ŘEŠENÉ ÚLOHY Z TSP MU

ŘEŠENÉ ÚLOHY Z TSP MU Výklady, vysvětlení, komentáře Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/14.0143

Předmluva Základem přípravy na testy studijních předpokladů Masarykovy univerzity v Brně (TSP MU), stejně jako v případě dalších podobných testů, je práce s testovými sadami řešení úloh, které byly dříve použity v rámci přijímacích řízení. Tato elektronická publikace poskytuje všem zájemcům desítky a desítky detailně vyřešených úloh z předchozích přijímacích řízení. V případě mnoha subtestů (numerické myšlení, symbolické myšlení, ) je tato publikace v podstatě učebnicí, v případě analytického myšlení se jedná o praktický výklad, který je rozšířením naší publikace o výrokové logice v TSP MU. Úlohy, jejichž řešení zde prezentujeme, pocházejí z variant č. 01. Doporučujeme všem, kteří se chtějí připravovat skutečně systematicky, aby po přečtení a důkladném promyšlení námi vyřešených úloh, zkusili vyřešit ještě klony úloh v dalších variantách. Z autorskoprávních důvodů není součástí této publikace zadání ta jsou k dispozici bezplatně ke stažení ze stránek Masarykovy univerzity v Brně: www.muni.cz/tsp. Hodně štěstí (nejen) při přípravě na TSP MU přejí autoři.

Úloha č. 11, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na úpravy výrazů. Hledáme mezi nabízenými odpovědmi hodnotu, která je RŮZNÁ od X. Převod procent na zlomek Krácení zlomků Vyjádříme X v podobě zlomku, rovněž tak jednotlivé nabízené odpovědi. X = 5 % ze 4. Víme, že pět procent je jedna dvacetina, čili X = 1/20 ze 4, což je rovno 4/20 = 1/5. Nyní upravíme nabízené odpovědi do podoby zlomků: a) šedesát procent jsou tři pětiny (to je dobré si pamatovat), tedy hodnota a) je (1/3). (3/5) = 1/5. b) dvacet pět procent je čtvrtina, tedy hodnota b) je (1/4). (4/5) = 1/5. c) osmdesát procent jsou čtyři pětiny (to je opět vhodné si pamatovat), tedy c) má hodnotu (4/5). (1/4) = 1/5. d) má hodnotu (1/4). (1/2) = 1/8, což je samozřejmě hodnota různá od X. Možnost e) není již zapotřebí prozkoumávat. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 12, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na úpravy a porovnávání výrazů Porovnávání záporných čísel Úpravy zlomků s odmocninou ve jmenovateli V prvním vztahu máme na levé straně -0,3, čili -3/10. 3/10 jsou méně než 3/9. V záporné části číselné osy tedy musí platit -3/10 > -3/9. Správnou odpověď tudíž budeme vybírat z možností b) a c). Ve druhém vztahu bude zapotřebí upravit výraz na pravé straně především zbavit se odmocniny ve jmenovateli. Čitatele i jmenovatele tohoto zlomku proto vynásobíme 3 (vynásobením čitatele i jmenovatele se hodnota zlomku nezmění). V čitateli tudíž budeme mít 3 2 3, což je rovno 3 6. Ve jmenovateli dostaneme 3 3, což je rovno právě 3. Trojky v čitateli a jmenovateli se pochopitelně zkrátí (napište si na papír pořádně), a dostaneme tak hodnotu 6. Výrazy vpravo a vlevo se tudíž rovnají. Správná odpověď je tedy b). Úloha č. 13, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o pochopení principu práce s výrazy obsahujícími symboly operací, které jsou zadány tabulkami.

Porozumění pojmu operace Schopnost práce s operací zadanou pomocí tabulky Nejprve je zapotřebí uvědomit si, jak fungují operace dané tabulkami. Ukažme si to na příkladu: potřebujeme zjistit, jaká je hodnota výrazu např. 2 ʘ 1. Jak budeme postupovat? Podíváme se v tabulce operace ʘ do řádku s číslem dvě a sloupečku s číslem jedna výsledek bude na průsečíku, jak vidíme v tabulce níže. Hodnota výrazu 2 ʘ 1 je tedy rovna číslu 2. Podobně funguje operace plus v kolečku, kterou pro pohodlnost budeme značit pouhým symbolem +. (Raději si ji ale při prohlížení vytištěného materiálu okroužkujte, aby se výrazy shodovaly s tím, co je v originálním zadání.) Nejprve se pokusme najít hodnotu výrazu {(2 ʘ 1) + [(1 + 1) ʘ 1]} ʘ 1 čili výrazu, který máme v zadání. Budeme postupovat tak, že určíme hodnoty v nejvnitřnějších závorkách, čili {(2 ʘ 1) + [(1 + 1) ʘ 1]} ʘ 1 = {2 + [2 ʘ 1]} ʘ 1 (protože 2 ʘ 1 = 2, a dále, 1 + 1 = 2. To vše je vidět z tabulek operací, prozkoumejte podrobně!) Vzniklý výraz dále upravujme (žlutě jsou vždy označeny části výrazu, které upravujeme v následujícím kroku): {2 + [2 ʘ 1] } ʘ 1 = {2 + 2} ʘ 1 = 1 ʘ 1 = 1. Správnou odpověď budeme tedy hledat mezi možnostmi b) a c). Podívejme se nyní na druhou část úlohy. Vzhledem k tomu, že se rozhodujeme mezi dvěma variantami, stačí zjistit hodnotu výrazu (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ?) + 2]} v případě, že za otazník dosadíme 2 (čili odpověď b). Pokud by výsledná hodnota tohoto výrazu byla rovna jedné, jak je v zadání, budeme mít správnou odpověď b), jinak to bude c). Zkusme to! Žlutě ukazujeme ty výrazy, s nimiž pracujeme: (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ 2) + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ [1 + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ 0} = 2 ʘ 0 = 0. Vidíme, že výsledek by v tomto případě byl nula, nicméně podle zadání musí být výsledek jedna. Proto bude správnou odpovědí c), ale pro úplnost si to ještě ukážeme (v reálném testu bychom se samozřejmě s touto věcí nezdržovali): (1 + 1) ʘ {1 ʘ [(2 ʘ 0) + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ [0 + 2]} = 2 ʘ {1 ʘ 2} = 2 ʘ 2 = 1. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 14, varianta 01, ročník 2012 Odhalení vztahů v pyramidovém schématu. Schopnost odhalit jednoduché vztahy mezi čísly V zadání úlohy máme jakési pyramidové schéma (samozřejmě nevadí, že pyramida míří špičkou doprava, nikoliv vzhůru ). V číselných pyramidách jde typicky o to, že dané číslo vzniká jakýmsi způsobem ze sousedních čísel. Podíváme-li se ke špičce naší pyramidy, vidíme, že 22 = 11 + 11, dále 19 = 11 + 8. Vztah je tedy jasný. Je zřejmé, že na místě nejhornějšího otazníku musí být číslo 5, neboť 5 = 3 + 2. Tím je vlastně už automaticky určen výsledek. Pro kontrolu ještě můžeme určit třeba nejspodnější otazník: 3 = 1 + 2. Správná odpověď je tedy a). 5. (úloha č. 15, varianta 01, ročník 2012) V úloze jde o sestavení rovnice na základě číselného diagramu. Schopnost porozumět číselnému diagramu a zapsat vztahy v diagramu pomocí rovnic Úpravy rovnic Soustřeďme se v tuto chvíli na čtverec: Předpokládejme, že v levém horním rohu je hodnota x. Diagram říká, že vynásobíme-li x dvěma a od tohoto mezivýsledku odečteme trojku, dostaneme se na stejné místo jako v případě, že od x nejprve odečteme trojku a tento mezivýsledek poté vynásobíme pěti. Pokud tedy je v levém horním rohu x, pak v pravém horním rohu je výraz 2x a v levém dolním rohu výraz (x 3). Pokud od 2x odečteme trojku, dostáváme se na pravý dolní roh. Ten ale musí být stejný jako když (x 3) vynásobíme pěti. A to je klíč k řešení celé úlohy: 2x 3 = 5(x 3). Tuto rovnici upravíme do podoby 2x 3 = 5x 15, a dále do podoby 15 3 = 5x 2x, čili 12 = 3x, tedy x = 4. V levém horním rohu námi vyříznutého čtverce tedy musí být číslo 4, v pravém dolním rohu tedy bude pětka. Abychom zjistili hodnotu B, vynásobíme pětku dvojkou a od výsledku odečteme čtyřku. Je zřejmé, že hodnota B je rovna 6. Nyní nám zbývá ještě vyjádřit určit hodnotu A. Postupujeme tedy proti srsti z levého

horního rohu vyříznutého čtverce, kde je, jak víme, čtyřka. Pro které číslo platí, že přičteme-li k němu dvojku, dostaneme čtyřku? Odpověď je triviální, musí to být dvojka. Které číslo po vydělení trojkou dává dvojku? Samozřejmě, že šestka. A je tedy také rovno šesti. V úloze ovšem určujeme hodnotu součtu A + B, což je 6 + 6 = 12. Správná odpověď je tedy e). Úloha č. 16, varianta 01, ročník 2012 V úloze vybíráme vhodná čísla na místa otazníků v číselném obrazci. Znalost elementárních početních operací Schopnost všimnout si jednoduchých zákonitostí v číselné posloupnosti Přestože zadání má podobu číselného obrazce, ve skutečnosti hraje grafika jen malou roli. Jde v podstatě jen o to, že v diagramu jsou zapsány postupně dvě číselné posloupnosti. První z nich má podobu: 1 2? 7 11 16 22. První věc, kterou vždy s číselnou posloupností zkoušíme (neroste-li příliš rychle ), je určení diferencí rozdílů sousedních členů (tj. kolik musíme k danému členu posloupnosti přičíst, abychom se dostali hodnotou k členu bezprostředně následujícímu). V mnoha případech bývá tato posloupnost již pravidelná : 1 +1 2 +?? +? 7 +4 11 +5 16 +6 22 Je zřejmé, že posloupnost diferencí (podbarvená posloupnost) se vždy zvyšuje o jedničku. Na místě otazníku tedy musí být číslo čtyři, neboť 2 + 2 = 4, což sedí i v druhém vztahu 4 + 3 = 7. Vidíme, že budeme volit mezi odpověďmi a) a d). Druhá posloupnost vypadá následovně: 1 2? 24 120. Diference tentokrát patrně nepřicházejí v úvahu, protože posloupnost roste relativně rychle. Vyzkoušejme proto součiny (přesněji řečeno kvocienty): 1.2 2.??.? 24.5 120. Posloupnost je relativně krátká, ale vzhledem ke zkušenosti s předchozí částí úlohy nás napadne, že činitelé rostou vždy o jedničku: 1.2 2.3?.4 24.5 120. Na místě tohoto otazníku tedy musí být číslo 6, neboť 2. 3 = 6, což vyhovuje i druhé části: 6. 4 = 24. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 17, varianta 01, ročník 2012 V úloze nejprve určíme, jaké cifry vyhovují podmínkám výpočtu v zadání a následně určíme hodnotu požadovaného součinu. Znalost postupu písemného násobení

Úlohu si převedeme na situaci: X87.5 2XY5 Postupujeme podle pravidel násobení pod sebou: 7 krát 5 je 35, ve výsledku je sepsána pětka, což je správně, trojku si pamatujeme, a postupujeme dále. 8 krát 5 je čtyřicet, 40 + 3 = 43, trojku sepíšeme (tj. víme, kolik je Y), a pamatujeme si čtyřku. Vzhledem k tomu, že druhým činitelem v součinu je pětka a výsledek je dva tisíce a něco, vidíme, že na místě X bude čtyřka či pětka. Vzhledem k tomu, že si z předchozího řádu pamatujeme čtyřku, je jasné, že na místě X musí být číslice čtyři. 4. 5 = 20; 20 + 4 = 24, výsledek tedy začíná na 24, čtyřka je na druhém místě výsledku, což je správně. Součin X. Y = 12. Správná odpověď je tedy b). Úloha č. 18, varianta 01, ročník 2012 V úloze máme určit, která čísla se NEHODÍ na místa otazníků Schopnost všímat si jednoduchých vztahů mezi čísly Schopnost všímat si indicií, které autor poskytl v grafické podobě úlohy Nejprve si všimneme, jakým způsobem napovídá forma: čísla nalevo od trojúhelníku jsou ve stejných útvarech, sousedí spolu autor tím pravděpodobně chtěl naznačit, že jistým způsobem patří k sobě. Postupujeme metodou nejmenšího odporu: patří k sobě zkusíme je sečíst. Hned u prvního schématu je vše jasné: 6 + 4 + 8 = 18. Číslo 18 je ovšem také součinem čísel 9 a 2, které s osmnáctkou sousedí. V úloze hledáme taková čísla, která se nehodí na místa otazníků. Vzhledem k tomu, že v pravém horním trojúhelníku v posledním schématu je dvojka, je jasné, že výsledek, tj. číslo v největším trojúhelníku je dvojnásobkem čísla, které se skrývá za nejpravějším otazníkem. Správnou odpovědí tedy musí být hned možnost a), neboť 11 není dvojnásobkem čísla 9. U ostatních doplnění naznačené vztahy (součet čísel ve čtverečcích je roven číslu ve velkém trojúhelníku, které je zároveň součinem čísel v pravých trojúhelnících). Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 19, varianta 01, ročník 2012 Tento typ úloh (definování nové operace) patří k nejméně oblíbeným. Ve skutečnosti se jedná o úlohy poměrně jednoduché, v nichž jde prakticky jen o dosazování. Znalost pojmu operace Znalost úprav výrazů a rovnic.

