M - Příprava na pololetní písemku č. 2

Transkript

1 M - Příprava na pololetní písemku č. Určeno pro třídy SA, SB. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Statistika Základy statistiky Statistika je odvětví matematiky, které se zabývá zpracováním hromadných jevů. Setkáváme se s ní v denním tisku, v televizních zprávách, v rozhlase, v různých informacích. Tvoří základ pro plánování, organizaci a vedení ekonomiky vůbec. Dává návod, jak zpracovávat rozsáhlé číselné údaje o věcech a lidech. Je základem různých propočtů a z nich vyplývajících rozhodnutí. Přibližuje nám zákonitosti života - od domácnosti až po světovou politiku. Je možno říci, že statistika je souhrn metod, které nám umožňují činit rozumná rozhodnutí, založená na porovnání, posouzení a zhodnocení informací. Základní pojmy statistiky statistický soubor statistická jednotka (prvek statistického souboru) statistický znak statistické šetření Při provádění šetření se budeme zabývat např. souborem všech žáků jedné konkrétní třídy a sledovat, jakou mají hmotnost, výšku, barvu očí, ve kterých sportovních družstvech jsou zapojeny, apod. Hmotnost nebo výška jsou znaky kvantitativní. Barva očí, druh sportu jsou znaky kvalitativní. Další příklady statistických souborů: a) soubor - všichni pacienti jedné zubní kliniky ve městě znak - počet plombovaných zubů b) soubor - všichni občané našeho města starší 8-ti let znak - průměrný měsíční výdělek c) soubor - všichni žáci školy znak - známka z matematiky d) soubor - všechna auta v ulici, kde bydlíte znak - barva auta Pozn.: Statistické průzkumy a statistická šetření se často neprovádějí na celém základním souboru, ale pouze na jeho části, tzv. výběrovém souboru. Úkolem statistiky je pak propočítat, jaké rozdělení určitého znaku v celém souboru je možné očekávat, jestliže známe rozdělení určitého znaku ve výběrovém souboru. Příklad : Statistický soubor tvoří členové rodiny Novákových (celkem 8 osob), žijící společně v rodinném domku. U každého člena rodiny jsme sledovali, jakou má hmotnost, výšku, věk, jestli rád sportuje, čte, luští křížovky, umí vařit. Získané údaje jsme zapsali do tabulky:..007 :6:9 z 9

3 Položme si otázky: a) Kolik členů rodiny rádo sportuje? b) Kolik členů rodiny rádo čte? c) Kolik členů rodiny luští křížovky? d) Kolik členů rodiny umí vařit? e) Kolik členů rodiny má výšku 6 cm? f) Kolik členů rodiny má hmotnost 7 kg? Řešení: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Počet těch členů rodiny, kteří rádi sportují, je. Ve statistice říkáme, že znak "rád sportuje" má četnost (frekvenci). Poznali jsme tak další základní prvek statistiky, a to četnost. Příklad : V jedné třídě školy zjistili při průzkumu velikosti bot, které žáci nosí, toto: Které číslo bot má největší četnost? Kolik bylo ve třídě celkem žáků? Řešení: Nejvyšší četnost má číslo. Ve třídě je celkem žáků. Závěr: Součet jednotlivých četností sledovaného znaku je roven počtu prvků statistického souboru. Hodnotu s nejvyšší četností nazýváme modus daného statistického souboru :6:9 z 9

4 Pozn.: Všimněme si výhodné čárkovací metody, kterou jsme použili v předchozím příkladu. Zvláště při zpracování velkých souborů se často oddělují čárky po pěti tím, že se škrtnou. Příklad : V jedné chráněné oblasti zpracovávali statistický soubor stromů podle jednotlivých druhů. Z vypracované tabulky určete četnosti jednotlivých druhů a celkový počet stromů zahrnutých do šetření. Řešení: Javor - 8; lípa - 9; smrk - 0; dub - 7; modřín - 8; olše - 9; Celkem šetřeno stromů = 86 Závěr: Celkový počet jednotek souboru nazýváme rozsah souboru. ± Statistika - procvičovací příklady..007 :6:9 z 9

