M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK

Transkript

1 M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu nalenete na

2 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a ároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou naýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi ávislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li áklad exponenciální funkce číslo 10, pak ji naýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li ákladem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce naývá přiroená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pon.: Eulerovo číslo e =, Vlastnosti exponenciální funkce: 1 7

3 ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady

4

5 Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f(x) Narýsujte graf funkce y = 0,5 x

6 Narýsujte graf funkce y = 0,5 x

7 Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f( x ) a > 1 6 7

8 a > 0. Je dána funkce f: y = 0,5 x-. Narýsujte graf funkce f( x )

9 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverní k exponenciální funkci o stejném ákladu. Pon.: Inverní funkci ískáme áměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pon.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako ápis x = a y Graf logaritmické funkce se naývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v ávislosti na velikosti a: Funkční hodnoty logaritmické funkce se naývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: 8 7

10 Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme pravidla tak, že k adané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x

11 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x

12 Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f(x)

13 14. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) Narýsuj graf funkce y = log1/(x + )

14 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x

15

16 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x

17 Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x )

18 . Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 1. Je dána funkce f: y = log1/(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ). 11 ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při ákladu a > 0 a ároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit áklad, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: log a x = y Û x = a y [Čteme logaritmus čísla x při ákladu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se naývá logaritmování. Obrácená operace se naývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném ákladu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus čísla stejného, jakým je i áklad, je roven jedné. Logaritmus čísla většího než jedna je kladný, logaritmus čísla menšího než jedna je áporný. Logaritmus při ákladu 10 se naývá logaritmus dekadický. Logaritmus při ákladu e se naývá logaritmus přiroený. 17 7

19 Příklad 1: Vypočtěte log 5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 y Odtud snadno jistíme, že y = Příklad : Vypočtěte áklad logaritmu, jestliže platí log 16 = Řešení Podle definice převedeme na výpočet = 16 Protože platí 16 = 6, pak = 6 a odtud = 6 Příklad : Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při ákladu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log 0,1x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10. ± Logaritmy - procvičovací příklady 18 7

20 , , , , ,

21 , / ,5 18. Stanovte číslo x, platí-li log10 x = , Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x =

22 . Určete log4 (log4 4) , / ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: log a x = y loga x x = a (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (log a x), kterým musíme umocnit áklad - vi pravá strana výrau (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a y = a xy = a log log log a a a x y xy 1. Nele logaritmovat součet log (a + b) ¹ log a + log b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důka: a = b = ab = log log a b log ab vše pro a > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 1 7

23 ab = log ab = log a. log b = log a+ log b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné áklady, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: log ab = log a + log b Např.:. Logaritmus podílu je roven rodílu logaritmů dělence a dělitele Důka: a = b = a = b log a log b log a b vše pro a > 0, b > 0, > 0, ¹ 1 a b = a log b = log a log b = log a-log b a log = log a - log b Např.: b 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu ákladu dané mocniny Důka: a = a n = log a log a n = log n a n.log a ( ) = log a n = n. log a 7

24 Např.: ± Věty o logaritmech - procvičovací příklady Určete logx, je-li a x = a Určete log x, je-li a. tga x = b. c

25 x = 6 ab. ab x = a b (n+) / x = a Určete log x, je-li x = - 1 a. 4 b

26 1. Určete log x, je-li x = a 1/ b / x = ab/c x = abc 19. Určete log x, je-li x =. a. a x = a c b

27 x = ( a - b). a. b x = a.b. 5. Určete log x, je-li x = a -. b ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má nenámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit pravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí): 1. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném ákladu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné áklady, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad 1: Řešte rovnici: 6 7

28 x æ ö ç è 4 ø = Řešení: æ ö ç è 4 ø æ ö ç è 4 ø x x = æ ö = ç è 4 ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: = 0,5 x- 7 -x Řešení: x- x- = 7 x- x- 7 = x - x - = 7 14x - 1 = x x = 1 Závěr: x = 1/11 Příklad : Řešte rovnici: x-1 x- x + + x -1 -.( = 448 ) = 448 x æ ö. ç + + = 448 è 4 8 ø x 7 6. = 7. 8 x 6 = 8. x 9 = Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. 7 7

29 Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x x = 0 Řešení: x ( ) x +. - = 0 Zavedeme substituci y = x Dostaneme rovnici: y + y - = 0 (y - 1). (y + ) = 0 y 1 = 1 y = - Vrátíme se pět k avedené substituci: a) x = 1 x = 0 x 1 = 0 b) x = - V tomto případě není řešení, protože x je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0.. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním předchoích dvou postupů nele řešení dosáhnout. Výsledek většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x = 5 x Řešení: Vhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný áklad, použijeme postup, kdy celou rovnici logaritmujeme: log 5x = log 5 x 5x. log = x. log 5 x. (5log - log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden činitelů je roven nule, proto x = 0 (ávorka být rovna nule nemůže). Ponámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 7

30 Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5 ö ç1 - è 9 ø -x æ 9 ö = ç è 4 ø -0,5 x Řešte rovnici: 10 = 5-x 7-x Řešte rovnici: æ ç è 4 5 ö ø x+ 4x-1 æ15 ö. ç è 8 ø 1 =

31 V oboru reálných čísel řešte rovnici: 4 x + x+ = 4 x+ - x x 1 = x = log / log

32 1. Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x. x 1 = 4 x Řešte rovnici: æ ö ç è 5 ø x æ 5 ö = ç è ø Řešte rovnici: 140 x. x+ m x x-m = 7 Nemá řešení 5. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 6..8 x 9 = x+ x+ - 7-x x V oboru reálných čísel řešte rovnici: 5 x-6 -x 4 log 7 = log Řešte rovnici: x+ 1 x+ 5x+ 1. = Řešte rovnici: -x 56 0,5 = + x x

33 Řešte rovnici v oboru reálných čísel:. x + -x = Řešte rovnici: 1 x.4 x- = 8 x+ 4. Řešte rovnici: x x+ 4 x+ 4 + = 4 - x ,5 ± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výraů s nenámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. 7

34 Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹ 1, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici be logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice). Příklad 1: Řešte logaritmickou rovnici log x - log x 4 + log x 5 = 8 Řešení: log x - log x 4 + log x 5 = 8 log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 100 Příklad : log x 1 + log x + 7 log x = 0 7

35 Řešení: log x 1 + log x + 7 log x = 0 log x + 0,5.. log x log x + 64 = 0 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 log x = -64 log x = - x = 0,01 Příklad : 4 log x + log x - log x Řešení: 4 log x + log x - log x = 5 = 5 log x + 4log x - (1/)log x = 5 (0/)log x = 5 log x = 0,75 x = ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady

36 Řešte rovnici: 5 1 log x 4 - log 5 x =

37 log x = 10 log x Řešte rovnici: log log log x 4 =

38

39 Obsah Exponenciální funkce 1 Exponenciální funkce - procvičovací příklady Logaritmická funkce 8 Logaritmická funkce - procvičovací příklady 9 Logaritmy 17 Logaritmy - procvičovací příklady 18 Věty o logaritmech 1 Věty o logaritmech - procvičovací příklady Exponenciální rovnice 6 Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 8 Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice - procvičovací příklady :16:56 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (