TANGRAM VEVÝUCE MATEMATIKY NA 2. STUPNI
|
|
- Iva Pavlíková
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 TANGRAM VEVÝUCE MATEMATIKY NA 2. STUPNI Jaroslava Brincková, Miroslav Haviar * a Iveta Dzúriková ÚVOD Uení je na jedné stran výsledek innosti, ale zárove se inností také rozvíjí. Mezi innosti velmi asto využívané ve výuce jsou asto matematické hry. Pokud tyto hry probíhají podle uritých pravidel, které odpovídají didaktickým cílm, nazýváme je didaktickými hrami ve výukovém procesu. Mezi didaktické hry patí i geometrické skládaky, mezi nž adíme také starovkou ínskou skládaku nazývanou tangram. Z hlediska vzdlávacího procesu tangramy pomáhají pi výuce geometrie, protože rozvíjejí: 1. znalosti z oblasti geometrie, 2. odvodování, 3. geometrickou pedstavivost. Geometrickou pedstavivostí rozumíme schopnost vnímat: geometrické útvary, jejich velikost a pozici v prostoru, konkrétní geometrický útvar rzn umístný v prostoru, zmny velikosti, struktury atd. útvar, útvar v prostoru podle projekce v rovinn a slovního popisu, znázornní konkrétného útvaru v rovin. * Pedagogická Fakulta, Univerzita Mateja Bela, Banská Bystrica, Slovenská Republika. 8. roné evanjelické gymnázium, Banská Bystrica, Slovenská Republika. 1
2 Hlavní pilotáž Jaroslava Brincková a Iveta Dzúriková Pi výuce geometrie lze díky modelování tangramu z papíru v E 2 (rovin) i ze stavebnicových díl v E 3 (prostoru) provozovat innosti, které rozvíjejí geometrickou pedstavivost. Pravidla používání tangramu Obrázek 1: Tangram Pi tvoení libovolného tvaru musí být vždy použito všech 7 dílk tangramu. Žádné dílky tangramu se nesmjí pekrývat. Všechny dílku tangramu lze v pípad poteby použít i z rubové strany. Pi výuce geometrie lze dílky tangramové skládaky použít v zásad dvma zpsoby: Pro modelování pedem ureného útvaru takto lze procviovat a rozvíjet geometrickou pedstavivost, smysl pro geometrické útvary a jejich vlastnosti; dít vnímá plochu. Pro zaplnní ohraniené plochy danými dílky v tomto pípad existují ti možnosti: o Tvar je daný ohraniením plochy. o Všechny body útvaru mají stejnou barvu vyplnný útvar. o Útvar je umístn ve tvercové síti. Pi modelování pedem ureného útvaru musejí žáci porovnávat hranice jednotlivých útvar a vybrat vhodný dílek tangramu, který do vytváeného útvaru pi uritém natoení pasuje. Žáci si vybavují geometrické útvary, jejich velikost a umístní v prostoru, vnímají jeden útvar v rzných umístních v prostoru atd. Pi zaplování ohranieného prostoru jednotlivými dílky existuje nkolik úrovní obtížnosti. Výzkum ukazuje, že žáci nejnižších roník nevnímají tvercovou sí jako nástroj, který jim pomáhá pi práci s pravidelnými tyúhelníky, ale vnímají ji jako dvoubarevné prostedí, tedy jako papír s obrázky. Teprve postupn se uí vnímat rovnobžky a kolmice. Nejúspšnjší jsou tehdy, pokud jsou dány hranice zadaného útvaru. Pi výuce geometrie na 2. stupni základních škol a nižším gymnáziu lze tangram využívat pi rzných motivaních úkolech, pi procviování obsahu, obvodu, osové soumrnosti a podobnosti útvar, pi dokazování Pythagorovy vty a pi výkladu 2
3 racionálních ísel. Také pomáhá pi procviování zobrazování ve tvercové síti. Není však ideálním nástrojem pro výuku geometrických pojm, protože se skládá pouze z jednoho ze sedmi typ trojúhelník (pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku), ze dvou tyúhelník (tverce a rovnobžníku) a neobsahuje kruh. Hlavní myšlenky Vliv jednobarevné a mnohobarevné vyuovací pomcky na úspšnost žák. Rozvoj schopnosti vnímat obvod a obsah nekonvexního obrazce v rovin. Vliv grafického prostedí (tverekovaný papír, barevný papír, ist bílý papír) na schopnost zobrazit uritý model v rovin. Zjistit obvod a obsah rzných dílk skládaky. 1. Název: Tangram pro mní obvodu a obsahu 2. Rozvíjené matematické oblasti: Mení obrazc v rovinn s použitím nestandardních jednotek mení. 3. Popis úlohy Obecným cílem tohoto návrhu je, aby si studenti budoucí uitelé matematiky uvdomili, jaký význam mají úlohy s mením pro matematický rozvoj žák. Hru s tangramem využíváme v semináích pro studenty uitelství 2. stupn v rámci píparvy na výuku geometrie na 2. stupni základních škol a na nižších gymnáziích (vk let). Hlavním cílem je rozvoj tvoivého myšlení a geometrické pedstavivost žák. Naším zámrem je pipravit takovou školní úlohu, ve které se v rzném kontextu pracuje s pojmy obvod a obsah. Tangram chceme využít pro názorné pedvedení zobrazování ve tvercové síti pi mení obvodu a obsahu. Zamujeme se na následující dílí cíle: Didaktické vysvtlení posloupnosti krok pi modelování geometrických pojm obvod a obsah dvojrozmrných obrazc: pozorování modelování zobrazování v rovin mení rýsování odvození funkních vztah. Popis van Hielových1 úrovní geometrického myšlení, obzvlášt se zamením na odvozování funkních vztah s použitím geometrických termín. Modelování ve svt ísel a tvar s použitím úseky a jednotky. Nalezení vztah mezi obvodem a obsahem pro rzné obrazce. Pouze pro 14ti leté žáky: mení velikosti rzných obrazc a vypoítání jejich obvodu a obsahu s pomocí Pythagorovy vty a algebraických výraz. 4. Cíle Pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií Kombinace využití aritmetiky, algebry a geometrie v rámci zadaných úkol. 1 Van Hiele, P.M.: Structure & Insight. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
4 Využití skládaky tangram pro modelování a mení obvodu obsahu v geometrii v rovin. Formulování hypotéz, rozhodování, kontrola a ovení výsledk. Pro studenty uitelství V matematice: Zkoumat rzné úlohu mením v geometrii (modelovat vztah mezi ísly a tvary). V metodologii: Skupinová práce tvorba didaktického materiál pro podporu motivace žák. Testování tchto materiál ve 4 krocích: o vnímání, modelování a zobrazování; o definice pojm a mení; o postup pi skládání; o rozkládání. Pro vyuující VŠ Vést studenty uitelství k tomu, aby upravili svj plán hodiny s ohledem na vk, úrove a specifické poteby žák a aby zodpovdn vybírali jednotlivé úlohy atd. Poskytnout zadání a zptnou vazbu. 5. Zadání Pro studenty uitelství Vnímání, modelování a zobrazování Úloha. 1 Studenti uitelství se seznámí s pravidly hry Tangram. Podle obrázku jedna narýsují jednotlivé dílky skládaky na papír. Studenti hru pipraví ve dvou verzích, bílé a barevné, což v praxi znamená, že ve verzi 1 zstanou tvary 1 7 ist bílé a ve verzi dv se obarví tak, aby sousedící tvary mly vždy jinou barvu. V obou verzích dílky skládaky tangram vystihnou. Studenti používají dílky obou verzí tangramu oddlen k modelování rzných složených tvar z obrázku 2. Studenti uitelství používají všechny dílky tangramu k vytvoení rzných tvar z obrázku dv i k tvorb jiných tvar, napíklad tvaru dívka, svíka atd. Obkreslí (run) každý vytvoený model v obou verzích (bílý vs. barevný) na ti rzné listy papíru: bílý, tverekovaný a barevný. Prodiskutují vliv rzného pozadí na listech papíru i obou verzí tangramu na schopnost obkreslit pesný obrys složených tvar tangramu. Poté prodiskutují vliv rznobarevných dílk na schopnost vnímat obrys obrazce. Mli by si také uvdomit, jak rzn ovlivují ob verze tangramu (bílá vs. barevná) schopnost vnímat hranice nakreslených obrázk. V další fázi studenti uitelství prodiskutují, jaké jsou možnosti hry tangram pi výuce klasifikace tyúhelník pro vkovou skupinu let. 4
5 Definice pojm a mení Obrázek 2: Složené tvary Úloha. 2 (Viz také Pojmové mapy Mení v Píloze nebo slovenskou webovou stránku Studenti uitelství ve výkladovém slovníku vyhledají význam pojm obvod a obsah v rzném kontextu. Zkoumají význam pojmu obvod a obsah v rzných oblastech (zempis, literatura, elektrotechnika, obanská nauka, umní, geometrie, ). Tento postup má vést k tomu, aby studenti uitelství chápali, že pojem obvod (obsah) v matematice znamená délku uzavené kivky urené (uspoádanou) dvojicí [íslo, jednotka], nikoli hranici (plochu) rovinného obrazce. Postup skládání [viz Obrázek 1] Mžeme používat dv jednotky jednou jednotkou mže být strana tverce 4 (nazývejme ji s), druhou jednotkou je pepona trojúhelníku 7 (nazývejme ji h). Ukazujeme, že známe-li obvod (obsah), je možné podle instrukcí vytvoit rovinné obrazce s rzným obsahem (obvodem). Úloha. 3 S použitím dvou shodných trojúhelník (tedy bu z trojúhelník 1 a 2, nebo 6 a 7), vytvote takové útvary, aby mly strany se stejnou délkou. Vymodelované ešení pekreslete do sešit. Obvod vymodelovaných útvar vyjádete pomocí jednotek s a h. Úloha. 4 S použitím tverce 4 a dvou trojúhelník 6 a 7 tangramu vytvote takové rovinné útvary, aby nly strany stejné dély. Najdte všechan ešení a roztite je podle obvodu, podle potu a velikosti úhl a podle rovnobžných stran. Položí-li obrazce k sob, žáci vidí, že jedna strana trojúhelníku je delší než strana tverce. Což otevírá možnost zahájit zajímavou a didakticky pínosnou diskusi co s tím mžeme udlat? Za pedpokladu, že nemžeme mit jak mžeme urit obrazce? Které obrazce mají stejný obvod? Mžeme používat dv jednotky s a h. Takže obvody jsou: A je 6s, B je 4s + 2h, C je 4s + 2h, atd. (Všimnte si, že všechny obvody krom obvodu obrazce A jsou 4s + 2h.) To by mlo podporovat používání znak (s, h) pi ešení úlohy a také otevírá následující otázku: 5
