SLOVNÍ ÚLOHY ZE SKUTENÉHO ŽIVOTA

SLOVNÍ ÚLOHY ZE SKUTENÉHO ŽIVOTA Lucia Doretti ÚVOD Považujeme za dležité, aby studenti uitelství matematiky ovládali jak ešení matematických úloh, jejich výbr a analýzu, tak schopnost uvést je ve výuce takovým zpsobem, aby dobe stimulovaly myšlenkové procesy žák. Uitel musí z hlediska organizace výuky uinit nkolik rozhodnutí: musí vybrat a systematizovat dobré, ve spolených fázích výuky (diskusích) se vyrovnat s osobními ešeními jednotlivých žák, hledat zpsob, jak žáky usmrnit od individuálních ešení k ešením odborným, které jsou skuteným cílem zadané úlohy. V tomto svtle se a priori analýza stává profesním nástrojem, který uitelm pomáhá pi výbru a rozhodování (Charnay, 2003). Návrh slovní úlohy ze skuteného života patí do ady takových výukových materiál, které rozvíjejí práci se slovními úlohami. Studenti zaínají a priori analýzou, díky níž identifikují relevantní matematické pojmy a rozhodnou, zda, jak a s jakými cíli mže být úloha využita ve výuce. Pedkládaný návrh nabízí možnost vybrat alespo jednu z nabízených úloh: To je rodina! 1, Podivné obarvení 2, Pronásledování 3, které jsou pevzaté z Rallye Mathématique Transalpin (RMT) (Transalpská matematická soutž). Dipartimento di Scienze Matematiche i Informatiche, Università di Siena,Itálie. 1 12. RMT, Test I Rok 2004 2 12. RMT, Test II Rok 2004 3 11. RMT, Test I Rok 2003 1

Hlavní pilotáž di Lucia Doretti NÁVRH Návrh Slovní úlohy ze skuteného života je prvním ze dvou návrh realizovaných v rámci projektu LOSSTT-IN-MATH, v toskánském SSIS (Škola pro vzdlávání uitel pro stední školy), Siena. Na SSIS je zaazen modul vnovaný ešení úloh. V tomto modulu vedeme prostednictvím Rallye Mathématique Transalpin (RMT) naše posluchae k tomu, aby si uvdomili, jak významnou roli hraje ešení slovních úloh v matematickém vzdlávání žák. RMT je mezinárodní matematická soutž urená pro žáky základních i stedních škol. Její náplní je ešení úloh. 4 (Jaquet, 1999). Nkteí naši posluchai se na RMT pímo podílejí, obzvlášt na tch ástech, které mají vztah k didaktickému výzkumu (Crociani et al., 2001; Crociani, Doretti, Salomone, v tisku). Úlohy jsou do RMT vybírány podle jejich charakteru: musejí být z hlediska matematiky relevantní a musí být možné propojit je se školní výukou matematiky. Úlohy dále musejí žáky motivovat a stimulovat jejich zájem, musejí odpovídat kognitivnímu vývoji žák v uritých stádiích, musí být možné ešit je s použitím rzných strategií a musejí skýtat možnost rozvoje dtských zpsob znázorování úlohy. V roce 2004-05 jsme na návrhu pracovali s posluchai prvního roníku SSIS, vtev pírodních vd, kteí chtjí získat pedagogickou kvalifikaci pro výuku matematiky a pírodních vd pro 2. stupe základních škol a nižší gymnázia. V seminái bylo 15 poslucha, z nichž žádný neml vysokoškolské vzdlání v oboru matematika. Rozhodli jsme, že se budeme vnovat úloze To je rodina!, jejíž ešení vyžaduje spíše schopnost logického uvažování a odvozování než odborné matematické znalosti. Myslíme si, že tento typ úloh se dá velmi dobe uplatnit v didaktické praxi, protože vede k rozvoji dovednosti žák v oblasti dedukování a vyvozování závr. To je rodina! Pan a paní Poetní mají 5 dtí. Vk každého dítte je jiné sudé íslo. Tem dcerám je dohromady 30 let, synm 14 let. Dvma nejstarším dtem je dohromady 26 let, nejmladším dvma dtem je dohromady 10 let. Napište, jak staré je každé z dtí, a jasn urete, zda jde o chlapce i dívku. Vysvtlete svj postup a najdte všechna existující ešení. Toto zadání jsme pedložili našim poslucham, kteí pracují ve skupinách. Mají prodiskutovat a analyzovat úlohu a vyslovit hypotézy o tom, jaká znázornní, strategie a myšlenkové postupy budou žáci pravdpodobn pi ešení úlohy používat 4 Cíle RMT jsou jasn stanovené: ešení úloh, interaktivní práce, odpovdnost tídního kolektivu, explicitní popis postupu použitého pi ešení úlohy, odvodnní nalezených ešení. 2

