MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MSRYKOV UIVERZIT PŘÍRODOVĚDECKÁ FKULT ÚSTV MTEMTIKY STTISTIKY Bakalářská práce BRO 04 MREK VLŠÍ

MSRYKOV UIVERZIT PŘÍRODOVĚDECKÁ FKULT ÚSTV MTEMTIKY STTISTIKY Hry s diskrétní pravděpodobností Bakalářská práce Marek Vlašín Vedoucí práce: Mgr. David Kruml, Ph.D. Brno 04

Bibliografický záznam utor: ázev práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Marek Vlašín Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Hry s diskrétní pravděpodobností Matematika Finanční a pojistná matematika Mgr. David Kruml, Ph.D. kademický rok: 03/04 Počet stran: viii Klíčová slova: Diskrétní pravděpodobnost, kostky, strategie

Bibliographic Entry uthor: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Marek Vlašín Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Games with discrete probability Mathematics Financial and insured mathematics Mgr. David Kruml, Ph.D. cademic Year: 03/04 umber of Pages: viii Keywords: Discrete probability, dice, strategy

bstrakt V této bakalářské práci se věnujeme výpočtu pravděpodobností ve hře kostky. V první části se zaměřujeme na teoretické poznatky, ve druhé části na praktické výpočty. bstract In this thesis we study the calculation of probabilities in the game Dice. In the first part we focus on the theoretical pieces of knowledge, in the second part we do practical computations.

Poděkování a tomto místě bych chtěl poděkovat Mgr. Davidu Krumlovi, Ph.D., vedoucímu mé bakalářské práce, za cenné rady a připomínky k práci. Děkuji také za ochotu a čas, který mi věnoval. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno. května 04.......................... Marek Vlašín

Obsah Úvod....................................................................... viii Kapitola. Teoretická část................................................... Teorie pravděpodobnosti.................................... Kombinatorika..........................................3 Teorie her............................................. 3.3. Strategické hry..................................... 3.3. Poziční hry........................................ 4 Kapitola. Praktická část.................................................. 5. Pravidla hry........................................... 5. Hra jednoho hráče....................................... 5.3 Hra dvou hráčů na dvě kola................................. 8.3. Strategie opatrného hráče.............................. 8.3. Strategie normálního hráče..............................3.3 Strategie odvážného hráče.............................. 0.4 Hra dvou hráčů na dvě kola první kolo........................ 5.5 Hra na více kol......................................... 33 Závěr...................................................................... 35 Seznam použité literatury................................................... vii

Úvod Tato bakalářská práce se zabývá jednou z mnoha variant hry kostky. Jedná se o hru dvou hráčů, při které je cílem hry vyhrát více kol než druhý hráč. V každém kole se hráči snaží hodit větší součet čísel na kostkách než druhý hráč, přičemž každý má tři hody. Patří mezi poziční hry s úplnou informací, kdy se jednotliví hráči střídají v tazích a každý ví, co hráli hráči před ním. Při jejím výpočtu se postupuje odzadu, tzn. začínáme od posledního kroku, kdy je na tahu poslední hráč. Poziční hry nacházejí využití hlavně v ekonomii, například v různých modelech oligopolu. Hra byla vybrána kvůli své jednoduchosti, kdy se jí zúčastní pouze dva hráči a hrají ji jenom se dvěma kostkami. Začínáme jednoduchou hrou jednoho hráče, při které se hráč snaží nahrát co největší součet čísel na kostkách. Pokračujeme hrou dvou hráčů na dvě kola, ve které už hráči musí uvažovat různé strategie, které zohledňují, co hodil druhý hráč. akonec se zabýváme hrou dvou hráčů na více kol. Práce vypočítává pravděpodobnosti všech možných kombinací, které můžou ve hře nastat. Jejím cílem je odpovědět na otázku, která čísla si kdy po jakých hodech nechat, a najít optimální strategie. čkoliv se hra může zdát jako spravedlivá, protože se hráči pravidelně střídají v tazích, zjistíme, že výhodu bude mít hráč, který hraje v posledním kole jako druhý. Práce je rozčleněna do dvou kapitol. První kapitola podává teoretický základ z oblasti pravděpodobnosti, kombinatoriky a teorie her, které byly potřeba k výpočtům. K jejímu sestavení byly využity poznatky ze zdrojů [], []. [3], [4], [5]. Druhá část se zaměřuje na praktické výpočty, přičemž začíná od nejjednodušší hry pro jednoho hráče. Hlavní část je pak věnována hře dvou hráčů na dvě kola, kdy nejprve uvažujeme tři základní varianty druhého kola, následně počítáme kolo první. Poslední část je věnována hře pro dva hráče na více kol. Poznatky k této kapitole jsou čerpaány ze zdrojů [], [3], [5]. Práce byla vysázena systémem LTEX. viii

Kapitola Teoretická část V této kapitole položíme teoretický základ, který využijeme k výpočtům ve druhé kapitole. Jde o poznatky z oblasti teorie pravděpodobnosti, mezi které patří definice jevového pole, axiomatická definice pravděpodobnosti, zavedeme podmíněnou pravděpodobnost a vzorce pro úplnou pravděpodobnost a bayesův vzorec. Ve druhé části se budeme zabývat základními pojmy z kombinatoriky, mezi které patří variace, permutace a kombinace. Ve třetí části se zabýváme teorií her, kde si zařadíme hru kostky.. Teorie pravděpodobnosti Definice. Mějme neprázdnou množinu Ω /0 a neprázdný systém podmnožin exp Ω, pro který platí:. Ω. Ā 3.,..., n, n= n (σ aditivita), pak nazýváme jevovou σ algebrou na Ω, dvojici (Ω,) nazýváme jevové pole a libovolný prvek nazýváme náhodný jev (vzhledem k (Ω,)). Definice. (xiomatická definice pravděpodobnosti) echt (Ω, ) je jevové pole a P je množinová funkce definovaná na s vlastnostmi. P(Ω) =, (tj. P je normovaná). pro je P() 0, (tj. P je nezáporná) 3. je-li { n } n= posloupnost náhodných jevů, které jsou po dvou neslučitelné, tj. i j = /0 pro i j, pak P( n= n )= n= P( n), (tj. P je σ aditivní) Funkci P nazýváme pravděpodobností a trojici (Ω,,P) pravděpodobnostním prostorem.

Kapitola. Teoretická část Definice 3. echt (Ω,,P) je pravděpodobnostní prostor, B, P(B) > 0. Pak číslo P( B) = P( B) P(B) nazýváme podmíněnou pravděpodobností jevu za podmínky (že nastal jev) B. Definice 4. echt (Ω,,P) je pravděpodobnostní prostor. áhodné jevy { n } n= tvoří úplný systém jevů na (Ω,,P), jestliže platí i j = /0, pro i j a n = Ω n= Věta.. (Vzorec pro úplnou pravděpodobnost) echt posloupnost { n } n= systém jevů na (Ω,,P) takový, že P( i ) > 0 pro i =,,.... Pak platí tvoří úplný P(B) = i= P( i )P(B i.) Věta.. (Bayesův vzorec) echt posloupnost { n } n= tvoří úplný systém jevů na (Ω,,P) takový, že P( i ) > 0 pro i =,,... a B, kde P(B) > 0. Pak P( j B) = P( j)p(b j ) n i= P( i)p(b i ) pro j =,,... Definice 5. echt (Ω,,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak řekneme, že jev a jev B jsou nezávislé (vzhledem k pravděpodobnosti P), jestliže P( B) = P()P(B) Definice. echt (Ω,, P) je pravděpodobnostní prostor, X: Ω R je takové zobrazení, že pro x R platí {ω Ω : X(ω) x} = X ((,x ) Pak X nazýváme náhodnou veličinou (vzhledem k jevovému poli (Ω, )).. Kombinatorika Věta.3. (kombinatorický součin) Počet uspořádaných k tic, jejichž první člen lze vybrat n způsoby, druhý po výběru prvního n způsoby atd. až k tý po výběru všech předchozích n k způsoby, je roven n n...n k Definice 7. k členná variace z n prvků je uspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Jejich počet je n! k! = n(n )(n )...(n k ). Definice 8. (Permutace) Permutace z n prvků je každá n členná variace z n prvků. Jejich počet je n! = n(n )(n )...

Kapitola. Teoretická část 3 Definice. (kombinace) k členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Jejich počet je ( n) = n! n(n )...(n k) k(k )... k k!(n k)! = Definice 0. (Variace s opakováním) k členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Jejich počet je roven n k Definice. (Permutace s opakováním) Permutace z n prvků, které se opakují k,...,k n krát, je uspořádaná n tice, v níž jsou jednotlivé prvky zastoupeny k,...,k n krát. Jejich počet je n! k!k!...k n!..3 Teorie her Teorie her se zabývá modelováním a řešením situací, kde jednotliví účastníci svými rozhodnutími ovlivňují svůj výsledek i výsledek ostatních. Cílem je najít takové chování každého účastníka, při němž výsledek bude z hlediska každého z nich optimální. Hry můžeme dělit na strategické a poziční..3. Strategické hry Strategické hry modelují situace, kdy rozhodování hráčů probíhá v jednom kroku. V zadání strategické hry se specifikuje množina hráčů množina možných strategií každého hráče výplatní funkce jednotlivých hráčů pro každou kombinaci strategií Definice. Hra v normálním tvaru pro n hráčů je tvořena prostorem strategií jednotlivých hráčů S,S,...,S n a výplatními funkcemi u,u,...,u n, kde každé u i zobrazuje S S S n do R. Takovou hru budeme označovat H = {S,S,...,S n ;u,u,...,u n }. Uvedeme si nejznámnější příklad strategické hry, která se nazývá Vězňovo dilema. Hru hrají dva hráči, kteří jsou obviněni, že spáchali dva zločiny. Jeden málo závažný, druhý závažný, za nějž mohou být odsouzeni, jen když se někdo přizná. Pokud se přizná jeden z nich, tak je osvobozen a do vězení jde druhý hráč na deset let. Pokud se přiznají oba, jdou oba do vězení na devět let. Pokud se nepřizná ani jeden, jdou oba do vězení na jeden rok. Každý hráč má tedy dvě strategie, přiznat se (P) a nepřiznat se (). Výplatou budeme rozumět počet let strávených na svobodě v následujících deseti letech. Výplaty příslušné všem možným kombinacím zapíšeme do tabulky. Strategie prvního hráče budeme psát do sloupců, druhého do řádků. V každé kolonce je na prvním výplata prvního hráče, na druhém místě výplata druhého hráče při příslušné kombinaci strategií.

Kapitola. Teoretická část 4 P P, 0,0 0,0, Tabulka.: Vězňovo dilema Vidíme, že pro oba hráče je výhodné hrát P bez ohledu na to, co zahraje druhý hráč. Výsledkem tedy bude kombinace strategií (P,P), oba hráči se přiznají. Zajímavé přitom je, že kombinace (,) dává lepší výsledek pro oba hráče..3. Poziční hry V pozičních hrách probíhá rozhodování v několika krocích a je výhodné popisovat hru pomocí posloupnosti tahů. Poziční hry analyzujeme zpětnou indukcí, tzn. začínáme od posledního kroku, kdy je na tahu poslední hráč. Pro poziční hru potřebujeme znát seznam hráčů ve hře kdy je který hráč na tahu; jaké má hráč možnosti v každé situaci, kdy je na tahu; jaké má hráč informace v každé situaci, kdy je na tahu výplatu každého hráče při všech možných kombinacích tahů, které mohli hráči zvolit U strategií v pozičních hrách musím uvažovat jednotlivé tahy. Definice 3. Strategie hráče je úplný plán jeho akcí, který určuje, kterou z možných akcí hráč zvolí v každé situaci, která může ve hře nastat (a v níž je tento hráč na tahu.) apříklad předpokládejme hru pro dva hráče, kde první hráč vybírá z množiny akcí = {a,a } a druhý hráč z množiny akcí B = {b,b } První hráč má zřejmě dvě strategie, vybere bud a, anebo a. Druhý hráč má čtyři strategie: a akci a reagovat tahem b a na akci a tahem b a akci a reagovat tahem b a na akci a tahem b a akci a reagovat tahem b a na akci a tahem b a akci a reagovat tahem b a na akci a tahem b Prostor strategií druhého hráče je tedy odlišný od prostoru jeho možných tahů. Poziční hry můžeme dělit na poziční hry s kompletní informací a na poziční hry s neúplnou informací. Pro poziční hry s kompletní informací platí, že všichni hráči ví, jak hráli hráči před ním. Patří mezi ně například šachy, dáma nebo třeba člověče, nezlob se. aopak pro poziční hry s neúplnou informací platí, že hráči nemají všechny informace o tazích ostatních hráčů. Mezi takové hry patří například karetní hra Svatoušek. Hra kostky patří mezi poziční hry s úplnou informací, první hráč hodí určitý počet bodů, po něm hází další hráč, který reaguje na to, co hodil první hráč. Hráči tak můžou volit různé strategie v závislosti na vývoji hry.

Kapitola Praktická část. Pravidla hry Hra je určena pro dva hráče, kteří hází dvěma kostkami s cílem hodit co největší součet hodnot na kostkách a zároveň hodit více než druhý hráč. Kombinace jsou bodované pouze podle součtu hodnot na kostkách, tedy například 4 3 má stejnou hodnotu jako. ejvíce tedy může hráč hodit bodů, pokud bude mít dvě šestky, a nejméně lze hodit body, kdy hráči zůstanou dvě jedničky. Hráč má k dispozici celkem tři hody, přičemž v prvním hodě musí hráč házet s oběma kostkami, po kterém si může nechat žádnou, jednu nebo obě kostky. Ve druhém hodu háže se zbývajícími kostkami, opět si může nechat žádnou, jednu nebo obě kostky. V posledním třetím hodu hodí se zbývajícími kostkami a součet hodnot na obou kostkách udává jeho získanou bodovou hodnotu. Kdo nahraje víc bodů, vyhrává kolo a získává bod. Potom se hraje další kolo, ve kterém začíná druhý hráč. Hrát se může teoreticky na libovolný počet kol, základem hry je hra na dvě kola (protože každý hráč jednou začíná), které se bude věnovat větší část téhle práce. Příklad: Hraje se na dvě kola. V prvním kole začíná hráč, který hodí v prvním hodě 5. Rozhodne se, že si nechá pětku, a ve druhém hodě mu padne čtyřka. Myslí si, že pravděpodobně více nehodí, a nechá si bodů. Pak háže hráč B, kterému padne 4 4. Usoudí, že nejlepší je házet znova s oběma kostkami, ve druhém hodě mu opět padne 4 4. Pokud bude házet dál, hodí sice v průměru méně bodů, ale protože má jen 8 bodů a hráč má bodů, musí házet dál. echá si čtyřku a v posledním hodě mu padne jednička. Jeho součet je jen 5 bodů, hráč tedy získává bod a hraje se další kolo, ve kterém začíná hráč B. Ten tak potřebuje tohle kolo vyhrát. V prvním hodě mu padne, nechá si šestku a ve druhém hodu hodí trojku. Tu si nenechá, hodí ještě jednou a padne mu dvojka. Hráč B nahrál 8 bodů, pokračuje hráč. Ten prvním hodem hodí 4 4. Protože to dává součet 8 bodů, stačí mu to na remízu v daném kole a na celkovou výhru a dál už neháže.. Hra jednoho hráče ejdříve se zaměřme na hru jednoho hráče, který se bude snažit nahrát co nejvíce bodů v jedné hře. Která čísla se mu vyplatí nechat po jakých hodech? Začněme s výpočtem odzadu: Po dvou hodech hráči zbývá jeden hod, ve kterém s jednou kostkou může hodit 5

Kapitola. Praktická část se stejnou pravděpodobností jedničku až šestku, v průměru hodí 3 4 5 = 3,5 bodu. Tedy po dvou hodech se mu vyplatí nechat si čtyřky, pětky a šestky. Která čísla si má nechat po jednom hodu? Ve zbývajících dvou hodech hodí v průměru 5 4 3 4 5 = 4,5 bodu. Po dvou hodech si nechá pětky a šestky. Pro přehlednost uvádíme tabulku:.hod.hod nechám si 5, 4,5, Tabulka.: Strategie hry jednoho hráče Kolik tedy může hráč hodit a s jakou pravděpodobností? Pro výpočet ještě budeme potřebovat pravděpodobnosti jednotlivých kombinací čísel, které můžou padnout na kostkách. Výsledky rovnou uvádíme v tabulce: kombinace pravděpodobnost,, 3 3, 4 4,5 5,, 3, 4, 5,, 3, 4, 5,, 3 4, 3 5, 3, 4 5, 4, 5 Tabulka.: Tabulka pravděpodobností jednoho hodu dvěma kostkami Využijeme těchto poznatků z tabulek.,. ke spočítání pravděpodobností jednotlivých bodových hodnot, kterých hráč může dosáhnout: P() = 8 ( 3 ) ( 3 ) = = 584 = P() = 8 ( 3 3 ) ) 8 ( 3 ) ( 3 = 08 = P(0) = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) ( 3 ) 3 3 3 3 = 08 =

Kapitola. Praktická část 7 P() = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 3 4 P(8) = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 3 5 ) P(7) = 8 ( 3 ) 8 ( ) 3 3 = 430 = 5 54 ) ( 3 = = 4 7 ( 3 = 475 = 08 ) ( 3 3 P() = 8 ( 3 ) ( 3 3 5 ) = = 7 = 34 P(5) = ( 3 4 ) = 5 = 8 P(4) = 3 = 43 = 08 P(3) = = 88 = P() = = 44 = 34 V průměru tedy hráč získá 0 4 7 8 08 7 5 54 34 5 8 4 08 3 34 = 8 bodu, 3 přičemž největší pravděpodobnost mají možnosti 0 a bodů.

Kapitola. Praktická část 8.3 Hra dvou hráčů na dvě kola yní se zaměřme na hru dvou hráčů na dvě kola. Za výhru v každém kole získá hráč bod, za remízu půl bodu. Celkově se tedy hraje o dva body, přičemž celkový vítěz musí získat alespoň,5 bodu. Celková remíza nastane, pokud oba hráči získají jeden bod, bud za jednu výhru, anebo dvě remízy. Platí, že pro oba hráče má celková výhra dvakrát větší hodnotu než celková remíza, přičemž jim nezáleží na tom, jestli vyhrají se ziskem,5 bodu nebo dvěma body. Řekněme, že první kolo bude začínat hráč. První kolo může skončit třemi možnostmi: Vyhraje hráč, který získá bod Hra skončí remízou (oba hráči hodí stejný součet), oba získají 0,5 bodu Vyhraje hráč B, který získá bod Tyto možnosti rozebereme v dalších odstavcích, kde se zaměříme na strategie hráčů ve druhém kole..3. Strategie opatrného hráče Hráč tedy vyhrál první kolo a má bod. Ve druhém kole začíná hráč B. Má házet stejně jako v případě hry jednoho hráče, tedy nechat si pokaždé čtyřky, pětky a šestky po druhém hodu a pětky a šestky po prvním hodu? Odpověd na tuto otázku dostaneme až po prozkoumání strategie hráče, který reaguje na to, co hodil hráč B. Protože hráč vyhrál první kolo, stačí mu uhrát remízu ve druhém kole. Jinak řečeno výhra má pro něho stejnou hodnotu jako remíza. Tedy pokud bude hráč na remíze po nějakém hodě, nebude už dále házet, s výjimkou toho, kdy na některé kostce padne jednička.(emůže na kostce hodit méně než jedna, proto nemůže prohrát). Sestavíme tabulku, kde prozkoumáme možnosti, které můžou nastat. Protože by tabulka byla zbytečně rozsáhlá, podívejme se na možnosti, které nemusím uvažovat. Zřejmě platí, že šestku si necháme vždycky, protože vyšší číslo nehodíme, a jedničku si nenecháme nikdy. Dále musí platit, že pokud se nevyplatí nechat si nějaké číslo po prvním (resp. druhém) hodu, tak se nevyplatí nechat si po prvním (resp. druhém) hodu nějaké nižší číslo, protože máme zřejmě nižší pravděpodobnost, že hodíme požadovanou bodovou hodnotu, než kdybychom si nechali vyšší číslo. Dále dokážeme, že pokud se nám vyplatí nechat si nějaké číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů, vyplatí se nám nechat si toto číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů. Jinými slovy platí, že jestliže P(s x y) > P(s x), pak P(s x y) > P(s x ), kde P(s x y) je pravděpodobnost, že hodíme alespoň x bodů, když si necháme číslo y(y x,x ) po druhém hodu, P(s x) je pravděpodobnost, že hodíme alespoň x bodů, když si nic nenecháme po druhém hodu, P(s x y) je pravděpodobnost, že hodíme alespoň x bodů, když si necháme číslo y po druhém hodu a P(s x ) je pravděpodobnost, že hodíme alespoň x bodů, když si po druhém hodu nic nenecháme. apříklad víme, že když musíme hodit alespoň bodů, vyplatí se nám nechat si pětku po druhém hodu. Z toho vyplývá, že se nám také vyplatí nechat si pětku po druhém hodu, když musíme hodit alespoň 0 bodů. ejprve spočítáme rozdíl P(s x y) P(s x y). Po druhém hodu už máme jen jeden hod

Kapitola. Praktická část s jednou kostkou, se kterou se stejnou pravděpodobností hodíme,, 3, 4, 5 nebo. Tedy P(s x y) P(s x y) =, hráč má dokonce o tu větší pravděpodobnost výhry. Pokud si po druhém hodu nic nenecháme, máme jeden hod se dvěma kostkami, pravděpodobnosti, že nám padne minimálně daný součet bodů, uvádíme v tabulce: 0 8 7 5 4 3 3 0 P 5 30 33 35 Tabulka.3: Tabulka pravděpodobností, že nám padne minimálně daný součet bodů Vidíme, že rozdíl P(s x ) P(s x) je maximálně = (pro x = 8), tedy platí Z toho úpravami dostaneme z toho vyplývá, že P(s x y) P(s x y) P(s x ) P(s x) P(s x y) P(s x ) P(s x y) P(s x) P(s x y) > P(s x) P(s x y) > P(s x ). Ted už můžeme sestavit tabulku, kterou rozdělíme na osm sloupců. V prvním sloupci zavedeme veličinu B, která označuje počet bodů, které hodil hráč B. Druhý sloupec označíme jako.hod, který udává, co hodil hráč v.hodě, přičemž veličina i označuje číslo, které padlo na jedné kostce, veličina j označuje číslo, které padlo na druhé kostce. Třetí sloupec.h říká, co si hráč nechá po.hodě, přičemž pojem vše znamená, že si hráč nechá obě kostky, a nic znamená, že si nenechá žádnou kostku. Čtvrtý a pátý sloupec.h určuje, co si hráč nechá po.hodě, pátý sloupec K jsou pro dvě kostky, čtvrtý sloupec K je pro jednu kostku. Šestý sloupec počítá pravděpodobnost P (V ), že hráč vyhraje, sedmý sloupec pravděpodobnost remízy P(R). Osmý sloupec IS odpovídá na otázku, zda se jedná o ideální strategii, tzn. strategie s největším součtem P (V ) P(R).

Kapitola. Praktická část 0 B.hod.H 0 K.H K P (V ) P(R) IS vše - - 0 j 5,i = i= j= - 0 i 5, j 5 nic i= 0 vše - - 0 5 vše - - 0 0 0 i =, j 4 i= j 5 - i=5 j= - 0 i = 5, j 5 0 70 nic i= s nic i 5 s 00 0 0 i 4, j 4 nic i 5 s 00 s vše - - 0 s=0 vše - - 0 i =, j 3 i= j 4-8 i = 5, j 4 i=5 j 5-0 nic i 5 s 0 7 55 nic i 4 s 0 i=4 j= - 0 i 4, j 4 7 nic i 5 s 0 7 i 3, j 3 nic i 5 s 0 0 40 40 40 s 0 vše - - 0 s= vše - - 0 i =, j i= j 3-4 8 i = 5, j 3 i = 4, j 4 i=5 j 4-8 nic i 5 s 45 nic i 4 s 45 nic i 3 s 4 i=4 j 5-0 nic i 4 s 45 i 3, j 3 nic i 4 s 45 8 8 0 8 8

Kapitola. Praktická část B.hod.H 8 7 K.H K P (V ) P(R) IS s vše - - 0 s=8 vše - - 0 i= j - 8 7 i = 5, j i = 4, j 3 i = 3, j 3 i=5 j 3-4 nic i 4 s 8 4 nic i 3 s 8 i=4 j 4-8 nic i 4 s 8 4 i=3 j 5-0 nic i 4 s 8 4 8 7 30 7 0 7 7 i =, j nic i 4 s 8 4 s 8 vše - - 0 5, 4 3 vše - - 0 i= j - 35 5 i = 4, j i = 3, j 3 i=5 j - 8 nic i 4 s 8, 4 3, 5 855 nic i 3 s 8, 4 3, 5 840 i=4 j 3-4 nic i 4 s 8, 4 3, 5 855 i=3 j 4-8 nic i 4 s 8, 4 3, 5 855 7 4 4 8 4 4 4 i =, j nic i 4 s 8, 4 3, 5 855 s 7 vše - - 0 4, 3 3 vše - - 0 5 i=5 j - 35 4 i = 3, j i=4 j - 8 nic i = 4 s 7, 4, 3 3 03 nic i 3 s 7, 4, 3 3 00 i=3 j 3-4 nic i = 4 s 7, 4, 3 3 03 i =, j nic i = 4 s 7, 4, 3 3 03 7 7 7 8 7 7

Kapitola. Praktická část B.hod.H 5 4 3 K.H K P (V ) P(R) IS s vše - - 0 3 vše - - 0 4 i=4 j - 35 3 i=3 j - 8 nic i = 3 s, 3 48 nic nic s, 3 5 7 08 08 i =, j nic nic s, 3 5 s 5 vše - - 0 vše - - 0 3 i=3 j - 35 i= j - 8 nic nic s 5, 30 nic i = s 5, 8 7 57 3 57 nic nic s 5, 30 s 4 vše - - 0 35 i= j - 8 4 nic i s 4 s 3 vše - - 0 nic nic s 3 5 Tabulka.4: Tabulka strategie opatrného hráče Máme tedy tabulku, ve které je přesně spočítané, která čísla si máme kdy nechat z pohledu hráče. Spočítejme ještě celkové pravděpodobnosti, že hráč vyhraje, remizuje, či vyhraje hráč B, když hráč B hodí určitý počet bodů, a umístěme je do tabulky. Při počítání vycházíme z předchozí tabulky, kde bereme v úvahu řádky, které mají ve sloupci IS hodnotu, což znamená, že hráč hraje se strategií popsanou v daném řádku.

Kapitola. Praktická část 3 B P (V ) P(R) P B (V ) 0 88 38375 577 0 507 4 8 808 7 357 40008 5 438 4 4500 3 45 455 33 55 7 753 5840 33 53 8 0 8548 03 448 5805 403 808 7 Tabulka.5: Pravděpodobnosti opatrného hráče Ted se podívejme na strategii hráče B, který hází jako první ve druhém kole a který prohrál první kolo, musí tedy zvítězit ve druhém kole. U hry jednoho hráče si hráč nechává pětky a šestky po prvním hodu a čtyřky, pětky a šestky po druhém hodu. Protože ale hráč reaguje na to, co hodil hráč B, a získává tak výhodu, nabízí se tedy otázka, zda nemá hráč B házet jinak. ejdříve se podíváme na situaci po druhém hodu, kde prouzkoumáme možnosti nenechat si čtyřku nebo pětku. B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 4 4 5 4 4 4 4 5805 4 37 7 nic 478 7 5 4 448 5 8044 7 nic 478 7 4 03 05 7 753 5375 7 8758 7 7 535 7 8758 7 55 78 7 Tabulka.: Strategie prvního hráče po druhém hodě hrajícího na vítězství Jediný rozdíl tedy je, že si hráč B nenechá 4 4 nebo čtyřku u 4 3, 4 a 4, ale hází s kostkami znovu. Poznamenejme ještě, že nemá smysl zkoumat možnost nenechat si 5 5, protože pro možnost 5 4 platí, že nejlepší je nechat si obě kostky a zároveň má menší pravděpodobnost, že s ní hráč dosáhne výhry nebo remízy, než s kombinací 5 5. Podobně to platí pro kombinaci 5 a 4. Ještě prozkoumáme situaci po prvním hodu, po kterém při hře jednoho hráče si hráč nechává pětky a šestky. Šestky si necháme vždy, zvážíme možnost nenechat si kombinace s pětkami.

Kapitola. Praktická část 4 B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 5 5 5 5 5 03 5 558300 7 nic 587 047 5 8548 8353 7 55 44 7 8544 047 33 4048 7 Tabulka.7: Strategie prvního hráče po prvním hodě hrajícího na vítězství Tady už se strategie neliší od strategie hry jednoho hráče, spočítáme pravděpodobnosti hráče B, že nahraje v prvním kole, až body. P () = 8 ( ) 3 = 5 = 33 ) ( 3 7 P () = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 3 7 ) P (0) = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 3 7 3 3 ) P () = 8 ( 3 ) 8 ( 3 3 7 4 4 ) P (8) = 8 ( 3 ) 8 7 5 5 P (7) = 8 ( 3 ) ( ) 8 7 3 ) = 40 = 5 7 ( ) 3 = 44 = 3 43 ( = 05 = 33 458 ( 3 = 08 = 7 ( 3 = 784 = 0 7 ) ( 3 3 ) ( 3 3

Kapitola. Praktická část 5 P () = 8 ( 3 ) ( 3 7 5 5 ) = = 70 = 85 458 P (5) = ( 7 4 4 ) = 04 = 7 P (4) = ( 7 3 3 ) = 78 = 4 43 P (3) = ( 7 ) = 5 = 8 7 P () = ( 7 ) = 5 = 4 7 Ted už máme všechny údaje k dopočítání pravděpodobností, že v daném kole při daných strategiích hráč vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč B. 05 577 08 507 784 4 40 808 P (V ) = 44 357 70 40008 04 438 78 4500 5 45 5 455 = 83084. = 0,3580 7783 5 88 05 33 08 55 784 7 P (R) = 40 753 44 70 5840 04 33 78 53 5 8 5 = 50378. = 0,307 7783 5 38375 05 8548 08 03 784 448 P B (V ) = 40 5805 44 403 70 808 04 78 7 5 = 8334384. = 0,37354 7783 Vidíme, že hráč má dokonce větší šanci na výhru, než hráč B, důležitý pro hráče je ale součet P (V ) P (R) = 0,40, což dává hráči dobrou šanci na celkovou výhru, když vyhrál první kolo.

Kapitola. Praktická část.3. Strategie normálního hráče Hráč se snaží vyhrát, ale i remíza má pro něho poloviční hodnotu jako výhra. Dá se očekávat, že optimální strategie pro hráče vyjde taková, že bude mít větší pravděpodobnost výhry, ale součet pravděpodobností výhry a remízy bude menší, než u hry opatrného hráče. Sestavíme tabulku se všemi možnostmi, opět platí, že šestku si necháme vždycky a jedničku nikdy. Dále platí, že pokud se nevyplatí nechat si nějaké číslo po prvním (resp. druhém) hodu, tak se nevyplatí nechat si po prvním (resp. druhém) hodu i nějaké nižší číslo. Podobně pokud se nám vyplatí nechat si nějaké číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů, tak se nám vyplatí nechat si číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů. V tabulce IS značí strategii s největším součtem P (V ) P(R). Sestavíme tabulku: B.hod.H 0 K.H K P (V ) P(R) IS vše - - 0 i=, j 5 i= j= - 0 i 5, j 5 nic i= 0 vše - - 0 vše - - 0 5 0 0 i= j 5-0 0 i =, j 4 i= j 5 - i=5 j= - 0 i = 5, j 5 nic i = s 0 nic i 5 s 00 70 0 0 i 4, j 4 nic i 5 s 00 s vše - - 0 4 i= j 4-8 5 5 vše - - 0 i =, j 3 i= j 4-8 i = 5, j 4 i 4, j 4 i=5 j 5-0 nic i 5 s 0 7 55 nic i 4 s 0 i=4 j= - 0 nic i 5 s 0 7 0 40 40

Kapitola. Praktická část 7 B.hod.H 8 7 K.H K P (V ) P(R) IS s 0 vše - - 0 i =, j 3 i= j 4-7 3 i = 5, j 4 i = 4, j 4 i=5 j 4-8 nic i 5 s 0, 5 4 4 nic i 4 s 0, 5 4 4 nic i 3 s 0, 5 4 4 i=4 j 5-0 nic i 4 s 0, 5 4 4 08 3 0 i 3, j 3 nic i 4 s 0, 5 4 4 s vše - - 0 i =, j i= j 3-3 i = 5, j 3 i = 4, j 4 i=5 j 4-7 nic i 4 s, 4 4 7 nic i 3 s, 4 4 70 i=4 j 4-8 nic i 4 s, 4 4 7 3 77 8 77 77 7 i 3, j 3 nic i 4 s, 4 4 s 8 vše 0 i= j - 35 i = 5, j i = 4, j 3 i 3, j 3 i=5 j 3-3 nic i 4 s 8 3 nic i 3 s 8 4 i=4 j 4-7 nic i 4 s 8 3 i=3 j 4-8 nic i 4 s 8 3 3

Kapitola. Praktická část 8 B.hod.H 5 4 3 K.H K P (V ) P(R) IS s 7 vše - - 0 5 i=5 j - 35 i = 4, j i = 3, j 3 i=4 j 3-3 nic i=4 s 7 0 nic i=3 s 7 08 i=3 j 4-7 nic i=4 s 7 0 8 8 3 8 8 i, j nic i=4 s 7 0 s vše - - 0 4 i = 3, j i=4 j - 35 nic i 4 s 04 nic i 3 s i=3 j 3-3 nic i 4 s 04 44 5 44 44 i, j nic i 4 s 04 s 5 vše - - 0 3 i =, j i=3 j - 35 nic nic s 5 0 nic i=3 s 5 0 i= j 3-3 nic nic s 5 0 8 4 8 8 nic nic s 5 0 s 4 vše - - 0 i= j - 35 nic nic s 4 87 nic i= s 4 8 4 nic nic s 4 87 s 3 vše - - 0 nic nic s 3 5 Tabulka.8: Strategie normálního hráče Tabulku využijeme na dopočítání celkových pravděpodobností, že hráč vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč B, když hráč B hodil určitý počet bodů:

Kapitola. Praktická část B P (V ) P(R) P B (V ) 0 88 38375 7 0 8 4 8 350 7 4085 4453 5 45848 4 4440 3 4 455 0 008 7 378 4 08 44 8 8 0 358 80 300 787 3 34 384 48 Tabulka.: Pravděpodobnost normálního hráče Podíváme se ted na strategii hráče B. Prozkoumáme možnosti nenechat si čtyřku a pětku po druhém hodu: B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 4 4 5 4 4 4 4 787 4 43 7 nic 78537 7 5 4 300 5 75087 7 4 80 48 7 378 483 7 78 7 7 350 7 008 43 7 Tabulka.0: Strategie prvního hráče po druhém hodu hrajícího normálně Ted se ještě podívejme na první hod: B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 5 5 5 5 5 80 5 588 7 nic 778 047 5 358 80 7 008 735 7 758307 047 0 303705 7 Tabulka.: Strategie prvního hráče po prvním hodu hrajícího normálně

Kapitola. Praktická část 0 Hráč B tedy hraje stejně, jako by hrál hru jednoho hráče. Spočítejme celkovou pravděpodobnost na výhru hráče, remízu a výhru hráče B ve druhém kole při daných strategiích. 08 7 08 8 4 475 350 P (V ) = 430 4085 7 4453 5 45848 43 4440 88 4 44 455 = 8078. = 0,450 7783 584 88 08 0 08 008 7 P (R) = 475 378 430 4 7 08 5 44 43 8 88 8 44 = 340480. = 0,55 7783 584 38375 08 358 08 80 300 P B (V ) = 475 787 430 3 7 34 5 384 43 48 88 = 85583088. = 0,33 7783 Podle očekávání má hráč vyšší šanci na výhru než hráč B. Oproti hře opatrného hráče se výrazně snížila pravděpodobnost remízy, naopak se lehce zvýšila pravděpodobnost výhry hráče B. To lze vysvětlit tím, že hráč hraje více riskantněji, než ve hře opatrného hráče..3.3 Strategie odvážného hráče Hráč chce zvítězit, remíza pro něho nemá žádnou hodnotu. Sestavíme tabulku se všemi možnostmi, opět platí pro její sestavování platí stejná pravidla jako u předchozích tabulek, tedy šestku si necháme vždy, jedničku nikdy. Dále opět platí, že pokud se nevyplatí nechat si nějaké číslo po prvním (resp. druhém) hodu, tak se nevyplatí nechat si po prvním (resp. druhém) hodu i nějaké nižší číslo. Podobně pokud se nám vyplatí nechat si nějaké číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů, tak se nám vyplatí nechat si číslo y po druhém hodu, když se snažíme hodit alespoň x bodů. V tabulce IS označuje strategii s největší pravděpodobností výhry P (V ). Sestavíme tabulku:

Kapitola. Praktická část B.hod.H 0 8 K.H K P (V ) P(R) IS vše - - 0 i=, j 5 i= j= - 0 i 5, j 5 nic i= 0 vše - - 0 5 i =, j 5 i= j = - 0 i 5, j 5 nic i = s vše - - 0 i =, j 4 i= j 5-0 i = 5, j 5 i=5 j= - nic i= s 7 nic i 5 s 30 4 5 3 50 50 i 4, j 4 nic i 5 s 30 s 0 vše - - 0 i =, j 3 i= j 4-7 i = 5, j 4 i = 4, j 4 i=5 j 5-0 nic i 5 s 0 5 nic i 4 s 0 5 i=4 j= - nic i 4 s 0 5 3 4 48 5 i 3, j 3 nic i 4 s 0 5 s vše - - 0 i =, j i= j 3-3 i = 5, j 3 i = 4, j 4 i=5 j 4-7 nic i 4 s 7 nic i 3 s 78 i=4 j 5-0 nic i 4 s 7 i 3, j 3 nic i 4 s 7 3 47 5 4 47 47

Kapitola. Praktická část B.hod.H 7 5 K.H K P (V ) P(R) IS s 8 vše - - 0 i= j - 35 i = 5, j i = 4, j 3 i = 3, j 3 i=5 j 3-3 nic i 4 s 8 3 nic i 3 s 8 4 i=4 j 4-7 nic i 4 s 8 3 i=3 j 5-0 nic i 4 s 8 3 3 4 i, j nic i 4 s 8 3 s 7 vše - - 0 5 i = 4, j i = 3, j 3 i=5 j - 35 nic i=4 s 7 0 nic i=3 s 7 08 i=4 j 3-3 nic i=4 s 7 0 i=3 j 4-7 nic i=4 s 7 0 8 8 8 3 8 8 i, j nic i=4 s 7 0 s vše - - 0 4 i = 3, j i=4 j - 35 nic i 4 s 04 nic i 3 s i=3 j 3-3 nic i 4 s 04 i, j nic i 4 s 04 44 5 44 44

Kapitola. Praktická část 3 B.hod.H 4 3 3 K.H K P (V ) P(R) IS s 5 vše - - 0 i=3 j - 35 i =, j nic i=3 s 5 0 nic nic s 5 0 i= j 3-3 nic nic s 5 0 4 8 8 8 nic nic s 5 0 s 4 vše - - 0 i= j - 35 nic i= s 4 8 nic nic s 4 87 4 nic nic s 4 87 s 3 vše - - 0 nic nic s 3 5 Tabulka.: Strategie odvážného hráče Dopočítáme celkové pravděpodobnosti, že hráč vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč B, když hráč B hodí určitý počet bodů. B P (V ) P(R) P B (V ) 0 88 38375 88 0 808 74 8 3508 7 4085 4453 5 45848 4 4440 3 4 455 4550 57 43 388 4 08 44 8 8 0 3385 337 440 80 3 34 384 48 Tabulka.3: Pravděpodobnosti odvážného hráče Prozkoumáme strategii hráče B, zda se mu vyplatí nenechat si čtyřku nebo pětku po druhém hodu:

Kapitola. Praktická část 4 B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 4 4 5 4 4 4 4 80 4 5537 7 nic 30575 7 5 4 440 5 8478 7 4 337 03 7 388 507 7 8743 7 43 033 7 57 785 7 Tabulka.4: Strategie prvního hráče po druhém hodu hrajícího na remízu ještě spočítáme, jestli se mu nevyplatí nenechat si pětku po prvním hodu: B.hod.hod P B (V ) P(R) IS 5 5 5 5 5 337 5 8580 7 nic 743 047 5 3385 3573 7 57 4583 7 4744575 047 4550 43 7 Tabulka.5: Strategie prvního hráče po prvním hodu hrajícího na remízu akonec opět dopočítáme pravděpodobnosti, že druhé kolo při daných strategiích hráč vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč B. 08 88 08 808 74 475 3508 P 3 (V ) = 430 4085 7 4453 5 45848 43 4440 88 4 44 455 = 0453. = 0,4 7783 584 88 08 4550 08 57 43 P 3 (R) = 475 388 430 4 7 08 5 44 43 8 88 8 44 = 050777. = 0,0303 7783 584 38375 08 3385 08 337 440 P B3 (V ) = 475 80 430 3 7 34 5 384 43 48 88 = 58488. = 0,43773 7783

Kapitola. Praktická část 5 Hráč má při dané strategii nejvyšší šanci na vítězství ze všech možných strategií, což je v souladu s očekáváním. Pravděpodobnost remízy je naopak celkem malá..4 Hra dvou hráčů na dvě kola první kolo Druhé kolo hry dvou hráčů na dvě kola máme rozebrané, podívejme se na první kolo. V prvním kole začíná hráč. Zapíše si nějakou bodovou hodnotu, pak je na řadě hráč B. Pokud hráč B vyhraje, získá bod a stačí mu remíza ve druhém kole, takže hra vlastně pokračuje hrou dvou hráčů na jedno kolo, kdy hráč musí vyhrát, kterou máme popsanou v odstavci Strategie odvážného hráče..3.3 Když hráč B remizuje, oba hráči mají půl bodu, tedy hra pokračuje podle odstavce Strategie normálního hráče..3. akonec, když hráč B prohraje, stačí hráči remíza, hráči potom hrají se strategiemi popsanými v odstavci Strategie opatrného hráče..3. Spočítejme pravděpodobnost celkové výhry, remízy a prohry, když hráč B vyhrál, remizoval nebo prohrál první kolo, přičemž například P B (V R) značí pravděpodobnost hráče B, že celkově vyhraje, když první kolo remizoval. Obdobné značení platí i pro další pravděpodobnosti. P B (V V ) = P B3 (V ) P 3 (R) = 050777 7783 58488 7783 = = 5435704 7783. = 0,530304 P B (R V ) = P 3 (V ) = 0453. = 0,4 7783 P B (P V ) = 0 P B (V R) = P B (V ) = 85583088. = 0,33 7783 P B (R R) = P (R) = 340480. = 0,55 7783 P B (P R) = P (V ) = 8078. = 0,450 7783 P B (V P) = 0 P B (R P) = P B (V ) = 8334384. = 0,37354 7783

Kapitola. Praktická část P B (P P) = P B (R) P (V ) = 50378 7783 83084 7783 = = 35475 7783. = 0,405 yní jsme v situaci, kdy hráč hodil určitou bodovou hodnotu, a na řadě je hráč B. Protože se ještě hraje jedno kolo, je otázka, s jakou strategií má tedy hráč B hrát, přesněji jakou hodnotu má pro něho výhra v prvním kole. Protože celková výhra má pro něho dvojnásobnou hodnotu než celková remíza, hodnotu výhry H B (V ) vypočteme podle následujícího vzorce: ( H B (V ) = P B(V V ) P B(R V ) (P B (V R) P B(R R)) P B (V R) P B(R R) P B(R P). =,050, kde přitom platí, že hodnota remízy H B (R) = 0,5 a hodnota prohry H B (P) = 0. yní můžeme sestavit tabulku toho, jak má hráč B reagovat na to, co hodil hráč. Zřejmě se tato tabulka bude nejvíce blížit tabulce z odstavce Strategie normálního hráče, kde hodnota výhry je a hodnota remízy 0,5. ). = B.hod.H K.H K P B (V ) P(R) IS vše - - 0 i=, j 5 i= j= - 0 i 5, j 5 nic i= 0 vše - - 0 5 vše - - 0 i= j= - 5 i= j 5-0 i =, j 4 i= j 5-0 i = 5, j 5 i=5 j= - 0 nic i = nic i = s 0 nic i 5 s 00 i 4, j 4 nic i 5 s 00 0 0 0 70 0 0

