a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

Transkript

1 @ Mocninné funkce a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj. řekli: 1. Je-li exponent r přirozené číslo, může být základ libovolné reálné číslo. 2. Je-li exponent r celé číslo, může být základ libovolné reálné číslo až na nulu. 3. Je-li exponent racionální číslo (zlomek) nebo reálné číslo, pak základ může být pouze kladné reálné číslo. V této lekci se na problematiku mocnin podíváme z funkčního hlediska. Úvaha 1: Studujme funkce f n : y = x n, kde n je přirozené. V tomto případě platí: Číslo nula umocněné na přirozený exponent je rovno nule. A dále: Číslo jedna umocněné na libovolný exponent je rovno jedné. Úkol: Co vyplývá pro všechny grafy funkcí f n z těchto poznatků? výsledek

2 @124 Shrnutí: Mějme funkci f: y = x n, kde n je přirozené. Je-li n sudé, je funkce sudá a není prostá, tedy k ní neexistuje funkce inverzní. Je-li n liché, je funkce lichá a prostá, a tedy k ní existuje inverzní funkce. Například n=3 f: y=x 3 a f -1 : y=x 1/3 = 3 x pokračování

3 @126 Grafy všech funkcí f n : y = x -n = 1/x n, kde n je přirozené, procházejí bodem [1; 1] osa x i osa y jsou jejich asymptotou Pro n-sudé je funkce sudá, není prostá, graf prochází bodem [-1; 1]. Pro n-liché je funkce lichá, je prostá, graf prochází bodem [-1; -1]. Stejně jako v předchozím případě se musíme pro n sudá omezit na kladná čísla v základu mocniny, abychom mohli nalézt funkci inverzní. A protože není možné mít mnoho variant, formulujeme v matematice následující definici. pokračování

4 @129 Když máme pracovat s funkcí o předpisu y = x 2 máme dilema: je to mocninná funkce s definičním oborem všech kladných reálných čísel nebo jde o polynomickou funkcí, kde definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Rozhodnout se musíme ze souvislosti. Úkol: Jaké dilema máme, když máme pracovat s funkcí f: y = x a, a R? výsledek

5 @122 Grafy všech funkcí f n : y = x n, kde n je přirozené, procházejí počátkem souřadnic a bodem [1; 1]. Úkol: V rozsahu <-2; 2> pro x-ovou i y-ovou souřadnici načrtněte grafy funkcí pro n=1,2,3,4,5. Všímejte si zvláště funkčních hodnot v bodech x = -1/2; 1/2; -1,2 a 1,2. Za jakých podmínek jsou funkce sudé, liché? Za jakých podmínek jsou funkce prosté? výsledek

6 @125 Úvaha 2: Mějme funkci f: y = x n, kde n je přirozené. Již víme, je-li n sudé, je funkce sudá a tedy není prostá, tudíž k ní neexistuje funkce inverzní. Ovšem, pokud se omezíme pouze na x nezáporné, pak bude funkce prostá a bude k ní existovat i funkce inverzní tj. n-tá odmocnina. pokračování

7 @127 Definice: Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dána předpisem f: y = x r Derivací funkce mocninné je funkce f'(x)= rx r-1 Definiční obor: interval (0; + ) Symetrie: Mocninná funkce není ani lichá ani sudá ani periodická. Průsečíky s osami: neexistují. Ale pro všechny mocninné funkce platí f(1)=1, tj. grafy procházejí bodem [1; 1]. Asymptoty: pro r < 0 jsou souřadné osy asymptotami Monotonost a extrémy: pro r > 0 jsou mocninné funkce na celém definičním oboru rostoucí pro r < 0 jsou mocninné funkce na celém definičním oboru klesající extrémy nemají pokračování

8 @123 pokračování

9 @825 Úvaha 3: Studujme funkce f n : y = x -n = 1/x n, kde n je přirozené. V tomto případě musíme vyloučit z definičního oboru 0 (nula ve jmenovateli být nesmí). Úkol: Co můžeme říct o grafech těchto funkcí f n? výsledek

10 @128 Průběh funkce: Grafem mocninné funkce je mocninná křivka. Jsou možné jen čtyři typy. pokračování

11 @130 S funkcí f: y = x a, a R nemáme žádné dilema. Vždycky jde o mocninnou funkci. Zopakujme si: 8 mocninná funkce název: mocninná funkce s reálným exponentem předpis: y x t, x R, t R zařazení: definiční obor: množina kladných reálných čísel R obor hodnot: množina kladných reálných čísel R graf: všimněte si, jak exponent t ovlivňuje tvar křivky křivka: asymptoty: pro t<0 jsou souřadné osy asymptotami, jinak nemá funkce inverzní: mocninná je prostá, funkce inverzní je též mocninná funkce 1 y t x x t derivace: y tx t 1 užití: velmi časté hlavně v ekonomii a fyzice poznámka: mocninná funkce má varianty podle hodnot jichž může nabývat exponent; srovnejte s funkcí exponenciální zvláštní případ: grafy všech mocninných funkcí procházejí bodem [1; 1] KONEC LEKCE

12