i jaké obtíže a chyby se mohou pi ešení úlohy objevit. V pozdjší fázi je tato úloha zadaná žákm v nkolika tídách. Žáci pi ešení úlohy pracují ve skupinách a poté spolen s naším posluchaem porovnávají jednotlivé použité postupy. Práce na projektu se uzavírá zpt v seminái, kde naši posluchai referují o prbhu výuky a analyzují všechna žákovská ešení. Tato ešení jsou posluchai rozebrána ve svtle pedchozí a priori analýzy. Rozvíjená matematická témata: ešení úloh Cíle Pro vedoucí semináe Stimulovat studenty, aby využívali takové výukové metody, které uznávají ústední roli ešení slovních úloh pi rozvoji matematických znalostí. Pomáhat studentm uitelství pi provádní a priori analýzy úlohy i pi následné a posteriori analýze žákovských ešení. Poskytovat instrukce a zptnou vazbu. Pro studenty uitelství Pemýšlet o této úloze a o roli, kterou hraje v rámci matematického vzdlávání žák. Pracovat s úlohou, k jejímuž vyešení nestaí aplikovat známé postupy, ale je teba hledat strategie, formulovat a ovovat hypotézy. Provést a priori analýzu úlohy ped jejím zadáním ve výuce; pedem zhodnotit matematické pojmy, se kterými se v úloze pracuje nebo které by mohly být poteba pi jejím ešení, pedpovdt žákovské strategie ešení, zpsoby znázornní, obtíže, pekážky a možné chyby. Pozorovat žáky pracující ve skupinách pi ešení úlohy. Uvdomit si klíovou roli, jakou hraje spolupráce pi ešení úloh v sociálním, emocionálním i kognitivním vývoji. Rozvíjet schopnost analyzovat žákovské práce nejen z hlediska použitých pojm, možných obtíží a chyb, ale též s ohledem na smysluplnost, dslednost a formulace poskytnutých odpovdí. Pemýšlet o rozdílech, které vznikly mezi pedpoklady z a priori analýzy a výsledky z a posteriori analýzy žákovských ešení. Využít informace získané z a priori i a posteriori analýzy úlohy k formulování hypotéz o možných zásazích uitele do procesu ešení. Pro žáky 2. stupn Nauit se ešit úlohy, které vyžadují hledání vlastního osobního ešení a stimulují a motivují žáky k aktivní práci v hodinách matematiky. Nauit se spolupracovat ve skupinách a osvojit si základní pravidla vedení odborné debaty: svobodn vyjadovat myšlenky, hypotézy, odvodnní; vše sdílet, diskutovat, spolen se rozhodovat, kontrolovat a ovovat 3

Nauit se od ostatních nové postupy ešení a zpsoby znázorování. Rozvíjet metakognitivní schopnosti prostednictvím úvah o myšlenkových procesech, které ídily postup ešení a které umožnily odvodnit odpov a vysvtlit, pro žák zvolil daný postup. Stimulovat vyslovování hypotéz a dedukci. Popis aktivity Aktivita probhla ve tech etapách. První a tetí etapa, z nichž každá trvala 5 vyuovacích hodin, se úastnilo 15 poslucha 1. roníku SSIS se specializací na pírodní vdy; druhá etapa trvala 2 hodiny, probhla na nižším gymnáziu a vedli ji 2 posluchai SSIS. Etapa 1 (v seminái na VŠ) Vedoucí semináe se studenty prodiskutují význam pojmu slovní úloha, jaké rzné typy slovních úloh existují a jak se dají využívat ve výuce. Studenti uitelství pracují v malých skupinách, je jim pedloženo zadání slovní úlohy pevzaté z RMT, hledají ešení úlohy a na základ pedložených úkol provádjí a priori analýzu úlohy. Každá skupina pedstaví ostatním studentm výsledky své práce a okomentuje jak své strategie ešení, tak a priori analýzu úlohy. Následuje spolená diskuse Je proveden zápis spolené a priori analýzy úlohy. Studenti plánují pípravu hodiny, ve které budou žáci slovní úlohu ešit v malých skupinách. Jsou vybráni dva studenti, kteí úlohu zadají, oduí a shromáždí vypracovaná žákovská ešení. Etapa 2 (na nižším stupni gymnázia) Student uitelství pítomný ve výuce: zadá úlohu žákm pracujícím ve skupinách a motivuje je k práci na ní. sleduje práci v jedné ze skupin ve všech fázích ešení úlohy. ídí závrený rozbor ešení, která vznikla v jednotlivých skupinách. vybere žákovské práce. Etapa 3 (v seminái) Dva studenti, kteí realizovali experiment ve výuce, popíšou svoje zážitky. Studenti uitelství rozdleni do malých skupin analyzují vybrané žákovské práce a zapisují si poznámky. Studenti spolen diskutují o analýzách žákovských prací v porovnání s pedpoklady z a priori analýzy úlohy. Vedoucí semináe a studenti spolen zvažují možné didaktické zásahy, které by žákm pomohly uvdomit si, kde dlají chyby a pekonat obtíže. 4

