Sférické kyvadlo Josef Pojar 31.1.2007 1 Teoretický úvod 1.1 Chaotický pohyb Abychom mohli klasifikovat chování systému jako chaotické musí systém vykazovat následující vlastnosti : musí být citlivý na počáteční podmínky musí být topologicky tranzitivní jeho periodické orbity musí být husté Citlivost k počátečním podmínkám znamená, že dvě blízké trajektorie ve fázovém prostoru se s rostoucím časem rozbíhají (exponenciálně). Jinak řečeno, malá změna v počátečních podmínkách vede po čase k velmi odlišnému výsledku. Systém se chová identicky pouze když jeho počáteční konfigurace je úplně stejná. Příkladem takové citlivosti je tzv. motýlí efek, kdy mávnutí motýlích křídel vyvolá jen nepatrné změny v atmosféře, které ale v průběhu času mohou vést až k tak dramatickým změnám, jako je výskyt tornáda. Mávnutí křídel motýla zde představuje malou změnu počátečních podmínek systému, která ale způsobí řetěz událostí vedoucí k rozsáhlým jevům, jako jsou tornáda. Kdyby motýl nemávl svými křídly, trajektorie systému by mohla být zcela odlišná. Transitivita znamená, že aplikace transformace na libovolný daný interval I 1 ho roztahuje až do doby, kdy překryje libovolný další daný interval I 2. Transitivita, husté periodické body a citlivost na počáteční podmínky se dají rozšířit na libovolný metrický prostor. 1.2 Atraktory a podivné atraktory Jedním způsobem vizualizace chaotického pohybu, nebo opravdu libovolného typu pohybu, je vytvoření fázového diagramu pohybu. V takovém diagramu je čas implicitní a každá osa reprezentuje jednu dimenzi stavu. Například někdo kreslí pozici kyvadla vůči jeho rychlosti. Kyvadlo v klidu bude zobrazeno jako bod a kyvadlo v periodickém pohybu bude nakresleno jako jednoduchá uzavřená křivka (viz obrázek 1). 1
Obrázek 1: Kyvadlo v periodickém pohybu Často je na fázových diagramech vidět, že většina stavových trajektorií se přibližuje a obmotává nějakou obecnou limitu. Systém končí ve stejném pohybu pro všechny počáteční stavy v oblasti okolo tohoto pohybu, téměř jako by byl systém k tomuto pohybu (trajektorii fázového prostoru) přitahován. Například jestliže připojíme ke kyvadlu tlumič (nebo jednoduše připustíme působení tíhové síly), bez ohledu na jeho počáteční pozici a rychlost se bude blížit ke klidovému stavu - nebo přesněji - dosáhne ho v limitě. Trajektorie ve fázovém diagramu budou všechny spirály, směřující ke středu, a nebudou již tvořit množinu oválů. Na obrázku 2 je vidět fázový prostor pro kyvadlo, když připouštíme působení tíhové síly. Tento bod ve středu - stav, kdy je kyvadlo v klidu - se nazývá atraktor. Atraktory jsou často spojeny s disipativnímu systémy, kde některý prvek (v našem případě tíhová síla) spotřebovává energii. Obrázek 2: Kyvadlo s tíhovou silou Takový atraktor můžeme nazývat bodovým atraktorem. Ne všechny atraktory jsou body. Některé jsou jednoduchými smyčkami, nebo složitějšími dvojitými smyčkami (pro ty je potřeba více než dva stupně volnosti). A některé jsou skutečnými fraktály: ty se nazývají 2
podivné atraktory, což jsou atraktory s velkolepými detaily a velkou složitostí. Systémy s atraktory ve tvaru smyčky vykazují periodický pohyb. Systémy se složitějšími rozdělenými smyčkami vykazují kvaziperiodický pohyb. A systémy s podivnými atraktory vykazují chaotické chování. 1.3 Fraktály Obecná definice: Fraktál je takový útvar, při jehož zvětšení dostaneme opět stejný obraz, bez ohledu na měřítko Fraktál je geometrický objekt, který má následující vlastnosti: je soběpodobný Znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku, v jakémkoliv rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar. Má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. Obrázek 3: Mandelbrotova množina Fraktály jsou nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá. Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975. Pochází z latinského fractus rozbitý. Podobné objekty byly známy v matematice již dlouho před tím, jako 3