6 Jaký obvod mají všechny ostatní útvary tangramu? Postup rozkládání [viz Obrázek 1] Obrázek 3: Výsledky Úloha. 5 Žáci složí všechny ásti tangramu a vytvoí: a) trojúhelník, b) tverec, c) obdélník. Peliv si prohlédnou rozdíly mezi bílým a obarveným tangramem. Úloha. 6 Vytvote trojúhelníky z 2, 3, 4, 5, 6 a všech dílk barevného tangramu. Nakreslete barevné modely. Najdte všechan ešení složená z pti ástí. Úloha. 7 Barborka vytvoila ptiúhelník. Podívejte se na obrázek 4 a vytvo nový s použitím dílk. 3 a 5. Které další ásti tangramu potebujete k vytvoení stejného tvaru? Jednou z možností je použít ásti 4, 6 a 7. Najdte všechna ešení. s h Obrázek 4: Ptiúhelník Obsah a obvod obrazc v rovin [viz Obrázek 1] Úloha. 8 Z trojúhelník 6 a 7 vytvote všechny možné tvary. Pokud stanovíme, že jednotkou dílk tangramu je délka strany tverce s a délka pepony trojúhelník h, sledujte vztah mezi obvodem a obsahem. Abyste byli schopni klasifikovat jednotlivé útvary, nemusíte znát výšku trojúhelník ani mit obsah. Mžeme použít jednotku obsahu T (obsah trojúhelníku 6 nebo 7). Všechny tvary mají stejný obsah 2T. Úloha. 9 Utvote tvary na obrázku 3 z trojúhelník 6 a 7 a tverce 4 tangramu. Porovnejte jejich obvody a obsahy. Úloha. 10 Je-li jednotkou obsahu obsah nkterého z nejmenších trojúhelník tangramu T, urete obsahy rzných dílk puzzlu. 6
7 Rozšiující úloha [viz Obrázek 1] Honza piložil trojúhelník. 3 tangramu k vrcholu proti pepon velkého trojúhelníku. 1 tangramu, viz obrázek 5. Vypoítejte s pomocí jednotek s a h obsah nov vytvoeného lichobžníku (je mode vybarven). (Ml by být stejný jako obsah trojúhelníku 3?) Obsah vyjádete pomocí cm 2 : délka krátké strany trojúhelníku 1 je 6 cm a délka pepony je 62 cm Pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií 6cm Obrázek 5: Trojúhelník Žáci podle obrázku 1 narýsují dílky skládaky na papír. Hru pipraví ve dvou verzích, bílé a barevné, což v praxi znamená, že ve verzi 1 zstanou tvary 1 7 ist bílé a ve verzi dv se obarví tak, aby sousedící tvary mly vždy jinou barvu. V obou verzích dílky skládaky tangram vystihnou. Žáci používají dílky obou verzí tangramu (bílé a barevné) oddlen k modelování rzných složených tvar z obrázku. Pitom se nauí pravidla hry tangram. Obkreslí (run) každý vytvoený model v obou verzích (bílá vs. barevná) na ti rzné listy papíru: bílý, tverekovaný a barevný. Prodiskutují vliv rzného pozadí na listech papíru i obou verzí tangramu na schopnost obkreslit pesný obrys složených tvar tangramu. Poté prodiskutují vliv rznobarevných dílk na schopnost vnímat obrys obrazce. Mli by si uvdomit, jak rzn ovlivují ob verze tangramu (bílá vs. barevná) schopnost vnímat hranice nakreslených obrázk. Pak žáci s použitím dílk tangramu vytvoí koku, psa, zajíce a proberou možnosti práce se skládakou tangram pi urování tyúhelník. Žáci se nauí potebnou terminologii v anglitin: základna, výška, pepona, pravý úhel, kolmice a (v pípad tangramu) rovnoramenný, a dále pojmy týkající se podobnosti, tedy otoení, posun a zobrazení. Vysvtlí, jak se v rzných kontextech používají pojmy obvod a obsah. Mohou používat dv jednotky jednou jednotkou je strana tverce 4 (oznaovaná s), druhou jednotkou je délka pepony trojúhelníku 7 (oznaovaná h). Žáci postupn 7
8 zjistí, že, je-li dán obvod (obsah), mohou podle instrukcí modelovat rovinné obrazce s rzným obsahem (obvodem). Žáci vytvoí obrazce z úlohy 3 a 4. Tvary mohu vytváet pouze tak, že k sob pikládají shodné strany. Ve skupinách prodiskutují, kolik možných ešení tyto úlohy mají. Je-li jednotkou obsahu jeden z dvou nejmenších trojúhelník tangramu T, zjistí obsah jednotlivých dílk skládaky. Formulování hypotéz, rozhodování, kontrola a ovení výsledk. Bonusovým materiálem, na kterém pracují nejlepší žáci samostatn, jsou úlohy 6 a 7 a rozšiující úloha. Pro vyuující VŠ Vést studenty uitelství k tomu, aby upravili svj plán hodiny s ohledem na vk, úrove a specifické poteby žák a aby zodpovdn vybírali jednotlivé úlohy atd. Poskytovat instrukce a zptnou vazbu Závr Tento návrh byl vytvoen pro studenty uitelství pedmtu matematika pro 2. stupe (6. 9. tída základní školy, vk let nebo nižší gymnázium). Je povinnou souástí pedmtu Didaktika matematiky. Místo konání: Univerzita Mateje Bela, Pedagogická fakulta, Banská Bystrica. Vyuující na VŠ: tým složený z univerzitních uitel, 1 vedoucího kurzu, 2 uitel matematiky a 1 uitele anglického jazyka. Studenti uitelství: 18 budoucích uitel v seminái Didaktika matematiky. asové rozvržení 2 vyuovací hodiny týdn Týden 1. Studenti Práce na doma Aktivity pipravte tangram bílý a barevný seznamte se s pravidly práce se skládakou tangram a použijte je v praxi s použitím pojmové mapy z Pílohy 1 vysvtlete geometrické pojmy Mení vymyslete motivaní úkoly pro urování tyúhelník pi práci použijte Internet ve dvojicích vypracujte pípravu hodiny 8
9 Studenti Práce na doma Studenti Práce na doma Studenti Práce na doma Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni ve dvojicích a skupinách prodiskutujte rzné postupy ešení na barevné tabuli ukažte rozdíly vytvote mapy jazykových pojm používejte správnou terminologii z rzných vyuovacích pedmt (slovenština, fyzika, výtvarná výchova, pírodní vdy, tlesná výchova atd.) provete kritický rozbor pedvedených píprav na hodinu dokonete pípravu na hodinu s využitím mezipedmtových vztah provete rozbor cíl výuky v píprav popište jednotlivé kroky a úkoly pro žáky plan projdte pípravy na hodinu pipravte závrenou diskusi o jednotlivých fázích pípravy na hodinu píprava dvou student uitelství, kteí budou vyuovat v reálné škole ostatní studenti komentují a kontrolují + pipravují poízení videozáznamu analýza plánovaných sekvencí pipravte vyuovací hodinu pro žáky, kteí nerozumli materiálm, které jim uitel poskytl studenti a uitel sledují videonahrávku a analyzují hodinu. Sousteují se na komunikaci mezi uitelem a žáky. vedoucí kurzu ohodnotí studenty uitelství a poskytne komentá k odvedené tvrí práci s použitím tangramu vytvote vlastní logo, které budete používat s seminái Didaktika matematiky Realizace navržených sekvencí Realizace ve výuce Evangelické gymnasium Banská Bystrica, Skuteckého 5. Gymnázium navštvují studenti 8 roník nižšího a vyššího gymnázia. Kvarta, vk žák 12/13, poet žák ve tíd 21. Matematika v anglickém jazyce, geometrie v anglickém jazyce. Dva uitelé matematiky a anglického jazyka. Uitelé se pi výuce stídali. Student uitelství poídil videozáznam. Základní škola Amos v Martine, Východná, 5. tída, stídavá výuka matematiky a pírodních vd. Poet žák ve tíd 23. Dva vyuující uitel a student uitelství. Uitel vyuoval. Jiný student uitelství poídil videozáznam. Ve tíd Modelování v rovin (E2) Uitel motivuje žáky. Urování tyúhelník. Postup skládání a rozložení. Obvod a obsah. 9
10 DOPORUENÁ LITERATURA Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni Brincková, J. (1996). Didaktická hra v geometrii. (Didactical games Bratislava: DONY. in geometry). Brincková, J. (2001). Tvorivé dielne 2. (Zamerané na didaktické hry). Banská Bystrica: PFUMB Millington, J. (1998) Tangram. Puzzle picture to make you think!. Stockholm. 10
11 MAPA termín - MENÍ BOD Bez rozmr KIVKA ROVINNÁ A PROSTOROVÁ 1 ROZM R DÉLKA OTEVENÁ UZAVENÁ ROVINA - E2 Dva rozmry DÉLKA, ŠÍKA (POLOM R, VÝŠKA) OBSAH HRANICE OBRAZCE POVRCH TLESA OBSAH PODSTAVA OBSAH PLÁŠ OBSAH STNA TLESA PLOCHA OBSAH PÍMKA LOMENÁ KIVKA OBLOUK JEDNODUCHÁ JORDANOVA OBVOD DÉLKA STRANA OBRAZCE HRANA TLESA TLESA E3 Ti rozmry DÉLKA, ŠÍKA, VÝŠKA OBJEM PÍMKA 11
12 Druhá pilotáž Brunetto Piochi * Úkolem pro studenty uitelství je vymodelovat co nejvtší poet tvar i geometrických obrazc v rovin za použití 7 dílk klasického tangramu (který pozdji sami vytvoí). Poté se zamí na geometrické vlastnosti (konvexnost, poet vrchol ) tchto rznorodých obrazc a tvar s cílem objevit obecné vztahy i obrazce urit. Dalším zadáním pro studenty je vymodelovat pravidelné mnohoúhelníky s použitím pouze uritých dílk. U tchto (neshodných) obrazc potom pracují s vlastnostmi obvodu a obsahu. Podobné úkoly budou následn zadány i žákm a studenti uitelství prodiskutují výsledky tohoto pilotování. Matematická témata Návrh se vnuje vlastnostem geometrických obrazc, obzvlášt mení obsahu a obvodu a podobnosti. Cíle Pro vyuující VŠ Usnadnit studentm uitelství pechod od teorie k praxi. Nechat studenty uitelství vyzkoušet si úlohu sami na sob pedtím, než ji zadají žákm. Poskytovat instrukce a zptnou vazbu. Pro studenty uitelství Prodiskutovat základní geometrické pojmy i zpsob, jak je prezentovat. Uvdomit si náronost definování a pojmenování geometrického obrazce. Vyzkoušet si úlohu na urování nestandardních obrazc. Pro stedoškolské studenty Znát základní názvy a pojmy z oblasti bžných mnohoúhelník. Umt zmit délku úseky (pímo i v pípad poteby s pomocí Pythagorovy vty). Uvdomit si shodnost geometrických obrazc, které je možné rozložit do stejných ástí. Pracovat s obrazci v rovinn na základ podobnosti a skládání, uvdomit si, že nové obrazce jsou s pedchozími shodné. * Dipartimento di Matematica, Università di Firenze, Itálie. 12
