ÚLOHY Z MECHAIKY I Jednoduché soustavy spojené vlákne Studijní text pro řešitele FO kategorie D a ostatní zájece o fyziku Obsah Jan Prachař a Jaroslav rnka Úvod 1 Zákon síly 3 1.1 ewtonovy pohybové zákony................... 3 1. ěkteré typy sil........................... 5 1..1 íhová síla......................... 5 1.. orálová tlaková síla................... 5 1..3 řecí síla.......................... 6 1..4 ahová síla vlákna..................... 6 Příklad 1 výtah.......................... 7 Příklad do kopce........................ 8 Mechanické soustavy 9.1 akloněná rovina.......................... 9 Příklad 3 osaocené těleso na nakloněné rovině........ 11 Příklad 4 nakloněná rovina pokrytá srstí............ 14. Kladky................................ 15 Příklad 5 pevná kladka..................... 17 Příklad 6 volná kladka...................... 18 Příklad 7 dvě kladky a tři tělesa................ 19.3 Soustavy s nakloněnou rovinou a spojené vlákne....... 0 Příklad 8 nakloněná rovina s kladkou.............. 0 Příklad 9 dvě nakloněné roviny................. 1 Příklad 10 kvádr na klínu.................... 3 3 Úlohy 6 Výsledky úloh 30 Literatura 35
b) Po číselné dosazení a =0, s, 1 =3,7 k, =11,5 k. Soustava bude zrychlovat. 14. a) A Zrychlení tělesa o hotnosti M orientujee dolů a a zrychlení tělesa o hotnosti orientuje nahoru. Poto pro souřadnice platí tahová síla vlákna je a =4A = 4(M 4) 16 + M g =3,6 s, = 5Mg 16 + M =67. ěleso o hotnosti M bude zrychlovat sěre dolů, druhé těleso bude zrychlovat nahoru. b) Soustava bude v rovnovážné stavu, pokud M/ =4. 1 Zákon síly 1.1 ewtonovy pohybové zákony V úvodu jse zínili, že se budee zabývat jednoduchýi echanickýi soustavai těles. V této kapitole si zopakujee pohybové zákony, kterýi se tato tělesa řídí. Abycho ohli soustavy těles nějaký způsobe popsat, usíe si vybrat vztažnou soustavu, ze které se na ně budee dívat. Většinou volíe pozorovatele, který stojí na povrchu Zeě. V této soustavě zavádíe souřadnice, které jednoznačně popisují polohu každého tělesa. Pro forulaci pohybových zákonů nevystačíe se saotnou znalostí polohy tělesa. Využijee také vektorové veličiny rychlost v a zrychlení a. V našich soustavách bude ít zrychlení konstantní velikost a konstantní sěr stejný nebo opačný jako okažitá rychlost. Poto pro vektor rychlosti v platí = v v 0 a + t, v kde 0 je počáteční rychlost (rychlost v čase t =0s).Uvedeevztahyipro velikost rychlosti v adráhus, kterou těleso urazí. Zde je však třeba rozlišit rovnoěrně zrychlený a rovnoěrně zpoalený pohyb. Rovnoěrně zrychlený pohyb zrychlení á stejný sěr jako okažitá rychlost Rovnoěrně zpoalený pohyb zrychlení á opačný sěr než okažitá rychlost v = v 0 + at, s = s 0 + v 0 t + 1 at, v = v 0 at, (1) s = s 0 + v 0 t 1 at, () kde v 0 je velikost počáteční rychlosti a s 0 je počáteční dráha (dráha, kterou těleso urazilo před tí, než jse začali ěřit čas). Víe, že zrychlení tělesa je způsobeno vzájený působení s ostatníi tělesy. oto působení popisujee silou, což je vektorová fyzikální veličina. Pokud řeknee, že na těleso působí síla F, yslíe tí, že na těleso působí okolní tělesa a toto působení popisujee silou F. Zákon, který uvedee dále, nebude platit pro všechny pozorovatele. Používat ho budou oci jen ti, kteří se nacházejí v inerciálních vztažných soustavách. V našich příkladech budee používat téěř výhradně tzv. laboratorní soustavu, tj. soustavu pozorovatele stojícího na povrchu Zeě. ato soustava není ve skutečnosti přesně inerciální vlive rotace Zeě. Pokud ovše jako sílu, kterou působí Zeě na tělesa na své povrchu, uvažujee tíhovou sílu (vektorový součet gravitační a odstředivé síly) ísto gravitační síly a neprovádíe velice přesná ěření, ůžee ji za inerciální považovat. 34 3
8. a) Velikost tahové síly vlákna, na které visí těleso o hotnosti, označíe 1, velikost tahové síly druhého vlákna označíe, zrychlení levého tělesa a je 1, pravého tělesa (a pravé volné a kladky) alevévolné a kladky k (viz obr. 39). Pohybové rovnice obou těles, rovnice rovnováhy sil na volné kladce a rovnice obou vláken jsou a 1 = g 1, Ma = Mg + 1 +, 1 =, a k + a = 1 a 1, a k = a. této soustavy dostáváe a = 4 M M +16 g. b) Soustava bude v rovnovážné stavu, pokud M =4 =40kg. 9. a člověka a na výtah působí sěre dolů tíhová síla o velikosti =(M + )g. ahoru působí síla o velikosti F (lano tahá kabinu silou velikosti F, na člověka působí reakce o velikosti F ). apiše si pohybovou rovnici výtahu (zrychlení orientujee nahoru) (M + )a =F (M + )g, odtud dostáváe a = F M + g. a k 1 1 1 a 1 F F 1 1 Obr. 39 Mg Obr. 40 10. a) Soustava se saa dá do pohybu, pokud pro sklon roviny platí tg > f 01 + f 0 3 >. M 1 F g a a jedná o rovnici vektorovou. Ve skutečnosti to tedy není rovnice jedna, ale tři pro každou souřadnici zrychlení jedna: a x = F x, a y = F y, a z = F z, (4) kde F x, F y a F z jsou souřadnice výslednice sil (viz obr. 1). Při řešení úloh poocí ewtonových rovnic je vhodné využít silový diagra. Do obrázku echanické soustavy, ve které se nachází popisované těleso, zakreslíe poocí šipek všechny síly F, které na naše těleso působí. Z tohoto diagrau již poto snadno určíe výslednici všech sil. Znáe-li hotnost tělesa, je už snadné poocí (3) určit hledané zrychlení. Kapitolu uzavřee poslední ewtonový pohybový zákone, který využijee při řešení pohybu soustavy těles. Při vzájené dotyku dvou těles vznikají zároveň dvě síly. Silou F AB působí první těleso na druhé a silou F BA působí druhé těleso na první. Podle třetího ewtonova pohybového zákona ají tyto síly stejnou velikost a opačný sěr F AB = F BA. (5) Jednu sílu nazýváe akcí a druhou reakcí, ke každé síle najdee její reakci. Důležité je si uvědoit, že akce a reakce působí na různá tělesa, neohou se tedy vzájeně vyrušit. 1. ěkteré typy sil 1..1 íhová síla íhovou silou budee rozuět sílu, kterou působí Zeě na tělesa na své povrchu. íhovou sílu určujee podle vztahu = g, kde g je vektor tíhového zrychlení, který sěřuje vždy svisle dolů. Je to zrychlení tělesa padajícího volný páde bez odporu vzduchu. Ve všech příkladech počítáe s velikostí tíhového zrychlení g =9,81 s. 1.. orálová tlaková síla orálová síla je síla, kterou na zakouané těleso působí jiné těleso, pokud je s ní ve vzájené dotyku bez tření (viz obr. ). Říkáe jí norálová, protože působí vždy kolo na povrch tělesa ve sěru norály. 5 zkouané těleso Obr.
Výsledky úloh 1. Perioda pohybu je d = g sin =0,90 s.. a) a konci svahu dosáhne lyžař rychlosti hg(sin f cos ) v = =11 s 1 =40k/h. sin b) A na rovině dojede do vzdálenosti s = h(sin f cos ) f sin =63. 3. ěleso se dostane do počáteční polohy za dobu ( h 1 t = g sin + 1 ) =7, s. sin β 4. Označíe-li a velikost zrychlení traktoru, dostanee F =( 1 + )a + F t = 400. 5. Zeě se dotke kostka o hotnosti za dobu h( 1 + ) t = =,1 s. g( 1 ) 6. Zrychlení všech těles orientujee dolů, pro jejich souřadnice pak vychází a 1 = g 4g 1+ 1 +4 1 M = 17 3 g, a = g prostřední těleso á souřadnici zrychlení A = g 8g 4+ M 1 + M = 7 3 g. 4g 1+ +4 1 M = 3 3 g, Ve všech úlohách budee předpokládat, že jsou vlákna nehotná a nepružná, yslíe tí, že jejich hotnost je nohe enší než hotnosti těles a že jejich délka je neěnná. Za těchto předpokladů platí =, (8) a to i v případech, kdy se tělesa pohybují se zrychlení, nebo kdy je vlákno vedeno přes nehotné kladky, které se ohou otáčet bez tření (Jinak by se kladky otáčely s nekonečně velký úhlový zrychlení, protože ají nulový oent setrvačnosti). Příklad 1 výtah Obr. 5 S jaký největší zrychlení se ůže pohybovat kabina výtahu, jestliže její hotnost při plné zatížení je 500 kg a axiální povolené zatížení lana je 7500? akreslíe silový diagra. a kabinu výtahu působí tíhová F síla G g = a tahová síla lana.předpokládeje, že kabina zrychluje dolů nebo zpoaluje při pohybu nahoru (viz obr. 6), a použije pohybový zákon (4) pro svislé souřadnice a = g = g a. Obr. 6 a Obr. 7 Pokud kabina zrychluje nahoru nebo zpoaluje při pohybu dolů (viz obr. 7), poto platí a = g + = g + a. Vidíe tedy, že větší zatížení lana je při zrychlování kabiny vzhůru, při zrychlování dolů se naopak zatížení snižuje. Při nulové zrychlení je lano napínáno silou = 4900 < ax. Dolů tedy ůže výtah zrychlovat libovolně. Budee proto hledat největší ožné zrychlení kabiny vzhůru, při které není překročeno povolené zatížení a g + ax a ax = ax g =5, s. a 30 7
9. Výtah na ruční pohon Měje výtah o hotnosti M, který je pověšen na laně přes pevnou kladku. Za druhý konec lana tahá silou o velikosti F člověk, který stojí v ono výtahu. Jeho hotnost je. Určete zrychlení výtahu. Obr. 33: K úloze 9 Obr. 34: K úloze 10 1 Obr. 35: K úloze 11 10. Spojená tělesa a nakloněné rovině jsou dvě tělesa o hotnosti =,0 kgspojenávlákne. Součinitel klidového a sykového tření ezi dolní, resp. horní tělese a nakloněnou rovinou je f 01 =0,30 a f 1 =0,0, resp. f 0 =0,50 a f =0,40. a) Co usí platit pro sklon nakloněné roviny, aby se soustava saa dala do pohybu? b) Určete zrychlení soustavy, je-li =30. c) Určete velikost tahové síly vlákna pro stejný sklon nakloněné roviny jako v b). 11. a hraně stolu ěleso, které leží na stole, je přes kladku spojeno s tělese, které volně visí. Hotnost prvního tělesa je 1, hotnost druhého je asoučinitel klidového a sykového tření ezi první tělese a stole je f 0 a f. a) Rozhodněte, pro jaké hodnoty f 0 se soustava saa začne pohybovat. b) Určete zrychlení soustavy. 1. Kvádr a dvě krychle Máe dánu soustavu podle obr. 36, která je na počátku v klidu. Součinitel klidového tření ezi stole a krychlí je f 0. Určete, jakou hotnost M Mechanické soustavy Jak jistě víte, příroda je veli koplikovaná a nikterak ná neulehčuje naši snahu ji pochopit. Ani fyzika neuí přírodu popsat celou, ale vybírá si dílčí probléy, které uí vyřešit. V této kapitole budee studovat nejjednodušší echanické soustavy. ělesa budou konat posuvné pohyby z klidu nebo s počáteční rychlostí v hoogenní tíhové poli Zeě. V úlohách zpravidla půjde o určení zrychlení jednotlivých těles a velikostí sil, kterýi jsou při pohybu napnuta vlákna soustavy. Při řešení úloh budee používat veličinu a, která nebude it význa velikosti zrychlení a, ale bude chápána jako souřadnice zrychlení vzhlede k jeho předpokládanéu sěru, který je vyznačen na obrázku. Může tedy nabývat kladných i zaporných hodnot podle toho, zda skutečný sěr a souhlasí s předpokládaný, vyznačený na obrázku, nebo ne..1 akloněná rovina Možná jste už někdy stáli na kopci a přeýšleli, za jak dlouho by se dalo nejrychleji dostat dolů do údolí. V obecné případě je to téěř neřešitelná úloha, ale pokud uděláe jisté zjednodušující předpoklady, ůžee se k nějakéu výsledku dopracovat. A zde je hranice ezi skutečností a fyzikální odele. Předpoklady tohoto odelu jsou v přírodě splněny jen přibližně a volíe je tak, abycho zjednodušili výpočet a zároveň se příliš nevzdálili od skutečnosti. V této části textu se budee zabývat posuvný pohybe tělesa po nakloněné rovině. akloněnou rovinou rozuíe rovinu, která s vodorovný sěre svírá úhel, a tělese rozuíe kvádr o hotnosti. Položíe-li těleso na nakloněnou rovinu, působí na ně tíhová síla a reakce nakloněné roviny R. Ostatní síly (například odpor vzduchu) zanedbáváe a uvažovat je nebudee. Působiště tíhové síly je v těžišti tělesa a její vektor sěřuje svisle dolů. Vektorová příka reakce R prochází těžiště tělesa (viz obr. 9), jinak by síla R ěla otáčivý účinek a těleso by neohlo být v rovnováze nebo konat posuvný pohyb. Síly a R rozložíe do dvou sěrů rovnoběžného s nakloněnou rovinou a kolého na nakloněnou rovinu (viz obr. 9). Průět síly do rovnoběžného sěru označuje F 1 adokoléhof. Pro jejich velikosti platí F 1 = sin = g sin, F = cos = g cos. (9) Složka reakce R kolá na nakloněnou rovinu je norálová síla, složkarovnoběžná s nakloněnou rovinou je třecí síla F t tapůsobíprotisěruokažité rychlosti. Síla působí vždy proti síle F a navzáje se kopenzují (pokud 8 9
3 Úlohy 1. Periodický pohyb ěleso o hotnosti = 0,0 kg leží na nakloněné rovině ve vzdálenosti d =0,50 od zarážky (viz obr. 6). Vypočítejte periodu jeho pohybu, je-li =30. Předpokládejte, že odraz je dokonale pružný a tření neuvažujee, neboť třecí síla je alá.. Dojezd na rovinu Lyžař sjíždí kopec o výšce h = 10 a úhlu stoupání =15.Součinitel sykového tření ezi lyží a sněhe je f =0,10. a) Určete lyžařovu rychlost při přejezdu na vodorovnou rovinu. b) Vypočítejte, jak daleko lyžař dojede na vodorovné rovině, než zastaví. d Obr. 6: K úloze 1 Obr. 7: K úloze 3 3. Dvě roviny Měje dvě nakloněné roviny. První á úhel sklonu =30, druhá β =40. Malé těleso se na začátku nachází ve výšce h =5,0 na druhé nakloněné rovině. Vypočítejte, za jak dlouho se těleso opět dostane do počáteční polohy. ření je alé, proto ho neusíte uvažovat, přechod ezi nakloněnýi rovinai je plynulý. 4. Přibližování kenů Pokácené keny lesních stroů byly přibližovány k cestě traktore. Vzhlede k lesníu porostu bylo nutno použít pevné kladky podle náčrtku na obr. 8. Určete velikost tahové síly F traktoru, je-li hotnost kenu = 00 kg, hotnost traktoru 1 = 3000 kg a při rozjíždění udělil traktor kenu zrychlení g/0. řecí síla působící na ken á velikost 800. Obr. 8: K úloze 4 β než jse zvolili na obrázku. Pro popis pohybu potřebujee znát, jak bude záviset velikost rychlosti v a dráha s na čase. y určíe ze vztahů (1) a (). Vše si ukaže na jednoduché příkladu. Příklad 3 osaocené těleso na nakloněné rovině Měje těleso o hotnosti v klidu na nakloněné rovině, která svírá s vodorovný sěre úhel. Součinitel sykového tření ezi ní a nakloněnou rovinou označe f, součinitel klidového tření f 0. a) Určete, za jakých podínek zůstane těleso v klidu. b) V případě, že se těleso začne pohybovat, vypočítejte zrychlení a tělesa a určete, jak bude záviset rychlost a dráha na čase. c) V případě, že těleso zůstane v klidu, popište pohyb tělesa, pokud u udělíe počáteční v rychlost 0 rovnoběžnou s nakloněnou rovinou. a) ejdříve nakreslíe obrázek a do něj vyznačíe všechny působící síly, jejichž výslednice usí být nulová (obr. 10). Ve sěru kolé na nakloněnou rovinu působí síly F a, jejich rovnováhu vyjadřuje rovnice = F = g cos. (1) Ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou působí síly F 1 a F t,jejichrovnováhu vyjadřuje rovnice F t = F 1 F t = g sin. (13) Dobré je si uvědoit, že třecí síla neůže těleso saa o sobě uvést do pohybu, působí totiž vždy proti sěru pohybu, ať se těleso pohybuje jakkoli. Pro klidové tření jse uvedli vztah (7), ze kterého poocí rovnic (1) a (13) dostanee g sin = F t f 0 = f 0 g cos f 0 tg, což je hledaná podínka, při jejíž splnění zůstane těleso v klidu. b) ěleso se začne pohybovat, je-li f 0 < tg. akreslíe si obrázek, vyznačíe v ně působící síly a předpokládaný sěr zrychlení (obr. 11). Pohybovárovnice ve sěru kolé na nakloněnou rovinu ná podle (10) dává = F = g cos. (14) 6 11
pole F silou G, podložka, po které vozík jezdí, norálovou silou a konečně lano F silou. F Síla vzniká v důsledku ohybu lana na kladce. Přistupe nyní k sestavení pohybových rovnic. Zrychlení kvádru a označe azrychlenívozíkua. Pohybové rovnice pro kvádr ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou resp. ve sěru kolé k nakloněné rovině jsou a = g sin, a = g cos. Zde je nutné si uvědoit, že a 0, protože se klín ůže volně pohybovat narozdíl od pevné nakloněné roviny. Pro klín napíšee jen jednu pohybovou rovnici, a to ve vodorovné sěru, neboť ve svislé sěru se nepohybuje MA = sin + F x, kde F x značí velikost vodorovné složky F síly. Ve vodorovné sěru dle obr. 4 dostáváe F x = (1 cos ). F y F F x Obr. 4 A a a a Obr. 5 yní se dostáváe k obtížnější části řešení příkladu. Máe zatí čtyři rovnice pro šest neznáých a, a, A,, a F x. Budee k ni proto uset přidat další dvě rovnice, které dostanee z vazbových podínek pro pohyb kvádru. Pokud je hotnost klínu výrazně větší než hotnost kvádru, leží kvádr stále na klínu. Pohyb kvádru se tak skládá z pohybu klínu a pohybu konce lana, který se vzdaluje od kladky, jak se vozík přibližuje ke stěně. Vozík se pohybuje kestěněsezrychlenía. Protože je délka lana konstantní, vzdaluje se kvádr od kladky se A zrychlení stejné velikosti. Podle obr. 5 bude tedy platit a = A A cos, neboť od velikosti zrychlení A, se který se kvádr vzdaluje od kladky, usíe odečíst průět zrychlení vozíku do sěru a. Podobně a je dáno průěte zrychlení vozíku do sěru kolého na nakloněnou rovinu a = A sin. A =0 a v 0 F 1 R Obr. 1 F t F a v F 1 R Obr. 13 Pohyb tělesa závisí na hodnotě součinitele sykového tření f. (i) f<tg. Stejně jako v (17) ukážee, že a>0, F 1 >F t. ěleso tedy bude rovnoěrně zrychlovat dolů (viz obr. 11). (ii) f =tg. Podobně jako v (17) ukážee, že a =0,F 1 = F t. ěleso tedy bude klouzat rovnoěrný pohybe v dolů rychlostí 0 (viz obr. 1). (iii) f>tg. edya<0, F 1 <F t, zrychlení á opačný sěr než okažitá rychlost. ěleso bude při pohybu dolů rovnoěrně zpoalovat, dokud nezastaví (viz obr. 13). yní uvažuje, v že 0 sěřuje nahoru po nakloněné rovině. akreslíe obrázek (obr. 14), ve které vyznačíe předpokládaný sěr a zrychlení. řecí síla bude opět R působit proti F sěru pohybu, síla 1 naopak v působí stále stejný sěre. Protože při pohybu dolů působila ve sěru pohybu, teď bude F síla 1 F působit proti jeho sěru. 1 Pohybovou rovnici píšee s drobnýi zěnai F t a = F 1 + F t = F g sin + fgcos, a = g(sin + f cos ) > 0. (0) Zrychlení á opačný sěr než rychlost, těleso bude při pohybu nahoru rovnoěrně zpoalovat, dokud nezastaví. Obr. 14 F F t 4 13
první a druhé těleso (využijee vztahu sin (90 ) =cos) a rovnici pro vlákno a = F 1 + = g sin +, a = F 1 = g cos, a = a. Vyřešení soustavy dostanee a = a = 1 (cos sin ) > 0. Souřadnice zrychlení a je kladná, protože <45. Zrychlení á tedy předpokládaný sěr podle obrázku, soustava se bude pohybovat doprava (pokud by ná souřadnice zrychlení vyšla záporná, pohybovala by se doleva, a pokud by vyšla nulová, soustava by byla v rovnováze). a a F 1 90 1 F Obr. 1 a a F F 1 t 90 1 F F t Obr. a) yní jíž víe, jaký sěre se á soustava tendenci pohybovat, a ůžee podle toho do obrázku (obr. ) zakreslit třecí síly. Vyšetříe, kdy zůstane soustava v klidu. Piše proto rovnice silové rovnováhy pro obě tělesa 0= g sin + F t, 0=g cos F t. Pro klidovou třecí sílu platí (7), sečtení obou rovnic dostanee g(cos sin ) =F t + F t f 0 ( + )=f 0 g(cos +sin), odtud obdržíe hledanou podínku f 0 cos sin cos +sin. Po odrazu se situace zění (viz obr. 16). ěleso bude při pohybu nahoru rovnoěrně zpoalovat se zrychlení (0), pokud za f dosadíe f a = g sin + f g cos. ěleso bude zpoalovat dokud se nezastaví, tedy dokud nebude rychlost tělesa nulová. Ze vztahu (1) ůžee tento okažik určit, když dosadíe za v 0 počáteční rychlost v 1 azaa právě vypočítané zrychlení. Pro dobu do zastavení t bude platit 0=v = v 1 at t = v 1 a = gd(sin f1 cos ) g sin + f g cos Celková doba pohybu je poto dána součte t = t 1 + t. Možná se vá zdá tento příklad složitý. Uvědote si však, že jse při výpočtu nepoužili nic víc, než v první příkladě. Opět jse rozepsali všechny působící síly, vypočítali zrychlení, rychlost a dráhu. V těchto typech úloh proto není potřeba téěř nic složitého vyýšlet, ale řídit se pouze uvedený postupe výpočtu.. Kladky V další části našeho textu se budee zabývat soustavai hotných těles a kladek spojenýi svislýi vlákny a zavěšenýi u stropu. Ve všech příkladech budee kladky a vlákna považovat za ideální. Kladky budou nehotné a budou se oci otáčet bez tření. Vlákna budou také nehotná a navíc nepružná. Velikost tahové síly napínající vlákno bude tedy po celé jeho délce stejná. Rozlišujee dva typy kladek: a) pevné uchycené pevně ke stropu, b) volné zavěšené na svislých vláknech; jejich střed se ůže pohybovat ve svislé sěru. aší úkole bude nalézt zrychlení všech těles a tahové síly vláken. Pokuse se ukázat, jaký způsobe se á tento typ úloh řešit. a začátku si zforulujee postup řešení. 1. akreslíe obrázek soustavy. Označíe v ně volné a pevné kladky. Hotnosti těles budee značit, do obrázku zakreslíe všechny tíhové F síly G působící na tělesa. Vzájené působení těles a kladek se uskutečňuje poocí vláken a je popsáno tahovýi silai. ahová síla vlákna působí vždy sěre od tělesa a její velikost je pro obě spojená tělesa stejná. ahové síly budee značit. Všechny tahové síly vláken působící na tělesa a volné kladky vyznačíe do obrázku.. 15
ztoho a + a 3 = 4 g, a = g, a 3 = g. 1 3 Odečtení druhé a třetí rovnice od první a úpravou dostanee = 1 = 4g 1 + 1 + 4. 3 1 Odtud již snadno po úpravách pro souřadnice zrychlení obdržíe 8g a 1 = a k = 4+ 1 + g, 1 3 4g a = g 1+ +4, 3 1 4g a 3 = g 1+ 3 +4. 3 1 Vidíe, že i řešení příkladů s kladkai je více éně echanická záležitost. Pokud dodržíe všechna pravidla výpočtu, která jse forulovali na začátku, usíe dojít ke správnéu výsledku..3 Soustavy s nakloněnou rovinou a spojené vlákne V poslední kapitole našeho výkladu spojíe nově nabyté znalosti dohroady. Budee totiž řešit nakloněné roviny, na nichž jsou uístěny kladky. Protože všechna potřebná pravidla k výpočtu již byla řečena, přejdee hned k příkladů. Příklad 8 nakloněná rovina s kladkou Měje soustavu zobrazenou na obrázku 0. Rozhodněte, jaký sěre se bude soustava pohybovat za předpokladu, že byla na počátku v klidu, pokud znáte hotnosti 1, a úhel ezi nakloněnou a vodorovnou rovinou. řecí síla je alá, proto neuusíte tření uvažovat. Zvole a sěr 1 a a podle obrázku 0. Do obrázku pro zjednodušení zakreslíe jen ty síly, které ají pohybový účinek tíhovou F sílu G1 působící na visící těleso a F sílu 1, což je pohybová složka (rovnoběžná s nakloněnou rovinou) tíhové F síly G působící na ležící těleso. ahové síly působící na koncích vlákna Zde je třeba dodržovat tuto dohodu: Předpokládaný sěr zrychlení volné kladky orientujee dolů, je-li vlákno vedeno přes volnou kladku hore, a nahoru, je-li vlákno vedeno spode. Předpokládaný sěr zrychlení konce vlákna orientujee dolů, je-li konec vlákna zakončen shora dolů, a nahoru, je-li vlákno zakončeno zdola nahoru. Pevný konec vlákna á ovše zrychlení nulové. 6. yní již áe dostatek rovnic, abycho ohli soustavu vyřešit. eznáé jsou souřadnice zrychlení těles a kladek a velikosti tahových sil vláken, hotnosti těles znáe. Pokud souřadnice zrychlení vyjde záporná, znaená to, že skutečný sěr zrychlení je opačný, než jse vyznačili na obrázku. Začnee veli jednoduchý příklade, na které si ukážee, jak právě forulovaná pravidla použít. Příklad 5 pevná kladka Měje soustavu dvou těles s kladkou podle obrázku 17, která je na počátku v klidu. Hotnost prvního tělesa je 1 =,8 kg, hotnost druhého je = = 1,3 kg. Vypočítejte zrychlení těles a sílu, kterou je napínáno vlákno. Do obrázku zakreslíe tíhové, tahové síly a všechna zrychlení (obr. 17). Předpokládáe, že těžší těleso bude klesat a lehčí stoupat, což odpovídá naší zkušenosti. ahové síly na koncích lana označe. apiše pohybové rovnice obou těles podle (1), dáváe přito pozor na znaénka 1 a 1 = 1 g, a = g +. a 1 Obr. 17 V soustavě není žádná volná kladka, přistupe proto rovnou k bodu 5. Pro jediné vlákno, které je vedeno přes pevnou kladku, doplníe soustavu rovnicí a 1 = a. Protože vektory a 1 a a jse nakreslili opačný sěre, pro souřadnice platí a 1 = a. 1 a 1 0 17
Máe tak tři rovnice pro tři neznáé a 1, a a. Vyřešení dostanee a 1 = a = 1 g =3,6 s, = 1 g =17, 1 + 1 + ěžší těleso se bude skutečně pohybovat a zrychlovat dolů. Příklad 6 volná kladka a volné kladce je zavěšeno těleso o hotnosti = 60 kg. Volný konec vlákna je veden přes pevnou kladku a je na ně zavěšeno těleso o hotnosti 1 = = 0 kg. Vypočítejte zrychlení obou těles a tahovou sílu vlákna. Situace je znázorněna na obrázku 18, ve které jsou vyznačeny tíhové a tahové síly 1 a. Zrychlení volné kladky jse a označili k. apiše pohybové rovnice pro obě tělesa 1 a 1 = 1 g 1, a = g +. Rovnováha sil na volné kladce dává 1 1 1 =. Zbývá napsat rovnice pro obě vlákna. Pro první, které je napínáno silou 1, podle () platí a k = 1 (0 a 1) a k = 1 a 1 a pro druhé vlákno platí 1 1 a 1 a k a = a k = a. Obr. 18 Sestavili jse pět rovnic pro neznáé a 1, a, a k, 1 a. Jejich vyřešení obdržíe a 1 = ( 1 ) g =,8 s, a = 1 g = 1,4 s. 4 1 + 4 1 + Obě souřadnice zrychlení vyšly záporné, soustava tedy bude zrychlovat opačný sěre, než jse předpokládali. Volná kladka s těžší tělese bude 18 a k a 1 zrychlovat dolů. Vlákno je napínáno silou velikosti 1 = 3 1 g = 50. 4 1 + Příklad 7 dvě kladky a tři tělesa Měje soustavu se dvěa kladkai, jak je znázorněno na obrázku 19. Hotnosti těles jsou po řadě 1,, 3. Určete zrychlení každého tělesa a tahové síly vláken. akreslíe obrázek (obr. 19) a vyznačíe v ně tíhové a tahové síly a předpokládané sěry zrychlení těles a volné kladky. ahové síly ve vláknech označe 1 a podle obrázku, zrychlení volné kladky a je k. Pokračuje pohybovou rovnicí pro první těleso, na něj působí kroě tíhy tahová síla vlákna 1 1 a 1 = 1 g + 1, podobné pohybové rovnice ají i druhé a třetí těleso a = g, 3 a 3 = 3 g. V soustavě se vyskytuje volná kladka, síly působící na ni usí být v rovnováze 1 =. Druhé a třetí těleso jsou spojeny vlákne, které je vedeno přes volnou kladku, napiše pro něj rovnici dle () a k = 1 + a 3 ) a k = 1 (a + a 3 ). Druhé vlákno, které spojuje první těleso s (a volnou kladkou, á rovnici a 1 a = k a 1 = a k. Obr. 19 Dohroady áe šest rovnic pro šest neznáých a 1, a, a 3, a k, 1 a. Dosazení z posledních dvou rovnic do prvních tří dostanee 1 1(a + a 3 )= 1 g, a = g, 3 a 3 = 3 g, 19 a 1 1 1 1 1 3 a 3 a a k 3
. Do obrázku dále zakreslíe zrychlení každého a tělesa, jejich sěr odhadnee. Rovněž středu každé volné kladky přiřadíe a zrychlení k. 3. Úlohu řešíe tak, že pro každé těleso napíšee pohybovou rovnici pro svislou souřadnici zrychlení a tělesa a = F, (1) kde F je souřadnice výslednice sil působících na těleso. Určíe ji jako součet velikostí sil, přičež síly, které působí ve stejné sěru jako předpokládáný a sěr zakreslený na obrázku, vystupují v součtu s kladný znaénke, naopak síly, které působí proti a sěru, píšee se záporný znaénke. Síly, které na těleso působí, áe zakreslené v obrázku jedná se o tíhovou sílu a o tahové síly. 4. Jelikož je kladka nehotná, usí být vyslednice sil, které na ni působí, nulová. Jinak by se kladka pohybovala s nekonečně velký zrychlení. Pro každou volnou kladku proto píšee rovnici, která vyjadřuje, že vektorový součet tahových sil působících na kladku je nulový. 5. akonec ještě napíšee rovnici pro každé vlákno, která vyjadřuje, že vlákno je nepružné. Vlákno spojuje buď dvě tělesa, nebo těleso a střed kladky, nebo středy dvou kladek a nebo je jeho konec pevně upevněn. Při sestavování rovnice vlákna vycházíe z následujících tří pravidel a) Zrychlení obou konců části vlákna, které není vedeno přes žádnou kladku, ají stejnou velikost i sěr. b) Zrychlení částí vlákna na obou stranách pevné kladky ají stejnou velikost a opačný sěr. c) Jestliže na jedné straně volné kladky á vlákno a zrychlení 1 a na druhé straně a zrychlení, pohybuje se střed kladky se zrychlení a k = 1 1 + a ). () V případě, kdy je vlákno vedeno přes n volných kladek, ůžee (a kobinací těchto vztahů dostat obecnější pravidlo. Zrychlení konců vlákna označe a 1 a a, zrychlení středů volných kladek, přes které je vlákno vedeno, označe a k1, a k,...,a kn. Poto platí a k1 + a k + + a kn = 1 (a 1 + a ). (3) označíe a, podle (8) usí platit =. yní ůžee napsat pohybové rovnice pro obě tělesa a rovnici vlákna 1 a 1 = 1 g, a = g sin +, a 1 = a. Opět se jedná o soustavu tří rovnic o třech neznáých a 1, a,.prosouřadnice zrychlení dostanee a 1 = a = 1 sin g. 1 + F 1 a 1 Obr. 0 Soustava se bude pohybovat označený sěre, pokud bude a 1 > 0, neboli 1 g g sin > 0 1 > sin. 1 + Pokud platí 1 < sin, bude se soustava pohybovat opačný sěre. V případě rovnosti 1 = sin zůstane soustava v klidu. a závěr spoje všechny naše znalosti a vyřeše následující dva příklady. Příklad 9 dvě nakloněné roviny Měje soustavu dvou stejných těles spojených vlákne na dvou k sobě kolých nakloněných rovinách (viz obr. 1). Znáe hotnosti těles a úhel <45. a) Rozhodněte, pro jakou hodnotu součinitele klidového tření f 0 zůstane soustava v klidu. b) Určete, s jaký zrychlení se dá soustava do pohybu, není-li splněna podínka v úkolu a). Pokud řešíe složitější soustavy, neusí být na první pohled jasné, jaký sěr ají klidové třecí síly. a toto příkladě si ukážee jak postupovat. Budee uvažovat, že soustava je na počátku v klidu a nepůsobí na ni žádné třecí síly. akreslíe obrázek (obr. 1) a zakreslíe do něj pro zjednodušení pouze síly s pohybový účinke. Jedná se o složky tíhových F sil 1 F a 1 rovnoběžné s nakloněnou rovinou, tahové síly a (platí = ). Dále do obrázku zakreslíe předpokládané sěry zrychlení těles. apiše pohybové rovnice pro 1 a 1 16 1
Příklad 4 nakloněná rovina pokrytá srstí Měje těleso na nakloněné rovině, která svírá s vodorovný sěre úhel a dole je opatřena zarážkou. Při pohybu dolů á součinitel sykového tření hodnotu f 1, při pohybu nahoru f (to ůže být realizováno tak, že nakloněná rovina je pokryta kraví srstí). Počáteční vzdálenost tělesa od zarážky označe d. Určete, za jak dlouho po odrazu od zarážky se těleso zastaví, pokud je jeho počáteční rychlost nulová a odraz je dokonale pružný. Předpokládejte, že klidové tření je dostatečně alé, aby se těleso začalo pohybovat. v F a 1 F t d Obr. 15 a v F 1 F t Obr. 16 příkladu rozdělíe na dvě části. V první části vyřešíe pohyb sěre dolů po nakloněné rovině a ve druhé pohyb nahoru po odrazu od zarážky. Výpočet si zkrátíe tí, že použijee výsledky příkladu 3. Začnee nakreslení obrázku (obr. 15). Z předchozího příkladu víe, že se těleso začne podle (16) pohybovat dolů se zrychlení b) Soustava se dá do pohybu doprava, třecí síly ají stejný sěr jako v klidu, ůžee tak opět využít obrázek. Pohybové rovnice jsou (platí a = a) a = g cos + fgsin, a = g sin fgcos. Vyřešení dostanee vztah pro souřadnici zrychlení a = 1 [g(cos sin ) fg(cos +sin)]. Protože cos sin f<f 0 < cos +sin je a>0, soustava bude skutečně zrychlovat doprava. Sai si ůžete rozyslet pohyb soustavy, pokud ji udělíe počáteční rychlost doleva. Příklad 10 kvádr na klínu a obrázku 3 je soustava dvou těles. Kvádr o hotnosti, který je přivázán ke zdi ideální lane, leží v klidu na klínu o hotnosti M. ření ezi tělesy je nulové, klín je opatřen kolečky a pohybuje se bez odporu, kladka je nehotná a otáčí se bez tření. Určete zrychlení klínu. a = g sin f 1 g cos. a Pohyb sěre dolů popisují vztahy (18) a (19), pokud za f dosadíe f 1. Bude nás teď zajíat rychlost, se kterou těleso narazí na zarážku. Podle předpokladu příkladu se totiž těleso odrazí stejnou rychlostí zpět, tí tedy zjistíe jeho počáteční rychlost pro pohyb nahoru. Protože při nárazu je s = d, dostanee ze (19) pro dobu do nárazu d t 1 = g(sin f 1 cos ). Dosadíe-li tento vztah do (18), obdržíe rychlost nárazu v 1 = at 1 = gd(sin f 1 cos ). a a 1 Obr. 3 Začněe tí, že popíšee všechny síly, které na vozík ve tvaru klínu a na kvádr působí. Síly jsou znázorněny na obrázku 3. a kvádr působí tíhové pole F silou G1, vozík norálovou silou a lano tahovou silou. Podle zákona akce a reakce bude kvádr působit na vozík silou. Dále na vozík působí tíhové A F 14 3
R R Soustavu šesti rovnic pro šest neznáých ůžee přepsat na soustavu tří rovnic A(1 cos ) =g sin, A sin = g cos, F 1 F t a v MA = sin + (1 cos ). F 1 F t Vyřešení této soustavy pro A, a je jen otázkou běžných ateatických výpočtů, proto je nebudee uvádět. Vychází F F A = g sin M +(1 cos ), Obr. 10 Obr. 11 což je hledaná velikost zrychlení vozíku. Velikosti norálové síly a tahové síly, které působí na kvádr, jsou Pohybová rovnice v rovnoběžné sěru s nakloněnou rovinou á podle (11) tvar a = F 1 F t. (15) Velikost F sil 1 F a t určíe ze vztahů (10) a (6) a = g sin f, za velikost dosadíe z rovnice (14) a pro souřadnici zrychlení a dostanee = g cos = g sin M +(1 cos ), g(m + (1 cos )) sin M +(1 cos ). a = g sin fgcos a = g sin fgcos. (16) Využije podínku f<f 0 < tg, pro souřadnici zrychlení platí a>0, neboť a = g(sin f cos ) >g(sin tg cos ) =0. (17) Zrychlení á stejný sěr jako okažitá rychlost, těleso tedy bude rovnoěrně zrychlovat dolů. Pro velikosti sil z pohybové rovnice (15) dostáváe F 1 >F t. Velikost rychlosti a dráhu dopočítáe poocí vztahů (1) a () v = gt(sin f cos ), (18) s = 1 gt (sin f cos ). (19) c) Už víe, že těleso zůstává v klidu pro f 0 tg. Předpokládeje nejprve, v že 0 sěřuje dolů po nakloněné rovině. akreslíe obrázek (obr. 11). Pohybová rovnice je a = F 1 F t = g sin fgcos a = g(sin f cos ). 1 5
těleso nebude na nakloněné rovině nadskakovat a pokud se nakloněná rovina nebude oci saa pohybovat, což ovše zatí nebudee uvažovat). eď si ukážee, jak budee při řešení úloh postupovat. Pro přehlednost je postup rozdělen do několika bodů. 1. akreslíe přehledný obrázek a zhotovíe silový diagra. Vyznačíe v obrázku všechny působící síly F (tj. G, a případně tahové síly vláken) R a rozložíe je do sěru rovnoběžného s nakloněnou rovinou a do sěru kolého k nakloněné rovině.. Pokud zjišťujee, za jakých podínek zůstane těleso v R klidu, využijee 1. ewtonův pohybový zákon. Podle něj usí být výslednice sil působících na těleso nulová. apíšee tedy rovnice, které vyjadřují rovnováhu sil a ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou a ve sěru F kolé 1 F t na nakloněnou rovinu. a 3. Pokud určujee zrychlení tělesa, zakreslíe do F obrázku jeho předpokládaný sěr (obr. 9) a sestavíe pohybové rovnice podle. ewtonova pohybového zá- G F kona. Ve sěru kolé na nakloněnou rovinu bude rovnice vypadat takto Obr. 9 5. Pád těles na pevné kladce Uvažujte dvě kostky zavěšené na pevné kladce podle obr. 9. První z nich á hotnost 1 = =1,0 kg, druhá á hotnost =1,1 kg. Vypočítejte, za jak dlouho se druhá kostka dotkne zeě, je-li její počáteční výška nad zeí h =1,0. 6. Dvě pevné kladky Měje soustavu tří kladek podle obr. 30, která je na počátku v klidu. Určete zrychlení všech tří těles a tahovou sílu vlákna. U všech těles také určete sěr pohybu. Hotnosti těles jsou 1 =1,0 kg, =,0 kgam =5,0 kg. 1 h Obr. 9: K úloze 5 7. Dvě volné kladky Uvažujte soustavu kladek podle obr. 31, která je obtížnější variantou příkladu 7. Určete zrychlení všech čtyř těles a tahové síly vláken. a = F = F = cos, (10) neboť se těleso v kolé sěru k nakloněné rovině nepohybuje (a =0), obě síly jsou tedy v rovnováze. Ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou působí různé síly, píšee pohybovou rovnici a = F, (11) kde a je souřadnice zrychlení tělesa na nakloněné rovině a F je souřadnice výslednice sil působících ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou. uto výslednici určíe jako součet velikostí sil působících ve sěru rovnoběžné s nakloněnou rovinou, ale síly, které ají stejný sěr jako a, píšee v součtu s kladný znaénke a síly působící proti sěru a píšee se záporný znaénke. Z pohybových rovnic (10) a (11) vypočítáe souřadnici zrychlení tělesa a. Pokud vyjde záporná, bude ít těleso zrychlení ve sěru opačné, 1 M Obr. 30: K úloze 6 1 3 4 Obr. 31: K úloze 7 M Obr. 3: K úloze 8 8. Zaotané kladky Prostudujte si soustavu na obr. 3. a) Visí-li na levé konci lana závaží o hotnosti, vypočítejte zrychlení tělesa o hotnosti M. b) Určete hotnost pravého závaží M, které udrží v klidu levé závaží o hotnosti =10kg. 10 7
Příklad do kopce Osobní autoobil se rozjíždí po vodorovné silnici se zrychlení velikosti a v = =,0 s a při stálé stoupání se zrychlení velikosti a s =1,6 s. Vypočtěte úhel stoupání za předpokladu, že se tahová síla otoru ani valivý odpor nezěnily. Odpor vzduchu zanedbejte. usí visící kvádr, aby se soustava začala pohybovat na jeho stranu, pokud zbývající dvě krychle ají hotnost. a v F o a s F M 1 3 β F o F Obr. 8 akreslíe silové diagray na rovině i na kopci (obr. 8). ahovou sílu auta F označe a odporovou F sílu o. apiše si pohybovou rovnici auta na rovině pro vodorovné souřadnice podle druhého ewtonova zákona (4) a v = F F o. Pohybová rovnice auta jedoucího do kopce je a s = F F o g sin. Obě rovnice odečtee a vydělíe hotností auta, dostáváe sin = a v a s g. Obr. 36: K úloze 1 13. Pohyb soustavy se tření a obrázku 37 je znázorněna soustava tří těles, která se na počátku pohybuje zprava doleva. Určete její zrychlení a tahové síly vláken při hotnostech těles a) 1 =5,0 t, =,0 t, 3 =1,0 t b) 1 =15,0 t, =,0 t, 3 =1,0 t a hodnotě součinitele sykového tření f = 0,60. akloněné roviny ají sklon =40, β =50. 14. Kladkostroj a obrázku 38 je náčrtek kladkostroje, kde = =5,0 kgam =30kg. a) Určete sěr a velikost zrychlení obou těles a tahovou sílu vlákna. b) Jaký usí být poěr hotností těles M/,abyse soustava po počáteční ipulsu pohybovala bez zrychlení? Obr. 37: K úloze 13 M Obr. 38: K úloze 14 Po číselné dosazení vychází =,3, což odpovídá stoupání 4,0%. 8 9
apříklad pokud těleso spočívá na podložce, působí na něj podložka silou (viz obr. 3). Je-li podložka vodorovná, tak podle prvního ewtonova pohybového zákona je vektorový součet tíhové síly a norálové síly od podložky nulový a platí g =0 = g. Obr. 3 ělesa o hotnostech a M se budou pohybovat dolů, těleso o hotnosti 1 se bude pohybovat nahoru. ahová síla vlákna á velikost = 4g 1 + 1 + 4 1 M =17. 1..3 řecí síla V ístech dotyku těles neají obvykle síly vzájeného působení sěr kolý k povrchu těles zkouané těleso a vedle norálové tlakové síly vzniká F i síla tečná třecí síla t (viz obr. 4). Pokud je zkouané těleso při pohybu v dotyku s v jiný tělese, působí proti sěru jeho pohybu (nebo F zaýšleného pohybu) t tato třecí síla. apříklad když těleso posunujee po rovné podložce, působí proti jeho pohybu třecí síla, která je rovnoběžná s podložkou. řecí síla tedy působí na těleso proti sěru jeho okažité rychlosti vzhlede k podložce. Obr. 4 Obecně je tření jiné, je-li těleso vůči podložce v klidu nebo v pohybu. Proto zavádíe dva různé součinitele tření: součinitel sykového tření f třecí síla při pohybu á velikost F t = f (6) a součinitel klidového (statického) tření f 0 třecí síla v klidu á velikost F t f 0, (7) přičež je velikost norálové síly, kterou na těleso působí jiné těleso, se který je ve styku. Platí f<f 0. Podrobnější výklad o třecí síle a jiných odporových silách najdete ve studijní textu [7]. 1..4 ahová síla vlákna ělesa v soustavě těles ohou být vzájeně propojena vlákny, zajíat nás však budou jen ty případy, kdy budou vlákna napínána. Poto totiž vlákno zprostředkovává silové působení a vazbu ezi spojenýi tělesy. Sílu, kterou napnuté vlákno působí na těleso, nazýváe tahová síla vlákna. Pokud vlákno spojuje dvě tělesa, označe a síly, kterýi vlákno působí na tělesa na svých koncích. Síly a sěřují od tělesa a ají sěr vlákna (viz obr. 5). Porovnáe-li tyto výsledky s výsledky, ke který jse došli v příkladu 7, zjistíe, že jsou stejné. Soustavy na obrázcích 19 a 30 jsou tudíž ekvivalentní (tělesa o hotnostech 1, a 3 na obr. 19 odpovídají tělesů o hotnostech M, 1 a na obr. 30). apiše si ještě obecné podínky pro pohyb těles. ěleso o hotnosti 1 se bude pohybovat dolů, pokud 1 > 3 M 4 + M, těleso o hotnosti se bude pohybovat dolů, pokud > 3 1M 4 1 + M, a prostřední těleso se bude pohybovat dolů, pokud M> 4 1 1 +. 7. ahovou sílu levého vlákna označe 1, tahovou sílu pravého vlákna a tahovou sílu vlákna vedeného přes pevnou kladku označe.zrychlení všech těles orientuje dolů. Dostáváe 4g a 1 = g 1+ 1 + 1 +, 1 3 4 4g a 3 = g 1+ 3 + 3 +, 3 1 4 ahové síly ají velikosti 4g a = g 1+ + +, 1 3 4 4g a 4 = g 1+ 4 + 4 +. 4 1 3 3 8g = 1 = = 1 + 1 + 1 + 1. 1 3 4 6 31
Inerciální vztažné soustavy popsal ewton tí, že volný hotný bod se vůči ni pohybuje bez zrychlení (zůstává v klidu nebo se pohybuje rovoěrně příočaře). Volný hotný bode rozuěl hotný bod, na nějž nepůsobí silou žádné okolní hotné body, nebo výslednice těchto sil (vektorový součet) je nulová. Získáváe tak znáou forulaci 1. ewtonova zákona. Pokud výslednice sil, kterýi na hotný bod působí okolní tělesa, je nulová, pak tento hotný bod zůstává v inerciální vztažné soustavě v klidu nebo se pohybuje rovoěrně příočaře. ento zákon využijee při řešení statických úloh, kdy budee vyšetřovat, za jakých podínek zůstává hotný bod v klidu. z F =F1 +F b) Soustava zrychluje dolů po nakloněné rovině, velikost zrychlení je a = 1 ( sin (f 1 + f )cos)g =,4 s. c) ahová síla vlákna á velikost = 1 g(f f 1 )cos =1,7. 11. a) Soustava se začne pohybovat za předpokladu, že f 0 <. 1 b) Visící těleso zrychluje dolů, velikost zrychlení soustavy je a = 1 f g. 1 + 1. Kvádr usí ít hotnost F F 1 a x ay Fy a z a x Obr. 1 Fz Fx Při řešení dynaických úloh budee vycházet z. ewtonova pohybového zákona. Pro každé těleso konající posuvný pohyb platí a = F. (3) a levé straně je součin hotnosti tělesa a jeho zrychlení v inerciální soustavě. a pravé straně rovnice (3) je výslednice všech sil působících na těleso. V toto textu se naučíe přiřadit každéu tělesu tuto výslednici. Dosadíe-li na pravou stranu rovnice výraz, který vyjadřuje, na če výslednice u daného tělesa závisí, dostanee pohybovou rovnici tohoto tělesa. Musíe vědět, že se y M>(1 + f 0 ). 13. a) Velikost tahové síly levého resp. pravého vlákna označe 1 resp.. a Zrychlení soustavy orientujee ve sěru pohybu. Vychází a = 1(sin f cos ) f 3 (sin β + f cos β) g, 1 + + 3 1 = 1 3 g(sin f cos +sinβ + f cos β) 1 + + 3 + = 1 3 g(sin f cos +sinβ + f cos β) 1 + + 3 + po číselné dosazení + 1 g(sin f cos + f) 1 + + 3, + 3 g(sin β + f cos β f) 1 + + 3, a = 1,76 s, 1 =17,8 k, =9,5 k. Soustava tedy bude zpoalovat až do té doby, než zastaví. 4 33
Úvod ento text je určen k přípravě řešitelů Fyzikální olypiády na řešení jednoduchých úloh z echaniky, navazuje na učebnici fyziky pro gynázia [1]. Snaží se, aby čtenáři lépe pochopili chování echanických soustav pod vlive konstantních sil. ext je zaěřen na řešení úloh o jednoduchých soustavách těles spojených vlákne. Jedná se o soustavy kladek a na nich zavěšených závaží a o soustavy, jejichž součástí jsou kroě kladek a těles spojených vlákne ještě nakloněné roviny. Výklad je postaven zejéna na příkladech, přinese vá tedy jistou zručnost při řešení podobných úloh. a začátku každé kapitoly je stručný výklad teorie, pak následuje několik ukázkových příkladů, abyste do probléu dostatečně pronikli. a konci textu najdete úlohy k saostatnéu řešení, na kterých si ůžete vyzkoušet, jak dobře jste výklad pochopili, a procvičit si řešení zadaných úloh. Při řešení každé úlohy je třeba si pozorně přečíst text a vypsat si znáé a hledané veličiny. Rovněž si uvědoíe, za jakých zjednodušujících předpokladů úlohu řešíe. Úlohy vždy vyřešíe nejprve obecně, poto teprve dosadíe zadané číselné hodnoty a dopočítáe výsledek, který zaokrouhlíe na stejný počet platných číslic, jako ají hodnoty zadaných veličin. Pro kontrolu je vhodné běhe výpočtu dělat rozěrové kontroly, tj. zjišťovat, jestli obě strany rovnice ají stejný fyzikální rozěr (jednotku); tí se snáze vyvarujee chyb. Literatura [1] Bednařík, M., Široká, M.: Fyzika pro gynázia Mechanika. 3. vydání, Proetheus, Praha 001. [] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika, část 1 Mechanika. Vydání první, VU Brno nakladatelství VUIUM, Brno 000. [3] Kružík, M.: Sbírka úloh z fyziky. 3. vydání, SP, Praha 1978. [4] Ročenky Fyzikálního korespondenčního seináře Fykos z let 1994 004. Vyd. MFF UK, Praha 1995 004. [5] Štoll, I.: Svět očia fyziky. Proetheus, Praha 1996. [6] Vybíral, B.: Kineatika a dynaika tuhého tělesa. Knihovnička FO č. 31. MAFY, Hradec Králové 1997. [7] Vybíral, B., Zdeborová, L.: Odporové síly. Knihovnička FO č. 48. MAFY, Hradec Králové 001. 35