Kapitola. Praktická část 7 B.hod.H 0 K.H K P B (V ) P(R) IS s vše - - 0 0 4 i= j 5-4 8 i= j 4 - vše - - 0 5 5 i=5 j= - i=5 j 5-0 nic i 5 s 30 nic i 5 s 0 7 nic i 4 s 0 55 i =, j 3 i= j 4-8 0 i = 5, j 4 i=5 j 5 - i=4 j= - 0 i 4, j 4 5 0 50 40 0 40 nic i 5 s 0 7 s 0 vše - - 0 i =, j 3 i= j 4-7 i = 5, j 4 i = 4, j 4 i=5 j 5-0 i=5 j 4-8 nic i 5 s 0, 5 4 4 nic i 4 s 0, 5 4 4 nic i 3 s 0, 5 4 4 nic i 5 s 0 5 nic i 4 s 0 5 i=4 j= - i=4 j 5-0 nic i 4 s 0, 5 4 4 i 3, j 3 nic i 4 s 0, 5 4 4 3 4 08 3 48 5 0

Kapitola. Praktická část 8 B.hod.H 8 7 K.H K P B (V ) P(R) IS s vše - - 0 i =, j i= j 3-3 i = 5, j 3 i = 4, j 4 i=5 j 4-7 nic i 4 s, 4 4 7 nic i 3 s, 4 4 70 nic i 4 s 7 nic i 3 s 78 i=4 j 5-0 i=4 j 4-8 nic i 4 s, 4 4 7 3 77 8 47 5 4 77 77 7 i 3, j 3 nic i 4 s, 4 4 s 8 vše 0 i= j - 35 i = 5, j i = 4, j 3 i 3, j 3 i=5 j 3-3 nic i 4 s 8 3 nic i 3 s 8 4 i=4 j 4-7 nic i 4 s 8 3 i=3 j 5-0 i=3 j 4-8 3 4 nic i 4 s 8 3 s 7 vše - - 0 5 i=5 j - 35 i = 4, j i = 3, j 3 i=4 j 3-3 nic i=4 s 7 0 nic i=3 s 7 08 i=3 j 4-7 nic i=4 s 7 0 i, j nic i=4 s 7 0 8 8 3 8 8

Kapitola. Praktická část B.hod.H 5 4 3 4 K.H K P B (V ) P(R) IS s vše - - 0 i=4 j - 35 i = 3, j nic i 4 s 04 nic i 3 s i=3 j 3-3 nic i 4 s 04 44 5 44 44 i, j nic i 4 s 04 s 5 vše - - 0 3 i =, j i=3 j - 35 nic nic s 5 0 nic i=3 s 5 0 i= j 3-3 nic nic s 5 0 8 4 8 8 nic nic s 5 0 s 4 vše - - 0 i= j - 35 nic nic s 4 87 nic i= s 4 8 4 nic nic s 4 87 s 3 vše - - 0 nic nic s 3 5 Tabulka.: Strategie druhého hráče v prvním kole Vidíme, že hráč B bude vlastně hrát se strategií normálního hráče, popsanou v odstavci Strategie normálního hráče. Doplníme tabulku pravděpodobností, že hráč B vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč první kolo, když hráč hodí určitý počet bodů:

Kapitola. Praktická část 30 P B (V ) P(R) P (V ) 0 88 38375 7 0 8 4 8 350 7 4085 4453 5 45848 4 4440 3 4 455 0 008 7 378 4 08 44 8 8 0 358 80 300 787 3 34 384 48 Tabulka.7: Pravděpodobnost druhého hráče v prvním kole Podívejme se na strategii hráče, který začíná celou hru. Podobně jako u hráče B spočítejme hodnotu výhry ( H (V ) = P (V V ) P (R V ) (P (V R) P ) (R R)) P (V R) P (R R) P = (R P) ( = P (V ) P (R) P B(V ) (P (V ) P ) (R)). P (V ) P (R) P = 3(V ). = 0,84587, kde hodnota remízy H (R) = a hodnota prohry H (P) = 0. Zvážíme možnosti nenechat si čtyřku nebo pětku po druhém hodě nebo pětku po prvním hodě:.hod.hod P (V ) P(R) IS 4 4 5 4 4 4 4 787 4 43 7 nic 78537 7 5 4 300 5 75087 7 4 80 48 7 378 483 7 78 7 7 350 7 008 43 7 Tabulka.8: Strategie prvního hráče ve druhém hodu prvního kola hry dvou hráčů na dvě kola

Kapitola. Praktická část 3.hod.hod P (V ) P(R) IS 5 5 5 5 5 80 5 588 7 nic 775555 047 5 358 80 7 008 735 7 7757 047 0 303705 7 Tabulka.: Strategie prvního hráče v prvním hodu prvního kola hry dvou hráčů na dvě kola Hráč si tedy v případě, že hodí 4 4, nechá čtyřku a dál hází s jednou kostkou, takže narozdíl od hráče B hraje jinak, než při hře normálního hráče. Spočítejme ještě pravděpodobnosti hráče, že nahraje v prvním kole, až body: P 3 () = 8 ( 3 ) ( 3 ) = = 584 = P 3 () = 8 ( 3 3 ) ) 8 ( 3 ) ( 3 = 08 = P 3 (0) = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 3 7 3 ) P 3 () = 8 ( 3 ) 8 ( 3 ) 3 7 4 P 3 (8) = 8 ( 3 ) 8 ( P 3 (7) = 8 ( 3 ) 3 ) 3 7 5 8 7 ( ) 3 = 44 = 3 43 ( 3 = 044 = 0 48 ) ( 3 = 7008 = 73 48 ) ( 3 = 47 = 8 7 ) ( 3 3

Kapitola. Praktická část 3 P 3 () = 8 ( 3 ) ( 3 7 5 ) = = 83 = 5 7 P 3 (5) = ( 7 4 ) = 48 = 3 48 P 3 (4) = 3 = 43 = 08 P 3 (3) = = 88 = P 3 () = = 44 = 34 Pomocí těchto výsledků spočítejme pravděpodobnosti výhry hráče, remízy a výhry hráče B v prvním kole. 08 7 044 8 7008 4 47 350 P B4 (V ) = 44 4085 83 4453 48 45848 43 4440 88 4 44 455 = 80055. = 0,45048 7783 584 88 08 0 044 008 7008 7 P 4 (R) = 47 378 44 4 83 08 48 44 43 8 88 8 44 = 340050. = 0,50 7783 584 38375 08 358 044 80 7008 300 P 4 (V ) = 47 787 44 3 83 34 48 384 43 48 88 = 8557854. = 0,3343 7783