13 Popis úlohy Tangram Vevýuce Matematiky na 2. Stupni Aktivita probhla v rámci instituce pipravující uitele pro stední školy v Itálii (SSIS). Práce se úastnilo 42 poslucha prvního a druhého roníku SSIS, kteí chtjí získat kvalifikaci pro výuku matematiky a pírodních vd pro 2. stupe. Fáze a asový rozvrh Pedstavení tangramu a úlohy s geometrickými obrazci (1 h 30 ) Prodiskutování a vytvoení návrhu, podle kterého bude provedena výuka v reálné tíd (45 ) Pilotování v reálné tíd (v rozsahu 3 až 5 hodin, podle tídy) Závrená diskuse (30 ) SSIS posluchai dostali k vystižení tangram okopírovaný na lepenku. Poté dostali zadání tí následujících úkol a spolen je okomentovali: Vytvoit tvercovou sí o rozmrech 8 x 8 a do ní zanést souadnice vrchol, které je teba spojit, aby vznikly strany obrazc, které jsou souástí skládaky tangram: (8, 0) a (0, 8); (0, 0) a (4, 4); (8, 4) a (4, 8); (2, 6) a (4, 8); (6, 2) a (6, 6); (4, 4) a (6, 6). Vytvoit všechny existující geometrické tvary s použitím tverce a dvou malých trojúhelník s tím, že lze k sob pikládat pouze shodné strany. Vytvoené obrazce dále urit podle potu vrchol, obsahu a obvodu. Využít všech dílk tangramu k složení známého mnohoúhelníku: trojúhelníku, tverce, obdélníku. V diskusi, která následovala po zadání jednotlivých úloh, mli posluchai odpovdt na následující otázky, které je mly nasmrovat k tomu, aby se soustedili na didaktické aspekty úloh: Jaké kompetence jsou rozvíjeny v jednotlivých úlohách? Jaké vstupní znalosti se pedpokládají? Jaký uební styl je rozvíjen? S jakými obtížemi jste se pi ešení tchto úloh setkali? Pedpokládáte, že žáci by mli pi ešení i další potíže? Jak jim mžete pomoci tyto potíže zvládnout? Jak mžeme využít tento nástroj ve výuce? Na jakém stupni? Na co je podle Vašeho názoru nejdležitjší se zamit? Pozdji dva posluchai SSIS provedli experiment ve své výuce. Byli vybráni proto, že mohli pi experimentu pracovat se žáky, které znali, v rámci standardního uebního plánu. Návrh pípravy na hodinu, který vznikl v pípravné debat, si tito dva posluchai upravili tak, aby vyhovoval jejich kontextu; experiment probhl ve tyech tídách (celkem asi 80 žák ve vku 11 a 14); jedna ze tíd úlohy použila pro výuku spolužák z prvního stupn. Žáci dostali klasický tangram skládající se ze 7 dílk (bu ve form k vystižení, nebo tak, aby dílky sami podle souadnic narýsovali do tvercové sít). Byli vyzváni, aby s použitím dílk vytváeli rzné útvary v rovin (bu zábavné obrázky, nebo geometrické obrazce), poté aby vyslovili hypotézy a tyto hypotézy ovili. Dále jim 13
14 bylo zadáno, aby tvoili obrazce z nkterých konkrétních dílk (v nkterých pípadech i ze všech), aby zjišovali, které z tchto obrazc jsou shodné, aby vyslovovali hypotézy o možné klasifikaci tchto obrazc a aby uvažovali o délce i obvodu takto vytvoených obrazc. Na závr informovali ti posluchai, kteí experiment realizovali, o jeho prbhu a vyjádili se k hypotézám, které byly vysloveny v pípravné debat. V samém závru celá skupina vybrala, které z úloh byly obzvlášt užitené a hodí se k dalšímu rozboru. PREZENTACE Výuka geometrie na 1. a 2. stupni základní školy je nesmírn dležitá. Nejde jen o sadu nauených termín z urité oblasti. Geometrie má klíový význam pi formování racionálního myšlení, protože pomáhá orientovat se v prostoru a také prostor racionáln popsat. Geometrizace našeho svta je primární matematická innost, která pedchází i základním potm. Dti mají obvykle tendenci spontánn zprostedkovávat své zážitky pomocí graficko-obrazových aktivit a teprve pozdji zanou vci kolem sebe vyíslovat. Tato graficko-obrazová innost znázoruje i interpretuje naše zkušenosti reálného svta; jde o matematiku, která v urité chvíli poskytuje konkrétní nástroje pro popis skutených pedmt: pímky, body, obrazce,. Geometrie má tedy své koeny v pozorování jednoduchých pedmt, v manipulaci s nimi, v jejich modelování a znázorování. Vychází z ohýbání, stíhání, skládání, ze sledování sebe sama i okolního svta v zrcadle Následná geometrizace rozhodn není snadná ani jednoduchá. Vyžaduje velkou míru schopnosti interpretovat, abychom získali odstup od naivního pohledu a dosáhli komplexního racionálního porozumní. Geometrické myšlení se rozvíjí a utváí na všech stupních v prbhu celé školní docházky. I když v rzných fázích pevažují konkrétní nebo racionální stránky geometrie, postupn dochází k jejich sbližování a propojování. Pro ilustraci tohoto tvrzení se budeme vnovat geometrickým obrazcm. První pístup je práce se (základními a pravidelnými) geometrickými obrazci, popis jejich tvaru a vlastností: to mžeme definovat jako vizuální fázi. Tento pístup je charakteristický pro první roníky 1. stupn (pro žáky ve vku 6 až 8 let). Pozdji už žáci obrazce popisují s pomocí nauených vlastností, jde tedy o deskriptivní analytickou fázi. Poté žáci sami vytváejí definice, hledají charakteristické vlastnosti, musejí argumentovat a dokazovat: zde jde o nejvyšší, abstraktní fázi, která vede k formální fázi, kde jsou již možné dkazy vt a studium geometrického axiomatického systému (i spíše axiomatických systém). Schopnost práce s obrazci a schopnost je narýsovat je dležitým nástrojem pi výuce geometrie: schopnost narýsovat obrazce nám umožuje vizualizaci jednotlivých vlastností, protože tímto zpsobem vlastnosti penášíme pomocí vztah v prostoru. Opaný pístup (od grafického znázornní ke geometrickému obrazci) však vychází z aktu interpretace: rozpoznání vizuálních vlastností geometrického objektu 14
15 v prostoru není spontánní innost, a proto potebuje, abychom se jí vdom nauili. (Geometrický) obrazec mže být v rzných kontextech vysvtlen mnoha rznými zpsoby a vnímání pichází teprve po interpretaci: to ovšem mže být problém, obzvlášt pokud jsou teoretické znalosti pozorujícího omezené a znemožují mu vidt za hranice bžného vnímání. Pechod od pedmtu ke geometrickému znázornní pomocí urení základních vlastností a od znázornní ke geometrickému objektu pomocí interpretace ukazují, že grafická innost a její postupné zdokonalování je zárove dsledkem i zdrojem uení. Díky tomu je napíklad možné poukázat na rozpory v teoretických mylných pedstavách. Jinou možností je ukázat na výhody teorie, která nám umožuje pedpovídat obecné dsledky (shodnost tetí strany dvou trojúhelník, jejichž dv strany a úhel, který svírají, jsou stejné ). Pi tomto pojetí vyuování geometrie hrají klíovou roli takové innosti, které leží na hranici mezi hrou a grafickou inností a zárove otevírají pole pro abstraktní matematizaci. Velmi asto bohužel dochází ve výuce k tomu, že se tyto propojující innosti zanedbávají. Práv v kritické chvíli v prvních ronících 2. stupn je asto kladen píliš velký draz na definice a vzorce odtržené od skuteného života. To vede (asto bohužel již definitivn) k zkreslení pohledu na matematiku. Geometrické vlastnosti jsou vnímány jako nco, co vychází z mnemonických znalostí definic a vzorc. Proto je nezbytn nutné, abychom pi píprav budoucích uitel popsali a vyhodnotili dostatené množství tohoto typu propojujících úloh. Pilotovaný návrh používání skládaky tangram patí práv k takovému typu vzdlávacích aktivit. ÚKOLY PRO POSLUCHAE SSIS Všichni posluchai SSIS dostali kopii skládaky tangram na papíe, ze kterého šly jednotlivé dílky snadno vystihnout2. V úvodní ásti jsme se odklonili od postupu slovenských koleg: vzhledem k nedostatku asu jsme vynechali tu ást, ve které slovenští studenti z tangramu tvoili libovolné tvary. Upozornili jsme ale naše posluchae, že pi této i podobných úlohách, které zahrnují manipulaci, musejí v úvodní ásti žákm nechat dostatený prostor pro samostatné zkoumání; tedy nechat žákm as si hrát, prozkoumat rozdíly mezi jednotlivými dílky a použít je pro tvorbu vlastních tvar. Poté jsme na fóliích poslucham ukázali skládaku tangram a sadu tvar, které se z ní dají složit. Upozornili jsme je, že v praxi by žáci mli pracovat samostatn nebo ve dvojicích a tyto i další tvary sami složit. Tato fáze hodiny se sice z pohledu matematiky mže zdát jako zbytená (tento názor mlo i nkolik poslucha SSIS, ale pozdji zmnili názor), ale z hlediska motivace je absolutn nezbytná. Navíc žákm umožuje se dobe s materiálem seznámit a intuitivn prozkoumat potenciál I hranice práce s ním. 2 Posluchai SSIS také mimo jiné dostali peklad sady cviení vytvoené kolegy z Banské Bystrice (SK), takže všichni studetni uitelství mli pro diskusi všechny dostupné materially. 15
