Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.

Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010.......................... 4 1. Číselná osa................................. 4 2. Úpravy algebraických výrazů....................... 4 3. nerovnice.............................. 5 4. Úpravy algebraických výrazů....................... 6 5. Průběh funkce............................... 7 6. Logaritmická a exponenciální rovnice................... 8 7. Obsah čtverce............................... 9 8. Měřítko na mapě.............................. 9 9. Pravoúhlý trojúhelník (Pythagorova věta)................ 10 10. Kombinatorika.............................. 10 11. Algebraické rovnice............................ 11 12. Pravděpodobnost (neslučitelných jevů)................. 13 13. Trojčlenka a procenta........................... 14 14. Obvod kružnice.............................. 15 15. Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníku, sinová věta..... 16 16. Objem hranolu.............................. 17 17. Objem koule................................ 18 18. Graf lineární a kvadratické funkce.................... 19 19. Rovnice přímky v rovině......................... 21 20. Aritmetická posloupnost......................... 22 2

Obsah Státní maturita z matematiky VYŠŠÍ úroveň obtížnosti 24 MAGVD10C0T01 říjen 2010.......................... 24 1. Algebraické výrazy............................. 24 2. Algebraické výrazy............................. 24 3. Posloupnost, limita posloupnosti..................... 25 4. Logaritmická rovnice............................ 26 5. Pravoúhlý trojúhelník........................... 27 6. Válec a krychle............................... 28 7. Úprava algebraického výrazu....................... 28 8. Graf racionální lomené funkce....................... 29 9. Kružnice v rovině (početně = analytická geometrie)......... 30 10. Úloha o (společné) práci......................... 32 11. Goniometrické funkce........................... 33 12. Shodná zobrazení v rovině (středová a osová souměrnost, otočení).. 34 13. Stereometrie................................ 35 14. Úhel přímek = analytická geometrie................. 36 15. Geometrická řada............................. 37 16. Rovnost mnohočlenů........................... 38 17. Kombinatorika.............................. 39 18. Průměr a procenta............................ 40 19. Úroky (půjčka).............................. 41 20. Mocnina komplexního čísla........................ 42 21. Dělitelnost přirozených čísel....................... 44 3

Státní maturita z matematiky Úloha 1 2 3 = 8 12 ; 1 2 = 6 12 ; 5 6 = 10 12. Úloha 2 1. 2a 2 4 a 7 ( 8 a = a 2 2 4 7 ) 8 = a 16 4 7 8 = 5 8 a 2. 6b 1 2 b = (3 2 ) b 1 2 b = 3b2 3. (c 3 c) : (c 1) = c3 c c 1 = c.(c2 1) c 1 = c.(c + 1). (c 1) c 1 = c.(c + 1) = c 2 + c 4

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 3 x 5 2 2x + 5.2 x 5 4x + 10 x 10 15 3x : 3 5 x x 5; ) 5

Státní maturita z matematiky Úloha 4 1. s = 0,5(t + u).2 2s = 1.(t + u) 2s = t + u u 2s u = t t = 2s u 2. t = 1 2 z t 1 + z = 2 z t 1 = 2 z.t t.t } {{ 1 } = t.(2 z) 1 = t.(2 z) : (2 z) pro z 2 1 2 z = t 6

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 5 1. y(1) = 2 1 = 2 ; y(2) = 2 2 = 1. 2. 3. 1 2 = 2 x = 2 4 = pro x = 4 je y = 1 2. 7

Státní maturita z matematiky Úloha 6 1. log 1 000 + log x = 4 3 + log x = 4 3 log x = 1 log x = log 10 x = 10 protože rovnají-li se logaritmy o stejném základu, musejí se rovnat jejich argumenty. 2. 5 3.5 9 = (5 x ) 3 5 3+9 = 5 x.3 5 12 = 5 3x 12 = 3x : 3 4 = x x = 4 protože rovnají-li se mocniny o stejném základu, musejí se rovnat jejich exponenty. 8

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 7 P čtverce = a 2 ; a = AB ; P čtverce = a 2 2 = AB = AB = AB. AB ( AB. AB ) 2 = AB. AB AB= B A = (B x A x ; B y A y ) = ({0 ( 5)}; 5 2) = (5; 7) P čtverce = AB. AB= (5; 7).(5; 7) = 5.5 + ( 7).( 7) = 25 + 49 = 74 Obsah čtverce je 74 jednotek čtverečních. Úloha 8 1. 1 cm na mapě 0,5 km ve skutečnosti = 500 m = 50 000 cm Měřítko mapy je 1 : 50 000. 9

