Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Přemysl Šedivý. Úvod 2

KAPITOLY ZE SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY Obsah Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Přemysl Šedivý Úvod 1 Výklad relativistické kinematiky pomocí časoprostorových grafů a metody koeficientu k 1.1 Východiskaspeciálníteorierelativity............... 1. Cojetokoeficient k........................ 4 1.3 Dilatacečasu............................ 6 1.4 Dopplerůvjev............................ 7 1.5 Skládánírychlostí.......................... 8 1.6 Kontrakcedélky.......................... 10 1.7 Relativistické efekty při malých rychlostech, přibližné výpočty. 11 1.8 Lorentzovatransformace...................... 13 1.9 Relativnostsoučasnosti...................... 14 1.10 Nepřekročitelnostrychlostisvětlavevakuu........... 17 Hybnost a energie 18.1 Relativistickáhmotnost...................... 18. Neměnnostnáboje......................... 0.3 Pohyb částice s nulovou počáteční rychlostí, na kterou působí stálásíla............................... 1.4 Energie............................... 4.5 Meznírychlost........................... 7.6 Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií a hybností částice 8.7 Druhýpohybovýzákonpřivelkýchrychlostech......... 9.8 Příkladnazávěr.......................... 3 Literatura 35 Výsledky úloh 35

Úvod Tento studijní text je určen k přípravě účastníků Fyzikální olympiády na řešení úloh z relativistické mechaniky. Navazuje na učebnice fyziky pro gymnázia[1] a[5] 1 ).Přinášíjinýpohlednarelativistickoukinematikuadoplňujeučivo z relativistické dynamiky na úrovni, pro kterou postačí matematické znalosti studenta střední školy. 1 Výklad relativistické kinematiky pomocí časoprostorových grafů a metody koeficientu k 1.1 Východiska speciální teorie relativity Einsteinova speciální teorie relativity vychází ze dvou experimentálně ověřených základních principů, kterými jsou 1. Princip relativity: Všechny inerciální soustavy jsou stejně vhodné pro popis fyzikálních dějů. Ve všech platí stejné fyzikální zákony.. Princip stálé rychlosti světla: Ve všech inerciálních soustavách jerychlostsvětlavevakuuvevšechsměrechstejnáamátutéžvelikost c. v Poznatky relativistické kinematiky jednoduše odvodíme metodou koeficientu k,kteroupopsalr.1964hermanbondivesvépopulárníknizerelativitaa zdravý smysl[]. Přitom využijeme časoprostorové grafy, jakési grafické jízdní řády. y y A B O O x x z z S S Obr.1 1 Použijemetakéstejnéznačkyprofyzikálníveličiny,např. l 0 a m 0 proklidovoudélkua hmotnost, l a m pro relativistickou délku a hmotnost.

Budeme vycházet z modelové situace znázorněné na obr. 1. Dva pozorovatelé A, B jsou vybaveni přesnými hodinami a radiotechnickými přístroji pro vzájemnou komunikaci. Pozorovatel A je v klidu v inerciální vztažné soustavě S, ve které zvolíme kartézskou souřadnicovou soustavu Oxyz. Pozorovatel B se pohybuje rovnoměrně po ose x soustavy S stálou rychlostív. Vztažná soustava S spojená s pozorovatelem B, ve které zavedeme podle obr. 1 souřadnicovou soustavu O x y z,jeovšemrovněžinerciální.vokamžiku,kdysepozorovatelé míjejí,nastavímenajejichhodináchstejnýčas t=t =0. V klasické Newtonově mechanice se předpokládá, že pokud dojde k nějaké události,budejivobouvztažnýchsoustaváchpříslušetstejnýčas t=t apolohovévektoryr,r určujícímístoudálostivobouvztažnýchsoustaváchbudou splňovatvztahr=r +vt,kterýplynezobr..propřepočetúdajůcharakterizujícíchudálostvevztažnésoustavě S naúdaje,kteréplatívevztažné soustavě S, tedy použijeme soustavu rovnic nazývanou Galileova transformace: x=x + vt, y= y, z= z, t=t. (1) z vtr r O O z x x Obr. y y U Princip konstantní rychlosti světla je v rozporu s Galileovou transformací. Jestliževyšlemevčase t=t =0světelnýsignál,kterýsevevztažnésoustavě S budepohybovatvesměrukladnépoloosy x rychlostí c,budejehopohyb v obou vztažných soustavách popsán rovnicemi x = ct, x=x + vt=ct + vt=ct+vt=(c+v)t. () Vevztažnésoustavě Ssetedybudesignálpohybovatrychlostí c+v.abychom překonali tento rozpor, musíme připustit, že Galileova transformace nepopisuje při velkých rychlostech dostatečně přesně přechod z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé. Především však musíme opravit naše představy o prostoru a čase, které jsme získali při každodenním pozorování pohybů, jejichž rychlost je nepatrná ve srovnání s rychlostí světla. 3

1. Cojetokoeficient k Vraťmeseksituacinaobr.1.Omezíme senaděje,kteréprobíhajínaose x x a zobrazíme je v dvojrozměrném časoprostorovém grafu(obr. 3) tak, jak se jeví pozorovateli A ve vztažné soustavě S.Každýbod Urovinyjeobrazemnějaké události, která se stala v určitém okamžikuněkdenaose x.navodorovnouosubudemevurčitémměřítkunanášet polohovou souřadnici x události a na svislou ve stejném měřítku čas události vynásobený rychlostí světla ve vakuu,tedydráhu ct,kteroubyurazilsvětelný nebo rádiový signál(dále jen signál)od okamžiku t = 0, kdy se oba pozorovatelémíjeli.tatoudálost U 0 je zobrazena v počátku grafu. Pro události spojené s šířením signálů vyslaných pozorovatelem A v čase t = 0 oběma směry podél osy x platí x= ct ct A U 0 ϕ 45 Obr.3 B U x=vt x=ct x=±ct. (3) V grafu je tedy jejich pohyb zobrazen osami kvadrantů. Pohyb pozorovatele B je zobrazen přímkou o rovnici x = vt kterou budeme nazývat světočára pozorovateleb.tatopřímkasvírásčasovouosouúhel ϕ,okterémplatí tg ϕ= x ct = v c. (4) Relativní klid pozorovatele A vzhledem k vztažné soustavě S je zobrazen přímkouorovnici x =0.SvětočárapozorovateleAsplývátedysesvislouosou grafu. Vyšleme signál od pozorovatele A k pozorovateli B a zpět(obr. 4). Koeficient, kterým musíme vynásobit čas na hodinách u vysílače v okamžiku vyslání signálu, abychom dostali čas na hodinách u přijímače v okamžiku příjmu signálu, budeme nazývat koeficient k. Podle principu konstantní rychlosti světla se signál šíří stejně z hlediska obou pozorovatelů a podle principu relativity musí být koeficient k stejný v případě, kdy signál vyšle pozorovatel A, jako kdyžjejvyšlepozorovatelb.jestližepozorovatelvyšlesignálvčase t=t 1 (událost U 1 ),doletíkpozorovatelibvčase t = kt 1(událost U )aodpověď x 4