například Van Kochova vločka. Ta vychází na svém počátku z rovnostranného trojúhelníku. Vždy o třetinu menší trojúhelníky se přidávají na obvod, doprostřed každé strany. Vzniklý útvar má jednu úžasnou vlastnost, a to nekonečný obvod. Obrázek 4: Van Kochova vločka 2 Sférické kyvadlo s magnety 2.1 Sférické kyvadlo s magnety obecně Obrázek 5: Sférické kyvadlo s několika magnety Obrázky 1 a 2 jsem nakreslil v matlabu. Řešil jsem počáteční úlohu pro diferenciální rovnici druhého řádu pro matenatické kyvadlo, kterou jsem převedl na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, y 1(t) = y 2 (t) y 2(t) = Ry 2 (t) + c sin y 1 (t) kde R je raálné číslo, které je rovno součinu ml. Reálné číslo m představuje hmotnost hmotného bodu a reálné číslo l délku závěsu kyvadla. Reálné číslo c je rovno součinu 4
mg, kde reálné číslo g představuje tíhovou sílu. Samozřejmě že toto není příliš zajímavá úloha a i výsledný pohyb kyvadla je celkem předpovídatelný. Ale je možné sestrojit kyvadlo (viz obrázek 5), které bude extrémě citlivé na počáteční podmínky. Stačí přidat třetí rozměr a několik magnetů na desku pod kyvadlo. Několik magnetů tedy umístíme na (nemagnetické) podložce do soustavy souředné a kyvadlo umístíme nad ní. Kyvadlo má na svém konci kovovou kuličku (místo hmotného bodu), která je v nějaké výšce nad podložkou. Síly, které působí na takto sestrojené kyvadlo jsou síla magnetická (působí na kovovou kuličku), síla tíhová a síla třecí v závěsu. Můžeme ještě uvažovat odpor vzduchu kuličky a také závěsu. Kyvadlo je v nějaké počáteční poloze, může začínat v klidu, nebo mu udělíme nějaké počateční zrychlení, udělá několik smyček díky tomu, že je přitahováno magnety a působí na něj tíhová síla, ale nakonec najde místo, kde se zataví. Bud to bude přímo nad jedním z magnetů, nebo někde mezi magnety. To záleží hlavně na tom, jak vysoko je kyvaldo nad deskou s magnety a jakou mají magnety sílu. I když jsou magnety dostatečně silné, aby si přitáhly kyvadlo a překovaly tak tíhovou sílu (v dalším textu budu již uvažovat pouze tuto situaci), může se při velice speciálních počátečních podmínkách stát to, že kyvadlo se nakonec zastaví někde mezi magnety. Toto řešení je pak velice nestabilní. Z toho je vidět, že řešit tuto úloho už bude docela zajímavé a výsledný pohyb kyvadla nebude triviální. Jak později ukáži na příkladech, pokud za určitých podmínek jen nepatrně změníme počáteční podmínky, pohyb kyvadla i jeho výsledná poloha může být velice odlišný a těžko předvídatelný. Tento pohyb se dá dokonce označit jako chaotický. Bude tím více chaotický, čím menší bude činitel útlumu (například třecí síla). 2.2 Speciální rovnice sférického kyvadla s magnety Namodelovat obecně pohyb tohoto kyvadla, popsat ho nějakou soustavou diferenciálních rovnic a tuto soustavu řešit je velice složitý úkol. Celou situaci si tedy značně zjednoduším. Magnety budou mít stejnou sílu, budou jen tři a budou umístěny do vrcholů rovnostranného trojúhelníka. Uvažujme kyvadlo, popsané již výše, ve výšce d nad deskou s magnety. Kyvalo bude mít nekonečně dlouhý závěs. To je samozřejmě nereálný požadavek, ale díky tomu se z d stane reálná konstanta a také vzdálenost kyvadla od magnetů se bude počítat jednodušeji. Přináší nám to ale jeden problém, na takto sestrojené kyvadlo by tíhová síla neměla žádný vliv, byla by vyrušena pevností závěsu. Kvůli tomu bude na kyvadlo působit jeho vlastní vratná síla kyvadla c, která nahradí sílu tíhovou. Bude to tedy konstantní síla, která směřuje do středu trojúhelníku, tvořeného magnety. Třesí sílu si označíme R. Znovu to bude reálná konstanta (můžeme si ji představit jakou výsledek po složení všech sil třecích a odporových působících na kyvadlo). Počet magnetů je s a pokud si desku s magnety představíme jako soustavu souřadnou, jsou umístěné v místech (x i, y i ). kde x i je x-ová souřadnice i-tého magnetu a y i je y-ová souřadnice i-tého magnetu. Soustava diferenciálních rovnic druhého řádu, která popisuje pohyb tohoto kyvadla je uvedena v Fractals for the Classroom: Complex Systems and Mandelbrot Set, str. 347. Vypadá takto: x (t) + Rx (t) + cx(t) s i=1 x i x(t) d2 + (x i x(t)) 2 + (y i y(t)) 23 = 0 5
