11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti



Podobné dokumenty
8 Střední hodnota a rozptyl

4 Numerické derivování a integrace

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

pravděpodobnosti 9 Některá význačná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Téma 22. Ondřej Nývlt

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

7 Pravděpodobnostní modely úvod

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

p(x) = P (X = x), x R,

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

pravděpodobnosti 10 Poissonovo a exponenciální rozdělení pravděpodobnosti

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

1 Rozptyl a kovariance

VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

MATEMATICKÁ STATISTIKA

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

8. Normální rozdělení

Základy teorie pravděpodobnosti

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

Charakterizace rozdělení

Aplikovaná numerická matematika

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Vzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Náhodné chyby přímých měření

KGG/STG Statistika pro geografy

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Chyby měření 210DPSM

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

Jednoduché cykly

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Normální rozložení a odvozená rozložení

sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

B. (Obrázek není v elektronické podobµe k dispozici.)

Základní statistické modely Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada ~ cada

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Kombinatorická minimalizace

= = 2368

Tomáš Karel LS 2012/2013

Numerické metody a statistika

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko

Diskrétní náhodná veličina

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Stavový model a Kalmanův filtr

Transkript:

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti 11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá část kapitoly 13 ze skript [1] a vše, co se nachází v kapitole 7 sbírky úloh [2] tuto kapitolu 7 sbírky úloh je vhodné vzít jako cvičení tohoto tématu. Doporučuji přijít také na poslední přednášku příští týden, protože bude probírána statistika téma, které nebude procvičeno ve cvičeních odborného základu, ale u zkoušky by se mohlo vyskytnout. bed b@d OBSAH 1/38

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti Dnes se budeme zabývat dvěma popisy spojité veličiny. Jedná se o spojité veličiny, konkrétně o rovnoměrné spojité rozdělení normální rozdělení bed b@d OBSAH 2/38