Na operaci se můžeme dívat jako na předpis, který nám říká, jakým způsobem ze vstupních čísel (argumentů) dospějeme k výsledné hodnotě (do černé skříňky hodím argumenty, vypadne mi výsledek). Jaký je onen předpis (čili jak funguje černá skříňka), je popsáno v definici dané operace. Jak tedy přečíst a pochopit zápis v zadání: a b = (a + b)/2? Zápis říká: použijeme-li operaci na argumenty a a b, dostaneme jako výsledek (a + b)/2. Jinými slovy, výraz a b je zkratkou za výraz (a + b)/2. A to obecně, pro libovolné hodnoty argumentů a a b. Budeme-li chtít např. zjistit, čemu se rovná 5 7, budeme vědět, že je to podle definice totéž, co (5 + 7)/2, což je 6. V definici jsme zkrátka všude přepsali na místo áčka pětku, na místo béčka sedmičku. Pro lepší pochopení vše demonstrujme ještě graficky: je totéž, co ( + )/2 Budeme-li potřebovat zjistit, jaká je hodnota nějakého výrazu, v němž se vyskytuje symbol operace, jednoduše na modrá místa vyplníme všude stejné číslo (neznámou, proměnnou, ), na zelená totéž. Nyní by nám již nemělo činit problém řešení zmíněné úlohy. Nejprve budeme zjišťovat, jaká je hodnota x. To se dozvíme, vyřešíme-li rovnici (8 x) x = 11. Jak budeme při řešení postupovat? Nejprve zjistíme, čemu je rovno (8 x). To je snadné, vzhledem k naší grafické podobě definice: 8 x je totéž, co ( 8 + x )/2. Rovnici tedy upravíme do podoby ((8 + x)/2) x = 11. (Nahradili jsme stejné stejným.) Pro přehlednost doporučujeme, abyste si napsali tuto rovnici na papír s vodorovnou zlomkovou čarou a zbavili se tím vnitřních závorek. Nyní tedy potřebujeme zjistit, čemu je rovno ((8 + x)/2) x. Opět použijeme naší grafickou podobu definice: (8 + x)/2 x je totéž, co ( (8 + x)/2 + x )/2. Zase zde doporučíme, abyste si přepsali tuto rovnici do podoby složeného zlomku. Víme tedy, že ((8 + x)/2) x je rovno ( (8 + x)/2 + x )/2, čili místo rovnice (8 x) x = 11 budeme řešit rovnici ((8 + x)/2 + x)/2 = 11, což už je přímočaré, jak uvidíme níže. Tato rovnice totiž obsahuje už jen nám dobře známé operace sčítání a dělení. Rovnici vynásobíme dvěma, čímž se zbavíme dvojky ve jmenovateli, a dostaneme: (8 + x)/2 + x = 22, což můžeme dále upravit na tvar (8 + x)/2 = 22 x, a opět vynásobíme dvěma, abychom se zbavili druhého jmenovatele, takže nyní máme: 8 + x = 44 2x. Nyní jsou úpravy již jednoduché, x + 2x = 44 8. Vidíme tedy, že 3x = 36. x je tedy rovno 12. Nyní nám již zbývá jediné, zjistit hodnotu 2 x, kde x je rovno 12, čili zjistit hodnotu výrazu

2 12. To už je ale jednoduché vzhledem k tomu, co víme. 2 12 je totiž ( 2 + 12 )/2 a to je 7. Správná odpověď je tedy b). Úloha č. 20, varianta 01, ročník 2012 V úloze hledáme čísla na místa otazníků, která doplní tabulku tak, aby byl zachován systém. Schopnost všímat si charakteristických čísel Schopnost všímat si jednoduchých vztahů mezi čísly Pravidla pro práci s mocninami Nejprve si všimneme charakteristických čísel číslo 9 je vlastně 3 na druhou, 25 je 5 na druhou, 8 je dvě na třetí, 64 je čtyři na třetí. To indikuje, že v úloze půjde pravděpodobně o počítání s mocninami. Je dobré si připomenout pravidla pro počítání s mocninami, které známe ze (základní) školy. 1) kterékoliv přirozené číslo na nultou je rovno jedné. 2) a -k = 1/a k, kde a, k jsou libovolná přirozená čísla větší než nula, tedy např. 2-1 = 1/2 1 = 0,5 Poté, co jsme si připomněli tato jednoduchá pravidla, můžeme na tabulku hledět poněkud jinýma očima:? 0,5 = 2-1 8 = 2 3 0,1 = 3-2 1 = 3 0 9 = 3 2? 4 = 4 1 64 = 4 3 0,008 = 5-3 0,2 = 5-1 25 = 5 2? Z takto upravené tabulky už je zřejmé, jaké zákonitosti se v ní objevují. Každý sloupec tabulky přísluší stejné mocnině, shora dolů se základy zvyšují postupně o jedničku, začíná se se základem dva (v námi ukázané části tabulky). V jednotlivých řádcích jsou postupně vzrůstající mocniny (v naší ukázce od -3 do 3) od stejného základu. Na místě nejlevějšího otazníku tedy bude číslo 2-3 = 0,125, na místě prostředního 4 0 = 1 a na místě nejpravějšího 5 3 = 125. Kompletní tabulka by tedy vypadala takto: 2-3 2-2 2-1 2 0 2 1 2 2 2 3 3-3 3-2 3-1 3 0 3 1 3 2 3 3 4-3 4-2 4-1 4 0 4 1 4 2 4 3 5-3 5-2 5-1 5 0 5 1 5 2 5 3

Správná odpověď je tedy e). Úloha č. 21, varianta 01, ročník 2012) Úloha zaměřená na schopnost identifikovat zákonitosti v symbolických objektech. Schopnost všímat si relevantních vlastností objektů. V úloze jde o počítání : budeme se zabývat čísly, která jsou v levých horních rozích karet, dále počty vrcholů velkých obrazců uvnitř karet, dále počty malých černě vyplněných útvarů a počty vrcholů malých černě vyplněných útvarů. Zákonitost je (pravděpodobně) následující: číslo v levém horním rohu + číslo udávající počet vrcholů velkého obrazce uvnitř karty = počet malých černých útvarů + počet vrcholů (libovolného) malého černého útvaru v rámci jedné karty. V případě první karty tedy jde o rovnost: 0 (číslo v levém horním rohu) + 6 (počet vrcholů šestiúhelníku) = 2 (dva malé černé čtverce) + 4 (počet vrcholů čtverce). V případě druhé karty máme rovnost: 4 + 3 = 4 + 3, v případě třetí: 6 + 5 = 5 + 6, v případě čtvrté: 4 + 4 = 3 + 5. Pouze v případě karty č. 5 nelze podobný postup aplikovat. Správná odpověď je tedy e). (Za pomoc při sestavování odpovědi děkujeme kol. Pavlu Ficalovi.) Úloha č. 22, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na doplňování členů symbolických posloupností. Schopnost hledat zákonitosti v řadách symbolů Znalost práce s pyramidovými schématy Jednotlivé obrazce si myšlenkově rozdělíme na poloviny podle svislé osy. Všimneme si, že pravé strany jsou shodné vždy v liniích od jihozápadu na severovýchod, levé strany jsou shodné vždy po liniích od jihovýchodu na severozápad. Pravá strana hledaného obrazce tedy musí být obdélníková, čili již nyní víme, že to bude některá z možností a) až c). Podobným způsobem budeme přistupovat k levé straně hledaného obrazce. Ta musí být půlkruhová, aby byla shodná se všemi jihovýchodními sousedy, čili vylučujeme možnost b). Nyní se budeme věnovat barevným plochám. V pyramidových schématech jde často o to, že daný obrazec (s výjimkou těch v nejspodnějších řadách) vznikl nějakým způsobem ze svého levého dolního a pravého dolního souseda. V našem případě levá část daného obrazce v pyramidě pochází barevně (a rozvržením barevných ploch) z levého spodního souseda, pravá z pravého. Konkrétně tedy hledaný obrazec bude mít levou horní část černou, levou dolní bílou, pravou horní i dolní bílou. Správná odpověď je tedy c).

