M - Příprava na. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
M - Příprava na. zápočtový test ± Kombinatorika Kombinatorika Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 7 nebude totéž jako číslo 7. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 9 čísel, z nichž musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budem označovat písmenem k. Zapisovat budeme: Vk(n)... čteme Ck(n)... čteme P(n)... čteme V k(n)... čteme C k(n)... čteme P (n)... čteme variace k-té třídy z n prvků kombinace k-té třídy z n prvků permutace z n prvků variace s opakováním k-té třídy z n prvků kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků permutace s opakováním z n prvků Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí:! =! =! =. =! =.. = 6! =... =! =.... =... n! = n. (n - ). (n - ). (n - )....... S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo:..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test n - 9 6 + (n + )! (n + )! (n + )! (n + )(. n - ) + 6 - = n - 9 6 + = (n + )! (n + )! (n + )! (n + )(. n + )! (n + )! (n + )! n- 6 n - + 6 - (n + ) = + = = (n + )! (n + )! (n + )! (n + )! (n + )! Příklad : Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: (n - )! + (n + )! (n + )! (n + )! (n - )! + (n + )! = (n - )! + (n + )! = (n + )! (n + )! (n + ).n.(n - )! (n + )(. n + )! n + + n.(n + ) n + n + = + = = = n.(n + ) (n + ) n.(n + )(. n + ) n.(n + )(. n + ) ( n + ) = n.(n + )(. n + ) Příklad : Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + )! > (n + )! + (n + )! n! + (n + )! - (n + )! - (n + )! > n! + (n +). (n + ). (n + ). n! - (n + ). n! + (n + ). (n + ). n! > n!. [ + (n +). (n + ). (n + ) - (n + ) + (n + ). (n + )] > n!. ( + n + n + 6n +n + n + 6 - n - + n + n + ) > n!. ( n + 7n + n + 8) > Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění n + 7n + n + 8 > Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme ænö çç èk ø Čteme "en nad k". Platí: ænö n! çç = è k ø (n - k )!.k!..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Vlastnosti kombinačních čísel: ænö n! çç = =n è ø (n - )!.! ænö n! çç = = è n ø (n - n )!.n! ænö n! çç = = è ø (n - )!.! æö! çç = = è ø ( - )!.! ænö æn ö çç = çç k n k è ø è ø æ n ö æ n ö æ n + ö çç + çç = çç è k ø è k + ø è k + ø æn ö n - k ænö çç =.çç k + k + è ø èk ø Příklad : V přirozených číslech řešte rovnici: æ 7 ö æ x + ö æ ö æ x + ö æ xö çç.çç - çç.çç =.çç è ø è x ø è ø è x - ø èø æ 7 ö æ x + ö æ ö æ x + ö æ xö çç.çç - çç.çç =.çç è ø è x ø è ø è x - ø èø 7. (x + )!!.x!! ( x + )!. =.!.!!.( x - )! 7.( x + )(. x + ). ( x + ).x. = x + x + 8 - x - x = -6x + x - = x - x + 6 = x = x = / - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x =...8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test ± Kombinatorika - procvičovací příklady.. 9 7... 6. 6 7. 7..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test 8. 8 9. 8. 9,67.......8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test 6. 7. 8. 9. 9. 7. 6. ± Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování prvků Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z..8 9:8:7 6 z
M - Příprava na. zápočtový test n prvků. Budeme zapisovat: Ck(n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž: ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad : Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků ; ; 7; 9.. způsob: Úvahou {; } {; 7} {; 9} {; 7} {; 9} {7; 9}. způsob: Pomocí kombinatoriky n= k= C () =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ ö! C ( ) = çç = è ø ( - )!.! C () = 6 Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor. n = k= C () =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ ö! C ( ) = çç = è ø ( - )!.! C () = 6 Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem 6 způsoby. Příklad :..8 9:8:7 7 z
