Fermat a teorie čísel aneb problematika dělitelů a dokonalá čísla

Cahiers du CEFRES N 28, Matematik Pierre de Fermat Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink (Ed.) Štefan PORUBSKÝ Fermat a teorie čísel aneb roblematika dělitelů a dokonalá čísla Référence électronique / electronic reference : Štefan Porubský, «Fermat a teorie čísel aneb roblematika dělitelů a dokonalá čísla», Cahiers du CEFRES. N 28, Matematik Pierre de Fermat (ed. Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink). Mis en ligne en / ublished on : mai 2010 / may 2010 URL : htt://www.cefres.cz/df/c28/orubsky_2002_fermat_teorie_cisel.df Editeur / ublisher : CEFRES USR 3138 CNRS-MAEE htt://www.cefres.cz Ce document a été généré ar l éditeur. CEFRES USR 3138 CNRS-MAEE 1

Bůh viděl, že všechno, co učinil, je velmi dobré. Byl večer a bylo jitro, den šestý. Genesis 1, 31 Je zaznamenáno, že celá boží ráce byla dokončena za šest dní, rotože šest je dokonalé číslo. Protože to je rvní číslo složené z šestiny, třetiny a ůlky, nebo jednotka, dvojka a trojka dávají dohromady šest. Sv. Augustin z Hionu: O Božské obci Fermat a teorie čísel aneb Problematika dělitelů a dokonalá čísla Štefan Porubský *, Praha Lidé si ravděodobně již na rahu civilizace, jakmile dosěli ke schonosti násobit čísla, uvědomovali, že čísla mají různé vlastnosti z ohledu násobení. Podívejme se jen, kolik našich šťastných nebo nešťastných čísel jsou rvočísla. Údajně každá kultura (snad s výjimkou amerických Indiánů) znala číselnou mystiku. Proto je ojem dělitele řirozeného čísla velice řirozený. Jak jinak si můžeme vysvětlit, že číslo 60 se stalo základem číselné soustavy ve starém Babylonu. Je to ještě dosti malé číslo a žádné jiné menší číslo nemá větší očet dělitelů, tj.12. Dalším kandidátem je číslo 48, které má ale jenom 10 dělitelů. Bohatá zásoba dělitelů základu číselné soustavy je důležitá z hlediska očítaní s recirokými hodnotami (nebo se zlomky obecně). Přiomeňme si jen tvrzení, že v oziční číselné soustavě se základem M mají konečný rozvoj jenom ta racionální čísla, jejichž jmenovatel je dělitelem M. 1. Dokonalá čísla * Práce byla nasána s odorou grantu GA ČR 201/01/0471. Autor děkuje RNDr. Aleně Šolcové za závěrečnou úravu celého řísěvku. 2

Měls vystřelit ětkrát nebo šestkrát, ak bys obil Arama úlně! Druhá královská 13, 19 Alikvotní částí čísla se ve starověku rozuměly vlastní celočíselné odíly tohoto čísla. Nař. 1 = 6 / 6, 2= 6/3 a 3= 6/2 jsou alikvotní části čísla 6, ale samotné číslo 6 není, rotože není svým vlastním (tj. menším než číslo samotné) odílem. Existují domněnky, 1 že k ojmu alikvotní části řivedly již staré Egyťany jejich očetní metody. Číslo, které bylo součtem svých alikvotních částí, ythagorejci nazývali dokonalé. Pythagorejci studovali dokonalá čísla více ro jejich mystické vlastnosti než ro jejich číselně teoretické vlastnosti. Nejmenší dokonalé číslo je 6 = 1+ 2 + 3. Číslo 6 se v jisté seciální oloze objevuje již u starých Hebrejců, kdy svět byl stvořen za 6 dní. 2 Podobně další dokonalé číslo 28 bylo Bohem zvoleno za dobu oběhu Měsíce kolem Země. Proto ojem dokonalého čísla bude ravděodobně staršího data. Informace o stavu ythagorejské teorie čísel ředstavují Knihy VII, VIII a IX Eukleidových Základů a zachovalé dílo novoythagorejce Nikomacha z Gerasy (kolem r. 100 n.l.), zejména jeho Úvod do aritmetiky. 3 Eukleidés (Základy IX, 36) uvádí (a dokazuje) ostačující odmínku: 4 Když jest dáno o řadě od jednotky několik čísel v oměru jedné ke dvěma, až součet všech stane se číslem kmenným 5, a když se ten součet znásobí číslem osledním a vznikne jiné, vzniklé číslo bude dokonalé. Aneb v soudobé formulaci: Jestliže dokonalé. 2 2 n n = 1+ 2 + 2 + + je rvočíslo, ak číslo 2 je Eukleidés zakládá důkaz na výčtu všech vlastních dělitelů součinu n 2 : 1 C. M. Taisbak, Perfect numbers: A mathematical un? An analysis of the last theorem in the ninth book of Euclid s Elements, Centaurus 20 (4), (1976), 269-275. 2 S. Rubin, Sod Hasfiroth (Tajemství čísel), Vídeň, 1873, str. 59. Filón Judejský ( I. stol. n. l.), Pojednání o stvoření světa dle Mojžíše; řeklad: C. D. Young, Londýn 1854, sv. I, str. 3. 3 Anglický řeklad Nicomachus, Introduction to Arithmetic, s odrobnými komentáři vydal Martin Luther d'ooge, New York 1926. Nikomachova Arithmetike eisagoge byla rvní knížkou, která je samostatně věnována aritmetice odděleně od geometrie. Více než 1000 let sloužila jako základní text o aritmetice. Na rozdíl od Eukleida neuvádí důkazy, jenom ilustruje tvrzení numerickými říklady. Nikomachos oužívá arabské číslovky a ne řecké, ale řesto jeho dílo je sáno ve starém mystickém duchu blízkému víc ythagorejcům nežli ozdějším ředstavám o struktuře matematického textu. Její řeklad do arabštiny vedle Eukleida hodně ovlivnil arabský řísěvek k teorii čísel. Nikomachos také nasal dvojdílnou Teologii čísel (Theologoumena arithmetikes), která se věnuje zejména mystickým vlastnostem čísel. Dalším jeho dílem je Manuál harmonie, v němž se věnuje hudbě. Lucian (nar. kolem 120 n.l), rétorik a satirik, oužíval rčení: Počítáš jako Nikomachos. 4 Citováno odle Servítova řekladu z roku 1907, str. 154. 5 Kmenné jest číslo (rvočíslo), které měří jednotka jediná. (Kniha 7, definice 11) 3

1, 2,, 2,, 2,, 2 n n 1 a vztahu 1+ 2 + 2 2 + + 2 n = 2 n+ 1 1 ro součet geometrické oslounosti, který je doložen jako známý již ve starém Babylonu. U Nikomacha, který žil o čtyři století ozději než Eukleidés, můžeme ozorovat více sojitostí s babylónskou matematikou než u Eukleida. Takovým rojevem je kuříkladu jeho ois vlastností figurálních čísel. Nicméně Nikomachos uvádí čtyři dokonalá čísla 6 2(2 2 2 3 4 5 = 1), 28 = 2 (2 1), 496 = 2 (2 1), 6 7 8128 = 2 (2 1). Zde 6 = 1+ 2 + 3, 28 = 1+ 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 31+ 62 + 124 + 248, a 8128 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064. Tato čtyři dokonalá čísla se objevují již v antice, a roto se zdá nemožné datovat dobu jejich objevu nebo stanovit jejich objevitele. Nečekaně se objevuje roblematika dělitelů řirozených čísel v áté knize Platónových Zákonů. 6 V knize Platón (427-347 ř.n.l.) dooručuje volit očty bezzemků a majitelů ůdy v nově založeném státě tak, aby měli dostatečně mnoho dělitelů. Vhodné je nař. číslo 5 040, které má 60 1 dělitelů. Zákonodárce musí natolik ovládat aritmetiku, aby to byl schoen odle velikosti města řiměřeně zařídit. Z těchto říkladů můžeme oět usuzovat, že roblematikou dělitelů se v antice zabývali více, než můžeme dedukovat z Eukleidových Základů. V dnešní symbolice můžeme dokonalá čísla definovat omocí funkce součet alikvotních částí sn ( ) = d. dn d< n Pak je dokonalé číslo charakterizováno vztahem s ( n) = n. Dokonalá čísla mají mnoho dalších zajímavých vlastností. Naříklad každé dokonalé číslo je trojúhelníkové, tj. je možné je rerezentovat omocí kamínků uložených ve tvaru rovnoramenného ravoúhlého trojúhelníku 6 Zde Platón dooručuje zajistit výrobu otroky a cizinci. 4