sevrátíkpozorovateliavčase t 3 = kt = k t 1 (událost U 3 ) ).Vgrafuje pohyb signálu zobrazen úsečkami rovnoběžnými s osami kvadrantů. Z obr. 4 je zřejmé,žepodlepozorovateleanastalaudálost U včase t =(t 1 + t 3 )/ve vzdálenosti x,kterousignálurazilzadobu(t 3 t 1 )/.Ztoho x = v t 1+ t 3 Dosazenímza t 3 aúpravoudostaneme vt 1 k +1 = ct 1 k 1, k= = c t 3 t 1 c+v c v =. (5) 1+ v c 1 v c (6) Závislost koeficientu k na relativní rychlosti v obou pozorovatelů znázorňuje grafnaobr.5. ct U 3 A B k 4 t 3 =k t 1 t = t 1+t 3 U 1 U t =kt 1 3 t=t 1 1 U 0 x =vt x 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 v c Obr.4 Obr.5 Známe-li hodnotu koeficientu k, můžeme vypočítat rychlost v užitím vztahu v= c k 1 k +1 (7) Provětšípřehlednostjsoučasovérelacepřipsánykobrazůmjednotlivýchudálostí.Na svislou osu ovšem nevynášíme čas, ale veličinu ct. 5

1.3 Dilatace času Vraťmeseještějednoukdějiznázorněnémunaobr.4.PodlepozorovateleAzachytilpozorovatelBsignálvčase t =(t 1 +k t 1 )/.Vímetaké,ževokamžiku příjmuukazovalyhodinypozorovatelebčas t = kt 1,atentoúdajmůžebýt uveden v signálu, který se vrátil k pozorovateli A. Ten může porovnat oba časové údaje: t = k t 1+k = c+v c v c c v = 1 v c <1, t = t 1 v <1 (8) c Pozorovatel A dojde k závěru, že hodiny pozorovatele B jdou pomaleji. Zgrafunaobr.6jezřejmé,žetentovýsledekbudetímmarkantnější,čímvíce se bude rychlost pozorovatele B blížit k rychlosti světla ve vakuu. ct 1 v t c l, t l 0 1 A t 4=135min B t 3=97,5min 0,8 t 3 =90min 0,6 t =65min t =60min 0.4 t 1 =40min 0. 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 v c U 0 x Obr.6 Obr.7 Pozorovatel B ovšem v souladu s principem relativity zjistí, že vzhledem k jeho vztažné soustavě S jdou pomaleji hodiny pozorovatele A. Ukažme si to na konkrétním příkladě(obr. 7). Nechť k= 3 tj. v= 5 13 c=1,16 108 m s 1. Signál,kterýpozorovatelAvyšlevčase t 1 =40min,dorazíkpozorovateli B,kdyžjehohodinyukazují t =60min.Zpětnýsignál,kterýneseinformaci 6

očase t dorazíkpozorovateliavčase t 3 = 90 min.vyšleme-livtomto okamžikukpozorovatelibdalšísignálsinformacíočase t 3,dorazíkněmu vokamžiku,kdyjehohodinyukazujíčas t 4 =135min.Podlepozorovatele Anastaladruháudálostvčase t =(40min+90min)/=65min, ale podle pozorovatele B nastala třetí událost v čase t 3=(60min+135min)/=97,5min. Oba pozorovatelé dojdou ke stejnému výsledku: t 3 t = t = 1 3 t 13 = 1 ( ) 5. 13 1.4 Dopplerův jev JestližepozorovatelAvysílápravidelnésignálysperiodou T 0 (obr.8),přijímá je pozorovatel B, který se vzdaluje rychlostí v, s periodou T= kt 0 = T 0 c+v c v (9) Frekvencevysílače f 0 afrekvencepřijímanéhosignálu fjsouvevztahu f= f 0 c v = f k 0 c+v (10) Ke stejnému výsledku dojdeme samozřejmě i v případě, že signály bude vysílat pozorovatel B a přijímat pozorovatel A. Úlohy 1. Jakou rychlostí by se od Země vzdalovala kosmická loď, jestliže signály vysílanézlodisfrekvencípřesně1mhzbynazempřicházelysfrekvencí 950 khz? Obíhání Země kolem Slunce zanedbejte..naobr.9ječasoprostorovýgrafprodobupředudálostí U 0,kdysepozorovatel B přibližuje k pozorovateli A rychlostí v. Jestliže pozorovatel A vysílá signálysperiodou T 0,přijímájepozorovatelBsperiodou T = kt 0.Dokažte, že platí k= 1 k = c v c+v. (11) 7

ct B ct A t =3kT 0 U 0 x t=3t 0 t =kt 0 t = kt 0 t= T 0 t=t 0 t = kt 0 t=t 0 t =kt 0 t = 3kT 0 t= T 0 U 0 x B A t= 3T 0 Obr.8 Obr.9 1.5 Skládání rychlostí Nechť současně s pozorovatelem B se pohybujepoose xještěpozorovatelcstálou rychlostí uvzhledemksoustavěs.vokamžiku t = 0 také pozorovatel C minul právě pozorovatele A a na jeho hodinách bylnastavenčas t =0(Obr.10).Rychlost pozorovatele C vzhledem ke vztažné soustavě S, kterou by naměřil pozorovatel B,označíme u.signálvyslanýpozorovatelemavčase t=t 1 (událost U 1 )přijme pozorovatelbvčase t = k(v) t 1apozorovatelCvčase t 3 = k(u) t 1.Nadruhou část pohybu signálu se ovšem můžeme dívat také tak, jako by jej vyslal pozorovatel Bvčase t aplatítedy t 3 = k(u ) t. Příslušné koeficienty jsou k(v)= c+v c v, k(u)= ct A U 1 U 0 B C U U 3 Obr. 10 c+u c u, c+u k(u )= c u. (1) x 8

Porovnáním uvedených vztahů a úpravami dostaneme: k(u) t 1 = k(u ) t = k(u ) k(v) t 1, k(u)=k(u ) k(v), (13) c+u c u = c+u c u c+v c v, (14) (c+u)(c u )(c v)=(c u)(c+u )(c+v), u(c +u v)=c (u +v), (15) u= u + v 1+ u v c (16) Získali jsme relativistický vzorec pro skládání rychlostí rovnoběžných s osou x. Úlohy 3.Zevzorce(16)vyjádřeterychlost u.novývzorecporovnejtesvýchozím. 4. Jestliže do pravé strany vzorce(16) dosadíme rychlosti, pro které platí 0 < v < ca0<u < c,paktaképlatí0<u<c.složenímdvoupodsvětelných rychlostí dostaneme opět podsvětelnou rychlost. Dokažte. 9

1.6 Kontrakce délky Se vztažnou soustavou S nechť se pohybuje tyč rovnoběžnásosou x,jejížjedenkonecjevmístě pozorovatele B a druhý má konstantní souřadnici x = l 0 rovnou klidové délce tyče. Pohyb druhého konce tyče zobrazíme v grafu světočárou B1(obr. 11). Chce-li pozorovatel A změřit délku tyče, musí v tomtéž okamžiku podle svých hodinurčitpolohuoboukonců.zatímúčelemvyšlevčase t=t 1 signál,kterýseodrazínakonci tyče(událost U)avrátísevčase t=t.kodrazu tedydošlovčase t U avevzdálenosti x U,kde ct t=t t=t U A t = t U V B B1 t = t k U t U = t 1+ t, x U = c t t 1. (17) t=t 1 t 1= kt 1 VtomtéžokamžikusepozorovatelBasními začátek tyče nacházel ve vzdálenosti U 0 x x V = v t U = v t 1+ t (událost V). (18) Z hlediska pozorovatele A má tedy tyč délku Obr. 11 l=x U x V = c t t 1 v t + t 1 =(c v) t (c+v)t 1 = c v (t k t 1 ). (19) SignálvyslanýpozorovatelemAminulpozorovateleBvčase t 1 = kt 1apo odrazuodkoncetyčevčase t = t /k.ztohopozorovatelburčíklidovou délku tyče l 0 = c t t 1 porovnáním obou výsledků dostaneme l (c v)k = = 1 v l 0 c c <1, l=l 0 = c k (t k t 1 ). (0) 1 v c (1) Délkatyče lnaměřenápozorovatelemajetedymenšínežjejíklidovádélka l 0. U pohybujících se těles se zmenšují jen rozměry ve směru pohybu, zatímco rozměry kolmé ke směru pohybu se zachovávají. K tomu dojdeme jednoduchou úvahou:připevněmekvozíkupozorovatelebsvisloutyčdélky l 0 tak,žejejí 10

dolníkonecsebudepohybovatpoose x,astejnousvisloutyčíopatřemei stanoviště pozorovatele A. Kdyby se tyč pozorovatele B při pohybu zkrátila, jejíkonecbyvčase t=0proběhlpodkoncemtyčepozorovatelea.podle pozorovatelebovšemjehotyčstojívkliduatyčpozorovateleasepohybuje rychlostíovelikosti vvesměruzápornépoloosy x.podleprincipurelativity by měl horní konec tyče pozorovatele A proběhnout pod horním koncem tyče pozorovatele B, což nesouhlasí s předcházejícím předpokladem. Ke stejnému rozporu dojdeme i když budeme předpokládat, že se svislá tyč při pohybu prodlouží.ztohojezřejmé,žedélkapohybujícísetyčekolmékesměrupohybu je stejná jako její délka klidová. 1.7 Relativistické efekty při malých rychlostech, přibližné výpočty Přiřešeníúlohzespeciálníteorierelativity,vekterýchsejednáopohybysrychlostí mnohem menší než rychlost světla ve vakuu, nebo s rychlostí, která se k rychlosti světla ve vakuu přibližuje, je účelné používat přibližných vzorců. Ty umožňují jednodušším výpočtem získat prakticky stejné výsledky jako při použití vzorců původních. V tomto studijním textu použijeme přibližné vzorce 1 ± A 1 ± A, 1 1 ± A 1 A, (1 ± A) 1 ±A, () 1+A 1+B 1+A B, 1+A 1+A (3) 1 A platnépro A 1a B 1.Tytovzorceajejichkombinacejsouvhodné nejen pro numerické výpočty, ale i pro úpravy složitějších výrazů. Vztah(1) pro výpočet kontrakce délky můžeme při malých rychlostech upravit na tvar l=l 0 1 v c l 0 (1 )=l v c 0 l 0v c. (4) Délkavesměrupohybusetedyzkrátío l l 0 l= l 0v c. (5) Podobně zjednodušíme výpočet dilatace času podle(8): t = t 1 v c t (1 )=t v c t v c. (6) 11

Hodiny pozorovatele B budou tedy podle pozorovatele A ukazovat méně o t=t t t v c. (7) Výpočet koeficientu k podle(6) při malých rychlostech zjednodušíme na 1+ v k= c 1 v 1+ v c 1+ v c. (8) c JestližepozorovatelAvysíláperiodickýsignálsperiodou T 0 avlnovoudélkou λ 0 = ct 0,budejejpozorovatelB,kterýsevzdalujeodpozorovateleArychlostí v c,přijímatsperiodouavlnovoudélkou ( T T 0 1+ v ) c, λ=ct ct 0 ( 1+ v c ( )=λ 0 1+ v ). (9) c Vlnovádélkasezvětšío λ= v c λ 0. (30) Při skládání malých rychlostí upravíme vztah(16) na ( ) u= u + v (u + v) 1 u v 1+ u v c = u + v (u + v)u v c. (31) c Úlohy 5.Okoliksezpozdízajedenrokhodinyumístěněvkosmickéstaniciobíhající kolem Země konstantní rychlostí 7,9 km/s? 6. O kolik se zkrátí pro pozorovatele na letišti délka nadzvukového letadla o klidovédélce10mpřirychlosti000km/h? 7. Jakou rychlostí se od nás vzdaluje galaxie, jestliže v jejím optickém spektru ječervenáčáravodíkuposunutazλ 0 =656,3nmna λ=678,1nm? 1

1.8 Lorentzova transformace Každá událost, která proběhla na ose x, je ve vztažné soustavě S pozorovatele Aurčenapolohovousouřadnicí xačasem t.jaksestejnáudálostjevívevztažné soustavě S pozorovatele B? Dejme tomu, že uvažovanou událostí U bude odraz signáluvyslanéhopozorovatelemavčase t=t 1,kterýsevrátilvčase t=t (obr.11).tentosignálminulpozorovatelebvčase t 1 = kt 1apřinávratu včase t = t /k.zhlediskapozorovateleaplatí x=c t t 1, t= t + t 1 Z hlediska pozorovatele B platí analogicky x = c t t 1. Ztoho t = ct+x c, t = t + t 1, t 1 = ct x c. (3). (33) Dosazením a úpravami dostaneme rovnice pro transformaci souřadnic ze vztažné soustavy S do vztažné soustavy S : t k kt 1 x = c = t = t k + kt 1 ct+x k k(ct x) = x(1+k )+ct(1 k ) k cx vct c v c(x vt) x vt = = c+v c v= 1 v c v c = ct+x ck = ct(1+k ) x(k 1) ck + k(ct x) c = c t xv c v c+v c c v = ct+x+k ct k x ck =, (34) = t xv = c t xv c c c v = 1 v c. (35) Zbývající dvě prostorové souřadnice y a z se při přechodu ze vztažné soustavy SdovztažnésoustavyS nemění,jakoseneměnídélkytyčíkolmýchkesměru pohybu. Kompletní Lorentzova transformace je tedy vyjádřena soustavou rovnic: x = x vt, y = y, z = z, t = 1 v c t xv c 1 v c (36) 13

