FEQUENCY SPECU ESIAION BY AUOEGESSIVE ODELING J.ůma * Summary: he paper deals wih mehods for frequency specrum esimaion by auoregressive modeling. Esimae of he auoregressive model parameers is he firs sep in his way of specral analysis. he mehod used o do i are based on solving he sysem of normal equaions, resuling from he leas square mehod, or on solving he Yule-Walker equaion and on Burg s mehod. he leas square mehod uses he Gram-Schmid orogonalisaion and is modificaion. he Yule- Walker equaions are solved using Cholesky s facorizaion and Levinson s ieraive mehod. he A model parameers deermine he ransfer funcion of a linear sysem wih whie noise as an inpu signal. he frequency ransfer funcion and he model error variance deermine he frequency specrum.. Úvod K výpoču frekvenčních speker signálů jsou obecně k dispozici (Orfanidis, 988): neparamerické meody paramerické meody zv. subspace mehods. Neparamerické meody frekvenční analýzy jsou založeny na pásmových filrech pro zaznamenaný signál. ezi o meody paří aké Fourierova ransformace. eno způsob výpoču spekra signálu je velmi rozšířen a mezi echniky je povědomí, že nic jiného k výpoču spekra neexisuje. Paramerické meody jsou naproi omu založeny na výpoču auoregresního modelu časové řady vzorků, keré jsou považovány za výsup lineárního dynamického sysému se vsupním signálem ypu bílého šumu. Spekrum výsupního signálu je pak dáno frekvenční přenosovou funkcí éo sousavy a fakorem jejího zesílení, kerý je dán rozpylem vsupního bílého šumu. K výpoču auoregresního modelu lze použí několik meod, z nichž meoda nejmenších čverců a řešení sousavy Youle-Walkerových rovnic jsou popsány blíže v omo referáu spolu se dvěma způsoby řešení sousavy Youle-Walkerových rovnic pomocí Choleskyho rozkladu nebo Levinsonova rekurzivního algorimu. Anglicky pojmenované subspace mehods jsou charakerisické vysokým rozlišením aké pro velmi malé počy vzorků, kdy výpoče spekra užiím Fourierovy ransformace obsahuje velmi málo složek a udíž spekrum je s malým rozlišením na frekvenční ose. Princip ěcho meod spočívá na rozkladu korelační maice signálu na vlasní vekory. Příkladem akovéo * Prof. Ing. Jiří ůma, CSc.: Fakula srojní, VŠB echnická univerzia Osrava; 7. lisopadu 5; 708 33 Osrava; el.: +40 59 699 348, fax: +40 59 699 348; e-mail: jiri.uma@vsb.cz
meody je například USIC (uliple Signal Clasificaion). Popis ohoo posupu výpoču není předměem referáu.. Auoregresní model Jak již bylo uvedeno, paramerické meody se opírají o výpoče paramerů auoregresního modelu signálu. Auoregresní model popisuje závislos akuálního vzorku y signálu na předchozích hodnoách vzorků,,,, j. y + = a + a + + a e, () kde předsavuje diskréní čas (0,,, ), je řád modelu, paramery a e je náhodná chyba ypu nekorelovaného šumu { } = σ > 0 E, E{ e e + } = 0, k 0 e a,, a, a ( a 0 ) jsou k. () Z varu diferenční rovnice je zřejmé, že akuální velikos výsupní veličiny je součem váženého průměru minulých hodno o poču, kerý je roven řádu sousavy, a náhodné složky s vlasnosmi bílého šumu. Diferenční rovnice má var regresní rovnice s jednou náhodnou chybou. egresní rovnice popisuje závislos akuální velikosi výsupní veličiny na jejich minulých hodnoách. eno yp modelu se nazývá auoregresní, zkrakou A (Auoegressive) model. Ve speciální odborné lierauře o náhodných procesech se k zápisu diferenčních rovnic používá operáor posunuí q. Zpoždění o jeden časový krok (jednoku času, j. z času na k ) lze edy zapsa jako = q, resp. zpoždění o k vzorků k = q. Symbolický