Úkoly a) Úkoly pro studenty uitelství Slovní Úlohy ze Skuteného Života Které prvky této úlohy se odlišují od klasických uebnicových úloh? Jaký matematický obsah je v úloze? V jakých tídách by se dala úloha zadat? Jaké matematické pojmy mohou žáci používat? Jaký typ znázornní úlohy mohou žáci používat? Jaké strategie mohou používat? Budou žáci schopni urit si kritéria, podle kterých poznají, zda je jejich odpov správná? Na jaké problémy mohou žáci narazit a jaké chyby mohou dlat? Naplánujte možný zásah do ešení analyzované úlohy, tento zásah rozeberte v rámci a posteriori analýzy a navrhnte možné zmny a úpravy. Porovnejte a okomentujte žákovské postupy ešení úlohy i zpsob odvodnní tohoto postupu. Jaké didaktické zásahy by mohly být použity, aby pomohly žákm pekonat potíže a vyvarovat se chyb? b) Zadání pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií Rozdlte se do skupinek a peliv si protte zadání úlohy. Ve skupin spolupracujte a podlte se o své nápady. Ujistte se, že rozumíte informacím i požadavkm v zadání úlohy, zvolte zpsob znázornní dané situace a urete možnou strategii ešení. Zkontrolujte svá rozhodnutí a získané výsledky. Pemýšlejte o svém postupu ešení a odvodnte jednotlivé kroky. Spolen jako celá tída proberte použité postupy ešení a zpsoby znázornní. Pilotáž a) V seminái V první hodin vyuující se studenty prodiskutoval význam pojmu slovní úloha, jaké rzné typy slovních úloh existují (slovní úlohy aplikující poznatky, slovní úlohy na získání nových znalostí, slovní úlohy poskytující uspokojení z hledání a nalézání) a jak se dají rzn využívat ve výuce. Poté jsme studentm zadali slovní úlohu To je rodina!. Studenti pracovali ve skupinkách po dvou nebo po tech. Každá skupina dostala zadání úlohy i s jednotlivými úkoly a otázkami, na nž mli písemn odpovdt. Cílem tchto otázek bylo získat informace o matematických znalostech, zpsobu znázorování, odvodování, strategiích, obtížích i chybách, které by se mohly u žák objevit. 5

Cílem vyuujících v seminái bylo ukázat studentm uitelství význam a priori analýzy úlohy, která pomáhá lépe zhodnotit didaktický potenciál úlohy a možnosti jejího použití ve výuce. Studenti v každé skupin mli hodinu a pl na to, aby o úloze pemýšleli, vyešili ji a s pomocí zptného projektoru informovali o svém postupu/postupech a dokonili a priori analýzu. Studenti v nkterých skupinách se nejprve pokusili úlohu vyešit za pomoci algebraických nástroj. Pokusili se vytvoit soustavu rovnic. Studenti uitelství upednostovali odborné postupy proto, že cítili, že je lépe ovládají. Tyto postupy ale nebyly v tomto konkrétním pípad vhodné a stejn by se nedaly použít pi výuce žák 2. stupn. Teprve když si studenti znovu peliv proetli zadání, byly nkteré skupiny schopné situaci rozebrat a zaít od podmínek, které jsou pímo obsažené v textu. Potom zaali používat deduktivní i kombinatorické uvažování. Požadavek, aby našli všechna existující ešení, který implikuje, že existuje více ešení, byl pro mnoho student matoucí. Jediná skupina byla schopna nalézt všechna ti možná ešení. Ostatní našli pouze jednu i dv správné odpovdi. Pípravná práce pro a priori analýzu probhla rychle a všechny skupiny byly schopny poskytnout shrnující odpovdi. Obecn se zdálo, že studenti tomuto úkol nepikládají takový význam jako samotnému ešení úlohy, jemuž vnovali veškerou svoji energii. Jeden student také hovoil o tom, že je na nkteré z otázek obtížné odpovdt a že je tžké pedjímat chování žák. V následující fázi, která trvala zhruba hodinu a pl, se studenti vnovali prezentaci úvah o úloze a spolené diskusi. Jeden len každé skupiny popsal práci, kterou ve skupin odvedli. Ve spolené diskusi se pak studenti zamili na rzné zpsoby ešení úlohy, na ty dedukce, které nevedly k objevení všech správných ešení, ale ukázaly na další možné postupy. Studenti obzvlášt chválili vzdlávací hodnotu úloh, které mají více ešení, oproti bžn používaným úlohám, které mají vždy pouze jediné správné ešení. Následující debata pimla studenty zamyslet se nad svými a priori analýzami a zformulovat jednu spolenou analýzu, ve které by byly zohlednny všechny problémy, které ve spolené diskusi vyvstaly. Následuje tato analýza. Spolená a priori analýza úlohy Kterých pojmových oblastí se úloha týká? Aritmetika Logika Kombinatorika V jakém roníku lze úlohu použít? 7. a 8. roník Máte njaké pipomínky k formulaci zadání? Pokud ano, popište je a navrhnte možné zmny. Text je srozumitelný, protože jsou použity krátké, jednoduché vty. Žáci by ho mli íst velmi pomalu a peliv, protože je v nm celá ada podmínek. 6