a y (t) + Ry (t) + cy(t) s i=1 y i y(t) d2 + (x i x(t)) 2 + (y i y(t)) 23 = 0 Poznamenejme znovu, že kyvadlo má nekonečně dlouhý závěs. Výška d nad podložkou je tedy konstantní, při pohybu kyvadla se nemění. 3 Řešení 3.1 Jednodušší řešení Jako počáteční pomíky budeme uvažovat vždy nulovou počáteční rychlost (tedy x (0) = 0, y (0) = 0) a nějakou počáteční polohu různou od středu rovnostranného trojúhelníka tvořeného magnety. Obrázek 6 ukazuje, jak se mění x-ová a y-ová souřadnice (tedy jak se kyvadlo pohybuje) v čase t. Konstanty jsou: R=0.05, c=0.2, d=0.25. Počáteční podmínky jsou: x(0) = 2.5, y(0) = 2.5 Obrázek 6: x,y,t Na obrázku 7 je znázorněna ta samá situace, akorát osa x znázorňuje x-ovou souřadnici a osa y y-ovou souřadnici. Když zadám jiné počáteční podmínky, výsledek se bude hodně lišit. Je to vidět na obrázcích 7 a 8. Zde se nepatrně změnila počáteční poloha kyvadla. 6
Obrázek 7: x,y Obrázek 8: jiné počáteční podmínky 3.2 Složitější rěšení Obrázek 9: jiné počáteční podmínky Nyní si představme, že jsme soustavu vyřešily pro všechny body (představující počáteční polohu kyvadla) na desce (kruhová oblast). Tedy víme, kde se nakonec zastavilo kyvadlo, nad kterým magnetem se zastavilo, nebo jestli se zastavilo mezi nimy. Tady už připadá v úvahu jen možnost, kdy se kyvadlo zastaví nad středem trojúhelníku, tvořeným magnety (to vyplývá a toho, jak jsme si situaci zjednodušili). Při řešení soustavi přiřadíme každému 7
bodu desky barvu podle toho, kde se nakonec kyvadlo zastaví. Pokud to bude nad jedním z magnetů, bod, ze kterého jsme vyšli bude mít modrou, červenou, nebo zelenou barvu. Pokud se zastaví nad počátkem, bod, ze kterého jsme vyšli bude mít černou barvu. Samozřejmě že úlohu neřešíme pro úplně všecny body kruhové oblasti. Sestrojíme sít bodů s nějakou hustotou. Výpočet soustavy pro velké množství bodů je časově náročná záležitost, není tedy vhodné sestrojit sít zbytečně hustou. Pro již zadané konstanty máme řešení na obrázku 10. Obrázek 10: Ukázka složitějšího řešení 3.3 Změna konstant Nyní budeme měnit postupně konstanty R, c a d. 3.3.1 Změna R Budeme měnit konstantu R (tření) z hodnoty 0.02 do hodnoty 0.2. Na prvním obrázku můžeme vidět kolem každého magnetu malá pole stability, ale jinak je to velice náhodné. Poté se tyto náhodné oblast mění a vznikají v nich pole, která vypadají jako by byla vyplněna jednou barvou. Říká se jim Lakes of Wada a jsou zajímavá hlavně kvůli jejich fraktálním vlastnostem. Kdyby jsme naši sít zvolili dostatečně hustou, provedli výpočty a výsledný obrázek pořád přibližovali, tyto oblasti by vypadaly pořád velice podobně. Nakonec pár posledních obrázků je velice jednoduchých a odpovídají tomu, co by jsme 8
očekávali. Zvyšující se tření bere kyvadlu energiji a i jeho cesta je méně chaotická a samozřejmě i kratší. 9
10
11
12
3.3.2 Změna c Nyní budeme měnit c z hodnoty 0.01 na hodnotu 0.5. Můžeme sledovat dva hlavní efekty. Jeden je, že jak se tíha zvyšuje, spojená pole se rozpadají a jsou více náhodná. A druhý je, že to, že trajektorie kyvadla bude vést přímo do středu trojúhelníka a kyvadlo tam zůstane, se stává více pravděpodobné, i když je to velice nestabilní poloha. Nakonec se to stane velice pravděpodobným řešením. 13
14
15
16
17
3.3.3 Změna d Nakonec budeme měnit konstantu d (vzdálenost od podložky) od 0.1 do 0.7. Na začátku má obrázek několik velkých oblastí stability, několik Lakes of Wada oblastí, ale většinou je nahodný. Jak se d zvětšuje, velké oblasti stability se zmenšují a zakulacují a Lakes of Wada se také mění na menší oblasti stability. Nakonec se síla reprezentovaná konstantou c stane dominantní. 18
19
20
21
4 Závěr Snažil jsem se ukázat, že i řešení této úlohy, která byla značně zjednodušená je docela zajímavé a chování tohoto systému může být chaotické. Do budoucna bych se rád pokusil provedená zjednodušení odstranit, nebo je alespoň zmírnit a přiblížit se tak ke skutečnosti. Samozřejmě se tak i změní celá soustava diferenciálních rovnic, která by měla řešit tento problém. 22