Časově závislé chování materiálu, díl I. Změny deformací a napjatosti materiálu v čase (dny, týdny, roky, desetiletí,...) Materiály: beton, dřevo Jevy: dotvarování, smršt ování apod. Teorie: viskoelasticita (vazkopružnost) viskoplasticita 1
Dotvarovací zkouška Laboratorní zkouška Zatížení vyvolávající napětí ˆσ se přiloží v čase t σ(t) = ˆσ H(t t ) Heavidisova funkce: σ ^σ H(x) = { 0... x < 0 1... x 0 Potom: ε(t) = ˆσ J(t, t ) J(t, t )... funkce poddajnosti materiálu t t 2
Funkce poddajnosti materiálu Analogie poddajnosti v pružnosti Pro lineárně pružný materiál: J(t, t ) = 1 E H(t t ) Pro materiál neměnící vlastnosti v čase: J(t, t ) = J o (t t ) Funkce poddajnosti: J o (t t ) σ ^σ t t 3
Základní modely pro viskoelastický materiál (1) Pružina (pružný článek): Modul pružnosti E σ E σ Pružná deformace ε e Napětí σ ε e Viskózní tlumič (viskózní článek): Viskozita η σ η σ Viskózní deformace ε v ε v Napětí σ 4
Základní modely pro viskoelastický materiál (2) Maxwellův model: Seriové zapojení pružiny a tlu- E η miče V obou článích stejné napětí σ Kelvinův model: σ ε e η ε v σ Paralelní zapojení pružiny a tlumiče σ E σ V obou článích stejná defor- ε mace ε 5
Maxwellův model (1) Seriové zapojení pružiny a tlumiče V obou článcích stejné napětí: σ e = E ε e σ v = η ε v σ ε e η ε v σ σ = σ e = σ v = ˆσ Celková poměrná deformace: Jo(t) 1 ε = ε e + ε v 1/E η Derivace poměrné deformace t podle času: ε v = ε v t 6
Maxwellův model (2) Poměrné deformace: ε e (t) = σ e(t) E ε v (t) = σ v(t) η = ˆσ E = ˆσ η σ ε e η ε v σ Určení poměrné deformace Jo(t) viskózního článku ε v : ε v (t) = t ε v d t ε v (t) = ˆσ η t+c 1/E η 1 t 7
Maxwellův model (3) Poměrná deformace viskózního článku ε v (t) = ˆσ η t + C Počáteční podmínka ε v (0) = 0 C = 0: ε v (t) = ˆσ η t Celková poměrná deformace Maxwellova modelu: ε(t) = ˆσ E + ˆσ η t = ˆσ 1 E + t η Funkce poddajnosti materiálu: J o (t) = 1 E + t η 8
Kelvinův model (1) Paralelní zapojení pružiny a tlumiče (ε = ε e = ε v ) Napětí a deformace: σ E η σ σ = σ e + σ v = ˆσ ε = ε e = ε v ε σ e = E ε e Jo(t) Tedy: ˆσ = E ε e (t) + η ε v (t) t 9
Kelvinův model (2) Obecné řešení diferenciální rovnice ˆσ = E ε e (t) + η ε v (t): η ε(t) = ˆσ E C e( E η t) σ E σ Počáteční podmínka ε(0) = 0 C = ˆσ E poměrná deformace: ε(t) = ˆσ E [1 e ( E η t)] ε Jo(t) Funkce poddajnosti materiálu: J o (t) = 1 E [ 1 e ( E η t)] H(t) t 10
Maxwellův vs. Kelvinův model Jo(t) / E Maxwell η 1 E Kelvin 1 t / τ Retardační čas: τ = η E Funkce poddajnosti: Maxwell: J o (t) = 1 ( ) E 1 + t τ H(t) Kelvin: J o (t) = 1 ( E 1 e τ t ) H(t) 11
Postupné změny napětí Zavedení postupných změn napětí: σ(t) = σ 1 H(t t 1 ) + σ 2 H(t t 2 ) +... Příslušná poměrná deformace: ε(t) = σ 1 J(t, t 1 ) + σ 2 J(t, t 2 ) +... Obecný výraz pro ε(t): ε(t) = t 0 J(t, t ) σ(t ) d t 12
Numerický výpočet deformace (1) Obecný výraz pro ε(t): ε(t) = t 0 J(t, t ) σ(t ) d t Často nelze řešit analyticky Obdélníkové pravidlo: ε(t) k i=1 Po vyjádření σ i 1/2 = σ i σ i 1 : J(t, t i 1/2 ) σ(t i 1/2 ) t i ε(t) k i=1 J(t, t i 1/2 ) (σ i σ i 1 ) 13