Jaké prvky matematických znalostí žáci využijí a konsolidují? Co se možná ješt budou muset nauit? Schopnost najednou zvládnout mnoho podmínek Pedpoklad rozvoje hypotetického uvažování a dedukcí Kombinatorické dovednosti (identifikace všech dvojic a trojic sudých ísel, jejichž souet má danou hodnotu) Jaký zpsob znázorování, jaké postupy a strategie mohou žáci používat, uvážíme-li, s jakými znalostmi by mli ve svém vku disponovat? Vyjádení dat prostednictvím symbol a schémat, která umožní lepší vizualizaci a jednodušší kontrolu. Víme, že postupy budou vycházet z dedukního nebo kombinatorického myšlení (obdobn jako v pípad student uitelství). 5 S jakými obtížemi se žáci mohou potýkat a/nebo jaké chyby mohou dlat? Zapomenou na nkteré podmínky, protože jich je opravdu hodn na to, aby je zvládli ohlídat všechny najednou. Skoní u prvního nalezeného ešení, nebo pokud jim dojde, že existuje i další ešení, skoní u druhého ešení, aniž by zkontrolovali, zda už je to opravdu vše. Nesprávn použijí algebraické postupy [což se stalo i studentm uitelství]. Zdraznte nkteré didaktické hodnoty této úlohy Úloha má více ešení a je vhodná pro skupinovou práci, protože je pi jejím ešení výhodnjší spolupracovat a diskutovat o rzných možnostech. Další hodinu vnovali studenti uitelství a jejich školitel píprav takového didaktického postupu, který by umožnil sledovat žáky pi práci ve dvojicích nebo malých skupinkách. Šlo o to soustedit se na výmnu názor a diskuse mezi žáky a také o to, aby studenti uitelství získali uritý poet žákovských zpracování stejné úlohy. Student uitelství, který se výuky úastnil, ml za úkol sledovat práci žák: proto padlo rozhodnutí, že se student zamí pouze na jednu skupinu a bude si dlat poznámky o postupech této skupiny v každé fázi práce na ešení úlohy. Pro tento úkol byl pedem pipraven pracovní list, který uvádíme. Na listu jsou otázky, které mly studenta pi pozorování usmrovat. Pozorování práce žák Fáze petení zadání a porozumní úloze 5 Píklad ešení. Odvote z daných podmínek, že prostednímu dítti by mlo být 8 let (44 36). Pak vám vyjde, že dv nejmladší dti musejí být ve vku 4 a 6 let. Pak uvažujte, že prostední dít je chlapec: pak musí být druhému chlapci 6 a nejmladší dít je tyletá holika. Pak je také zejmé, že dv nejstarší dti jsou dvata, pro nž existuje dvojí možný vk: je jim 10 a 16 nebo 12 a 14. Nyní uvažujte, že je prostední dít dve: pak dv nejstarší dti musejí být dve a chlapec. Totéž platí i pro dva nejmladší potomky. Jednomu dveti je 8, souet vku druhých dvou dívek musí být 22, což nabízí jedinou možnost 22 = 6 +16. Z toho plyne, že existují ti možná ešení: D16 D10 Ch8 Ch6 D4; D16 Ch10 D8 D6 Ch4; D14 D12 Ch8 Ch6 D4. 7