11 Rovnoměrné a normální 11.1 Rovnoměrné rozdělení spojité rozdělení psti 11.1 Rovnoměrné spojité rozdělení Už minulý týden bylo zmíněno jedno důležité rozdělení, a sice rozdělení exponenciální. Existuje ovšem ještě jedno jednodušší spojité rozdělení, a sice rovnoměrné (spojité) rozdělení. Rovnoměrně spojitě rozdělená veličina je veličina nabývající hodnot z jistého intervalu a; b, a to jakákoli hodnota je stejně častá jako ty ostatní, tj. její hustotou je úsečka na tomto intervalu. Je to vlastně rozdělení reprezentující geometrickou pravděpodobnost (viz předn. číslo 7), kde pravděpodobnost naměření jistých hodnot počítáme jako délku intervalu. bed b@d OBSAH 3/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti 11.2 Normální rozdělení pravděpodobnosti Dnes se budeme zabývat zejména rozdělením normálním. Jeho název zřejmě pochází z toho, že hodně veličin praxe lze jím dosti dobře popsat (nikoli ze tvaru její hustoty pravděpodobnosti ten je naopak značně hrozivý): f(t) = 1 2π σ e (t µ)2 2σ 2. (1) Dále lze zjistit výpočtem podle příslušných vzorců (viz přednáška 8), že EX = µ, DX = σ 2 (2) (jedná se přesně o parametry, které se vyskytují ve bed b@d OBSAH 4/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti vzorci hustoty f(t)). Dále distribuční funkci musíme počítat integrací, protože jiný vzorec pro její výpočet neexistuje (o tom bude víc řečeno za chvilinku): F (x) = x 1 2π σ e (t µ)2 2σ 2 dt. (3) bed b@d OBSAH 5/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti Normální rozdělení se stalo slavným díky tomu, co říká tzv. centrální limitní věta: Pokud X 1, X 2,... X N jsou nezávislé stejně rozdělené veličiny (rozdělení psti může být libovolné, diskrétní či spojité, ale pro všech N veličin stejné) se střední hodnotou EX i = µ a rozptylem DX i = σ 2, pak veličina Y := má pro dostatečně velké N rozdělení normální se střední hodnotou N µ a rozptylem N σ 2. N 1 X i bed b@d OBSAH 6/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti Jaký je důsledek této matematické věty? Ten, že celá řada veličin je ovlivněna součtem mnoha vlivů proto řadu veličin lze popsat normálním rozdělením. Příklad 11.1. Veličina Y udává výšku borovice (v metrech) v daném lese. Průměrná výška (EY ) je 50 metrů. Vezměme nyní konkrétní strom, jeho výška je 54 metrů. Co způsobilo, že vyrostl o čtyři metry nad průměr? Řada různých vlivů: Stromek byl zasazen v obzvlášť příznivém období roku, což způsobilo, že vyrostl o jeden metr nad průměr. bed b@d OBSAH 7/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti Místo, kde strom roste, získává zdroje hnojiva navíc, což vede k růstu o 2,3 m nad průměr. Nešťastnou náhodou byl stromek při sazení nalomen, což způsobilo, že vyrostl o 1,4 m méně, než by mohl. Strom má dobré místo na slunci, což mu pomohlo vyrůst o 2 m nad průměr. Skupina jedinců antagonistického hmyzu si vybrala strom za svůj domov, což mu vzalo šance vyrůst 0 0,6 m výš, než ostatní stromy. Atd. Zkrátka a dobře, vychýlení o čtyři metry nad průměr je dáno součtem všech těchto mož- bed b@d OBSAH 8/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti ných kladných i záporných vlivů. Protože těchto vlivů je poměrně dost, výslednou výšku stromů danou součtem všech těchto vlivů lze s velkou přesností popsat normálním rozdělením. Příklad 11.2. Veličina Y udává výsledek zkoušky z matematiky. Vezmeme nyní výsledek zkoušky jednoho konkrétního studenta, který se jmenuje Honza. Co naň mělo vliv? Honza měl den před zkouškou chřipku to snížilo jeho výkon o deset bodů. Honza si něco tipl a náhodou to trefil přidalo mu to 2 body. bed b@d OBSAH 9/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti Honza chyběl na klíčové přednášce a neměl u zkoušky její kopii přišel o 5 bodů. Profesor byl v dobré náladě a přidal při opravování Honzovi tři body zadarmo. Profesor zjistil, že student počítá střední hodnotu diskrétní veličiny pomocí integrálu (nebo naopak střední hodnotu spojité veličiny pomocí sumy), a to jej rozladilo. Atd. Opět vidíme, že výsledek Honzovy zkoušky je dán součtem většího počtu navzájem nezávislých náhodných vlivů, a tedy jej lze s velkou přesností popsat normálním rozdělením. bed b@d OBSAH 10/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti Následující důsledek centrální limitní věty je někdy nazýván Moivre-Laplaceova věta: Speciálně i binomické rozdělení Bi(n, p) lze pro dostatečně velké n dobře popsat (= aproximovat, nahradit) normálním rozdělením se stejnou střední hodnotou a rozptylem. Uvažujme například veličinu Y, která udává počet líců při sto hodech korunou. Tato veličina má binomické rozdělení s parametry n = 100, p = 0,5. Tuto veličinu Y lze také vyjádřit jako součet veličin X 1, X 2,..., X 100, kde každé z rozdělení X i má parametry n = 1, p = 0,5 (rozdělení X i se někdy nazývá alternativní rozdělení, protože příslušná veličina bed b@d OBSAH 11/38

11 Rovnoměrné a11.2 normální Normální rozdělení pravděpodobnosti psti může nabývat jen dvou alternativ: 0 (= padl rub mince) a 1 (= padla koruna horní stranou nahoru)). Veličina Y = 100 1 X i má rozdělení binomické (EY = 50, DY = 25), ale díky centrální limitní větě lze tutéž veličinu popsat též normálním rozdělením se stejnou střední hodnotou (µ = 50) a se stejným rozptylem (σ 2 = 25). bed b@d OBSAH 12/38