M - Příprava na. zápočtový test K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. n=6 k= C (6) =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ6ö 6! C (6 ) = çç = è ø (6 - )!.! C (6) = Počet utkání je. Příklad : Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce ad a) n = k= C () =? -------------------- ænö n! Ck (n ) = çç = è k ø (n - k )!.k! æ ö! C () = çç = è ø ( - )!.! C () = Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem přímek. ad b) n = k= n = p =? (celkový počet) -------------------- æn ö æn ö p = Ck (n ) - Ck (n ) + = çç - çç + = èk ø èk ø n! n! = + (n - k )!.k! (n - k )!.k!!! p= + ( - )!.! ( - )!.!..8 9:8:7 8 z
M - Příprava na. zápočtový test p = Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno různých přímek. Příklad : Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. n = + = k= n = n = p =? (celkový počet) -------------------- æn ö æn ö æn ö p = Ck (n ) - Ck (n ) - Ck (n ) = çç - çç - çç = èk ø èk ø èk ø n! n! n! = (n - k )!.k! (n - k )!.k! (n - k )!.k!!!! p= ( - )!.! ( - )!.! ( - )!.! p = Celkem lze vytvořit různých tanečních párů. ± Kombinace bez opakování - procvičovací příklady. 8. 6.. 6..8 9:8:7 9 9 z
M - Příprava na. zápočtový test. 9 6. 7. 6 8. 8 9... 7 8. 8 9 9. 7 67. 9 98...8 9:8:7 6 z
M - Příprava na. zápočtový test 6. 7. 6 8 8. 6 9. 6 7 9.. 8. 8 8 ± Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme Vk (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec: Vk (n ) = n! (n - k )! Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující:..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test ænö Vk (n ) = çç.k! èk ø Příklad : Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků,, 7, 9. Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: [; ; 7], [; ; 9], [; 7; ], [; 7; 9], [; 9; ], [; 9; 7], [; ; 7], [; ; 9], [; 7; ], [; 7; 9], [; 9; ], [; 9; 7], [7; ; ], [7; ; 9], [7; ; ], [7; ; 9], [7; 9; ], [7; 9; ], [9; ; ], [9; ; 7], [9; ; ], [9; ; 7], [9; 7; ], [9; 7; ] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n= k= V() =? ------------------- n! (n - k )!! V ( ) = =!= ( - )! Vk (n ) = Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je. Příklad : Určete, kolika způsoby může shromáždění lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variacetřetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = k= V() =? ------------------- n! (n - k )!! V ( ) = =.9.8 = 6 ( - )! Vk (n ) = Shromáždění může zvolit výbor celkem 6 způsoby. Příklad : Určete počet všech přirozených čísel menších než, v jejichž zápisu jsou pouze cifry,, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou...8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Přirozená čísla menší než mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi, 6 a 7. n= k = k = k = p =?... celkový počet čísel ------------------------------------p = V() + V() + V()/ æ ö æ ö æ ö p = çç.!+çç.!+çç.!: = + + 6 = è ø è ø è ø Čísel splňujících dané podmínky je celkem. ± Variace bez opakování - procvičovací příklady. 6 6. 68 8. 67 6. 66 68. 69 6 6. 6 7. 6..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test ± Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P)n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec: P(n) = n! Příklad : Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n= P() =? -------------P(n) = n! P() =! = 6 Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad : Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic,,, a 7. Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticeferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n = n = p =?... celkový počet ------------------------------p = n! - n! =! -! = - = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad :..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A ad a) n= p=? -------------p = P() =! = Celkový počet možností pro pořadí proslovů je. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n= p=? --------------p = P() =! = Celkový počet možností pro pořadí proslovů je. ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n= p=? --------------p = p()/ =!/ = 6 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 6. ± Permutace bez opakování - procvičovací příklady. 7. 7 96. 7..8 9:8:7 6 z
M - Příprava na. zápočtový test ± Statistika Základy statistiky Statistika je odvětví matematiky, které se zabývá zpracováním hromadných jevů. Setkáváme se s ní v denním tisku, v televizních zprávách, v rozhlase, v různých informacích. Tvoří základ pro plánování, organizaci a vedení ekonomiky vůbec. Dává návod, jak zpracovávat rozsáhlé číselné údaje o věcech a lidech. Je základem různých propočtů a z nich vyplývajících rozhodnutí. Přibližuje nám zákonitosti života - od domácnosti až po světovou politiku. Je možno říci, že statistika je souhrn metod, které nám umožňují činit rozumná rozhodnutí, založená na porovnání, posouzení a zhodnocení informací. Základní pojmy statistiky statistický soubor statistická jednotka (prvek statistického souboru) statistický znak statistické šetření Při provádění šetření se budeme zabývat např. souborem všech žáků jedné konkrétní třídy a sledovat, jakou mají hmotnost, výšku, barvu očí, ve kterých sportovních družstvech jsou zapojeny, apod. Hmotnost nebo výška jsou znaky kvantitativní. Barva očí, druh sportu jsou znaky kvalitativní. Další příklady statistických souborů: a) soubor - všichni pacienti jedné zubní kliniky ve městě znak - počet plombovaných zubů b) soubor - všichni občané našeho města starší 8-ti let znak - průměrný měsíční výdělek c) soubor - všichni žáci školy znak - známka z matematiky d) soubor - všechna auta v ulici, kde bydlíte znak - barva auta Pozn.: Statistické průzkumy a statistická šetření se často neprovádějí na celém základním souboru, ale pouze na jeho části, tzv. výběrovém souboru. Úkolem statistiky je pak propočítat, jaké rozdělení určitého znaku v celém souboru je možné očekávat, jestliže známe rozdělení určitého znaku ve výběrovém souboru. Příklad : Statistický soubor tvoří členové rodiny Novákových (celkem 8 osob), žijící společně v rodinném domku. U každého člena rodiny jsme sledovali, jakou má hmotnost, výšku, věk, jestli rád sportuje, čte, luští křížovky, umí vařit. Získané údaje jsme zapsali do tabulky:..8 9:8:7 6 z
M - Příprava na. zápočtový test Položme si otázky: a) Kolik členů rodiny rádo sportuje? b) Kolik členů rodiny rádo čte? c) Kolik členů rodiny luští křížovky? d) Kolik členů rodiny umí vařit? e) Kolik členů rodiny má výšku 6 cm? f) Kolik členů rodiny má hmotnost 7 kg? a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Počet těch členů rodiny, kteří rádi sportují, je. Ve statistice říkáme, že znak "rád sportuje" má četnost (frekvenci). Poznali jsme tak další základní prvek statistiky, a to četnost. Příklad : V jedné třídě školy zjistili při průzkumu velikosti bot, které žáci nosí, toto: Které číslo bot má největší četnost? Kolik bylo ve třídě celkem žáků? Nejvyšší četnost má číslo. Ve třídě je celkem žáků. Závěr: Součet jednotlivých četností sledovaného znaku je roven počtu prvků statistického souboru. Hodnotu s nejvyšší četností nazýváme modus daného statistického souboru. Pozn.: Všimněme si výhodné čárkovací metody, kterou jsme použili v předchozím příkladu. Zvláště při..8 9:8:7 7 z
