Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
|
|
- Zbyněk Špringl
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1
2 Přetvárná práce vnějších sil (1) F a b w w(b) Přetvárná práce v. s.: F df F dle Le d L e = F (w) d w, (1) L e = w 0 F (w) d w. (2) w dw w(b) 2
3 Přetvárná práce vnějších sil (2) Lineárně pružná odezva konstrukce: F F df dle Le w Clapeyronova věta: L e = 1 F w. (3) 2 dw w(b) 3
4 Přetvárná práce vnějších sil (3) Lagrangeova věta: Z (2) plyne: F = F (w) = d L e d w (4) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e u i, (5) 4
5 Přetvárná práce vnějších sil (4) Přetvárná práce vnějších sil L e : práce vnějších sil vykonaná v průběhu zatěžování. Komplementární přetvárná práce vnějších sil L e : práce nutná k tomu, aby působení síly F na dráze w mělo statický charakter (možno představit jako práci brzdící síly působící proti F na dráze w); práce nutná k navrácení konstrukce do nedeformované polohy. L e + L e = F w. (6) 5
6 Deformační energie (1) Příspěvek normálových napětí: σ dσ σ W* * dw dw W ε W σ = Wσ = ε 0 σ 0 σ(ε) d ε, (7) ε(σ) d σ. (8) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = Wε = γ 0 τ 0 τ(γ) d γ, (9) γ(τ) d τ. (10) 6
7 Deformační energie (2) Lineárně pružná odezva materiálu: σ W* Příspěvek normálových napětí: σ dσ dw* dw W ε W σ = W σ = 1 2 σ ε. (11) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = W ε = 1 2 τ γ. (12) 7
8 Deformační energie (3) Potenciální energie vnitřních sil (pro lin. pružnou odezvu materiálu): Π i = = 1 2 (13) V (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) d V. V maticovém zápisu: Π i = Π i = 1 2 V σt ε d V. (14) 8
9 Přímý prut (bez vlivu smyku) Normálové síly (σ = N A ): Π i,n = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l N 2 E A d x (15) Momenty (σ = M y I ): Π i,m = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l M 2 E I d x (16) Tedy: Π i = 1 2 l N 2 E A d x l M 2 E I d x (17) 9
10 Potenciální energie vnějších sil Potenciální energie vnějších sil (Π e ): a b F Π e = F w, (18) a pro obecné zatížení: F b w(b) Π e = n i=1 F i u i n j=1 d M j ϕ j c (19) q(x) w(x) d x. Obecný stav napjatosti tělesa: Π e = V XT u d V s pt u d S. (20) 10
11 Potenciální energie systému (1) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): Π e = (L e + L e). (21) Při lineárně pružné odezvě materiálu: Π e = 2 L e. (22) tedy Π e 0. (23) 11
12 Potenciální energie systému (2) Π = Π e + Π i. (24) Dosazením za Π e a Π i : tedy Π = Π e + Π i = (L e + L e) + L e = L e, (25) Π 0. (26) 12
13 Potenciální energie systému (3) (Lagrangeův) princip minima celkové potenciální energie: Π = Π e + Π i = min. (27) Ze všech možných deformačních stavů tělesa (které neporušují jeho spojitost a respektují okrajové podmínky) nastane právě ten, při kterém je potenciální energie systému minimální. 13
14 Variační úloha hledáme neznámou funkci (nikoli jen hodnotu), funkce musí splňovat určité okrajové nebo počáteční podmínky, hledaná funkce musí splňovat podmínku extrému nějaké veličiny. 14
15 Variační úlohy v teorii pružnosti Protože platí (27): Π = Π i + Π e = min, (28) tedy hodnota potenciální energie je extrémní (minimální). Z matematiky: pro extrém veličiny Π platí: Π = 0, (29) čehož využívají variační metody (např Ritzova metoda). 15
16 Ritzova metoda (1) 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x) = n i=1 a i ψ i, (30) kde a i... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (31) 4. Dosazení vypočtených a i do (30). 16
17 Rizova metoda (2) bázové funkce Bázové (aproximační) funkce ψ musí vyhovovat okrajovým podmínkám úlohy. y Např. při výpočtu průhybu musí platit: x ψ(a) = 0 (protože w(a)=0), a w(x) ψ(x) b ψ(b) = 0 (protože w(b)=0). 17
18 Shrnutí: Protože platí: N M = (E A) du dx, (32) = (E I y ) d2 w dx 2, (33) tedy potenciální energie vnitřních sil (bez vlivu smyku): Π i = 1 2 L 0 E Au 2 dx L 0 E I w 2 dx. (34) 18