Kdo te? Probíhá v rámci tení zadání njaká diskuse? Jak dlouho fáze tení a porozumní trvá? Jsou v této fázi ve skupin žáci, kteí se úastní aktivnji a snaží se uplatnit své hledisko? Má skupina svého vdce? Fáze ešení Když jde o ešení úlohy, jsou všichni žáci ve skupin jednotní nebo se skupina rozpadá? Komunikují spolu žáci ve fázi zkoumání? Pokud ano, o jakou jde komunikaci? Jsou ve skupin žáci, kteí se práce neúastní? Fáze validace a ovení nalezených odpovdí Diskutují žáci ve skupin o nalezeném ešení (nalezených ešeních)? Jak? Je proces njak kontrolován? Jak se všichni dohodnou na tom, jak pesn odpovdt? Má skupina stále svého vdce? Fáze zápisu ešení Jak a pro vyberou žáka, který ešení zapíše? Kontrolují ti, kteí nepíšou, poizovaný zápis? b) Ve tíd Úlohy zadali dva studenti uitelství ve dvou 7. ronících. V jedné tíd bylo osmnáct a ve druhé tíd dvacet žák ve vku 12-13 let. Pro oba studenty to byla první zkušenost s výukou žák. Pi práci na úloze (trvala asi dv hodiny) byl vždy pítomen vyuující matematiky v dané tíd. Vzhledem k tomu, že studenti chtli žáky motivovat, uvedli úlohu jako matematickou hru, ve které mli soutžit žáci po skupinkách. Žáci ve skupinkách si bhem 50 minut mli nejprve peliv peíst zadání úlohy, prodiskutovat ho a úlohu vyešit s pomocí jedné spolené strategie. Potom mli písemn odvodnit svj postup. Poté mla být práce každé skupinky zhodnocena v rámci spolené diskuse, bhem níž se mlo rozhodnout, které skupinky splnily cíle hry. Když žáci pracovali, student uitelství si vybral jednu skupinku, pozoroval ji pi práci a shromažoval údaje o jejích postupech v rzných fázích ešení úlohy. K dosažení cíle používal pedem pipravené otázky. Výuka ve tíd skonila spoleným rozborem rzných postup, které používaly jednotlivé skupinky a rozborem jejich odvodnní. V této fázi se žáci explicitn vyjadovali k úinnosti a/nebo vhodnosti jednotlivých postup. V úplném závru student uitelství vybral žákovská ešení, aby mohla být rozebrána a zhodnocena v didaktickém seminái. c) V seminái Tato fáze trvala celkem pt hodin a úastnili se jí opt všichni studenti uitelství. Ti, kteí realizovali experiment ve výuce, informovali ostatní o jeho prbhu a svých dojmech a zkušenostech. Popis obou student ukázal rzný zpsob interakce v obou zúastných tídách, což ovlivnilo samotnou práci i úspšnost. Proto studenti hovoili o nutnosti nauit žáky pracovat ve skupinách, což obnáší schopnost komunikace, schopnost picházet s vlastními nápady, ale též akceptovat myšlenky ostatních. Studenti také konstatovali, 8

že není jednoduché tuto schopnost získat, obzvlášt pokud není její rozvoj dostaten stimulován a pokud se nepoužívá pravideln. Poté se studenti opt rozdlili do skupin a každá skupina dostala nkolik žákovských ešení. Každá skupina tato ešení zkoumala s tím, že mají poznamenat, jak žáci úloze porozumli, jaké strategie ešení používali, jaké chyby dlali a na jaké obtíže v prbhu ešení naráželi. Dále mli studenti zaznamenat, jaké vysvtlení ke svému postupu žáci poskytli (napíklad mli studenti rozlišovat mezi úplnou a pln odvodnnou odpovdí a prostým ovením výsledku). V následující fázi se studenti podlili o výsledky své práce. Studenti z jednotlivých skupin informovali ostatní o svých poznámkách a postezích, a poté je spolen prodiskutovali. V této fázi výuky studenti uitelství pracovali velmi aktivn a s obrovským zaujetím. Uznali, že a priori analýza úlohy a následná diskuse pisply k pelivjší a posteriori analýze protokol: studenti prohlásili, že se cítili být v kži žák a z této pozice se pokusili interpretovat jak jejich zpsob odvodování, tak jejich obtíže. V samém závru probhla syntéza poznámek, které vyvstaly v prbhu pedcházející diskuse. Závry Realizovaný experiment donutil studenty uitelství, aby si vyzkoušeli ešení a zadání matematické slovní úlohy ze skuteného života se žáky 2. stupn. První, co jsme po studentech chtli, bylo, aby nepijímali úlohu nekriticky, ale aby se pokusili a priori urit, s jakými obtížemi se budou žáci setkávat pi snaze úlohu pochopit, definovat, jaké pojmy, znázornní a postupy budou používat a jaké mohou dlat chyby. Bylo patrné, že studenti postupn pehodnotili svj postoj k zadané práci zpoátku cítili zmatek a práci podceovali, ale postupn zaali chápat význam toho, co dlají. To bylo patrné obzvlášt ve chvíli, kdy analyzovali a spolen rozebírali žákovská ešení. Oceovali také to, že žáci na ešení této úlohy pracovali ve skupinkách, piemž výmna názor mezi vrstevníky a jejich srovnávání významn pispívá k osobnostnímu rstu jednotlivých žák. Nkteí studenti navrhli obmnit nkteré promnné v této úloze (numerická data, úkoly, kontext,...) a zkoumat dopad takové zmny na úlohu a na její použitelnost. Tento nápad považujeme za zajímavý zpsob, jak projekt dále rozvíjet. DOPORUENÁ LITERATURA Bertazzoni, B. and Marchini, C. (2005). Improving classroom environment by problem solving. In Novotna, J. (Ed.), International Symposium on Elementary Maths Teaching, SEMT 05, August 2005, 78-86 Charnay, R. (2003). L analyse a priori, un outil pour l enseignant. In Grugnetti L., Jaquet F., Medici D., Polo M., Rinaldi M.G. (Eds). Actes des journées d étude sur le Rally 9

