VYOKÁ ŠKOL ÁŇKÁ TECHNICKÁ UNIVERZIT OTRV ZÁKLDY GEOMETRIE Jiří Doležal Vytvořeno v rámci rojetu Oeračního rogramu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 tudijní oory s řevažujícími distančními rvy ro ředměty teoreticého záladu studia. Tento rojet je solufinancován Evrosým sociálním fondem a státním rozočtem Česé reubliy EF ROVNÉ PŘÍLEŽITOTI PRO VŠECHNY
IN 80-248-1202-9
Zálady geometrie Obsah Obsah Obsah 3 Předmluva rojetu 5 Poyny e studiu 6 Úvod 7 1 Planimetrie 8 1. Konstruční lanimetricé úlohy............................. 8 2. olloniovy a Paovy úlohy............................... 9 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti........................... 10 3.1. Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti v rovině............. 10 3.2. olloniova úloha.............................. 15 3.3. olloniova úloha............................... 18 3.4. Tečny z bodu e ružnici............................. 28 3.5. Paova úloha................................ 31 3.6. Paova úloha................................ 34 3.7. Varianta olloniovy úlohy......................... 39 4. Mocnost bodu e ružnici................................. 45 4.1. Definice a záladní vlastnosti........................... 45 4.2. Chordála a otenční střed............................. 46 4.3. olloniova úloha.............................. 46 4.4. olloniova úloha.............................. 51 5. Geometricá zobrazení v rovině.............................. 57 5.1. hodná zobrazení (shodnosti) v rovině...................... 57 5.1.1. Posunutí (translace)........................... 59 Varianta olloniovy úlohy..................... 59 5.1.2. Otočení (rotace)............................. 63 Konstruce rovnostranného trojúhelnía z daných rvů........ 64 5.1.3. tředová souměrnost.......................... 69-3 -
Obsah Zálady geometrie Konstruce úsečy z daných rvů.................... 69 5.1.4. Osová souměrnost............................ 73 Konstruce bodu dané vlastnosti..................... 73 5.2. Podobná zobrazení (odobnosti) v rovině.................... 77 5.2.1. tejnolehlost............................... 77 olečné tečny dvou ružnic s různými oloměry............ 79 Čtverec vesaný do ostroúhlého trojúhelnía............... 83 Varianta olloniovy úlohy..................... 87 Paova úloha............................. 91 Varianta olloniovy úlohy...................... 96 2 tereometrie 110 1. Užité ojmy a metody zobrazení............................. 110 2. Rovinné řezy hranatých těles............................... 111 2.1. Prostorová osová afinita mezi dvěma rovinami................. 112 2.1.1. Řez rychle rovinou........................... 112 2.1.2. Řez olmého čtyřboého hranolu rovinou............... 117 2.1.3. Řez olmého ětiboého hranolu rovinou............... 122 2.2. Prostorová středová olineace mezi dvěma rovinami.............. 127 2.2.1. Řez ravidelného čtyřboého jehlanu rovinou............. 128 2.2.2. Řez ětiboého jehlanu rovinou.................... 131 3. Průni římy s tělesem.................................. 136 3.1. Průni římy s hranolem, válcem, jehlanem a uželem............ 137 3.1.1. Průni římy s olmým čtyřboým hranolem............ 137 3.1.2. Průni římy s rotačním válcem................... 140 3.1.3. Průni římy s ravidelným čtyřboým jehlanem.......... 142 3.1.4. Průni římy s rotačním uželem................... 145 Pracovní listy 148 Literatura 177 Rejstří 178-4 -
Zálady geometrie Předmluva rojetu TUDIJNÍ OPORY PŘEVŽUJÍCÍMI DITNČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLDU TUDI je název rojetu, terý usěl v rámci rvní výzvy Oeračního rogramu Rozvoj lidsých zdrojů. Projet je solufinancován státním rozočtem ČR a Evrosým sociálním fondem. Partnery rojetu jsou Regionální střediso výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita obrany v rně a Technicá univerzita v Liberci. Projet byl zahájen 5.1.2006 a bude uončen 4.1.2008. Cílem rojetu je zracování studijních materiálů z matematiy, desritivní geometrie, fyziy a chemie ta, aby umožnily ředevším samostatné studium a tím minimalizovaly očet ontatních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené texty jsou určeny studentům všech forem studia. tudenti ombinované a distanční formy studia je využijí samostudiu, studenti v rezenční formě si mohou dolnit zísané vědomosti. Všem studentům texty omohou ři rocvičení a ověření zísaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem rojetu je umožnit zvýšení valifiace široému setru osob, teré nemohly ve studiu na vysoé šole z různých důvodů (sociálních, rodinných, oliticých) oračovat bezrostředně o maturitě. V rámci rojetu jsou vytvořeny jedna standardní učební texty v tištěné odobě, onciované ro samostatné studium, jedna e-learningové studijní materiály, řístuné rostřednictvím internetu. oučástí výstuů je rovněž bana testových úloh ro jednotlivé ředměty, na níž si studenti ověří, do jaé míry zvládli rostudované učivo. ližší informace o rojetu můžete najít na adrese htt://www.studoory.vsb.cz/. Přejeme vám mnoho úsěchů ři studiu a budeme mít radost, oud vám ředložený text omůže ři studiu a bude se vám líbit. Protože nido není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, oud nás na ně uozorníte. EF ROVNÉ PŘÍLEŽITOTI PRO VŠECHNY - 5 -
Poyny e studiu Zálady geometrie POKYNY KE TUDIU Pro zvýraznění jednotlivých částí textu jsou oužívány iony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Výlad označuje samotný výlad učiva dané části. Řešené úlohy označují vzorové řílady, teré jsou těžištěm ráce. Přílad: uvádí zadání říladu. Literatura obsahuje seznam nih, teré byly oužity ři tvorbě říslušného textu a na teré byly říadně uvedeny odazy hlubšímu rostudování tématu. - 6 -
Zálady geometrie Úvod Úvod ředládaný studijní materiál je síše sbírou omfortně řešených úloh než souvislým učebním textem jednotlivé úlohy jsou řitom řešeny metodou ro o rou, tj. od zadání až o řešení je vyrýsována série něolia obrázů oatřených vysvětlujícím omentářem učební láta je rozdělena do dvou aitol: Planimetrie a tereometrie; v aždé z nich je stručně a heslovitě řiojena otřebná teorie v aitole Planimetrie jsou řešeny ředevším onstruční úlohy, v nichž se užívají množiny všech bodů dané vlastnosti, mocnost bodu e ružnici a geometricá zobrazení v rovině v aitole tereometrie je uázáno řešení rovinných řezů na hranatých tělesech a onstruce růniu římy s daným tělesem ro ohodlí čtenářovo je řiojen dodate s názvem Pracovní listy, v němž jsou sebrána zadání všech 26 úloh vyřešených v ředchozí části na závěr je uveden řehled užité literatury a rejstří významných ojmů na webových stránách rojetu (htt://www.studoory.vsb.cz/) lze najít interativní verzi těchto materiálů včetně 9 virtuálních 3D modelů e stereometricým úlohám, další atuální informace a řadu doumentů ve formátu PDF volně e stažení... - 7 -
Kaitola 1. Planimetrie Zálady geometrie Planimetrie Tematicý obsah Množiny všech bodů dané vlastnosti Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti, Řešené úlohy Mocnost bodu e ružnici Definice a záladní vlastnosti, Chordála a otenční střed, Řešené úlohy Geometricá zobrazení Posunutí, Otočení, tředová souměrnost, Osová souměrnost, tejnolehlost 1. Konstruční lanimetricé úlohy Výlad v rámci tohoto studijního materiálu byly zracovány zejména řešené onstruční úlohy v těchto úlohách jde ředevším o to sestrojit (zonstruovat) ředesaný geometricý útvar, terý bude mít ožadované vlastnosti řitom jsou užívány výhradně tzv. euleidovsé onstruce omocí ravíta a ružíta části ostuu řešení onstruční úlohy: 1. Rozbor: ředoládáme, že úloha je vyřešená, načrtneme ilustrační obráze a snažíme se najít vztahy mezi danými a hledanými útvary - 8 -
Zálady geometrie 2. olloniovy a Paovy úlohy 2. Konstruce: na záladě rozboru sestavíme ostu onstruce a odle něj rovedeme onstruci graficy (v ředládaném studijním materiálu je rováděna římo graficá onstruce ro o rou oatřená vysvětlujícím omentářem) 3. Zouša: ontrola srávnosti onstruce 4. Disuze: v této části se stanovují odmíny řešitelnosti úlohy a očet řešení odle vzájemné olohy zadaných rvů; řitom ostuujeme ta, že rocházíme jednotlivé roy onstručního ostuu a zoumáme očet možných řešení těchto jednotlivých roů (u něterých úloh je disuze řenechána čtenáři jao cvičení) 2. olloniovy a Paovy úlohy Výlad větší část zde řešených úloh atří mezi tzv. olloniovy a Paovy úlohy zadání tzv. obecné olloniovy úlohy: sestrojte ružnici, terá se dotýá tří daných ružnic řiustíme-li v obecné olloniově úloze doty hledané ružnice taé s římami říadně rocházení body, dostaneme sérii desíti tzv. olloniových úloh:,,,,,,,,, ( bod, říma, ružnice) - 9 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie v rámci těchto studijních materiálů byly vyřešeny následující olloniovy úlohy: (viz strana 15), (strana 46), (strana 51), - varianta rovnoběžy (strana 59), - varianta různoběžy (strana 87), (strana 18), - varianta rovnoběžy (strana 39), - varianta různoběžy (strana 96) seciálním říadem olloniových úloh jsou úlohy Paovy: dvěma ze tří daných útvarů jsou vždy říma nebo ružnice s daným bodem dotyu tato lze zísat sérii šesti Paových úloh:,,,,, v rámci těchto studijních materiálů byly vyřešeny následující Paovy úlohy: (strana 31), (strana 91), (strana 34) omlexně zracované řešení všech olloniových a Paových úloh je odáno nař. v dilomové ráci Evy Patáové (viz htt://geometrie.ma.zcu.cz/wor/u/uvod/uvod.html) 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3.1. Záladní množiny všech bodů dané vlastnosti v rovině Výlad množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme taový geometricý útvar G, jehož body slňují následující dvě odmíny: 1. aždý bod útvaru G má danou vlastnost V 2. aždý bod, terý má danou vlastnost V, je bodem útvaru G - 10 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Přehled nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti v rovině M1 množina všech bodů, teré mají od daného bodu danou vzdálenost r, je ružnice (, r) r tato ružnice je taé množinou všech středů ružnic, jež mají daný oloměr r a rocházejí daným bodem r M2 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných navzájem různých bodů,, je osa úsečy, terá je olmá úsečce a rochází jejím středem o - 11 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie tato osa úsečy je taé množinou všech středů ružnic, jež rocházejí danými body, o M3 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných navzájem různých rovnoběže, q ( q, q), je osa ásu jimi omezeného q o tato osa ásu je taé množinou všech středů ružnic, jež se dotýají daných rovnoběže, q q o M4 množina všech bodů, teré mají stejnou vzdálenost od dvou daných různoběže, q, jsou navzájem olmé osy o 1, o 2 (o 1 o 2 ) úhlů sevřených římami, q o 2 V q o 1-12 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti tyto osy úhlů jsou taé vyjma jejich růsečíu V =o 1 o 2 množinou všech středů ružnic, jež se dotýají daných různoběže, q o 2 V q o 1 M5 množina všech bodů, z nichž je danou úseču vidět od ravým úhlem, je ružnice sestrojená nad růměrem (tzv. Thaletova ružnice nad daným růměrem) vyjma bodů, tato Thaletova ružnice je jina taé množinou všech vrcholů ravých úhlů, jejichž ramena rocházejí danými dvěma různými body, M6 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané římy v jejím daném bodě T, je říma n jdoucí daným bodem T olmo dané římce (normála římy v bodě T ; T n, n ) vyjma bodu T n T n T - 13 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie M7 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané ružnice (, r= T ) v jejím daném bodě T, je říma n=t (normála ružnice v bodě T ) vyjma bodů, T T n T n M8 množina všech středů ružnic, teré se dotýají dané ružnice (, r) a mají daný oloměr r, jsou soustředné ružnice 1 (, r + r ) (ro vnější doty s ) a 2 (, r r ) (ro vnitřní doty s ) ro r > r ro r > r r+r r r 2 2 1 1-14 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ro r < r ro r < r r r r+r 2 2 1 1 3.2. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází třemi danými navzájem různými body,, C. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní tři navzájem různé body,, C a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... C - 15 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie zřejmě ro body,, C, latí = = C =r (viz množinu M1 na straně 11 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) C r r r střed ružnice má stejnou vzdálenost r od bodu i od bodu, a musí tedy ležet na ose úsečy (viz množinu M2 na straně 11 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); ze stejného důvodu leží taé na ose úsečy C a současně na ose úsečy C; stačí tedy sestrojit dvě z těchto tří os, najít jejich růsečí, terý je nutně středem hledané ružnice (viz následující onstruce) C r r r Konstruce: - 16 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé body,, C C odle závěru rozboru sestrojme nař. osy o a a o c úseče C a : o a C, a o a, de a je středem úsečy C, odobně o c, c o c, de c je středem úsečy C o a a c o c bod =o a o c je a středem hledané ružnice (, r= = = C ), terá je tzv. ružnicí osanou trojúhelníu C C o a a c o c - 17 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení vyjma říadu, dy dané navzájem různé body,, C leží v jedné římce (jsou tzv. olineární), v tomto říadě řešení neexistuje (osy úseče, C, C jsou rovnoběžné a nelze tedy sestrojit jejich růsečí). 3.3. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá tří daných navzájem různých říme a, b, c. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme tři její navzájem různé tečny a, b, c a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... b c a - 18 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti zřejmě ro římy a, b, c a bod latí a = b = c =r, tj. střed ružnice má stejnou vzdálenost r od říme a, b, c b T c r r T b c r T a a odle vlastností množiny M 4 (viz strana 12) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti musí tedy bod ležet na jedné z os úhlů římami a, b sevřených; ze stejného důvodu leží taé na jedné z os úhlů sevřených římami a, c a současně na jedné z os úhlů sevřených římami b, c; tím je nalezen vztah mezi danými (římy a, b, c) a hledanými (ružnice, ředevším její střed ) rvy a je možno řistouit následující onstruci b T c r r T b c r T a a - 19 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie Konstruce (dosti náročná na řesnost rýsování): zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé římy a, b, c b c a - 20 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle závěru rozboru sestrojme nejrve růsečí C=a b daných říme a, b a jím ved me obě osy o 14 a o 23 (o 14 o 23 ) úhlů římami a, b sevřených b C o 23 c o 14 a - 21 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie totéž roved me analogicy v bodě =a c: zde zísáme osy o 13 a o 24 (o 13 o 24 ) úhlů sevřených římami a, c; a ještě naosled rozdělme osami o 12 a o 34 (o 12 o 34 ) úhly sevřené římami b, c (ty se rotínají v bodě =b c) b o 12 o 34 o 13 o 23 C o 24 c o 14 a - 22 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti ři řesném rýsování musí vyjít, že se vždy tři ze šesti sestrojených os rotínají v jednom bodě: zísáme ta celem čtyři růsečíy 1 =o 12 o 13 o 14, 2 =o 12 o 23 o 24, 3 =o 13 o 23 o 34 a 4 =o 14 o 24 o 34 ; odle M4 ro aždý tato sestrojený bod i, de i=1, 2, 3, 4, latí, že jeho vzdálenost od daných říme a, b, c je stejná, a je to tedy střed hledané ružnice; ro větší řehlednost sestrojme tyto ružnice ostuně b o 12 4 o 34 3 1 o 13 o 23 C o 24 c o 14 a 2-23 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie bodem 1 ved me olmice daným tečnám a, b, c a v růsečících najdeme říslušné body dotyu; bod 1 leží ve vnitřní oblasti trojúhelnía C a ružnice 1 ( 1, r 1 = a 1 = b 1 = = c 1 ) se tudíž nazývá ružnicí trojúhelníu C vesanou b o 12 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 C o 24 c o 14 a 2-24 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odobně sestrojme ružnici 2 ( 2, r 2 = a 2 = b 2 = c 2 ) tzv. řisanou e straně a trojúhelnía C b o 12 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 C o 24 c o 14 a 2-25 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie analogicy ro ružnici 3 ( 3, r 3 = a 3 = b 3 = c 3 ) řisanou e straně b trojúhelnía C b o 12 3 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 C o 24 c o 14 a 2-26 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti a onečně je dolněna i ružnice 4 ( 4, r 4 = a 4 = b 4 = c 4 ) řisaná e straně c trojúhelnía C 4 b o 12 3 4 o 34 3 1 o 13 1 o 23 2 C o 24 c o 14 a 2 Disuze: V obecném říadě má úloha rávě čtyři řešení; jsou-li dvě z říme a, b, c rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, má tato úloha rávě dvě řešení (ro rovnoběžy se sestrojí osa ásu jimi určeného - viz množina M3 na straně 12 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); jsou-li všechny tři dané římy a, b, c rovnoběžné, nemá úloha žádné řešení (osy říslušných ásů jsou taé rovnoběžné). - 27 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie 3.4. Tečny z bodu e ružnici Řešené úlohy Přílad: Daným bodem M ved te tečny dané ružnici (, r). Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme dvě její nerovnoběžné tečny t 1, t 2, teré se rotínají v bodě M, a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... t 1 T 1 M T 2 t 2 zřejmě je T 1 t 1 a T 2 t 2, de T 1 res. T 2 je bod dotyu tečny t 1 res. tečny t 2 a ružnice t 1 T 1 M T 2 t 2-28 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti úseču M je tedy z bodu T 1 i z bodu T 2 vidět od ravým úhlem a odle vlastností množiny M 5 (viz strana 13) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti leží body T 1, T 2 na Thaletově ružnici l(o, 1 M ) sestrojené nad růměrem 2 M t 1 T 1 l O M T 2 t 2 Konstruce: zadání úlohy: je dána ružnice (, r) a bod M M - 29 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie odle závěru rozboru sestrojme Thaletovu ružnici l(o, 1 M ) nad růměrem M, 2 de bod O je tedy středem úsečy M l O M nyní stačí najít růsečíy T 1, T 2 dané ružnice a sestrojené ružnice l a vést jimi hledané tečny t 1 =MT 1, t 2 =MT 2 z bodu M e ružnici t 1 T 1 l O M T 2 t 2 Disuze: Úloha má rávě dvě řešení osově souměrná odle římy M, leží-li daný bod M ve vnější oblasti dané ružnice ; jestliže je bod M bodem ružnice, a má úloha rávě jedno řešení (bod M je současně bodem dotyu dané ružnice, sestrojené Thaletovy ružnice l i hledané tečny t); v říadě, že bod M leží ve vnitřní oblasti ružnice, řešení neexistuje (Thaletova ružnice l ružnici nerotíná nebo ro =M ružnice l neexistuje). - 30 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti 3.5. Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se dané římy t v daném bodě T. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní dva body, T, v bodě T dolňme tečnu t a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... t T střed ružnice musí ležet na normále n tečny t v bodě T (viz množinu M6 na straně 13 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) t T n - 31 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie současně musí střed ružnice ležet taé na ose o úsečy T (viz množinu M2 na straně 11 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti); ro řešení této úlohy se tedy využijí hned dvě různé množiny bodů dané vlastnosti T o t O n Konstruce: zadání úlohy: je dán bod, říma t a na ní bod T (T t) T t - 32 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle rozboru sestrojme nejrve normálu n římy t v bodě T : T n a n t T t n dále sestrojme osu o úsečy T : O o, de bod O je středem úsečy T, a o T T t o O n bod =n o je a středem hledané ružnice (, r= = T ), terá rochází daným bodem a dotýá se dané římy t v daném bodě T T t o O n - 33 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie Disuze: Úloha má rávě jedno řešení, jestliže bod neleží na římce t; je-li t a T, a úloha nemá žádné řešení (normála n a osa o úsečy T jsou rovnoběžné); je-li =T, má úloha neonečně mnoho řešení (všechny ružnice, jejichž středy leží na normále n vyjma bodu =T ). 3.6. Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dané ružnice (, r = T ) v daném bodě T a dané římy. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní bod T, řiresleme ružnici (, r), terá se dotýá ružnice v bodě T, dolňme tečnu e ružnici a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... T - 34 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti střed ružnice musí ležet na normále n=t ružnice v bodě T (viz množinu M7 na straně 14 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) T n současně musí mít střed ružnice stejnou vzdálenost r od římy i od římy t, terá je solečnou tečnou ružnic a v bodě T t T T n - 35 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie odle vlastností množiny M 4 (viz strana 12) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti leží tedy bod na jedné z os úhlů sevřených římami t a ; ro řešení této úlohy se tedy využijí hned dvě různé množiny bodů dané vlastnosti R t T T o n Konstruce: zadání úlohy: je dána ružnice (, r= T ) s bodem T dotyu (T ) a říma T - 36 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle rozboru sestrojme nejrve normálu n=t ružnice v bodě T T n nyní dolňme tečnu t e ružnici v bodě T (T t a t n) a najděme růsečí R=t R T t n - 37 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie bodem R sestrojme obě osy o 1 a o 2 (o 1 o 2 ) úhlů sevřených římami t a R o 2 T t n o 1 bod 1 =n o 1 je a středem hledané ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 T ), terá se dotýá dané ružnice v daném bodě T (tzv. vnější doty) a taé se dotýá dané římy R o 2 T T 1 t 1 1 n o 1-38 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odobně je bod 2 =n o 2 taé středem hledané ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 T ), terá se dotýá dané římy a s danou ružnicí má v daném bodě T tzv. vnitřní doty T 2 2 R o 2 T T 1 2 t 1 1 n o 1 Disuze: Necht t je tečna ružnice v bodě T. Úloha má rávě dvě řešení, jestliže říma je různoběžná s tečnou t a současně T ; je-li T a říma není tečnou ružnice (tj. t), a úloha nemá žádné řešení; úloha má rávě jedno řešení, jestliže je t a současně T (ři řešení se místo množiny M4 využije množina M3 viz strana 12); je-li říma tečnou ružnice v bodě T (tj. = t), a má úloha neonečně mnoho řešení. 3.7. Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dvou daných různých rovnoběžných říme, q ( q, q) a dané ružnice (, r). - 39 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme dvě její navzájem různé rovnoběžné tečny, q ( q, q), ružnici (, r), terá se dotýá ružnice, a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... q střed ružnice musí ležet na ose o ásu omezeného rovnoběžami, q (viz množinu M3 na straně 12 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) a ro oloměr r ružnice latí r = 1 2 q r o q - 40 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti odle vlastností množiny M 8 (viz strana 14) z řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti musí tedy bod ležet taé na jedné ze soustředných ružnic l 1 (, r+r ) nebo l 2 (, r r ); v náčrtu je zvolen vnější doty ružnic, a střed tedy leží na ružnici l 1 (, r+r ) l 1 r r+r o q Konstruce: zadání úlohy: jsou dány dvě různé rovnoběžy, q ( q, q) a ružnice (, r) q - 41 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie nejrve sestrojme osu o ásu omezeného rovnoběžami, q, na níž bude ležet střed hledané ružnice o q dále sestrojme ružnice l 1 (, r+r ) a l 2 (, r r ), de r = 1 q = o = oq, na nichž 2 leží středy ružnic, teré se dotýají ružnice a mají zjištěný oloměr r l 1 l 2 o q - 42 -
Zálady geometrie 3. Množiny všech bodů dané vlastnosti nyní ostuně hledejme růsečíy osy o s ružnicemi l 1, l 2 : osa o rotíná ružnici l 1 ve dvou bodech, jeden z nich označme 1 a odle rozboru je to střed hledané ružnice 1 ( 1, r ), terá se dotýá daných rovnoběže, q i dané ružnice (, r); body dotyu na římách, q jsou růsečíy těchto říme s olmicí ose o vedenou bodem 1 ; bod dotyu ružnic 1 a najdeme jao růsečí úsečy 1 s ružnicí l 1 l 2 o 1 q 1 druhý růsečí osy o a ružnice l 1 označme 2 a oišme olem něj ružnici 2 ( 2, r ); ružnice 1 a 2 jsou zřejmě osově souměrné odle olmice ose o vedené středem ; současně mají obě tato řešení 1, 2 vnější doty s danou ružnicí l 1 l 2 2 2 o 1 q 1-43 -
3. Množiny všech bodů dané vlastnosti Zálady geometrie třetím řešením úlohy je ružnice 3 ( 3, r ), de bod 3 je jedním z růsečíů osy o s ružnicí l 2 ; v tomto říadě najdeme bod dotyu ružnic 3 a jao růsečí ružnice s olořímou 3 l 1 l 2 3 2 2 o 1 3 q 1 analogicy dolňme oslední ružnici 4 ( 4, r ), de 4 je druhým růsečíem osy o a ružnice l 2 ; tato ružnice 4 je oět osově souměrná s ružnicí 3 odle téže osy; obě tato řešení 3, 4 mají s danou ružnicí vnitřní doty l 1 l 2 3 4 o 1 3 4 2 2 q 1 Disuze: Úloha může mít čtyři, tři, dvě, jedno nebo žádné řešení. Podrobnější rovedení disuze je řenecháno čtenáři jao cvičení. - 44 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici 4. Mocnost bodu e ružnici 4.1. Definice a záladní vlastnosti Výlad necht je v rovině dána ružnice (, r) a bod M; mocností bodu M e ružnici nazýváme reálné číslo m = v 2 r 2, de v = M m > 0 res. m = 0 res. m < 0, rávě dyž bod M leží ve vnější oblasti ružnice res. bod M leží na ružnici res. bod M leží ve vnitřní oblasti ružnice leží-li bod M ve vnější oblasti ružnice a T je bodem dotyu tečny t vedené z bodu M e ružnici, a latí MT 2 = v 2 r 2 = m (lyne z Pythagorovy věty, viz obr. a) ro růsečíy, ružnice a její libovolné sečny vedené bodem M latí M M = = m res. M M = m, je-li bod M ve vnější res. ve vnitřní oblasti ružnice 1. ro sečnu jdoucí středem ružnice je tvrzení zřejmé (viz obr. b): M M = = (v +r) (v r) = v 2 r 2 = m nebo M M = (r+v) (r v) = r 2 v 2 = m 2. jestliže jiná sečna vedená bodem M rotíná ružnici v bodech, (viz obr. c), a jsou trojúhelníy M a M odobné (odle věty uu), a tudíž latí: M = M a odtud M M = M M M M a) b) c) t T M M M M M - 45 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie 4.2. Chordála a otenční střed dá se uázat, že množinou všech bodů, teré mají stejnou mocnost e dvěma různým nesoustředným ružnicím 1 ( 1, r 1 ), 2 ( 2, r 2 ) je říma olmá e středné s = 1 2 daných ružnic; tato říma se nazývá chordála ružnic 1, 2 onstruci chordály uazují následující obrázy a) ružnice 1, 2 se rotínají v bodech,, jež mají stejnou mocnost m = 0 oběma ružnicím; je tudíž chordála = b) ružnice 1, 2 se dotýají v bodě T, terý má oběma stejnou mocnost m = 0; chordálou je tedy solečná tečna v bodě T c) ružnice 1, 2 nemají žádný solečný bod; zvolme omocnou ružnici (, r ), terá rotíná obě ružnice 1, 2, a sestrojme chordálu 1 ružnic, 1 a chordálu 2 ružnic, 2 ; růsečí P = 1 2 má a stejnou mocnost e všem třem ružnicím, 1, 2, je to jejich tzv. otenční střed; bodem P a rochází taé chordála 1 2 ružnic 1, 2 a) b) c) 1 1 1 1 2 2 T 1 2 2 1 2 2 P 1 2 4.3. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází danými různými body, a dotýá se dané římy. - 46 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní dva body,, dolňme tečnu a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... střed ružnice musí ležet na ose o úsečy (viz množinu M2 na straně 11 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o necht je P = a T je bodem dotyu římy a ružnice ; z vlastností mocnosti bodu P e ružnici a lyne: P T 2 = P P ; díy tomu lze bod T dotyu sestrojit... o P T - 47 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie Konstruce: zadání úlohy: jsou dány různé body, a říma odle rozboru sestrojme nejrve osu o úsečy o - 48 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici dále najděme růsečí P = o P nad úsečou P sestrojme Thaletovu ůlružnici a na ní vrchol R ravoúhlého trojúhelnía RP, v němž je úseča R výšou; odle Euleidovy věty o odvěsně a latí P R 2 = P P o R P - 49 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie nyní stačí na římu od bodu P nanést veliost úsečy P R a tím zísáme body T 1, T 2 dotyu římy a hledaných ružnic 1, 2 o R T 2 P T 1 střed 1 ružnice 1 ( 1, r 1 ) leží na ose o a na olmici vedené bodem T 1 římce o R 1 1 T 2 P T 1-50 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici odobně rotíná normála římce vedená bodem T 2 osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 ), jež taé rochází danými body, a dotýá se dané římy o 2 R 1 1 2 T 2 P T 1 Disuze: Úloha nemá žádné řešení, jestliže body, leží v různých olorovinách určených hraniční římou nebo je-li a současně ; je-li, má úloha rávě jedno řešení (osa o úsečy rotíná římu římo v bodě T dotyu); leží-li body, uvnitř jedné oloroviny ohraničené římou a, a má úloha rávě dvě řešení; jestliže rávě jeden z bodů, leží na římce, jedná se o Paovu úlohu. 4.4. olloniova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází danými různými body, a dotýá se dané ružnice (, r). - 51 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici 1 o středu 1 a libovolném oloměru r 1, zvolme na ní dva body,, dolňme dotyovou ružnici (, r) a nyní zoumejme vztahy, teré zde latí... 1 1 střed 1 ružnice 1 musí ležet na ose o úsečy (viz množinu M2 na straně 11 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o 1 1 solečná tečna t ružnic, 1 je současně taé jejich chordálou; růsečí P = t má tedy stejnou mocnost e ružnici i e ružnici 1 P o 1 T 1 t - 52 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici bodem P a musí rocházet i chordála dané ružnice a zvolené ružnice (, r ), terá rochází body, (tj. o); díy tomu lze otenční střed P ružnic,, 1 a následně tečnu t sestrojit... P o 1 T t 1 Konstruce: zadání úlohy: jsou dány různé body, a ružnice (, r) - 53 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie odle rozboru sestrojme nejrve osu o úsečy o dále zvolme ružnici (, r ) ta, aby rocházela body, (její střed tedy leží na ose o) a aby rotínala ružnici o - 54 -
Zálady geometrie 4. Mocnost bodu e ružnici sestrojme chordálu ružnic, a na ní bod P =, terý je hledaným otenčním středem P o bodem P ved me tečny t 1, t 2 e ružnici a dolňme říslušné body T 1, T 2 dotyu (viz úloha Tečny z bodu e ružnici na straně 28) P T 2 t 2 o T 1 t 1-55 -
4. Mocnost bodu e ružnici Zálady geometrie střed 1 hledané ružnice 1 ( 1, r 1 ) a leží na ose o a na římce T 1 (ružnice a 1 mají vnější doty) P T 2 t 2 o 1 1 T 1 t 1 odobně rotíná říma T 2 osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 ), jež taé rochází danými body, a dotýá se dané ružnice (ružnice a 2 mají vnitřní doty) P T 2 t 2 o 1 T 1 1 2 t 1 2-56 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Disuze: Úloha nemá žádné řešení, jestliže jeden z bodů, leží ve vnitřní a druhý ve vnější oblasti ružnice nebo jestliže oba body, leží na ružnici ; leží-li oba body, ve vnitřní nebo ve vnější oblasti ružnice, a má úloha rávě dvě řešení; jestliže rávě jeden z bodů, leží na ružnici, jedná se o Paovu úlohu, terá se řeší omocí množin všech bodů dané vlastnosti a má rávě jedno řešení. 