Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami, předpoládáme opaovatelnost pousu, jednotlivá opaování se neovlivňují Náhodný jev: tvrzení o výsledu pousu, lze určit jeho pravdivost náhodné jevy A,B,C,D, (Př.A...padnutí šesty, B narození chlapce) negace A Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charater prognóza diagnoza účinnost léčby Počet pravděpodobnosti je záladem indutivní statistiy zobecnění směrem od výběru populaci nejistota; hladina významnosti, p-hodnoty, intervaly spolehlivosti Relativní četnost, pravděpodobnost podobnost předpoládáme opaování pousu, sledujeme výsledy: A, A, A, A, A, A, A, A, A, A jev nastal mrát z n pousů Relativní četnost výsytu jevu A: m / n Pravděpodobnost jevu A číslo, teré je mírou častosti výsytu A lim n m n
8155 Přílad Sledujeme náhodný jev narození chlapce v závislosti na rostoucím počtu novorozenců. ABSOLUTNÍ ČETNOST m počet narozených chlapců RELATIVNÍ ČETNOST m/n počet narozených chlapců celovému počtu novorozenců (často se udává v %) Počet novorozenců n Absolutní četnost m Relativní četnost m/n 1 1 1 2 1 0,50 3 2 0,66 4 2 0,50 5 2 0,40 6 3 0,50 Pravidla pro počítání většinou sledujeme nioli jeden jev, ale více jevů a zajímají nás jejich vzájemné vztahy C(A, A a B nastanou současně D(A nebo nastane alespoň jeden z jevů A a B A nebo + - A, Záladní vlastnosti pravděpodobnost jistého jevu je rovna 1 pravděpodobnost nemožného jevu je 0 pro libovolný A platí 0 1 lze-li A rozložit na něoli vzájemně se vylučujících (disjuntních) jevů A 1,, A, pa A 1 ) + + A ) je-li A částí B, pa Jevy neslučiteln itelné,, opačné A a B jsou neslučitelné, dyž nemohou nastat oba současně, neboli A,0 A nebo + pravidlo o sčitání pravděpodobností obecněji: nechť A 1, A 2,..., A vzájemně neslučitelné, jev D(A 1 nebo A 2 nebo A ) D) A 1 ) + + A )ΣA i ) opačný (doplňový) jev jevu A (značíme nastává právě tehdy, dyž A nenastává 1-
Přílad A narození chlapce, 0,51 A... narození dívy, 1-0,491 Přílad: hod ostou Mějme 3 vzájemn jemně neslučiteln itelné jevy: A padne 1, B padne 3, C padne 5 D padne liché číslo, D(A nebo B nebo C) D)++C) 1/6+1/6+1/60,5 Nezávislost jevů Jevy A a B nezávislé, dyž výsyt jednoho neovlivňuje výsyt druhého P ( A pravidlo o násobení pravděpodobností P ( A, P ( B obecněji: A 1, A 2,..., A nezávislé, C(A 1, A 2,..., A ) P ( C) A1) A2)... A) Podmíněná pravděpodobnost podobnost pravd. nějaého jevu často závisí na tom, zda nastal jev jiný; nastal-li B může se změnit podmíněná pravděpodobnost jevu A za předpoladu, že nastal jev B P ( A A, Přílad A zvýšený cholesterol, B ouření 37/1400,2643 98/1400,7000 A, 31/140 0,2214 A 0,2214 / 0,7000 0,3163 A A a B nejsou nezávisl vislé Přílad: hod ostou A v v 1.hodu 6, B ve B 2.hodu 6 A,(1/6)(1/6)1/360,0278
Pravidlo o úplné pravděpodobnosti podobnosti jevy B i (i1, 2,,) vzájemně neslučitelné a jeden z nich musí nastat P ( B1neboB 2nebo... nebob) 1 i 1 A(A,B 1 ) nebo (A,B 2 ) nebo nebo (A,B ) A, i 1 i 1 A Bayesův vzorec známe apriorní pravděpodobnosti B i ) i1,..., známe podm. pravděpodobnosti A B i ) i1,..., zajímá nás aposteriorní pravděp. B j B j A Bj) Bj) i 1 A A úraz, zajímá nás s Přílad 3 supiny osob rozdělěné dle věu: v B 1 dítě,, B 2 osoba v reprod.v.věu, B 3 osoba v postreprod.v.věu, B i... vzájemn jemně neslučiteln itelné,, 1 musí nastat B 1 )+B 2 )+B 3 )0,25+0,60+0,151 Přílad A osoba je uřá,, zajímá nás s B 1 osoba s chron.. bronchitidou, B 2 osoba bez chron.bronchitidy, B 1 )0,40, B 2 )0,60 navíc c známe podmíněné pravděpodobnosti: podobnosti: A B 1 )0,75; A B 2 )0,50 navíc c známe podmíněné pravděpodobnosti: podobnosti: A B 1 )0,2; A B 2 )0,1; A B 3 )0,4 A B 1 ) B 1 ) + A B 2 ) B 2 ) + A B 3 ) B 3 ) 0,20*0,25 + 0,10*0,60 + 0,40*0,15 0,17 B 1 A B1) B1) A B1) B1) + A B 0,75*0,40 0,75*0,40 + 0,50*0,60 2 ) B 2) 0,50
BAYESOVSKÝ PŘÍSTUP SKRÍNINGOVÝ T + - NEMOC D + - a c b d CELKEM a + b c + d CELKEM a + c b + d n NESPRÁVNÁ NEGATIVITA A NESPRÁVNÁ POZITIVITA NESPRÁVNÁ NEGATIVITA (FN) je pravděpodobnost T - /D + ) negativního výsledu testu u nemocných FN c / (a + c) NESPRÁVNÁ POZITIVITA (FP) je pravděpodobnost T + /D - ) of pozitivního výsledu testu u osob bez nemoci FP b / (b + d) SENSITIVITA a SPECIFICITA Hodnocení diagnosticého či sríningov ningového testu pro deteci nemoci SENSITIVITA (SE) je pravděpodobnost P (T + /D + ) pozitivního výsledu testu u nemocné osoby SE a / (a + c) SPECIFICITA (SP) je proevděpodobnost T - /D - ) negativního výsledu testu u osoby bez nemoci SP d / (b + d) ALE: v linicé praxi nevíme, zda je nemoc přítomna p či i nioli; známe jen výslede testu a na jeho záladz ladě chceme prediovat přítomnost choroby... T+) musíme me na data nahlížet ve směru ru výsledů testu fi preditivní hodnoty
PREDIKTIVNÍ HODNOTY PREDIKTIVNÍ HODNOTA POZITIVNÍHO U je pravděpodobnost D + /T + ) výsytu nemoci v případě pozitivního výsledu testu PV + a / (a + b) PREDIKTIVNÍ HODNOTA NEGATIVNÍHO U je prevděpodobnost D - /T - ), že se nemoc nevysytne v případě negativního výsledu testu PV - d / (c + d) VZTAH MEZI SENZITIVITOU (SE), SPECIFICITOU (SP), PREVALENCÍ (P ()) A PREDIKTIVNÍMI HODNOTAMI (PV +, PV - ) VYPLYVAJÍCÍ ZBAYESOVA VZORCE PV + (SE. P ( D + )) / (SE.P ( ) + ( 1 - SP).(1-P () )) PV - (SP. (1-P ( D + )) / (SP.(1-P ( ) + ( 1 - SE).P () ) Preditivní hodnota pozitivního testu pomocí Bayesova vzorce T + ) ) T + ) T + ) ) + T + D ) D ) SE * ) SE * ) + (1 SP)*(1 ) )... apriorní předtestová pravděpodobnost podobnost D T+)... aposteriorní potestová pravděpodobnost podobnost D POZOR: pro SE0,95, SP0,95, )0,01 dostaneme PV+0,16 při sríningu obecné populace bude nevyhnutelně mnoho lidí nesprávn vně pozitivních ROC řiva řada diagnosticých testů je vantitativních ja stanovit dělící bod (cut-off point)? cíl: najít dělící bod ta, abychom dosáhli rovnováhy mezi FP a FN závěry (váhy nesprávných rozhodnutí) ROC řiva: spočteme SE a SP pro různé dělící body
Přílad POZITIVNÍ P0,8 RAKOVINA P0,012 0 0 OPERACE NEGATIVNÍ P0,2 NEGATIVNÍ P0,95 1 000 osob Bez RAKOVINY P0,988 0 POZITIVNÍ P0,05 0 OPERACE RAKOVINA P0,012 0 Bez U Bez RAKOVINY P0,988 0 Podíl šancí (Odds ratio) Podíl šancí (odds ratio) OR udává podíl šanci, že se vysytne nějaý jev A za určité podmíny (jev, šanci, že se jev A vysytne, dyž podmína neplatí (jev. Podíl šancí se tedy vypočte jao P0,45 P0,10 P0,45 P0,10 P0,90 NO. PERSONS 4,5 1,0 4,5 2,0 939 5,0 44 12 988 A B C C A B D C A přičemž A ZLEPŠENÍ B ÚMRTÍ OPERACE C ÚMRTÍRAKOVINA D ZHORŠENÍ PANKREATICKÉ INSUFICIENCE Šance Řeneme, že šance (odds) závodního oně na první místo vdostihovém závodě (jev je 1 u 4, znamená to, že ůň závod vyhraje spravděpodobností Abychom vyjádření pomocí šance převedli na vyjádření pomocí pravděpodobnosti, sečteme vlastně čísla 1 + 4 5 a dostaneme ta jmenovatel zlomu pro vyjádření pravděpodobnosti výhry, tj. 1/5. Pro libovolný náhodný jev A tedy platí: šance O( výsytu jevu A je Ř e n e m e - l i n a p ř í l a d Věrohodnostní poměr Věrohodnostní poměr (lielihood ratio) LR udává podíl pravděpodobnosti, že se vysytne nějaý jev A za určité podmíny (jev, pravděpodobnosti, že se jev A vysytne, dyž podmína neplatí (jev, tedy
Věrohodnostní poměr - přílad Má-li pacient náhlou ztrátu paměti (jev, chceme znát věrohodnostní poměr výsytu jevu A v případě, že má mozový nádor (jev, tj. podíl pravděpodobnosti, s jaou ztráta paměti vzniá při nádoru mozu, pravděpodobnosti, s jaou vzniá v ostatních případech (jev. Věrohodnostní poměr jetedy podíl podmíněných pravděpodobností Věrohodnostní poměr Věrohodnostní poměr užíváme i při hodnocení sríningovýcha diagnosticých testů a ve forenzní genetice. Napřílad věrohodnostní poměr pozitivního sríningového testu je dán jao Podobně věrohodnostní poměr negativního testu spočteme jao Přílad Ve statisticé studii o raovině plic bylo zjištěno, že šance na výsyt raoviny plic (jev u uřáů (jev je 5 u 4 (5/4) a šance na výsyt raoviny uneuřáů (jev je 1 u 8 (1/8). Potom podíl šancí je což znamená, že šance dostat raovinu plic je 10x větší uuřáů než uneuřáů.