(viz obr. 1). Aritmeticky vyjádřeno, jsou tvaru t ( t +1) / 2 ro vhodné řirozené t. t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Obr. 1. Grafické znázornění trojúhelníkových čísel. Dále součet recirokých hodnot alikvotních částí dokonalého čísla se rovná jedné, nař. 1 1 1 ro n = 6 : 2 + 3 + 6 = 1, 1 1 1 1 1 ro n = 28 : + + + + = 1. 2 4 7 14 28 5

Obr. 2. Nikomachos (kolem 100 n. l.). Nikomachos bez důkazů, které nemohly existovat ro všechna tvrzení, rotože ne všechna jsou ravdivá (srov. ka. 3), nebo doosud neznáme na ně odověď, uvádí následující vlastnosti dokonalých čísel: 1. n -té dokonalé číslo má n cifer. 2. Všechna dokonalá čísla jsou sudá. 3. Každé dokonalé číslo končí střídavě buď cifrou 6 nebo 8. 4. Eukleidem uváděný algoritmus generuje všechna dokonalá čísla. 5. Existuje nekonečně mnoho dokonalých čísel. Nikomachos též dělí (Kniha I, ka. 14,15) sudá čísla na abundantní, nař. 12, 24, a deficientní, jako nař. 8,14. Přitom abundantní čísla jsou definována jako čísla, ro která n < s(n), a ro deficientní čísla je n > s( n). Z matematického hlediska je velice zajímavý oznatek, dříve formulovaný Tassiem, 7 že libovolný násobek dokonalého a abundantního čísla je číslo abundantní, 8 zatímco každý dělitel dokonalého čísla je deficientní. Nikomachos okračuje v rozvíjení číselné mystiky tím, že za hlavní cíl svého Úvodu do aritmetiky klade výklad zázračných a božských vlastností čísel. Podle Nikomacha (I,16) se dokonalá čísla nacházejí mezi nadbytkem a nedostatkem. Prvních devět dokonalých čísel je uvedeno v tabulce: 2 1 (2 1) objevitel 2 6 Pythagoras? 3 28 Eukleidés? 5 496 Eukleidés? 7 8 128 Eukleidés? 13 33 550 336 anonym 17 8 589 869 056 anonym 19 137 438 691 328 Cataldi 31 2 305 843 008 139 952 128 Euler 61 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 Pervušin Desáté číslo (ro = 89 ) 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 objevil Powers. 7 J. A. Tassi, Aritmeticae Emiricae Comendium, Hamburgi 1673,. 13, 14. 8 Z tohoto oznatku se ostuně v racích Dicksona a Davenorta vyvinul ojem rimitivního abundantního čísla, ze kterého ozději P. Erdős "vyrearoval" ojem rimitivní oslounosti. Pro další zobecnění viz kuř. Š. Porubský, Notes on density and multilicative structure of sets of generalized integers, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 34. Toics in Classical Number Theory, Budaest, 1984, 1295-1315. 6

Nikomachovo tvrzení, že Eukleidův vztah dává všechna dokonalá čísla, se objevuje bez ohledu na řísěvek Arabů v evroské renesanční matematice ještě kolem roku 1500. Dokonce se objevili autoři (Pacioli, k 1 k de Bovelles), kteří nesrávně tvrdili, že formule 2 (2 1) dává dokonalé číslo ro každé k. Páté dokonalé číslo se v Evroě objevuje až v jistém rukoisu z roku 1461. Je uvedeno i v jednom Regiomontanově rukoisu, 9 který byl sesán během jeho obytu ve Vídni. Páté a šesté dokonalé číslo bylo objeveno též v rukoisu sesaném neznámým autorem kolem roku 1460. Vše, co o něm víme, je, že žil ve Florencii a byl studentem jistého Domenica d Agostina Vaiaio. Obr. 3. Marin Mersenne (1588-1648). V roce 1638 tvrdil Descartes v doisu Mersennovi, 10 že může dokázat, že každé sudé dokonalé číslo je Eukleidova tyu, že každé liché 2 dokonalé číslo je tvaru s, kde je rvočíslo, a že nevidí důvod, roč 9 E. Picutti, Pour l historie des set remiers nombres arfaits, Historia Mathematica 16 (2) (1989), 123-136. 10 Marin Mersenne (8.9.1588-1.9.1648) francouzský matematik, filosof a teolog. Jeho nejdůležitější aktivitou byla úloha zrostředkovatele vědecké koresondence v období, kdy neexistovaly vědecké časoisy. Do okruhu jeho koresondentů atřili i Fermat, Descartes, de Roberval, nebo Etienne Pascal. Mersenne navrhl nař. Ch. Huygensovi oužít kyvadlo jako řístoj na měření času. 7

by liché dokonalé číslo nemohlo existovat. 11 První ublikovaný důkaz, že každé sudé dokonalé číslo je Eukleidova tyu, ochází od Eulera v ráci, která vyšla osmrtně 12 : Přirozené číslo n je sudým dokonalým číslem, rávě když je tvaru n = 2 1 (2 1), kde činitel 2 1 je rvočíslo. 13 Tím byl završen dvoutisíciletý roces hledání kritéria, odle kterého můžeme generovat sudá dokonalá čísla. Eulerův-Eukleidův výsledek ukazuje, že sudá dokonalá čísla dokážeme generovat, okud jsme schoni nalézt rvočísla tvaru M = 2 n n 1, která se nazývají Mersennova a o nichž ojednáme ozději. To ale neřeší dva ústřední roblémy z oblasti dokonalých čísel: Existuje nekonečně mnoho dokonalých čísel? Existuje liché dokonalé číslo? 14 Bachet de Méziriac, který vešel do dějin vydáním latinského řekladu Diofantovy Aritmetiky, kterou ak studoval detailně Fermat, odal 15 zdlouhavý důkaz Eukleidovy ostačující odmínky ro dokonalá čísla m = 2 1 s dodatkem, že okud 1 je složené, je číslo 2 m abundantní. Podobně není důvod omezovat se i u definice abundantních a deficientních čísel na sudá, jak to dělal Nikomachos. Nejmenší liché abundantní číslo je 945. Pokud označíme A (x) očet abundantních čísel neřesahujících x, ak je známo, že 0,241x < A( x) < 0,314x, což znamená, že většina čísel je deficientních. 16 V roce 1933 bylo dokázáno, že lim A( x) x existuje, ale její hodnota není známá. x / Pojem dokonalého čísla můžeme bezrostředně zobecnit: Přirozené číslo n se nazývá k-násobně dokonalé, okud s( n) = ( k 1) n. 11 300 Dnes víme, že neexistuje liché dokonalé číslo menší než 10. Heath-Brown v roce 1994 dokázal, že když n je liché číslo, ro které σ ( n ) = an, d n d = ak 4k n < (4m), kde m je jmenovatel čísla a a k je očet různých rvočíselných faktorů čísla n. Seciálně, když n je 4k liché dokonalé číslo s k různými rvočíselnými děliteli, ak n < 4. Hagis a Chain nezávisle na sobě dokázali, že liché dokonalé číslo musí mít alesoň 8 různých rvočíselných dělitelů, abychom uvedli alesoň některé známé výsledky. 12 L. Euler: De numeris amicabilibus, Commen. Arith. 2,514; Oera osthuma 1,1862, 88. 13 Všimněte si zajímavého tvaru dokonalých čísel ve dvojkové soustavě, který lyne z tohoto tvrzení. První čtyři jsou: 110, 11100, 111110000, 1111111000000. Na tuto jednoduchou skutečnost orvé uozornil F.J. Studnička v Sitzugsberichte der königlichen böhmischen Gessellschaft der Wissenschaften v r. 1899. Nr. 30, str. 1-3. 14 Tento roblém je ravděodobně nejstarším otevřeným matematickým roblémem vůbec. 15 Elementorum arithmeticorum libri XIII auctori D, latinský rukois v Bibliothéque de l`institut de France, viz též Henry, Bull. Bibl. Storia Sc. Mat. e Fis. 12, 1879, 619-641. 16 Mezi 10 a 100 je 21 abundantních čísel. 8

Dvojnásobně dokonalá čísla jsou roto dokonalá čísla odle ředchozí definice. Číslo 120 je 3-násobně dokonalé, 30 240 je 4-násobně dokonalé a 14182 439 je 5-násobně dokonalé. Poznamenejme, že roblematikou dokonalých čísel se nevyčerávají všechny roblémy o alikvotních částech, které zajímaly Fermata. Naříklad ve své remier défi aux mathématiciens" ze dne 3. 1. 1657 vyzývá k řešení následujících roblémů: Najděte třetí mocninu, která dává čtverec, když ji zvětšíme o součet jejích alikvotních částí, 17 jako nař. 7 3 2 2 + (1 + 7 + 7 ) = 20. Najděte čtverec, který zvětšený o součet alikvotních částí vede na třetí mocninu. 18 17 Ve francouzském řekladu tohoto roblému je šatný řeklad ožadující, aby výsledný součet byl třetí mocninou, Oeuvres de Fermat 3, str. 311. 18 Poznamenejme, že odověď na tyto roblémy zdaleka není lehká. E. Lucas v roce 2 3 2 1877 rvní roblém řeformuloval na řešení diofantské rovnice 1 + x + x + x = y a konstatoval, že nejmenší složené číslo, které je jejím řešením, je číslo x = 2 3 5 13 41 47. Takové řešení našel i Frénicle de Bessy v roce 1657. Frénicle de Bessy našel v roce 1658 odověď na i na druhý roblém: čtverec čísla 2 x = 2 5 7 11 37 67 163 191 263 439 499 a třetí mocnina čísla 2 3 2 y = 3 7 13 19 31 67 109. 9

2. Sřátelená čísla Pak vzal z toho, co vyzískal, dar na usmířenou ro svého bratra Ezaua: dvě stě koz a dvacet kozlů, dvě stě bahnic a dvacet beranů, 19 Genesis 32, 14-15 Již dávno (nejozději v antice) bylo objeveno řirozené zobecnění dokonalých čísel. Sřátelená čísla jsou definována jako taková dvojice čísel, u nichž součet alikvotních částí jednoho čísla se rovná číslu druhému, tj. ( m, n) je sřátelená dvojice, když m = s(n) a současně n = s(m). O Pythagorovi se traduje, 20 že na dotaz, co znamená řítel, odvětil, 21 že je to druhé já, a řiomněl dvojici sřátelených čísel 284 a 220. Sřátelená čísla se oakovaně objevují u Arabů, kde měla své místo v jejich magii a astrologii ři tvorbě horoskoů. V 9. stol. n. l. arabský matematik Abu-l-Hasan Thabit ibn Urra 22 z Bagdádu dokázal rvní algebraické ravidlo ro generování sřátelených čísel, které dnes nese jeho jméno: n Jsou-li 3 2 1 n 2n 1 = 1, q = 3 2 1 a r = 9 2 1 rvočísla, ak čísla M 2 n n = q, N = 2 r jsou sřátelená. Pro n = 2, = 2, q = 11 a r = 71 dostaneme známou Pythagorovou dvojici. Pro n = 4 a n = 7 dostaneme hodnoty: n = 2 n = 4 n = 7 = 5 = 23 = 191 q = 11 q = 47 q = 233 r = 71 r = 1151 r = 73727 M = 220 M = 17296 M = 9363584 N = 284 N = 18416 N = 9437056 19 E. J. Lee, J. S. Madachy, The history and discovery of amicable numbers, I - III, Journal of Recreational Mathematics 5 (1972), 77-93, 153-174, 231-249. 20 Podle odání Iamblicha (kolem 283-kolem 330), zakladatele syrské školy neolatonismu a autora Pythagorova životoisu (Iamblichos/Porhyrios, Vita Pythagorica, Ed. A. Nauck, 2. vydání, Lisko 1886), který ro atetický a nadnesený ois neovažuje mnoho autorů za důvěryhodný. Takto údajně definuje řátele i Aristotelés ve své Etice. 21 B. L. Van der Waerden, Probouzející se věda (Science Awakening), ruské vydání Moskva 1959, str. 136. 22 Tento Abu-l-Hasan Thabit ibn Urra, známý arabský matematik a směnárník, žil mezi r. 841 a 901. Psal díla z medicíny, filosofie, matematiky, astronomie a astrologie. Překládal také z řečtiny a syrštiny do arabštiny, nař. díla Eukleida, Aollonia, Ptolemaia, Prokla, Nikomacha aj. 10

Do r. 1980 byly touto tabulkou vyčerány všechny známé hodnoty ro n 20 000. Není známo, zda Thabit oužil svoji větu ro n > 2. Ve 14. stol. objevil 23 znovu Thabitovo ravidlo ro n = 4 a n = 7 Ibn al-banna (1256-1321) z Marakeše (Maroko). V jeho díle najdeme tuto větu: Čísla 17 296 a 18 416 jsou sřátelená; jedno z nich je abundantní, druhé deficientní. Alláh je všemohoucí. Kamaladdin Farisi z Bagdadu našel také dvojici M = 17 296 a N = 18 416. V 17. stol. objevil Muhammad Baqir Yazdi z Íránu dvojici ro n = 7 : M = 9 363 584 a N = 9 437 056. Ibn al-haytham dokázal částečné obrácení Eukleidova tvrzení v neublikovaném díle Pojednání o analýze a syntéze, když dokázal, že k 1 k dokonalá čísla slňující jisté odmínky musí být tvaru 2 (2 1), kde 2 k 1 je rvočíslo. Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) sesal dílo 24 založené na Nikomachově Úvodu do aritmetiky, kde řebírá jeho klasifikaci čísel, uvádí tabulku deseti odle něj dokonalých čísel, z nichž ovšem jenom rvních 7 je dokonalých, zbývající tři dokonalá nejsou. Antičtí a arabští autoři a jejich středověcí následovníci s oblibou zařazovali do svých děl části o dokonalých a sřátelených číslech, v nich ovšem často nebylo nic nového a mnohdy obsahovaly i chyby. Postuem času se ale na Thabitovy formule zaomnělo a jeho dílo bylo znovuobjeveno až v 17. stol. Přes Araby se sřátelená čísla dostala do záadní Evroy, kde se objevují kolem roku 1500 u Nicolase Chuqueta, Etienna de la Roche (Villefranche), Michaela Stiefela, Cardana nebo Tartaglii. Nalezl jsem velké množství mimořádně krásných vět. Pierre de Fermat V roce 1636 Pierre de Fermat a nezávisle na něm roku 1638 René Descartes objevili Thabitovy formule. Marin Mersenne, kterému nasali o svých objevech, je nazval velikými úsěchy geniálních matematiků. Mersenne 25 uvádí toto Fermatovo ravidlo: Začni s geometrickou oslouností 2, 4, 8, 16,, naiš trojnásobky o řádek níže, odečti 1 ze součinu a naiš výsledek do horního řádku. Sodní řádek je 6 12 1, 12 24 1,. Když číslo v osledním řádku je rvočíslo (jako nař. 71), v horním řádku je také rvočíslo (11) a číslo 23 W. Borho, H. Hoffmann, Breeding amicable numbers in abundance, Mathematics of Comutation 46, 1986, 281-293. 24 S. Brentjes, Die ersten sieben vollkommenen Zahlen und drei Arten befreundeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismail b. Ibrahim ibn Fallus, NTM Schr. Geschichte Natur. Tech. Medizin 24 (1) (1987), 21-30. S. Brentjes, Eine Tabelle mit volkommenen Zahlen in einer arabischen Handschrift aus dem 13. Jahnrhundert, Nieuw Arch. Wisk. (4) 8 (2) (1990), 239-241. 25 R. Descartes, Seconde Partie de l`harmonie universelle, Paris 1837, str. 26, ozorování 13; též Oeuvres Fermat, 2, 1894, 21. 11