16 Pi sledování fólií mli posluchai SSIS íci, zda jim pipadá tato úloha pro žáky snadná a zda by byli schopni vymyslet, jak tuto fázi obohatit o matematický obsah (aniž by ale zanedbali herní a motivaní prvky). V následné diskusi se posluchai shodli na tom, že jde o snadný úkol, významný z hlediska mezipedmtových vztah (vztahy s výtvarnou výchovou a pracovním vyuováním), ale z hlediska matematiky v podstat zbytený. Domníváme se, že tyto názory souvisejí s tím, na co jsme upozorovali díve: navzdory jiným dílnám si posluchai SSIS neuvdomují potenciál vyuování geometrie v innostech, kde pevládá neformální pístup3. Zde je vhodné podotknout, že pozdji, v reálném vyuování, tato innost pedcházela samotné práci v geometrii. V závrené diskusi posluchai SSIS konstatovali, že žákm pipadal tento úkol snadný a zobrazené tvary skládali pomrn bez potíží. Posluchai ale upozornili, že tato innost vedla k tomu, že si žáci uvdomili celou adu vlastností obrazc, které uitelé považují za známé. Týkalo se to hlavn dynamických vlastností, které získávají obrazce v rovin (je všeobecn známo, že mnoho žák si geometrické obrazce vizualizuje staticky), nebo rzného uspoádání hranic mezi jednotlivými dílky tangramu, ze kterých se skládá vytvoený tvar: tato hranice mže být tvoena bodem nebo úsekou, mže ji tvoit celá strana základního geometrické obrazce nebo pouze její ást atd. Práce, pi které žáci hledali vhodné definice pro tyto rzné situace, vedla k obohacení slovní zásoby v oblasti geometrie a byla dobrým základem pro další fázi. Vzhledem k tomuto poznání je otázkou, zda by nebylo užitené tuto fázi práce zahrnout do výuky poslucha SSIS. Pro aktivitu 1 je teba mít základní znalosti kartézské roviny (a dále pelivost a manuální zrunost). Posluchai SSIS s touto úlohou nemli nejmenší problémy, ale pedpovídali, že žáci by na problémy narazili, protože nemají dostatené znalosti kartézské roviny. Pokud by se ukázalo, že nedostatek znalostí z této oblasti je skutenou obtíží, bylo by podle poslucha SSIS dobré ukázat jednotlivé dílky tangramu a zadat jen nkteré souadnice. V diskusi posluchai také upozornili na to, že z dvod symetrie a velikosti zvolené tvercové sít 8=23 budou mít všechny úhlopíky dílk tangramu celoíselné souadnice, pestože mnoho stran má iracionální délku. Z hlediska didaktiky je velmi zajímavé si uvdomit, že k propojení bod urených souadnicemi i k urení souadnic bod v rovin je poteba nkolik kompetencí: tímto zpsobem je tedy možné klást rzné požadavky na rozvoj tch kompetencí, jež jsou pro uritou skupinu žák žádoucí. Aktivita 2 pinesla poslucham dv skupiny problém (což zaskoilo i je samé ): potebu urit a definovat mechanismus klasifikace dvou shodných obrazc a nemožnost tyto obrazce pojmenovat. Práv druhý problém je dkazem toho, že geometrizací asto rozumíme pouhé pojmenovávání. Je absolutn bez pochyb, že tato úloha byla pro naše posluchae užitená, protože jim zjednodušila pozdjší práci se žáky pi objevování nestandardních mnohoúhelník. Posluchai také upozorovali na dležitou roli, kterou tato úloha hraje v rozvoji tvrích kompetencí 3 Pipomínáme, že posluchai SSIS, kteí se úastnili tohoto projektu, jdou pevážn uitelé pírodních vd, nikoli matematiky. Jejich vztah k matematice i chápání této vdy asto odpovídá tomu, co cítí jejich žáci. 16
17 žák v rámci celého projektu, nebo jim umožuje vyzkoušet si autonomní matematické urování. Zárove jsme se ale dohodli, že tato úloha bude probíhat formou práce ve skupinách, protože nelze pedpokládat, že by požadovanými kompetencemi disponoval každý žák v námi diskutované vkové skupin: Práce ve skupin umožuje výmnu informací, což je pro tuto úlohu výhodou. Úvaha, která posluchae napadla okamžit, ale která pravdpodobn nenapadne žáky (to se pak skuten stalo), je, že není možné obrazce složené ze stejných dílk urovat podle obsahu, a to i pesto, že jde o obrazce shodné, protože se dají rozložit na stejné dílky. Problémy, které vyvstaly pi aktivit 3, lze v podstat shrnout do obtíží (známých z celostní psychologie) s rozložením a znovu sestavením vlastních pedstav, což umožuje vnímat konkrétní obrazec jako souást jiného obrazce, jehož obraz je v mysli také silný a nemnný. Je zajímavé, že žáci pi výuce ve tíd byli pi ešení této úlohy mnohem rychlejší a schopnjší, pravdpodobn práv proto, že jejich pedstavy o geometrických obrazcích ješt nejsou tak rigidní. Je pravda, že tuto skutenost pedvídala vtšina poslucha SSIS. Pedpokládali, že žákm tato úloha pjde lépe, protože mají lepší vizuální schopnosti. REALIZACE EXPERIMENTU VE VÝUCE tyi z poslucha SSIS se nabídli, že úlohy použijí ve své výuce. Na pesném schématu návrhu se posluchai dohodli v rámci diskuse. Návrh upravili podle poteb konkrétních tíd i podle tématických plán. Posluchai, kteí se experimentu úastnili (kmenový uitel a další poslucha), mli soustedit svoji pozornost na problémy, jež vyvstaly v diskusi, a také mli ovit hypotézy týkající se užitenosti a náronosti jednotlivých úloh. Co bylo spolené ve všech tídách, které se experimentu úastnily (také kvli tomu, že experiment probhl v únoru), byl malý poet pítomných žák jako dsledek chipkové epidemie i dalších zimních mimoškolních aktivit. Následuje výtah ze závrených protokol poslucha. 6. roník, 5 hodin, 12 žák [Tangram byl vytvoen s pomocí tvercové sít, což umožnilo zopakovat si základní pojmy z oblasti kartézské roviny. Poté uitel nechal žákm volnost si s dílky skládaky hrát.] Jakmile žáci 7 dílk skládaky vystihli, zaali je skládat k sob, rzn natáet a pokládat, aby vytváeli obrázky. Byl jsem až udiven, jaké nadšení z nich pi této innosti vyzaovalo. To jsem vbec nepedpokládal. Nejvíce m zarazila poznámka: Tohle je skutená matematika!, ímž její autor (podle svého pozdjšího vysvtlení) myslel, že se zárove bavíme, hodn pemýšlíme a lámeme si hlavu. Pak jsem navrhl, že stanovíme závazná pravidla: dílky se nesmjí pekrývat, musejí sousedit stranami a musíme vždy použít VŠECHNY dílky. Chvíli bylo rozpaité ticho], ale pak se u všech lavic zaalo s dílky ile pracovat. Svoji chvilku slávy si 17
18 užila ínská holika, která do této tídy pišla teprve ped dvma týdny a neumla italsky. V tichosti obkreslila a vystihla jednotlivé dílky skládaky a s úsmvem zaala vytváet stále komplikovanjší tvary: první ženu, první loku, Nemohl a ani jsem nechtl žáky perušit až do chvíle, kdy jeden žák složil lichobžník, pane uiteli, lichobžník! Toho jsem využil: Ano, a zdá se mi, že mžeme skládat i trojúhelníky, tverce, obdélníky. To byla pro žáky nová výzva: a vždy s použitím všech sedmi dílk. K tomuto zkoumání se pipojili tém všichni žáci a obdélník, který jsme my, posluchai SSIS, sestavovali 5 až 6 minut, byl na svt za necelou minutu a pl. Holiku, která ho složila, jsem požádal, aby ho opatrn ním zakryla, protože jsem chtl, aby ho složili i ostatní žáci: netrvalo to ani pt minut a ped každým žákem byl složený obdélník. V této chvíli jsem žákm ekl, aby zaali sledovat velikost každého tvaru. Zaali jsme u obrazc, které zabírají stejnou plochu. Pak jsme zaali pemýšlet o tvarech, které se skládají se stejných dílk a uvdomili si, že pestože jsou dílky umístny rzn a vytváejí rzné obrazce, zstává pokrytá plocha stále stejná. [ ] Tato fáze práce se žákm moc líbila, protože každý mohl podle libosti manipulovat s dílky a porovnávat je, dlat chyby a zkoušet to znovu. Zcela jiné otázky zaznly, když žáci dostali za úkol sledovat hranice obrazc, pokládat je na tverekovaný papír a mit jejich obvod: Jak je možné, že obrazce se stejným obsahem mají tolik rzných délek obvodu? 6. roník, 4 hodiny, 16 žák Už díve jsem si všiml, že žáci mívají velké potíže, když si mají vybavit geometrické obrazce mimo kontext vyuovací hodiny geometrie. Nkdy se mi stalo i to, že jsem je musel dovést k tomu, aby urili obrazce, které už rýsovali v rámci pracovního vyuování a které mli v mé hodin pouze reprodukovat. Na zaátku hodiny jsem zjistil, že tída, ve které chci experiment realizovat, se skládá hlavn z žák, kteí se s tangramem seznámili už na 1. stupni. [Pestože práci s tangramem nemli v živé pamti], usoudil jsem, že bude lepší, když budou žáci s tangramem pracovat jinak než minule. Proto jsme se pemístili do poítaové uebny a pipojili si na webovou stránku4, na které je popsaná hra umožující ze sedmi dílk tangramu vytváet obrázky nebo geometrické obrazce. Dílky je možné otáet (v jednom tahu o 45 ), posunovat nebo v pípad rovnobžníku obrátit vzhru nohama. Všichni se u toho bavili a zárove zaznly velmi zajímavé poznámky, jako napíklad: to je divné, takhle otáet geometrické obrazce [rovnobžník] tam pasuje, když ho obrátím vzhru nohama, jako by zmnil tvar. Celkov vzato se mi zdálo, že se všichni zapojili a postupn jsme se dostali k tomu, že všechny tvary získáváme ze stejných obrazc díky posunu, otáení a osové