Úloha 8.Řešenímsoustavyrovnic(36)jakosoustavysneznámými x, y, za tnalezněte inverzní Lorentzovu transformaci pro přechod ze vztažné S do vztažné soustavy S. Obě transformace porovnejte. Jak by vypadal obr. 1, kdybychom ho nakreslili z hlediska pozorovatele B? 1.9 Relativnost současnosti Pro pozorovatele A nastaly současně sudálostí U 0,kdyjejprávěmíjelpozorovatel B, všechny události, které jsou zobrazeny jako body vodorovné osy x časoprostorového grafu určené rovnicí t=0(obr.1).podobněpropozorovatelebnastalysoučasněsudálostí U 0 všechnyudálosti,prokteréplatí t =0. Vgrafuvyplnípřímku x,jejížrovnice plynez(35): t xv c =0. xv ct= c. (37) A x=0 ϕ x Provšechnybodypřímky x platí x ct = v Obr. 1 =tg ϕ. (38) c Její odchylka od vodorovné osy x je tedy stejná jako odchylka světočáry pozorovatele B od svislé osy ct. Kdyby pozorovatel B konstruoval časoprostorový graf, pak události, které jsme dosud zobrazovali na jeho světočáře, by zobrazovalnasvisléose,audálosti,kterésezobrazilynapřímce x,byzobrazovalna vodorovné ose. Mějmenynínějakouudálost U různouodudálosti U 0,prokterouplatí x > ct. Existuje pozorovatel, kterému se událost U jeví jako současná s událostí U 0?Sestrojmekružnicinadprůměrem U 0 U (obr.13).obrazysignálů, kteréseodrazilyprotisoběpřiudálostech U 0 a U,jiprotnouvbodech P, Q. PozorovateliD,jehožsvětočároujepřímka PQ,sebudouudálosti U, U 0 jevit jako současné, neboť jím vyslané signály při události P se vrátily za stejnou ct U 0 ϕ B x =0 x=vt t =0 t=vx/c x 14

dobupřiudálosti Q.Podlenějdošlokudálostem U 0 a Usoučasněsudálostí S zobrazenou středem úsečky P Q, která nastala uprostřed časového intervalu meziudálostmi Pa Q. Ke stejnému závěru dojde i každý jiný pozorovatel E, jehož světočára je rovnoběžná se světočárou pozorovatele D. Z podobnosti trojúhelníků na obr. 13 plynourovnosti P 1 S 1 = S 1 Q 1, P S 1 = S 1 Q.PodlepozorovateleEtedyudálosti U 0, Ua S 1 nastalysoučasně. Jestliže pro souřadnice události platí x < ct, nedá se předcházející konstrukceprovést,protožesignályodraženéopačnýmsměrempřiudálostech U 0 a Useminou(obr.14).Každáudálost U 1 zobrazenávdolnímkvadrantučasoprostorového grafu se podle pozorovatele v kterékoliv inerciální vztažné soustavěuskutečniladřívenežudálost U 0.Všechnyudálostizobrazenévtétooblastijsouabsolutněminulé vzhledemkudálosti U 0.Meziněpatříivšechny události,kterébylypříčinouudálosti U 0. ct A E D ct A Q 1 absolutní budoucnost Q U U 0 Q S 1 P S U x U 0 x P U 1 P 1 absolutní minulost Obr. 13 Obr. 14 Naopakkaždáudálost U zobrazenávhornímkvadrantugrafusepodle pozorovatele v kterékoliv inerciální vztažné soustavě uskutečnila později než událost U 0.Všechnyudálostizobrazenévtétooblastijsouabsolutněbudoucí vzhledemkudálosti U 0.Meziněpatříivšechnyudálosti,kterébudounásledkem události U 0. 15

Události, jejichž obrazy leží v pravém a levém kvadrantu grafu označujeme jako relativně současné, nebo také absolutně vzdálené. Žádná z nich nemůže být příčinouaninásledkemudálosti U 0 akaždámůžepodlepozorovatelevněkteré inerciálnívztažnésoustavěproběhnoutsoučasněsudálostí U 0. Rozšíříme-li naše úvahy na děje, které probíhají v rovině určené osami x a y vztažné soustavy, můžeme je zobrazit v trojrozměrném časoprostorovém grafu(obr.15).pohybsvětelnýcharádiovýchsignálů,kterévčase t=0prolétly všemi směry počátkem vztažné soustavy, je zobrazen kuželovou plochou popsanou rovnicí x + y =(ct), (39) kterou nazýváme světelný kužel. Uvnitř dolní části světelného kužele, kde platí x + y <(ct), t <0, (40) jsouzobrazenyvšechnyudálostiabsolutněminulékudálosti U 0,uvnitřhorní části, kde platí x + y <(ct), t >0, (41) jsouzobrazenyvšechnyudálostiabsolutněbudoucíkudálosti U 0.Vněsvětelného kužele, kde platí x + y >(ct), (4) jsouzobrazenyvšechnyudálostírelativněsoučasnékudálosti U 0. ct A absolutní budoucnost ct A F Q 1 Q U 0 x y U 1 U R absolutní minulost U 0 P x Obr. 15 Obr. 16 16

Analogicky i ve čtyřrozměrném časoprostoru o souřadnicích x, y, z a ct zavádíme světelný kužel jako nadplochu popsanou rovnicí x + y + z =(ct). (43) Nadplochu však není možné názorně zobrazit v trojrozměrném eukleidovském prostoru. Úlohy 9. Pozorovatel A stál vedle trati a sledoval okolo projíždějící vlak, v jehož středu seděl pozorovatel B. Do začátku a konce vlaku udeřily blesky a světlo od obou dorazilo k oběma pozorovatelům současně v okamžiku, kdy pozorovatel B míjel pozorovatele A. Podle kterého z pozorovatelů proběhly zásahy začátku a konce vlaku bleskem současně? Podle kterého nikoliv a jaké bylo podle něj jejich pořadí? 10. Užitím Lorentzovy transformace dokažte, že při přechodu z inerciální vztažné soustavy S do inerciální vztažné soustavy S platí x + y + z c t = x + y + z c t. Toznamená,žehodnotavýrazu x + y + z c t příslušejícínějakéudálosti se při přechodu ze vztažné soustavy S do vztažné soustavy S nemění. Takový výraz nazýváme invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. 1.10 Nepřekročitelnost rychlosti světla ve vakuu Předpokládejme, že nějaký objekt R se pohybuje vzhledem k pozorovateli A ve směru kladné poloosy x rychlostí větší, než je rychlost světla ve vakuu. Jeho světočára v časoprostorovém grafu svírá s vodorovnou osou úhel menší než 45 amůžemenanivyznačitdvěudálosti U 1, U,přičemžudálost U 1 nastala podlepozorovateleadřívenežudálost U (obr.16).pozorovatelamůžetedy předpokládat,žeudálost U 1 jepříčinouudálosti U. Signály,kteréseodrazilyprotisoběpřiudálostech U 1 a U bylysoučasně vyslány pozorovatelem F(událost P). Jestliže se pozorovatel F pohybuje rovnoměrně vzhledem k pozorovateli A týmž směrem jako objekt R dostatečně velkou rychlostí(ale menší než rychlost světla), dojde k tomu, že signál odraženýpřiudálosti U přijmedřívenežsignálodraženýpřiudálosti U 1 (události Q 1, Q ).Zjistítedy,žeudálost U seuskutečniladřívenežudálost U 1 anemůže protobýtjejímdůsledkem.dospělijsmekzávěru,kterýjevrozporuspříčinnou souvislostí obou událostí. Předpoklad o nadsvětelné rychlosti objektu R byl tedy nereálný. Žádný materiální objekt se podle speciální teorie relativity nemůže pohybovat rychleji než elektromagnetický signál ve vakuu. 17