19 Příklad 1 (1) Stanovte funkci osové deformace zadaného nosníku (viz schéma). Předpokládejte, že součin E A je po celé délce nosníku konstantní. F L Volba aproximace: u(x) = a 1 ψ 1 = a 1 x, tj. ψ 1 = x. 19
20 Příklad 1 (2) Okrajové podmínky: u(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = x = 0 u(b) = w(x = L) 0... ψ 1 (b) = x = L L 0 ψ( x) L x 20
21 Příklad 1 (3) Vyjádření Π e : Π e = F u L 0 q u(x)dx. Přitom F působí v bodě x = L: Π e = F u = F a 1 ψ 1 = F a 1 x = F L a 1. 21
22 Příklad 1 (4) Derivace funkce u = a 1 ψ 1 : u = [a 1 x] = a 1. Vyjádření Π i : Π i = 1 2 L 0 E A(u ) 2 dx = 1 2 L 0 E Aa2 E A a12 1dx = 2 L 0 dx Π i = E A a2 1 2 [x] L 0 = E A L 2 a
23 Příklad 1 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = F L a 1 + E A L 2 a 2 1. Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : F L + E A L a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = F E A 23
24 Příklad 1 (5) Výsledek (dosazením a i do u(x)): u(x) = a 1 ψ 1 = F E A x. Protažení v x = L: u(l) = F L E A. Výpočet vnitřních sil (normálová síla): N(x) = E A u = E A [ F ] E A x = F 24
25 Metoda konečných prvků Vztah mezi Ritzovou metodou a MKP Základní principy MKP Odvození matice tuhosti konečného prvku pro příhradovinu 25
26 Metoda konečných prvků (1) Nevýhoda klasických variačních metod obtížná volba (často nemožná) aproximačních funkcí ϕ na složitějších oblastech. Řešení rozdělení konstrukce na malé oblasti na n jednoduchých podoblastí a volba aproximačních funkcí ϕ j na nich. Protože Π je skalární veličina, lze: Π approx. = n j=1 Π e,j, (35) kde Π e,j je potenciální energie j-té podoblasti ( konečného prvku ). 26
27 Metoda konečných prvků (2) Další postup je analogický klasickým variačním metodám (např. Ritzově metodě) řeší se soustava n lineárních rovnic: Π a i = 0, i = 1..n (36) Pozn.: zde je použit Lagrangeův variační princip a jde tedy o deformační variantu metody konečných prvků MKP (viz dále). 27
28 Metoda konečných prvků (3) Varianty MKP: deformační (Lagrangeův variační princip) neznámá jsou posunutí a pootočení (nejčastější, přes 90% případů), silová (např. Castiglianův variační princip) neznámé jsou silové veličiny, smíšená (např. variační princip Hu-Washitsu). 28
29 Deformační varianta MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 29
30 Matice tuhosti kon. prvku (1) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V. (37) Po dosazení za ε = BSr a vytknutí vektoru neznámých konstant (posunutí) r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r V XT d V r. (38) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (39) 30
31 Matice tuhosti kon. prvku (2) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (39): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (40) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (41) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (42) 31
32 Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustavy rovnic: K r = F. (43) Poznámka: tyto sestavení matice tuhosti a zatěžovacího vektoru je zcela shodné s postupem v obecné deformační metodě. 32
33 Zatížení konstrukce Zatížení zavádíme výhradně v uzlech konečných prvků Zatížení má silový charakter: síly pracují na posunutích momenty pracují na pootočeních Zatížení deformacemi bude popsáno dále 33
34 Podepření konstrukce okrajové podmínky Pružné podpory: přidáme odpovídající tuhost pružiny na diagonálu matice tuhosti Pevná podpora (posunutí, pootočení) známá hodnota (0, 0) neznámého posunutí/pootočení (upravíme systém rovnic) Popuštění podpor: známá hodnota neznámého posunutí/pootočení (upravíme systém rovnic) 34
35 Deformační varianta MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost s deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 35
