenzátor (4), přčež póly uzavřené syčky systéu ají předepsanou polohu. x &( = ( A + C) x( + z( (7) Algortus etody kopenzace vychází z ndexů řdtelnost a pozorovatelnost určujících, o kolk bude daný centralzovaný systé rozšířen. echť tedy hod [ b A b b A b ] nc nc...... = n, hod[ c A c c A c ] no Tno T...... = n...... (8) kde n je hodnost atce A, c n a o n ndexy řdtelnost a pozorovatelnost systéu. odnota enšího z nch určuje řád rozšíření systéu, číž vznknou následující trplety:
A = A 0 n, n I = 0 n, C I = C 0 r n (9) exstenc zpětnovazební atce zajštující žádanou polohu pólů λ = { λ,..., λn} uzavřené syčky A + C pojednává [3]. ásledně lze defnovat atc (atce rozšířená vzhlede k trpletů (9)) o rozěrech ( + ) ( r + ), popsující kopenzátor, s blokovou strukturou F = F S r L S r M M (0) o subatcích F, S, = = r =, r =, s rozěry ( ), ( r ), ( ), ( r ), pro něž platí a =. Detalnější pops algortu lze například nalézt v [3], [4]. = 3. Dynacký kopenzátor v Matlabu Základe vytvořené atlabské funkce jsou dva kroky. První spočívá v řešení soustavy rovnc vzhlede k neznáý koefcentů atce, kdy levé strany obsahují paraetrcké vyjádření vlastních čísel atce (A+C) a pravé požadované póly. Lze získat tř ožné varanty výsledku: první, jednoznačnou, kdy hledaný neznáý odpovídají vždy jedné hodnoty; druhou, víceznačnou, reprezentovanou enší počte rovnc než je proěnných, takže se dané paraetry dají lbovolně volt; a třetí, nedávající žádné řešení. Toto ůže nastat v případě, že algortus k zadaný pólů nenalezne odpovídající koefcenty atce. Druhý krok představuje určování nenulových prvků atc, S, F, a to tak, aby byly splněny požadavky na hodnotu rozšířených pólů. Postup vede na jednu rovnc o více neznáých, takže hledané paraetry lze kroě jednoho lbovolně zvolt (většnou u atc a S) a poslední dopočítat (atce F). ejvětší problé představovalo zobecnění etody pro různé řády vstupních atc. Vzhlede k tou, že Matlab neuožňuje vytvořt paraetrckou atc požadované velkost an se nedá plctně defnovat určté nožství sybolckých proěnných, bylo nezbytně nutné vytvořt funkc, která by toto prováděla. Ta je založena na sestavení atce s řetězcově reprezentovaný paraetry a číselný označení jejch lokace. becnou využtelnost algortu také ztěžovalo používání atlabského příkazu solve, řešící soustavy algebrackých rovnc. Decentralzované řízení systéů o odlšných řádech vyžaduje proěnné nožství těchto rovnc, resp. arguentů funkce solve. Proto vznkla funkce uožňující flexblně ěnt počet a pořadí paraetrů, které navíc není třeba zadávat v řetězcové podobě, ale například jako prvky vektoru. Její podstatou jsou strngové operace, který se jednotlvé rovnce soustavy upravují, aby se daly použít jako arguenty solve. Získané výsledky se ukládají do odpovídajících proěnných a používají se pro další výpočty v algortu.
4. Sulační schéa Pro odelování decentralzovaného řízení byl použt Sulnk. Jeho schéa pro soustavu se dvěa vstupy a dvěa výstupy se nachází na obr. (). lok syste odpovídá stavovéu popsu zadané soustavy, kterou je nutné decentralzovat. Další část nákresu (regulátor, regulátor 2) spočívá ze dvou kontrolérů provádějících vlastní decentralzac. Jejch struktura ůže být lbovolná; záleží na vstupní systéu, zda dojde k pleentac standardního dynackého kopenzátoru nebo obyčejného zpětnovazebního regulátoru s proporconální zesílení. 5. Výsledky brázek Sulační schéa Pro sulace se používal systé druhého řádu s popse 0.2 0 5 x& = x + u, y = x () 2 0 0.5 2 0 Vlastní čísla soustavy jsou λ(a) = (0, -2). Systé se tedy nachází na ez stablty. Úkole je najít pro něj takové decentralzované řízení, aby všechny póly uzavřené syčky ležely v levé koplexní polorovně. Soustava neá podle Davsonova algortu [] fxní ódy, lze tedy přkročt k návrhu řízení etodou kopenzátoru. Rozšířený systé á tř řádky a tř sloupce; z této struktury plyne počet požadovaných pólů. V první kroku etody se volbou pólů λ(a + C) = (- ± 2j) získá plctní řešení soustavy rovnc; jeden paraetr se lbovolně zadává. ásleduje volba rozšířeného pólu λ = -. Výsledke je jedna rovnce se tře neznáý, opět se tedy odpovídající proěnné volí. Fnální atce kopenzátoru ají následující tvar.25 0 z& = z + y, 0 0 0 0 u = z + y 0 0 0 6 (2) Ze stavových rovnc (2) lze vyvodt, že v obecné schéatu (obr. ) tvoří regulátor dynacký kopenzátor a regulátor 2 zpětnovazební regulátor. Průběhy jednotlvých výstupů decentralzované a centralzované soustavy regulované zpětnou vazbou od stavu (žádané póly ± 2j) jsou zobrazeny na obr. 2. Počáteční podínky ntegrátorů ají hodnoty (0., 0.2).
brázek 2 Decentralzované a centralzované řízení tavost odezvy př decentralzované řízení souvsí s žádanou polohou pólů. Př zenšování jejch agnárních částí bude docházet k nalzac přektů průběhu. ezení je jedné: aby soustav rovnc ěla př hledání atce řešení, reálné část pólů usí ít velkost -. Algortus byl také testován pro neřídké atce větších rozěrů. Př řešení sybolckých soustav rovnc se však vyskytovaly výpočetní probléy, neboť se v jch nacházely vel koplkované nelneární vztahy. Současná aplkovatelnost etody je tak oezena; lze j používat jen na enší atce, obsahující nulové prvky. Zvýšení její použtelnost bude předěte další práce. 6. Závěr V Matlabu byla pro řešení úlohy decentralzovaného řízení systéů pleentována a na příkladě otestována etoda dynackého kopenzátoru. Reference [] Davson, E. J. (976). Decentralzed stablzaton and regulaton n large ultvarable systes. In: o, Y. C., Mtter S.. Drectons n Large-Scale Systes. Plenu Press, ew York. s. 303 323. [2] Wang, S.., Davson, E. J. (973b). n the stablzaton of decentralzed control systes. In.: IEEE Transactons on Autoatc Control. AC-8: 473 478. [3] rasch, F. M., Pearson, J.. (970). Pole placeent usng dynac copensators. In.: IEEE Transactons on Autoatc Control. AC-5: 34 43. [4] Jashd, M. (983). Large-Scale Systes Modelng and Control. Elsever orth olland, ew York. [5] Jashd, M. (996). Large-Scale Systes: Modelng, Control and Fuzzy logc. Prentce all, ew York. ontakt Mlan Cepák ČVUT, katedra řídcí technky arlovo náěstí 3 2 35 Praha 2 tel. 2/24357279 cepak@control.felk.cvut.cz