Mathématique Transalpin, RMT: potentialités pour la classe et la formation, ARMT, Dip. di Mat. Università di Parma, Dip. di Mat. Università di Cagliari, 199-213 Crociani, C., Doretti, L., Grugnetti, L., Jaquet, F. & Salomone, L. (Eds.) (2001). RMT: évolution des connaissances et évaluation des savoirs mathematiques, Dip.di Mat. Università di Siena, IRDP di Neuchâtel Crociani, C. Doretti, L. & Salomone L. (2006). Riflettere insieme agli insegnanti sul lavoro in classe con problemi del RMT: resoconto di un esperienza. In Battisti R., Charnay R., Grugnetti L., Jaquet F. (Eds), RMT: des problèmes à la pratique de la classe, ARMT, IPRASE Trentino, IUFM de Lyon Centre de Bourg-en-Bresse, 135-150 Grugnetti, L. and Jaquet, F. (2005). A mathematical competition as a problem solving and a mathematical education experience. Journal of Mathematical Behavior 24, 373-384 Grugnetti, L. and Jaquet, F. (in press). D un concours de mathématiques à la formation des maîtres. Rencontre COPIRELEM, Strasbourg, Mai-Juin 2005 Jaquet, F. (1999). Présentation du Rallye Mathématique Transalpin. In Grugnetti L., Jaquet, F. (Eds.), RMT: Le Rallye mathématique transalpin. Quels profits pour la didactique? Dip. di Mat. Università di Parma, IRDP di Neuchâtel, 16-20 Medici, D. and Rinaldi, M.G. (2003). A teaching resource for teacher training. CERME 3, in http://www.dm.unipi.it/ didattica/cerme3/draft/proceedings_draft/ Webové odkazy Transalpine Mathematical Rally [http://www.irdp.ch/rmt/] [http://www.math.unipr.it/~rivista/rally/home.html] Druhá pilotáž Marie Hofmannová a Jarmila Novotná Pro úely pilotování LOSSTT-IN-MATH byly vybrány takové vyuovací jednotky, které se nám jevily jako kompatibilní s obsahem kurzu Content and Language Integrated Learning (CLIL). Slovní úlohy ze skuteného života byly vybrány ze sady úloh navržených v rámci projektu. Domníváme se, že obecn slovní úlohy více vyhovují používanému pístupu v Praze, tedy výuce matematického obsahu v cizím jazyce. Definitivní slovo pi volb slovní úlohy mli eští studenti. Vybrali úlohu Podivné obarvení. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická Fakulta, eška Republika. 10

REALIZACE NÁVRHU Slovní Úlohy ze Skuteného Života Název: Podivné obarvení Text zadání: Maxime vybarvuje tvercovou sí. V každém ádku je jiné pravidlo pro vybarvení: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Už správn vybarvil prvních 15 sloupc. Zjistil, že sloupce 1, 9 a 13 jsou vybarveny celé. Pokrauje ve vybarvování až ke sloupci 16. Bude sloupec 83 vybarven celý? A sloupec 265? Vysvtlete, jak jste našli ešení. Oblasti matematiky, které ešení úlohy rozvíjí: ešení slovních úloh. Schémata. Propojení aritmetiky, algebry, geometrie, kombinatoriky atd. Cíle Pro vyuující na VŠ Provedení student uitelství od teorie k praxi. Pomoc studentm uitelství, aby upravili pípravu a výukové materiály podle vku a úrovn žák. Poskytování pokyn a zptné vazby. Pro studenty uitelství Matematika: ešení slovních úloh, zobecování. Metodologie: Píprava aktivizujících výukových materiál. Sestavení pípravy na hodinu. Vyzkoušení výukových materiál, které pipravili studenti a ve kterých se kombinuje anglitina a matematika. Simulace výukové jednotky. Výuka v reálné tíd. 11

Pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií Slovní Úlohy ze Skuteného Života Setkání s výukou matematického obsahu v anglitin. Podpora snahy o tvrí a vynalézavý pístup pi hledání ešení. Pilotáž Vytváení hypotéz, rozhodování, kontrola a ovení výsledk. a) V seminái Karlova univerzita v Praze, Pedagogická fakulta, povinn volitelný seminá CLIL výuka matematiky v anglitin. 10 student, budoucích uitel matematiky, vk 22-25 let, 2 vedoucí kurzu, týmová výuka. asový plán: 45-minutové semináe, 4 po sob jdoucí týdny. A priori analýza textu Diskuse o navržených úlohách z hlediska matematického ešení a jazykové stránky zadání. Výbr jedné ze tí navržených úloh jako základu pro další rozpracování (Podivné obarvení). Píprava hodiny Vedoucí kurzu a jeho úastníci v eštin diskutují, jak nejlépe pipravit simulovanou výukovou jednotku. Rozdlí si role a pipraví pracovní verzi pípravy na hodinu. Simulace výukové jednotky v anglitin [jedna z vedoucích kurzu poizuje videozáznam této etapy]: Dva studenti oduí jednu ást navrhované pípravy na hodinu, ostatní studenti uitelství hrají žáky. Jedna z vedoucích kurzu dlá na tabuli poznámky, které slouží jako základ pro následnou diskusi. Reflexe a analýza (v anglitin) cviné hodiny: Studenti uitelství vznášejí kritické pipomínky jak k formulaci slovní úlohy, tak k realizaci výuky podle existující pípravy na hodinu. Studenti hlavn chtjí zadání peformulovat tak, aby více odpovídalo problémm dnešní reality. Studenti uitelství se nabízejí, že pipraví nový výukový materiál, který bude lépe vyhovovat vku a zájmm žák. Výsledek viz Píloha. b) Ve tíd Stední škola v Praze, jedna 45-ti minutová hodina oduená namísto hodiny anglického jazyka, 14 žák, vk 15-16 let, vyuující matematiky, vyuující anglického jazyka, dv vedoucí kurzu, student uitelství pozorovatel. Prbh hodiny [videozáznam této etapy poídila jedna z vedoucích kurzu] Úvod: Vyuující pedstavují sebe a Maxime kestními jmény v kížovce s kestními jmény. Výukový materiál: tvercová sí. 12

Opakování a doplnní potebné matematické terminologie. Vyuující zadávají úlohu v pvodn navrženém (RMT) znní. Žáci úlohu eší samostatn nebo ve dvojicích. Vyuující mní zamení vyuovací hodiny (z matematiky na anglický jazyk): Blíže pedstavují Maxima, postavu z módního asopisu Svt módy. Rozdají výtisky asopisu. Anglický jazyk: Vyuující proví porozumní textu žáky. Matematické zadání: Žáci odpovídají na otázky z asopisu Svt módy. Spolená kontrola ešení. Vyuující ukonují hodinu. c) V seminái A posteriori analýza reflexe vyuovací hodiny Diskuse probhla v anglitin. Diskutovalo se o následujících bodech: analýza vyuovací hodiny komentáe kritické poznámky návrhy alternativních postup. DOPORUENÁ LITERATURA Harmer, J. (1989). The Practice of English Language Teaching. Longman. Novotná, J. (1999). Do students of the 3rd to 6th grades use the everyday life schemes when solving word problems? In Hejný, Milan and Novotná, Jarmila. Proceedings SEMT 99. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, p. 159-163. ISBN 80-86039-86-2. Pavesi, M., Bertocchi, D., Hofmannová, M. & Kazianka, M., on behalf of TIE-CLIL project. (2001). Insegnare in una lingua straniera. General editor: Langé, G. Milan. Tetí pilotáž (Katolická univerzita Ružomberok, Slovensko) a Závr Lucia Doretti Tématem tohoto návrhu jsou slovní úlohy a jejich ešení. Jde o složité téma s mnoha souvislostmi, a proto je vhodné pojmout ho mnoha rznými zpsoby. Volba pojetí tématu závisí na našem úhlu pohledu. Záleží na tom, jaký aspekt chceme nechat vyniknout v didaktické praxi a píprav budoucích uitel. Rozdílné úhly pohledu jednoznan vyplývají i ze zpráv, které o pilotování podali jednotliví partnei. Partner, který návrh vytvoil, se soustedil hlavn na didaktickou situaci. Pi práci na úloze To je rodina! byla nejvtší pozornost vnovaná a priori 13