Na konkrétní příklad nahrazení binomického rozdělení normálním i na další výpočty se podívejme v dalším oddílku. 11.3 Výpočty pravděpodobností normálního rozdělení Je potřeba říci, že výpočet integrálů z hustoty normálního rozdělení je neobyčejně náročný, a z toho důvodu se provádějí při výpočtech následující dva kroky: bed b@d OBSAH 13/38

1. Veličina Y, jejíž rozdělení je normální s parametry EY = µ, DY = σ 2, se převede na veličinu U = Y µ σ (druhou mocninu jsem nezapomněl, ve jmenovateli zlomku je skutečně pouze DY = σ). Pro veličinu U lze spočítat, že platí EU = 0, DU = 1. 2. Hodnoty distribuční funkce této normované = standardizované normální veličiny se jednou provždy spočetly do tabulky místo klasického označení F tuto distribuční funkci u (4) bed b@d OBSAH 14/38

veličiny U standardně označujeme Φ: Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt. (5) Tabulku uvedenou na str. 216-217 skript [1] si vytiskněte a přineste na zkoušku, budete pomocí ní počítat příklady s normálním rozdělením. Podobné tabulky jsou také jedním z důvodů, proč se pojem distribuční funkce zavádí v tabulce jsou právě uvedeny hodnoty pravděpodobností x f(t)dt. bed b@d OBSAH 15/38

Mimochodem, u normálně rozdělené veličiny uvedená primitivní (= zintegrovaná) funkce je tzv. vyšší funkcí, kterou nelze vyjádřit jinak než nekonečnou řadou (a tu integrovat člen po členu), nebo je možné spočítat integrál numericky pomocí metod uvedených v první části tohoto předmětu (složená lichoběžníková nebo Simpsonova metoda). Podrobněji viz str. 220 skript generování hodnot normálního rozdělení na počítači. bed b@d OBSAH 16/38

Ukažme si oba kroky výpočtu s normálním rozdělením na příkladu: Příklad 11.3. Veličina Y udává velikost proudu v dané části obvodu. Její rozdělení je normální s parametry EY = µ = 10 ma, DY = σ 2 = 4 (ma) 2, tj. směrodatná odchylka σ = 2 ma. a) Určete pravděpodobnost, že měření proudu překročí 13 ma. b) Určete pravděpodobnost, že naměřený proud bude v intervalu 9; 11 ma. c) Pravděpodobnost, že naměřený proud je větší než y 0, je rovna 0,6. Určete y 0. bed b@d OBSAH 17/38

Řešení: P (Y > 13) = P ( Y 10 13 10 > ) = P (U > 1,5) = 2 2 = 1 Φ(1,5) =. 1 0,9332 = 0,0668. Úpravu nerovnosti Y > 13 jsme provedli takovou, abychom cíleně na jedné straně nerovnosti dostali výraz Y µ σ, a ten pak podle 4 nahradíme proměnnou U. Hodnotu Φ(1,5) jsme nalezli v tabulce, kterou po takto provedené úpravě můžeme použít. bed b@d OBSAH 18/38

ad b) Podobně postupujeme při jakémkoli užití výpočtu pravděpodobnosti u normální veličiny: P (9 < Y < 11) = P ( 9 10 < Y 10 11 10 < ) = 2 2 2 = P ( 0,5 < U < 0,5) = Φ(0,5) Φ( 0,5) =. 0,6915 (1 0,6915) = 0,383. Φ záporných hodnot není uvedeno místo toho využíváme symetrie hustoty f(x), čili pro distribuční funkci φ platí bed b@d OBSAH 19/38

Φ( u) = 1 Φ(u) tento fakt je ilustrován na obrázku: 0.4 0.3 0.2 A 0.1 B 3 2 0 0.5 2 3 bed b@d OBSAH 20/38

ad c) Stejně postupujeme i při inverzním procesu, kdy je známa pravděpodobnost a hledáme hodnotu y 0 na vodorovné ose: P ( Y 10 2 P (Y > y 0 ) = 0,6 > y 0 10 ) = 0,6 2 P (U > y 0 10 ) = 0,6 2 1 Φ( y 0 10 ) = 0,6 2 0,4 = Φ( y 0 10 ) 2 A nyní pozor musíme v tabulce φ najít, ve kterém bodě nabývá funkce Φ hodnotu 0,4. Musíte hledat v bed b@d OBSAH 21/38

tom správném sloupci tabulky. Pokud hledáte v tom správném sloupci tabulky, tak bed b@d OBSAH 22/38