Úloha č. 23, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o pochopení symbolického zápisu kódování času. Schopnost identifikovat pravidelnost v symbolickém zápisu Schopnost odhalit způsob kódování nějaké veličiny. Symboly před dvojtečkou kódují hodiny, symboly za dvojtečkou kódují minuty. Hlavní symboly (hvězda, kosočtverec, srdce, půlkruh) kódují v případě, že jsme před dvojtečkou po řadě 12, 3, 6, 9 hodin, v případě, že jsme za dvojtečkou po řadě 0, 15, 30, 45 minut. Tečka za hlavním symbolem v případě hodin znamená posun dopředu o hodinu, tečka před hlavním symbolem posun o hodinu zpět. Jedná-li se o určení minut, znamená tečka za hlavním symbolem posun o 5 min dopředu, tečka před hlavním symbolem posun o 5 min zpět. Hledaný čas tedy bude mít v hodinách dvanáctku (před dvojtečkou je hvězdička, nic jiného), čili volíme mezi odpovědí d) a e), v minutách 50, neboť půlkruh určuje 45 min, a vzhledem k tomu, že tečka je za hlavním symbolem, musíme čas posunout o 5 min dopředu, čili výsledný čas je 12:50. Správná odpověď je tedy e). Úloha č. 24, varianta 01, ročník 2012 Úloha založená na ověřování podmínek, které se týkají symbolického zápisu. Bezchybné čtení zadání a symbolických řetězců v nabízených odpovědích. V úloze jde o ověřování platnosti/neplatnosti podmínek ze zadání v řadách symbolů, které jsou nabízenými odpověďmi. Postupujeme vylučovací metodou. V těchto úlohách se vyplatí začínat podmínkami, které se rychle a snadno ověřují, v našem případě třeba podmínkou modrý čtverec ani zelený kruh nesmějí být na začátku ani na konci řady. Na základě tohoto pravidla vylučujeme možnosti b) a c). Dále: vzhledem k tomu, že dva červené trojúhelníky nemohou být bezprostředně za sebou, vyloučíme možnost e). Podíváme se nyní na podmínku mezi modrým kruhem a zeleným čtvercem musí být aspoň dva symboly nebo modrý trojúhelník ta není splněna v možnosti a), kde ve druhé polovině řady je mezi modrým kruhem a zeleným čtvercem je pouze červený kruh. Zůstala nám tedy jen jedna jediná možnost. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 25, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o vyjadřování hodnoty symbolického zápisu. Schopnost přesné práce

Hodnotu všech kusů zařízení si převedeme na židle (prohlédneme-li si legendu, zjistíme, že židle má ze všech kusů zařízení nejnižší hodnotu, a tudíž se hodí jako vhodná jednotka na přepočítávání). Dvojskříň má stejnou hodnotu jako 8 židlí, stůl jako 3 židle, samostatná skříň 4 židle, televize 6 židlí. Vzhledem k uvedenému budeme už jen sčítat hodnoty zařízení v jednotlivých bytech. Byt č. 1 hodnota 29 židlí Byt č. 2 hodnota 31 židlí Byt č. 3 hodnota 27 židlí Byt č. 4 hodnota 29 židlí Nejvyšší hodnotu má tedy byt č. 2. Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 26, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na ověřování splněnosti (slovně popsaných) podmínek. Pozorné čtení Vylučovací metoda Nejprve si povšimneme faktu, že pořadí znaků v zápise nemusí odpovídat pořadí písmen v kódu. Můžeme tedy operovat jen s počty symbolů v zašifrovaném zápise a s počty samohlásek/souhlásek v kódu. Kód musí obsahovat právě dvě samohlásky, nikoliv více (v šifrovaném zápise jsou dva prázdné/bílé znaky), tyto dvě samohlásky jsou navíc stejné (protože po zašifrování mají stejné symboly). Vyřazujeme tedy c) (obsahuje tři samohlásky), d) obsahuje sice dvě samohlásky, ale ty se neshodují, totéž v případě e). Z podoby zašifrovaného zápisu také vidíme, že všechny souhlásky v kódu jsou navzájem různé (protože všechny černé symboly jsou navzájem různé). Musíme tedy vyškrtnout b), neboť písmeno S se tam vyskytuje dvakrát. Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 27, varianta 01, ročník 2012 Úloha je založená na kódování písmen pomocí grafických symbolů. Pozorné čtení a aplikování vylučovací metody Podíváme se na symboly, které příslušejí jednotlivým písmenům v přeložené části. Vidíme, že křížek/plus je kód písmena A, srdíčko je kódem písmena P, půlelipsa je kódem písmena O. V nabízených odpovědích tedy budeme hledat takový kód, jehož prostřední písmena jsou PAO. Zjevně tedy musíme vyřadit možnosti a) a e). Dále vyřadíme možnost b), protože F je zakódováno jako naklopený křížek, ale poslední symbol v kódu je kolečko. Z podobného důvodu vyřazujeme též odpověď c) první symbol neznámého kódu je sluníčko, kdežto písmeno C je zakódováno jako čtvereček postavený na vrchol.

Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 28, varianta 01, ročník 2012 Úloha, jejímž hlavním principem je doplňování dalších členů v symbolické posloupnosti Schopnost všímat si zákonitostí v symbolických posloupnostech. Vidíme, že v řetězci symbolických slov se pravidelně střídají slova s pěti symboly a čtyřmi symboly. Na základě známé části řetězce se snažíme zjistit co nejvíce pravidel, která se v řetězci uplatňují. Následně budeme postupovat vylučovací metodou nad nabízenými odpověďmi. Jakých zákonitostí si můžeme všimnout: Druhý a čtvrtý symbol v pětici jsou shodné a určují poslední symbol v následné čtveřici to, co je v pětici na druhém a čtvrtém místě, je v následující čtveřici na místě posledním. (Zákonitost první) Prostředním symbolem pětice začíná následující čtveřice tj. symbol na třetím místě pětice je prvním symbolem následující čtveřice. (Zákonitost druhá) První a poslední symbol pětice se shodují. (Zákonitost třetí) Předposledním symbolem ve čtveřici je symbol, který začíná následující pětice. (Zákonitost čtvrtá) Nyní se podívejme na nabízené možnosti. Protože v poslední známé čtveřici (před otazníkem) je předposledním symbolem hvězdička, musí následující pětice začínat právě touto hvězdičkou (Zákonitost čtvrtá). Vyřazujeme proto možnost e), která začíná jiným symbolem. V možnosti a) není splněna Zákonitost první, stejně tak v případě d). V odpovědi c) není splněna Zákonitost druhá. (Zákonitost třetí je splněna všude.) Správná odpověď je tedy b). Úloha č. 29, varianta 01, ročník 2012 Jiná úloha, jejímž hlavním principem je doplňování dalších členů v symbolické posloupnosti. Schopnost všímat si zákonitostí v symbolických posloupnostech. Princip vývoje je relativně jednoduchý: při přechodu z jedné růstové fáze do následující se: černý pupen změní na bílý, bílý pupen rozvětví na dvě části na levou část s bílým pupenem a pravou část s černým pupenem. Keř v zadání má 6 černých a 5 bílých pupenů. Jak bude vypadat po první růstové fázi? Namísto zmíněných 6 černých bude mít 6 bílých, místo zmiňovaných 5 bílých bude mít 5 bílých a 5 černých, čili dohromady 11 bílých a 5 černých. Po druhé fázi se 11 bílých změní na 11 bílých a 11 černých, 5 černých se smění na 5 bílých. Ve výsledku tedy budeme mít 16 bílých a 11 černých. Správná odpověď je tedy d).