M - Příprava na. zápočtový test zpracování velkých souborů se často oddělují čárky po pěti tím, že se škrtnou. Příklad : V jedné chráněné oblasti zpracovávali statistický soubor stromů podle jednotlivých druhů. Z vypracované tabulky určete četnosti jednotlivých druhů a celkový počet stromů zahrnutých do šetření. Javor - 8; lípa - 9; smrk - ; dub - 7; modřín - 8; olše - 9; Celkem šetřeno stromů 8 + 9 + + 7 + 8 + 9 = 86 Závěr: Celkový počet jednotek souboru nazýváme rozsah souboru. ± Statistika - procvičovací příklady. Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete četnost jednotlivých čísel bot. 668..8 9:8:7 8 z
M - Příprava na. zápočtový test. Radka pomáhala kamarádovi v podchodu prodávat noviny. Začala si všímat kupujících a sepsala si takovouto tabulku údajů o lidech, kteří si kupovali noviny. Z tabulky vyčtěte alespoň pět informací o jednotlivých osobách. 669. Zpracujte přehled stromů a keřů podle druhů v parku u vás před školou nebo na návsi/náměstí. 67. Zpracujte tabulku aut parkujících v blízkosti vaší školy (případně v ulici, kde bydlíte) podle značky a barvy. 67. Proveďte statistické šetření na vzorku lidí jedoucích s vámi v autobuse/tramvaji, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě. 67 6. Proveďte anketu oblíbenosti jednotlivých populárních hudebních skupinu vás ve škole a určete četnosti obliby jednotlivých z nich. 67 7. Proveďte statistické šetření na vzorku lidí vcházejících do supermarketu, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě. 67..8 9:8:7 9 z
M - Příprava na. zápočtový test 8. Vyberte žáků ze třídy a sestavte pro ně tabulku obdobnou tabulce pro rodinu Novákových, která je zde: 667 Určete četnost jednotlivých znaků. ± Aritmetický průměr Aritmetický průměr Aritmetický průměr se vypočítá tak, že sečteme jednotlivé hodnoty a získaný součet dělíme jejich počtem. Výsledek spočítáme tak, aby obsahoval o jedno desetinné místo více, než měly jednotlivé sčítané členy a zaokrouhlíme na počet desetinných čísel odpovídající členu, který měl nejmenší přesnost. Příklad : Vypočítejte průměrný plat pana Nováka v roce 99, jestliže víte, že jeho čisté měsíční výdělky (zaokrouhlené na stovky) v jednotlivých měsících byly: Měsíc Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec Plat [Kč] 8 8 6 7 6 8 8 6 7 ( + 8 + + 8 + 6 + 7 + + + 6 + 8 + 86 + 7) : = 7 : = 6 Průměrný měsíční plat pana Nováka v roce 99 byl 6 Kč. Příklad :..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu, km; za třetí a čtvrtou hodinu km; za pátou hodinu, km; za šestou hodinu km; za sedmou hodinu km a za osmou hodinu ušel pouze km. Určete jeho průměrnou rychlost za hodinu. Průměrnou rychlost označíme vp. vp = v + v + v + v + v + v6 + v7 + v8 8 vp = 7 +, + + +, + + + 8 vp = km km km =, = 8 h h h (po zaokrouhlení) Milan šel průměrnou rychlostí km/h. Příklad : Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo 6 7 8 9 6 7 Výška [m],,,,,,,,,,,,,,,,,8 Zapište do tabulky tyto údaje a to tak, že je srovnáte od nejmenší do největší hodnoty naměřené výšky a do vedlejšího sloupce tabulky zapíšete četnost jednotlivých hodnot. Vypočítejte aritmetický průměr tohoto souboru. Určete modus. Výška [m],,,,,,8,,..8 9:8:7 Četnost z