36 Odvození konečného prvku příhradoviny (1) y u 1 u x Neznámé parametry deformace: u, v v každém uzlu. Tj. celkem dva neznámé uzlové parametry: {u 1, u 2 } T. 36
37 Odvození konečného prvku příhradoviny (2) Geometrická rovnice: Maticově (ε = T u): ε x = u x (44) { εx } = [ x ] { u } (45) 37
38 Odvození konečného prvku příhradoviny (3) Podmínka rovnováhy: Maticově ( σ + X = 0): σ x x + X = 0 (46) [ x ] { σx } + { X } = { 0 } (47) 38
39 Odvození konečného prvku příhradoviny (4) Fyzikální rovnice: Maticově (σ = D ε): σ x = E ε x (48) { σx } = [ E ] { εx } (49) 39
40 Odvození konečného prvku příhradoviny (5) Aproximace neznámých uzlových posunutí: u(x) = a 1 + a 2 x (50) Maticově (u = U a): { u } = [ 1 x ] a 1 a 2 (51) 40
41 Odvození konečného prvku příhradoviny (6) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech 1, 2 (r = S a): u 1 u 2 = 1 x 1 1 x 2 a 1 a 2 (52) 41
42 Odvození konečného prvku příhradoviny (7) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U a: { εx } = [ x ] [ 1 x ] a 1 a 2 (53) 42
43 Odvození konečného prvku příhradoviny (8) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U a: { εx } = [ 0 1 ] a 1 a 2 (54) 43
44 Odvození konečného prvku příhradoviny (9) Z r = S a plyne: a = S 1 r, (55) kde: S = 1 x 1 1 x 2 S 1 = x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 (56) Pak místo ε = Ba lze psát ε = B S 1 r: { εx } = [ 0 1 ] x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 u 1 u 2. (57) 44
45 Odvození konečného prvku příhradoviny (11) Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 V εt σ d V = 1 2 V εt D ε d V = (58) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (59) 45
46 Odvození konečného prvku příhradoviny (12) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. (60) Po dosazení za ε a vytknutí r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r T V XT d V r S pt d S r. (61) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (62) 46
47 Odvození konečného prvku příhradoviny (13) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (62): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (63) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (64) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (65) 47
48 Odvození konečného prvku příhradoviny (14) Pro studovaný konečný prvek: F = X + p. (66) K = V S 1T B T D B S 1 dv = A podrobný zápis: K = A L 0 x 2 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 1 x 2 x 1 x 2 x L 0, S 1T B T D B S 1 dx, [ E ] [ 0 1 ] x 2 (67) x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 (68) dx 48
49 Odvození konečného prvku příhradoviny (15) Podrobný zápis (vytknutí konstant pře integrál): K = A x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 x [ E ] [ 0 1 ] x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2 x 1 (69) L 0 dx Po úpravě (integrace L 0 dx = L násobení matic): K = EAL 1 1 (x 2 x 1 ) 2 (x 2 x 1 ) (x 2 x 1 ) 2 (x 2 x 1 ) 2, x 2 x 1 = L K = EA L EA L (70) EA L EA L, což je matice tuhosti známá i z deformační metody. 49
50 Odvození konečného prvku příhradoviny (16) Soustava rovnic pro jeden konečný prvek má tedy tvar: K e r e = F e, podrobně: EA L EA L EA L EA L u 1 u 2 = F 1 F 2 (71) 50
51 Odvození konečného prvku příhradoviny (17) Rozšíření na proměnné u a v v každém uzlu: y v 1 v 2 u u 2 x EA L 0 EA L EA L 0 EA L u 1 v 1 u 2 v 2 = F 1 0 F 2 0 (72) 51
52 Volba náhradních polynomů (1) Nejlepší konvergence při použití úplného polynomu n-tého stupně (Ženíšek et al). Počet konstant v polynomu (a 1, a 2,...) = počet neznámých na konečném prvku (u 1, v 1,...). Ne vždy je možné použít všechny členy úplného polynomu. 52
53 Volba náhradních polynomů (2) Pro neznámou x: 1. a 1 + a 2 x 2. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 3. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 4. a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4 53