mu ředcházející ( 5 ) je též rvočíslo, ak čísla 71 4 = 284, 5 11 4 = 220 jsou sřátelená. Podobně ro 1151 16 = 18 416, 23 47 16 = 17 256 a stejným zůsobem do nekonečna. 5 11 23 47 2 4 8 16 6 12 24 48 71 287 1151 Později Mersenne citoval ravidlo, které mu sdělil Descartes 26 (sice formálně jiné, ale jak sám Descartes nasal, 27 Fermatovo ravidlo je shodné s jeho, takže mnozí autoři často řiisují tuto konstrukci Descartovi). Při té říležitosti oba (Fermat i Descartes) objevili i vztah ro hodnotu funkce součet všech dělitelů 28 σ ( n) = d= sn ( ) + n, dn okud známe rozklad čísla n na rvočinitele. Je historickou kuriozitou, že druhá nejmenší dvojice - 18 416 a 17 296 (rvní je Pythagorova - 220 a 284) byla znovu nezávisle nalezena až v roce 1866 šestnáctiletým italským školákem se zajímavým jménem Niccolo Paganini. 29 H.-J. Kanold dokázal, že v libovolné dvojici sřátelených čísel musí mít jedno z čísel alesoň tři rvočíselné dělitele. To znamená, že Thabitova věta oisuje nejjednodušší říady. Na druhé straně P. Erdős dokázal, že asymtotická hustota sřátelených čísel se rovná nule, tj. je jich velice málo. Z těchto výsledků ovšem nelyne, zda existuje nekonečně mnoho sřátelených dvojic. Podobně neznáme nutnou a ostačující odmínku ro sřátelené dvojice, a ani efektivní metodu na jejich generování. To, že ojmy dokonalých čísel a sřátelených čísel atří do stejné kategorie, ukazuje následující zobecnění. Definujme alikvotní oslounost jako oslounost iterací funkce s : 0 k+ s ( n) = n, 1 k s ( n) = s( s ( n)), k > 0. 26 Descartes sám o něm tvrdí, že souhlasí s Fermatovým (Oeuvres de Descartes, 2, 1898, 93-94). 27 Oeuvres de Descartes, 2, 1898,148; dois Mersennovi ze dne 27. 5. 1638. 28 Funkce součet všech dělitelů" nemá jednotně ustálené označení. Poznamenejme, že Euler (Ousc. var. argum. 2, 1759, str. 23 = Comm. arithm. 1, str. 102) oužíval označení n nebo (n) ro součet všech dělitelů čísla n L. Euler (Comm. arithm. 1, str. 104-109, 147) sestavil jako rvní tabulku hodnot této funkce. Pro informace o jejím dalším zobecnění viz Lucas, Théorie des nombres, 1891, str. 378. Nař. Liouville oužíval označení ξ (n) nebo obecněji k ξ k ( n) = d. d n 29 Čtenář možná sáhne o ráci E. J. Lee, J. S. Madachy, The history and discovery of amicable numbers, I, II, III, Journal of Recreational Mathematics 5, 1972, 77-93, 153-173, 231-249. 12

Pak dokonalá čísla jsou čísla n, ro která s 1 ( n) = n. Sřátelená čísla m, n slňují odmínku 1 s ( n) = m, s 2 ( n) = n. Když ro dané n dostaneme cyklus délky k, ak alikvotní oslounost n, s (n), s 2 ( n ),, s k 1 ( n) tvoří řátelskou skuinu řádu k. První takovouto skuinu ro k 3 objevil P. Poulet 30 ro ( kn, ) = (5,12 496) a ( kn, ) = (28,14 316). 30 P. Poulet, Question 4865, l'indetermediare des Math. 25, 1918, 100-101; viz též A. Flammenkam, New sociable numbers, Mathematics of Comutation 56, 194, 1991, 871-873. 13

3. Mersennova čísla Informovat Mersenna o objevu znamená oznámit to celé Evroě. Dobové rčení V minulosti často vyslovovaná domněnka, že M = 2 1 je rvočíslo, když je rvočíslo, nelatí. V r. 1536 Hudalricus Regius 11 našel ve svém díle Utriusque Arithmetices rozklad čísla 2 1 = 2 047, čímž dokázal, že není rvočíslem ( 2047 = 23 89). Objevil tak rvní 1 rvočíslo, ro které 2 (2 1) není dokonalé. Současně zjistil, že 13 2 1 = 8191 je rvočíslo tím, že dokázal, že átým dokonalým číslem 12 13 je 2 (2 10) = 33 550 336. Protože toto dokonalé číslo má 8 cifer, ořel současně Nikomachovou domněnku o očtu cifer dokonalého čísla (viz ka.1). V r. 1555 uvádí J. Scheybl v oznámkách k řekladu Eukleidových Základů áté dokonalé číslo. Dílo ovšem bylo znovu objeveno až v roce 1977. V r. 1603 Pietro Cataldi 31 v díle Trattato de numeri erfetti ředkládá rvočinitele všech čísel do 800 a tabulku rvočísel do 750. Pomocí této tabulky dělením rvočísly menšími než druhá odmocnina dokázal, že 17 2 1 = 131 071 je rvočíslem 32 a současně dokonalým číslem 16 17 2 (2 1) = 8 589 869 056. Pořel tak další Nikomachovo ravidlo o střídání 6 a 8 na konci dokonalých čísel. Ověřil také, že 19 2 1 = 524 287 je rvočíslem, čímž našel sedmé dokonalé číslo. Na druhé straně, ve své Utriusque Arithmeticae nesrávně tvrdil, že 2 1 je rvočíslem i ro = 23, 29, 31, 37. Na to, že se Cataldi mýlil v říadě 23 a 37, uozornil Fermat v roce 1640. Euler roku 1738 ukázal, že Cataldi se mýlil i v říadě 29, ale ozději otvrdil jeho tvrzení ro 31. 31 P. A. Cataldi (1552-1626) rofesor matematiky ve Florencii i Bologni. Cataldi se okusil založit v Bologni nejstarší známou matematickou akademii. V ráci Traktát o nejkratším zůsobu nalezení druhých odmocnin z čísel, Bologna 1613, orvé navrhl očítaní odmocnin omocí řetězových zlomků, které zaisoval tak, jak to děláme my. 32 2 Poznamenejme, že 750 = 562 500 > 131 071. 14

Obr. 4. Deska označující náměstí Marina Mersenna v jeho rodném Oizé (v déartmentu Sarthe, dříve dét. Maine, Francie, foto M. Křížek). Mersennovým rvočíslem rozumíme číslo tvaru M = 2 1, které je současně rvočíslem. M. Mersenne 33 v roce 1644 íše, že ro {2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 67, 127, 257} je M rvočíslem, zatímco ro jiné hodnoty 257 dostaneme čísla složená. Ověření tohoto tvrzení nebylo jednoduché a trvalo až do období kolem roku 1947. V roce 1750 Euler ověřil hodnotu 31 a v roce 1867 Lucas 34 hodnotu 127. Roku 1877 Pervušin našel mezeru v Mersennově seznamu, když dokázal, že 2 61 1 je rvočíslem. Kolem roku 1900 zjistil Powers, že v seznamu chybějí i hodnoty 89 a 107. V roce 1922 ukázal Kraitchik, že exonent 257 nevede na rvočíslo. Jak bylo řečeno, terve kolem 1947 bylo definitivně zjištěno, že Mersennův seznam má mít tvar: {2, 3, 5, 7,13,17,19, 31, 61, 89, 107, 127}. 33 M. Mersenne, Cogitata Physico Mathematica, Paris, 1644. 34 F. E. A. Lucas (1842-1891) racoval o skončení studia na Ecole Normale jako asistent na ařížské observatoři a ozději učil matematiku na střední škole v Paříži. V roce 1975 ve francouzsko-ruské válce byl důstojníkem francouzského dělostřelectví. V roce 1885 ři slavnostném udělování cen odněcoval školáky, aby naadli Německo. V matematické komunitě je známý, kromě jiného, zejména svým testem rvočíselnosti a tzv. Lucasovými čísly. Proslavil se také svými očtářskými schonostmi. Zemřel na infekci o ořezání úlomkem sadlého talíře na solečenské slavnosti. 15

Obr. 5. Pamětní deska věnovaná Marinu Mersennovi, iniciátorovi vědeckého života v Evroě a duchovnímu otci Francouzské akademie věd (foto P. Křížek). Mersenne ozději 35 tvrdil, že M je rvočíslem, okud je k rvočíslem, které je o 3 větší nebo menší než nějaká mocnina 2 se sudým exonentem. Podle toho by číslo M 67 mělo být rvočíslem, 6 rotože 67 = 3 + 2. 35 M. Mersenne, Novarum Observationum Physico-Mathematicarum, Tomus III, Parisiis 1647, Ca. 21,. 182. 16