5 . Vyberte 0 žáků ze třídy a sestavte pro ně tabulku obdobnou tabulce pro rodinu Novákových, která je zde: 667 Určete četnost jednotlivých znaků.. Zpracujte tabulku aut parkujících v blízkosti vaší školy (případně v ulici, kde bydlíte) podle značky a barvy. 67. Proveďte statistické šetření na vzorku lidí jedoucích s vámi v autobuse/tramvaji, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě. 67. Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete četnost jednotlivých čísel bot Zpracujte přehled stromů a keřů podle druhů v parku u vás před školou nebo na návsi/náměstí :6:9 z 9

6 6. Radka pomáhala kamarádovi v podchodu prodávat noviny. Začala si všímat kupujících a sepsala si takovouto tabulku údajů o lidech, kteří si kupovali noviny. Z tabulky vyčtěte alespoň pět informací o jednotlivých osobách Proveďte anketu oblíbenosti jednotlivých populárních hudebních skupinu vás ve škole a určete četnosti obliby jednotlivých z nich Proveďte statistické šetření na vzorku lidí vcházejících do supermarketu, kde budete sledovat statistické znaky: muž; žena; má deštník; má brýle; kouří cigaretu; vede psa; má klobouk; má batoh; má s sebou dítě. 670 ± Aritmetický průměr Aritmetický průměr Aritmetický průměr se vypočítá tak, že sečteme jednotlivé hodnoty a získaný součet dělíme jejich počtem. Výsledek spočítáme tak, aby obsahoval o jedno desetinné místo více, než měly jednotlivé sčítané členy a zaokrouhlíme na počet desetinných čísel odpovídající členu, který měl nejmenší přesnost. Příklad : Vypočítejte průměrný plat pana Nováka v roce 99, jestliže víte, že jeho čisté měsíční výdělky (zaokrouhlené na stovky) v jednotlivých měsících byly: Měsíc Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červenec Srpen Září Říjen Listopad Prosinec..007 :6:9 Plat [Kč] z 9

7 Řešení: ( ) : = 70 : = 60 Průměrný měsíční plat pana Nováka v roce 99 byl Kč. Příklad : Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu, km; za třetí a čtvrtou hodinu 0 km; za pátou hodinu, km; za šestou hodinu km; za sedmou hodinu km a za osmou hodinu ušel pouze km. Určete jeho průměrnou rychlost za hodinu. Řešení: Průměrnou rychlost označíme vp. vp = v + v + v + v + v + v6 + v7 + v8 8 vp = 7 +, , vp = km km km =, = 8 h h h (po zaokrouhlení) Milan šel průměrnou rychlostí km/h. Příklad : Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo Výška [m],0,,,0,0,0,,,0,,0,,,,,,8 Zapište do tabulky tyto údaje a to tak, že je srovnáte od nejmenší do největší hodnoty naměřené výšky a do vedlejšího sloupce tabulky zapíšete četnost jednotlivých hodnot. Vypočítejte aritmetický průměr tohoto souboru. Určete modus. Řešení: Výška [m]..007 :6:9 Četnost 6 z 9