Kapitola. Praktická část 33 Ted už můžeme určit celkovou pravděpodobnost výhry hráče, remízy a výhry hráče B v celé hře: P (V ) = P 4 (V ) (P (R) P (V )) P 4 (R) P (V ) = = 8557854 7783 ( 50378 7783 83084 7783 ) 340050 7783 8078 7783. = 0,3787 P ( R) = P 4 (V ) P B (V ) P 4 (R) P (R) P B4 (V ) P 3 (V ) = = 8557854 7783 8334384 7783 340480 7783 340050 7783 80055 7783 0453 7783. = 0,3887 P B (V ) = P B4 (V ) (P B3 (V ) P 3 (R)) P 4 (R) P B (V ) = = 80055 7783 ( 58488 7783 050777 7783 ) 340050 7783 85583088 7783. = 0,30034 Hráč má o něco větší pravděpodobnost na výhru, což je v souladu s očekáváním, nebot hraje jako poslední, takže má větší možnosti reagovat na vývoj hry..5 Hra na více kol Jak by vypadala hra na více kol? Řekněme, že se hraje na n kol a vždy končí hráč. Pro n sudé začíná první kolo hráč, zatímco pro n liché začíná hru hráč B. Jak bychom postupovali při výpočtu pravděpodobností a strategií hráčů? Zřejmě bychom museli opět postupovat odzadu, tzn. od posledního kola, dále bychom spočítali předposlední kolo, až nakonec bychom skončili prvním kolem. Začněme výpočtem posledního kola. Před posledním kolem může některý z hráčů vést o n,n,...,0 bodů. Pokud je vedení některého z hráčů alespoň dvoubodové, pak je hra již rozhodnuta a celkově vítězí hráč, který je ve vedení. Jestliže hráč vede o bod, hráči postupují podle strategií popsaných v odstavci Strategie opatrného hráče.3., pokud je skóre vyrovnané, hráči se řídí strategiemi popsanými v odstavci Strategie normálního hráče.3., a nakonec, jestliže vede hráč B, hráči hrají se strategiemi popsanými v odstavci Strategie odvážného hráče.3.3. Pokračujeme výpočtem předposledního kola. Podobně před předposledním kolem může jeden z hráčů vést o n,n 3,...,0 bodů. Podobně platí, že jestliže nějaký hráč vede o alespoň tři body, potom už má celkové vítězství jisté. Pokud mají hráči stejně bodů, pak se vlastně jedná o hru na dvě kola, kterou máme popsanou v předchozích odstavcích. Jestliže některý z hráčů vede o dva body, stačí mu k vítězství i jedna remíza v alespoň jednom ze dvou kol, tedy hraje v obou kolech na remízu, zatímco druhý hráč musí hrát v obou

Kapitola. Praktická část 34 kolech na výhru. Pokud vyhrávající hráč začíná v daném kole, pak se hráči řídí strategiemi popsanými v odstavci Strategie odvážného hráče.3.3, jestliže hraje jako druhý, hráči hrají podle odstavce Strategie opatrného hráče.3.. Komplikovanější situace nastane, pokud některý z hráčů vede o jeden bod. by vedoucí hráč vyhrál, pak musí uhrát alespoň jeden bod, což znamená výhru nebo dvě remízy. Tedy v případě výhry v předposledním kole by už vyhrál celkově, v případě remízy by hrál v posledním kole na remízu, nakonec v případě prohry by hrál v posledním kole na výhru. Při výpočtech postupujeme podobně jako v prvním kole hry dvou hráčů na dvě kola..4 Podívejme se ted obecně na výpočet (k )-tého kola. Po k-tém kole může jeden z hráčů vést o k,k,...,0 bodů. Platí, že jestliže nějaký hráč vede o alespoň n k bodů, potom už má celkové vítězství jisté. Pokud některý z hráčů vede o n k bodů, stačí mu k celkovému vítězství remíza v jakémkoli kole, hraje ve všech kolech na remízu, zatímco druhý hráč hraje ve všech kolech na výhru. Pokud vyhrávající hráč začíná v daném kole, pak se hráči řídí strategiemi popsanými v odstavci Strategie odvážného hráče.3.3, jestliže hraje jako druhý, hráči hrají podle odstavce Strategie opatrného hráče.3.. Podívejme se na postup u dalších případů. Řekněme, že dané kolo začíná například hráč. Zapíše si nějakou bodovou hodnotu, hráč B na něho reaguje. Při rozhodování, které kostky si kdy nechat, by počítal s tzv. hodnotou výhry H B (V ) m,n k, která udává, jak cenná je pro hráče B výhra v (k )-tém kole, když by vedl (resp. prohrával) o m bodů (m,m k n,n k ) a zbývalo by n k kol do konce. Platil by pro ni vzorec H B (V ) m,n k = ( P B(V V ) m,n k P B(R V ) m,n k (P B (V R) m,n k P B(R R) m,n k ) P B (V R) m,n k P B(R R) m,n k (P B (V P) m,n k P B(R P) m,n k ) kde například P B (V R) m,n k je pravděpodobnost, že hráč B celkově vyhraje hru, když remizoval v (k )-tém kole, pokud vede o m bodů a zbývá n k kol do konce. Obdobné značení platí i pro ostatní pravděpodobnosti. Dále sestavíme tabulku toho, jak má hráč B reagovat na to, co hodil hráč. V tabulce ideální strategie IS označuje strategii s největším součtem H B (V ) m,n k P B (V ) P(R). Z této tabulky dopočítáme pravděpodobnosti, že hráč B vyhraje, remizuje, nebo vyhraje hráč, když hráč hodí určitý počet bodů. Vypočítáme hodnotu výhry H (V ) m,n k hráče. Prozkoumáme strategie hráče, zda se mu nevyplatí nenechat si čtyřku nebo pětku po druhém hodu, nebo pětku po prvním hodu. Spočítáme pravděpodobnosti výhry hráčů a remízy v daném kole. akonec spočítáme celkové pravděpodobnosti výhry hráčů a remízy v celé hře, když hráč B vede (resp. prohrává) po k-tém kole o m bodů. ),

Závěr Cílem práce bylo prozkoumat pravděpodobnosti hráčů na výhru, remízu a prohru a zjistit jejich optimální strategie při daném vývoji hry. Při hře jednoho hráče je řešení velice jednoduché, složitější bylo spočítat hru dvou hráčů na dvě kola, která obsahuje až překvapivě mnoho variant a zabírá největší část práce. ejprve se zabýváme druhým kolem, které je rozčleněno na tři základní varianty, ve kterých hráč, který hází jako druhý, postupně hraje opatrně na remízu, normálně, tzn. remíza má pro něho poloviční hodnotu jako výhra, a odvážně na výhru. ejlepších průměrných výsledků dosahuje pochopitelně hráč s normální strategií, zatímco opatrný hráč má výrazně menší šanci na výhru, naopak odvážný hráč má mnohem větší šanci na prohru. Zajímavostí je strategie hráče, který hází jako první a snaží se vyhrát, která se liší od strategie hry pro jednoho hráče v tom, že si po druhém hodu nenechá kombinace se čtyřkou a jedna až čtyřkou. Dále jsme zkoumali strategie hráčů v prvním kole, kde jsme museli vzít do úvahy výhodu hráče, který ve druhém kole hází jako druhý. Překvapivě druhý hráč hraje stejně jako normální hráč, ale první hraje s rozdílnou strategií. V souladu s očekáváním jsme zjistili, že celkově větší šanci na výhru má hráč, který hraje jako poslední. V závěru práce je naznačen výpočet pro hru na více kol, který je pro větší n velice zdlouhavý a relativně obtížný. 35

Seznam použité literatury [] FORBELSKÁ, Marie a Jan KOLÁČEK. Pravděpodobnost a statistika I.. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 03. Elportál. ISB 78-80-0-70-3. [] OSBORE, Martin J. n introduction to game theory. International ed. ew York: Oxford University Press, 00, xvii, 533 s. ISB 78053484 [3] ODRÁČKOVÁ EV, Základy kombinatoriky. Dostupné z http://mks.mff.cuni. cz/library/zakladykombinatorikyeo/zakladykombinatorikyeo.pdf [4] KOLÁŘ, Martin. plikace teorie her. Dostupné z http://www.math.muni.cz/ ~mkolar/hry.pdf [5] STĚK, Rostislav. Základy teorie her. Dostupné z https://is.muni.cz/auth/ el/45/jaro04/bpe_zth/um/475737/zth.pdf