Úloha č. 30, varianta 01, ročník 2012 Úloha je založena na využití vylučovací metody. Pozorné čtení při ověřování podmínek Procházíme jednotlivé podmínky v zadání a nabídnuté odpovědi. Vylučujeme ty možnosti, které některou z podmínek nesplňují. Podmínka první tón byl vyšší než druhý tón byla splněna ve všech nabídnutých odpovědích. Podmínka druhý tón byl nejnižší není splněna v možnosti d), neboť číslice 4 se v ní vyskytuje ještě na jednom místě (posledním). Podmínka třetí a čtvrtý tón byly vyšší než zbylé čtyři tóny není splněna v možnosti e), neboť v možnosti e) je nejvyšším tónem ten první. Vyloučili jsme tedy zatím odpovědi d) a e). Podmínka pátý tón byl nižší než šestý tón není splněna v c), takže jej rovněž vylučujeme. Poslední podmínka, šestý tón byl nižší než první tón není splněna v b), a tak zbývá jako jediná možnost a). Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 42, varianta 01, ročník 2012 Úloha je zaměřena na usuzování v predikátové logice. Porozumění větám, které obsahují kvantifikátory ( každý, žádný, někdo, nikdo, ) Vzhledem k tomu, že každý z předmětů má právě jednu z vlastností: světlá/tmavá a právě jednu z vlastností velký/malý/střední, existuje (před tím, než vezmeme v úvahu podmínky 1. a 2. ze zadání) právě šest možností, jaké mohou být vlastnosti předmětů v bedýnce : světlý-velký, světlý-malý, světlý-střední, tmavý-velký, tmavý-malý, tmavý-střední. Nyní budeme analyzovat podmínky ze zadání. Nejprve si objasněme jejich význam. Věta Každý malý i každý velký předmět je tmavý. říká, že neexistuje malý ani velký předmět, který by nebyl tmavý, jinými slovy, ať si vezmeme jakýkoliv předmět, který je malý nebo velký, tak už musí být tmavý. Když tato podmínka platí, znamená to, že malý předmět nemůže být světlý a zároveň také to, že velký předmět nemůže být světlý. Pokračujme dále. Věta Žádný tmavý předmět v bedýnce není ani střední, ani velký. říká, že neexistuje tmavý předmět, který by byl střední a neexistuje tmavý předmět by byl velký. Tyto informace si přehledně zaznamenáme do tabulky: velký malý střední světlý neexistuje (věta 1.) neexistuje (věta 1.)

tmavý neexistuje (věta 2.) neexistuje (věta 2.) V bedýnce tedy mohou být pouze předměty, které mohou být v zelených polích, zbylá pole jsme vyřadili. Vidíme např., že každý tmavý předmět v bedýnce je malý, dále že každý světlý předmět v bedýnce je střední, všechny střední předměty v bedýnce jsou světlé, v bedýnce nemohou být žádné velké předměty, všechny střední předměty jsou světlé atp. V úloze ovšem určujeme tvrzení, které nevyplývá z uvedených informací. Je zřejmé, že tvrzení Všechny předměty v bedýnce jsou střední nebo velké. ze zadání nevyplývá, neboť podle zadání mohou v bedýnce být malé tmavé věci. Čili na základě zadání není pravda, že by všechny předměty v bedýnce musely být střední nebo velké. Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 43, varianta 01, ročník 2012 Myšlenka úlohy odpovídá ideji používané v sudoku. Schopnost používat metodu rozboru případů Podívejme se nejprve na nejlevější otazník. Na jeho místo vybíráme některé z písmen X, Y, Z, V. Z nich budeme postupně vylučovat možnosti, které neodpovídají pravidlům popsaným v zadání. Vzhledem k tomu, že nejlevější otazník je v tučně vyznačené oblasti (čtverci 2x2) spolu s písmenem Z, určitě na místě otazníku Z být nemůže (ve čtverci 2x2 je každé písmeno právě jednou). V řádku s tímto otazníkem je X, ve sloupci s tímto otazníkem je písmeno Y, obě písmena tedy také musíme vyloučit. Jediné písmeno, které nám pro tuto pozici zbývá, je V. Prohlédnutím nabídnutých možností zjistíme, že existuje pouze jediná nabídnutá odpověď, která má na první pozici V ta tedy musí být správnou odpovědí. (Toto je patrně nejrychlejší řešení v případě, že bychom začali řešit od nejhornějšího otazníku, dospěli bychom taktéž ke stejnému řešení, ale trochu delší cestou.) Obecná poznámka: v případě, že se řešení skládá z několika částí (např. určujeme čísla či písmena na místa několika otazníků, vždy po získání částečného řešení prohlížíme nabízené možnosti, abychom případně řešení ukončili v první chvíli, kdy je to jen možné). Správná odpověď je tedy c). Úloha č. 44, varianta 01, ročník 2012 V úloze jde o to uvědomit si, která tvrzení na základě zadání platí nutně (tedy vyplývají) a která nikoliv. Schopnost analyzovat zadání a odvozovat z něj další nutně pravdivé závěry. Pochopení pojmu protipříklad. V úloze určujeme tvrzení, které nevyplývá z uvedených informací. Budeme tedy brát jedno tvrzení po druhém a zjišťovat, zda ze zadání vyplývá či nikoliv. Jakmile narazíme na první, které nevyplývá, ukončíme práci. Podívejme se na tvrzení a). Tvrzení se týká biologického kroužku, a podílu chlapců a dívek.

Pětinu studentů 2.A tvoří chlapci, jinými slovy, chlapců je ve 2.A právě 20 procent. I kdyby všichni chlapci z 2.A chodili do biologického kroužku (do něhož chodí 80 procent všech studentů 2.A), zbývalo by v něm ještě stále dost dívek, aby tvrzení a) ze zadání vyplývalo. Proč? Předpokládáme totiž, že počet chlapců v biologickém kroužku je právě 20 procent celkového počtu studentů ve třídě a vzhledem k tomu, že počet studentů, kteří navštěvují biologický kroužek je 80 procent celkového počtu studentů, je zřejmé, že počet dívek v biologickém kroužku musí být přesně 60 procent celkového počtu studentů ve třídě 2.A. Tedy i v krajním případě, kdy jsou všichni chlapci v biologickém kroužku, je počet dívek v tomto kroužku 3x vyšší než chlapců. Tvrzení a) tedy vyplývá. Pokračujme analýzou tvrzení b). Toto tvrzení se dotýká jak matematického, tak biologického kroužku. Zadání ovšem neříká nic o tom, kolik studentů navštěvuje oba a kolik právě jeden z nich nevíme, jaký je překryv mezi těmito dvěma kroužky. Je možné, že překryv je minimální, tj. 30 procent (80 + 50 = 130, čili 30 procent jsou procenta nad stovku, která tvoří překryv). Zadání ale nevylučuje ani možnost, že by všichni, kteří chodí na matematický kroužek, byli zároveň i členy biologického kroužku. Čili studenti v matematickém kroužku by byli podmnožinou studentů v biologickém kroužku. V takovém případě by ovšem platilo, že by 50 procent studentů 2.A navštěvovalo jak matematický, tak biologický kroužek. Nelze tedy tvrdit, že by jich nutně muselo být právě 30 procent, jak nabízí odpověď b). Mohlo by jich být totiž maximálně až 50 procent. Tato situace by byla protipříkladem, který dokazuje, že b) nevyplývá ze zadání. Obecná poznámka: to, že nějaké tvrzení nevyplývá ze zadání znamená, že existuje situace, kterou zadání připouští (tj. nevylučuje), ve které ovšem dané tvrzení neplatí. Správná odpověď je tedy b). Úloha č. 45, varianta 01, ročník 2012 Hlavní ideou úlohy je pojem tranzitivity v grafu. Schopnost pochopit podmínku zapsanou formálnějším způsobem Schopnost systematické práce Pokusme se objasnit, co znamená pojem tranzitivity. Nejvhodnější je, pokud si na kraj papíru nakreslíte tři body X, Y a Z a dvě šipky z X do Y a dále z Y do Z. Máme-li v celém diagramu pouze tyto tři body a dvě šipky, není samozřejmě pravidlo tranzitivity splněno. Museli bychom doplnit šipku vedoucí z X přímo do Z. Tranzitivita vlastně znamená: dostanu-li se po šipkách z nějakého startu do nějakého cíle přes něco, musím tam mít i šipku přímou, ze startu do cíle. Pojďme tedy doplňovat chybějící šipky do grafu v zadání. Postupujme systematicky. Vezměme si bod A: z A se dostaneme po šipkách do E (tu tam máme rovnou, cesta z A do E nevede přes jiný bod), z A se ale po šipkách dostanu do F, ale šipku z A do F nemám, tedy musím jí doplnit, aby tranzitivita byla v této situaci splněna pro konkrétní body A, E, F použijeme definici Jestliže směřuje šipka z A do E a současně směřuje šipka z E do F, pak také směřuje šipka z A do F. Podobným způsobem postupuji dále: z A se dostanu do C přes F, čili z A se musím dostat do C i přímo. Doplňuji tedy šipku z A do C. Úplně stejným způsobem doplním šipku z A do D. Z bodu A se již jinam po šipkách nedostanu, tudíž mohu přejít na další bod, čili např. k B. Z B se dostanu po šipkách do E (šipka do A tam již byla), doplňuji tedy B E, atp.