8 ,0,,,0,,8,0, Průměrnou výšku člena sportovního oddílu označíme xp. Pak platí: xp = (,0. +,. +,. +,0. +,. +,8. +,0. +,. ) : 7 =,0 Aritmetický průměr je přibližně,0 m. Modus je, m. Poznámka: V našem případě jsme využili k výpočtu průměru četností jednotlivých hodnot. Nesčítali jsme tedy např. pětkrát číslo,, ale vynásobili jsme, pěti, což je četnost hodnoty,. Obecně můžeme tento postup vyjádřit takto: xp = f.x + f.x f n.xn f + f f n kde x, x,..., xn jsou jednotlivé hodnoty daného znaku (např. výšky členů sportovního oddílu), f, f,..., fn jsou jejich příslušné četnosti xp je průměr těchto hodnot. ± Aritmetický průměr - procvičovací příklady. Určete aritmetický průměr a modus výšky děvčat ve vaší třídě. 67. Určete průměrnou výšku a modus měsíčního kapesného, které dostávají spolužáci ve vaší třídě Pan Novák jel hodiny autobusem (průměrná rychlost 0 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále hodin pěšky (průměrná rychlost km/h) do cíle své cesty. Jaká byla průměrná rychlost pana Nováka na celé cestě? 8 km/h 679. Určete aritmetický průměr a modus známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí Vypočtěte průměrný počet žáků, který připadá na jednu třídu ve vaší škole. Určete odchylky počtu žáků v jednotlivých třídách od vypočítaného průměru. Určete modus :6:9 7 z 9

9 6. Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 0:00 hodin večer a určete průměrnou teplotu tohoto dne z vašich naměřených hodnot. 678 ± Medián Medián Aritmetický průměr je často nereálná hodnota. Mají-li například dva kamarádi dohromady průměrně 0 Kč, mohli jsme tuto hodnotu získat také tak, že jeden z nich má 00 Kč a druhý 0 Kč. Jestliže je ve statistice uvedeno, že během roku sní každý občan naší republiky jednu husu, může sníst někdo pět hus a někdo jiný žádnou!!! Proto se ve statistice určují ještě další hodnoty, které charakterizují daný soubor. Jednou z nich je modus, se kterým jsme se již seznámili, další je medián. Příklad : Na jedné -ti třídní škole mají tyto počty žáků ve třídách: Třída Počet žáků A B A B 6A 6B 7A 7B 8A 8B 8C Sestavte tabulku seřazenou od nejmenšího počtu žáků ve třídě k největšímu. Ve druhém sloupci této tabulky uveďte označení třídy odpovídající danému počtu žáků. Určete modus a vypočtěte aritmetický průměr počtu žáků ve třídě. Řešení: Modus (nejvyšší četnost) je žáků. Průměr počtu žáků v jednotlivých třídách označíme xp. Platí: xp = xp = 0 : = 9 (po zaokrouhlení) Počet žáků Třída B A 8A 8C..007 :6:9 8 z 9

10 8 8 9 A 8B B 6A 7A 6B 7B 9 Další charakteristikou souboru je údaj, který leží uprostřed tabulky počtu žáků v jednotlivých třídách dané školy sestavené od nejmenšího počtu k nejvyššímu. Je to třída s počtem žáků 9. (Před tímto údajem je uveden počet žáků sedmi tříd a za ním je uveden rovněž počet žáků sedmi tříd.) Hodnota ležící ve středu tabulky uspořádané od nejmenší do nejvyšší hodnoty šetřeného znaku, se nazývá medián. Tabulku počtu žáků ve třídě a označení příslušné třídy uspořádáme ještě tak, že ke každému počtu žáků ve třídě přířadíme místo označení třídy četnost tříd, které mají tyto počty žáků. Počet žáků ve třídě Četnost takových tříd I z této tabulky snadno určíme medián. Tabulku rozdělíme na tři části tak, aby v prvé i ve třetí části tabulky byl stejný počet tříd (prvků daného statistického souboru). Při lichém počtu prvků statistického souboru leží ve druhé části tabulky jediná hodnota - medián. Závěr: Zjistili jsme, že průměrný počet žáků ve třídě je 9, medián též 9 a modus. Příklad : Na. stupni základní školy mají tyto počty žáků ve třídách: Určete medián tohoto statistického souboru. Řešení: Tabulku uspořádáme podle počtu od nejmenšího k největšímu :6:9 9 z 9