Hybnost a energie.1 Relativistická hmotnost Mezi základní zákony newtonovské mechaniky patří zákon zachování hmotnosti a zákon zachování hybnosti. Podle nich je v kterékoliv inerciální vztažné soustavě konstantní celková hmotnost a také celková hybnost každého izolovaného souboru pouze vzájemně působících těles. Předpokládáme-li, že tyto zákony platí i v relativistické mechanice, dojdeme k závěru, že hmotnosti jednotlivé částice není konstantní, ale závisí na její rychlosti. K odvození této závislosti použijeme myšlenkový pokus, při kterém dvě stejné částice uvedeme do pohybu proti sobě a způsobíme tím jejich dokonale nepružný centrální ráz. Situaci před rázem a po rázu popíšeme nejprve v v u v vzhledem k inerciální vztažné soustavě S s počátkem ve hmotném středu této dvojice částic(obr. 17a), pak vzhledem k inerciální vztažné soustavě S, jejíž počáteksepředrázempohybujesjednouzčástic(obr.17b). v y y y y x x x x O O O O v x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O Obr. 17a Obr. 17b Ve vztažné soustavě S se obě částice před rázem pohybují stejně velkými rychlostmiva va mají stejně velké hybnosti opačného směru. Celková hybnost dvojice částic je nulová a podle zákona zachování hybnosti se částice při rázuzastaví,spojísevjedinoučásticiatazůstanevklidu. Popis děje vzhledem ke vztažné soustavě S je poněkud složitější. Jedna částice je před rázem v počátku vztažné soustavy S v klidu. Vztažná soustava S se vzhledem ke vztažné soustavě S pohybuje stálou rychlostí o velikosti v. 18

Velikost u rychlosti druhé částice vzhledem ke vztažné soustavě S určíme podle relativistickéhovztahu(16)proskládánírychlostí,kdepoložíme u = v: u= v 1+ v c. (44) Po rázu se spojené částice nacházejí v počátku vztažné soustavy S a pohybují se tedy vzhledem ke vztažné soustavě S rychlostí v. Podle klasické mechaniky by se hmotnost m částice neměla změnit při jejím uvedením do pohybu ani při nepružné srážce s druhou částicí. V takovém případě by celková hybnost dvojice částic před rázem měla v soustavě S velikost m u+m 0= mv 1+ v c, (45) aleporázumv,cožbybylovrozporusezákonemzachováníhybnosti. Předpokládejme tedy, že hmotnost částice není konstantní, ale závisí na jejírychlosti.označme m 0 hmotnostčásticevklidu, m v a m u hmotnostitéže částice při rychlostech v a u. Podle zákona zachování hmotnosti je celková hmotnostdvojicečásticpředrázemstejnájakoporázu,tedy m 0 + m u.podle zákona zachování hybnosti pak platí Z toho určíme poměr obou hmotností: Platí také 1 u c =1 m u u=(m u + m 0 )v. (46) m u = v m 0 u v = v v v 1+ v c 1+ v c v = c + v c v (47) c =1 4v c v ) (c + v ) =(c + v ), (48) c + v 1 c v = 1 u c. (49) 19

Porovnáním vztahů (47) a (49) dostaneme hledanou závislost relativistické hmotnosti částice na její rychlosti, jejíž graf je na obr. 18: m u m 0 = 1 1 u c, m u = m 0 1 u c (50) 1 1 u c 9 8 7 6 5 4 3 1 m u m 0 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 u c Obr. 18 Z průběhu grafu je zřejmé, že rychlost částice s nenulovou klidovou hmotností m 0 nemůženikdydosáhnoutrychlostisvětlavevakuu,protožerelativistická hmotnost částice by přitom neomezeně vzrostla. Známe-liklidovouhmotnostčástice m 0 ahmotnostzapohybu m u,můžeme určit rychlost u částice: m u ( ) (1 )=m u 0 c, u = c 1 m 0 m, u=c 1 m 0 u m u (51). Neměnnost náboje Na rozdíl od hmotnosti částice, její elektrický náboj na rychlosti nezávisí a při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé se nemění. Svědčí o tom 0

např. experimentální fakt, že atomy a molekuly látek jsou elektricky neutrální, ačkoliv rychlosti elektronů v atomových obalech různých atomů jsou různé a značně se liší od rychlostí protonů v atomových jádrech. V homogenním elektrickém poli o intenzitěepůsobí na částici s nábojem Q stálá sílaf= QEnezávislá na rychlosti částice..3 Pohyb částice s nulovou počáteční rychlostí, na kterou působí stálá síla Částicioklidovéhmotnosti m 0,kterábylavklidu,uvedemepůsobenímstálé sílyfdo pohybu rychlostív. V klasické fyzice se předpokládá, že hmotnost částiceseneměnía.pohybovýzákonplatívetvaru dp F= dt =d(m 0v) dt dv = m 0 dt = m 0a. (5) Pohyb je tedy rovnoměrně zrychlený a řídí se kinematickými zákony dp v=at, s= 1 at, dv a= F, (53) m 0 kde a je velikost konstantního zrychlení. To platí velmi přesně, dokud dosažená rychlost je mnohem menší než rychlost světla ve vakuu. Má-li popis pohybu vyhovovat i při velkých rychlostech, musíme v. pohybovém zákoně přihlédnout i ke změně hmotnosti a použít jej ve tvaru F= =d(mv) = dm m dt dt dtv+ dt =dm ma. (54) dtv+ S rostoucí hmotností částice se zrychlení částice vyvolané působením stálé síly postupně zmenšuje, rychlost roste čím dál pomaleji a nepřekročí rychlost světla ve vakuu. Kinematické zákony(53) musíme opravit. Uvedeme-li hmotný bod z klidu do pohybu, je jeho hybnost rovna impulsu síly. Je-li síla konstantní, platí p= mvv=ft, p=m v v= m 0v 1 v c Úpravou dostaneme vztah pro výpočet rychlosti: ( ) m 0v = F t 1 v c, v F t = m 0+ F t c, v= 1 = Ft. (55) Ftc m 0 c + F t (56)

Vztah pro výpočet dráhy dostaneme integrací: s= t 0 Ftc dt. (57) m 0 c + F t Použijemesubstituci z= m 0c + F t, dz=f tdt. Ftc m 0 c + F t dt= c F s= dz 1 z = c 1 F z + C= c m 0 F c + F t + C, (58) [ ] t c m 0 F c + F t = c m 0 0 F c + F t c F m 0c, (59) s= m 0c F ( ) 1+ F t m 1 0c Nazačátkupohybu,kdy Ft m 0 c,můžemevztahy(56)a(60)zjednodušit: v (60) Ftc m 0 c = F m 0 t=at, (61) s m 0c F (1+ F t m 1 )= Ft = 1 0c m 0 at. (6) Dostali jsme stejné vztahy jako v klasické fyzice. Jestliženaopakpohybprobíhátakdlouho,že Ft m 0 c,můžemevztahy (56)a(60)upravitna: v ( Ftc F t = c, s m 0c F t F m 1 0c ) = ct m 0c F. (63) Rychlost částice se přiblíží k rychlosti světla ve vakuu a téměř se nemění; pohyb je téměř rovnoměrný. Pro ilustraci sestrojíme grafy rychlosti a dráhy elektronu s nulovou počáteční rychlostí, který ve vakuu v homogenním elektrickém poli o intenzitě E =1,00 10 6 V m 1 proletěldráhu L=,00m.(Vizobr.19;čárkovaněje zakresleno klasické řešení.) Do vztahů(56) a(60) dosadíme hodnoty veličin: c=3,00 10 8 m s 1, m 0 =9,11 10 31 kg, F= E e=1,60 10 13 N

a dostaneme vztahy pro výpočet číselných hodnot {v}, {s}: {v}= 4,80 10 5 {t} 7,47 10 44 +,56 10 6 {t}, (64) ( ) {s}=0,513 1+3,43 10 17 {t} 1. (65) v 10 8 m s 1 Ft m 0 3 1 s m 0 1 3 4 5 1 F t m 0 6 7 8 t ns 1 0 1 3 4 5 6 7 8 t ns m 0c F Obr. 19 3

Určímeještě,zajakoudobu t 1 proletíelektrondráhu L.Zevztahu(60) vyjádříme t= s 1+ m 0c. (66) c Fs Podosazení s=l=,00mdostaneme t 1 =8, 10 9 s. Úloha 11. Dokažte, že relativistický graf dráhy na obr. 19 je úsekem hyperboly..4 Energie Kinetická energie pohybující se částice je rovna mechanické práci, kterou musíme vykonat, abychom částici uvedli z klidu do pohybu danou rychlostí. Pokud práci koná síla stálého směru a velikosti, platí E k = W= Fs. (67) Jestliže rychlostv, kterou částice dosáhne, je mnohem menší než rychlost světla vevakuu,můžemehmotnostčásticepovažovatzakonstantní(m=m 0 )apohyb zarovnoměrnězrychlenýsezrychlenímovelikosti a=f/m 0.Pak W= Fs=m 0 a 1 at = 1 m 0(at) = 1 m 0v. (68) Při malých rychlostech můžeme tedy kinetickou energii částice dostatečně přesně vypočítat podle klasického vzorce E k = 1 m 0v. (69) Stejným způsobem můžeme určit i kinetickou energii částice pohybující se velkou rychlostí. Musíme však při výpočtu dráhy použít vztahy(60),(55) a(50): ( ( ) W= Fs=m 0 c 1+ F t m 1 )=m 0 c 1+ m v 0c m 1 = 0c = m 0 c 1+ 1 v 1 v c 1 = m 0c 1 1 =(m m 0)c, c 1 v c (70) 4

kde m=m v jehmotnostčásticezapohybuam 0 jejíhmotnostklidová.kinetická energie částice je rovna součinu přírůstku hmotnosti částice způsobené jejím uvedením do pohybu a druhé mocniny rychlosti světla ve vakuu: E k =(m m 0 )c (71) Relativistický vzorec pro výpočet kinetické energie není v rozporu s klasickým vzorcem(69). Při malých rychlostech můžeme psát ( ) (m m 0 )c = m 0 c 1 1 m 0c 1+ v 1 v c 1 = 1 m 0v.(7) c Klasický vzorec pro výpočet kinetické energie částice je tedy jen přibližným vyjádřením vzorce relativistického pro v c. Vraťme se ještě jednou k myšlenkovému pokusu na obr. 17a. Soustava dvou částicocelkovéklidovéhmotnostim 0 získalavsoustavěs uvedenímdopohybuvnějšímisilamicelkovoukinetickouenergii E k =(m v m 0 )c ajejí celková hmotnost se zvětšila na M=m v =m 0 + E k c. (73) Během rázu už na částice žádné vnější síly nepůsobí. Částice se zastaví jen vzájemným působením, ztratí přitom kinetickou energii, ale o stejnou hodnotu U= E k sezvětšívnitřníenergiesoustavy.podlezákonazachováníhmotnosti má nová částice vzniklá spojením původních částic i po rázu hmotnost M=m 0 + U c, (74) což je ovšem její hmotnost klidová. Vidíme, že zvýšením vnitřní energie se celková hmotnost soustavy částic změní stejně jako získáním energie kinetické. To nás vede k závěru, že klidová hmotnost částice je mírou její klidové vnitřní energie E 0 = m 0 c (75) a že celková energie částice pohybující se rychlostí v je E= E 0 + E k = m 0 c +(m m 0 )c = mc = m 0c. (76) 1 v c 5

Pro izolovaný soubor částic pak ze zákona zachování hmotnosti přímo plyne zákon zachování energie: m=konst. E= c m=konst. (77) Teorie relativity tedy chápe zákon zachování hmotnosti a zákon zachování energie jako různé formy téhož fyzikálního zákona. Vztah E= mc jepotvrzenenergetickoubilancíjadernýchreakcíareakcí elementárních částic. Například při termonukleární reakci 1H+ 6 3Li 4 He+ 4 He se součet klidových hmotností zmenší o m 0 =0,039m u =3,98 10 9 kg a součet kinetických energií se zvětší o ekvivalentní hodnotu E k = mc =3,58 10 1 J=,4MeV. Při tzv. anihilaci elektronu s pozitronem obě částice zanikají a nejčastěji vznikají dva fotony γ, přičemž kinetická energie každého je rovna klidové energii elektronu m e c =9,11 10 31 kg (3,00 10 8 m s 1 ) =8,0 10 14 J=0,51MeV. Úlohy 1.Atomnukliduuhlíku 1 6C,kterýmárelativníatomovouhmotnost A r = = 1(přesně), se skládá z šesti protonů, šesti neutronů a šesti elektronů o relativních atomových hmotnostech A r (p)=1,007765, A r (n)=1,0086649, Ar(e)=0,0005486. Určetevazebníenergii jehojádra E j,tj.práci,kteroubychommuselivykonat, abychom jádro rozdělili na vzájemně na sebe nepůsobící protony a neutrony. Energii elektronového obalu atomu zanedbejte. 13. Vypočítejte úbytek celkové klidové hmotnosti jaderného paliva a produktů jehoštěpenízajedenrokvjadernéelektrárněovýkonu1000mwaúčinnosti30%. 6

.5 Mezní rychlost Bertocci r. 1964 experimentálně ověřoval, že rychlost elektronů urychlených elektrickým polem nemůže překročit rychlost světla ve vakuu. Použil k tomu dlouhou katodovou trubici, jejíž zjednodušené schéma je na obr. 0. Na anodu a katodu trubice bylo připojeno velmi vysoké napětí z Van de Graaffova generátoru. Řídicí elektrodou G byly z katody uvolňovány v krátkých pulsech elektrony, které po urychlení elektrickým polem mezi katodou a anodou vystupovalydooblastibezelektrickéhopole,prolétalyelektrodoud 1 adopadalyna sběrnouelektrodud.zdobyletumezielektrodamid 1 ad měřenéosciloskopem a ze vzdálenosti elektrod byla vypočítána rychlost elektronů při různých hodnotách anodového napětí. S rostoucím napětím se doba průletu zmenšovala čím dál pomaleji a blížila se k hodnotě rovné podílu vzdálenosti elektrod a rychlosti světla ve vakuu. K G A 8,4m D 1 D U + Obr. 0 Částiceoklidovéhmotnosti m 0 anáboji Quvedenádopohybupůsobením elektrického pole o napětí U získá kinetickou energii rovnou práci vykonané elektrickousilouw el = UQajejíhmotnostsezvětšína Podle(51) m=m 0 + E k c = m 0+ UQ c. (78) v c =1 m 0 m =1 m 0 ( m 0 + UQ ) =1 c 1 ( ). (79) 1+ UQ m 0 c Pro UQ m 0 c jehodnotadruhéhozlomkuzanedbatelnáapoměr v/cseblíží kjedné. 7

Je-li urychlovací napětí malé, dostaneme dostatečně přesný výsledek užitím klasického vzorce pro kinetickou energii: 1 m 0v = UQ, (80) v c 1, 1,0 0,8 0,6 Ue m 0 c v c =UQ m 0 c. (81) Pro elektron dosazením hodnot m 0 =9,11 10 31 kg, Q=e=1,60 10 19 C dojdemekegrafůmnaobr.1. Úloha 0,4 0, 0 0 1 3 4 Obr. 1 U MV 14. Odvoďte vztah(81) ze vztahu(79) užitím přibližných vzorců()..6 Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií a hybností částice Upravmevztah(50)mezirelativistickouhmotností m,klidovouhmotností m 0 a okamžitou rychlostí v pohybující se částice: ( ) m 1 v c = m 0, m c m v = m 0 c. Vynásobíme-liještěoběstranyrovnice c,dostanouvšechnyjejíčlenyjednoduchý fyzikální význam: m c 4 m v c = m 0 c4, E p c = E 0. (8) Vztah mezi celkovou energií, klidovou energií a hybností částice, který jsme odvodili, se dá využít při řešení nejrůznějších úloh. Jako příklad odvodíme zákon dráhy částice uvedené do pohybu působením stálé síly. Do vztahu(8) dosadíme za celkovou energii součet klidové energie a spotřebované práce, za hybnost impuls síly: (E 0 + Fs) F t c = E 0, Fs= E 0 + F t c E 0. (83) 8

Z toho přímo dostaneme vztah(60) ( ) s= E 0 1+ F t c F E0 1 = m 0c F ( ) 1+ F t m 0c 1. (84) Důležité je, že pravá strana ve vztahu(8) je pro danou částici konstantní. Totéžmusíplatitiovýrazu E p c nalevéstraně,kterýtedynezávisínaokamžité rychlosti částice a tedy ani na volbě inerciální vztažné soustavy, ve které částici pozorujeme. Je tedy invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. Vztah(8) platí i pro fotony kvanta elektromagnetického záření, která mají nulovou klidovou hmotnost a pohybují se rychlostí c. Energie fotonu záření ofrekvenci fje E= hf= hc λ, (85) kde h. =6,63 10 34 J sjeplanckovakonstantaa λvlnovádélkazářeníve vakuu.zobecnéhovztahu(50)mezihmotnostíaenergiíazevztahu(8)plyne pro relativistickou hmotnost a hybnost fotonu m= E hf c= c = h λc, p=mc= E c = hf c = h λ. (86) Úloha 15.Mezon poklidovéhmotnosti mp0=73,1m e serozpadlnalepton moklidové hmotnosti mm0=06,8m e amionovéneutrino n,jehožklidováhmotnost je zanedbatelná ve srovnání s klidovou hmotností elektronu, prakticky tedy nulová. Za předpokladu, že mezon p byl před rozpadem v klidu, určete kinetickou energii a hybnost leptonu a neutrina. dp dv.7 Druhý pohybový zákon při velkých rychlostech Podle druhého pohybového zákona, zákona síly, je výslednice sil působících na hmotný bod v inerciální vztažné soustavě rovna derivaci jeho hybnosti podle času: F= =d(mv) = dm m dt dt dtv+ dt =dm ma. (87) dtv+ 9

V klasické mechanice, při rychlostech malých ve srovnání s rychlostí světla ve vakuu, můžeme hmotnost považovat za konstantní. Zákon síly vyjádříme proto s dostatečnou přesností ve tvaru: dm dt 0, F= ma, a=fm. (88) Při velkých rychlostech musíme přihlížet k relativistickému vztahu mezi hmotností a rychlostí hmotného bodu: m 0 m=, v= c 1 m 0 1 v m. (89) c Hmotnost m hmotného bodu je přímo úměrná jeho celkové energii E, která se ovšem při pohybu mění. Změna energie je rovna práci vykonané výslednicíf F=v F =F dr sil, které na hmotný bod působí. Platí: v F =F v dm= de dm =F vdt c c c, dt c. (90) Po dosazení do(87) dostáváme zákon síly ve tvaru: c v+ ma, a=fm mc v, (91) ze kterého budeme vycházet v následující diskusi. Nejprve probereme speciální případy. 1.Sílapůsobívesměrupohybu Jsou-li vektoryfavsouhlasně rovnoběžné, platí v F= vf, vf a=fm mc v. (9) Vektoramá stejný směr jako okamžitá rychlostva pro jeho velikost platí a= F m ( 1 )= v F ( ) 3 c 1 v. (93) m0 c 30

.Sílapůsobíkolmokesměrupohybu Je-li vektor síly kolmý k vektoru okamžité rychlosti, platív F= 0 a vztah (91) se zjednoduší na 0a F= ma= m 1 v c, =F 1 v c a=fm. (94) m 0 Například v kruhových urychlovačích nabitých elementárních částic uděluje magnetickádostředivásílafmčásticioklidovéhmotnosti m 0 nesoucínáboj Q dostředivé zrychleníad, které ji udržuje na kruhové trajektorii o poloměru R. Přitom platí F m = BQv=ma d = mv R = m 0 v, mv= BQR. (95) R 1 v c V obřích kruhových urychlovačích, kde se rychlosti částic přibližují k rychlosti světla ve vakuu, můžeme psát mc BQR a pro maximální dosažitelnou energii částice dostáváme E max = mc B max QRc, (96) kde B max jevelikostmaximálnímagnetickéindukcedosažitelnévprostoru urychlovací trubice. Působí-li síla ve směru okamžité rychlosti nebo ve směru kolmém ke směru okamžité rychlosti, má zrychlení hmotného bodu směr působící síly. To nás nepřekvapuje, neboť v klasické fyzice, kdy pracujeme se vztahem(88), je rovnoběžnost obou vektorů samozřejmá. Při velkých rychlostech, působí-li síla šikmokesměrupohybu,jsouvšaksměrysílyazrychlenírůzné.ktomuto závěru dojdeme úpravou vztahu(91). Použijeme vektorovou rovnost (a c)b=(a b)c a (b c), (97) o jejíž platnosti se můžeme přesvědčit rozepsáním obou stran rovnosti na souřadnice. Podle něj (v F)v= v F v (F v) (98) apodosazenído(91)f=fv c 1 c v (F v)+ma, (99) 31

a=fm ) (1 v c } {{ } a + v 1 mc v (F v). (100) } {{ } a Zrychlení lze tedy vyjádřit jako vektorový součet dvou složek, z nichž jedna je orientovánavesměrusílyfadruhájekolmákvektoruvaležívroviněurčené F vektoryvaf(obr. ). m a a a Obr. Úloha 16. V homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,010 T proletěl elektron kolmokindukčnímčarámpokruhovémobloukuopoloměru R=0,78m. Určete jeho hybnost, celkovou energii, hmotnost a rychlost..8 Příklad na závěr VurychlovačiHERAvHamburku,kterýbyluvedendoprovozur.1989,získávajíelektronycelkovouenergii E e = 30 GeVaprotonycelkovouenergii E p =80GeV.Částiceobíhajívopačnýchsměrechvedvoupřibližněkruhovýchzásobníchprstencíchopoloměru r=1,0kmumístěnýchnadsebou.na čtyřech místech, kde se prstence kříží, probíhají srážkové pokusy. a)okolikjsourychlostiprotonůaelektronůmenšínežrychlostsvětlavevakuu? b) Jak silná magnetická pole udržují částice na kruhových trajektoriích? c)jakourychlost u,hmotnost m e acelkovouenergii Ee máelektronpřed srážkou ve vztažné soustavě spojené s protonem? Klidové hmotnosti protonu a elektronu jsou m p0 =1,67 10 7 kg, m e0 =9,11 10 31 kg. Oběčásticemajínábojoabsolutníhodnotě e=1,60 10 19 C. 3

Řešení a) Úpravou vztahu(76) pro celkovou energii částice E= mc = m 0c 1 v c dostanemepro m 0 c E: ( m0 c ) v= c 1 c (1 m 0 )=c c4 E E m 0 c5 E. (101) Prodanéhodnotyjerychlostprotonu v p = c 197m s 1,rychlostelektronu v e = c 4,4cm s 1. b) Dostředivé zrychlení uděluje částici magnetická síla. Při rychlosti, která je prakticky stejná jako rychlost světla ve vakuu, platí: Bec mc r = E r, B E ecr. (10) Magnetická indukce v protonovém prstenci má hodnotu B =,7 T (kterou můžeme získat jen supravodivým vinutím chlazeným kapalným heliem). Velektronovémprstencije B=0,10T. c)laboratořsepohybujerychlostíovelikosti v p vzhledemkvztažnésoustavě spojené s protonem. Elektron se vzhledem k vztažné soustavě spojené s laboratořípohybujestejnýmsměremrychlostíovelikosti v e.rychlost uelektronu vzhledem k soustavě spojené s protonem určíme pomocí relativistického vztahu kde Po úpravě u c u= v p+ v e 1+ v p v e c c X+ Y X+ Y + XY 4 X= m p0c 4 E p = c 1 X +1 Y ( 1+ 1 X )( 1 Y ), (103), Y= m e0c 4 E e 1 X+ Y 4 1 X+ Y 4 33 + XY 8. (104) ( c 1 XY ), (105) 8

u c ( 1 m p0 m e0 c4 8E p E e ). (106) Prodanéhodnoty u=c 1,44 10 8 m s 1.Přitétorychlostimáelektron hmotnost m e = m e0 1 u c a celkovou energii 1 m e m e0 ( 1 XY 8 ) 1 m e0 ( 1 XY 4 ) = m e0, XY (107) m e0 E p E e m e0 m p0 c 4 = m p0 c 4 (108) E p E e E e = m e c E pe e m p0 c. (109) Podosazení m e=9,3 10 3 kg, E e=8,4 10 6 J=5000GeV. Jiné řešení užitím vztahu(8) mezi celkovou energií, kinetickou energií a hybností: Označme p e, p p velikostihybnostíelektronuaprotonuvevztažnésoustavě spojenéslaboratoříap evelikosthybnostielektronuvevztažnésoustavěspojené s protonem. Před srážkou je celková energie protonu a elektronu ve vztažné soustavěspojenéslaboratoří E e +E p,vevztažnésoustavěspojenésprotonem E e+e p0.celkováhybnostprotonuaelektronuvsoustavěspojenéslaboratoří mávelikost p e p p,protožečásticesepohybujíprotisobě.celkováhybnostve vztažnésoustavěspojenésprotonemje p e.vdůsledkuinvariantnostivýrazu E p c platí: (E e + E p0) p e c =(E e + E p ) (p e p p ) c, (110) Ep0 = E p p p c, Ee p e c = Ee p e c. (111) Odečtením rovnic(111) od rovnice(110) dostaneme: E e E p0= E e E p + p e p p c, (11) Protože obě rychlosti částic v soustavě spojené s laboratoří se blíží rychlosti světla ve vakuu, je E e = E ee p + p e p p c E p0 p e c m e c = E e, p p c m p c = E p, (113) E ee p E p0 = E ee p m p0 c, m e E ee p m p0 c 4. (114) 34

Literatura [1] Bartuška, K.: Fyzika pro gymnázia Speciální teorie relativity. 3. vydání, Prometheus, Praha, 001. [] Bondi, H.: Relativity and Common Sense. Anchor Books, Doubleday& Company, Inc., Garden City, New York, 1964. [3] Feynman, R. P., Leighton, R. B., Sands, M.: Feynmanovy přednášky z fyziky, 1. díl. Fragment, Havlíčkův Brod, 000. [4] Horský, J.: Úvod do teorie relativity. SNTL, Praha, 1975. [5] Štoll, I.: Fyzika pro gymnázia Fyzika mikrosvěta. Prometheus, Praha, 1994. Výsledky úloh 1. k=f 0 /f=1,053, v=0,051c=1,54 10 7 m s 1..SignálvyslanýpozorovatelemAvčase t=t 1 <0přijmepozorovatelB včase t = kt 1 aodraženýsignáldojdekpozorovateliavčase t=k t 1. 3. u = u v 1 uv c. v 1+k t 1 =c 1 k t 1, k = c v c+v. 4.(c v)(c u ) >0 (v+ u )c < c + vu 5.0,011s. 6.1,7 10 11 m. 7.0,033c=1,0 10 7 m s 1. 8. x= x + vt t + x v, y= y, z= z, t= c 1 v c 1 v c v+ u 1+ vu c < c. 35

9. Zásahy začátku a konce vlaku bleskem nastaly dříve, než pozorovatel B dorazil k pozorovateli A. Podle pozorovatele B obě události proběhly ve stejné vzdálenosti rovné polovině klidové délky vlaku, tedy současně. Podle pozorovatele A byl začátek vlaku zasažen ve vzdálenosti menší než polovina délky vlaku a konec ve vzdálenosti větší než polovina délky vlaku. Jestliže světlo od obou blesků dorazilo současně, musel být podle pozorovatele A konec vlaku zasažen dříve než začátek. 11. Vztah(60) upravíme na tvar (s+ m 0c ) = m 0c 4 F F + c t, ( s+ m ) 0c F ( ) m0 c F t ( m0 c F ) =1, kterýjeformálněstejnýjakorovnicehyperboly (x+m) a y b =1. 1. m=0,0989m u =1,64 10 8 kg, E j = m c =1,48 10 11 J=9,4MeV. 13. m= Pt ηc =1,17kg. 15.Řešenímsoustavyrovnic pm= pn, mp0c = mmc + mnc, m mc 4 p mc = m m0 c4, m nc 4 p nc =0 dostaneme mp0c = m m0c4 + p mc (mp0 mm0 )c +pmc, pm= pn= mp0 =58,m e c, En= E kn= pnc=58,m e c =9,8MeV, Em= Ep0 En=14,9m e c =109,8MeV, E km= Em Em0=8,1m e c =4,1MeV. 16. p=ber=1,5 10 1 kg m s 1, E= E0 + p c = m 0 c4 + B e R c =3,8 10 13 J=,4MeV, m= E c =4,3 10 30 kg, v= p m =,9 108 m s 1. 36