5. Geometricá zobrazení v rovině Výlad geometricým zobrazením v rovině se rozumí ředis, terý libovolnému bodu X roviny řiřazuje jao jeho obraz rávě jeden bod X téže roviny jestliže v daném zobrazení slývá bod X se svým obrazem X, a se bod X = X nazývá samodružným bodem daného zobrazení necht U je geometricý útvar a U jeho obraz v daném zobrazení; jestliže obraz aždého bodu útvaru U je oět bodem tohoto útvaru, a obraz U slývá s útvarem U a taový útvar U = U se nazývá samodružným útvarem daného zobrazení; je-li aždý bod samodružného útvaru U samodružný, a je útvar U tzv. silně samodružný v daném zobrazení, jina je slabě samodružný 5.1. hodná zobrazení (shodnosti) v rovině Výlad rosté zobrazení v rovině se nazývá shodným zobrazením nebo rátce shodností, rávě dyž ro aždé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X, Y v tomto zobrazení latí X Y = XY, tj. shodnost zachovává délu úsečy zvláštním říadem shodnosti je tzv. identita, v níž je aždému bodu X roviny řiřazen tentýž bod X = X - 57 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie Záladní vlastnosti shodností obrazem aždé úsečy je úseča s ní shodná ( = ) obrazy rovnoběžných říme jsou rovnoběžné římy, tj. shodnost zachovává rovnoběžnost obrazem aždého trojúhelnía C je trojúhelní C s ním shodný Rozdělení shodností římé libovolný trojúhelní a jeho obraz jsou římo shodné, tj. mají souhlasnou orientaci vrcholů identita, osunutí (translace), otočení (rotace), středová souměrnost neřímé libovolný trojúhelní a jeho obraz jsou neřímo shodné, tj. mají nesouhlasnou orientaci vrcholů osová souměrnost, osunutá souměrnost C římo shodné C neřímo shodné C ládání shodností složením dvou římých nebo dvou neřímých shodností vznine římá shodnost složením římé a neřímé shodnosti vznine neřímá shodnost aždou římou shodnost lze složit ze dvou osových souměrností aždou neřímou shodnost lze složit ze středové souměrnosti a osové souměrnosti - 58 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.1. Posunutí (translace) Výlad osunutí (translace) v rovině je římá shodnost, terá aždému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí XX = s, de s je daný vetor vetoru s se říá vetor osunutí, jeho déla udává délu osunutí a jeho směr určuje směr osunutí osunutí je jednoznačně určeno vetorem osunutí osunutí nemá samodružné body; (slabě) samodružné jsou všechny římy rovnoběžné se směrem osunutí je-li říma obrazem dané římy v osunutí, a latí s X C C X Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se daných různých rovnoběžných říme, q ( q, q). Rozbor úlohy: - 59 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici o středu a libovolném oloměru r, zvolme na ní bod, řidejme rovnoběžné tečny, q a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... q střed ružnice zřejmě musí ležet na ose o ásu omezeného rovnoběžami, q (viz množinu M 3 na straně 12 v řehledu nejužívanějších množin všech bodů dané vlastnosti) o q na římce o zvolme bod ta, aby ružnice (, r= ) olem něj osaná nerocházela bodem ; ružnice se taé dotýá rovnoběže, q a odovídá ružnici v osunutí určeném směrovým vetorem s = ; v tomto osunutí je obrazem bodu bod ; v následující onstruci zusme tedy nejrve zvolit ružnici a jejím osunutím v oačném směru vyřešíme danou úlohu o s q - 60 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: je dán bod a dvě různé rovnoběžné římy, q ( q, q) q nejrve sestrojme osu o (o q) rovinného ásu omezeného rovnoběžami, q o q dále zvolme na římce o bod a dolňme ružnici (, r= o = oq ), terá se dotýá říme, q o q - 61 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie ved me římu a ta, že a o, a, a najděme jeden její růsečí 1 s ružnicí ; body, 1 a určují vetor s 1 = 1 zětného osunutí T 1, o němž byla zmína v rozboru úlohy s 1 1 a o q v osunutí T 1 sestrojme obraz 1 středu (latí 1 1) a tím zísáme střed hledané ružnice 1 ( 1, r), terá rochází daným bodem a dotýá se daných různých rovnoběže, q s 1 1 a o 1 1 q říma a rotíná ružnici ještě v bodě 2, terý solu s bodem určuje vetor s 2 = 2 zětného osunutí T 2 s 2 2 s 1 1 a o 1 1 q - 62 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině oět najděme obraz 2 středu v osunutí T 2 (odobně latí 2 2) a obdržíme střed ružnice 2 ( 2, r), terá je druhým řešením dané úlohy s 2 2 s 1 1 a o 1 1 2 2 q Disuze: Úloha má rávě dvě řešení, leží-li daný bod uvnitř ásu určeného danými různými rovnoběžami, q; jestliže bod leží na něteré z říme nebo q ( nebo q), a má úloha jediné řešení (varianta Paovy úlohy ); leží-li bod vně ásu určeného rovnoběžami, q, a úloha nemá žádné řešení. Poznáma: Na závěr oznamenejme, že úlohu je možno řešit snadno taé jen s oužitím množin všech bodů dané vlastnosti (viz množiny M1 na straně 11 a M3 na straně 12). 5.1.2. Otočení (rotace) Výlad otočení (rotace) olem středu o úhel veliosti ϕ (0 < ϕ 360 ) v daném ladném nebo záorném smyslu je římá shodnost, terá řiřazuje bodu týž bod = a aždému jinému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X leží na ružnici o středu a oloměru X 2. oloříma X se zísá otočením olořímy X o daný úhel otočení veliosti ϕ v daném smyslu (ladném, tj. roti směru ohybu hodinových ručiče; nebo záorném, tj. o směru ohybu hodinových ručiče) - 63 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie otočení je jednoznačně určeno středem otočení, veliostí úhlu otočení ϕ a daným smyslem otočení ro veliost ϕ = 360 úhlu otočení jsou všechny body roviny samodružné, ro ϕ 360 je samodružný ouze střed ; ro veliost ϕ = 360 úhlu otočení jsou všechny římy roviny (silně) samodružné, ro veliost ϕ = 180 jsou (slabě) samodružné všechny římy jdoucí bodem, v ostatních říadech (ϕ 360, ϕ 180 ) otočení samodružné římy nemá C X C ϕ X Konstruce rovnostranného trojúhelnía z daných rvů Řešené úlohy Přílad: Jsou dány tři navzájem různé rovnoběžné římy a, b, c (a b c) a bod a; sestrojte rovnostranný trojúhelní C ta, aby byl b a C c. Rozbor úlohy: - 64 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme rovnostranný trojúhelní C, jeho vrcholy,, C ved me o řadě tři různé rovnoběžné římy a, b, c a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... a b c C z vlastností rovnostranného trojúhelnía lyne, že otočení olem středu o úhel veliosti 60 v ladném smyslu řiřazuje vrcholu obraz = C a 60 b c C= - 65 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie ro řešení úlohy bude tedy stačit v tomto otočení sestrojit obraz b římy b a najít růsečí říme b, c (dá se uázat, že jeden z úhlů, teré svírají říma b a její obraz b má veliost rovnu veliosti úhlu oužitého otočení) a 60 b c C= b 60 Konstruce: zadání úlohy: jsou dány tři navzájem různé rovnoběžné římy a, b, c (a b c) a bod a a b c - 66 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině sestrojme obraz b 1 římy b v otočení R 1 olem středu o úhel veliosti 60 