11 Na rozdíl od předchozího příkladu vidíme, že zde máme sudý počet prvků. V případě sudého počtu prvků statistického souboru určíme medián tak, že sečteme poslední hodnotu horní části tabulky a první hodnotu dolní části tabulky (uspořádané od nejmenší do největší hodnoty znaku) a tento součet dělíme dvěma. V našem případě: = = 9 Medián daného statistického souboru je 9. ± Medián - procvičovací příklady. V šetřeném souboru je 7 jablek o hmotnostech 0 g, 00 g, 00 g, 80 g, 0 g, 60 g, 0 g. Určete jablko, které reprezentuje medián tohoto souboru. 0 g 70. Pan Novák jel hodiny autobusem (průměrná rychlost 0 km/h). Z konečné stanice autobusu šel dále hodin pěšky (průměrná rychlost km/h) do cíle své cesty. Jaký byl medián průměrných rychlostí pana Nováka na celé cestě? km/h 70. Určete medián počtu žáků jednotlivých tříd vaší školy. 7. žáků třídy 9B psalo písemnou práci z matematiky, za kterou mohl každý žák dostat nejvýše 0 bodů. Získali tyto výsledky: Sestavte tabulku četností jednotlivých výsledků od nejnižšího počtu dosažených bodů k nejvyššímu. Určete průměr, medián a modus tohoto souboru. 7,; 7; 8. Určete medián výšky děvčat ve vaší třídě :6:9 0 z 9

12 6. 7. Škola má celkem tříd. Průměrný počet žáků na třídu je 9. Medián je 9,. Modus je 6. Nejvyšší počet žáků ve třídě je 6, nejnižší 9. S počtem 6 žáků jsou ve škole dvě třídy. Určete celkový počet žáků ve škole a charakterizujte tento statistický soubor podrobněji podle zadaných údajů. 8 žáků; podmínky splňuje např. tato tabulka: Měřte teplotu vzduchu jeden den vždy po dvou hodinách od 6:00 do 0:00 hodin večer a určete medián tohoto dne z vašich naměřených hodnot Při měření výšky sedmnácti dětí ve sportovním oddílu byly zjištěny tyto hodnoty (v metrech): Pořadové číslo Výška [m],0,,,0,0,0,,,0,,0,,,,,,8 Určete medián daného statistického souboru.,0 m 9. Určete medián známek na svém závěrečném vysvědčení v předcházejícícm pololetí Sestavte tabulku pro soubor vaší třídy a znak číslo bot, které jednotliví žáci nosí. Určete medián souboru. 70. Milan se zúčastnil dálkového pochodu. Šel však velmi nerovnoměrně. Za první hodinu ušel 7 km, za druhou hodinu, km; za třetí a čtvrtou hodinu 0 km; za pátou hodinu, km; za šestou hodinu km; za sedmou hodinu km a za osmou hodinu ušel pouze km. Určete rychlost za hodinu odpovídající mediánu., km/h..007 :6:9 70 z 9

13 . Určete medián měsíčního kapesného, které dostávají spolužačky ve vaší třídě. 708 ± Rozptyl Rozptyl Pozor na průměrné hodnoty! "Ne nadarmo koluje o statisticích tento vtip: Kdyby někdo stál jednou nohou ve sněhu a druhou na rozžhaveném uhlí, statistik řekne, že je mu průměrně teplo." Rozptyl je statistická veličina, která charakterizuje rozložení četností kolem aritmetického průměru. Jako statistická veličina je rozptyl definován jako součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot znaku od průměru dělený počtem hodnot. Rozptyl značíme s (řecké písmeno sigma). x, x,..., xn jsou jednotlivé hodnoty, xp je jejich průměr, n je počet prvků daného souboru Příklad : Během jednoho deštivého dne byla naměřena teplota vzduchu v Praze ráno (v 6:00 hodin) 8 C, v poledne (ve :00 hodin) C a večer (v 9:00 hodin) 0 C. Během slunečního jarního dne (s ranním ostrým chladem) byla naměřena teplota vzduchu ráno (v 6:00 hodin) C, v poledne (ve :00 hodin) 8 C a večer (v 9:00 hodin) 9 C. Vypočítejte aritmetický průměr teplot v uvedených dnech a odchylky naměřených teplot od tohoto aritmetického průměru. Řešení: Tabulka -. den Teplota [ C] 8 0 Odchylka od průměru naměřených teplot Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia): tp = = 0 Tabulka -. den Teplota [ C] 8 9 Odchylka od průměru naměřených teplot Aritmetický průměr teploty (ve stupních Celsia):..007 :6:9 z 9