Státní maturita z matematiky Úloha 9 y = 300 x = 300 150 2 + 150 2 = 300 150 2.2 = 300 150 2. 2 = = 300 150. 2. = 90 Ušetříme přibližně 90 kroků. Úloha 10 A, B, C, D } {{ } 11, 12, 13,..., 44, 45 } {{ } 4 35 Lze vytvořit 140 (tj. 4 35) kódů. 10

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 11 1. 2x + 3 3 = 0.3 2x + 3 = 0 3 2x = 3 : 2 x = 3 2 11

Státní maturita z matematiky 3 2 ( ; 1) 1. A 2. x 3 x = 3.x x 3 = 3x + 3x + 3 4x = 3 : 4 x = 3 4 3 4 (0; 1 2. D 3. x 2 2x = 1 2.2x x 2 = x x 2 0 3. F 4. 3 2x 6 = 1 2.6 3 2x = 3 3 2x = 0 : ( 2) x = 0 0 ( 0,5; 0,5) 4. C 12

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 12 dívka = P(D) = 0,6 malá dívka = P(mD) = 0,4 malý chlapec = P(mCh) = 0,3 Označíme-li skupinu (množinu) velkých dívek V D, dětí co nejsou malými dívkami md, malých dětí md (chlapců nebo dívek), velkých chlapců V Ch a chlapců Ch, pak protože jde o jevy vzájemně neslučitelné (žádné dítě například není zároveň chlapcem a zároveň dívkou), platí: P(D) + P(Ch) = 1 (1) P(mD) + P(V D) = P(D) (2) P(mCh) + P(V Ch) = P(CH) (3) P(mD) + P(V D) + P(mCh) + P(V Ch) = 1 (4) 1. P(Ch) (1) = 1 P(D) = 1 0,6 = 0,4 = C 2. P(V D) (2) = P(D) P(mD) = 0,6 0,4 = 0,2 = A 3. P(md)=P(mCh) + P(mD) = 0,3 + 0,4 = 0,7 = F 4. P(mD) = P(Ch) + P(V D) (3,4) = 1 P(mD) = 1 0,4 = 0,6 = E 13

Státní maturita z matematiky Úloha 13 Označme instalace......... x Kč žaluzie........... x + 954 Kč celkem........... 2 650 Kč, pak: celkem = žaluzie + instalace 2 650 = (x + 954) + x 2 650 = 2x + 954 954 1 696 = 2x : 2 848 = x 2 560 Kč................... 100 % 848 Kč................... y % y = 100 848 2 650 = 32 % = D 14

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 14 O půlkružnice = 1 2 π d =. 1 3,14 28 = 43,96 = A 2 15

Státní maturita z matematiky Úloha 15 1. Goniometrické funkce pravoúhlého trojúhelníku cos 75 = 1 c 2 10.10 10 cos 75 = 1 2 c.2 20 cos 75 = c 5,18. = c = B 2. Sinová věta c sin(180 2 75 ) = 10 sin 75. sin 30 sin 30 c = 10 sin 75. c = 5,18 = B 16

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 16 V hranolu [dm 3 ] = P podstavy [dm 2 ] výška [dm] = 3 1 4 [litr = dm3 ] 0,5 výška = 3 4.2 výška = 3 2 [dm] výška = 15 cm = C 17

Státní maturita z matematiky Úloha 17 V koule (r) = 4 3 π r3 Při dvojnásobném poloměru: V koule (2r) = 4 3 π (2r)3 = 4 3 π 8r3 = 8 ( 4 3 π r3) Tedy: V koule (2r) = 8 V koule (r) = B 18

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 18 19

Státní maturita z matematiky f : y = 0,5x 2 f : y = 2 0,5x = E 20

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 Úloha 19 Obecná rovnice přímky je u y x+u x y +c = 0, kde směrový vektor u má souřadnice u = (u x ; u y ). Rovnice zadané přímky má tvar x + y + c = 0 = D Pokud by bylo požadováno i určení členu c, dosadili bychom do rovnice dané přímky souřadnice bodu A. V tomto případě to ale není nezbytně nutné. (0) + (2) + c = 0 2 + c = 0 2 c = 2 21

Státní maturita z matematiky Úloha 20 výpočtem Jedná se o rostoucí aritmetickou posloupnost, jejíž diference (rozdíl dvou sousedních členů, tj. rozdíl dvou následujících lichých čísel) je d = 2, kde a 9 = 23. Pro aritmetickou posloupnost platí: a n+1 = a n + d (1) a s = a r + (s r)d (2) součet prvních n členů s n = n 2 (a 1 + a n ) (3) 1. NE, protože ze zadání a tedy také ze vztahu (1) plyne, že rozdíl dvou následujících lichých čísel je 2. 2. ANO, protože ze vztahu (2) plyne: a 12 = a 9 + (12 9)d a 12 = 23 + 3 2 a 12 = 23 + 6 a 12 = 29 3. ANO, protože ze vztahu (2) plyne pro nejmenší člen a 1 posloupnosti: a 1 = a 9 + (1 9)d a 1 = 23 8 2 a 1 = 23 16 a 1 = 7 22

nižší úroveň obtížnosti MAGZD10C0K01 4. ANO, protože ze vztahů (3; 2) a předchozího výsledku pro součet čtyř nejmenších členů (prvních čtyř členů) plyne: s 4 = 4 2 (a 1 + a 4 ) s 4 = 2 {7 + [a 9 + (4 9) d]} s 4 = 2 [7 + (23 5 2)] s 4 = 2 (7 + 23 10) s 4 = 2 20 s 4 = 40 vypsáním členů posloupnosti a 1... 7 a 8... 21 a 2... 9 a 9... 23 a 3... 11 a 10... 25 a 4... 13 a 11... 27 a 5... 15 a 12... 29 a 6... 17 a 13... 31 a 7... 19... 23

Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179 45 = 9.(2.5).10179 45 = 2.(5.9).10179 45 = = 2. 45.10179 45 = 2.10 179 2. b = s 2 : t = (9.10180 ) 2 54.10 160 = 9. 9.102.180 3. 3.10200 = 6. 9.10160 2. 3 = 3.101+199 2 = 3.10.10199 2 = = 3. 2.5.10199 2 = 15.10 199 Úloha 2 (a 2 2) 2 4 = a4 4a 2 +4 4 a 4 + 2a 3 a 3 (a + 2) = a2 (a 2 4) a 3 (a + 2) = (a + 2) (a 2) a (a + 2) = a 2 a 24

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 3 1. 300n n 2 + 1 > 3 5 300n n 2 + 1 3 5 > 0 : 3 500n (n 2 + 1) 5(n 2 + 1) > 0 = n 2 + 500n 1 > 0 n 1,2 = 500 ± 500 2 4.( 1).( 1) 2.( 1) = 500 249 996 2 Tedy 499 členů posloupnosti je větších jak 3 5.. = / \ 499,998 0,002 = n (0,002; 499,998) [ ] 300n 2. lim n n 2 + 1 = l Hospital 300 = lim n 2n = +0 25

Státní maturita z matematiky Úloha 4 x log 4 x+1 = (x + 1) log 8 log (4 x+1 ) x = log 8 x+1 4 x(x+1) = 8 x+1 2 2x(x+1) = 2 3(x+1) 2x(x + 1) = 3(x + 1) 3(x + 1) 2x(x + 1) 3(x + 1) = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 Součin se rovná nule, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule. x + 1 = 0 = x 1 = 1 2x 3 = 0 = x 2 = 3 2 Dále jsme při řešení využili následujících vlastností logaritmů a mocnin. Mají-li se rovnat logaritmy o stejném základu, musejí se rovnat jejich argumenty. Mají-li se rovnat mocniny o stejném základu, musejí se rovnat jejich exponenty. 26

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 5 Označme y úhlopříčku BD. Potom: sin ϕ = d y sin ε = x y y = d sin ϕ y = x sin ε = d sin ϕ = x sin ε x = d sin ε sin ϕ 27

Státní maturita z matematiky Úloha 6 V krychle = a 3 V válce = π.r 2.v V krychle = V válce a 3 = π.5 2.4 cm 3 a = 3 100π =. 6, 8 cm Úloha 7 y = x + 2 x + 3.(x + 3) y(x + 3) = x + 2 xy + 3y = x + 2 3y x xy x = 2 3y x(y 1) = 2 3y : (y 1) pro y 1 x = 2 3y y 1 28

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 8 1. f(x) = y = 1 1 x + 3 = x = 0 y = 2 3 y = 0 1 = 1 x + 3 x + 3 = 1 x = 2 Průsečíky s osami souřadnic jsou body [0; 2 ] a [-2; 0]. 3 2. graf funkce f(x) 29

Státní maturita z matematiky Úloha 9 Náčrtek Střed S = A + C 2 [ 4 + 4 = ; 0 + 4 ] = [0; 2] = S = [0; 2] 2 2 Poloměr jedna varianta Označíme r vzdálenost středu čtverce S od úsečky AB. Pro další výpočet nejprve určíme vektor AS = S A = (0 (-4); 2 0) = (4; 2) a vektor AB = B A = (2 (-4); -2 0) = (6; -2), přičemž symbolem AS označíme velikost vektoru AS. 30

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Z Pythagorovy věty plyne: r 2 2 ( ) = AS 1 2 ( ) 2 ( 2 AB = 42 + 2 2 1 ) 2 6 2 2 + ( 2) 2 = (16 + 4) [ 1(36 + 4)] = 4 = 20 10 = 10 = r = 10 Poloměr druhá varianta Označíme T = A + B [ 4 + 2 = ; 0 + ( 2) ] = [ 1; 1] 2 2 2 střed úsečky AB. Potom ST = ( 1 0; 1 2) = ( 1; 3) a poloměr je roven velikosti vektoru ST. r = ST = ( 1) 2 + ( 3) 2 = 1 + 9 = 10 = r = 10 Rovnice kružnice (x S x ) 2 + (y S y ) 2 = r 2 = x 2 + (y 2) 2 = 10 Parametrické rovnice kružnice } x = S x + r. cos ϕ pro ϕ [0; 2π] y = S y + r. sin ϕ { x = 10. cos ϕ y = 2 + 10. sin ϕ 31

Státní maturita z matematiky Úloha 10 Označme x počet výrobků vyrobených šestého dne. Pak příslušný den bylo vyrobeno: 1. den... 3x 4 2. den... 3x 4 3. den... 3x 4 4. den... 3x 4 5. den... 3x 4 6. den... x 7. den... x 8. den... x 9. den... x 10. den... x 11. den... x 12. den... x 13. den... x 14. den... x 15. den... x Celkem za 15 dnů bylo vyrobeno 5 3 x + 10x výrobků. 4 5 3 x + 10x = 2 200.4 4 15x + 40x = 8 800 55x = 8 800 : 55 x = 160 Za prvních 5 dnů bylo vyrobeno 5 3 160 výrobků. 4 Na prvních 5 dnů připadá 600 výrobků. 32

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 11 1. (cos x sin x) 2 = cos 2 x 2 cos x sin x + sin 2 x = 1 sin 2x = 1. C) 2. cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = [cos( x)] 2 + [sin( x)] 2 = [cos x] 2 + [ sin x] 2 = = cos 2 x + sin 2 x = 1 = 2. A) 3. 1 cos 2x = sin 2 x + cos 2 x (cos 2 x sin 2 x) = 2 sin 2 x = 3. D) 33

Státní maturita z matematiky Úloha 12 1. A R B ; E R I = 1. C) 2. D AB I ; G AB F = 2. A) 3. P α E ; O α C = 3. E) 34

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 13 = A) 35

Státní maturita z matematiky Úloha 14 1. využití směrových vektorů p : x 3 + y = 0 = p = (1; 3) q : x = 3 = q = (0; 1) jsou směrové vektory zadaných přímek. cos α = p. q p. q = 1.0 + ( 3).1 1 2 + ( 3) 2. = 0 3 = 3 0 2 + 1 2 1 + 3. 1 2 Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = 150 Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je: ϕ = 180 150 = 30 = D) 2. využití normálových vektorů p : x 3 + y = 0 = n p = ( 3; 1) q : x = 3 = n q = (1; 0) jsou normálové vektory daných přímek. cos α = n p. n q n p. n q = 3.1 + 1.0 ( 3) 2 + 1 2. 1 2 + 0 2 = 3 + 0 3 + 1. 1 = Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = 30 3 2 Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je tedy také: ϕ = 30 = D) 36

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 15 a n = 4n 1 = a 2 3n 1 = 41 1 2 3.1 = 40 2 = 1 3 8 ; a 2 = 42 1 2 3.2 = 41 2 6 = 4 64 = 1 16 ; a 3 =... q = a n+1 a n = a 2 a 1 = 1 16 1 8 = 1 16 8 1 = 1 2 s = a 1 1 1 q = 8 1 1 2 = 1 8 1 2 = 1 8 2 1 = 1 4 = D) 37

Státní maturita z matematiky Úloha 16 Jestliže má uvedená rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, musíme nejprve určit neznámé parametry b a m, které dané rovnici vyhovují. Přitom využijeme některý z následujících postupů, případně jejich kombinaci. Mají-li se rovnat dva mnohočleny, musejí se rovnat jejich koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x. Má-li rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, tím spíše musí platit pro zvolené konkrétní hodnoty. Tedy rovnost mnohočlenů v obou případech převedeme na soustavu rovnic. Rovnost koeficientů (x + m)(x 2) = x 2 + bx + 8 x 2 2x + mx 2m = x 2 + bx + 8 x 2 mx 2x 2m = bx + 8 u jednotlivých mocnin proměnné x (lineární a absolutní člen) (lineární člen) x 1 : m 2 = b (absolutní člen) x 0 : 2m = 8 m = 4 a po dosazení za m do předchozího vztahu určíme b = 6. Konkrétní hodnoty proměnné x pro dva parametry b a m stačí dvě vhodné x = 2 : 0 = 2 2 } + 2b + 8 b = 6 = B) x = 0 : 2m = 8 m = 4 38

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 17 A B C D E F } {{ } 6, 0 až 9 } {{ } 10 = 6.6.6 } {{ }. 10.10.10 } {{ } = 216.10 3 = E) písmena číslice 39

Státní maturita z matematiky Úloha 18 x zaměstanců je zařazeno do první skupiny s průměrným platem 45 000 korun y zaměstanců je zařazeno do druhé skupiny s průměrným platem 30 000 korun φ = 32 400 = plat 1. sk. plat 2. sk. { }} { { }} { 45 000.x + 30 000.y x + y } {{ } celkem zaměstnanců 32 400.(x + y) = 45 000 x + 30 000 y 2 400 y = 12 600 x : 600 4y = 21x.(x + y) Daná rovnice má nekonečně mnoho řešení, proto například volíme x = 4p. Pak y = 21p. Do druhé skupiny je (vyjádřeno v procentech) zařazeno = 21 p 25 p 100 = 84 % = C) y x + y 100 = 21p 4p + 21p 100 = 40

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 Úloha 19 Půjčka = 42 000 Kč ; 5 splátek po (à) 6 000 Kč = 30 000 Kč. Z toho 8 000 Kč představuje platbu úroků a 22 000 Kč bylo použito na umoření jistiny (splátku dluhu), protože: 42 000 5 6 000 + 8 000 = 20 000 Na platbu úroků [%] šlo úroky 8 000 100 = splátky 30 000 100 =. 26,6 % = B) 41

Státní maturita z matematiky Úloha 20 42

vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 [ z.(cos α + i. sin α)] 2 = i z = 1 1 2.(cos 2α + i. sin 2α ) = i. 1 Při výpočtu druhé mocniny komplexního čísla v goniometrickém (trigonometrickém) tvaru jsme využili Moivrovy věty (vzorce). Rovnají-li se dvě komplexní čísla, musejí se zároveň rovnat jak jejich reálné tak také jejich imaginární složky. Rovnice v komplexním oboru lze tedy nahradit soustavou dvou rovnic v reálném oboru. V našem případě: cos 2α = 0 sin 2α = 1 2α = 90 + k.360 α = 45 + k.180 = E) 43

Státní maturita z matematiky Úloha 21 n = } 22.{{.. 22} 52 28 1. Číslo je dělitelné čtyřmi, jestliže je jeho poslední dvojčíslí dělitelné 4. 52 je dělitelné 4 bezezbytku = Ano 2. Číslo je dělitelné osmi, jestliže je jeho poslední trojčíslí dělitelné 8. 252 není bezezbytku dělitelné 8 = Ne 3. Číslo je dělitelné devíti, jestliže je jeho ciferný součet dělitelný 9. Ciferný součet je: 29.2 + 5 = 63 a 63 je dělitelné 9 bezezbytku = Ano 1. Číslo je dělitelné šesti, jestliže je sudé a současně je jeho ciferný součet dělitelný 3. Číslo n končí číslicí 2, tedy je sudé. Zároveň ciferný součet čísla n je 63 a tento je dělitelný 3 bezezbytku = Ano 44