v ladném směru a to nařílad tato: na římce b sestrojme bod ta, že b, určeme jeho obraz 1 v otočení R 1 a tímto ved me římu b 1 1, 1 b 1 a 1 b c b 1 růsečí C 1 = b 1 c je a vrcholem hledaného rovnostranného trojúhelnía 1 C 1, jehož třetí vrchol 1 najdeme na římce b a 1 b 1 C 1 c b 1-67 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie tytéž onstruce roved me taé v otočení R 2, teré se od R 1 liší ouze záorným smyslem otočení: obrazem 2 bodu v otočení R 2 sestrojme římu b 2 2, 2 b 2 jao obraz římy b v tomto otočení R 2 b 2 a 2 1 b 1 C 1 c b 1 růsečí C 2 = b 2 c je a rovněž vrcholem hledaného rovnostranného trojúhelnía 2 C 2, terý je druhým řešením dané úlohy; trojúhelníy 1 C 1 a 2 C 2 jsou zřejmě osově souměrné odle římy b 2 a 2 1 b 1 C 1 2 c C 2 b 1 Disuze: Úloha má vždy rávě dvě řešení osově souměrná odle římy jdoucí bodem olmo římce a. - 68 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.3. tředová souměrnost Výlad středová souměrnost se středem je římá shodnost, terá řiřazuje bodu týž bod = a aždému jinému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X leží na olořímce oačné olořímce X 2. X = X středová souměrnost je jednoznačně určena středem souměrnosti samodružný je rávě jen střed souměrnosti; (slabě) samodružné jsou všechny římy jdoucí bodem středová souměrnost je seciálním říadem otočení o úhel veliosti 180 je-li říma obrazem římy v dané středové souměrnosti, a latí X C C X Konstruce úsečy z daných rvů Řešené úlohy Přílad: Jsou dány dvě různoběžné římy a, b a bod, de a, b; sestrojte úseču ta, aby měla střed v bodě a aby latilo a, b. - 69 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: různoběžy a, b rocházejí o řadě rajními body, úsečy, terá má střed v bodě ; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... a b uvažujme růsečí R = a b a jeho obraz R ve středové souměrnosti o středu a R b R v této středové souměrnosti je obrazem bodu bod = a obrazem římy a = R je říma a = R, de a a; odobně je obrazem bodu bod = a obrazem římy b je říma b = R, b b a = b R R b = a - 70 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: jsou dány dvě různoběžné římy a, b a bod, ro terý latí a, b a b sestrojme bod R souměrný odle středu s růsečíem R = a b a R b R - 71 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie bodem R ved me římu a a, R a a římu b b, R b a R b b R a růsečí = a b a růsečí = b a jsou a rajními body hledané úsečy, terá má střed v daném bodě a R b b R a Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. - 72 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině 5.1.4. Osová souměrnost Výlad osová souměrnost s osou o je neřímá shodnost, terá aždému bodu X roviny řiřazuje obraz X ta, že latí: 1. bod X = X, rávě dyž bod X leží na ose o souměrnosti 2. bod X leží na olmici ose o vedené bodem X a to v oačné olorovině určené osou o než bod X 3. ox = ox osová souměrnost je jednoznačně určena osou o souměrnosti samodružnými body jsou rávě jen všechny body osy o; silně samodružná je osa o, slabě samodružné jsou všechny římy olmé ose o říma a její obraz mají stejnou odchylu od osy o souměrnosti X C X C o Konstruce bodu dané vlastnosti Řešené úlohy Přílad: Je dána říma a dva různé body, ( ) ležící uvnitř jedné oloroviny s hraniční římou ; sestrojte na římce bod R, v němž se odrazí arse vyslaný z bodu do bodu. - 73 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: arse, terý se odráží v bodě R římy, rochází bodem i bodem ; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... R úsečy R a R mají tedy stejnou odchylu ϕ od římy ϕ R ϕ uvažujeme-li obraz bodu v osové souměrnosti s osou, a úseča R má od římy tutéž odchylu ϕ a body, R, tudíž leží v jedné římce ϕ R ϕ ϕ - 74 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Konstruce: zadání úlohy: je dána říma a dva různé body,, teré leží uvnitř jedné oloroviny určené římou sestrojme obraz bodu v osové souměrnosti s osou - 75 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie růsečí R = je a hledaným bodem odrazu na dané římce R na závěr dolňme růběh arsu, terý vychází z daného bodu a v sestrojeném bodě R se odráží od dané římy do daného bodu R Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. - 76 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Poznáma: Tato úloha může mít i jiné zadání: na římce sestrojte bod R ta, aby déla lomené čáry R byla co nejmenší. 5.2. Podobná zobrazení (odobnosti) v rovině rosté zobrazení v rovině se nazývá odobným zobrazením nebo rátce odobností, rávě dyž ro aždé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X, Y v tomto zobrazení latí X Y = XY, de 0 je daná onstanta zvaná oeficient odobnosti zvláštním říadem odobnosti je ro = 1 shodnost Záladní vlastnosti odobností obrazem aždé úsečy v odobnosti s oeficientem je úseča dély = = obrazy rovnoběžných říme jsou rovnoběžné římy, tj. odobnost zachovává rovnoběžnost obrazem aždého trojúhelnía C je odobný trojúhelní C Významný zástuce odobného zobrazení stejnolehlost 5.2.1. tejnolehlost Výlad stejnolehlost se středem a oeficientem je římá odobnost, terá: 1. bodu řiřazuje obraz = 2. bodu X řiřazuje obraz X ta, že latí X = X a řitom bod X leží na olořímce X ro > 0 (obr. a), res. bod X leží na olořímce oačné olořímce X ro < 0 (obr. b) - 77 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie a) > 0 a > 1 C C X X b) < 0 a < 1 X C C X stejnolehlost je jednoznačně určena středem a oeficientem stejnolehlost se středem a oeficientem = 1 je středová souměrnost se středem ; stejnolehlost s oeficientem = 1 je identita ro 1 je samodružným bodem rávě jen střed, slabě samodružné jsou všechny římy rocházející bodem je-li říma obrazem římy v dané stejnolehlosti, a latí obraz U omezeného útvaru U je zvětšený ro > 1 (obr. a) a zmenšený ro < 1 (obr. b) aždé dvě ružnice v rovině jsou stejnolehlé - 78 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině olečné tečny dvou ružnic s různými oloměry Řešené úlohy Přílad: estrojte solečné tečny dvou daných ružnic (, r) a (, r ), de r r. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme dvě ružnice (, r), (, r ) o nestejných oloměrech, dolňme jejich solečné tečny t 1, t 2, a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... t 1 t 2 z vlastností stejnolehlosti vylývá, že růsečí 1 tečen t 1, t 2 se střednou s = daných ružnic, je středem stejnolehlosti, v níž si tyto ružnice odovídají t 1 s 1 t 2-79 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie e onstruci bodu 1 využijeme vhodně zvolený bod a jemu odovídající obraz ve zmíněné stejnolehlosti, řičemž latí t 1 s 1 t 2 Konstruce: zadání úlohy: jsou dány ružnice (, r) a (, r ), de r r - 80 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině na ružnici zvolme bod a na ružnici sestrojme rajní body růměru 1 2 1 2 bod 1 = s 1, de s =, je a tzv. vnějším středem stejnolehlosti mezi oběma ružnicemi, odobně je růsečí 2 = s 2 tzv. vnitřním středem stejnolehlosti daných ružnic 1 s 2 1 2-81 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie sestrojíme-li tečny t 1, t 2 z bodu 1 e ružnici, budou to současně taé tečny e ružnici t 1 1 s 2 1 2 t 2 analogicy jsou tečny t 3, t 4 vedené z bodu 2 e ružnici hledanými solečnými tečnami obou daných ružnic (, r), (, r ), de r r t 1 1 t 3 s 2 1 2 t 4 t 2-82 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Disuze: Úloha může mít čtyři, tři, dvě, jedno nebo žádné řešení odle vzájemné olohy daných ružnic, ; odrobnější disuze je řenechána čtenáři jao cvičení. Čtverec vesaný do ostroúhlého trojúhelnía Řešené úlohy Přílad: estrojte čtverec CD ta, aby jeho vrcholy, ležely na straně KL, vrchol C ležel na straně LM a vrchol D na straně KM daného ostroúhlého trojúhelnía KLM. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: vrcholy, čtverce leží na straně KL trojúhelnía, vrchol C leží na straně LM a vrchol D na straně KM; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... M D C K L na straně KL zvolme vhodně bod jao obraz bodu ve stejnolehlosti se středem K M D C K L - 83 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie v této stejnolehlosti se čtverec CD zobrazí na čtverec C D, de ouze vrchol C neslňuje zadání úlohy, a ro její řešení se zřejmě užije oačný ostu onstrucí... M D C D C K L Konstruce: zadání úlohy: ostroúhlý trojúhelní KLM M K L - 84 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině na jeho straně KL zvolme vhodně bod (vhodně znamená uvnitř úsečy KM 1, de M 1 by byl ravoúhlý růmět bodu M na stranu KL) M K L dále sestrojme čtverec C D ta, že vrchol D KM, D KL a vrchol leží na olořímce L M D C K L - 85 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie růsečí C = KC LM je a jedním vrcholem hledaného čtverce CD; současně je tím určena stejnolehlost o středu ve vrcholu K, v níž bod C je obrazem bodu C M C D C K L v této stejnolehlosti se zachová rovnoběžnost a díy tomu jsou sestrojeny zbývající vrcholy,, D hledaného čtverce CD vesaného do daného ostroúhlého trojúhelnía KLM M D C D C K L Disuze: Úloha má vždy rávě jedno řešení. - 86 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině Varianta olloniovy úlohy Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá rochází daným bodem a dotýá se daných různoběžných říme, q. Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici (, r), na ní zvolme bod, dolňme dvě její různoběžné tečny, q a nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... q střed ružnice leží na ose o toho z úhlů sevřených různoběžami, q, v němž leží bod (viz množina M4 na straně 12 v řehledu množin všech bodů dané vlastnosti) o R q - 87 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie ružnice (, r = = q ), jejíž střed byl zvolen na ose o a terá se dotýá říme, q, je obrazem ružnice (, r) ve stejnolehlosti se středem v růsečíu R = q; v této stejnolehlosti je obrazem bodu bod a latí ; toho využijeme ro řešení dané úlohy... o R q Konstruce: zadání úlohy: bod a dvě různé různoběžy, q q - 88 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině nejrve ved me růsečíem R = q osu o toho z úhlů sevřených různoběžami, q, v němž leží bod o R q na římce o zvolme střed omocné ružnice (, r = ), terá se dotýá různoběže, q o R q - 89 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie říma R rotíná ružnici v bodech 1, 2 o 1 2 R q rovnoběža s římou 1 vedená bodem rotíná osu o v bodě 1, terý je středem hledané ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 ) o 1 2 1 R 1 q - 90 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině odobně rotíná rovnoběža s římou 2 vedená bodem osu o v bodě 2, terý je středem druhé hledané ružnice 2 ( 2, r 2 = 2 ); obě ružnice 1, 2 rocházejí daným bodem a dotýají se daných různoběže, q o 1 2 2 1 R 1 2 q Disuze: Poud bod slývá s růsečíem R = q, nemá úloha žádné řešení; jina má rávě dvě řešení (oud bod leží na něteré z říme nebo q, jedná se o tzv. Paovu úlohu, terou lze řešit jen omocí množin všech bodů dané vlastnosti M4 a M6). Paova úloha Řešené úlohy Přílad: estrojte ružnici, terá se dotýá dané římy v jejím bodě a dané ružnice (, r). - 91 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie Rozbor úlohy: ředoládejme, že úloha je vyřešena: načrtněme ružnici (, r ), na ní zvolme bod, v něm sestrojme tečnu a dolňme ružnici (, r), terá se ružnice dotýá; nyní zoumejme vztahy, teré je zde možno využít... střed ružnice leží na římce n, n, tedy na tzv. normále římy v bodě (viz množina M6 na straně 13 v řehledu množin všech bodů dané vlastnosti) n - 92 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině ružnice a si odovídají ve stejnolehlosti se středem v bodě T jejich dotyu; v této stejnolehlosti se tečna e ružnici s bodem dotyu zobrazí na tečnu e ružnici s bodem dotyu, řičemž bude latit ; a toho využijeme ro řešení úlohy... n T Konstruce: zadání úlohy: říma, na ní bod a ružnice (, r) - 93 -
5. Geometricá zobrazení v rovině Zálady geometrie nejrve ved me bodem olmici n římce : n, n n dále sestrojme římu 1 jao jednu ze dvou tečen ružnice rovnoběžných s římou ; říma 1, de 1 je bodem dotyu římy 1 a ružnice, rotíná ružnici ještě v bodě T 1 ; ten je bodem dotyu dané ružnice a hledané ružnice 1 T 1 1 1 n - 94 -
Zálady geometrie 5. Geometricá zobrazení v rovině bod 1 = n T 1 je středem ružnice 1 ( 1, r 1 = 1 T 1 = 1 ), terá se dotýá dané římy v jejím daném bodě a taé se dotýá dané ružnice 1 T 1 1 1 1 n odobně sestrojme římu 2 jao druhou z tečen ružnice rovnoběžných s římou ; říma 2, de 2 je bodem dotyu římy 2 a ružnice, rotíná ružnici ještě v bodě T 2, terý je bodem dotyu dané ružnice a hledané ružnice 2 2 2 1 T 1 T 2 1 1 1 n - 95 -