Numerický výpočet deformace (2) Obdélníkové pravidlo: ε(t) k i=1 J(t, t i 1/2 ) (σ i σ i 1 ) Nevýhody: Výpočetní náročnost (zejména u MKP modelů mnoho materiálových bodů) Přesnost (přibližné řešení náhrada derivací diferencemi) Zrychlení: řešením diferenciální rovnice (vede na tzv. exponenciální algoritmus) 14
Numerický výpočet deformace (3) Pro Kelvinův model: E ε(t) + η ε(t) = σ(t) Dosadíme napětí pro i-tý krok σ i 1/2 = 1 2 [σ(t i) σ(t i 1 )] a upravíme: ε i = ε i 1 e t t i 1 τ + σi 1/2 E [ 1 e t t i 1 τ ] Jednoduchý exponenciální algoritmus: kde β i = e t i τ ε i = β i ε i 1 + (1 β i ) σi 1/2 E 15
Kelvinův řetězec (1) Jednoduché modely (Maxwellův, Kelvinův) obtížně popisují chování skutečných materiálů Kelvinův řetězec: seriové spojení několika Kelvinových článků s různými retardačními časy Možno přidat seriově připojené pružné články J beton Kelvin log(t t ) 16
Kelvinův řetězec (2) Celková poměrná deformace: ε(t) = n j=0 ε i (t) Napětí v i-tém článku: σ η E η E η E σ σ(t) = σ ie (t) + σ iv (t) ε 0 ε 1 ε 2 ε i Soustava n rovnic: E o ε o = σ(t) E i ε i (t) + η i ε i (t) = σ(t)... i > 0 17
Kelvinův řetězec (3) Pří zatížení konstantním napětím ˆσ v t = 0: E o ε o = ˆσ, E i ε i (t) + η i ε i (t) = ˆσ... i > 0 První rovnice: ε o (t) = ˆσ E o Obecné řešení rovnic pro i > 0: ε i (t) = ˆσ E i + C i e E i η i t Počáteční podmínka ε i (0) = 0 C i = ˆσ E, tedy: Funkce poddajnosti: ε(t) = ˆσ E o + n J o (t) = i=1 1 E o + n i=1 ˆσ E i e t τi, 1 t i τ i = η i E i (1 e t τ i ) H(t) 18
Vliv stárnutí (1) Veličiny E, η mohou být funkcemi stáří materiálu Změna tuhosti se projeví jen při změně deformace materiálu: viz například postupný vývoj hydratačních produktů v betonu: σ(t) = E(t) ε(t) Pro Kelvinův článek je možné psát: σ v (t) = η(t) ε(t) σ(t) = η(t) ε(t) + η(t) ε(t), A potom: σ = σ e + σ v σ(t) = [ E(t) + (η)(t) ] ε(t) + η(t) ε(t) 19
Vliv stárnutí (2) Stanovení funkce poddajnosti stárnoucího Kelvinova článku - označme D(t) = E(t) + η(t): D(t) ε(t) + η(t) (ε(t)) = σ(t) Počáteční podmínky: ε(t ) = 0, ε(t ) 0 Při vnesení zatížení přenáší počáteční napětí jen viskózní článek: ˆσ = η(t ) η(t) ε(t) = Předpoklad: ˆσ η(t ) τ = η(t) D(r) = konst. 20
Vliv stárnutí (3) Rovnice: ε(t) + τ ε(t) = 0 Obecné řešení: ε(t) = C 1 + C 2 e τ t Z počátečních podmínek: C 1 = ˆσ τ η(t ), C 2 = ˆσ τ η(t ) Po úpravách a vydělení ˆσ: J(t, t ) = 1 e t t τ D(t ) H(t t ) 21
Vliv stárnutí (4) Podobně pro Kelvinův řetězec s vlivem stárnutí: J(t, t ) = 1 D o (t ) + n i=1 1 e t t τ i D i (t ) 22
Kelv. řetězec s vlivem stárnutí (1) Exponenciální algoritmus Pro i-tý článek řetězce: D j (t) ε(t) + η j (t) = σ(t) Pro jednoduchost považujeme D j, η j, σ v rámci kroku za konstatní: D j (t) = D j (t i 1/2) = D (i 1/2) j, η j (t) = τ j D j (t) τ j D (i 1/2) σ(t) σ(i) t i 23
