2 ELEMENTÁRNÍ OET RAVDODOBNOSTI as ke studiu kapitoly: 70 minut Cíl: o prostudování této kapitoly budete umt charakterizovat teorii pravdpodobnosti a matematickou statistiku vysvtlit základní pojmy teorie pravdpodobnosti popsat typy náhodných jev vysvtlit a umt používat základní relace mezi jevy vysvtlit pojem pravdpodobnosti definovat pravdpodobnost pomocí axiom vlastnosti pravdpodobnostní funkce pracovat s podmínnou pravdpodobností vysvtlit vtu o úplné pravdpodobnosti a Bayesovu vtu - 58 -
2.1 Základní pojmy as ke studiu odstavce: 20 minut Cíl: o prostudování tohoto odstavce budete umt charakterizovat teorii pravdpodobnosti a matematickou statistiku vysvtlit základní pojmy teorie pravdpodobnosti Výklad: 2.1.1 ím se zabývají teorie pravdpodobnosti a matematická statistika? Okolo nás existuje spousta vcí, jev a událostí, které nelze pedvídat - jsou dsledkem náhody. Otázkami náhody a náhodných dj se zabývají dv matematické disciplíny: teorie pravdpodobnosti a matematická statistika. Teorie pravdpodobnosti je matematická disciplína, jejíž logická struktura je budována axiomaticky. To znamená, že její základ tvoí nkolik tvrzení (tak zvaných axiom), která vyjadují základní vlastnosti axiomatizované veliiny a všechna další tvrzení jsou z nich odvozena deduktivn. Systém axiom vzniká abstrakcí z pozorovaných skuteností reálného svta. Axiomy se nedokazují, považují se za provené dlouhou lidskou zkušeností. Matematická statistika je naproti tomu vda, která zahrnuje studium dat vykazujících náhodná kolísání, a už jde o data získaná peliv pipraveným pokusem provedeným pod stálou kontrolou experimentálních podmínek v laboratoi, i o data provozní. Statistika jako vda se dále zabývá otázkami získávání dat, jejich analýzou a úlohou pi formulování závr o pokusech a experimentech, nebo pi rozhodování založeném na datech. 2.1.2 Základní pojmy teorie pravdpodobnosti Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkami, za nichž probíhá, a který je, alespo teoreticky, neomezen opakovatelný. Náhodný jev je jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze po skonení pokusu íci, zda je pravdivé nebo ne. U termínu náhodný jev budeme v dalším textu vtšinou slovo náhodný vynechávat a budeme mluvit pouze o jevu. Jevy znaíme vtšinou velkými písmeny latinské abecedy (A,B,X,Y,Z, ). - 59 -
ro pesný matematický popis pokusu je nutno stanovit množinu všech možných výsledk daného pokusu. Tyto možné výsledky musí být zavedeny tak, aby byly vzájemn nesluitelné, tj. aby žádné dva z nich nemohly nastat souasn. Dále musí být množina možných výsledk vyerpávající, to znamená, že pi realizaci daného pokusu musí práv jeden z nich vždy nastat. ed ukonením pokusu ovšem nevíme, který to bude. Tyto možné výsledky náhodného pokusu nazýváme elementárními jevy. Elementární jevy mohou být nejrznjší povahy podle povahy pokusu. íklad množin všech možných výsledk {rub, líc} pi hodu mincí {1,2,3,4,5,6} pi hodu kostkou Oznaíme množinu všech takovýchto výsledk. Tuto množinu nazýváme základní prostor (elementárních jev). Z matematického hlediska je tedy libovolná množina, která mže být bu konená nebo nekonená. Má smysl uvažovat pouze množiny neprázdné. Elementární jev {} je podmnožinou množiny, obsahující jeden prvek množiny, ω Ω. zapisujeme { } Za jev A budeme považovat libovolnou podmnožinu A množiny, zapisujeme A. Výsledek náhodného pokusu nelze s jistotou pedpovdt. Nkteré výsledky však nastávají astji, nkteré mén asto, nkteré velmi zídka. i velkých sériích opakování však i tyto náhodné pokusy (resp. jejich výsledky) vykazují urité zákonitosti a pravidelnosti. Cílem teorie pravdpodobnosti je práv studium tchto zákonitostí, jejich popsání a vytvoení pravidel pro urení mr poetnosti výskyt tchto jev. S tmito zákonitostmi se bžn setkáváme, aniž bychom si to mnohdy uvdomovali. Nap. každý ví i intuitivn tuší, že pi hodu mincí má stejnou šanci rub i líc a že tudíž pi velkém potu pokus budou nejspíš padat stejn asto. Ze statistických roenek lze snadno zjistit, že podíl chlapc narozených v jednotlivých letech vzhledem k celkovému potu narozených dtí se pohybuje okolo 51,5%. estože v jednotlivých pípadech nelze pohlaví dítte pedpovdt, mžeme pomrn pesn odhadnout, kolik se narodí chlapc z celkového potu 10 000 narozených dtí. Z tchto píklad vyplývá, že relativní etnosti nkterých jev se s rostoucím potem opakování ustálí na uritých íslech. Tento úkaz budeme nazývat stabilitou relativních etností. Tato stabilita relativních etností je empirickým základem teorie pravdpodobnosti. Relativní etností pitom rozumíme podíl n(a)/n, kde n je celkový poet provedených pokus a n(a) je poet tch realizací pokusu, ve kterých jev A nastal. - 60 -
Shrnutí: Teorie pravdpodobnosti je matematická disciplína, jejíž logická struktura je budována axiomaticky. Axiom je tvrzení provené dlouhou lidskou zkušeností. Matematická statistika je vda, která se zabývá otázkami získávání dat, jejich analýzou a úlohou pi formování závr o pokusech a experimentech, nebo pi rozhodování založeném na datech. Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkami, za nichž probíhá. Základní prostor (elementárních jev) je množinou všech možných výsledk pokusu. Relativní etnosti nkterých jev s rostoucím potem opakování vykazují jistou stabilitu. 2.2 Operace s náhodnými jevy as ke studiu odstavce: 20 minut Cíl o prostudování tohoto odstavce budete umt popsat typy náhodných jev vysvtlit a umt používat základní relace mezi jevy Výklad: 2.2.1 Jaké jsou typy náhodných jev? Budeme íkat, že pi realizaci náhodného pokusu nastal jev A, jestliže nastal elementární jev ω, takový, že { ω } A. Výsledek { ω} Anazýváme také výsledek píznivý jevu A. { } Ω Speciáln mže dojít k tmto náhodným jevm: - 61 -
Jev jistý nastane nutn pi každé realizaci náhodného pokusu. Je roven množin. Nap. pi házení kostkou jev: padne jedno z ísel 1,2,3,4,5,6 (samozejm pokud házíme bžnou hrací kostkou s obvyklým znaením stran). Jev nemožný nemže v daném pokusu nikdy nastat. Budeme jej znait. Nap. pi házení kostkou jev: padne íslo osm. 2.2.2 Jaké jsou relace mezi jevy? Vzhledem k tomu, že jev je tedy jen jiné oznaení pro podmnožinu množiny, mžeme zavést relace mezi jevy, které odpovídají množinovým relacím. ro jevy budou také platit všechna tvrzení, která platí pro množiny. rnik jev A, B, znaíme A B je jev, který nastane, když nastanou jevy A,B souasn. (teme A prnik B nebo A a B - nastává totiž jak jev A tak i jev B souasn) Grafický píklad: Nech pokus spoívá v tom, že uvnit daného obdélníka vybíráme bod. Množinu elementárních jev, které mohou nastat pi tomto pokusu mžeme tedy graficky zobrazit na množinu bod, ležících uvnit uvažovaného obdélníka. Nech jev A spoívá v tom, že takto vybraný bod leží uvnit levé kružnice a jev B spoívá v tom, že vybraný bod leží uvnit pravé kružnice. ak následující diagram znázoruje prnik jev A a B: A B { ω ω A B} ω íklad - házení kostkou: jev A nech znaí - padne íslo 2 nebo 3 nebo 4, a jev B - padne sudé íslo. Je zejmé, že A B {2,4}. Sjednocení jev A,B, znaíme A B O sjednocení jev A a B hovoíme tehdy, jestliže nastává jev A nebo jev B. Slvko "nebo" znamená, že mže nastat pouze jeden z tchto jev, ale mohou nastat i oba jevy zárove. Jinými slovy, nastane alespo jeden z tchto jev. - 62 -
Grafický píklad: { ω ω A B} A B ω íklad - házení kostkou: nech jev A{1,3,4}, nech dále jev B je skutenost, že padne sudé íslo. Je zejmé, že A B {1,2,3,4,6}. Disjunktní jevy A, B, znaíme A B Dva jevy A,B nemohou nastat souasn, nemají-li spolu žádný možný spolený výsledek. Takovéto jevy budeme nazývat jevy disjunktní (nkdy též nesluitelné). íklad - házení kostkou: Definujme jev A - padne sudé íslo, a jev B - padne liché íslo. Tyto jevy nemají žádný možný spolený výsledek. Jestliže nastane jev A, nemže zárove nastat i jev B a naopak. Jev A je podjevem jevu B, znaíme A B Znamená to, že jev A má za následek jev B (tj. nastane-li jev A, nastane taktéž jev B). Grafický píklad: A B { ω A ω B} íklad - házení kostkou: Nech jev A - padne íslo 2, jev B - padne sudé íslo. Jev A je pak podjevem jevu B. Jevy A,B jsou ekvivalentní, znaíme A B je-li A B a souasn B Α. íklad - házení kostkou: Jev A - pi hodu kostkou padne sudé íslo, jev B - pi hodu kostkou padne íslo dlitelné dvma. - 63 -
Rozdíl jev A, B, znaíme A-B Rozdílem jev A a B budeme chápat jev, který nastává práv tehdy, nastane-li jev A a souasn nenastane jev B. Grafický píklad: A - B A B A - B { ω ω A ω B} íklad - házení kostkou: Jev A - padne íslo vtší než dv, jev B - padne sudé íslo. Rozdíl jev A a B je pak jev A B {3,5} Doplnk jevu A, opaný jev, znaíme A Opaným jevem (doplkovým) k jevu A budeme rozumt jev A, který nastane práv tehdy, když nenastane jev A. Grafický píklad: { ω } A ω A Ω íklad - házení kostkou: Jev A - padne sudé íslo, pak jev A - padne liché íslo. ro operace s jevy, jak již bylo eeno, platí algebraické zákony a rovnosti stejné jako pro množiny. To velmi usnaduje práci s náhodnými jevy. - 64 -
De Morganovy zákony jsou logickým dsledkem základních pojm a základních relací mezi jevy. 1. zákon A B A B 2. zákon A B A B Úplná skupina vzájemn disjunktních jev je množina disjunktních jev {A 1, A 2, A 3,... A n }, jejichž sjednocení tvoí množinu Ω. Zapsáno symbolicky: n A, kde A, pro i j Ω 1 i i i A j íkáme, že základní prostor je složen z úplné množiny vzájemn disjunktních jev. Ω - 65 -
2.3 Teorie pravdpodobnosti as ke studiu odstavce: 30 minut Cíl: o prostudování tohoto odstavce budete umt vysvtlit pojem pravdpodobnosti definovat pravdpodobnost pomocí axiom vlastnosti pravdpodobnostní funkce pracovat s podmínnou pravdpodobností vysvtlit vtu o úplné pravdpodobnosti a Bayesovu vtu Výklad: 2.3.1 ojem pravdpodobnosti V souvislosti s náhodnými jevy jsme konstatovali, že za náhodný jev budeme považovat tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze jednoznan (po uskutenní pokusu) rozhodnout, zda je pravdivé i nepravdivé. V zásad je teba rozlišovat mezi dvma typy pokus: jedním, který je neomezen mnohokrát opakovatelný za stejných podmínek (takovým mže být nap. házení mincí i kostkou) a druhým, který nelze za stejných podmínek opakovat (tím mže být nap. poet narozených dtí v píštím roce). Výsledky tchto dvou možných typ pokus vedou k definování dvou typ pravdpodobnosti. Jestliže je pokus opakovatelný neomezen mnohokrát v ase za stejných podmínek, hovoíme o objektivní pravdpodobnosti. okud se podmínky mní pokaždé, když je pokus realizován, hovoíme o subjektivní pravdpodobnosti. Objektivní pravdpodobnost je založena na etnosti výskytu sledovaného jevu. Již v pedchozí ásti jsme se zmiovali o stabilit relativních etností. Ta hovoí o tom, že relativní etnost jevu A pi dostateném opakování náhodného pokusu se koncentruje kolem uritého ísla. Zdá se tedy rozumné považovat toto íslo za míru etnosti výskytu uritého jevu A a nazvat jej pravdpodobností tohoto jevu. Subjektivní pravdpodobnost je pravdpodobnost, kterou piazujeme výsledku pokusu, jež není za stejných podmínek opakovatelný. oet narozených dtí v R v letošním roce je pokus, který je pozorovatelný pouze jednou, a nemže mu být tudíž piazena objektivní - 66 -
pravdpodobnost. Dležitým rysem subjektivní pravdpodobnosti je fakt, že její hodnota je vtšinou velmi dležitá pro úely rozhodování a ešení závažných problém. ro oba typy pravdpodobností platí stejné zákony a pravidla, jimiž se nyní budeme zabývat. 2.3.2 Klasická definice pravdpodobnosti Tato definice se zakládá na objektivní pravdpodobnosti a íká, že: ravdpodobnost jevu A je limitním pípadem relativní etnosti jevu A. n( A) ( A) lim, n n kde: n(a) poet výsledk píznivých jevu A (kolikrát jev A nastal) n poet všech realizací pokusu Klasická definice pravdpodobnosti se užívá v pípadech, že je: základní prostor tvoen koneným potem elementárních jev míra výskytu všech elementárních jev stejná Uveme si nyní axiomatickou definici pravdpodobnosti. 2.3.3 Axiomatická definice pravdpodobnosti ravdpodobnostním prostorem nazveme trojici (, S, ) kde (i) (ii) je množina všech rzných, vzájemn se vyluujících výsledk náhodného pokusu (prvky jsou elementární jevy, tvoí základní prostor) S je taková množina podmnožin, že platí: a) S; b) je-li A S, potom A ( A) S ; c) Jestliže A 1, A 2, A 3,... S, potom i 1 rvky množiny S oznaujeme jako jevy. A S i (iii) je funkce zobrazující S na < 0,1 > taková, že platí: a) () 1; b) ( A ) 1 (A) pro každé A S ; c) ro navzájem disjunktní jevy {A 1, A 2, A 3,... } z množiny S platí: { i1 A } i i 1 { A i } Funkce se nazývá pravdpodobnostní míra nebo krátce pravdpodobnost. - 67 -
oznámky k axiomatické definici: 1. Jestliže njaký systém podmnožin spluje podmínky (ii) a c axiomatické definice, nazýváme ho -algebrou. 2. Volba S závisí na konkrétní situaci. Obecn za nj nemusíme brát systém všech podmnožin, ale obvykle staí jeho uritý podsystém. 3. Každá reálná funkce na S, která spluje vlastnosti (iii) a-c, je pravdpodobnostní mírou. Dané realit ale odpovídá obvykle pouze jedna z nich. Napíklad u hodu pravidelnou kostkou to bude pravdpodobnostní míra daná rovnostmi (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1/6. Ostatní pravdpodobnostní míry odpovídají rzným nepravidelným kostkám. íklad - hod kostkou: Urete pravdpodobnost, že padne sudé íslo. Základní prostor : {1,2,3,4,5,6,}, Jev A padne sudé íslo: A {2,4,6,}, S je množina všech podmnožin množiny (nkdy znaíme S exp ) a pravdpodobnost carda definujeme vztahem {A}, kde card A je poet prvk množiny A. Tedy: 6 3 1 {A}. 6 2 Snadno mžeme ovit, že tento model odpovídá souasn klasické i axiomatické definici pravdpodobnosti. 2.3.4 Vlastnosti pravdpodobnosti Bezprostedn z axiomatické definice pravdpodobnosti vyplývají další vlastnosti. 1. A B {A B} {A} + {B} 2. B A { B} { A} 3. { A} 1- {A} 4. { } 0 5. { B - A} {B}- {B A} Speciáln: A B { B - A} {B}- {A} 6. {A B} {A}+ {B}- {A B} Všechny tyto vlastnosti se dají snadno dokázat pímo z axiomatické definice pravdpodobnosti. ímým dsledkem de Morganových zákon je následující vlastnost: 7. { A B} 1- { A B} 1- { A B} - 68 -
ešený píklad: ravdpodobnost, že selže hasící systém továrny je 20%, pravdpodobnost, že selže poplachové zaízení je 10% a pravdpodobnost, že selžou jak hasící systém, tak i poplachové zaízení jsou 4%. Jaká je pravdpodobnost,že: a) alespo jeden systém bude fungovat? b) budou fungovat oba dva systémy? ešení: Ozname si možné jevy takto: H... hasící systém funguje S... poplachové zaízení (siréna) funguje Víme, že: ( H ) 0, 20 ( S ) 0, 10 H S 0, Máme zjistit: ( ) 04 ada) ( H S ) K ešení této otázky mžeme pistupovat dvojím zpsobem: odle definice: Nejde o jevy nesluitelné (mohou nastat zárove), proto: ( H S ) ( H ) + ( S ) ( H S ), kde by mohlo být problémem urit ( H S ) nebo es jev opaný: Kdy na základ de Morganových zákon mžeme psát, že: ( H S) ( H S) 1 ( H S ) 1, což mžeme vyíslit pímo. ( H S) 1 0,04 0, 96 ravdpodobnost, že bude fungovat alespo jeden z ochranných systém je 96%. adb) ( H S ) Což nemžeme ešit prostednictvím defininího vztahu: ( ( H S ) ( H S ) ( S) ( S H ) ( H ) ), - 69 -
nebo nemáme informace o závislosti poruch jednotlivých ochranných systém. roto zkusíme znovu postupovat pes jev opaný: ( H S ) ( H S ) 1 ( H S ) 1 [ ( H ) + ( S ) ( H S )] 1, což mžeme pímo vyíslit: ( H S) 1 [ ( H ) + ( S ) ( H S )] 1 [ 0,20 + 0,10 0,04] 0, 74 ravdpodobnost, že oba dva ochranné systémy budou fungovat je 74%. ešený píklad: student absolvovalo zkoušky z matematiky a z fyziky. 30 z nich nesložilo ob zkoušky, 8 nesložilo pouze zkoušku z matematiky a 5 nesložilo pouze zkoušku z fyziky. Urete pravdpodobnost, že náhodn vybraný student: a) složil zkoušku z matematiky, víme-li že nesložil zkoušku z fyziky b) složil zkoušku z fyziky, víme-li že nesložil zkoušku z matematiky c) složil zkoušku z matematiky, víme-li že složil zkoušku z fyziky ešení: Ozname si možné jevy takto: M... složil zkoušku z matematiky F... složil zkoušku z fyziky Víme, že: ( M F ) ( M F ) ( M F ) 30 8 5 Máme zjistit: ada) ( M F ) což uríme jednoduše podle definice podmínné pravdpodobnosti: ( M F ) ( M F ) ( F ) ( M F ) ( M F ) + ( M F ), kde pravdpodobnost, že student nesložil zkoušku z fyziky urujeme podle vty o úplné pravdpodobnosti jako souet pravdpodobnosti, že student nesložil pouze zkoušku z fyziky a pravdpodobnosti, že student nesložil ob zkoušky. o vyíslení tedy víme, že: - 70 -
( M F ) ( M F ) ( M F ) + ( M F ) 5 5 30 + 5 35 1 0,14 7 ravdpodobnost, že student složil zkoušku z matematiky, víme-li že nesložil zkoušku z fyziky je asi 14%. adb) ( F M ) což uríme obdobn jako pi ešení pedcházející úlohy: ( F M ) ( F M ) ( M ) o vyíslení tedy víme, že: ( F M ) ( F M ) ( F M ) + ( F M ) ( F M ) ( F M ) + ( F M ) 8, 8 30 + 8 38 4 19 0,21 ravdpodobnost, že student složil zkoušku z fyziky, víme-li že nesložil zkoušku z matematiky je asi 21%. adc) ( M F ) opt si napíšeme defininí vztah: ( M F ) ( M F ), (F) k nmuž mžeme pistoupit dvojím zpsobem: Bu se pokusíme tento vztah upravit na základ známých vztah tak, abychom jej mohli prostednictvím zadaných parametr vyíslit: ( M F ) 1 1 ( M F ) 1 ( M F ) ( F) 1 ( F ) 1 1 ( M F ) [ ( F M ) + ( F M )] [ ( F M ) + ( F M )] + [ ( F M ) + ( F M )] ( F M )] 1 [ ( F M ) + ( F M )] [ ( F M ) + ( F M ) + ( F M )] 1 [ ( F M ) + ( F M )] 1 1 5 8 30 1 + + 5 30 1 + nebo se pokusíme potebné pravdpodobnosti vyíst ze zadání: [ ( F ) + ( M ) ( F M )] [ ( F M ) + ( F M )] 77 85 77 0,91 85-71 -
Zadané údaje si zapíšeme do tabulky: Složili zkoušku z Nesložili zkoušku z Celkem matematiky matematiky Složili zkoušku z fyziky 8 Nesložili zkoušku z fyziky 5 30 35 Celkem 38 a zbylé údaje v tabulce jednoduše dopoítáme: Kolik student složilo zkoušku z fyziky? To je celkový poet () mínus poet student, kteí zkoušku z fyziky nesložili (35), což je 85. Obdobn uríme poet student, kteí složili zkoušku z matematiky, což je 38 82. A konen poet tch, kteí složili ob zkoušky uríme nap. jako poet tch, kteí složili zkoušku z matematiky (82) mínus poet tch, kteí složili pouze zkoušku z matematiky (5), což je 77. Složili zkoušku z Nesložili zkoušku z Celkem matematiky matematiky Složili zkoušku z fyziky 77 8 85 Nesložili zkoušku z fyziky 5 30 35 Celkem 82 38 Hledané pravdpodobnosti tedy jsou: 77 85 ( M F ) ; ( F ), z ehož plyne: ( M F ) ( M F ) ( F) 77 85 77 0,91 85 ravdpodobnost, že student složil zkoušku z matematiky, víme-li že složil zkoušku z fyziky je asi 91%. ozn.: odle údaj v tabulce bychom mohli ešit i úkoly a) a b). ešený píklad: Spotte pravdpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu 2 bude protékat elektrický proud, je-li el. obvod vetn pravdpodobnosti poruch jednotlivých souástek vyznaen na následujícím obrázku. (oruchy jednotlivých souástek jsou na sob nezávislé.) - 72 -
0,2 0,1 0,3 C 1 A B D 0,3 2 ešení: E 0,2 Ozname si: A... souástka A funguje, C... souástka C funguje, B... souástka B funguje, D... souástka D funguje E... souástka E funguje, ak: ( A) 0,1 ( A) 0, 9 ( C ) 0,2 ( C) 0, 8 ( B ) 0,3 ( B) 0, 7 ( D ) 0,3 ( D) 0, 7 ( E ) 0,2 ( E) 0, 8 ro zjednodušení si obvod pedstavíme jako sériové zapojení dvou blok. Blok 1 je tvoen sériovým zapojením souástek A a B, Blok 2 je tvoen paralelním zapojením souástek C, D a E. V první fázi si uríme pravdpodobnosti poruch jednotlivých blok: Blok 1: B1... Blok 1 funguje Máme-li sériov zapojené souástky, je vhodné urovat pímo pravdpododobnost, že systém (blok) funguje. Blok 1 funguje práv tehdy, jsou-li funkní souástky A i B. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých souástek mžeme íci, že: 0,1 0,3 A B Blok 1 ( B1) ( A B) ( A). ( B) 0,9.0,7 0,63 Blok 2: B2 Blok 2 funguje Máme-li paraleln zapojené souástky, je vhodné pravdpodobnost toho, že systém (blok) funguje urovat jako doplnk pravdpodobnosti jevu opaného tj. toho, že systém (blok) nefunguje. E Blok 2 nefunguje práv tehdy, není-li funkní ani jedna ze 0,2 souástek C, D, E. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých souástek mžeme íci, že: Blok 2 0,2 C D 0,3-73 -
( B2) ( C D E) ( C). ( D). ( E) 0,2.0,3.0,2 0,012 ( B2) 1 ( B2) 1 0,012 0,988 Celý systém je pi tomto znaení dán sériovým zapojením Bloku 1 a Bloku 2. Zbývá nám tedy již jen urit spolehlivost celého systému (pravdpodobnost, že systém bude funkní). 1 B1 B2 2 S systém je funkní ( S) ( B1 B2) ( B1) ( B2) 0,63 0,988 0, 62 ravdpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu 2 bude protékat elektrický proud je asi 62%. Výklad: 2.3.5 odmínná pravdpodobnost asto se setkáváme s podmínnou pravdpodobností. Jedná se o pravdpodobnost jevu za podmínky, že nastal uritý jiný jev. V podstat si mžeme pedstavit, že n-krát realizujeme njaký náhodný pokus a uvažujeme dv podmnožiny A a B v píslušném základním prostoru, tj. dva jevy související s tímto pokusem. Vyberme te z posloupnosti realizací pokusu jen ty realizace, pi kterých nastal jev B. ak nás ovšem mže zajímat, kolikrát za takové podmínky nastal jev A. ešený píklad: Neprhledný pytlík obsahuje 10 erných a 5 bílých kuliek. Budeme provádt náhodný pokus vytažení jedné kuliky, piemž kuliku do pytlíku nevracíme. Urete pravdpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuliku. ešení: Jev B1 C1 B2 C2 Definice jevu pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika - 74 -
Stav pytlíku ped první realizací pokusu: 10 ks 5 ks ravdpodobnost, že pi první realizaci pokusu vytáhnu bílou (ernou) kuliku je zejm: ( B1) 5 15, resp. 10 ( C1) 15 Je taktéž zejmé, že stav pytlíku ped druhou realizací pokusu závisí na výsledku první realizace. Stav pytlíku ped druhou realizací pokusu, byla-li pi prvním pokusu vytažena bílá kulika: 10 ks 4 ks Stav pytlíku ped druhou realizací pokusu, byla-li pi prvním pokusu vytažena erná kulika: 9 ks 5 ks Z obrázku (a z logického úsudku) vidíme, že výsledek druhé realizace pokusu závisí na výsledku první realizace pokusu, jinými slovy: výsledek druhé realizace pokusu je podmínn výsledkem první realizace pokusu. Mžeme tedy urit pravdpodobnosti následujících jev: Jev B2/B1 C2/B1 B2/C1 C2/C1 Definice jevu pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika, jestliže pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika, jestliže pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulika, jestliže pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika pi druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika, jestliže pi první realizaci náh. pokusu byla vytažena erná kulika - 75 -
Na základ obrázku odpovídajících stavu pytlíku ped druhou realizaci pokusu pi splnní píslušných podmínek (za lomítkem) mžeme urit: 4 10 5 ( B2 / B1), ( C2 / B1), ( B2 / C1), ( C2 / C1) 14 14 14 ozn.: Všimnte si, že: ( A / B) ( A / B) Chceme-li tedy urit napíklad pravdpodobnost toho, že v druhém tahu vytáhneme bílou kuliku, musíme vzít v úvahu, že k tomuto jevu mže dojít ve dvou pípadech: ( B2 B1) nebo ( B2 C1) roto platí: ( B2) (( B2 B1) ( B2 C1)) Jelikož jevy ( B2 B1) a ( B2 C1) jsou nesluitelné (nemohou nastat zárove), platí: 9 14 ( B2) ( B2 B1) + ( B2 C1), ( B2) ( B2/ B1) ( B1) + ( B2/ C1) ( C1) 4 5 5 10 14 + 14 15 14 15 42 1 3 Obdobn mžeme urit pravdpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme ernou kuliku. Výklad: odmínná pravdpodobnost je definována vztahem: kde {B} 0. {A B} {A B} {B} {A B} teme pravdpodobnost jevu A podmínná jevem B. 2.3.6 Nezávislé jevy Jevy A a B nazýváme navzájem nezávislými, jestliže platí: {A B} {A}.{B} Jevy A a B jsou tedy nezávislé, jestliže pravdpodobnost prniku tchto dvou jev je rovna souinu pravdpodobností jednotlivých jev. - 76 -
V dsledku toho pak pro nezávislé jevy A,B platí: íklad - hod kostkou: {A B} {A} Jestliže v prvním hodu padne jednika, nijak to neovlivní pravdpodobnost, že jednika padne také ve druhém hodu. ravdpodobnost, že v obou hodech padnou jedniky, je pak souinem jednotlivých pravdpodobností. Definujme si jevy A, B, C takto: A - "padne jednika v prvním hodu" B - "padne jednika ve druhém hodu" C A B - "padne jednika v obou hodech" pak platí: {C} {A B} {A}.{B} 2.3.7 Vta o úplné pravdpodobnosti 1 6 1 6 1 36 Nech je dána úplná skupina vzájemn disjunktních jev {B 1, B 2, B 3,..., B n }, tj. B B i j ; i j, n i 1 B i nap. pro n7 (viz. obrázek): Ω Je zejmé, že libovolný jev A (viz. obrázek), ( A. ( A B 2 ),, ( ) B n A Ω, {A}0), se skládá z ásti ( A ), B 1 A - 77 -
Tedy: A n 1 2 n1 i 1 ( A B ) ( A B ) ( A B ) ( A B ) i Jelikož jde o sjednocení nesluitelných jev, musí platit, že pravdpodobnost tohoto sjednocení je dána soutem jednotlivých pravdpodobností. Ω n 1 i {A} {A B i } Z definice podmínné pravdpodobnosti pak dostáváme: {A B } {A B }{B } z ehož plyne: i i i {A} n 1 i {A B i } {Bi} Tomuto vztahu pro výpoet pravdpodobnosti jevu A íkáme vta o úplné pravdpodobnosti. 2.3.8 Bayesova vta V nkterých pípadech potebujeme urit { B A} plyne: {B {A B }{B k A} k {Bk A} {A} {A} k } k. Z definice podmínné pravdpodobnosti Dosadíme-li do jmenovatele vtu o úplné pravdpodobnosti, získáme vztah, který oznaujeme jako Bayesovu vtu (Bayesv teorém): {B k A} {A B n i 1 k } {B {A B } {B } i k } i Bayesova vta platí pro výše uvedenou úplnou skupinu vzájemn disjunktních jev {B 1, B 2, B 3,..., B n }. - 78 -
ešený píklad: Laborato, která provádí rozbory krve, potvrdí s pravdpodobností 95% existencí protilátek na virus urité nemoci, jestliže jí pacient skuten trpí. Zárove test urí jako pozitivní 1% osob, které však touto nemocí netrpí. Jestliže 0,5% populace trpí zmínnou nemocí, jaká je pravdpodobnost, že uritá osoba, jejíž test byl pozitivní, skuten onu nemoc má? ešení: Takovéto problémy smují k ešení pomocí vty o úplné pravdpodobnosti, pop. pomocí Bayesova teorému. ro pehledný zápis situace asto využíváme tzv. rozhodovací strom. Ozname si: N... pacient trpí nemocí T... test na protilátky vyšel pozitivní Rozhodovací strom pak vypadá takto: Daný stav Výsledek testu 0,95 T 0,005.0,95 0,00475 opulace 0,005 N 0, 05 T 0,005.0,05 0,00025 T 0,995 N 0,01 T T 0,995.0,01 0,00995 0,99 T 0,995.0,99 0,98505 Na spojnice prvního vtvení zapisujeme pravdpodobnosti výskytu daného stavu, tj. (N) a ( N ), piemž souet pravdpodobností v jednom vtvení dává vždy 1 (100%). V našem uríme jako 1 (N). pípad tedy (N) známe ze zadání a ( N ) Na spojnice druhého vtvení se pak zapisují podmínné pravdpodobnosti výsledek testu za pedpokladu daný stav. V našem pípad jsou to pravdpodobnosti: ( T N ), ( T N ), ( T N ), ( T N ). Opt platí, že souet pravdpodobností v jednom vtvení dává vždy 1. Ze zadání známe ( T N ) a ( T N ) a zbylé dv podmínné pravdpodobnosti dopoítáme jako doplky do 1. Chceme-li urit, jaká je pravdpodobnost toho, že nastal daný stav a zárove výsledek testu, staí vynásobit hodnoty uvedené u píslušné vtve. Nap.: pravdpodobnost toho, že pacient trpí nemocí a zárove mu vyšel negativní test je 0,00025-79 -
( ( N T ) ( N ) ( T N ) 0,005 0,05 0, 00025 sloupci vedle rozhodovacího stromu. ). íslušné pravdpodobnosti jsou uvedeny ve ravdpodobnosti toho, že dojde k uritému výsledku testu, se urují prostednictvím vty o úplné pravdpodobnosti. My je okamžit vyteme ze sloupce uvedeného vedle rozhodovacího stromu. Nap.: ( T ) ( N T ) + ( N T ) 0,00475+ 0,00995 0, 0147. A nyní již pejdme k naší otázce: Mli jsme urit jaká je pravdpodobnost, že uritá osoba, jejíž test byl pozitivní, skuten onu nemoc má neboli: ( N T ) Tuto podmínnou pravdpodobnost z rozhodovacího stromu pímo nevyteme, pro její urení použijeme Bayesv teorém: ( N T ) ( N T ) ( T ), do njž již staí pouze dosadit hodnoty vytené z rozhodovacího stromu: ( N T ) ( N T ) ( T ) 0,00475 0,00475 0,323 0,00475 + 0,00995 0,0147 ravdpodobnost toho, že osoba jejíž test vyšel pozitivní, skuten onu nemoc má je asi 32,3%. (Zamyslete se nad tím, co by znamenalo, kdyby léka pouze na základ jednoho pozitivního výsledku testu, oznail lovka za nemocného (nap. AIDS)). Shrnutí: Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkami, za nichž probíhá, a který je, alespo teoreticky, neomezen opakovatelný. Možné výsledky náhodného pokusu jsou elementární jevy. Množinu všech elementárních jev nazýváme základní prostor (elementárních jev). Jevem A je libovolná podmnožina základního prostoru, proto mezi jevy mžeme zavést takové relace, které odpovídají množinovým relacím. ro jevy také platí všechna tvrzení, která platí pro množiny. ravdpodobnostní míra (pravdpodobnost) je reálná funkce definovaná na systému podmnožin základního prostoru, která je nezáporná, normovaná a -aditivní. Tato funkce má adu vlastností, jako nap. pravdpodobnost sjednocení disjunktních jev je dána soutem jejich pravdpodobností. odmínná pravdpodobnost je pravdpodobnost výskytu jevu za podmínky, že nastal uritý jiný jev, který není nemožný. - 80 -
Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže pravdpodobnost prniku tchto dvou jev je rovna souinu pravdpodobností jednotlivých jev. Vta o úplné pravdpodobnosti nám dává návod, jak urit pravdpodobnost jevu A, o kterém je známo, že mže nastat pouze souasn s nkterým z jev B 1, B 2,..., B n, které tvoí úplný systém nesluitelných jev. Bayesova vta nám umožuje spoítat podmínné pravdpodobnosti jednotlivých jev této úplné skupiny, za pedpokladu, že nastal jev A. - 81 -
Otázky 1. Jak chápat pojem pravdpodobnost? 2. Co to jsou axiomy pravdpodobnosti? 3. Jak se urí pravdpodobnost sjednocení dvou obecných jev? 4. Jak se urí pravdpodobnost prniku dvou nezávislých jev? 5. Co vyjaduje Bayesova vta? - 82 -
Úlohy k ešení 1. Systém je funkní pokud funguje souástka A a nejmén jedna ze souástek B a C. ravdpodobnost, že po 1000 hodinách je funkní souástka A je 0,8, souástka B 0,9 a souástka C 0,7. Systém pracuje nezávisle na okolních podmínkách. A B Jaká je pravdpodobnost, že systém bude po 1000 hodinách funkní? 2. Ve velkém množství písemek se vyskytují dva typy chyb, A a B. ravdpodobnost, že v písemce bude chyba A je 0,1 a pravdpodobnost, že tam bude chyba B je 0,2. ravdpodobnost, že v písemce budou ob chyby zárove je 0,05. Urete pravdpodobnost, že v písemce bude pouze chyba A, nikoliv chyba B? 3. Sonda má dv kamery, které mohou pracovat nezávisle na sob. Každá z nich je vybavena pro pípad poruchy korekním mechanismem. ravdpodobnost poruchy kamery je 0,1, pravdpodobnost úspšné opravy pípadné poruchy pomocí korekního mechanismu je 0,3. S jakou pravdpodobností se nepodaí ani jednou z kamer nic nafilmovat? 4. Ti absolventi stední školy pan Novák, pan Svoboda a pan Dvoák skládají pijímací zkoušky na ti rzné vysoké školy. Rodie tchto student odhadují jejich šance na úspch na 70%pro studenta Nováka, na 40% pro studenta Svobodu a na 60% pro studenta Dvoáka. Jaká je pravdpodobnost, že: a) všichni ti uspjí b) ani jeden neuspje c) uspje jen student Novák d) uspje práv jeden z nich e) neuspje jen student Svoboda f) uspjí práv dva z nich g) uspje alespo jeden z nich 5. V osudí je 5 erných a 15 bílých koulí. Z osudí se náhodn vytáhne jedna koule. oté se vrátí zpt a pidá se 20 koulí téže barvy, jakou mla vytažená koule, a tah se opakuje. Jaká je pravdpodobnost, že druhá vytažená koule bude erná? 6. oátení stadium rakoviny se vyskytuje u každých tí z jednoho tisíce Amerian. ro vasné zjištní byl vyvinut velmi spolehlivý test. ouze 5% zdravých pacient má výsledky pozitivní (falešný poplach) a pouze 2% nemocných mají výsledek negativní. okud by se tento test použil pro vyšetení celé americké spolenosti a všichni ti, kteí by mli pozitivní výsledky by byli hospitalizováni za úelem klinického vyšetení, kolik % z nich bude skuten mít rakovinu? C - 83 -
7. i výrob 30% pístroj byl použit zpísnný technologický režim, zatímco pi výrob ostatních pístroj standardní režim. itom pravdpodobnost bezporuchového chodu po dobu T je pro pístroj z první skupiny 0,97 a pro pístroj z druhé skupiny 0,82. Jaká je pravdpodobnost, že: b) pístroj bude po dobu T pracovat bezporuchov? c) pístroj, který po dobu T pracoval bezporuchov, byl vyroben ve zpísnném režimu? 8. Zamýšlíte koupit v autobazaru vz jisté znaky. Je ovšem známo, že 30% takových voz má vadnou pevodovku. Abyste získali více informací, najmete si mechanika, který je po projížce schopen odhadnout stav vozu a jen s pravdpodobností 0,1 se zmýlí. Jaká je pravdpodobnost, že vz, který chcete koupit, má vadnou pevodovku: a) pedtím, než si najmete mechanika? b) jestliže mechanik pedpoví, že vz je dobrý? - 84 -
ešení: 1. 0,776 ~ 77,6% 2. 0,05 ~ 5% 3. 0,0049 ~ 0,49% 4. a) 0,168 ~ 16,8% b) 0,072 ~ 7,2% c) 0,168 ~ 16,8% d) 0,324 ~ 32,4% e) 0,252 ~ 25,2% f) 0,436 ~ 43,6% g) 0,928 ~ 92,8% 5. 0,25 ~ 25% 6. 0,056 ~ 5,6% 7. a) 0,865 ~ 86,5% b) 0,336 ~ 33,6% 8. a) 0,30 ~ 30% b) 0,045 ~ 4,5% - 85 -