zápis diferenční rovnice se pak změní použiím ohoo operáoru na var ( a q aq a q ) = e, (3) resp. A ( q ) y = e. Formální podíl výsupního vzorku již zmíněné sousavy a vsupního vzorku chyby předsavuje operáor, kerý lze označi za operáorový přenos sousavy resp. G ey ( q ) = = e ( a q a q a q ) ( q ), (4) Gey = =. (5) e A( q ) Odsraněním záporných mocnin operáoru posunuí lze získa přenosovou funkci ve varu G ey ( q) = = e z ( q a q a q a q a ) Podmínkou sabiliy přenosové funkce je umísění kořenů polynomu v proměnné q ve jmenovaeli přenosové funkce uvniř jednokové kružnice. Operáor posunuí odpovídá zpoždění o periodu vzorkování. Frekvenční přenosová funkce dopravního zpoždění formálně souvisí s operáorem posunuí podle vzorce q = exp ( jω ) (6), (7)
kde úhlová frekvence ω v rad/s a frekvence v Hz lze přepočía podle vzorce ω = π f. Subsiucí proměnné q podle vzorce (7) v operáorové přenosové funkci (4) lineárního číslicového filru lze dosa frekvenční přenosovou funkci, kerá odpovídá frekvenční přenosové funkci spojiého sysému. Na vsupu lineární sousavy s uvedeným přenosem je bílý šum s konsanní výkonovou spekrální husoou ve frekvenčním pásmu od nuly do Nyquisovy frekvence. Celkový výkon signálu bílého šumu je σ, j. shodný s rozpylem chyby modelu (). S ohledem na posup výpoču ohoo celkového výkonu lze výkonovou spekrální husou bílého šumu urči podle vzahu σ. Výkonová spekrální husoa na výsupu sousavy je dána součinem výkonové spekrální husoy na vsupu sousavy a druhé mocniny absoluní hodnoy frekvenční přenosové funkce. Frekvenční přenos edy je shodný až na konsanní fakor se spekrem signálu na výsupu sousavy. éo vlasnosi je využio v paramerických meodách výpoču frekvenčního spekra signálů. Výkonová spekrální husoa signálu je dána vzorcem σ P ω =. (8) ( ) m= a m exp ( ) jmω Prvým krokem výpoču je edy určení paramerů auoregresního modelu. V omo exu budou popsány jen někeré meody výpoču, avšak v demonsračním příkladu budou použiy meody ři.. První předsavuje meodu nejmenších čverců, druhá o Yule-Walkrovy rovnice a řeí Burgovu meodu. 3. eoda nejmenších čverců Cílem výpoču je urči paramery modelu ak, aby rozpyl chyby modelu nabýval minima. Neznámé paramery jsou řešením přeurčené (více rovnic než neznámých) sousavy rovnic A a = b, (9) kde A je obecně obdélníková maice sousavy, jejíž sloupce obsahují vzorky signálu posupně posunué o jeden vzorek y0 0 0 y y0 0 A = (0) yn yn 3 yn a je vekor neznámých paramerů a b je vekor pravých sran. Pro ransponované vekory plaí ( a a a ), b = ( y y y ) = N a. () Řešení éo je dáno sousavou normálních rovnic, jejíž řešení je následující ( A.A) A b a = () a ve keré se inveruje čvercová maice míso obdélníkové maice A. Pro meodu nejmenších čverců se s výhodou používá Q rozklad maice
A = Q (3) kde Q je orogonální maice (součin s ransponovanou maicí má za výsledek jednokovou maici) a je horní rojúhelníková maice. Výpoče neznámého vekoru a podle () se pak zjednoduší na vzorec a = Q b. (4) Ke Q rozkladu obecně obdélníkové maice lze použí Gram-Schmidův algorimus nebo jeho modifikovanou verzi a nebo Householderovou maici (Saad, 000). 