Pokud hledáte v tom správném sloupci tabulky, tak hodnotu y 0 10 2, že φ( y 0 10 2 ) = 0,4, v tabulce nenajdete, protože y 0 10 2 < 0 a v tabulce jsou jen hodnoty kladné. Znovu musíme užít vzorce Φ( u) = 1 Φ(u), ale nyní jaksi naopak, protože u nebo vlastně y 0 10 2 je nyní záporné, nikoli kladné: MUSÍME UMĚLE VY- ROBIT POMOCÍ TOHOTO VZORCE V ZÁVORCE MINUS, PROTOŽE ( y 0 10 2 ) je kladné číslo pak teprve lze ( y 0 10 2 ) najít v tabulce. bed b@d OBSAH 23/38

0,4 = Φ( y 0 10 ) 2 1 0,4 = Φ( 10 y 0 ) 2 0,25 =. 10 y 0 2 y 0 = 10 0,5 = 9,5. Příklad 11.4. Vypočtěte pravděpodobnost, že veličina X s rozdělením No(µ, σ 2 ) leží v intervalu a) µ σ; µ + σ, b) µ 2σ; µ + 2σ, c) µ 3σ; µ + 3σ. bed b@d OBSAH 24/38

Výsledek: a] 0,6827; b] 0,9545; c] 0,9973. ad c: Většina hodnot veličiny X leží tedy v intervalu < µ x 3σ x, µ x +3σ x >. Veličina X nabude hodnoty z tohoto intervalu s pravděpodobností 99,7 (= tzv. pravidlo tří sigma). bed b@d OBSAH 25/38

Příklad 11.5. Firma vyrábí balíčky ořechů po 200ks, přičemž 3 4 oříšků jsou burské a 1 4 lískové, dokonale se promíchají, a pak se teprve sypou do balíčků. Jestliže koupíme jeden balíček ořechů, jaká je pravděpodobnost, že počet lískových ořechů je v intervalu < 47; 56 >? Řešení: Náhodná veličina X udávající počet lískových ořechů v jednom balíčku má rozdělení Bi(N = 200, p = 0,25), čili µ x = 50, σ 2 x = 37,5. Přímý výpočet P (47 X 56) = P (X = 47) + P (X = 48) + + P (X = 56) = ( ) ( ) 200 200 = 0,25 47 0,75 153 + 0,25 48 0,75 152 + + 47 48 bed b@d OBSAH 26/38

( ) 200 + 0,25 56 0,75 144 = 0, 572 56 byl určen pomocí robustní kalkulačky, která má funkci pro obecnou sumu a také funkci pro vyčíslení kombinačních čísel. Při náhradě daného binomického rozdělení normálním rozdělením se stejnou střední hodnotou a rozptylem (σx 2. = 37,5 = σ x = 6,12) dostaneme výsledek: ( ) 47 50 56 50 P (47 X 56) = P U = 6,12 6,12 Φ(0,98) Φ( 0,49) = Φ(0,98) (1 Φ(0,49)) =. 0,524. Je vidět, že chyba od přesného výsledku je v řádu procent (druhé desetinné místo). Pokud bychom bed b@d OBSAH 27/38

použili korekce (viz následující příklad 6), dostali bychom výsledek P (46, 5 X 56, 5) = 0, 569, jehož odchylka od přesného výsledku je v řádu desetin procenta (třetí desetinné místo). Příklad 11.6. Náhodná veličina X udává počet líců při čtyřech hodech mincí. Vypočteme například pravděpodobnost, že počet líců ve čtyřech hodech bude jeden nebo dva a) pomocí Bi(N = 4, p = 0,5); b) pomocí normálního rozdělení; c) pomocí normálního rozdělení s korekcí. bed b@d OBSAH 28/38