M - Příprava na. zápočtový test Průměrnou výšku člena sportovního oddílu označíme xp. Pak platí: xp = (,. +,. +,. +,. +,. +,8. +,. +,. ) : 7 =, Aritmetický průměr je přibližně, m. Modus je, m. Poznámka: V našem případě jsme využili k výpočtu průměru četností jednotlivých hodnot. Nesčítali jsme tedy např. pětkrát číslo,, ale vynásobili jsme, pěti, což je četnost hodnoty,. Obecně můžeme tento postup vyjádřit takto: xp = f.x + f.x +... + f n.xn f + f +... + f n kde x, x,..., xn jsou jednotlivé hodnoty daného znaku (např. výšky členů sportovního oddílu), f, f,..., fn jsou jejich příslušné četnosti xp je průměr těchto hodnot. ± Aritmetický průměr - procvičovací příklady. Pan Novák jel hodiny autobusem (průměrná rychlost km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále hodin pěšky (průměrná rychlost km/h) do cíle své cesty. Jaká byla průměrná rychlost pana Nováka na celé cestě? 8 km/h 679. Určete aritmetický průměr a modus výšky děvčat ve vaší třídě. 67. Určete aritmetický průměr a modus známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí. 676. Vypočtěte průměrný počet žáků, který připadá na jednu třídu ve vaší škole. Určete odchylky počtu žáků v jednotlivých třídách od vypočítaného průměru. Určete modus. 68. Určete průměrnou výšku a modus měsíčního kapesného, které dostávají spolužáci ve vaší třídě. 677 6. Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6: do : hodin večer a určete průměrnou teplotu tohoto dne z vašich naměřených hodnot. 678 ± Medián Medián Aritmetický průměr je často nereálná hodnota. Mají-li například dva kamarádi dohromady průměrně Kč, mohli jsme tuto hodnotu získat také tak, že jeden z nich má Kč a druhý Kč. Jestliže je ve statistice uvedeno, že během roku sní každý občan naší republiky jednu husu, může sníst někdo..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test pět hus a někdo jiný žádnou!!! Proto se ve statistice určují ještě další hodnoty, které charakterizují daný soubor. Jednou z nich je modus, se kterým jsme se již seznámili, další je medián. Příklad : Na jedné -ti třídní škole mají tyto počty žáků ve třídách: Třída Počet žáků A B A B 6A 6B 7A 7B 8A 8B 8C 9 8 7 8 8 9 6 8 6 Sestavte tabulku seřazenou od nejmenšího počtu žáků ve třídě k největšímu. Ve druhém sloupci této tabulky uveďte označení třídy odpovídající danému počtu žáků. Určete modus a vypočtěte aritmetický průměr počtu žáků ve třídě. Modus (nejvyšší četnost) je žáků. Průměr počtu žáků v jednotlivých třídách označíme xp. Platí: xp = 7. + 8. + 6. + 8. + 9. +. +. +. +. ++ + ++++ + xp = : = 9 (po zaokrouhlení) Počet žáků Třída 7 8 6 6 8 8 8 9 B A 8A 8C A 8B B 6A 7A 6B 7B 9 Další charakteristikou souboru je údaj, který leží uprostřed tabulky počtu žáků v jednotlivých třídách dané školy sestavené od nejmenšího počtu k nejvyššímu. Je to třída s počtem žáků 9. (Před tímto údajem je uveden počet žáků sedmi tříd a za ním je uveden rovněž počet žáků sedmi tříd.)..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Hodnota ležící ve středu tabulky uspořádané od nejmenší do nejvyšší hodnoty šetřeného znaku, se nazývá medián. Tabulku počtu žáků ve třídě a označení příslušné třídy uspořádáme ještě tak, že ke každému počtu žáků ve třídě přířadíme místo označení třídy četnost tříd, které mají tyto počty žáků. Počet žáků ve třídě Četnost takových tříd 7 8 6 8 9 I z této tabulky snadno určíme medián. Tabulku rozdělíme na tři části tak, aby v prvé i ve třetí části tabulky byl stejný počet tříd (prvků daného statistického souboru). Při lichém počtu prvků statistického souboru leží ve druhé části tabulky jediná hodnota - medián. Závěr: Zjistili jsme, že průměrný počet žáků ve třídě je 9, medián též 9 a modus. Příklad : Na. stupni základní školy mají tyto počty žáků ve třídách: Určete medián tohoto statistického souboru. Tabulku uspořádáme podle počtu od nejmenšího k největšímu. Na rozdíl od předchozího příkladu vidíme, že zde máme sudý počet prvků. V případě sudého počtu prvků statistického souboru určíme medián tak, že sečteme poslední hodnotu horní části tabulky a první hodnotu dolní části tabulky (uspořádané od nejmenší do největší hodnoty znaku) a tento součet dělíme dvěma. V našem případě: 8 + 8 = = 9 Medián daného statistického souboru je 9...8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test ± Medián - procvičovací příklady. Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6: do : hodin večer a určete medián tohoto dne z vašich naměřených hodnot. 79. žáků třídy 9B psalo písemnou práci z matematiky, za kterou mohl každý žák dostat nejvýše bodů. Získali tyto výsledky: 7 6 8 8 7 7 8 7 8 8 9 6 9 9 9 8 7 7 Sestavte tabulku četností jednotlivých výsledků od nejnižšího počtu dosažených bodů k nejvyššímu. Určete průměr, medián a modus tohoto souboru. 7,; 7; 8. Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo 6 7 8 9 6 7 7 Výška [m],,,,,,,,,,,,,,,,,8 Určete medián daného statistického souboru., m. Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu, km; za třetí a čtvrtou hodinu km; za pátou hodinu, km; za šestou hodinu km; za sedmou hodinu km a za osmou hodinu ušel pouze km. Určete rychlost za hodinu odpovídající mediánu., km/h..8 9:8:7 7 z
M - Příprava na. zápočtový test. Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete medián souboru. 7 6. Určete medián počtu žáků jednotlivých tříd vaší školy. 7 7. Určete medián známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí. 77 8. 9. V šetřeném souboru je 7 jablek o hmotnostech g, g, g, 8 g, g, 6 g, g. Určete jablko, které reprezentuje medián tohoto souboru. g 7 Určete medián měsíčního kapesného, které dostávají spolužačky ve vaší třídě. 78. Určete medián výšky děvčat ve vaší třídě. 76. Pan Novák jel hodiny autobusem (průměrná rychlost km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále hodin pěšky (průměrná rychlost km/h) do cíle své cesty. Jaký byl medián průměrných rychlostí pana Nováka na celé cestě? km/h 7. Škola má celkem tříd. Průměrný počet žáků na třídu je 9. Medián je 9,. Modus je 6. Nejvyšší počet žáků ve třídě je 6, nejnižší 9. S počtem 6 žáků jsou ve škole dvě třídy. Určete celkový počet žáků ve škole a charakterizujte tento statistický soubor podrobněji podle zadaných údajů. 8 žáků; podmínky splňuje např. tato tabulka: 6 7 8 9 9 7 8 9 6 7 6 ± Rozptyl Rozptyl Pozor na průměrné hodnoty! "Ne nadarmo koluje o statisticích tento vtip: Kdyby někdo stál jednou nohou ve sněhu a druhou na rozžhaveném uhlí, statistik řekne, že je mu průměrně teplo." Rozptyl je statistická veličina, která charakterizuje rozložení četností kolem aritmetického průměru. Jako statistická veličina je rozptyl definován jako součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot znaku od průměru dělený počtem hodnot. Rozptyl značíme s (řecké písmeno sigma). x, x,..., xn jsou jednotlivé hodnoty, xp je jejich průměr,..8 9:8:7 6 z
M - Příprava na. zápočtový test n je počet prvků daného souboru Příklad : Během jednoho deštivého dne byla naměřena teplota vzduchu v Praze ráno (v 6: hodin) 8 C, v poledne (ve : hodin) C a večer (v 9: hodin) C. Během slunečního jarního dne (s ranním ostrým chladem) byla naměřena teplota vzduchu ráno (v 6: hodin) C, v poledne (ve : hodin) 8 C a večer (v 9: hodin) 9 C. Vypočítejte aritmetický průměr teplot v uvedených dnech a odchylky naměřených teplot od tohoto aritmetického průměru. Tabulka -. den Teplota [ C] 8 Odchylka od průměru naměřených teplot - + Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia): tp = 8 + + = Tabulka -. den Teplota [ C] 8 9 Odchylka od průměru naměřených teplot -7 +8 - Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia): tp = + 8 + 9 = V obou sledovaných dnech je aritmetický průměr naměřených hodnot teplot stejný, a to C. Odchylky od průměrné teploty v prvním a ve druhém dni nám však ukazují, že jde o dva velmi rozdílné statistické soubory. V prvním případě jsou odchylky nevýrazné (hodnoty mají nevýrazný rozptyl); ve druhém případě jsou odchylky výrazné (hodnoty mají výrazný rozptyl). Veličinu "rozptyl" si můžeme velmi názorně předvést na střeleckém terči: Příklad : Zakreslete do střeleckého terče zásahy podle odchylky. Odchylka jednotlivých zásahů od středu: Pořadové číslo znaku Odchylka od středu..8 9:8:7 7 z