14 tp = = 0 V obou sledovaných dnech je aritmetický průměr naměřených hodnot teplot stejný, a to 0 C. Odchylky od průměrné teploty v prvním a ve druhém dni nám však ukazují, že jde o dva velmi rozdílné statistické soubory. V prvním případě jsou odchylky nevýrazné (hodnoty mají nevýrazný rozptyl); ve druhém případě jsou odchylky výrazné (hodnoty mají výrazný rozptyl). Veličinu "rozptyl" si můžeme velmi názorně předvést na střeleckém terči: Příklad : Zakreslete do střeleckého terče zásahy podle odchylky. Odchylka jednotlivých zásahů od středu: Pořadové číslo znaku Odchylka od středu Řešení: Příklad : Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. Rok Počet 0 žáků III. 979 IV. 979 V. 979 VI. 979 VII. 979 VIII. 979 Určete průměrný počet narozených v jednom měsíci a odchylky od průměru v jednotlivých měsících, modus,..007 :6:9 z 9

15 medián a rozsah tohoto souboru. Řešení: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Počet narozených 0 Průměr Odchylka Průměrný počet: np = = = Rozsah souboru je 6. Počet narozených 0 Četnost Modus souboru je. Medián souboru je,. Příklad : Žáci 9A jedné základní školy mají toto rozložení dat narození: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. Rok Počet 0 žáků III. 979 IV. 979 V. 979 VI. 979 VII. 979 VIII. 979 Vypočítejte rozptyl statistického souboru. Řešení: Měsíc IX. X. XI. XII. I. II. III :6:9 Počet narozených 0 Průměr Odchylka Druhá mocnina odchylky 9 0 z 9

16 IV. V. VI. VII. VIII Výpočet rozptylu: s= = =, Pozn.: Čím je číslo s menší, tím menší jsou rozdíly jednotlivých hodnot od průměru, tím "blíže" jsou jednotlivé hodnoty rozmístěny kolem průměrné hodnoty. ± Rozptyl - procvičovací příklady. Při zjišťování počtu psů v jednom domě na sídlišti byly získány tyto údaje: Byt č Počet psů Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech. Průměr: 0,87; Odchylky: -0,87; +0,; +0,; +0,; +0,; -0,87; +,; -0,87; +0,; -0,87; +,; +0,; -0,87; -0,87; +0,. V tabulce je uveden roční přirozený přírůstek obyvatelstva a střední délka života občanů v jednotlivých světadílech v roce 990. Světadíl Roční přirozený přírůstek na Střední délka života 000 obyvatel (počet let) Evropa 7 Asie 8 6 Afrika 0 Severní Amerika 8 76 Latinská Amerika 66 Austrálie a Oceánie Určete aritmetický průměr, medián a rozptyl těchto dvou statistických souborů. Roční přírůstek:,; 6; 8,; Střední délka života: 66,; 67,; 6, :6:9 z 9

