2 ELEMENTÁRNÍ POET PRAVDPODOBNOSTI. as ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt

Transkript

1 2 ELEMENTÁRNÍ OET RAVDODOBNOSTI as ke studu kaptoly: 70 mnut Cíl: o prostudování této kaptoly budete umt charakterzovat teor pravdpodobnost a matematckou statstku vysvtlt základní pojmy teore pravdpodobnost popsat typy náhodných jev vysvtlt a umt používat základní relace mez jevy vysvtlt pojem pravdpodobnost defnovat pravdpodobnost pomocí axom vlastnost pravdpodobnostní funkce pracovat s podmínnou pravdpodobností vysvtlt vtu o úplné pravdpodobnost a Bayesovu vtu

2 2.1 Základní pojmy as ke studu odstavce: 20 mnut Cíl: o prostudování tohoto odstavce budete umt charakterzovat teor pravdpodobnost a matematckou statstku vysvtlt základní pojmy teore pravdpodobnost Výklad: ím se zabývají teore pravdpodobnost a matematcká statstka? Okolo nás exstuje spousta vcí, jev a událostí, které nelze pedvídat - jsou dsledkem náhody. Otázkam náhody a náhodných dj se zabývají dv matematcké dscplíny: teore pravdpodobnost a matematcká statstka. Teore pravdpodobnost je matematcká dscplína, jejíž logcká struktura je budována axomatcky. To znamená, že její základ tvoí nkolk tvrzení (tak zvaných axom), která vyjadují základní vlastnost axomatzované velny a všechna další tvrzení jsou z nch odvozena deduktvn. Systém axom vznká abstrakcí z pozorovaných skuteností reálného svta. Axomy se nedokazují, považují se za provené dlouhou ldskou zkušeností. Matematcká statstka je naprot tomu vda, která zahrnuje studum dat vykazujících náhodná kolísání, a už jde o data získaná pelv ppraveným pokusem provedeným pod stálou kontrolou expermentálních podmínek v laborato, o data provozní. Statstka jako vda se dále zabývá otázkam získávání dat, jejch analýzou a úlohou p formulování závr o pokusech a expermentech, nebo p rozhodování založeném na datech Základní pojmy teore pravdpodobnost Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkam, za nchž probíhá, a který je, alespo teoretcky, neomezen opakovatelný. Náhodný jev je jakékolv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze po skonení pokusu íc, zda je pravdvé nebo ne. U termínu náhodný jev budeme v dalším textu vtšnou slovo náhodný vynechávat a budeme mluvt pouze o jevu. Jevy znaíme vtšnou velkým písmeny latnské abecedy (A,B,X,Y,Z, )

3 ro pesný matematcký pops pokusu je nutno stanovt množnu všech možných výsledk daného pokusu. Tyto možné výsledky musí být zavedeny tak, aby byly vzájemn neslutelné, tj. aby žádné dva z nch nemohly nastat souasn. Dále musí být množna možných výsledk vyerpávající, to znamená, že p realzac daného pokusu musí práv jeden z nch vždy nastat. ed ukonením pokusu ovšem nevíme, který to bude. Tyto možné výsledky náhodného pokusu nazýváme elementárním jevy. Elementární jevy mohou být nejrznjší povahy podle povahy pokusu. íklad množn všech možných výsledk {rub, líc} p hodu mncí {1,2,3,4,5,6} p hodu kostkou Oznaíme množnu všech takovýchto výsledk. Tuto množnu nazýváme základní prostor (elementárních jev). Z matematckého hledska je tedy lbovolná množna, která mže být bu konená nebo nekonená. Má smysl uvažovat pouze množny neprázdné. Elementární jev {} je podmnožnou množny, obsahující jeden prvek množny, zapsujeme. Za jev A budeme považovat lbovolnou podmnožnu, A. Výsledek náhodného pokusu nelze s jstotou pedpovdt. Nkteré výsledky však nastávají astj, nkteré mén asto, nkteré velm zídka. velkých sérích opakování však tyto náhodné pokusy (resp. jejch výsledky) vykazují urté zákontost a pravdelnost. Cílem teore pravdpodobnost je práv studum tchto zákontostí, jejch popsání a vytvoení pravdel pro urení mr poetnost výskyt tchto jev. S tmto zákontostm se bžn setkáváme, anž bychom s to mnohdy uvdomoval. Nap. každý ví ntutvn tuší, že p hodu mncí má stejnou šanc rub líc a že tudíž p velkém potu pokus budou nejspíš padat stejn asto. Ze statstckých roenek lze snadno zjstt, že podíl chlapc narozených v jednotlvých letech vzhledem k celkovému potu narozených dtí se pohybuje okolo 51,5%. estože v jednotlvých pípadech nelze pohlaví dítte pedpovdt, mžeme pomrn pesn odhadnout, kolk se narodí chlapc z celkového potu narozených dtí. Z tchto píklad vyplývá, že relatvní etnost nkterých jev se s rostoucím potem opakování ustálí na urtých íslech. Tento úkaz budeme nazývat stabltou relatvních etností. Tato stablta relatvních etností je emprckým základem teore pravdpodobnost. Relatvní etností ptom rozumíme podíl n(a)/n, kde n je celkový poet provedených pokus a n(a) je poet tch realzací pokusu, ve kterých jev A nastal