Následující seznam ukazuje, které šipky jsme museli doplnit: A F, A C, A D, B E, B F, B D, E C, E D, F D Správná odpověď je tedy e). Úloha č. 46, varianta 01, ročník 2012 Jedná se u úlohu typu zebra. Schopnost zorientovat se sadě provázaných podmínek Schopnost postupovat metodou rozboru případů Začneme od poslední podmínky: Monika nemá v pokoji bonsaj. Musí ji tedy mít v pokoji Míša. Nyní se podívejme na fikus: kdyby jej měla v pokoji Monika, pak by kaktus a orchideu musela mít v pokoji Míša (která už má bonsaj). Tím bychom se ovšem dostali do sporu se zadáním, neboť víme, že Míša má v pokoji nejvýše dvě rostliny. Tudíž fikus musí mít v pokoji Míša. Tím je plně vyčerpána její kapacita, protože Míša může mít v pokoji rostliny pouze dvě. Výsledné rozdělení tedy je: Míša bonsaj, fikus; Monika kaktus, orchidea, pelargonie. V úloze hledáme tvrzení, jehož nepravdivost vyplývá z uvedených informací, jinými slovy to, které je určitě nepravdivé na základě zadání. Vidíme, že to je tvrzení Míša má v pokoji kaktus. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 41, varianta 01, ročník 2012 Úloha patří mezi lhářské úlohy, které byly v TSP dříve velmi oblíbené, potom se na několik let přestaly vyskytovat, a následně se opět objevily. Základy výrokové logiky Schopnost použít metodu rozboru případů. Nejprve si uvědomíme, co říká Patova věta Jsem poctivec právě tehdy, když je jím i Mat.. Jedná se o ekvivalenci, která tvrdí totéž, jako kdyby řekl Jsme oba poctivci, anebo oba padouši, jinými slovy, Máme stejnou povahu. Jde tedy o situaci, kdy Pat říká: Máme stejnou povahu. a Mat říká Pat je poctivec.. V těchto úlohách typicky postupujeme metodou rozboru případů. Rozebereme tedy dvě možnosti: 1. Věta, kterou pronesl Pat, je pravdivá. Pokud věta, kterou pronesl Pat je pravdivá, pak Pat musel být poctivec protože pouze poctivci pronášejí pravdivé věty. Předpoklad pravdivosti této věty ovšem znamená, že platí

to, co říká, tj. Oba mají stejnou povahu. A je-li Pat poctivec, pak musí být poctivec i Mat, což znamená, že i Matova věta musí platit. Matova věta ovšem říká, že Pat je poctivec a vše tedy sedí, k žádnému rozporu jsme se nedostali tudíž tato situace (Patova věta je pravdivá a také fakt, že oba jsou poctivci) nastat může. Zajímavější je ovšem druhý případ: 2. Věta, kterou pronesl Pat, je nepravdivá. Kdyby byla Patova věta nepravdivá, musel by Pat být padouch (protože pouze padouši mohou pronášet nepravdivé věty). Předpoklad nepravdivosti Patem pronesené věty ovšem také znamená, platí opak toho, co Pat říkal. To znamená, že platí, že oba mají různou povahu. Za dané situace je Pat padouchem, a protože oba jsou různých povah, musí být Mat poctivcem. Je-li Mat poctivcem, musí platit to, co říká, tedy musí platit, že Pat je poctivec. To je ovšem spor! Tudíž tento předpoklad (Patova věta je nepravdivá) vede ke sporu, takže situace nastat nemůže. Závěr: jediná situace, která může nastat je ta, že oba jsou poctivci a oba řekli pravdivé věty. Správná odpověď je tedy a). 2. (úloha č. 47, varianta 01, ročník 2012) Úloha testující pochopení základů výrokové logiky. Základy výrokové logiky Znalost postupu vytvoření tabulek pravdivostních hodnot Máme před sebou dva složené výroky, které vznikly aplikací výrokových spojek na elementární výroky Půjdu do kina., označme jej K, a výrok Půjdu do školy., označme jej S. Výroky 1. a 2. nabývají různých pravdivostních hodnot v závislosti na pravdivostních hodnotách těchto elementárních výroků. Nás zajímají ovšem pouze takové situace (dané pravdivostními hodnotami elementárních výroků), ve kterých je první tvrzení pravdivé a druhé tvrzení nepravdivé. Proto si utvoříme tabulku pravdivostních hodnot. Výrok Jestliže půjdu do školy, nepůjdu do kina. je implikace, má tvar S K, výrok Do školy nepůjdu a půjdu do kina. je konjunkce, má tvar S K. S K S K S K I. 1 1 0 0 II. 1 0 1 0 III. 0 1 1 1 IV. 0 0 1 0 Nevíte-li, jak sestrojovat tabulky pravdivostních hodnot, podívejte se do zmiňovaného materiálu. Žlutě jsme označili řádky, ve kterých je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý, jak žádá zadání. Jsou to situace II. a IV., tj. situace, kdy elementární výrok Jdu do školy. je pravdivý a elementární výrok Jdu do kina. nepravdivý (II.) a situace, kdy jsou oba tyto elementární výroky nepravdivé (IV). Vidíme tedy, že v obou situacích je výrok K (Jdu do kina.) nepravdivý, tedy v obou situacích platí, že Nejdu do kina. je výrok pravdivý. Protože je pravdivý ve všech situacích, které odpovídají

zadání, tak pravdivost tohoto výroku ze zadání vyplývá. Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 48, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na základní pojmy výrokové logiky. Znalost pojmu být ekvivalentním výrokem Schopnost konstruovat tabulky pravdivostních hodnot Pro začátek budeme postupovat tabulkovou metodou. Identifikujeme ve výrocích v zadání elementární výroky: Výrok A: Učím se anglicky. Výrok I: Učím se italsky. Výrok X ze zadání má podobu implikace, Jestliže se učím anglicky, neučím se italsky., tj. symbolicky A I. Výrok 1. má podobu disjunkce, A I. Výrok 2. má podobu implikace, I A. Výrok 3. má podobu implikace, A I. Podívejme se nyní na tabulku pravdivostních hodnot jednotlivých výroků a připomeňme si, co znamená, že dva výroky jsou ekvivalentní: znamená to, že mají stejné sloupce v tabulce pravdivostních hodnot. Budeme tedy v tabulce hledat takové sloupce, které jsou shodné se sloupcem výroku X. A I A I A I I A A I I. 1 1 0 0 0 1 II. 1 0 1 1 1 1 III. 0 1 1 1 1 1 IV. 0 0 1 1 1 0 Okamžitě vidíme, že sloupec výroku v zadání (šedivě podbarvený) je shodný se sloupcem výroku 1. a 2. (modře podbarvené), nikoliv 3. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 49, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na otestování schopnosti korektně usuzovat v predikátové logice. Pochopení významu výroku s kvantifikátory Pochopení pojmu protipříklad