M - Příprava na. zápočtový test 6 7 8 9 Příklad : Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. Rok 978 978 978 978 979 979 Počet žáků III. 979 IV. 979 V. 979 VI. 979 VII. 979 VIII. 979 Určete průměrný počet narozených v jednom měsíci a odchylky od průměru v jednotlivých měsících, modus, medián a rozsah tohoto souboru. Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Počet narozených Průměr Odchylka + + - - - + + + + - Průměrný počet: np = + + + + + + + + + + + 6 = = Rozsah souboru je 6. Počet narozených..8 9:8:7 Četnost 8 z
M - Příprava na. zápočtový test Modus souboru je. Medián souboru je,. Příklad : Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. Rok 978 978 978 978 979 979 Počet žáků III. 979 IV. 979 V. 979 VI. 979 VII. 979 VIII. 979 Vypočítejte rozptyl statistického souboru. Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Počet narozených Průměr Odchylka + + - - - + + + + - Druhá mocnina odchylky 9 Výpočet rozptylu: s= + + + + 9 + + + + + + + = =, Pozn.: Čím je číslo s menší, tím menší jsou rozdíly jednotlivých hodnot od průměru, tím "blíže" jsou jednotlivé hodnoty rozmístěny kolem průměrné hodnoty. ± Rozptyl - procvičovací příklady..8 9:8:7 9 z
M - Příprava na. zápočtový test. V tabulce je uveden počet vyrobených aut (v tisících kusech) v roce 989 ve státech s nejvyšším počtem tohoto výrobku: Stát Japonsko USA SRN Francie Itálie Španělsko Velká Británie SSSR Kanada Osobní automobily 8 7 6 87 97 69 99 6 98 79 Nákladní automobily 6 8 8 6 7 9 99 Vypočtěte aritmetický průměr a medián těchto souborů, porovnejte průměr s výrobou automobilů v Československu v roce 989 (osobní auta 88, nákladní auta ). Určete nejnižší odchylku od průměru u obou souborů. Osob. auta: 7,; 97; Francie +,6; nákladní auta:,; 7; Kanada -7,. Při rovnání své knihovny zjistil pan Novák, že má celkem 78 knih, z toho má 8 knih básní, 6 detektivky, cestopisy, klasických románů, 8 naučných knih, 69 dobrodružných příběhů, 7 knihy současné prózy a 8 knih povídek. Zapište tabulku tohoto souboru, určete průměr a odchylky jednotlivých druhů knih od tohoto průměru. Vypočtěte rozptyl. 97, 77. V tabulce je uveden roční přirozený přírůstek obyvatelstva a střední délka života občanů v jednotlivých světadílech v roce 99. Světadíl Roční přirozený přírůstek na Střední délka života obyvatel (počet let) Evropa 7 Asie 8 6 Afrika Severní Amerika 8 76 Latinská Amerika 66 Austrálie a Oceánie 69 7 Určete aritmetický průměr, medián a rozptyl těchto dvou statistických souborů. Roční přírůstek:,; 6; 8,; Střední délka života: 66,; 67,; 6,9. Při zjišťování počtu psů v jednom domě na sídlišti byly získány tyto údaje: Byt č. 6 7 8 9 Počet psů 76 Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech. Průměr:,87; Odchylky: -,87; +,; +,; +,; +,; -,87; +,; -,87; +,; -,87; +,; +,; -,87; -,87; +,..