4 Shrnutí: Teore pravdpodobnost je matematcká dscplína, jejíž logcká struktura je budována axomatcky. Axom je tvrzení provené dlouhou ldskou zkušeností. Matematcká statstka je vda, která se zabývá otázkam získávání dat, jejch analýzou a úlohou p formování závr o pokusech a expermentech, nebo p rozhodování založeném na datech. Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkam, za nchž probíhá. Základní prostor (elementárních jev) je množnou všech možných výsledk pokusu. Relatvní etnost nkterých jev s rostoucím potem opakování vykazují jstou stabltu. 2.2 Operace s náhodným jevy as ke studu odstavce: 20 mnut Cíl o prostudování tohoto odstavce budete umt popsat typy náhodných jev vysvtlt a umt používat základní relace mez jevy Výklad: Jaké jsou typy náhodných jev? Budeme íkat, že p realzac náhodného pokusu nastal jev A, jestlže nastal elementární jev, takový, že A. Výsledek A nazýváme také výsledek píznvý jevu A. Specáln mže dojít k tmto náhodným jevm:

5 Jev jstý nastane nutn p každé realzac náhodného pokusu. Je ekvvalentní. Nap. p házení kostkou jev: padne jedno z ísel 1,2,3,4,5,6 (samozejm pokud házíme bžnou hrací kostkou s obvyklým znaením stran). Jev nemožný nemže v daném pokusu nkdy nastat. Budeme jej znat. Nap. p házení kostkou jev: padne íslo osm Jaké jsou relace mez jevy? Vzhledem k tomu, že jev je tedy jen jné oznaení pro podmnožnu množny, mžeme zavést relace mez jevy, které odpovídají množnovým relacím. ro jevy budou také platt všechna tvrzení, která platí pro množny. rnk jev A, B - A B je jev, který nastane, když nastanou jevy A,B souasn. (teme A prnk B nebo A a B - nastává totž jak jev A tak jev B souasn) Grafcký píklad: Nech pokus spoívá v tom, že uvnt daného obdélníka vybíráme bod. Množnu elementárních jev, které mohou nastat p tomto pokusu mžeme tedy grafcky zobrazt na množnu bod, ležících uvnt uvažovaného obdélníka. Nech jev A spoívá v tom, že takto vybraný bod leží uvnt levé kružnce a jev B spoívá v tom, že vybraný bod leží uvnt pravé kružnce. ak následující dagram znázoruje prnk jev A a B: A B { ω ω A B} ω íklad - házení kostkou: jev A nech znaí - padne íslo 2 nebo 3 nebo 4, a jev B - padne sudé íslo. Je zejmé, že A B {2,4}. Sjednocení jev A,B - A B O sjednocení jev A a B hovoíme tehdy, jestlže nastává jev A nebo jev B. Slvko "nebo" znamená, že mže nastat pouze jeden z tchto jev, ale mohou nastat oba jevy zárove. Jným slovy, nastane alespo jeden z tchto jev

6 Grafcký píklad: { ω ω A B} A B ω íklad - házení kostkou: nech jev A{1,3,4}, nech dále jev B je skutenost, že padne sudé íslo. Je zejmé, že A B {1,2,3,4,6}. Dsjunktní jevy A, B tj. A B Dva jevy A,B nemohou nastat souasn, nemají-l spolu žádný možný spolený výsledek. Takovéto jevy budeme nazývat jevy dsjunktní (nkdy též neslutelné). íklad - házení kostkou: Defnujme jev A - padne sudé íslo, a jev B - padne lché íslo. Tyto jevy opravdu nemají žádný možný spolený výsledek. Jestlže nastane jev A, nemže zárove nastat jev B a naopak. Jev A je podjevem jevu B, znaíme A B Znamená to, že jev A má za následek jev B (tj. nastane-l jev A, nastane taktéž jev B). Grafcký píklad: A B { ω A ω B} íklad - házení kostkou: Nech jev A - padne íslo 2, jev B - padne sudé íslo. Jev A je pak podjevem jevu B. Jevy A,B jsou ekvvalentní - A B je-l A B a souasn B Α. íklad - házení kostkou: Jev A - p hodu kostkou padne sudé íslo, jev B - p hodu kostkou padne íslo dltelné dvma