17 . V tabulce je uveden podíl jaderných elektráren na výrobě elektrické energie v některých státech světa v roce 99: Stát Podíl elektrické energie z jaderných elektráren [%] ČSFR 8,7 Francie 7,7 Belgie 9, Švédsko,6 Maďarsko 8, Švýcarsko 0,0 Španělsko,9 Bulharsko,0 Finsko, Německo 7,6 Japonsko,8 78 Určete aritmetický průměr a medián tohoto vzorku. Stanovte odchylky jednotlivých hodnot od průměru. Vypočtěte rozptyl. Aritmetický průměr:,; Medián:,9; Rozptyl: 06,. Při rovnání své knihovny zjistil pan Novák, že má celkem 780 knih, z toho má 8 knih básní, 6 detektivky, 0 cestopisy, klasických románů, 8 naučných knih, 69 dobrodružných příběhů, 7 knihy současné prózy a 8 knih povídek. Zapište tabulku tohoto souboru, určete průměr a odchylky jednotlivých druhů knih od tohoto průměru. Vypočtěte rozptyl. 97, 77. V tabulce je uveden počet vyrobených aut (v tisících kusech) v roce 989 ve státech s nejvyšším počtem tohoto výrobku: 79 Stát Japonsko USA SRN Francie Itálie Španělsko Velká Británie SSSR Kanada Osobní automobily Nákladní automobily Vypočtěte aritmetický průměr a medián těchto souborů, porovnejte průměr s výrobou automobilů v Československu v roce 989 (osobní auta 88, nákladní auta ). Určete nejnižší odchylku od průměru u obou souborů. Osob. auta: 7,; 970; Francie +,6; nákladní auta:,; 7; Kanada -7, 6. Na ulici ve městě pravidelně parkují auta. Během jednoho týdne jsme zjistili tyto údaje o jejich počtu: Den Pondělí Úterý Středa Čtvrtek Pátek Sobota Neděle Počet parkujících aut Určete průměrný počet a odchylky v jednotlivých dnech, vypočtěte rozptyl. Průměr: 7; rozptyl: 06,..007 :6:9 6 z 9

18 ± Diagramy Diagramy ve statistice Diagramy ve statistice nám slouží k přehlednému znázornění výstupu ze statistického šetření. Ke tvorbě diagramů můžeme výhodně využít i počítačového programu - např. Excelu. Příklad : Cizí jazyky se učí 0 žáků 7. a 8. tříd jedné základní školy v rozložení, které je znázorněné na tomto kruhovém diagramu: Určete počty žáků, kteří se učí jednotlivým jazykům. Řešení: 00 % 0 % % % žáků : = 60 žáků : 00. = 8 žáků : 00. = žáků Anglicky se učí 60 žáků, německy se učí 8 žáků, francouzsky žáků, španělsky rovněž žáků. Příklad : Narýsujte kruhový diagram příslušný k této tabulce: Sportovní Hokej Tenis Kopaná odvětví Počet žáků, 8 0 kteří se mu věnují Házená 6 Karate Sportovní gymnastika Základní soubor této tabulky tvoří 0 žáků dvou devátých tříd školy (7 žáků nepěstuje žádný sport). Řešení: 0 0, :6:9 00 % % 8 : 0, %= 0 % 0: 0, % = % : 0, % =, % 6 : 0, % = % : 0, % = % 7 z 9

19 % %...,6 Příklad : Zapište do tabulky přibližné hektarové výnosy cukrovky v ČR, které jsou zaznamenány na tomto diagramu: Řešení: Diagram, z kterého jsme snadno přečetli údaje a který názorně ukazuje, ve kterém roce byla sklizeň cukrovky největší, ve kterém nejnižší a v jakém rozpětí se pohybuje, nazýváme sloupkový diagram nebo též histogram. Příklad : Narýsujte sloupkový diagram celkového prospěchu žáků 9. ročníku v. pololetí podle následující tabulky :6:9 8 z 9

20 Nakreslete příslušný kruhový diagram. Prospěch Prospěl s Prospěl vyznamenáním Četnost 7 Četnost % 8 6 Neprospěl Nebyl klasifikován Celkem 00 Řešení: ± Diagramy - procvičovací příklady..007 :6:9 9 z 9