Kelv. řetězec s vlivem stárnutí (2) Pro i-tý článek řetězce: D j (t) ε(t) + η j (t) = σ(t) s použitím zjednodušení: ε j (t) + τ j ε j (t) = σ (i) t i D (i 1/2) j Výsledný algoritmus po vyřešení rovnice: ε (i) j = β (i) j j + 1 β(i) j t i D (i 1/2) σ (i) ε (i 1) j ε (i) j = ε (i 1) j + t i λ (i) j Kde (pro přehlednost): λ (i) j = τ j t i ε (i 1) j ( + 1 λ (i) j 1 β (i) j D (i 1/2) j ), β (i) j σ (i) = e t i τ j 24
Kelv. řetězec s vlivem stárnutí (3) Pro pružný článek: η o = 0, τ o : Celková deformace řetězce: β (i) o = 0, λ (i) o = 0. ε (i) = n j=0 ε (i 1) j + t i n j=0 λ (i) j ε (i 1) j + 1 D (i 1/2) o + n j=0 1 λ (i) j D (i 1/2) j σ (i) 25
Kelv. řetězec s vlivem stárnutí (4) Stručný zápis exponenciálního algoritmu: Výpočet napětí: ε (i) = ε (i 1) + ˆε (i) + σ(i) Ê (i) ˆε (i) = t i n Ê (i) = j=1 1 λ (i) j D (i 1/2) o ε (i 1) j (1) + n j=1 1 λ (i) j D (i 1/2) o σ (i) = Ê (i) ( ε (i) ˆε (i)) 1 Doporučený krok: t 1 τ 3, t i+1 = (10 t i ) 1 3 26
Funkce poddajnosti pro beton (1) Asymptotický modul pružnosti: 1 J(t,t ) Konvenční modul pružnosti (počáteční sklon prac. diagramu): E 1 J(t + t, t ), t = 0, 01dne J(t,t ) t Dynamický modul pružnosti: E dyn 1 J(t + t, t ), t = 10 7 dne Asymptotický modul je blízký dynamickému 1/E log(t t ) 27
Funkce poddajnosti pro beton (2) Zkrácená verze modelu betonu B3 (Bažant a Chern) J(t, t ) = 1 E o + q s ln [1 + ψ(t m + alpha)(t t ) n] Typické hodnoty konstant: ψ = 0, 3 m = 0, 5 α = 0, 001 n = 0, 1 28
Funkce poddajnosti pro beton (3) Zkrácená verze modelu betonu B3 (Bažant a Chern) Konveční modul pružnosti po 28 dnech: E 28 Odhad E o : Odhad q s : E o = E 28 0, 6 q s = 11, 4 E 28 29
Funkce poddajnosti pro beton (4) Zkrácená verze modelu betonu B3 (Bažant a Chern) Vztah modelu k normovým veličinám: Součinitel dotvarování: Funkce dotvarování: φ = E(t ) J(t, t ) 1 J(t, t ) = 1 + φ(t, t ) E(t ) 30
Relaxace a relaxační funkce (1) Relaxační funce: R(t, t ) Obecně neplatí: R(t, t ) = 1 J(t,t ) Maxwellův model ε(t) = ε e + ε v : ε(t) = ε e (t)+ ε v, ε e (t) = σ(t) E, ε v(t) = σ(t) η ε = σ(t) E + σ(t) η Zatížení konstatní deformací ˆε: σ(t) E + σ(t) η = 0 Obecné řešení: σ(t) = C e E η t = C e t τ 31
Relaxace a relaxační funkce (2) Obecné řešení: σ(t) = C e E η t = C e t τ Počáteční podmínka σ(0) = 0 σ(t) = E ˆε e t τ Relaxační funkce: R o (t) = E e t τ H(t) Pro srovnání tvar funkce poddajnosti: J o (t) = 1 E + t η H(t) 1 R o (t) Vztah J o (t) = 1 R o (t) platí jen v čase (t = 0) 32
Relaxační funkce pro beton Přibližný vztah (Bažant a Kim): Kde: R(t, t ) = 0, 992 J(t, t ) 0, 115 J(t, t t) t = 1 den t m = t t 2 J(t m, t ) J(t, t m ) 1 33
Upravený efektivní modul (1) Age-adjusted effective module (AAEM) Přibližný postup pro odhad vývoje deformace v čase Znalost počáteční hodnoty E a deformací v časech t 1, t 2 Historie deformace: ε(t) = α H(t t ) + β J(t, t ) σ(t) = α R(t t ) + β H(t, t ) Z ε(t) pro časy t 1, t 2 : ε 1 = α + β J 1, J 1 = J(t 1, t ) ε 2 = α + β J 2, J 2 = J(t 2, t ) 34
Upravený efektivní modul (2) Vyjádření α, β: α = ε 1 J 1 ε J 2 J 1 β = Vyjádření napětí σ 1, σ 2 : J 2 J 1 σ 1 = α R 1 + β = R 1 ε 1 + 1 R 1 J 1 J 2 J 1 σ 2 = α R 2 + β = R 2 ε 2 + 1 R 2 J 2 J 2 J 2 ε ε Kde R 1 = R(t 1, t ), R 2 = R(t 2, t ) 35
Upravený efektivní modul (3) Po zavedení σ = σ(t 2 ) σ(t 1 ) = σ 2 σ 1 : σ = α (R 2 R 1 ) = (R 2 R 1 ) ε 1 + E ef ε Kde upravený efektivní modul: E ef = (R 1 R 2 )J 1 J 2 J 1 36
Upravený efektivní modul (4) Při praktických výpočtech (řešíme v t): t 1 = t + t, t 2 = t: R 1 = E, R 2 = R, J 2 = J A tedy: E ef = E R E J 1 = E R φ, σ 1 = E ε 1, ε = E R E ε 1 + σ E ef, J 1 = 1 E Uvedený postup vede k přibližným výsledkům! 37
Příklad: exponenciální algoritmus pro Kelvinův článek (1) Jednoduchý exponenciální algoritmus: ε i = β i ε i 1 + (1 β i ) σi 1/2 E, β i = e ti τ Zadání (viz literatura): E = 30 MP a, τ = 10 s, zatížení se mění lineárně z 0 MP a na 1, 5 MP a po dobu 30 s, poté je konstatntní. Proved te výpočet pro t = 0...90 s. Proved te řešení pro délku kroku 2, 10 a 30 sekund. Řešení v Matlab/Octave 38
Příklad: exp. alg. pro Kelv. čl. (2) Zadání příprava dat pro délku kroku 2 s: dt = 2 ; % casovy krok (s): kroku = 90/dt; % pocet kroku: E = 30e9 ; % modul pruznosti (Pa): tau = 10; % retardacni cas (eta/e) (s): cas = zeros(kroku,1); sigma = zeros(kroku,1); epsilon = zeros(kroku,1); beta = exp(-dt/tau) ; 39
Příklad: exp. alg. pro Kelv. čl. (3) for i=1:kroku cas(i) = i*dt; if cas(i)<30; sigma(i)=((cas(i)-dt*0.5)/30)*1.5e6; else ; sigma(i) = 1.5e6; end if i == 1 epsilon(i)=(1-beta)*(sigma(i)/e) ; % epsilon(0)=0 else epsilon(i)=beta*epsilon(i-1)+(1-beta)*(sigma(i)/e) end end 40
Příklad: exp. alg. pro Kelv. čl. (4) 5e-05 4.5e-05 4e-05 3.5e-05 Relative deformation [-] 3e-05 2.5e-05 2e-05 1.5e-05 1e-05 5e-06 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Time [s] 2s 10s 30s 41
Příklad: numerická integrace pro Kelvinův článek (1) Obdélníkové pravidlo: ε(t) k i=1 J(t, t i 1/2 ) (σ i σ i 1 ) Funkce poddajnosti Kelvinova článku: J o (t) = 1 E [ 1 e ( E η t)] H(t) Zadání: E = 30 MP a, τ = 10 s, zatížení se mění lineárně z 0 MP a na 1, 5 MP a po dobu 30 s, poté je konstatntní. Proved te výpočet pro t = 0...90 s. Proved te řešení pro délku kroku 2 sekundy. Řešení v Matlab/Octave 42
Příklad: num. int. pro Kelv. čl. (2) Zadání a datová pole: dt = 2 ; % casovy krok (s): kroku = 90/dt ; % pocet kroku: E = 30e9 ; % modul pruznosti (Pa): tau = 10; % retardacni cas (eta/e) (s): cas = zeros(kroku+1,1); sigma = zeros(kroku+1,1); epsilon = zeros(kroku+1,1); J = zeros(kroku+1,1); 43
Příklad: num. int. pro Kelv. čl. (3) for i=2:kroku+1 cas(i) = (i-1)*dt; if cas(i)<30; sigma(i)=((cas(i)-dt*0.5)/30)*1.5e6; else ; sigma(i) = 1.5e6; end for j=2:i J(j)=(1/E)*(1.0-exp(-(cas(i)-cas(j)+dt*0.5)/tau)); epsilon(i)=epsilon(i)+j(j)*(sigma(j)-sigma(j-1)); end end 44
Příklad: num. int. pro Kelv. čl. (4) 5e-05 4.5e-05 4e-05 3.5e-05 Relative deformation [-] 3e-05 2.5e-05 2e-05 1.5e-05 1e-05 5e-06 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Time [s] 2s 10s integr. 2s 45