Při řešení úlohy si nejprve vyjasníme význam jak výroku X, tak výroků 1. 5. Věta Někteří studenti matematiky nejsou chytří. říká, že existuje alespoň jeden student matematiky, který chytrý není. (V predikátové logice, kam tato úloha spadá, se nedělá rozdíl mezi jednotným a množným číslem, někteří jsou říká totéž, co některý je.) Výrok Všichni chytří studenti jsou studenty medicíny říká, že každý student, který je chytrý, je zároveň studentem medicíny. Jinými slovy, chytří studenti jsou podmnožinou studentů medicíny. Věta ovšem neříká, zda existují studenti medicíny kteří by chytří nebyli (možná existují, možná ne věta to nepopírá). Výrok Někteří studenti matematiky jsou studenty fyziky říká, že existuje někdo, kdo studuje zároveň jak matematiku, tak fyziku. Výrok Někeří studenti fyziky nejsou chytří. říká, že existuje někdo, kdo jednak studuje fyziku a zároveň není chytrý. Výrok Žádný student fyziky není chytrý říká, že neexistuje nikdo, kdo by studoval fyziku a zároveň byl chytrý. Věta mimochodem neříká, zda vůbec existují nějací studenti fyziky jen oznamuje, že pokud existují, tak nejsou chytří. Výrok Někteří chytří nejsou studenty matematiky. říká, že existuje někdo, kdo je chytrý, ale zároveň není studentem matematiky. Teď trochu zabrousíme do teorie. Klíčové je uvědomit si, co znamená, že výrok X vyplývá z nějaké sady výroků S: znamená to, že v KAŽDÉ situaci, kdy jsou splněny všechny výroky ze sady S, je splněn i výrok X. To znamená, že platnost výroků z S už vynucuje platnost výroku X. Jinými slovy že nemůže nastat situace, kdy by výroky ze sady S platily, avšak samotný výrok X nikoliv, čili X na základě S nutně platí. Naopak to, že výrok X ze sady S NEVYPLÝVÁ znamená, že může nastat situace, kdy platí všechny výroky z S, ale výrok X nikoliv. (Takovéto situaci se říká protipříklad.) Je zřejmé, že pokud výrok X mluví o něčem, o čem se výroky v sadě S vůbec nezmiňují, pak samozřejmě výrok X z S nevyplývá. Jedná se možná o trochu abstraktnější fakta, nicméně je důležité promyslet si, co vlastně říkají. Bude se nám to v mnoha dalších situacích hodit. Nyní budeme postupovat vylučovací metodou: budeme postupně procházet jednotlivé nabízené odpovědi a určovat, zda z nich výrok X vyplývá či nikoliv. a) Výroky 3. a 4. hovoří o vztahu chytrosti a studia fyziky, ale o vztahu chytrosti a studia matematiky neříkají nic. Výrok X z nich tedy vyplývat nemůže. b) Ze samotného výroku 1. výrok X vyplývat nemůže argument je podobný, jako v předchozím případě. Výrok 1. totiž hovoří pouze o vztahu chytrosti a studia medicíny, ale neříká nic o vztahu chytrosti a matematiky. c) Z věty 2. víme, že musí existovat někdo, kdo studuje matematiku a zároveň studuje fyziku. Z věty 3. víme, že musí existovat někdo, kdo studuje fyziku, a není chytrý. V těchto případech ale nemusí jít o tutéž osobu, čili nemůžeme tvrdit s jistotou, že bychom museli mít studenta, který studuje matematiku a zároveň není chytrý. Z této dvojice tedy výrok X také nevyplývá. d) Díky větě 2. víme, že existuje někdo, kdo studuje jak matematiku, tak fyziku. Na tohoto studenta ovšem můžeme aplikovat tvrzení 4., totiž že Žádný student fyziky není chytrý. Tudíž, tento student, o jehož existenci víme z věty 2., se vyznačuje tím, že studuje matematiku i fyziku, a zároveň není chytrý. Máme tedy studenta matematiky, který není chytrý tudíž nutně platí, že někteří studenti matematiky nejsou chytří, což je právě

tvrzení X. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 50, varianta 01, ročník 2012 Opět úloha zaměřená na otestování schopnosti korektně usuzovat v predikátové logice. Pochopení významu výroku s kvantifikátory Nejprve si vyjasníme význam jednotlivých výroků v zadání a následně si jejich významy znázorníme graficky. Výrok Všechny knihy jsou krásné. znamená, že ať si vezmu jakoukoliv knihu, pak s jistotou vím, že je krásná. Jinými slovy, knihy jsou podmnožinou krásných věcí. (Možná, že existují ještě jiné krásné objekty než knihy, o nich ale tento výrok nevypovídá nic.) Výrok "Některé krásné objekty nejsou knihy." říká, že existuje alespoň jeden krásný objekt, který není knihou. Čili uvnitř krásných objektů a zároveň mimo knih cosi je. Přidáme-li tuto informaci k té předchozí, dostáváme se do situace znázorněné takto: Výrok Vše, co je krásné, je užitečné. říká, že ať si vezmu jakýkoliv krásný objekt, pak s jistotou vím, že je užitečný. Tedy, krásné objekty jsou podmnožinou užitečných věcí. Dáme-li uvedené informace dohromady, dostáváme se k situaci, kterou znázorníme takto:

Naším úkolem je určit, které z uvedených výroků vyplývají z těchto tří výroků v zadání. Napřed si objasníme, co výroky 1. 3. říkají. 1. Výrok Něco, co je užitečné, není kniha. odpovídá tomu, že existuje nějaký užitečný předmět, který není knihou. V řeči diagramů to znamená, že existuje objekt uvnitř užitečných objektů, který je ovšem mimo knihy. Otázka tedy zní, zda platnost tří výroků v zadání (Všechny knihy jsou krásné.,...) již zaručuje platnost výroku 1. Ano, objekt, o kterém se hovoří v 1. existuje v diagramu jej máme označený křížkem. Čili výrok 1. vyplývá z dané trojice. Jiné zdůvodnění by bylo: Některé krásné objekty nejsou knihy, ale tento krásný objekt musí být (díky větě Vše, co je krásné, je užitečné. ) zároveň užitečný. Tedy víme, že existuje něco, co není knihou a zároveň je to užitečné, čili něco, co je užitečné, není kniha. Výrok 2. ze zadání jistě nebude vyplývat: O vztahu užitečnosti a krásy se vyjadřuje pouze výrok Vše, co je krásné, je užitečné, ale ten netvrdí, že by užitečné věci musely být krásné připouští, že by mohly naopak existovat věci, které by sice byly užitečné, ale nebyly krásné. Tedy připouští, že by výrok 2. neplatil. Tudíž výrok 2. nevyplývá. Výrok 3. naopak ze trojice v zadání určitě vyplývá: dáme-li dohromady výroky Všechny knihy jsou krásné." a Vše, co je krásné, je užitečné, získáme fakt, že Všechny knihy jsou užitečné.. V řeči diagramů to znamená, že na základě toho, že knihy jsou podmnožinou krásných objektů a také toho, že krásné objekty jsou podmnožinou užitečných objektů, můžeme korektně tvrdit, že knihy jsou podmnožinou užitečných objektů, což je právě význam tvrzení 3. Správná odpověď je tedy d). Úloha č. 61, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená na hledání hlavní myšlenky textu Schopnost uvažovat o textu jako celku Schopnost vystihnout to podstatné Otázka zní, jakou hlavní otázku si autor textu pokládá. Jedná-li se o hlavní otázku, pak se text musí z větší části obsahovat pasáže, které na tuto otázku nějakým způsobem