7 Rozdíl jev A, B - A-B Rozdílem jev A a B budeme chápat jev, který nastává práv tehdy, nastane-l jev A a souasn nenastane jev B. Grafcký píklad: A - B A B A - B { ω ω A ω B} íklad - házení kostkou: Jev A - padne íslo vtší než dv, jev B - padne sudé íslo. Rozdíl jev A a B je pak jev A B {3,5} Doplnk jevu A, opaný jev Opaným jevem (doplkovým) k jevu A budeme rozumt jev A, který nastane, když nenastane jev A. Grafcký píklad: { ω } A ω A íklad - házení kostkou: Jev A - padne sudé íslo, pak jev A - padne lché íslo. ro operace s jevy, jak jž bylo eeno, platí algebracké zákony a rovnost stejné jako pro množny. To velm usnaduje prác s náhodným jevy. Ω

8 De Morganovy zákony jsou logckým dsledkem základních pojm a základních relací mez jevy. 1. zákon A B A B 2. zákon A B A B íkáme, že základní prostor je složen z úplné množny vzájemn dsjunktních jev. Úplná skupna vzájemn dsjunktních jev je množna dsjunktních jev {A 1, A 2, A 3,... A n }, která tvoí rozklad jevu jstého A, pro j Ω: A j Ω n 1 A

9 2.3 Teore pravdpodobnost as ke studu odstavce: 30 mnut Cíl: o prostudování tohoto odstavce budete umt vysvtlt pojem pravdpodobnost defnovat pravdpodobnost pomocí axom vlastnost pravdpodobnostní funkce pracovat s podmínnou pravdpodobností vysvtlt vtu o úplné pravdpodobnost a Bayesovu vtu Výklad: ojem pravdpodobnost V souvslost s náhodným jevy jsme konstatoval, že za náhodný jev budeme považovat tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze jednoznan (po uskutenní pokusu) rozhodnout, zda je pravdvé nepravdvé. V zásad je teba rozlšovat mez dvma typy pokus: jedním, který je neomezen mnohokrát opakovatelný za stejných podmínek (takovým mže být nap. házení mncí kostkou) a druhým, který nelze za stejných podmínek opakovat (tím mže být nap. poet narozených dtí v píštím roce). Výsledky tchto dvou možných typ pokus vedou k defnování dvou typ pravdpodobnost. Jestlže je pokus opakovatelný neomezen mnohokrát v ase za stejných podmínek, hovoíme o objektvní pravdpodobnost. okud se podmínky mní pokaždé, když je pokus realzován, hovoíme o subjektvní pravdpodobnost. Objektvní pravdpodobnost je založena na etnost výskytu sledovaného jevu. Jž v pedchozí ást jsme se zmoval o stablt relatvních etností. Ta hovoí o tom, že relatvní etnost jevu A p dostateném opakování náhodného pokusu se koncentruje kolem urtého ísla. Zdá se tedy rozumné považovat toto íslo za míru etnost výskytu urtého jevu A a nazvat jej pravdpodobností tohoto jevu. Subjektvní pravdpodobnost je pravdpodobnost, kterou pazujeme výsledku pokusu, jež není za stejných podmínek opakovatelný. oet narozených dtí v R v letošním roce je pokus, který je pozorovatelný pouze jednou, a nemže mu být tudíž pazena objektvní

10 pravdpodobnost. Dležtým rysem subjektvní pravdpodobnost je fakt, že její hodnota je vtšnou velm dležtá pro úely rozhodování a ešení závažných problém. ro oba typy pravdpodobností platí stejné zákony a pravdla, jmž se nyní budeme zabývat Klascká defnce pravdpodobnost Tato defnce se zakládá na objektvní pravdpodobnost a íká, že: ravdpodobnost jevu A je lmtním pípadem relatvní etnost jevu A. n( A) ( A) lm, n n kde: n(a) poet výsledk píznvých jevu A (kolkrát jev A nastal) n poet všech realzací pokusu Uveme s nyní axomatckou defnc pravdpodobnost Axomatcká defnce pravdpodobnost ravdpodobnostním prostorem nazveme trojc (, S, ) kde () () je množna všech rzných, vzájemn se vyluujících výsledk náhodného pokusu (prvky jsou elementární jevy, tvoí základní prostor) S je taková množna podmnožn, že platí: a) S; b) je-l A S, potom A ( A) S ; c) Jestlže A 1, A 2, A 3,... S, potom 1 rvky množny S oznaujeme jako jevy. A S () je funkce zobrazující S na < 0,1 > taková, že platí: a) () 1; b) ( A ) 1 (A) pro každé A S ; c) ro navzájem dsjunktní jevy {A 1, A 2, A 3,... } z množny S platí: A A,, j N; j j { 1 A } 1 { A } Funkce se nazývá pravdpodobnostní míra nebo krátce pravdpodobnost. íklad - hod kostkou: {1,2,3,4,5,6,},

11 S je množna všech podmnožn množny (nkdy znaíme S exp ) a pravdpodobnost carda defnujeme vztahem {A}, kde card A je poet prvk množny A. 6 Snadno mžeme ovt, že tento model odpovídá souasn klascké axomatcké defnc pravdpodobnost. oznámky k axomatcké defnc: 1. Jestlže njaký systém podmnožn spluje podmínky () a c axomatcké defnce, nazýváme ho -algebrou. 2. Volba S závsí na konkrétní stuac. Obecn za nj nemusíme brát systém všech podmnožn, ale obvykle staí jeho urtý podsystém. 3. Každá reálná funkce na S, která spluje vlastnost () a-c, je pravdpodobnostní mírou. Dané realt ale odpovídá pouze jedna z nch. Napíklad u hodu pravdelnou kostkou to bude pravdpodobnostní míra daná rovnostm (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1/6. Ostatní pravdpodobnostní míry odpovídají rzným nepravdelným kostkám Vlastnost pravdpodobnost Bezprostedn z axomatcké defnce pravdpodobnost vyplývají další vlastnost. 1. A B {A B} {A} + {B} 2. B A { B} { A} 3. { A} 1- {A} 4. { } 0 5. { B - A} {B}- {B A} Specáln: A B { B - A} {B}- {A} 6. {A B} {A}+ {B}- {A B} Všechny tyto vlastnost se dají snadno dokázat pímo z axomatcké defnce pravdpodobnost. ímým dsledkem de Morganových zákon je následující vlastnost: 7. { A B} 1- { A B} 1- { A B} ešený píklad: ravdpodobnost, že selže hasící systém továrny je 20%, pravdpodobnost, že selže poplachové zaízení je 10% a pravdpodobnost, že selžou jak hasící systém, tak poplachové zaízení jsou 4%. Jaká je pravdpodobnost,že: a) alespo jeden systém bude fungovat? b) budou fungovat oba dva systémy?

12 ešení: Ozname s možné jevy takto: H... hasící systém funguje S... poplachové zaízení (sréna) funguje Víme, že: ( H ) 0, 20 ( S ) 0, 10 H S 0, Máme zjstt: ( ) 04 ada) ( H S ) K ešení této otázky mžeme pstupovat dvojím zpsobem: odle defnce: Nejde o jevy neslutelné (mohou nastat zárove), proto: ( H S ) ( H ) + ( S ) ( H S ), kde by mohlo být problémem urt ( H S ) nebo es jev opaný: Kdy na základ de Morganových zákon mžeme psát, že: ( H S) ( H S) 1 ( H S ) 1, což mžeme vyíslt pímo. ( H S) 1 0,04 0, 96 ravdpodobnost, že bude fungovat alespo jeden z ochranných systém je 96%. adb) ( H S ) Což nemžeme ešt prostednctvím defnního vztahu: ( ( H S ) ( H S ) ( S) ( S H ) ( H ) ), nebo nemáme nformace o závslost poruch jednotlvých ochranných systém. roto zkusíme znovu postupovat pes jev opaný: ( H S ) ( H S ) 1 ( H S ) 1 [ ( H ) + ( S ) ( H S )] 1, což mžeme pímo vyíslt: ( H S) 1 [ ( H ) + ( S ) ( H S )] 1 [ 0,20 + 0,10 0,04] 0, 74 ravdpodobnost, že oba dva ochranné systémy budou fungovat je 74%

13 ešený píklad: student absolvovalo zkoušky z matematky a z fyzky. 30 z nch nesložlo ob zkoušky, 8 nesložlo pouze zkoušku z matematky a 5 nesložlo pouze zkoušku z fyzky. Urete pravdpodobnost, že náhodn vybraný student: a) složl zkoušku z matematky, víme-l že nesložl zkoušku z fyzky b) složl zkoušku z fyzky, víme-l že nesložl zkoušku z matematky c) složl zkoušku z matematky, víme-l že složl zkoušku z fyzky ešení: Ozname s možné jevy takto: M... složl zkoušku z matematky F... složl zkoušku z fyzky Víme, že: ( M F ) ( M F ) ( M F ) Máme zjstt: ada) ( M F ) což uríme jednoduše podle defnce podmínné pravdpodobnost: ( M F ) ( M F ) ( F ) ( M F ) ( M F ) + ( M F ), kde pravdpodobnost, že student nesložl zkoušku z fyzky urujeme podle vty o úplné pravdpodobnost jako souet pravdpodobnost, že student nesložl pouze zkoušku z fyzky a pravdpodobnost, že student nesložl ob zkoušky. o vyíslení tedy víme, že: ( M F ) ( M F ) ( M F ) + ( M F ) ,14 7 ravdpodobnost, že student složl zkoušku z matematky, víme-l že nesložl zkoušku z fyzky je as 14%

14 adb) ( F M ) což uríme obdobn jako p ešení pedcházející úlohy: ( F M ) ( F M ) ( M ) o vyíslení tedy víme, že: ( F M ) ( F M ) ( F M ) + ( F M ) ( F M ) ( F M ) + ( F M ) 8, ,21 ravdpodobnost, že student složl zkoušku z fyzky, víme-l že nesložl zkoušku z matematky je as 21%. adc) ( M F ) opt s napíšeme defnní vztah: ( M F ) ( M F ), (F) k nmuž mžeme pstoupt dvojím zpsobem: Bu se pokusíme tento vztah upravt na základ známých vztah tak, abychom jej mohl prostednctvím zadaných parametr vyíslt: ( M F ) 1 1 ( M F ) 1 ( M F ) ( F) 1 ( F ) 1 1 ( M F ) [ ( F M ) + ( F M )] [ ( F M ) + ( F M )] + [ ( F M ) + ( F M )] ( F M )] 1 [ ( F M ) + ( F M )] [ ( F M ) + ( F M ) + ( F M )] 1 [ ( F M ) + ( F M )] nebo se pokusíme potebné pravdpodobnost vyíst ze zadání: Zadané údaje s zapíšeme do tabulky: [ ( F ) + ( M ) ( F M )] [ ( F M ) + ( F M )] ,91 85 Složl zkoušku z matematky Nesložl zkoušku z matematky Celkem Složl zkoušku z fyzky 8 Nesložl zkoušku z fyzky Celkem

15 a zbylé údaje v tabulce jednoduše dopoítáme: Kolk student složlo zkoušku z fyzky? To je celkový poet () mínus poet student, kteí zkoušku z fyzky nesložl (35), což je 85. Obdobn uríme poet student, kteí složl zkoušku z matematky, což je A konen poet tch, kteí složl ob zkoušky uríme nap. jako poet tch, kteí složl zkoušku z matematky (82) mínus poet tch, kteí složl pouze zkoušku z matematky (5), což je 77. Složl zkoušku z Nesložl zkoušku z Celkem matematky matematky Složl zkoušku z fyzky Nesložl zkoušku z fyzky Celkem Hledané pravdpodobnost tedy jsou: ( M F ) ; ( F ), z ehož plyne: ( M F ) ( M F ) ( F) ,91 85 ravdpodobnost, že student složl zkoušku z matematky, víme-l že složl zkoušku z fyzky je as 91%. ozn.: odle údaj v tabulce bychom mohl ešt úkoly a) a b). ešený píklad: Spotte pravdpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu 2 bude protékat elektrcký proud, je-l el. obvod vetn pravdpodobnost poruch jednotlvých souástek vyznaen na následujícím obrázku. (oruchy jednotlvých souástek jsou na sob nezávslé.) 0,2 0,1 0,3 C 1 A B D 0,3 2 E 0,2-71 -

16 ešení: Ozname s: A... souástka A funguje, C... souástka C funguje, B... souástka B funguje, D... souástka D funguje E... souástka E funguje, ak: ( A) 0,1 ( A) 0, 9 ( C ) 0,2 ( C) 0, 8 ( B ) 0,3 ( B) 0, 7 ( D ) 0,3 ( D) 0, 7 ( E ) 0,2 ( E) 0, 8 ro zjednodušení s obvod pedstavíme jako sérové zapojení dvou blok. Blok 1 je tvoen sérovým zapojením souástek A a B, Blok 2 je tvoen paralelním zapojením souástek C, D a E. V první fáz s uríme pravdpodobnost poruch jednotlvých blok: Blok 1: B1... Blok 1 funguje Máme-l sérov zapojené souástky, je vhodné urovat pímo pravdpododobnost, že systém (blok) funguje. 0,1 0,3 A B Blok 1 funguje práv tehdy, jsou-l funkní souástky A B. Vzhledem k nezávslost poruch jednotlvých souástek mžeme íc, že: Blok 1 ( B1) ( A B) ( A). ( B) 0,9.0,7 0,63 Blok 2: B2 Blok 2 funguje Máme-l paraleln zapojené souástky, je vhodné pravdpodobnost toho, že systém (blok) funguje urovat jako doplnk pravdpodobnost jevu opaného tj. toho, že systém (blok) nefunguje. Blok 2 nefunguje práv tehdy, není-l funkní an jedna ze souástek C, D, E. Vzhledem k nezávslost poruch jednotlvých souástek mžeme íc, že: 0,2 C D 0,3 E 0,2 Blok 2 ( B2) ( C D E) ( C). ( D). ( E) 0,2.0,3.0,2 0,012 ( B2) 1 ( B2) 1 0,012 0,

17 Celý systém je p tomto znaení dán sérovým zapojením Bloku 1 a Bloku 2. Zbývá nám tedy jž jen urt spolehlvost celého systému (pravdpodobnost, že systém bude funkní). 1 B1 B2 2 S systém je funkní ( S) ( B1 B2) ( B1) ( B2) 0,63 0,988 0, 62 ravdpodobnost toho, že z bodu 1 do bodu 2 bude protékat elektrcký proud je as 62%. Výklad: odmínná pravdpodobnost asto se setkáváme s podmínnou pravdpodobností. Jedná se o pravdpodobnost jevu za podmínky, že nastal urtý jný jev. V podstat s mžeme pedstavt, že n-krát realzujeme njaký náhodný pokus a uvažujeme dv podmnožny A a B v píslušném základním prostoru, tj. dva jevy souvsející s tímto pokusem. Vyberme te z posloupnost realzací pokusu jen ty realzace, p kterých nastal jev B. ak nás ovšem mže zajímat, kolkrát za takové podmínky nastal jev A. ešený píklad: Neprhledný pytlík obsahuje 10 erných a 5 bílých kulek. Budeme provádt náhodný pokus vytažení jedné kulky, pemž kulku do pytlíku nevracíme. Urete pravdpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme bílou kulku. ešení: Jev B1 C1 B2 C2 Defnce jevu p první realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka p první realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka Stav pytlíku ped první realzací pokusu: 10 ks 5 ks

18 ravdpodobnost, že p první realzac pokusu vytáhnu bílou (ernou) kulku je zejm: ( B1) 5 15, resp. 10 ( C1) 15 Je taktéž zejmé, že stav pytlíku ped druhou realzací pokusu závsí na výsledku první realzace. Stav pytlíku ped druhou realzací pokusu, byla-l p prvním pokusu vytažena bílá kulka: 10 ks 4 ks Stav pytlíku ped druhou realzací pokusu, byla-l p prvním pokusu vytažena erná kulka: 9 ks 5 ks Z obrázku (a z logckého úsudku) vdíme, že výsledek druhé realzace pokusu závsí na výsledku první realzace pokusu, jným slovy: výsledek druhé realzace pokusu je podmínn výsledkem první realzace pokusu. Mžeme tedy urt pravdpodobnost následujících jev: Jev B2/B1 C2/B1 B2/C1 C2/C1 Defnce jevu p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka, jestlže p první realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka, jestlže p první realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena bílá kulka, jestlže p první realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka p druhé realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka, jestlže p první realzac náh. pokusu byla vytažena erná kulka Na základ obrázku odpovídajících stavu pytlíku ped druhou realzac pokusu p splnní píslušných podmínek (za lomítkem) mžeme urt: ( B2 / B1), ( C2 / B1), ( B2 / C1), ( C2 / C1) ozn.: Všmnte s, že: ( A / B) ( A / B)

19 Chceme-l tedy urt napíklad pravdpodobnost toho, že v druhém tahu vytáhneme bílou kulku, musíme vzít v úvahu, že k tomuto jevu mže dojít ve dvou pípadech: (B2/B1) nebo (B2/C1) roto platí: ( B2) (( B2 / B1) ( B2 / C1)) Jelkož jevy (B2/B1) a (B2/C1) jsou neslutelné (nemohou nastat zárove), platí: 4 5 ( B2) ( B2 / B1) + ( B2 / C1), tj. ( B2) Obdobn mžeme urt pravdpodobnost, že v druhém tahu vytáhneme ernou kulku Výklad: odmínná pravdpodobnost je defnována vztahem: kde {B} 0. {A B} {A B} {B} {A B} teme pravdpodobnost jevu A podmínná jevem B Nezávslé jevy Jevy A a B nazýváme navzájem nezávslým, jestlže platí: {A B} {A}.{B} Jevy A a B jsou tedy nezávslé, jestlže pravdpodobnost prnku tchto dvou jev je rovna sounu pravdpodobností jednotlvých jev. V dsledku toho pak pro nezávslé jevy A,B platí: íklad - hod kostkou: {A B} {A} Jestlže v prvním hodu padne jednka, njak to neovlvní pravdpodobnost, že jednka padne také ve druhém hodu. ravdpodobnost, že v obou hodech padnou jednky, je pak sounem jednotlvých pravdpodobností. Defnujme s jevy A, B, C takto: A - "padne jednka v prvním hodu"

20 B - "padne jednka ve druhém hodu" C A B - "padne jednka v obou hodech" pak platí: {C} {A B} {A}.{B} Vta o úplné pravdpodobnost Nech je dána úplná skupna vzájemn dsjunktních jev {B 1, B 2, B 3,..., B n }, tj. B B ; n 1 B j j nap. pro n7: Ω potom pro jakýkolv jev A, {A}0, platí Dkaz: {A} n 1 {A B } {B} Jelkož {B 1, B 2, B 3,..., B n } tvoí úplnou skupnu vzájemn dsjunktních jev, musí platt, A Ω n 1 {A} {A B }

21 Z defnce podmínné pravdpodobnost pak dostáváme: {A B } {A B } {B } z ehož plyne tvrzení vty Bayesova vta ro výše uvedenou úplnou skupnu vzájemn dsjunktních jev {B 1, B 2, B 3,..., B n } platí: {B k A} {A B n 1 k } {B {A B } {B } k } Dkaz: Z defnce podmínné pravdpodobnost plyne: {B {A B } {B k A} k {Bk A} {A} {A} Dále za jmenovatel posledního výrazu {A}dosadíme vtu o úplné pravdpodobnost, z ehož plyne Bayesova vta. k } ešený píklad: Laborato, která provádí rozbory krve, potvrdí s pravdpodobností 95% exstencí protlátek na vrus urté nemoc, jestlže jí pacent skuten trpí. Zárove test urí jako poztvní 1% osob, které však touto nemocí netrpí. Jestlže 0,5% populace trpí zmínnou nemocí, jaká je pravdpodobnost, že urtá osoba, jejíž test byl poztvní, skuten onu nemoc má? ešení: Takovéto problémy smují k ešení pomocí vty o úplné pravdpodobnost, pop. pomocí Bayesova teorému. ro pehledný záps stuace asto využíváme tzv. rozhodovací strom. Ozname s: N... pacent trpí nemocí T... test na protlátky vyšel poztvní

22 Rozhodovací strom pak vypadá takto: Daný stav Výsledek testu 0,95 T 0,005.0,95 0,00475 opulace 0,005 N 0, 05 T 0,005.0,05 0,00025 T 0,995 N 0,01 T T 0,995.0,01 0, ,99 T 0,995.0,99 0,98505 Na spojnce prvního vtvení zapsujeme pravdpodobnost výskytu daného stavu, tj. (N) a ( N ), pemž souet pravdpodobností v jednom vtvení dává vždy 1 (100%). V našem uríme jako 1 (N). pípad tedy (N) známe ze zadání a ( N ) Na spojnce druhého vtvení se pak zapsují podmínné pravdpodobnost výsledek testu za pedpokladu daný stav. V našem pípad jsou to pravdpodobnost: ( T N ), ( T N ), ( T N ), ( T N ). Opt platí, že souet pravdpodobností v jednom vtvení dává vždy 1. Ze zadání známe ( T N ) a ( T N ) a zbylé dv podmínné pravdpodobnost dopoítáme jako doplky do 1. Chceme-l urt, jaká je pravdpodobnost toho, že nastal daný stav a zárove výsledek testu, staí vynásobt hodnoty uvedené u píslušné vtve. Nap.: pravdpodobnost toho, že pacent trpí nemocí a zárove mu vyšel negatvní test je 0,00025 ( ( N T ) ( N ) ( T N ) 0,005 0,05 0, 00025). íslušné pravdpodobnost jsou uvedeny ve sloupc vedle rozhodovacího stromu. ravdpodobnost toho, že dojde k urtému výsledku testu, se urují prostednctvím vty o úplné pravdpodobnost. My je okamžt vyteme ze sloupce uvedeného vedle rozhodovacího stromu. Nap.: ( T ) ( N T ) + ( N T ) 0, , , A nyní jž pejdme k naší otázce: Ml jsme urt jaká je pravdpodobnost, že urtá osoba, jejíž test byl poztvní, skuten onu nemoc má nebol: ( N T ) Tuto podmínnou pravdpodobnost z rozhodovacího stromu pímo nevyteme, pro její urení použjeme Bayesv teorém: ( N T ) ( N T ) ( T ), do njž jž staí pouze dosadt hodnoty vytené z rozhodovacího stromu:

23 ( N T ) ( N T ) ( T ) 0, , ,323 0, , ,0147 ravdpodobnost toho, že osoba jejíž test vyšel poztvní, skuten onu nemoc má je as 32,3%. (Zamyslete se nad tím, co by znamenalo, kdyby léka pouze na základ jednoho poztvního výsledku testu, oznal lovka za nemocného (nap. AIDS)). Shrnutí: Náhodný pokus je každý konený dj, jehož výsledek není pedem jednoznan uren podmínkam, za nchž probíhá, a který je, alespo teoretcky, neomezen opakovatelný. Možné výsledky náhodného pokusu jsou elementární jevy. Množnu všech elementárních jev nazýváme základní prostor (elementárních jev). Jevem A je lbovolná podmnožna základního prostoru, proto mez jevy mžeme zavést takové relace, které odpovídají množnovým relacím. ro jevy také platí všechna tvrzení, která platí pro množny. ravdpodobnostní míra (pravdpodobnost) je reálná funkce defnovaná na systému podmnožn základního prostoru, která je nezáporná, normovaná a -adtvní. Tato funkce má adu vlastností, jako nap. pravdpodobnost sjednocení dsjunktních jev je dána soutem jejch pravdpodobností. odmínná pravdpodobnost je pravdpodobnost výskytu jevu za podmínky, že nastal urtý jný jev, který není nemožný. Jevy A a B jsou nezávslé, jestlže pravdpodobnost prnku tchto dvou jev je rovna sounu pravdpodobností jednotlvých jev. Vta o úplné pravdpodobnost nám dává návod, jak spoítat pravdpodobnost lbovolného jevu A (který není nemožný) za pedpokladu, že je dána úplná skupna vzájemn dsjunktních jev. Bayesova vta nám umožuje spoítat podmínné pravdpodobnost jednotlvých jev této úplné skupny, za pedpokladu, že nastal jev A

24 Otázky 1. Jak chápat pojem pravdpodobnost? 2. Co to jsou axomy pravdpodobnost? 3. Jak se urí pravdpodobnost sjednocení dvou obecných jev? 4. Jak se urí pravdpodobnost prnku dvou nezávslých jev? 5. Co vyjaduje Bayesova vta?

25 Úlohy k ešení 1. Systém je funkní pokud funguje souástka A a nejmén jedna ze souástek B a C. ravdpodobnost, že po 1000 hodnách je funkní souástka A je 0,8, souástka B 0,9 a souástka C 0,7. Systém pracuje nezávsle na okolních podmínkách. A B Jaká je pravdpodobnost, že systém bude po 1000 hodnách funkní? 2. Ve velkém množství písemek se vyskytují dva typy chyb, A a B. ravdpodobnost, že v písemce bude chyba A je 0,1 a pravdpodobnost, že tam bude chyba B je 0,2. ravdpodobnost, že v písemce budou ob chyby zárove je 0,05. Urete pravdpodobnost, že v písemce bude pouze chyba A, nkolv chyba B? 3. Sonda má dv kamery, které mohou pracovat nezávsle na sob. Každá z nch je vybavena pro pípad poruchy korekním mechansmem. ravdpodobnost poruchy kamery je 0,1, pravdpodobnost úspšné opravy pípadné poruchy pomocí korekního mechansmu je 0,3. S jakou pravdpodobností se nepodaí an jednou z kamer nc naflmovat? 4. T absolvent stední školy pan Novák, pan Svoboda a pan Dvoák skládají pjímací zkoušky na t rzné vysoké školy. Rode tchto student odhadují jejch šance na úspch na 70%pro studenta Nováka, na 40% pro studenta Svobodu a na 60% pro studenta Dvoáka. Jaká je pravdpodobnost, že: a) všchn t uspjí b) an jeden neuspje c) uspje jen student Novák d) uspje práv jeden z nch e) neuspje jen student Svoboda f) uspjí práv dva z nch g) uspje alespo jeden z nch 5. V osudí je 5 erných a 15 bílých koulí. Z osudí se náhodn vytáhne jedna koule. oté se vrátí zpt a pdá se 20 koulí téže barvy, jakou mla vytažená koule, a tah se opakuje. Jaká je pravdpodobnost, že druhá vytažená koule bude erná? 6. oátení stadum rakovny se vyskytuje u každých tí z jednoho tsíce Ameran. ro vasné zjštní byl vyvnut velm spolehlvý test. ouze 5% zdravých pacent má výsledky poztvní (falešný poplach) a pouze 2% nemocných mají výsledek negatvní. okud by se tento test použl pro vyšetení celé amercké spolenost a všchn t, kteí by ml poztvní výsledky by byl hosptalzován za úelem klnckého vyšetení, kolk % z nch bude skuten mít rakovnu? C

26 7. výrob 30% pístroj byl použt zpísnný technologcký režm, zatímco p výrob ostatních pístroj standardní režm. tom pravdpodobnost bezporuchového chodu po dobu T je pro pístroj z první skupny 0,97 a pro pístroj z druhé skupny 0,82. Jaká je pravdpodobnost, že: b) pístroj bude po dobu T pracovat bezporuchov? c) pístroj, který po dobu T pracoval bezporuchov, byl vyroben ve zpísnném režmu? 8. Zamýšlíte koupt v autobazaru vz jsté znaky. Je ovšem známo, že 30% takových voz má vadnou pevodovku. Abyste získal více nformací, najmete s mechanka, který je po projížce schopen odhadnout stav vozu a jen s pravdpodobností 0,1 se zmýlí. Jaká je pravdpodobnost, že vz, který chcete koupt, má vadnou pevodovku: a) pedtím, než s najmete mechanka? b) jestlže mechank pedpoví, že vz je dobrý?

27 ešení: 1. 0,776 ~ 77,6% 2. 0,05 ~ 5% 3. 0,0049 ~ 0,49% 4. a) 0,168 ~ 16,8% b) 0,072 ~ 7,2% c) 0,168 ~ 16,8% d) 0,324 ~ 32,4% e) 0,252 ~ 25,2% f) 0,436 ~ 43,6% g) 0,928 ~ 92,8% 5. 0,25 ~ 25% 6. 0,056 ~ 5,6% 7. a) 0,865 ~ 86,5% b) 0,336 ~ 33,6% 8. a) 0,30 ~ 30% b) 0,045 ~ 4,5%