Příklad: numerická integrace pro Maxwellův článek (1) Obdélníkové pravidlo: ε(t) k i=1 J(t, t i 1/2 ) (σ i σ i 1 ) Funkce poddajnosti Maxwellova článku: J o (t) = 1 1 + t H(t) E η Zadání: E = 30 MP a, τ = 10 s, zatížení se mění lineárně z 0 MP a na 1, 5 MP a po dobu 30 s, poté je konstatntní. Proved te výpočet pro t = 0...90 s. Proved te řešení pro délku kroku 2 sekundy. Řešení v Matlab/Octave 46
Příklad: num. int. pro Maxw. čl. (2) Zadání a datová pole: dt = 2 ; % casovy krok (s): kroku = 90/dt ; % pocet kroku: E = 30e9 ; % modul pruznosti (Pa): tau = 10; % retardacni cas (eta/e) (s): cas = zeros(kroku+1,1); sigma = zeros(kroku+1,1); epsilon = zeros(kroku+1,1); J = zeros(kroku+1,1); 47
Příklad: num. int. pro Maxw. čl. (3) for i=2:kroku+1 cas(i) = (i-1)*dt; if cas(i)<30; sigma(i)=((cas(i)-dt*0.5)/30)*1.5e6; else ; sigma(i) = 1.5e6; end for j=2:i J(j)=(1/E)*(1.0+((cas(i)-cas(j)+dt*0.5)/tau)); epsilon(i)=epsilon(i)+j(j)*(sigma(j)-sigma(j-1)); end end 48
Příklad: num. int. pro Maxw. čl. (4) 0.00045 0.0004 0.00035 Relative deformation [-] 0.0003 0.00025 0.0002 0.00015 0.0001 5e-05 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Time [s] Kelvin Maxwell 49
Homogenní konstrukce při neměnném zatížení (1) Pro libovolnou deformační veličinu δ(t): δ(t) = δ 0 (1 + φ(t, t ) ) kde δ 0 je počáteční deformace a: φ(t, t ) = E(t )J(t, t ) 1 Při nehomogenní konstrukci a/nebo při proměnném zatížení se situace podstatně komplikuje. 50
Homogenní konstrukce při neměnném zatížení (2) Stanovte svislou deformaci v místě X zadaného prutu, pokud je chování použitého materiálu popsáno Kelvinovým modelem (τ 1 = 500s, τ 2 = 1000 s). Zadání: E = 30 MP a, průřez je obdélníkový o rozměrech b = 0.2 m, h = 0.3 m, rozpětí je L = 3 m a zatížení q = 10 kn/m. q L/2 X L/2 51
Homogenní konstrukce... (3) q L/2 X L/2 Svislá deformace v bodě X (viz SSKI): w X = 5 q L 4 384 E I Svislá deformace v bodě X v čase t: w X (t) = 5 q L 4 384 E I [ E(t ) J(t, t ] ) 1 52
Homogenní konstrukce... (4) q L/2 X L/2 Funkce poddajnosti Kelvinova článku: J(t, t ) = J o (t t ) = 1 E Řešení pomocí Octave/Matlab Výpočet pro čas 0 9000 s [ 1 e ( E η (t t )) ] H(t, t ) 53
Homogenní konstrukce... (5) dt = 2; % casovy krok (s): kroku = 9000/dt ;% pocet kroku: E = 30e9;% modul pruznosti (Pa): tau = 1000;% tau -retardacni cas (eta/e) (s): I = 1/12*0.2*0.3ˆ3 ;% Moment setrvacnosti: L = 3 ; % delka prutu q = 10e3 ;% spojite zatizeni cas = zeros(kroku+1,1); w = zeros(kroku+1,1); J = zeros(kroku+1,1); 54
Homogenní konstrukce... (6) wo = (5/384)*(q*Lˆ4)/(E*I) ; w(1) = 0 ; cas(1) = 0 ; for i=2:kroku+1 cas(i) = (i-1)*dt; end J(i) = (1/E)*(1.0-exp(-(cas(i)/tau))); w(i) = wo * (1 + (E*J(i) - 1) ); 55
Homogenní konstrukce... (7) 0.8 0.7 0.6 0.5 w [mm] 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [h] tau=500 tau=1000 56
Další (po)drobnosti Podrobnější popis, příklady aj.: Jirásek, M., Zeman, J.: Přetváření a porušování materiálů, ČVUT v Praze, 2006, 2010 57