analýze úlohy a práce vyvrcholila následnou a posteriori analýzou žákovských prací. Studenti uitelství mli za úkol úlohu ped tím, než ji zadají žákm, analyzovat. Poté mli potvrdit, upravit nebo vyvrátit své a priori hypotézy tak, že je porovnají s daty získanými z experimentu. Zpsob, jakým práce na návrhu probhla, vedl k tomu, že obecné prvky z a priori analýzy zaali studenti vnímat jako jeden z profesních nástroj, který uitelm mže pomoci zvolit správné postupy a uinit správná rozhodnutí. Pro druhou partnerskou organizaci, která se na pilotování podílela, byla nejpodstatnjším aspektem návrhu verbalizace. Samotná podstata kurzu Content and Language Integrated Learning (CLIL), ve kterém byl návrh realizován, vyžadovala, aby budoucí uitelé s matematickým obsahem pracovali v cizím jazyce anglitin. Bylo proto nutné vytvoit takovou didaktickou situaci, která by se hodila pro formulaci úlohy i z hlediska lingvistiky. Jinými slovy, aby byli studenti zárove motivováni ke komunikaci v anglitin a stimulováni v oblasti matematiky. Ve fázi pípravy vyuovací hodiny studenti uitelství pracovali na slovní úloze Podivné obarvení. Pokusili se vhodn pizpsobit její kontext i zadání. Nová verze je oproti pvodní bohatší o fantazii a originalitut: nápad matematicky zamené soutže, jejíž výherci získají velké slevy nebo triko zdarma zkonkrétuje situaci popsanou v úloze a pibližuje ji skutenému životu. Vedoucím kurzu se podailo získat výborný materiál, který vede k rozvoji jak po lingvistické stránce (komunikace v anglitin), tak po matematické stránce (v této verzi jde o nejmenší spolený násobek). Tetí pilotáž byla provedena v instituci, která nebyla partnerem (Katolická univerzita Ružomberok, Slovensko). Zde byla práce na studii pojata jako píležitost zvládnout se studenty uitelství otázku složitosti zadání slovních úloh. Zaali úvahami o situaci popsané v slovní úloze jako o struktue, která obsahuje rzné navzájem propojené parametry. Znalost toho, co je dáno, má pochopiteln vliv na to, co je teba nalézt. Obtížnost ešení úlohy mže být z hlediska matematiky velmi rzná práv v závislosti na tom, jak je úloha zadána. Úkolem student bylo vytvoit nkolik stupovan složitých slovních úloh a zhodnotit náronost jejich ešení. Toto hodnocení mlo pedcházet pilotování ve tíd. 14

Píloha: Slovní úlohy ze skuteného života asopis Svt Módy More information inside! 15

It is a simple equation. If you want to be IN in the coming spring season, put on a squared T-shirt. According to reputable fashion designers, the season will be full of squares. In this edition of the Fashion World Magazine, you can order a T-shirt with any squared patterns you can imagine. In addition to this, you can get great discounts or a T-SHIRT GRATIS! Join our contest and win a MAGNIFICENT T-shirt! Don t miss your chance and order a T-shirt. Only now you can choose your own pattern! Advertising!!""!#$ %!#&'$(# "$#!&$)&$ *+,-./01$!&/23/4/50678./0 16

These patterns were prepared by our designers only for you. PATTERN No. 1 1 2 3 4 5 PATTERN No. 2 6 7 8 9 10 PATTERN No. 3 11 12 13 14 15 PATTERN No. 4 16 17 18 19 20 17

Show us your CREATIVITY and find your own pattern. BUT DO NOT FORGET. Your design must fit our offered SET! 1 1119 119 *9 *9 9 9 Find the right answers to our quiz, fill in the information sheet, cut it off and send! )$:: (%(( (( ;.4<( &= &= &>. Is this a pattern from our set? &>/ If our catalogue contained all the other patterns, what would the pattern No. 16 be like? (Blacken the appropriate squares!) 80 81 82 83 84 18

&>8 What is the number of this pattern? (If there are more possibilities, write ALL of them!)????? &>3 Choose a pattern from the set and write the appropriate number. %;%* %?(@*9 ;**' ' A% % CUT OFF HERE CUT OFF HERE Name: Surname: Date of Birth: Country: Address: Telephone number: Your size: Colour: Green Blue Red Grey Black Pattern No.: $>.B Yes No $>8B It is the pattern number: $>/B $>3B 80 81 82 83 84 I have chosen this pattern: '*(@ Its number is: 19