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test. V tabulce je uveden podíl jaderných elektráren na výrobě elektrické energie v některých státech světa v roce 99: Stát Podíl elektrické energie z jaderných elektráren [%] ČSFR 8,7 Francie 7,7 Belgie 9, Švédsko,6 Maďarsko 8, Švýcarsko, Španělsko,9 Bulharsko, Finsko, Německo 7,6 Japonsko,8 78 Určete aritmetický průměr a medián tohoto vzorku. Stanovte odchylky jednotlivých hodnot od průměru. Vypočtěte rozptyl. Aritmetický průměr:,; Medián:,9; Rozptyl: 6, 6. Na ulici ve městě pravidelně parkují auta. Během jednoho týdne jsme zjistili tyto údaje o jejich počtu: Den Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Sobota Neděle Počet parkujících aut 6 9 6 6 8 7 Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech, vypočtěte rozptyl. Průměr: 7; rozptyl: 6, ± Diagramy Diagramy ve statistice Diagramy ve statistice nám slouží k přehlednému znázornění výstupu ze statistického šetření. Ke tvorbě diagramů můžeme výhodně využít i počítačového programu - např. Excelu. Příklad : Cizí jazyky se učí žáků 7. a 8. tříd jedné základní školy v rozložení, které je znázorněné na tomto kruhovém diagramu: Určete počty žáků, kteří se učí jednotlivým jazykům...8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test % % % %............ žáků :. = 6 žáků :. = 8 žáků :. = žáků Anglicky se učí 6 žáků, německy se učí 8 žáků, francouzsky žáků, španělsky rovněž žáků. Příklad : Narýsujte kruhový diagram příslušný k této tabulce: Sportovní Hokej Tenis Kopaná odvětví Počet žáků, 8 kteří se mu věnují Házená 6 Karate Sportovní gymnastika Základní soubor této tabulky tvoří žáků dvou devátých tříd školy (7 žáků nepěstuje žádný sport).... %,... % 8... 8 :, %= %... :, % = %... :, % =, % 6... 6 :, % = %... :, % = % -------------------------------------------- %... 6 %...,6 Příklad : Zapište do tabulky přibližné hektarové výnosy cukrovky v ČR, které jsou zaznamenány na tomto diagramu:..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Diagram, z kterého jsme snadno přečetli údaje a který názorně ukazuje, ve kterém roce byla sklizeň cukrovky největší, ve kterém nejnižší a v jakém rozpětí se pohybuje, nazýváme sloupkový diagram nebo též histogram. Příklad : Narýsujte sloupkový diagram celkového prospěchu žáků 9. ročníku v. pololetí podle následující tabulky. Nakreslete příslušný kruhový diagram. Prospěch Prospěl s Prospěl Neprospěl Nebyl Celkem vyznamenáním klasifikován Četnost 7 Četnost % 8 6..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test ± Diagramy - procvičovací příklady. Určete v procentech počet jednotlivých druhů zvířat v ZOO podle kruhového diagramu: 7..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test. Každé z pěti žákovských družstev sehrálo s ostatními deset zápasů. Za výhru vždy získalo dva body, za remízu jeden bod a za prohru nula bodů. Vypočítejte celkové bodové zisky družstev, narýsujte sloupkový diagram. Mužstvo A B C D E Počet výher 7 Počet remíz 7 Počet proher 7 Celkový počet bodů ; ; ; ;. Krasobruslařka při volné jízdě získala od rozhodčích tato ocenění:,;,;,7;,;,;,6. Narýsujte sloupkový diagram souboru jejích ocenění. Určete aritmetický průměr, odchylky od něho, modus a medián. Aritmetický průměr:,; Modus:,; Medián:, 7. Lucka dostala z písemek z matematiky 8, 7, 9, 6 bodů. Kolik bodů musí získat z poslední písemky, aby aritmetický průměr byl 8 bodů potřebných na známku "chvalitebně"? Narýsujte příslušný sloupkový diagram. 7..8 9:8:7 z
M - Příprava na. zápočtový test Obsah Kombinatorika Kombinatorika - procvičovací příklady Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování - procvičovací příklady Variace bez opakování prvků Variace bez opakování - procvičovací příklady Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování - procvičovací příklady Statistika Statistika - procvičovací příklady Aritmetický průměr Aritmetický průměr - procvičovací příklady Medián Medián - procvičovací příklady Rozptyl Rozptyl - procvičovací příklady Diagramy Diagramy - procvičovací příklady..8 9:8:7 6 9 6 8 6 9