odpovídají nebo vyjadřují nějakým způsobem postoj autora k této otázce. Při řešení budeme postupovat vylučovací metodou. Možnost a): v textu je sice několikrát zmíněn útlý věk a rané dětství, nicméně o tom, že by nějaký věk byl kritický pro rozvoj hudebního nadání, se v textu nedočteme. Text pojednává především o absolutním sluchu, nikoliv o hudebním nadání. Tato možnost tedy není správná. U těchto úloh je někdy šikovné, pokusíme-li postupovat obráceně tj. klást si otázku, jak by text musel vypadat v momentě, kdy by a) bylo správnou odpovědí. V takovém případě by se zajisté v textu objevovaly informace o tom, že do určitého věku je třeba pro hudební nadání udělat cosi, a po tomto určitém věku už to nemá takový učinek atp., čemuž se text v zadání ani nepřibližuje. Odpověď b) správná je: první část textu řeší souvislost hudebního prostředí a absolutního sluchu, je zmíněna i otázka genetických dispozic. Ve druhé části se píše o korelaci určitého jazykového prostředí a absolutního sluchu. (Víte, co znamená korelace? Podívejte se do Wikipedie!) Pro úplnost projděme ještě ostatní možnosti. c): kdyby tato možnost byla správným řešením, pak by se text musel jednak zabývat převážně nevidomými (ti se v textu objevují, nicméně zdaleka ne v dostatečně významném měřítku ) a dále navrhovat, co se má pro daný účel udělat a jakým způsobem (otázka v c) začíná Jak zajistit...? ). Možnost d) také nepřipadá v úvahu, neboť se nevěnuje příčinám a důvodům, proč je absolutní sluch běžnější u hudebníků, než u široké veřejnosti nepátrá po příčinách. Druhá část textu se pak nevěnuje hudebníkům vůbec. Ještě rozebereme variantu e): vliv jazykového prostředí na absolutní sluch je zmíněn až v závěru textu, rozhodně se tedy nejedná o hlavní téma. Navíc zde jde o vliv na absolutní sluch, nikoliv na hudební nadání. Na základě samotného textu nelze nic říci o tom, zda absolutní sluch je předpokladem pro hudební nadání čili nelze usuzovat, že lidé z určitého jazykového prostředí mají rozvinutější absolutní sluch, a tudíž větší hudební nadání než ostatní lidé. Správná odpověď je tedy b). 2. (úloha č. 62, varianta 01, ročník 2012) Úloha zaměřená na shrnutí východisek autora Schopnost najít a zformulovat východiska autora Posouzení obsahu textu jako celku V úloze hledáme v podstatě shrnutí východisek autora textu, čili jakousi hlavní myšlenku, ke které se z různých stran autor v textu věnuje. Je zřejmé, že toto tvrzení musí být v souladu s textem, resp. s jeho celkovým vyzněním. Opět budeme postupovat vylučovací metodou a kriticky hodnotit nabízené možnosti. Hned možnost a) se zdá být správnou odpovědí. Předně, tvrzení a) je v souladu s textem jako celkem. Autor rozebírá tento fakt (že někteří mají rozvinutý absolutní sluch, jiní ne) v různých kontextech: absolutní sluch a hudebníci/nehudebníci, raná nevidomost a dále jazykové prostředí. Čili lze říci, že toto tvrzení skutečně stojí na pozadí autorových úvah. Ostatní možnosti lze relativně rychle vyloučit, ve stručnosti si shrňme argumenty:

Možnost b): o genetických faktorech se s textu sice píše, ale text rozhodně nevypadá tak, jako by autor vycházel z toho, že tento podíl je značný. Pokud by b) bylo správnou odpovědí, musel by text vypadat zcela odlišně. Možnost c): v textu se píše, že U mnoha nadaných hudebníků se navzdory intenzivnímu tréninku od útlého dětství absolutní sluch nerozvinul, což je v rozporu s tvrzením c). Možnost d): pokud by na pozadí autorových úvah stálo toto tvrzení, musel by text (přinejmenším) alespoň zmínit potřebu či nutnost uspořádání závěrů. Z textu by též muselo být jasné, že autor se také domnívá, že relevantní studie již byly provedeny což zjevně neplatí. Možnost e) je, podobně jako c), v rozporu s tím, co text říká ( odhaduje se, že kolem padesáti procent dětí, které se rodí nevidomé ), kdežto e) tvrdí, že je vrozený. Správná odpověď je tedy a). Úloha č. 63, varianta 01, ročník 2012 Úloha zaměřená korektní interpretaci textu z hlediska odvozování/vyplývání Schopnost určit, co na základě textu musí platit nutně, tj. co se dá korektně odvodit Opět využijeme vylučovací metodu a budeme procházet jednotlivé nabídnuté možnosti a zdůvodňovat, zda je možné je z textu odvodit či nikoliv. Možnost a): problém se slovy téměř vždy. Z textu sice víme, že kolem padesáti procent dětí, které se rodí nevidomé nebo přijdou o zrak v raném dětstvím má absolutní sluch, nicméně na základě toho nelze tvrdit, že by to bylo téměř vždy. Možnost b): z textu víme, že Mezi hudebníky mají absolutní sluch častěji ti, kteří se začali věnovat hudbě v raném věku., čili hudební trénink v raném věku přispívá k rozvoji absolutního sluchu, což je přesně obsah tvrzení b). Čili máme správnou odpověď. Někdo by sice mohl namítat, že v textu pak hned následuje věta Ovšem tato korelace vždy neplatí: u mnoha nadaných hudebníků se navzdory intenzivnímu hudebnímu tréninku od útlého dětství absolutní sluch nerozvinul., která by mohla být s naší úvahou v rozporu, nicméně v b) se neříká, že by hudební trénink v raném věku zajistil absolutní sluch, pouze to, že k němu přispívá, což z textu vyplývá. Možnost c): toto tvrzení nelze z textu odvodit, neboť v textu se píše jen tolik, že hudební trénink přispívá k rozvoji absolutního sluchu, nicméně není tam psáno, že by k absolutnímu sluchu bylo možné dospět pouze touto cestou. Naopak v závěru naznačuje, že k absolutním sluchem se vyznačují i lidé, kteří nemusí mít nutně něco společného s raným hudebním tréninkem. Možnost d): v textu se zmiňují geny i prostředí, ale nelze z ničeho odvodit, jaký je jejich podíl. Možnost e): v závěru textu se dozvíme, že rodilí mluvčí těchto jazyků mají velmi přesný absolutní sluch, ale z toho ještě nelze vydedukovat, že by tím pádem byli hudebně nadaní v textu není žádná opora pro tvrzení, že absolutní sluch vede k hudebnímu nadání. Závěr tedy je, že ani jedna z možností c) až e) nemůže být správnou odpovědí. Pozn. V úlohách tohoto typu je nutné postupovat pouze na základě toho, co je psáno v textu, nikoliv na základě našich znalostí a reálně pravdivých faktů. Správná odpověď je tedy b).