19 soumrnosti. Do této aktivity se s velkým zájmem zapojila i autistická žákyn z osmé tídy a pekvapiv byla schopna rychle a správn složit vtšinu tvar. 7. roník. 5 hodin, 15 žák Všichni rozumli zadaným úkolm. Dokonce i ti žáci, kteí mívají vtší problémy, se samostatn zapojili a byli schopni nalézt správná ešení. Pi první hodin jsem žáky vyzval, aby pracovali s dvma shodnými rovnoramennými trojúhelníky a vytvoili co nejvtší možný poet rzných tvar, piemž k sob smli pikládat pouze shodné strany [ ] chtl jsem, aby objevili jak zjistit, zda dva útvary mají stejný obvod i nikoli. Tída pišla s tím, že by obvod mohli mit pravítkem, ale když zjistili, že délka nkterých stran je desetinné íslo, rozhodli se použít jinou jednotku mení, tzn. že nejmenší stranu na používaných dílcích oznaili jako jednotku délky (to jsme probrali spolen) a ostatní délky stran urili s pomocí Pythagorovy vty. Pak jsem se zeptal, zda jsou vytvoené obrazce shodné. Správn odpovdlo jen 10 % žák. Proto jsme museli zopakovat to, co jsme probrali už díve. Navrhl jsem jim, aby spoítali poet (papírových) tverc. Následující týden jsme pracovali se tvercem a trojúhelníkem a postupovali jsme stejn jako v pedchozí hodin. Tentokrát na otázku, zda jde o shodné obrazce a zda mají stejný obvod, odpovdlo správn 85 % žák. Za dva dny jsem žáky vyzval, aby s použitím všech dílk tangramu vytvoili obdélník. Chvíli tápali, ale pak objevili dva nebo ti zpsoby, jak toho dosáhnout. Zeptal jsem se, zda je vytvoený obdélník a tverec shodný a zda mají stejný obvod. Tentokrát odpovdli správn všichni žáci. Obecn lze íci, že tato úloha žáky vedla k tomu, aby svoji odpov (a už správnou nebo chybnou) dlouho zvažovali. Mli jsme mnoho ešení, i když nebyla zase až tak moc rozdílná. Je zajímavé, že nikoho nenapadlo opisovat od souseda, jako by cítili, že vznikající obrazec je nco osobního. Samozejm že spolupracovali, ale funkn, jak si to vyžadovalo ešení jednotlivých úkol. Je také zajímavé, že premiantka tídy nebyla schopna úlohu vyešit [nebyla schopna zjistit obsah jednoho z vytvoených obrazc], protože ji nenapadlo k tomu využít dílky. Pozdji piznala, že když eší úlohy z geometrie, nárty kreslí jen proto, abych byl spokojený já Jiná žákyn, spíše slabší, úlohu bleskov vyešila položením trojúhelníku (který si oznaila obrazec 1) na rovnobžník (obrazec 2). Zapsala A 2 =2A roník, 4 hodiny vnované úvodní fázi + další 4 hodiny na výuku mladších spolužák, 14 žák [Úvodní fáze se velmi podobala tomu, jak se zaínalo v 6. ronících, a to i proto, že tída, která se úastnila výuky spolužák ze 3. roníku 1. stupn (ve vku 8 let), byla pomrn slabá. Uitelka doufala, že budou-li žáci muset vysvtlovat nkteré pojmy mladším spolužákm, budou stimulováni k jejich upevnní v metakognitivní rovin.] Fáze vyuování spolužák probhla ve dvou 3. ronících a to ve dvou samostatných fázích. 19
20 V první fázi mladší žáci pod vedením sedmák nakreslili dílky tangramu o velikosti 8x8 na tverekovaný papír s tvereky o délce stran 1 cm; žáci jednotlivé dílky vystihli a zaali ze všech 7 dílk skládat rzné obrazce s tím, že každý složený tvar pojmenovali. V závru hodiny žáci tyto tvary pekreslili do sešit. Ve druhé fázi se ve spolupráci s uitelem pracovního vyuování pracovalo ve velkém : s obím tangramem o rozmrech 60 x 60 cm vytvoeném na tverekovaném papíru se tverci 2,5 x 2,5 cm. Dílky tangramu byly nalepeny na lepenku a poté vystiženy; dti pak byly vyzvány, aby znovu složily tvary z minulé hodiny a podle libosti je vybarvily. Jednotlivé dílky každého tvaru dti pilepily lepící páskou, celý tvar podložily bambusovými tyemi a tvary pak nosily jako masky. Na závr v rámci spolené diskuse dti piznaly, jak pekvapené byly, že se z jedné úpln stejné skládaky dá vytvoit tolik odlišných tvar. Starší spolužáci se mladším pokusili vysvtlit, pro nkteré tvary vypadají delší, pestože nemohly vyrst a co se zmnilo, když zpoátku mezi tangramy nebyl žádný rozdíl. Mezi vty, které mladší dti uspokojily, vybíráme ty, které podle nás dokazují, že starší žáci pochopili, o co jde, a jsou to schopni verbáln vyjádit: Ty tvary jsou stejn velké jako pedtím, ale zmnila se poloha jednotlivých dílk. Zmnily se dílky bez lepenky, tedy prázdná místa (za touto vtou se schovává pojem stejného zvtšení, což její autor chápal ). SPOLENÁ DISKUSE NAD VÝSLEDKY EXPERIMENTU Poté, co posluchai SSIS, kteí experiment realizovali ve své výuce, seznámili ostatní se svými záznamy, byla zahájena diskuse zamená na motivaní hodnotu této úlohy (na tom se shodli všichni), pedevším na její potenciál zaujmout i žáky slabé i žáky s malým zájmem o matematiku. Velmi zajímavé byly reakce žák rzných vkových skupin: Posluchai SSIS v úvodní diskusi pedpokládali, že starší žáci budou o úlohu projevovat mnohem menší zájem. Tento pedpoklad ale experiment nepotvrdil. Jediné, co bylo znát, byl vtší zájem mladších student o skládání obrázk podle vlastní fantazie. Starší žáci rychleji pešli ke skládání geometrických obrazc. Všimli jsme si také, jak práce na této úloze pirozen stimuluje akvizici technik, metod a terminologie týkajících se podobnosti v geometrii. Proto posluchai SSIS navrhli, aby se tato úloha ve vyšších ronících (po skonení 6. roníku) používala jako pípravná ást pro modul dílny geometrie, který by byl zaazen za výuku mnohoúhelník. Cílem tohoto modulu by bylo procviování izometrie a shodnosti (jmenovit symetrie, otáení a posunu), ale též rozvoj kompetencí v oblasti vizualizace a urování geometrických obrazc obecn. NÁVRHY NA DALŠÍ ROZŠÍENÍ V závru této diskuse padly návrhy dvou dalších rozšiujících úloh, jednu vytvoil a v praxi vyzkoušel jeden z poslucha, druhou navrhl jeden z pednášejících v SSIS kurzu: 20
21 Tangram na webu. Zadáte-li slovo tangram do libovolného internetového vyhledávae, zobrazí se vám ohromné množství odkaz na webové stránky, na mnoha z nich najdete výukové aktivity. Zdá se proto, že vhodným úkolem pro posluchae SSIS by bylo z této obrovské nabídky vybrat takové výukové aktivity, které odpovídají vku a schopnostem jejich žák; pro žáky by takováto úloha mohla mít formu pipojení k uritým stránkám, na kterých najdou další informace o tangramech. 3-dimenzionální skládaky. Nkteí žáci, stejn jako nkteí dosplí, mají ohromnou prostorovou pedstavivost a schopnost grafického znázorování, jiným to iní obrovské potíže. Je také známo, že tyto schopnosti nemusejí být na stejné úrovni jako schopnosti matematické. Nkteí žáci mají velké dovednosti ve verbální oblasti a je pro n snazší zapamatovat si vtu jako tleso s osmi vrcholy než si vybavit obrázek; naopak jiní žáci si snadno vybaví krychli, ale poet vrchol i hran si musejí pokaždé znovu spoítat Tyto rozdíly v kognitivních stylech vyžadují, abychom všem žákm zadávali úlohy, které spojují prostorovou pedstavivost i slovní popis tles. Tak žákm umožníme propojit tyto dv dovednosti a také umožníme vyniknout žákm, kteí jsou v potech i algebe podprmrní, ale mají jiné pednosti. Pro ilustraci tohoto mechanismu byly poslucham SSIS pedloženy následující úlohy: A. Pedstavte si tystn a napište, kolik má stn, hran a vrchol. Pak si pedstavte, že tystn rozložíte. Jak bude v rozloženém stavu v rovin vypadat? Existuje pouze jeden možný tvar? Chlapec vymodeloval tleso z tverc a rovnostranných trojúhelník, ale nevíme, z kolika pesn. Víme však, že toto tleso má 5 stn, 5 vrchol a 8 hran. O jaké tleso jde? Otázky nebyly doplnny žádnými nárty. Vše záleželo na prostorové pedstavivosti poslucha SSIS. Posluchai SSIS cítili potebu si ujasnit, že tystn je jehlan s trojúhelníkovou základnou a tymi stranami ( jako iont silikátu kemene upozornila jedna posluchaka absolventka oboru chemie). Toto ujasnní si pojmu jim umožnilo pomrn snadno vyešit první ást úlohy; pak pokraovali v ešení dalších ásti a pomáhali si pi tom modelováním tlesa rukama ve vzduchu. B Pedstavte si dva rzné jehlany se tvercovou základnou, jejichž boní stny tvoí rovnostranné trojúhelníky. Tyto jehlany postavte do roviny tak, aby se dotýkaly pouze jednou hranou základny. Mezi jehlany vznikne prázdný prostor. Dokážete popsat tleso, které by tento prázdný prostor vyplnilo a pi spojení s obma jehlany vytvoilo konvexní tleso? 21