Obr. 6. Kostel v Oizé, v němž byl Marin Mersenne okřtěn. Pamětní deska z obr. 5 je umístěna vravo od vchodu. Vlevo od kostela se nachází Mersennovo náměstí (viz obr. 4, foto M. Křížek). V Cogitata Physico Mathematica 36 Mersenne dále íše: Ověření toho, že dané 15- nebo 20-místné číslo je rvočíslem, všemi známými současnými metodami by vyžadovalo celý život. Toto tvrzení by zůstalo ravdivé, kdyby se ostuně na scéně neobjevily nové myšlenky a očítače. Dnes oměrně snadno zjistíme, že z čísel M, kde je rvočíslo, je ro < 50 000 jenom 27 rvočísel. Není těžké nalézt kritéria, která znějí jednoduše, ale jejich realizace jednoduchá není. Nař. lze nahlédnout 37, že k tomu, aby řirozené číslo n bylo Mersennovým rvočíslem, je nutné a stačí, aby n bylo rvočíslo a aby číslo n + 1 nemělo lichého rvočíselného dělitele. Proto na nalezení všech Mersennových rvočísel ostačí dvojnásobná alikace Eratosthenova síta. Přijatelnější kritérium rvočíselnosti ro rvočísla > 2 našel Lucas. 38. Původně bylo formulováno oněkud nejasně, ani jeho důkaz 39 40 nebyl úlný. Lucasovo kritérium zjednodušil Derrick H. Lehmer. Nechť S = 1 2 a 2 2 S 2 k = S k 1 ro k = 2, 3,. Pak ro >2 je M rvočíslem, rávě když M. Ekvivalentní formulace je: S 1 2 Nechť 1 s = 4 a s k = s k 1 2 (mod (2 1)) ro k = 2,3,. Pak ro >2 je M rvočíslem, rávě když s = 0 1. K důkazu, že M 11 = 2 047 není rvočíslem, vede oslounost s 4; s 14; s 194; s 788; s 701; s 119; 1 2 3 4 5 6 s7 1877; s 240; s 282; s 1736( ) 8 9 10 mod 2047. 36 Je zajímavé oznamenat, že zde se také tá, které číslo má 60 dělitelů, a nalézá Platónovo řešení. 37 S. W. Golomb, Sets of rimes with intermediate density, Mathematica Scandinavica 3, 1955, 270. 38 F. E. A. Lucas, Théorie des fonctions numériques simlement ériodiques, American Journal of Mathematics 1, 1878, 184-240, 289-321, zejména str. 316. 39 D. H. Lehmer (1905-1991) je často nazýván otcem výočetní teorie čísel. Navrhl více jednoúčelových zařízení ro číselně teoretické výočty. Na rotest roti mccarthismu oustil univerzitu v Berkeley a čínskou větu o zbytcích ironicky nazýval tchajwanskou zbytkovou větou. 40 D. H. Lehmer, An extended theory of Lucas functions, Annals of Mathematics 31, 1930, 419-448. On Lucas' test for the rimality of Mersenne's numbers, J. London Mathematical Society 10, 1935, 162-165. 17

Tento tzv. Lucas-Lehmerův test je velmi výhodný, rotože umožňuje využívat dvojkovou soustavu oužívanou v očítačích. Jeho nevýhodou je, že nedává informaci o rvočinitelích. Tak nař. Lucas omocí svého testu dokázal v r. 1876 již jednou uvedený fakt, že číslo, 127 M které má 39 cifer, je rvočíslem. Je to současně největší rvočíslo nalezené v ředočítačové éře. Ve stejném roce dokázal Lucas, že M 67 je složené. Ale až v roce 1903 F. N. Cole 41 faktorizoval číslo 2 67 1, o kterém Mersenne tvrdil, že je rvočíslo. Této faktorizaci věnoval neděle tří let. V r. 1903 řednesl na ůdě Americké matematické solečnosti dnes již legendární řednášku beze slov, kterou Eric Temle Bell osal slovy: Cole, beztak málomluvný člověk, řistouil k tanuli, beze slov vzal křídu a sočítal 2 na 67-mou. Pak starostlivě odečetl 1 a jako výsledek získal číselné monstrum 147 573 952 589 676 412 927. Poté ořád beze slov, vyhledal ještě volné místo na tabuli a ručně vynásobil krok za krokem 193 707 721 761838 257 287. Když oba výočty souhlasily, dostalo se mu bouřlivých ovací. Cole se vrátil na své místo, stále bez jediného slova. Mersennova domněnka tak zmizela ve hlubinách matematických hrdinných ság. 41 Bulletin of the American Mathematical Society 10, 1903-4, 134-137. Frank Nelson Cole (20.9. 1861-26.5. 1926) o skončení středoškolských studií se vzdělával soukromně, dříve než nastouil v r. 1878 na Harvard. Jeho nadání mu otevřelo cestu ke stiendiu během studia a k odoře jeho cesty do Evroy v letech 1883-85, kdy studoval u F. Kleina. Po návratu nasal disertaci A contribution to the theory of the general equation of the sixth degree, za kterou mu byla v r. 1886 udělena hodnost Ph.D. Od roku 1895 byl až do své smrti rofesorem na Columbia University (jeho studenty byli kuř. Osgood a M. Bôcher). V letech 1896-1920 byl tajemníkem Americké matematické solečnosti a od r. 1987 hlavním editorem Bulletinu Americké matematické solečnosti. Založil dnes o něm ojmenovanou vysoce restižní cenu z algebry a teorie čísel. 18

Obr. 7. Frank Nelson Cole. V r. 1750 formuloval Euler následující tvrzení, které úlně dokázal až Lagrange v roce 1775: Když je rvočíslo takové, že 3 (mod4), ak 2 + 1 je dělitelem čísla M rávě tehdy, když 2 + 1 je rvočíslo. V říadě, že > 3, je M složené číslo. 42 Z tohoto tvrzení okamžitě dostaneme, že M 11 je dělitelné rvočíslem 23 = 2 11+ 1. Doosud známe nejméně (rotože vývoj jde rychle kuředu) 39 Mersennových rvočísel. 43 Jmenovitě 44 ro : 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1 279, 2 203, 2 281, 3 217, 4 253, 4 423, 9 689, 9 941, 11 213, 19 937, 21 701, 23 209, 44 497, 86 243, 110 503, 132 049, 216 091, 756 839, 859 433, 1 257 787, 1 398 269, 2 976 221, 3 021 377, 6 972 593, 13 466 917. 42 Ve skutečnosti nevíme, zda existuje nekonečně mnoho složených čísel tyu M. Z tzv. Schinzelovy hyotézy H lyne, že existuje nekonečně mnoho rvočísel takových, že i 2+1 je rvočíslo. 43 Dvacáté áté z nich objevili osmnáctiletí kalifornští středoškoláci Curt Noll a Laura Nickel v roce 1987. 44 Pro říadné další hodnoty viz htt://www.utm.edu/research/rimes/largest.html. 19

z hyotéz 45 Existuje více názorů na očet Mersennových rvočísel. Jedna říká, že existuje konečná nenulová limita limx M( x) / log x, kde M (x) je očet Mersennových rvočísel neřesahujících x. 4. Malá Fermatova věta Nikdo ještě neobjevil válečný záměr, kterému by osloužila teorie čísel nebo relativity, a je neravděodobné, že by se to v blízké době někomu odařilo. G. H. Hardy, Obrana matematikova Ve studiu dokonalých a Mersennových čísel velice okročil Pierre de Fermat. V roce 1636 íše Robervalovi, že racuje na této roblematice, v níž udělal velký okrok, řestože je velice obtížná, a míní na to téma nasat ojednání. Dílo nebylo nikdy sesáno. Fermat v doisu 46 Mersennovi nasal, že zná metodu, která mu umožňuje řešit všechny otázky kolem alikvotních částí. Na tuto oznámku navázal Frénicle de Bessy 47 a řes Mersenna vyzval Fermata, aby našel dokonalé číslo, které má dvacet nebo více cifer. Fermat na to odověděl Mersennovi, 48 že dokonalé číslo s 20 nebo 21 ciframi neexistuje, což odorovalo tehdejšímu řesvědčení, že existuje dokonalé číslo mezi každými dvěma mocninami čísla 10. Přesněji íše: Našel jsem zkratku ro hledání dokonalých čísel a hned na začátku říkám, že není takové s 20 nebo 21 ciframi. To vyvrací domněnku těch, kteří věřili, že v rozsahu každé mocniny 10 existuje takové; takové jako od 1 do 10, jiné od 10 do 100, další od 100 do 1 000, atd. Tomu není tak, jak ukazuje tento říklad: od 10 000 000 000 000 000 000 do další mocniny 10 neexistuje žádné, stejně jako od této mocniny 10 o následující. Fermat ozději 49 oznamuje Mersennovi tři tvrzení, která je údajně schoen bez velkých otíží dokázat a která tvoří základ ráce s dokonalými čísly. Tato tvrzení jsou následující: 1. Je-li n složené, je i 2 n 1 složené. 2. Je-li n rvočíslem, ak je 2 n 2 dělitelné číslem 2n. 3. Je-li n rvočíslem, ak 2 n 1 je dělitelné jedině rvočísly tvaru 2kn + 1. 45 D. B. Gilles, Three new Mersenne rimes and a statistical theory, Mathematics of Comutation 18, 1964, 93-97. 46 Ze dne 26.12.1638. 47 Bernard Frénicle de Bessy (1605?-1675), astronom, fyzik a číselný teoretik z Paříže. 48 Květen 1640. 49 Červen 1640. 20

