U Úvod do modelování a simulace systémů

U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení nesmí dostat, popř. je nutno ověřovat chování zařízení ještě ve fázi jejich návrhu. V těchto a dalších případech je vhodné a efektivní pro účely zkoumání využívat modely těchto soustav. Podle své podstaty lze modely rozdělit do dvou skupin: Fyzický (fyzikální) model vychází z fyzikální nebo geometrické podobnosti mezi skutečnou soustavou a modelem. Model je většinou zmenšenina reálného systému ve stanoveném měřítku. Jako příklad můžeme uvést zkoumání aerodynamických vlastností silničních vozidel v aerodynamickém tunelu nebo ovladatelnosti lodí na jejím modelu v experimentálním kanále. Matematický model představuje abstraktní systém, popisující zkoumanou soustavu pomocí stanoveného formalizovaného zápisu. Nejčastěji se využívá systému normálních nebo diferenciálních rovnic. Tyto modely neumožňují realizovat experimenty založené na fyzikální podstatě. Tento model však samostatně není schopen dávat informace potřebné pro hodnocení zkoumaného děje. Ty získáme teprve řešením tohoto modelu, nejčastěji pomocí numerického řešení na číslicových nebo analogových počítačích. za použití vhodných simulačních nástrojů (software). Způsob modelování se liší podle kritéria přiřazení modelu k originálu. Vycházíme z [Noskievič, 999]: podobnosti která představuje jednoznačné vzájemné přiřazení vlastností, struktury a chování. o Fyzikální podobnost podobnost mezi systémy a procesy na základě geometrické podobnosti parametrů a stavových veličin. o Matematická podobnost podobnost mající stejný matematický popis. o Kybernetická podobnost matematická podobnost vnějšího chování modelu a popisovaného systému. Pomocí této podobnosti nepopisujeme vnitřní strukturu systému, vnímáme jej jako černou skříňku. analogie která představuje matematickou podobnost modelu od fyzikálně odlišného popisovaného systému. Příkladem může být popisování spolehlivosti soustavy jednotlivých prvků řazených sériově, která se modeluje pomocí analogie se stanovení kapacity elektrického obvodu sestaveného z kapacit ve stejném řazení. U. Základní pojmy Na úvod této problematiky je nutné stručně charakterizovat základní pojmy, se kterými budeme v dalším textu pracovat: Simulace systému označuje techniky studia určitých vlastností systému na jeho modelu. Systém představuje určitým způsobem uspořádaná množinu komponent (příznaků), systémově označovaných Q Q = { Q, Q, 2, } L a vazeb (relací) mezi nimi, označované symbolem R R = { R, R, 2, } Q m L R n

Okolí systému vnější prostředí, do kterého je systém zasazený a se kterým komunikuje pomocí vstupních a výstupních kanálů. Rozhraní mezi systémem a jeho okolím musí splňovat podmínku separatibility systému. Systém je saparatibilní, jestliže jeho výstupy nepůsobí na okolí tak, že se mění vstupy systému. Jinak řečeno: působení okolí na systém není podstatných způsobem závislé na chování a vlastnostech systému [Noskievič, 992]. Propojení jsou komunikační kanály mezi komponentami pomocí kterých mezi sebou tyto komponenty komunikují. Struktura systému množina komponent, tvořících daný systém a jejich vzájemná propojení. Schématicky můžeme strukturu zapsat jako přiřazení S: {( Q, Q R )} S =, kde: Q i Q j R k i j k vstupní komponenta(příznak) vazby R výstupní komponenta (příznak) vazby R vazba (relace) systému Obr. U.: Struktura systému a proměnné. Proměnné systému Proměnné můžeme popsat jako vektory, definované na univerzu W systému. { w, w2, } W =, L w q Vstupní a výstupní proměnné systému popisují proměnné, pomocí kterých systém komunikuje přes vstupní a výstupní kanály s okolím. Vstupní proměnné systému budeme označovat symbolem u a jsou charakterizované vektorem:

u u2 = M u o u, popř.: u = [ u u L ] T 2 Výstupní proměnné budeme označovat symbolem y a popisovat vektorem: y y = M 2 y p u o y, popř.: y = [ y y L ] T 2 y o Proměnné, které popisují parametry uvnitř modelu charakterizujeme jako proměnné stavové s vektorem: x x2 = M x t x, popř.: x = [ x x L ] T 2 x o Podle vnitřního uspořádání modely dělíme na: Vnitřní model systému (modely struktury) kde vnitřní struktura je popsaná jako soubor komponent Q a jejich propojení R. Tímto modelem budeme rozumět takový popis systému, který transformuje vektor vstupů u na vektor vnitřních stavů x, jejich transformaci je možno získat vektor výstupních veličin y. Stavové modely můžeme popisovat pomocí soustav rovnic diferenciálních a diferenčních, nebo soustavou příznaků Q a relací R ve formě kartézského součinu: S Q Q R i j k Jako příklad může sloužit elektronický logický obvod, který je sestaven z několika logických členů. Vnější model systému (modely chování) vychází z popisu daného systému pomocí vektoru vstupů u a vektoru výstupů y - na systém se můžeme dívat jako na černou skříňku (bez znalosti jeho struktury). Vlastnosti systému zkoumáme při sledování odezvy systému na předem definované hodnota vstupních proměnných u. Tomuto postupu říkáme identifikace systému. Pro popis spojitých i diskrétních systémů se používají diferenciální či diferenční rovnice vyššího než prvního řádu. Toto chování je definované pomocí soustavy funkčních vztahů zobrazujících hodnoty vstupních a stavových proměnných do nového stavu a hodnot výstupních proměnných.