4. Řešení Yule-Walkerových rovnic Auokorelační funkce obecného A modelu se získá ze sřední hodnoy levé a pravé srany rovnice modelu vynásobené vzorkem, kerý je posunu ve směru přírůsků času o τ vzorků + τ a + τ a + τ a + τ = e + τ y y. (5) Na pravé sraně rovnice je součin náhodné chyby a vzorku signálu, kerý ao chyba nemůže ovlivni. Sřední hodnoa ohoo součinu je z důvodu nezávislosi chyby v čase + τ a chyb, keré určily vzorek signálu v čase, je nulová. Na levé sraně rovnice jsou součiny vzájemně posunuých vzorků signálu. Sřední hodnoa { y y } a E{ y y } a E{ y y } a E{ y y } E{ y e } E (6) + τ + τ + τ + τ = + τ předsavuje následující podmínku, kerou splňuje po sobě jdoucích hodno auokorelační funkce ( ) a ( τ ) a ( τ ) a ( τ ) 0 τ. (7) = Vzhledem k omu, že hodnoy auokorelační funkce pro vzájemně opačná posunuí jsou shodné, výsledkem rozpisu éo rovnice pro velikosi posunuí od do je sousava Yule- Walkerových rovnic, jejichž řešením jsou neznámé paramery auoregresního modelu () a ( 0) a ( ) a ( ) ( ) a ( ) a ( 0) a ( ) = 0 = 0 ( ) a ( ) a ( 3) a ( ) ( ) a ( ) a ( 3) a ( 0) = 0. uo sousavu rovnic lze zapsa ve varu A a = b, (9) kde A je maice sousavy, kerá je složena z hodno korelační funkce, a b je vekor pravých sran A = ( 0) ( ) ( ) () ( 0) ( ) ( ) ( ) ( 0), b = ( ) ( ) ( ) = 0 (8). (0)
aice sousavy je význačná ím, že prvky na jejich diagonálách jsou shodné Ai, j = ( j i). () eno yp maic se označuje jako oeplizův. aice sousavy rovnic je symerická, a proo k řešení éo sousavy lze s výhodou použí Choleskyho rozkladu na rojúhelníkové maice, keré lze snadno inverova ( U L ) A = L U =, () kde L je dolní rojúhelníková U je horní rojúhelníková maice. Po subsiuci neznámých paramerů a dán vzorci U a = c je vekor c = L b a = U c. (3) Řešení sousavy je pomocí Choleskyho rozkladu vyžaduje věší množsví operací než výhodnější Levinsonova rekurzivní meoda (Orfanidis, 988). Pro popis algorimu rekurzivního výpoču je zavedena funkce předsavující levé srany zv. Yule-Walkerových rovnic (7) ve varu, ve kerém jsou pravé srany nulové g p( k) = ( k) a ( k ) a( k ) ap( k p). (4) ozpyl chyby modelu řádu p + je určen rekurzivním vzorcem kde E ( 0 ) = g p ( 0) p + g p ( p + ) = ( γ p + ) g p ( 0) = ( p + ) E p p + g p + = γ γ, (5) ( p ) ( 0) g + = p γ, (6) g p Počáeční volba odhadu koeficienu a rozpylu E pro p = 0 je následující p ( ) E( e ) a = =. (7) 0, E0 = 0 Vzorec (5) povrzuje, že sřední hodnoa čverce chyby modelu s rosoucím řádem posupně klesá. ekurzivní výpoče paramerů modelu je dán vzahy a, m = apm γ ap, m, m p (8) a = γ., 5. Příklad výpoču spekra signálu Pro demonsraci výpoču speker je použi esovací signál z měření impulsní odezvy, kerá obsahuje výrazné harmonické složky s adiivním náhodným šumem. Vzorkovací frekvence je 50 khz a doba záznamu asi 0,4 s. Časový průběh ohoo signálu je znázorněn na obrázku. Výkonová spekrální husoa je znázorněna na obrázku. Spekrum bylo vypočeno pro 800 složek průměrovaného spekra s překrím záznamů /3. Auoregresní model řádu 00 (A 00) a řádu 400 (A 400) byl vypočen meodou nejmenších čverců (Leas Square) ve varianě s Gram-Schmidovou meodou (LS:GS) a s modifikovanou Gram-Schmidovou meodou (LS:GS) orogonalizace a pomocí Yule- Walkerových rovnic ve varianě s Choleskyho rozkladem (YW:ChF) a s Levinsonovým
rekurzivním algorimem (YW:Lev). Poslední esovanou meodou je Burgův algorimus (Burg s ehod). Výsledky výpoču jsou znázorněny v obrázcích 3 a 4. V 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6 ime Hisory : Signal -0,8 0,00 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 ime [s] Obrázek esovací signál 0500 vzorků, 50 khz vzorkovací frekvence E-5 Auospecrum : Signal PSD V ^/Hz E-6 E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Frequency [Hz] Obrázek Výkonová spekrální husoa signálu, kerá byla vypočena s užiím FF E-5 A Specrum : Signal PSD V E-6 E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Frequency [Hz] A odel (Signal, 00, LS:GS, FPE=,83E-04) A odel (Signal, 00, LS:GS, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, YW:ChF, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, YW:Lev, FPE=,77E-04) A odel (Signal, 00, Burg, FPE=,76E-04) Obrázek 3 Výkonové spekrální husoy, keré byly vypočeny s užiím A 00
Součásí legendy grafu na obrázku 3 a dalších obrázků je údaj o chybě modelu. Jedná se o krierium FPE (Final Pedicion Error), keré navrhl Akaike a keré zohledňuje řád modelu a poče vzorků N. Skuečný rozpyl chyby V modelu je korigován podle následujícího vzorce FPE + = N V N (9) E-5 A Specrum E-6 PSD V E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Frequency [Hz] A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,538E-04) A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:ChF, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:Lev, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, Burg, FPE=,644E-04) Obrázek 4 Výkonové spekrální husoy, keré byly vypočeny s užiím A 400 E-5 A Specrum E-6 PSD V E-7 E-8 0 000 4000 6000 8000 0000 000 4000 Frequency [Hz] FF A odel (Signal, 400, LS:GS, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:ChF, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, YW:Lev, FPE=,644E-04) A odel (Signal, 400, Burg, FPE=,644E-04) Obrázek 5 Porovnání výsledků výpoču výkonové spekrální husoy s užiím FF a někerých meod pro A 400
Krierium FPE ukazuje, že až na meodu výpoču podle nejmenších čverců s Gram- Schmidovou orogonalizační meodou jsou osaní meody rovnocenné. Obrázek 5 ukazuje éměř shodu s posupem výpoču s využiím FF. Problémem je volba řádu modelu. Je řeba uvés, že je o spíše oázka umění než přesného analického řešení. Z ohoo hlediska je důležié, aby pro volbu řádu nebylo podsaného omezení. Doba výpoču paramerů A modelu z 0000 vzorků záznamu signálu z obrázku je uvedena v abulce. K výpočům byl použi noebook HP Compaq nc60, s procesorem,86 GHz a s paměí 5 B. Nejkraší výpoče je dosažen s použiím Yule-Walkerových rovnic a rekurzivním algorimem, kerý navrhl Levinson (Orfanidis, 988). abulka Doba výpoču eoda Řád A modelu 00 Řád A modelu 400 Leas Square, Gram-Schmid 8,9 s 88 s Leas Square, odified Gram-Schmid 4,95 s 387 s Yule-Walker, Cholesky Facorizaion 0,44 s,9 s Yule-Walker, Levinson 0,7 s 0,6 s Burg s ehod,05 s 7,7 s 6. Závěr Výhoda A modelu při výpoču frekvenčních speker spočívá v om, že spekrum lze sanovi pro libovolný poče vzorků a na rozdíl od FF výpoče není limiován na záznam o určié délce. Z esovaných meod výpoču paramerů modelu byla nejrychlejší meoda na principu řešení Yule-Walkerových rovnic rekurzivním algorimem, kerý navrhl Levinson. Souhrnně lze uvés, že paramerická meoda spekrální analýzy je vhodná nejen pro náhodné signály, keré popisují modely nízkého řádu, ale aké pro signály obsahující harmonické složky s adiivním šumem. Kromě uvedeného příkladu lze očekáva, že paramerická meoda najde hlavně uplanění pro záznamy s malým počem vzorků (sovky). 7. Poděkování Výzkumné práce v oboru zpracování měření hluku a vibrací jsou podporovány Granovou agenurou České republiky jako projek č. 0/04/530. 8. Lieraura Orfanidis,S.J. (988) Opimum signal processing: An Inroducion. acmillan Publishing Company, London. Saad,Y. (000) Ieraive ehods for Sparse Linear Sysems. Second ediion wih correcions. Press, W.H., eukolsky, S.A., Veerling, W.. & Flannery B.P. Numerical ecipes in FOAN 77: he ar of scienific compuing (ISBN 0-5-43064-X), Cambridge Universiy Press, 986-99.