Fermat racoval s Mersennovými čísly Zjistil řitom zajímavou skutečnost: M asi do hodnoty = 23. Každé rvočíslo q, které dělí M, dává zbytek 1 o dělení, tj. když q M, ak q 1 (mod ). Protože každý dělitel d čísla M je součinem rvočísel, nutně d 1 (mod ) ro každého dělitele čísla M, seciálně i ro d = M, tj. 2 1 0 mod. ( ) Později Fermat zjistil 50, že základ 2 nemá v tomto tvrzení žádnou seciální roli, což jej vedlo k tvrzení, dnes nazývanému Malá Fermatova věta (MFV), výsledku, který hraje fundamentální roli v mnoha důkazech v teorii čísel a je rototyem důležitých vět algebry: 51 Malá Fermatova věta: Když je rvočíslo, ak ro každé b nesoudělné s latí b 1 1 (mod ). Velikou úlevou ři hledání faktorů Mersennových čísel bylo rávě třetí tvrzení, které si zde dokážeme, abychom ukázali roli MFV: Když > 2 je rvočíslo, ak rvočíselní dělitelé čísla 2 1 jsou tvaru 2k + 1. D ů k a z: Nechť q > 2 je rvočíselným dělitelem čísla 2 1. Nechť d d označuje nejmenší exonent, ro který q 2 1. Zřejmě d > 1. x Z minimálnosti d lyne: když 2 1 (mod q), ak d x. Pak nutně d, rotože q 2 1. Jelikož d > 1, latí d =. Z MFV lyne q 2 q 1 1, což z ředchozího imlikuje, že d q 1. Na druhé straně jsme viděli, že d =, a roto q 1 = t ro t řirozené. Protože je liché a q 1 je sudé, číslo t musí být sudé, tj. q = 2k + 1. 11 Když chceme ověřit, že číslo 2 047 = 2 1 je rvočíslo, ak oužitím nejjednodušší techniky, jakou je Eratosthenovo síto, 52 otřebujeme toto číslo vydělit všemi lichými rvočísly ne většími než 2047 < 46. Tato jsou 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 a 43. Použitím uvedeného tvrzení dostaneme, že mezi těmito 50 Dois Fréniclu de Bessy ze dne 18.10.1640. 51 W. Sieriński uvádí ve své Teoria liczb, II, PWN, Varšava 1959, str. 177, že odle H. Barycze (Dzielo literacke Jana Brożka, Pamiętnik Literacki XLV, 1954, sešit 1, str. 3) tento výsledek objevil řed Fermatem Jan Brożek (1585-1672), rofesor Krakovské akademie. 52 Přiomeňme jen, že v ůvodní formě Eratosthenova síta se vyškrtávají ostuně všechny celé násobky. Škrtání ouze násobků rvočísel menších než druhá mocnina rověřovaného čísla navrhl orvé Leonardo Pisano (Fibonacci) ve své Liber Abaci vydané v r. 1202 v Bologni. 21

rvočísly je jenom jediné, které je tvaru 22 k + 1, a to 23. To skutečně vede na faktorizaci 2 047 = 23 89, tj. M 11 je složené. Použitím tohoto výsledku ravděodobně nahlédl Fermat, že 23 Cataldiho domněnka o rvočíselnosti čísla 2 1 není srávná, což sdělil Mersennovi doisem v červnu 1640. Frénicle de Bessy začal komunikovat s Mersennem v r. 1634 a asi od oloviny roku 1640 římo s Fermatem. Jejich vzájemná koresondence obsahovala nejméně 11 doisů, z nichž jenom šest je známých v lném rozsahu. 53 Když Frénicle vyzval k nalezení dokonalého čísla qui ayt 20 lettres, ou le rochainement suivant, tak s největší ravděodobností znal M, 31 které, jak vidíme z tabulky, má 19 cifer. Následující rvočíslo řiadající v úvahu je ro = 37. To však vede na číslo v hranicích 20 20 mezi 94 10 a 95 10, tj. k číslu s 22 ciframi. Existují náznaky, že si Fermat ůvodně myslel, že toto číslo dává dokonalé číslo. V olovině června 1640 íše Mersennovi: Konečně, vy nebo já jsem udělal chybu v některých cifrách čísla, o kterém jsem si myslel, že je dokonalé, kterou lehce oznáte, rotože jsem dal 137 438 953 471 ro jeho kmen, ro které jsem mezičasem našel zkratkou omocí mého třetího tvrzení, že je dělitelné číslem 223. 37 Udané číslo je 2 1. Podle Fermatova třetího tvrzení stačí ověřit dělitelnost ro 75, 149 a 223. Weil 54 si myslí, že se jednalo o nastraženou ast, do níž se Fermat téměř chytil. 55 Je velmi neravděodobné, že by se Fermat neokoušel i o faktorizaci dalšího kandidáta = 41, jehož nejmenší rvočíselný faktor je oměrně velký: 43 13 367. Na druhé straně nejmenší rvočíselný faktor čísla 2 1 je malý: 431. Fermat nikdy neublikoval důkaz MFV, řestože tvrdil, že jej může kdykoli dodat. První ublikovaný důkaz tohoto výsledku ochází od Eulera z r. 1736. První důkaz 56 odal Euler 57 nejdřív ro rvočíselný modul. Důkaz byl založen na binomické větě ( a b) = a + b ( mod ) +. Gauss 58 zakládá svůj důkaz na její olynomiální verzi 53 C. R. Fletcher, A reconstruction of the Frénicle-Fermat corresondence, Historia Mathematica 18, 1991, 344-351. 54 A. Weil, Number Theory, Birkhäuser, Boston 1983, str. 55. 55 I když je možné, že s částečnou omocí Frénicla de Bessy z ní vycouval. Nezaomínejme, že i když Frénicle de Bessy nebyl matematikem Fermatova formátu, jako samouk dosáhl ozoruhodných výsledků a je často označován o Fermatovi za druhého francouzského číselného teoretika své doby. Od r. 1666 byl členem Francouzské akademie věd. 56 Podle Gausse (Disquisitiones Arithmeticae v oznámce k článku 50) důkaz měl i G. W. Leibniz; viz. Leibnizens Math. Schriften, (G. J. Gerhardt ed.) 18, 1640. Stejný důkaz jako Leibniz našel i A. Cauchy, Mém. Acad. Sci. Paris 2, 1841, 79-81; Oeuvres, (1), 3, 163-164. 57 Petro. Comm. 8, 1736, str. 141 = Comm. Ar. Coll. 1, str. 21; odobný důkaz našel i J. H. Lambert, Act. Erudit. 1769, str. 109. 22

( a b + c + ) = a + b + c + ( mod ) +. Důkaz založený na jiném ostuu odal Lagrange. 59 Hlavní myšlenka vychází z rozvoje součinu x + 1 x + 2 x + 1. ( ) ( ) ( ) Později Euler 60 našel další důkaz, který sočívá na stejné myšlence jako jeden z Gaussových důkazů. 61 Euler nakonec zobecnil 62 Fermatovou větu na libovolný modul. K její fomulaci otřebuje definovat novou funkci: Eulerova funkce 63 ϕ ( n) je definována jako očet řirozených čísel neřevyšujících n, která jsou nesoudělná s n. Eulerova - Fermatova věta ak zní: Pro každé řirozené n a každé celé číslo a nesoudělné s n latí ϕ ( n) a 1 0 (mod n). Jak Malá Fermatova věta, tak i její Eulerovo zobecnění řitahovaly (a stále řitahují) ozornost ro svoji jednoduchost a důležitost, s cílem najít jejich další zobecnění. Uveďme jenom několik z nich. P. A. MacMahon 64 ověřil 65 MFV tím, že dokázal, že očet cyklických ermutací s oakováním různých rvků n -té třídy se rovná 1 n/ d ϕ( d). n dn Když n je rvočíslo, dostaneme odtud n n + ( n 1) 0 (mod n), tj. (mod n). Tímto zůsobem je možné dokázat i Eulerovo rozšíření. 66 58 Disquisitiones Arithmeticae, čl. 51. 59 Ac. De Berlin, Nouv. mém. 2 (1773), année 1771, str. 125 = Oeuv. 3, str. 425. 60 Petr. Comm. nov. 7 (1758/59), str. 49 = Comm. Ar. coll. 1, str. 260. 61 Disquisitiones Arithmeticae, čl. 49. 62 Petro. Comm. nov. 8 (1760/61), str. 74 = Comment. Ar. coll. 1, str. 274. 63 Označení ϕ ( n) oužil orvé Gauss (Disquisitiones Arithmeticae, čl. 38), který tuto funkci zavedl. Přesto se oužívá označení Eulerova funkce, rotože Euler (Petro. N. Comment. 8, 1760/61, str. 74 = Comm. Arithm. coll. 1, str. 531) jako rvní udal její obecný vztah ro mocniny rvočísel. 64 Percy Alexander MacMahon byl majorem v British Royal Artillery a byl znám jako skvělý očtář. Pomocí rekurentního vztahu ro očet (n) vyjádření řirozeného čísla n jako součet řirozených čísel určil řesné hodnoty (n) ro n neřesahující 200. Nař. (200) = 3 972 999 029 388. Ve svých racích z kombinatorické teorie ermutací dokázal mnoho zajímavých výsledků. 65 Proc. London Math. Soc. 23, 1891-2, 305-313. 66 Jiné důkazy založené na ermutacích (nebo modifikacích) odali: J. Petersen, Tidsskrift for Mathematik (3), 2, 1872, 64-65 (dánsky); Petersen tu hlavně dokazuje Wilsonovou větu, ale seciální volbou dostává i MFV. Petersenův důkaz Wilsonovy věty objevil i K. Petr v Časoise ro ěstování mathematiky a fysiky 34, 1905, 164; J. Perrot, Bull. des Sc. Math. 24, I, 1900, 175; Bricard, Nouv. Ann. Math. (4), 3, 1903, 340-342. 23

Jacobi 67 jako rvní obrátil ozornost k úloze vyšetřovat, kdy kongruence a 1 1 (mod ) ro nějaké a {1, 2,..., 1} latí i ro modulo 2. V tomto směru ak okračovali Eisenstein, 68 Stern, 69 Mirimanoff 70 a Sylvester. 71 Dnes víme, že MFV je seciálním říadem Lagrangeovy věty z teorie gru, která říká: V každé konečné gruě je řád každého rvku dělitelem řádu gruy. * V našem říadě konečnou gruou je multilikativní grua Z n redukovaných zbytkových tříd modulo n. V říadě, že n je rvočíslo, je tato grua navíc cyklická. V obecném říadě Eulerova funkce ϕ ( n) udává vlastně řád gruy Z * n. Budeme-li okračovat v této gruové terminologii, ak víme, že řád gruy není nejmenším číslem s touto vlastností. Tím nejmenším číslem je tzv. exonent gruy, který dostaneme jako nejmenší solečný násobek řádů všech rvků dané konečné gruy. Zobecnění Eulerovy- Fermatovy věty nalezená ve snaze oužít ji jako test rvočíselnosti vedla * k tomu, že rvní formuli ro tento exonent objevil v říadě Z n matematik Carmichael. 72 Dnes nazýváme Carmichaelovou funkcí: λ ( n) = n.s.n. 2 ϕ 1 α 2 ( n) αi { λ( ); i = 1,, k } ro ro ro ro n = 1, α n = 2, α > 2, α n = 2, 4 nebo ro liché, αi αi n =, 1 k kde ϕ je Eulerova funkce, a 1 < 2 < < k jsou rvočísla a kde n.s.n. je nejmenší solečný násobek. O obecně rozdílných hodnotách obou funkcí svědčí následující tabulka: n 2 6 8 15 18 21 24 32 36 42 63 70 80 ϕ( n) 1 2 4 8 6 12 8 16 12 12 36 24 32 67 Journ. f. Math. 3, 1828, 301. 68 Berl. Monatsber. 1850, str. 41. 69 Journ. f. Math. 100, 1887, str. 182. 70 Journ. f. Math. 115, 1895, str. 295. 71 C.R. Paris 52, 1861, str. 161. 72 Americký matematik Robert Daniel Carmichael (1879-1967), jehož široký matematický záběr zahrnoval reálnou analýzu, diferenciální rovnice, matematickou fyziku, teorii gru a teorii čísel. Jeho PhD disertace z r. 1911 z Princetonu, nasaná od vedením G. D. Birkhoffa, byla rvním významným americkým řísěvkem k teorii diferenciálních rovnic. Note on a new number theory function, Bulletin of the American Mathematical Society 16, 1909/10, 232-238. 24

λ( n) 1 2 2 4 6 6 2 8 6 6 6 12 4 Carmichaelova funkce vede k výsledku, že nejefektivnější (vzhledem k velikosti exonentu) je následující verze Eulerovy-Fermatovy věty: Pro každé řirozené n > 1 a každé celé číslo a nesoudělné s n λ ( n) latí a 1 0 (mod n). Nevýhodou této formulace je, že nelatí ro všechna a. Z tohoto ohledu našel univerzální zobecnění P. Bachmann, 73 odle něhož latí: 74 1 Nechť... k n= α 1 α k je rozklad čísla na mocniny různých rvočísel. Pak ro každé a je H( n) +λ ( n) H( n a a ) (mod n), kde Hn ( ) = max{ α1,..., α k }. Čísla Hn ( ) a λ ( n) jsou nejmenší možná, ro která kongruence latí ro každé a. 5. Fermatovská seudorvočísla Problém rozlišení rvočísel od čísel složených a rozkladu složených čísel na rvočísla je jedním z nejdůležitějších a nejužitečnějších v celé aritmetice. Carl Friedrich Gauss V nedávné minulosti vzrostl z důvodu silného zájmu o faktorizaci celých čísel zájem o MFV jako rostředku ke zjišťování, zda konkrétní číslo je složené či nikoliv. A rávě MFV byla jedním z rvních nástrojů v tomto směru, jak již naznačily ředchozí řádky. Hlavní roblém je v tom, že MFV se v obecnosti nedá obrátit, tj. okud latí tvrzení věty 1 a 1 (mod ) ro nějaké a, ro které ( a, ) = 1, ak ještě nemusí být rvočíslo. Lucas 75 uvádí říklad n = 2 701 = 73 37. Vidíme, že 9 2 1 (mod 73), a roto též 2 36 1 (mod 73). Protože 36 2 1 (mod 37), 36 ak sojením dostaneme 2 1 (mod n). Jelikož n 1 = 36 75, rotiříklad latí. Nejmenším rotiříkladem je číslo 341 = 11 31, ro 73 P. Bachmann, Niedere Zahlentheorie, I, 1902, 157-158; II, 1910, 43-44. 74 Pro další zobecnění viz M. Laššák, Š. Porubský, Fermat-Euler theorem in algebraic number fields, Journal of Number Theory 60, 1996, 254-290. 75 F. E. A. Lucas, Théorie des nombres, 1891, str. 422. 25

které 1 ( mod 341) 2 340. Tato vlastnost čísla 341 byla orvé zaznamenána v r. 1830. 76 Logická konverze MFV dává následující fermatovský test složenosti : Jestliže nelatí ak N je složené. N a 1 (mod N) 1 ro nějaké a slňující ( an, ) = 1, Obr. 8. Pierre de Fermat. 76 Anonymous, Théorèmes et roblèmes sur les nombres; Journal für die reine und angewandte Mathematik 6, 1830, 100-106. 26

Poznamenejme, že tento fermatovský test je výočetně velmi výhodný, vyžaduje nejvíce 2 log 2 N kroků, kde od krokem rozumíme násobení dvou čísel modulo N a následnou redukci modulo N. Tento d odhad souvisí se skutečností, že složitost výočtu a (mod N ) závisí na očtu jedniček v binárním rozvoji čísla d, který se ohybuje od log2 d do 2 log 2 d, což v růměru vede k odhadu 1, 5 log 2 d. Pro d = N 1 dostaneme růměrný očet nutných násobení a redukcí (mod N ) rovný řibližně 1, 5 log 2 N, což je tzv. algoritmus olynomiálního řádu. Když oužijeme základ a = 3, ak číslo 341 roadne: 3 340 = 56 ( mod 341), tj. 341 je skutečně složené. Liché složené číslo N, ro které N a 1 1 (mod N) se nazývá (fermatovské) seudorvočíslo ři základu a. Snadno lze ověřit, že existuje 245 fermatovských seudorvočísel menších než 1 000 000, zatímco existuje 78 498 rvočísel od touto mezí. Z výočtů lyne, 77 že existuje 21853 fermatovských seudorvočísel 9 ři základu 2 mezi čísly menšími než 25 10. Když je rozkoušíme i ro základ 3, ak z nich zůstane jenom 4 709. Z nich dále řežije základ 5 jenom 2 552 a základ 7 již jen 1770. Otázka, zda řijatelnou volbou základů můžeme eliminovat fermatovská seudorvočísla v testech rvočíselnosti, má záornou N 1 odověď. Složená čísla N, která mají tu vlastnost, že a 1 (mod N) ro každé a slňující ( an, ) = 1, existují a nazývají se Carmichaelova. 78 Nejmenší z nich je 561 = 3 11 17. Existuje 2163 Carmichaelových 79 rvočísel menších než 25 10 9. Po dlouhém úsilí matematiků se odařilo W. R. Alfordovi, A. Granvillemu a C. Pomerancemu 80 dokázat, že existuje nekonečně mnoho Carmichaelových čísel. 81 Chceme-li najít obrácení MFV, je třeba analyzovat uvedený Lucasův k rotiříklad. Budiž k nejmenší exonent, ro který a 1 (mod n). Pak 77 C. Pomerance, J. L. Selfridge, S. S. Wagstaff, The seudorimes to 25.10 9, Mathematics of Comutation 35, 1980, 1003-1026. 78 On comosite numbers P which satisfy the Fermat congruence P-1 A 1 ( mod P ), American Mathematical Monthly 19, 1912, 22-27. 79 Pro ozorného čtenáře necháme k zodovězení otázku, jak je možné, že existuje víc Carmichaelových čísel od hranicí 25.10 9, než oněch 1770 čísel, která nejsou fermatovskými seudorvočísly ři základech 2, 3, 5 a 7. 80 W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Mathematics (2) 139, No.3, 1994, 703-722. 81 Přehled a diskusi výsledků kolem Carmichaelových čísel najde čtenář v ráci C. Pomerance, Carmichael numbers, Nieuw Archiv foor Wiskunde, IV. Ser., 11, No. 3, 1993, 199-209. 27

je možné jednoduše dokázat, že k ϕ ( n), tj. k ϕ( n). Když k = n 1 ro nějaké a, ak z výše uvedené dělitelnosti lyne n 1 ϕ( n). Na druhé straně, z definice ϕ ( n) lyne, že ϕ( n) n 1. Ovšem rovnost n 1 = ϕ( n) je možná, jedině když n je rvočíslo. Tímto zůsobem Lucas 82 dokázal následující obrácení MFV: x Jestliže je a 1 dělitelné číslem x ro x= n 1, ale žádným dělitelem čísla n 1, který je menší n 1, ak n je rvočíslo. Nař. ro a = 3 a 65537 2 16 2 3 16 n = = + 1 jsou mocniny 1,2,2,2,...,2 16 dělitelé čísla n 1. Ovšem jedině ro x = 2 je 3 x = 1 ( mod 65537), a roto 65 537 je rvočíslem. D. H. Lehmer řeformuloval Lucasův výsledek následujícím zůsobem: 1 k Nechť N 1 = β 1... β k je rozklad čísla N 1 na součin mocnin různých rvočísel. Když existuje a takové, že ro každé j = 1, 2,..., k nelatí ( N 1) / a j 1 (mod N), ale latí N a 1 1 (mod N), ak N je rvočíslem. Myšlenka důkazu této věty sočívá na faktu, že okud N je rvočíslo, ak ro řád ϕ ( n) gruy nesoudělných tříd latí ϕ ( N) = N 1. Pokud N je složené, je ϕ ( N) < N 1. Navíc je tato grua v říadě rvočísla cyklická, tj. generovaná jedním svým rvkem, který musí být řádu N 1. Uvedené odmínky garantují, že takový rvek existuje. Je oměrně málo známou skutečností, že jedním z rvních, kdo se zajímal o obrácení MFV, byl János Bolyai. 83 V jednom nedatovaném doisu íše svému otci: Neochybuji, že se mi velice brzo odaří najít formuli ro rvočísla. Přitom měl na mysli nejenom racionální rvočísla, ale i rvočísla v oboru Gaussových celých čísel. Hlavní zbraní řitom měla být s největší ravděodností MFV. V doisu otci z května 84 1855 informuje o objevu, že 341 je seudorvočíslem ři základu 2 (v naší terminologii). Při té říležitosti objevil i výsledek, že okud a q 82 F. E. A. Lucas, Théorie des nombres, 1891, str. 423, 441. 83 J. Bolyai (1802-1860), jeden z objevitelů neekleidovkých geometrií. 84 E. Kiss, Notes on János Bolyai's researches in number theory, Historia Mathematica 26, 1999, 68-76. 28

1 jsou různá rvočísla (tj. 2 1 (mod ), ak q 2 1 1 mod q ; tento výsledek je často řiisován Jeansovi. 85 ( ) q a 2 1 1 ( mod q) ) 6. Wilsonova věta Stěží se najde matematik, který by neztratil soustu času na to, aby odhalil tajemství rvočísel. Leonhard Euler Příbuzný výsledek k MFV, známý dnes od jménem Wilsonova věta, ublikoval v r. 1770 Edward Waring 86 a řisal jej Siru Johnu Wilsonovi (1741-1793):. Je-li je rvočíslo, ak součet 1+ 1.2 ( 1) je dělitelný číslem Tento výsledek v následující modifikové formě byl objeven i v rukoisu Leibnizově 87 : Je-li je rvočíslo, ak ( 1)! 1 ( mod ). V roce 1773 Lagrange ublikoval 88 rvní důkaz tohoto výsledku a též dokázal, že tvrzení latí i obráceně: když 1+ 1.2...( n 1) je dělitelné n, ak n je rvočíslo. To ukazuje, že tvrzení je ekvivalentní rvočíselnosti. Protože ( 1)! může být obrovské číslo, 89 je tento výsledek neoužitelný ro testování rvočíselnosti. Na druhé straně je zajímavé, že Lagrange odvodil MFV z Wilsonovy věty. 85 J. H. Jeans, The converse of Fermat's theorem, Messenger of Mathematics 27, 1897/98, 174. 86 Meditationes Algebraicae, Cambridge 1770, str. 218, 3.vydání 1782, str. 380. 87 G. W. Leibniz, Manuscrits inédits conservés à Bibliothèque de Hannover et ubliés dans le Formulaire de Mathématique, t. 2, N.3,1899, ar M.Vacca, t. 3., B. 11, fol. 10. 88 Nouv. Mém. Acad. Roy. Berlin 2, 1773, anneé 1771,. 125 = Oeuvres 3, 1869, str. 425. 89 Ze Stirlingova vzorce (J. Stirling, Methodus differentialis, Londýn 1730, str.135) dostaneme, n že n! = n 2π n ex( n + θ /( 12n) ) ro jisté 0 < θ < 1 neboli n n n 1/12n n 2πn < n! < n e e 2πn. Tyto nerovnosti jsou těsné ro velké 1/12n hodnoty n, rotože e 1. Logaritmováním získáme odhad očtu cifer. Nař. ro n = 10 000 dostaneme log 10 000! 35 659,454, rotože log e 0,43429, log π 0,49715, log 2 0,30103. 10 000! má 35 660 dekadických cifer. 29