Obr. U.3: Princip identifikace vnějšího modelu systému. Pro statický systém platí, že výstup systému je jednoznačně definován jeho vstupem. Dokončit charakteristiku statického systému podle [Noskievič, 999] Systém je dynamický, jestliže výstup y není jednoznačně určen pouze vstupy u, ale závisí také na čase. Jeho popis je vyjádřen pomocí vektorové stavové rovnice, popisující změnu stavového vektoru x& v čase a vektorové výstupní rovnice y, popisující závislost výstupů na vstupech a stavu systému, znázorněný rovnicemi: x& = f y = g ( x,u) ( x,u) s vektorem počátečního stavu x(0)=x 0 kde f, g jsou obecně nelineární funkce. Jestliže funkce f, g jsou nezávislé na čase, systém nemění v čase své vlastnosti, parametry modelu jsou konstantní, pak hovoříme o systému stacionárním, t-invariantním. Pokud systém mění v čase své vlastnosti, jedná se o systém nestacionární t-variantní. Model systému je popsán funkcemi závislými explicitně na čase: x & = f ( x,u,t) y = g ( x,u,t) s vektorem počátečního stavu x(0)=x 0 Stav systému představuje okamžité hodnoty jeho stavových proměnných x(t), ev. stavy komponent v daném okamžiku. Systém dělíme podle definičního oboru proměnných (viz Obr. U.3) na: diskrétní - hodnota proměnných se mění nespojitě v určitých časových okamžicích; spojitý proměnné mění svoje hodnoty spojitě ve sledovaném čase.

a) b) Obr.U.3: Definiční obor systému. a) diskrétní, b) spojitý. Podle vlastností chování systému provádíme dělení : deterministické systémy hodnoty proměnných jsou v každém okamžiku přesně definovány, při stejných podmínkách jsou výsledky simulace stejné. stochastické systémy proměnné se chovají náhodně podle určené pravděpodobnosti. Znázorňování modelů Strukturu systému můžeme znázorňovat několika způsoby. Nejčastěji se používají znázorňování struktury pomocí: relační strukturní matice orientované grafy o blokové schéma o stavové schéma o signální schéma Strukturní matice systému Pomocí strukturní matice znázorňujeme zápis struktury systému vyjádřenou podle U.. řádky matice odpovídají relacím R i a sloupce odpovídají jednotlivým příznakům Q j v systému. Výstupní příznak z dané relace je umístěn na hlavní diagonále matice. Prvky strukturní matice r ij nabývají hodnot r ij = účastní-li se j-tý příznak relace R i r ij = 0 neúčastní-li se j-tý příznak relace R i Q 5 Q 4 Q 3 Q 2 Q R 0 0 0 R 2 0 0 R 3 0 0 R 4 0 0 0

Obr. U.4: příklad strukturní matice systému. Z matice strukturního systému podle Obr. U.4 je možno sestavit vztahy popisující jednotlivé relace: R : Q 5 = f (Q ) R 3 : Q 3 = f 3 (Q 4,Q ) a následující. Ty příznaky, které nejsou výstupem žádné z relací představují vstupní příznaky. V příkladu podle Obr. U.4 je vstupem příznak Q. Grafické znázornění struktury Nejčastějším používaným prostředkem pro znázornění struktury systému je orientovaný graf. Představuje posloupnost uzlů a orientovaných hran. Tento princip se používá pro realizaci : blokových schémat signálových schémat. Blokové schéma V tomto orientovaném grafu uzly představují tzv. bloky, odpovídající relacím systému a hrany představující příznaky systému. Podle teorie grafů příznak na výstupu relace představuje vstupní příznak navazující relace. To znamená, že blok představující relaci popisuje transformaci proměnné popsané v tomto schématu jako orientovaná hrana. prvky tohoto zobrazení je možno pracovat (zjednodušovat) pomocí pravidel blokové algebry.. Funkce bloku (transformace) je popsána pomocí dalších nástrojů, jako jsou operátorové funkce, přenosové funkce, stavové popisy, diferenciální rovnice a další charakteristiky, které budou popsána v dalším textu. Ukázka blokového schématu je na obrázku Obr. U.5. Obr. U.5: Blokové schéma systému. Stavové schéma Stavové schéma je zvláštním případem blokových schémat. Vycházejí ze stejného principu orientovaného grafu, rozdíl je v tom, že uzly znázorňují pouze základní relace: integrace jako základní dynamická relace statická relace jako je násobení, dělení. Signály přestavované orientovanými hranami je možno sčítat a odčítat pomocí sumačních členů. Složité dynamické relace je nutno rozložit na tyto atomické relace. Ukázka stavového schématu, které odpovídá systému na Obr. U.6 je na Obr. U.5.

Obr. U.6: Stavové schéma systému podle Obr. U.5. Signálové schéma Signálové schéma se nazývá taktéž signálovým diagramem popř. Masonovým grafem. Jeho uspořádaní je opačné než u schématu blokového. Příznaky představují uzly orientovaného grafu a relace jsou přestavovány hrana grafu. Uzly představují současně místa sčítání a větvení relací. V tomto zobrazení je povinné značení orientace hran, představující směr šíření signálu pro transformaci a současně symbolického označení způsobu transformace signálu. Ukázka signálových schémat a a jejich přiřazení ke schématům blokovým je na obrázku Obr. U.7.

Obr. U.7: Bloková a odpovídající signálová schémata. Modelování ve speciálních simulačních prostředích využívá při grafické tvorbě modelu některé z možnosti orientovaného grafu. Ukázky jsou na obrázcích Obr. U.8 pro simulační prostření Simulink a Obr. U.9 pro prostředí Witness, která budou popsána v dalším textu. Obr. U.8: Ukázka blokového schématu modelu v prostředí Simulink.

Doplnit Witness Obr. U.9: Ukázka blokového schématu modelu v prostředí Simulink.