22 Dva prostorové jehlany C. Vezmte 3 tverce o velikosti 10 x 10 a na jedné stran každého odstihnte pravoúhlý trojúhelník o délce strany 5. Dále vezmte pravidelný šestiúhelník o stran 52. Tchto 7 díl k sob piložte tak, abyste vytvoili tleso, které vidíte na obrázku. Pokud dv taktovytvoená tlesa položíte k sob, jaké tleso vznikne? Vzniklé tleso se sedmi stnami Odpovdi na otázky B a C (tystn a krychle) nejsou intuitivní a takovýto typ úlohy je dkazem našeho dívjšího tvrzení, že vizualizace v prostoru je nároná; navíc se v tomto kurzu i ve tídách, kde byly úlohy zadány, ukázalo, že nkteí posluchai a žáci (nkdy pekvapiv) jsou schopni vybavit si ešení mnohem díve a stávají se pro ostatní spolužáky rádci. D. Vezmte jednoduché krychliky (jako devné kostky) a pokuste se z uritého pedem daného potu vytvoit tleso. Pro takto vytvoené tleso potom zakreslete jeho prmty do tvercové sít z rzných úhl pohledu (zepedu, shora, zleva, zprava. A naopak, znovu sestavte tleso podle takto zakreslených pohled. Je zejmé, že tato úloha je obtížná kvli znázorování rzných rovin, z nichž nkteré nevidíme. To klade velké nároky na naši prostorovou pedstavivost. Pedností této úlohy je její propojitelnost s jinými pedmty, napíklad pracovním vyuováním i výtvarnou výchovou. Navíc tato úloha slouží jako popis toho, co se nám podaí vytvoit. DOPORUENÁ LITERATURA Gardner, M.(1956). Mathematics, Magic and Mistery. Dover Pub. Kanizsa, G. (1973). Il problem-solving nella psicologia della gestalt, in Mosconi, G. e D'Urso, V., La soluzione dei problemi. Firenze: Giunti-Barbera. 22
23 Jaglom, I.M. (1972). Le isometrie. Bologna: Zanichelli. Pellegrino, C. (1999). Prospettiva: Il punto di vista della Geometria. Bologna: Pitagora Ed. UMI-CIIM (2001). Matematica 2001, Materiali per il XXVII Convegno Nazionale sull Insegnamento della matematica. Lucca: Liceo Scientifico A. Vallisneri. Tetí pilotáž (Jihoeská Univerzita, eské Budjovice, eská Republika) a Závr Jaroslava Brincková a Iveta Dzúriková Obecným cílem návrhu Tangram pilotovaného na Slovensku bylo vést studenty uitelství k tomu, aby si uvdomili, jak dležité jsou tvoivé úlohy na mení pro rozvoj žák v matematice. Skládaku tangram jsme využívali v semináích pro studenty uitelství v rámci jejich pípravy na výuku geometrie pro vkovou skupinu let, tedy pro 2. stupe základních škol a nižší gymnázia. Hlavním cílem projektu byl rozvoj tvrího myšlení a geometrické pedstavivosti žák s pomocí tangramu. Snažili jsme se vytvoit výukovou aktivitu, která by nám pomohla pracovat s pojmy obvod a obsah v rzných kontextech. Tangram jsme chtli využít také pro studium izometrických transformací pi mení a výpotech obvodu a obsahu. Zamili jsme se na následující dílí cíle: Didaktické vysvtlení posloupnosti krok pi modelování geometrických pojm obvod a obsah obrazc v rovin: pozorování modelování zobrazování v rovin mení odvození funkních vztah. Popis van Hielových úrovní geometrického myšlení, obzvlášt se zamením na odvozování funkních vztah s použitím geometrických termín. Modelování ve svt ísel a tvar s použitím velikosti úseky. Hledání vztah mezi obvodem a obsahem u rzných obrazc. Italští kolegové z Florencie, kteí se podíleli na pilotování projektu Tangram, nám poskytli následující hodnocení (jejich názor na projekt): Návrh se týká geometrických vlastností obrazc, jmenovit obvodu a obsahu a podobnosti. Má formu dílny, takže žáci musejí používat pozorovací, manuální a logické dovednosti. Zaínají u konkrétních objekt a postupn rozvíjejí své geometrické i grafické kompetence. V závru úlohy se oekává, že žáci budou znát názvy a pojmy z oblasti základních mnohoúhelník umt zmit délku úseky (pímo, nebo v pípad poteby s pomocí Pythagorovy vty) uvdomovat si shodnost takových obrazc v rovin, které se dají rozložit na stejných dílky 23
24 pracovat s obrazci v rovin s využitím podobnosti a jejich skládání a uvdomit si, že nové obrace jsou shodné s pedchozími. Naši partnei z eské republiky spolupracovali pi této pilotáži s další institucí pipravující uitele (Jihoeská Univerzita v eských Budjovicích, pedagogická fakulta, VŠ pedagog Helena Binterová). Poskytli nám následující modifikaci cíl asktivity: Cílem bylo seznámit budoucí uitele na základních školách s didaktickými možnostmi tangramu, aby tuto skládaku perspektivn využívali ve vyuování planimetrie a metrické geometrie. Hlavním cílem bylo definovat pojmy, rozvíjet tvrí myšlení a geometrickou pedstavivost. Studenti uitelství si také mli uvdomit, jaké didaktické potíže s tím souvisí. Jedním z povinných zadání pro studenty uitelství bylo dokázat Pythagorovu vtu a odvodnit zvolený postup. Cíle všech tí úastník projektu Tangram byly v podstat identické. Žákm byl umožnn rozvoj geometrické pedstavivosti pomocí didaktické hry. Zárove si žáci upevnili znalosti v oblastech izomerie a metrické geometrie. Studenti uitelství byli schopni pipravit výuku pro velmi rozdílné tídy. Problém zobrazení v metrické geometrii pedem prostudovali v a priori analýze. A posteriori analýza jim poskytla nový pohled na celou problematiku modelování v geometrii. 24
MATEMATIKA MATEMATIKA
PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY MATEMATIKA MATEMATIKA Struktura vyuovací hodiny Metodický Struktura vyuovací list aplikace hodiny Ukázková Metodický hodina list aplikace materiál Záznamový Ukázková
VíceESKÝ JAZYK ESKÝ JAZYK
PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY ESKÝ JAZYK ESKÝ JAZYK Struktura vyuovací hodiny Plán Struktura vyuovací vyuovací hodiny hodiny Plán Metodický vyuovací list aplikace hodiny Záznamový Metodický list
VíceL I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:
L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo
VíceZEM PIS ZEM PIS PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY. Struktura vyu ovací hodiny. Záznamový Záznamový arch
PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY ZEMPIS ZEMPIS Struktura vyuovací hodiny Plán Struktura vyuovací vyuovací hodiny hodiny Plán Metodický vyuovací list aplikace hodiny Záznamový Metodický list arch aplikace
VíceMetodický materiál Ma
Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma... 1 Úvod... 2 Možnosti použití v hodin... 2 Podmínky... 2 Vhodná témata... 3 Nevhodná témata... 3 Vybrané téma: Funkce... 3 Úvod... 3 Použití v tématu funkce...
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceDRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012
Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 6.roníku Aritmetika desetinná ísla, dlitelnost pirozených ísel Geometrie úhel a jeho velikost,
Více2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!
MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení
VíceR O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai
VíceMarie Hofmannová a Jarmila Novotná
Marie Hofmannová a Jarmila Novotná ŠASTNÁ ÍSLA ÚVOD Následující vyuovací hodina je souástí projektu LOSSTT-IN-MATH pilotovaného v rámci kurzu CLIL (Content and Language Integrating Learning, tzn. výuka
Více8. Deskriptivní geometrie
8. Deskriptivní geometrie 337 Volitelný pedmt - dvouletý Vzdlávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdlávací obor: Matematika a její aplikace Vyuovací pedmt: Deskriptivní geometrie 1. Charakteristika
VíceVzdlávací oblast: Jazyk a jazyková komunikace Vzdlávací obor: Latina Vyuovací pedmt: Latina
Latina 244 Vzdlávací oblast: Jazyk a jazyková komunikace Vzdlávací obor: Latina Vyuovací pedmt: Latina 1. Charakteristika vyuovacího pedmtu a) Obsahové, asové a organizaní vymezení pedmtu Pedmt Latina
VíceESKÝ JAZYK A LITERATURA
ESKÝ JAZYK A LITERATURA CHARAKTERISTIKA PEDMTU 1. Obsahové vymezení Realizuje obsah vzdlávacího oboru eský jazyk a literatura RVP GV. Zaujímá dležité postavení ve výchovn vzdlávacím procesu. Je to povinný
VíceANGLICKÝ JAZYK ANGLICKÝ JAZYK
PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY ANGLICKÝ JAZYK ANGLICKÝ JAZYK Struktura vyuovací hodiny Plán Struktura vyuovací vyuovací hodiny hodiny Plán Metodický vyuovací list aplikace hodiny Záznamový Metodický
VíceMarta Jeklová. SUPERVIZE kontrola, nebo pomoc?
Vytvoení programu celoživotního interdisciplinárního uení v ochran dtí Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem, státním rozpotem R a rozpotem hlavního msta Prahy 1 Marta Jeklová Vyšší odborná
Více( ) ( ) 2 2 B A B A ( ) ( ) ( ) B A B A B A
Vzdálenost dvou bod, sted úseky Ž Vzdálenost dvou bod Pi vyšetování vzájemné polohy bod, pímek a rovin lze použít libovolnou vhodn zvolenou soustavu souadnic (afinní). však pi vyšetování metrických vlastností
VíceGEOMETRICKÉ HÁDANKY. Franco Favilli * a Carlo Romanelli **
GEOMETRICKÉ HÁDANKY Franco Favilli * a Carlo Romanelli ** ÚVOD Geometrický diskurs vyžaduje dobré vdomosti a zvládnutí terminologie a pojm. Na druhé stran však žákm pi osvojování geometrických pojm pomáhá,
VíceSpráva obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema
Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Jaroslav Šmarda, smarda@vema.cz Vema, a. s., www.vema.cz Abstrakt Spolenost Vema patí mezi pední dodavatele informaních systém v eské a Slovenské republice.