21 . Určete v procentech počet jednotlivých druhů zvířat v ZOO podle kruhového diagramu: 7. Lucka dostala z písemek z matematiky 8, 7, 9, 6 bodů. Kolik bodů musí získat z poslední písemky, aby aritmetický průměr byl 8 bodů potřebných na známku "chvalitebně"? Narýsujte příslušný sloupkový diagram Každé z pěti žákovských družstev sehrálo s ostatními deset zápasů. Za výhru vždy získalo dva body, za remízu jeden bod a za prohru nula bodů. Vypočítejte celkové bodové zisky družstev, narýsujte sloupkový diagram. 7 Mužstvo A B C D E. Počet výher 7 Počet remíz 7 Počet proher Celkový počet bodů ; ; ; ; Krasobruslařka při volné jízdě získala od rozhodčích tato ocenění:,;,;,7;,;,;,6. Narýsujte sloupkový diagram souboru jejích ocenění. Určete aritmetický průměr, odchylky od něho, modus a medián. Aritmetický průměr:,; Modus:,; Medián:, 7 ± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka. ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:..007 :6:9 0 z 9

22 Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC :6:9 z 9

23 Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = cm a =? [ ] b =? [ ] a c sin a = 8 sin a = sin a = 0,6 a = 8 a c cos b = 8 cos b = cos b = 0,6 b = 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 8 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = cm, úhel QOP = 0. Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = cm úhel QOP = 0 PQ = o =? [cm] tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ =. tg 0 =. 0,706 =, (po zaokrouhlení) PQ =, cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně, cm. Příklad : Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů..007 :6:9 z 9

24 a =? [ ] tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,06 a = Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem. ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.. 00 ks Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná cm a velikost úhlu TST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury :6: ,8 cm z 9

25 . Průměr podstavy válce je 6 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 0. Vypočti povrch válce cm. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 :. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou, s kratší stranou Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 6 0, a = 6,7 m b =,9 m, c = 7, m, b = 6 0, g = Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT :6:9,7 cm z 9

26 7. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu ,7 cm Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a =. Vypočti výšku kvádru v , dm Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö a AC = cm., cm 7 Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 6 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? :6:9 6, z 9

27 . V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 0 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm 60. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o, m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0,8 6. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 6, m. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty., m 70. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0, m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost 6 9 a úhel při vrcholu F má velikost V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. cm 7 7. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a =,9 cm, b =,7 cm :6:9 6 z 9

28 8. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 7 centimetrů své délky? 79,8 cm 9. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 8 0, c =, m a =,0 m, b =, m, b = 0, g = Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = cm, c = 0 cm. b = 8 cm, a = 08, b = 6, g = Rampu u skladu zboží drží stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? 78. m V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = 0 0. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku., cm 7 ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice:..007 :6:9 7 z 9

29 V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená:..007 :6:9 8 z 9

30 Funkce zdola omezená:..007 :6:9 9 z 9

31 Funkce periodická:..007 :6:9 0 z 9

32 Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a..007 :6:9 z 9

33 ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá:..007 :6:9 z 9

34 Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:..007 :6:9 z 9

35 Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí:..007 :6:9 z 9

36 ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny :6:9 z 9

37 Poznámky: Funkce klesající: ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a = b sin b ; b sin b = c sin g ; c sin g = a sin a nebo a b c = = sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich :6:9 6 z 9

38 Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad : Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a =,07 m b = 6 0 g = Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a = 80 - (b + g ) = 80 - ( ) = = = 7 a b = sin a sin b a. sin b b= sin a,07. sin 6 0 b= sin 7 b = 6,9 m a c = sin a sin g a. sin g c= sin a,07. sin c= sin 7 c = 7, m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 7, strana b je dlouhá 6,9 metru a strana c má délku 7, m. ± Sinová věta - procvičovací příklady. 8 6 m :6:9 8, m 8 9 m 7 z 9

39 Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: 80 86,7 m Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno:. 09 m,6 m Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: 87 8, m :6:9 07,8 m 8 z 9

40 . Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: 8. 8, m m Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno:..007 :6:9 88 9, m 9 z 9

41 Obsah Statistika Statistika - procvičovací příklady Aritmetický průměr Aritmetický průměr - procvičovací příklady Medián Medián - procvičovací příklady Rozptyl Rozptyl - procvičovací příklady Diagramy Diagramy - procvičovací příklady Goniometrie a trigonometrie Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Sinová věta Sinová věta - procvičovací příklady..007 :6: