1. kapitola. Vnitřní síly v průřezu prostorového prutu. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Stavební mechanika 2.

Transkript

1 1. kapitola Stavební echanika Janek Faltýnek SI J (43) Vnitřní síl v průřeu prostorového prutu eoretická část: ) erinologie ejdříve bcho si ěli říci co se rouí pod poje prut. Jako prut se onačuje konstrukční prvek (liniového charakteru) jehož jeden roěr převládá nad ostatníi. Pokud áe spočítat vnitřní síl průřeu usíe si nejdříve definovat co je to průře. Průře je příčný ře prute. Každý prut ůžee odelovat jeho střednicí. Střednice je čára kterou vtvoříe pokud spojíe všechna těžiště všech průřeů prutu. V příkladu který bude následovat se jedná o nosník což není nic jiného než vnějšíi vabai podepřený prut. ) Vnitřní síl Otákou je co vlastně áe počítat. Vnitřní síl jsou síl které ůžee chápat dvěa působ. Zaprvé se tak onačují síl uvádějící do rovnováh každou oddělenou část prutu. Pak tto síl určíe podínek rovnováh na dané oddělené části prutu. ebo ůžee na vnitřní síl nahlížet tak že to jsou síl které vjadřují účinek jedné oddělené části na druhou. Výsledek pak určíe podínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřeu. C) Orientace vnitřních sil Musíe si dávat velký poor při avádění orientace vnitřních sil. eůžee si je volit jen tak jak se ná achce. Je na to speciální konvence. ejdříve si určíe lokální soustavu souřadnic kde osa je tečna ke střednici a bývající os jsou k ní norál. Poto avedee vnitřní síl jako na obrácích dole. akto vpadá kladně orientovaný M průře (kladné vnitřní síl orientované shodně se souřadnýi osai). Vidíe ho e sěru kladné poloos. Vnitřní síl prutu: V V V V norálová síla (působuje norálové napětí ve sěru norál k průřeu) V (Q ) posouvající síla V (Q ) posouvající síla M kroutící oent M ohbový oent ohbový oent Zde je náorněn áporně orientovaný 1 průře (kladné vnitřní síl orientované opačně než souřadnicové os).

2 Příkladová část: ní už se konečně dostáváe k výpočtu příkladu kde budee určovat velikost vnitřních sil ve třech průřeech prostorového nosníku. 5 4 C f a k/ k Je důležité určit stupně statické neurčitosti. Jelikož se jedná o tuhé těleso v prostoru definujee pro něj šest stupňů volnosti ( 6 ted tři posun a tři rotace neboli pootočení). aše tuhé těleso podpírá kvný prut který odebírá jeden stupeň volnosti tuhého tělesa ( ) objevuje se de pevný kloub v prostoru který odebírá tři stupeň volnosti ( ) a dva posuvné kloub v prostoru které odebírají každý jeden stupeň volnosti ( ). Obecný vorec pro výpočet stupně statické neurčitosti je: (kde je počet odebraných stupňů volnosti a je počet stupňů volnosti objektu) V naše případě je: ( ) 6 čehož vplývá že konstrukce je statick i kineatick určitá (pokud se nejedná o výjikový případ podepření) První věc kterou usíe vpočítat jsou vnější reakce. Zavedee si vhodně globální soustavu souřadnic* a předpokládané orientace reakcí ve vabách (de si orientaci volíe sai). Převedee účinek spojitého atížení na atížení náhradní břeene. * Os globální soustav souřadnic si ůžee volit kakoli (saořejě ortogonálně a pravotočivě) pak bude ale výpočet složitý. Podínk rovnováh b pak vedl na obecnou soustavu šesti rovnic o šesti nenáých. Výsledek bcho ískali například Gaussovou eliinační etodou nebo s poocí počítačového prograu.

3 g 4 f a k/ k 5 g F r 4 6 F r C 8 g D íže uvádí pro kontrolu výpočet velikosti a poloh náhradních břeen: Pro lineární spojité atížení: 5 4 Pro konstantní spojité atížení: 8 6 ní již áe vše připravené pro výpočet reakcí ve vnějších vabách Z výsledků je patrné že téěř všechn orientace reakcí jse předpokládali správně. Opačně orientované budou síl a. 3

4 ní už ůžee ačít počítat vnitřní síl. Začnee v průřeu. Před ačátke jakýchkoli výpočtů si usíe volit vhodný lokální souřadnicový ssté. Poto je na naše rohodnutí jakého btku prutu budee vnitřní síl počítat*. Obvkle se volí takový působ ab výpočet bl co nejjednodušší. Pro výpočet ůžee uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil. Vnější reakce si ůžee představit jako osaělé síl (oent). V naše případě bude nejlepší působe počítat rovnováhu na kratší btku prutu. f / ento průře je kladně orientovaný. ní bývá vřešit účinek konstantního spojitého atížení. F r f l F r 8 k s r l s r 4 8 k M V Mslí si že pro pochopení dané látk je lepší počítat podínk rovnováh ale usíe de nenáé 5 6 k V převádět na druhou stranu rovnic což ůže být časově víc náročné. aproti tou ekvivalence dostanee nenáé 56 k 8 rovnou rovnic be převodu. Volba působu ale ávisí na každé nás ( 56) 5 * Zění se výsledek vnitřních sil kdž budee počítat s druhý konce prutu? e neění. Vnitřní síl si ůžee představit jako akci a reakci což vplývá i obráku v úvodu. O pravdivosti tohoto tvrení se ůžete přesvědčit sai. 4

5 eď se ůžee podívat jak to bude vpadat s velikosti a orientacei vnitřních sil v průřeu. V 5 V M 4 6 k Pokud budee uvažovat stejnou orientaci lokální soustav souřadnic jako v předchoí průřeu bude se jednat o áporně orientovaný průře. Zde ůžete náorně vidět jak je jednodušší počítat enšího odděleného kusu prutu než e btku (výsledk ná ale usí v obou případech vjít stejně). 5 6 Zbývá ná vpočítat vnitřní síl v poslední průřeu. Opět bude výhodnější počítat enšího kusu odděleného prostorového prutu. Vsktuje se ná de ale lineární spojité atížení kterého poue část působí na náš oddělený prut. K výpočtu jeho účinku potřebujee určit velikost a působiště náhradního břeene. K tou usíe nát aiální hodnotu intenit spojitého atížení ( ) na naši část prutu. Celou situaci si ůžee převést do rovin a spojité atížení si představit jako lineární funkci. Ke jištění jejího předpisu ná stačí nát sěrnici a posunutí. f (l) k Obecný vorec lineární funkce je: f(l) k l q Velikost sěrnice jistíe poocí gonioetrické funkce tangens: k tan φ 476 Posunutí ískáe pokud do obecného vtahu dosadíe libovolný náý bod funkce ; : f C 7 l q q (toto jištění přío vplývá nanačeného grafu funkce vlevo) 5

6 Předpis který popisuje průběh lineárního spojitého atížení (které jse si vhodně uístili do volené soustav rovinných souřadnic) vpadá následovně: ( ) Jediné co bývá udělat pro ískání hodnot je dosadit a vdálenost 7.* ( 7) k 455 k 56 k f C k V M k V C Protože je v toto průřeu střednice jinak prostorově orientovaná než v předchoích avedee si nové lokální souřadnice. Průře je v toto případě ted kladně orientovaný. K výpočtu ná ještě chbí vpočítat velikost a polohu náhradního břeene. F r s r f l F r 7 k l sr ( 56) ( 56) ( 7 47) íto je celá úloha správně vřešena. * Daleko snáe bcho ohli vpočítat danou hodnotu podobnosti pravoúhlých trojúhelníků. 6