Řešení: ad a) P (1 X 2) = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,375 = 0,625. ad b) Aproximujme binomické rozdělení normálním rozdělením No(µ x = Np = 2, σx 2 = Np(1 p) = 1): ( 1 µx P (1 X 2) = P U 2 µ ) x = σ x σ ( x 1 2 P U 2 2 ) = Φ(0) Φ( 1) = 0,341. 1 1 Hodnota z b) se od hodnoty z a) významně liší!! Kde se udála tak velká chyba? V tom, že obsah plochy dvou obdélníků histogramu na obr.1 bed b@d OBSAH 29/38

0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 x Obrázek 1: K př. 6 - aproximovaná plocha. 2, jsme aproximovali pomocí obsahu plochy na obr. nikoliv pomocí šrafované plochy na obr. 3. bed b@d OBSAH 30/38

0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 Obrázek 2: K př. 6 - nevhodná aproximace Bi pomocí No. Aproximační chyba se zmenší, pokud výpočet pravděpodobnosti P (t 1 X t 2 ) pomocí Bi nahradíme obsahem podgrafu hustoty N o na intervalu stejné délky, tj. pravděpodobností bed b@d OBSAH 31/38

0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 Obrázek 3: K př. 6 - vhodná aproximace Bi pomocí No užitím korekce. P (t 1 0,5 X t 2 + 0,5). Toto rozšíření intervalu o 0,5 na obou stranách nazýváme korekcí. bed b@d OBSAH 32/38

ad c) V našem příkladu dostaneme užitím korekce: P (1 0,5 X 2 + 0,5) = ( 1 0,5 2 = P U 2 + 0,5 2 ) 1 1 = Φ( 1 2 ) Φ( 3 2 ) = 0,624, = což je docela dobrá aproximace přesné hodnoty 0,625. Je vidět, že pomocí korekce lze popsat binomické rozdělení normálním i pro malá N. bed b@d OBSAH 33/38

Otázky k opakování Z dnešní přednášky vyvstávají tři otázky k opakování pro studenty, jejichž odpovědi je záhodno mít s sebou na písemky a znát zpaměti: otázka č. 19. Normální rozdělení význačné spojité rozdělení číslo 2: jaké jsou jeho základní vlastnosti? Odpověď: a) EX = µ, DX = σ 2 ; b) Hustota psti je dána vztahem f(x) = 1 2π e σ (x µ) 2 2σ 2 bed b@d OBSAH 34/38

Distribuční funkce je dána vztahem F (x) = x 1 2π e σ (t µ) 2 2σ 2 dt. c) Pokud veličina X má normální rozdělení s parametry EX = µ, DX = σ 2, pak veličina U := X µ σ má normální rozdělení s parametry EU = 0, DU = 1 a distribuční funkcí Φ, jejíž hodnoty jsou spočítány v tabulce. otázka č. 20. Co říká centrální limitní věta? Odpověď: Pokud X 1, X 2,... X N jsou nezávislé bed b@d OBSAH 35/38

stejně rozdělené veličiny (rozdělení psti může být libovolné, diskrétní či spojité, ale pro všech N veličin stejné) se střední hodnotou EX i = µ a rozptylem DX i = σ 2, pak veličina Y := má pro dostatečně velké N rozdělení normální se střední hodnotou N µ a rozptylem N σ 2. otázka č. 21. Jak se počítají pravděpodobnosti normálního rozdělení pomocí tabulky distribuční funkce Φ? Například X má rozdělení normální pro µ = 5 a σ 2 = 16 Vypočtěte pravděpodobnost, N 1 X i bed b@d OBSAH 36/38

že a) X < 4; b) X > 8; c) P (X (3; x 1 )) = 0,9 určete hodnotu x 1. bed b@d OBSAH 37/38

Literatura Literatura [1] Fajmon, B., Růžičková, I.: Matematika 3. Skriptum FEKT 2003 (identifikační číslo v informačním systému VUT: MAT103). http://www.rozhovor.cz/souvislosti/matematika3.pdf. [2] Hlavičková, I., Hliněná, D.: Sbírka úloh z pravděpodobnosti. Skriptum FEKT 2008. bed b@d OBSAH 38/38