VíceSTAVBA SLOVA V UEBNICÍCH ESKÉHO JAZYKA PRO ZŠ PRO NESLYŠÍCÍ A ZŠ
STAVBA SLOVA V UEBNICÍCH ESKÉHO JAZYKA PRO ZŠ PRO NESLYŠÍCÍ A ZŠ PRO ŽÁKY SE ZBYTKY SLUCHU Jedním z aktuálních problém vzdlávání neslyšících 1 dtí u nás je problém zvládnutí eštiny. Zatímco eština mluvená
VíceMOBILNÍ TELEFONY. Annette Jäpelt *
MOBILNÍ TELEFONY Annette Jäpelt * ÚVOD Didaktický návrh, který zde pedstavujeme a který se týká mobilních telefon, je píspvkem k projektu LOSST-IN-MATH. Sestává se z porovnání rzných tarifních systém,
VíceDOUOVÁNÍ DTÍ Z DTSKÉHO DOMOVA ŽÍCHOVEC Projekt podpory vzdlávání
DOUOVÁNÍ DTÍ Z DTSKÉHO DOMOVA ŽÍCHOVEC Projekt podpory vzdlávání A. Text projektu 1. Cíl projektu Cílem projektu je zlepšení životních šancí dtí z DD Žichovec a zlepšení jejich schopnosti integrace do
VícePOPIS TESTOVACÍHO PROSTEDÍ 1 ZÁLOŽKA PARSER
POPIS TESTOVACÍHO PROSTEDÍ Testovací prostedí je navrženo jako tízáložková aplikace, každá záložka obsahuje logicky související funkce. Testovací prostedí obsahuje následující ti záložky: Analýza Gramatiky
VíceBezpenost dtí v okolí škol z pohledu bezpenostního auditora
Bezpenost dtí v okolí škol z pohledu bezpenostního auditora Ing. Jaroslav Heinich, HBH Projekt spol. s r.o. pednáška na konferenci Bezpenos dopravy na pozemných komunikáciách 2008 ve Vyhne (SK) ÚVOD Bezpenostní
VíceMultimediální seminá tvorba asopisu a rozhlasové relace
CHARAKTERISTIKA VYUOVACÍHO PEDMTU Multimediální seminá tvorba asopisu a rozhlasové relace 1. Obsahové, asové a organizaní vymezení Obsahové vymezení rozvíjení kultivovaného písemného a ústního projevu
VíceVýbr z nových knih 6/2010 pedagogika
Výbr z nových knih 6/2010 pedagogika 1. Inkluzivní vzdlávání / Vanda Hájková, Iva Strnadová Praha : Grada, 2010 -- 217 s. -- eština. ISBN 978-80-247-3070-7 (brož.) Sign.: II 107730V1 integrace žáka ; speciální
VíceInformace pro autory píspvk na konferenci ICTM 2007
Informace pro autory píspvk na konferenci ICTM 2007 Pokyny pro obsahové a grafické zpracování píspvk Strana 1 z 5 Obsah dokumentu: 1. ÚVODNÍ INFORMACE... 3 2. POKYNY PRO ZPRACOVÁNÍ REFERÁTU... 3 2.1. OBSAHOVÉ
VíceTematická sí pro Aplikované Pohybové Aktivity Vzd lávací a sociální integrace osob s postižením prost ednictvím pohybových aktivit Cíle
Tematická sí pro Aplikované Pohybové Aktivity sponzorována a uznána Evropskou komisí v rámci programu Sokrates Vzdlávací a sociální integrace osob s postižením prostednictvím pohybových aktivit Pes podporu
Více= = 25
Seznámení s Pythagorovou vtou (1 hodina) Opakování: zopakuj si poítání s druhými moninami ísla Motivae: Jsem leteký modelá. Práv jsem si ve své díln sestrojil model letadla a hybí mi pipevnit poslední
VíceŠKOLNÍ VZDLÁVACÍ PROGRAM pro základní vzdlávání
ŠKOLNÍ VZDLÁVACÍ PROGRAM pro základní vzdlávání ZÁKLADNÍ ŠKOLA, LIBEREC, ESKÁ 354, PÍSPVKOVÁ ORGANIZACE 1. IDENTIFIKANÍ ÚDAJE Motivaní název školního vzdlávacího programu pro základní vzdlávání: UÍME SE,
VíceUrení rychlosti svtla Römerovou metodou
Urení rychlosti svtla Römerovou metodou Informace pro uitele Obtížnost: 4. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je uit rychlost svtla tak, jak ji zmil Olaf Ch. Römer. Studenti si jednak procvií základy planimetrie,
VíceVýuka geometrie na 2. stupni ZŠ
Výuka geometrie na 2. stupni ZŠ Úspěšnost žáků v geometrii, vytváření vědomostí, zdokonalování dovedností žáků i rozvíjení jejich schopností úzce souvisí s vytvářením postojů žáků k vyučování geometrii,
VíceVýbr z nových knih 3/2010 pedagogika
Výbr z nových knih 3/2010 pedagogika 1. Hry a matematika na 1. stupni základní školy / Eva Krejová Praha : SPN - pedagogické nakladatelství, 2009 -- 163 s. :. -- eština. ISBN 978-80-7235-417-7 (brož.)
VíceVYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV (u žáků se specifickými poruchami učení) Růžena Blažková
VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV (u žáků se specifickými poruchami učení) Růžena Blažková Geometrie je specifickou oblastí matematiky, která může být pro žáky, kteří mají poruchy v oblasti numerace a operací
Více??Um?ní u?it: rozhovor se Stevem Martinem
??Um?ní u?it: rozhovor se Stevem Martinem Steve Martin se posledních 18 let v?noval p?ístrojovému potáp?ní a dnes je sv?tov? proslulý profesionální instruktor potáp?ní se zam??ením na speleologii a potáp?ní
VíceZbytky zákaznického materiálu
Autoi: V Plzni 31.08.2010 Obsah ZBYTKOVÝ MATERIÁL... 3 1.1 Materiálová žádanka na peskladnní zbytk... 3 1.2 Skenování zbytk... 7 1.3 Vývozy zbytk ze skladu/makulatura... 7 2 1 Zbytkový materiál V souvislosti
VícePřehled vzdělávacích materiálů
Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými
VíceEfektivní uení. Žádná zpráva dobrá zpráva. (Structured training) Schopnost pracovat nezávisí od IQ. Marc Gold
Efektivní uení (Structured training) Schopnost pracovat nezávisí od IQ. Marc Gold Žádná zpráva dobrá zpráva 1 ásti efektivního uení Stanovení cíle (+ kritéria) Analýza úkolu Použití pimené podpory Volba
VíceVÝUKA FOTOGRAMMETRIE V ESKÉ REPUBLICE
Výuka fotogrammetrie v eské republice GEOS 2007 VÝUKA FOTOGRAMMETRIE V ESKÉ REPUBLICE Ing. Jindich Hoda, Ph.D. Faculty of Civil Engineering, CTU in Prague 166 29 Thákurova 7, Praha 6, Czech Republic e-mail:
VícePrezentaní program PowerPoint
Prezentaní program PowerPoint PowerPoint 1 SIPVZ-modul-P0 OBSAH OBSAH...2 ZÁKLADNÍ POJMY...3 K EMU JE PREZENTACE... 3 PRACOVNÍ PROSTEDÍ POWERPOINTU... 4 OPERACE S PREZENTACÍ...5 VYTVOENÍ NOVÉ PREZENTACE...
VíceU ební plán: Tabulace u ebního plánu pro 1. stupe : Poznámka:
Uební plán: Tabulace uebního plánu pro 1. stupe: roník 1 2 3 4 5 celkem v RVP Jazyk a jazyková komunikace eský jazyk 9 10 9 8 8 44 35 Anglický jazyk 0 0 3 3 3 9 9 Matematika a její aplikace Matematika
Více12. VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV
12. VYTVÁŘENÍ GEOMETRICKÝCH PŘEDSTAV Geometrie je specifickou oblastí matematiky, která může být pro děti, které mají poruchy v oblasti numerace a operací s přirozenými čísly, záchranou. Učitel sleduje
VíceDtské centrum pedagogika volného "asu v p#edškolním vku
Univerzita Tomáše Bati ve Zlín Fakulta humanitních studií Institut mezioborových studií Brno Dtské centrum pedagogika volného "asu v p#edškolním vku (bakalá#ská práce) Vedoucí bakalá#ské práce: PaedDr.
VíceDoplnní školního vzdlávacího programu ást: Charakteristika školního vzdlávacího programu
Doplnní školního vzdlávacího programu ást: Charakteristika školního vzdlávacího programu Bod. 6: Strategie školního vzdlávacího programu a zabezpeení výuky žák se speciálními vzdlávacími potebami 1. Úvod:
VíceZa hlavní problém považují ob ané špatnou dostupnost sociálních služeb mimo m sto Vimperk
Vimperk, 11. ledna 2011 Za hlavní problém považují obané špatnou dostupnost sociálních služeb mimo msto Vimperk Obecn prospšná spolenost Jihoeská rozvojová, ve spolupráci s partnery mstem Vimperk a Centrem
Více"Žák není nádoba, kterou je teba naplnit, ale pochode, kterou je teba zapálit" Sokrates
CHARAKTERISTIKA ŠKOLNÍHO VZDLÁVACÍHO PROGRAMU Pojetí školního vzdlávacího programu Vize školy: "Žák není nádoba, kterou je teba naplnit, ale pochode, kterou je teba zapálit" Sokrates Školní vzdlávací program
VíceZamení fasády stavebního objektu
Zamení fasády stavebního objektu metodou pozemní stereofotogrammetrie - souhrn materiál k projektu OBSAH - technologický postup - poznámky - práce v terénu pehled - poznámky - fotogrammetrické vyhodnocení
VíceDefinice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.
3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou
VícePodklady pro ICT plán
Podklady pro ICT plán Škola: SEPSSTUD2011 - Hodnocení: Vstupní hodnocení Indikátor Aktuální stav k 1.9.2011 Plánovaný stav 1. ízení a plánování Na vizi zapojení ICT do výuky pracuje jen omezená skupina
VíceRoní plán pro 1.roník Genetická metoda. 1.období záí íjen
Roní plán pro 1.roník Genetická metoda Oblast eský jazyk a literatura Oekávané výstupy Žák: zvládá základní hygienické návyky spojené se psaním uvdomuje si správné držení tla pi psaní používá k psaní mazací
VíceM N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY
M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body
VíceVysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky. Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK. Semestrální projekt
Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK Semestrální projekt 18.1.2007 GN 262 Barbora Hejlková 1 OBSAH OBSAH...2 ZADÁNÍ...3
VíceKaždý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu.
Datový objekt [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Identita Identita datového objektu je jedinený a
VíceIng. Jaroslav Halva. UDS Fakturace
UDS Fakturace Modul fakturace výrazn posiluje funknost informaního systému UDS a umožuje bilancování jednotlivých zakázek s ohledem na hodnotu skutených náklad. Navíc optimalizuje vlastní proces fakturace
VíceDlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek
1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek
VícePromnné. [citováno z
Promnné [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Abychom s datovým objektem mohli v programu njak rozumn pracovat, potebujeme se na nj njakým zpsobem odkázat. Potebujeme Pythonu íct, aby napíklad
VíceInformace pro uitele. Popis: Studenti zakreslují do mapy zemského povrchu ve válcové projekci dráhu Sputniku 1, první umlé družice Zem.
Informace pro uitele Obtížnost: 1. roník SŠ Cíle: Cílem tohoto cviení je vysvtlit studentm na praktické ukázce dráhu družice, kterou vidí pracovníci ídicího stediska zakreslenou ve válcové projekci zemského
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
VíceZákladní škola Šenov, Radniní námstí 1040, 739 34
Oblast Ukazatel Cíl Mechanismy ovování 1. Vize Cíle a školní Propojit cíle Kontrola propagace vzdlávací s oekáváním a cíl v praxi - program potebami klient. (konzultace, dotazníky, ukázkové hodiny, lánky
VíceSpolen a kvalitn na ZŠ Tyršova
Spolen a kvalitn na ZŠ Tyršova Spolen a kvalitn r.. CZ.1.07/1.4.00/21.1559 to je název projektu, který zaíná realizovat od 1. bezna 2011 ZŠ Tyršova 913 ve Frenštát pod Radhoštm. Projekt byl schválen v
VíceNávrh projektu. Nápl projektu: Matematika osvojení pojm kilometr, metr a jejich pevody poítání ceny pohonných hmot
Návrh projektu Název: Moje msto Tída: 5. tída Doba trvání projektu: jednodenní, 6 vyuovacích hodin Vazby na pedmty: vlastivda, matematika, výtvarná výchova, eský jazyk, výpoetní technika, pracovní innosti
VíceŽákovský (roníkový projekt)
Žákovský (roníkový projekt) Ko(08) Roník: 3 Zaazení: ODBORNÝ VÝCVIK (PROFILOVÝ ODBORNÝ PEDMT) Vzdlávací program: Mechanik opravá 23-66-H/001 Elektriká 26-51-H/001 Truhlá 33-56-H/001 Operátor skladování
VíceCharakteristika p edm tu
Vzdlávací oblasti : Volitelné pedmty - lovka píroda, lovk a svt práce, prezové téma Environmentální výchova Vyuovacího pedmt: Pírodovdný seminá Charakteristika pedmtu Vzdlávací obsah: Pedmt Pírodovdný
VíceSouvisející ustanovení ObZ: 66, 290, 1116 až 1157, 1158 a násl., 1223 až 1235, 1694, 1868 odst. 1, 2719, 2721, 2746, 2994, 3055, 3062, 3063,
Pídatné spoluvlastnictví Obecná ustanovení 1223 (1) Vc náležící spolen nkolika vlastníkm samostatných vcí urených k takovému užívání, že tyto vci vytváejí místn i úelem vymezený celek, a která slouží spolenému
VíceSoubor eduka ních materiál k vzd lávacímu programu BEZBARIÉROVÁ KOMUNIKACE S OSOBOU SE ZDRAVOTNÍM POSTIŽENÍM
Soubor edukaních materiál k vzdlávacímu programu BEZBARIÉROVÁ KOMUNIKACE S OSOBOU SE ZDRAVOTNÍM POSTIŽENÍM Kolektiv autor projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0123 2012 Bezbariérová komunikace s osobou se zdravotním
VíceMaturitní zkouška ve školním roce 2010 2011
Maturitní zkouška ve školním roce 2010 2011 Ve školním roce 2010 2011 maturitní zkouška bude mít dv základní ásti: spolená (státní) profilová (školní) Spolená ást Ve spolené ásti maturitní zkoušky žáci
VíceSLOVNÍ ÚLOHY ZE SKUTENÉHO ŽIVOTA
SLOVNÍ ÚLOHY ZE SKUTENÉHO ŽIVOTA Lucia Doretti ÚVOD Považujeme za dležité, aby studenti uitelství matematiky ovládali jak ešení matematických úloh, jejich výbr a analýzu, tak schopnost uvést je ve výuce
VíceIV. CVIENÍ ZE STATISTIKY
IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní
VíceDesatero pro praxi. aneb jak využít povinnost. Pavel Humpolíek, Alena Uhrová
Desatero pro praxi aneb jak využít povinnost Pavel Humpolíek, Alena Uhrová Brno, 2006 OBSAH OBSAH... 1 Úvod... 3 Koncepce desatera... 3 Klíová slova... 3 Prolog... 4 Pravidlo 5 R... 4 Motto... 4 Desatero
VícePedání smny. Popis systémového protokolování. Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012. Strana 1/6
Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012 Strana 1/6 Obsah 1 OBSAH... 2 2 NKOLIK SLOV NA ÚVOD... 3 3 MODEL... 3 4 DEFINICE... 3 5 DENNÍ VÝKAZ... 4 6 ZÁVR... 6 Strana 2/6 1 Nkolik slov na úvod Zamení
VíceVýbr z nových knih 11/2011 pedagogika
Výbr z nových knih 11/2011 pedagogika 1. Aktivizaní metody ve výuce : píruka moderního pedagoga / Tomáš Kotrba, Lubor Lacina ; [ilustrace Hana Šefrová] Brno : Barrister & Principal, 2011 -- 185 s. :. --
VíceAutocad ( zdroj www.designtech.cz )
Autocad ( zdroj www.designtech.cz ) AutoCAD patí k tradiním CAD aplikacím, které využívá celá ada technických i netechnických obor. V dnešním lánku se podíváme na bleskovku, jak lze zaít velmi tychle v
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VícePednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2
Pednáška mikro 07 : Teorie chování spotebitele 2 1. ngelova kivka x poptávka po statku, M- dchod x luxusní komodita ( w >1) standardní komodita (0< w 1) podadná komodita ( w < 0) 2. Dchodový a substituní
Víceseminá pro školský management jaro 2010
Manažerské dovednosti v práci editele školy seminá pro školský management jaro 2010 1. Stanovení osobní vize koncepce je jasná, konkrétní, psobivá a aktivující pedstava budoucího asu, dosažených výsledk,
VíceCvičení z matematiky - volitelný předmět
Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu
Více3.4. Úloha a struktura Hnutí. Cvi ení
3.4 Úloha a struktura Hnutí Cviení CVIENÍ ÚLOHA A STRUKTURA CVIENÍ PREZENTACE NA TÉMA ÚLOHA A STRUKTURA HNUTÍ Individuální cviení as: 60' Úvod Byli jste požádáni panem XY, koordinátorem pro diseminaci
VíceRIZIKOVÉ CHOVÁNÍ U DTÍ A MLADISTVÝCH. Seminá k tématu primární prevence úraz dtí
RIZIKOVÉ CHOVÁNÍ U DTÍ A MLADISTVÝCH Seminá k tématu primární prevence úraz dtí PROGRAM SEMINÁE 1. ÚVOD 2. CO JE TO ÚRAZ 3. NÁSLEDKY ÚRAZ 4. RIZIKOVÉ CHOVÁNÍ 5. PREVENCE ÚRAZ 2 ÚVOD Co už znáte z pedchozích
VíceMETODY OCEOVÁNÍ PODNIKU DEFINICE PODNIKU. Obchodní zákoník 5:
METODY OCEOVÁNÍ PODNIKU DEFINICE PODNIKU Obchodní zákoník 5: soubor hmotných, jakož i osobních a nehmotných složek podnikání. K podniku náleží vci, práva a jiné majetkové hodnoty, které patí podnikateli
Více$* +,! -./! - & 0&1&23,&! "* 4& -!! 5, -67&-!!0 & 87 --7,--! 0& $ % " =&???
Projektu "Nastavení rovných píležitostí na MÚ Slaný, reg..: CZ.1.04/3.4.04/88.00208!"!"#$%! &! "#$' "#$'( ) $* +,! -./! - & 0&1&23,&! "* 4& -!! 5, -67&-!!0 & 87 --7,--! 0& 9! 0!!,! $: -7 ;'-
VíceNEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY
NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Metodika Mgr. Michal Schovánek kvten 2010 Newtonovy pohybové zákony patí mezi nejobtížnjší kapitoly stedoškolské mechaniky. Popisované situace jsou sice jednoduše demonstrovatelné,
Více4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL
4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky
VíceSBÍRKA PEDPIS ESKÉ REPUBLIKY
Roník 2005 SBÍRKA PEDPIS ESKÉ REPUBLIKY PROFIL AKTUALIZOVANÉHO ZNNÍ: Titul pvodního pedpisu: Vyhláška o základním umleckém vzdlávání Citace pv. pedpisu: 71/2005 Sb. ástka: 20/2005 Sb. Datum pijetí: 9.
VíceLepení plexi v bonici pružnými lepidly
Lepení plexi v bonici pružnými lepidly Dnes si mžete prohlédnout jednoduchý návod jak pilepit plexi do vyezané bonice. Samozejm možností lepení je mnoho, dnes se však podíváme na lepení pružnými lepidly.
VíceREKLAMANÍ ÁD. ATLANTIK finanní trhy, a.s _Reklamaní ád
REKLAMANÍ ÁD ATLANTIK finanní trhy, a.s. 1 Obsah I. II. III. IV. V. ÚVODNÍ USTANOVENÍ PODÁNÍ REKLAMACE A STÍŽNOSTI! " PIJETÍ A VYÍZENÍ REKLAMACE A STÍŽNOSTI # $ % EVIDENCE SPOJENÁ S REKLAMACEMI A STÍŽNOSTMI
VíceVYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ
VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH SESTAV YAMACO SOFTWARE 2003-2004 1. ÚVODEM Standardní souástí všech produkt Yamaco Software jsou prostedky
VícePravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)
NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru
VíceŠIKANA, AGRESE A NÁSILÍ NEPATÍ MEZI NÁS! Motto: lovk by se ml chovat tak, jak si myslí, že by se mli chovat všichni Václav Havel
ŠIKANA, AGRESE A NÁSILÍ NEPATÍ MEZI NÁS! Motto: lovk by se ml chovat tak, jak si myslí, že by se mli chovat všichni Václav Havel ! Za šikanování se považuje, když jeden nebo více spolužák úmysln, vtšinou
Více3. Charakteristika ŠVP
3. Charakteristika ŠVP 3.1. Zamení školy Dané podmínky spolen s bohatou historií ve výuce pírodovdných pedmt pedurují zamení školy, které je všeobecné s drazem na pírodovdnou a jazykovou oblast. Zamení
VíceV rámci vzdlávacích kurz projektu Stejná šance na vzdlávání. METODICKÁ PÍRUKA pro výuku ZÁKLADY MODERNÍ A EFEKTIVNÍ PRÁCE S PC. Základní dovednosti
V rámci vzdlávacích kurz projektu Stejná šance na vzdlávání METODICKÁ PÍRUKA pro výuku ZÁKLADY MODERNÍ A EFEKTIVNÍ PRÁCE S PC PRAHA & EU: INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Tento projekt byl podpoen v rámci
Více1. MODELY A MODELOVÁNÍ. as ke studiu: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: Výklad. 1.1. Model
1. MODELY A MODELOVÁNÍ as ke studiu: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: charakterizovat model jako nástroj pro zobrazení skutenosti popsat proces modelování provést klasifikaci základních
VíceWWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi
eské vysoké uení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Bakaláské práce WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi Jií Švadlenka Vedoucí práce: Ing. Ivan Halaška Studijní program: Elektrotechnika
VícePředpokládané znalosti žáka 1. stupeň:
Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje
VíceKriteria pro hodnocení a klasifikaci žák Základní školy Moravská Tebová, Kostelní námstí 21, okres Svitavy
Kriteria pro hodnocení a klasifikaci žák Základní školy Moravská Tebová, Kostelní námstí 21, okres Svitavy 1 Obecné zásady pro hodnocení a klasifikaci žák Pi hodnocení a pi prbžné i celkové klasifikaci
VícePr niky ploch a t les
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 RONÍKOVÁ PRÁCE Prniky ploch a tles Vypracoval: Tomáš Martínek ída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminá: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou
VíceOsmileté gymnázium GEOMETRIE. Charakteristika vyučovacího předmětu
1 z 8 Osmileté gymnázium GEOMETRIE Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení: Vyučovací předmět geometrie pokrývá spolu s předmětem algebra (má samostatné osnovy) a s předmětem matematika
VíceVI. Škola v letech
VI. Škola v letech 7 - Ve školním roce 7/7 zstávaly v náhradních prostorách pouze dv. tídy. Zbývajících tíd bylo umístno v hlavní budov školy, i když stále ješt probíhaly drobné úpravy ped konenou kolaudací
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Volím správnou kariéru
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Volím správnou kariéru CZ.1.07/1.1.22/02.0023 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Volím správnou kariéru Volím
Více