54 Volba náhradních polynomů (3) Pro neznámé x a y: 1. a 1 + a 2 x + a 3 y 2. a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 x 2 3. a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 x 2 + a 7 x 3 + a 8 y 3 + a 9 x y 2 + a 10 x 2 y 54
55 Doplnění pro obor Konstrukce staveb Tato část není zajímavá pro ostatní obory, protože je vázána na programový systém ANSYS, který ny cvičení nevyužívají. Úvod do používání programu ANSYS Vybrané příkazy jazyka APDL 55
56 Programový systém ANSYS (1) obecný konečně-prvkový systém (žádné normy aj.) program i dokumentace jen v angličtině velký počet konečných prvků pro různé úlohy možno přímo pracovat s typy a sítěmi konečných prvků kontaktní úlohy statika, dynamika, vedení tepla,... lineární i nelineární úlohy vlastní příkazový jazyk (možno psát makra, pomocné programy) 56
57 Programový systém ANSYS (2) nápověda: help,něco (pozn.: v instalaci na FAST nefunguje) používat výhradně desetinnou tečku dialogová okna nakonec spouští příkaz příkazy: n 5.3,6.3,7.7 (oddělovač parametrů je čárka... ) vynechané hodnoty se doplní nulou (je-li parametrem reálné číslo) nebo nejbližší větší volnou hodnotou (je-li parametrem index nebo pořadové číslo) parametry příkazů i vstupní pole v dialozích akceptují matematické výrazy (jazyk FORTRAN): 5 2 = 25 nebo 1+3 2/3 = 3 apod. 57
58 Programový systém ANSYS (3) Doporučené typy konečných prvků: Úloha Název Číslo rovinná příhradovina LINK1 1 prostorová příhradovina LINK8 8 rovinný rám BEAM3 3 prostorový rám BEAM4 3 rovinný problém PLANE42 42 deska SHELL63, SHELL93 63, 93 deska na Winklerově podkladu SHELL63 63 tělesa SOLID45, SOLID95 45, 95 Pro vstupní parametry prvku, přípustné typy analýz a dostupné výsledky: help,číslo 58
59 Příkazy ANSYS 1: některé objekty Objekt Písmenko Příklady klíčový bod k k 1,1,2 kdel,p klist linie l l,1,2 l,p ldel,all plocha a a,1,2,3,4 a,p adel,p objem v v,p vdel,all vlist uzel konečného prvku n n 0,0,7.7 nlist ndel,all konečný prvek e e,1,7 e,p edel,all podpora v uzlu d d,p dlist ddel,p síla v uzlu f f,p flist fdel,p 59
60 Příkazy ANSYS 2: některé operace Operace Zkratka Příklady vytvoření k 1,1,2 l,1,2 a,1,2,3,4 vytvoření myší,p l,p a,p v,p e,p d,p smazání del ldel,3 ldel,p ldel,all vypsání (listing) list alist nlist elist vykreslení plot aplot nplot eplot gplot Operace spuštění preprocesoru spuštění řešiče provedení výpočtu spuštění postprocesoru uložení dat načtení dat Příkaz /prep7 /solu solve /post1 save resu 60
61 Příklad 1: rovinná příhradovina (1) 10kN 10kN 5 kn 3m 2m 2m 2m Vlastnosti: E = 20 GP a, A = 0.01 m 2. 61
62 Příklad 1: rovinná příhradovina (2) Vlastnosti: E = 20 GP a, A = 0.01 m 2. Zadáme 1 typ konečného prvku, 1 typ materiálu a 1 typ reálných konstant s hodnotami: Spuštění přeprocesoru: /prep7 Výběr typu konečného prvku (LINK1): et,1,link1 Zadání modulu pružnosti E = 20 GP a: mp,ex,1,20e9 Zadání plochy průřezu A = 0.01 m 2 : r,1,0.01 Poznámky: materiálové veličiny používají jednotné značky (EX, EY, EZ... moduly pružnosti, PRXY... součinitel příčné kontrakce, DENS... objemová hmotnost), pořadí a význam reálných konstant se pro každý prve liší (viz nápověda). 62
63 Příklad 1: rovinná příhradovina (3) Čísla uzlů a konečných prvků: 10kN 10kN kn m m 2m 2m 63
64 Příklad 1: rovinná příhradovina (4) Zadání uzlů: 10kN 10kN n 0,0 n 2, kn n 4,0 n 6, m n 2, n 4,3 2m 2m 2m 64
65 Příklad 1: rovinná příhradovina (5) Zadání konečných prvků: e,1,2 10kN 10kN e,1,5 e,2, kn 9 3m e,2,3 e,2,6 e,5, m 2m 2m e,3,6 e,3,4 e,4,6 Pro lenochy: e,p a naklikat uzly. 65
66 Příklad 1: rovinná příhradovina (6) Zadání podpor: 10kN 10kN kn 9 3m d,1,ux d,1,uy d,4,uy m 2m 2m Pro lenochy: d,p a naklikat uzly. 66
67 Příklad 1: rovinná příhradovina (7) Zadání zatížení: 10kN 10kN kn 9 3m f,5,fy,-10e3 f,6,fy,-10e3 f,6,fx,-5e m 2m 2m Pro lenochy: f,p a naklikat uzly. 67
68 Příklad 1: rovinná příhradovina (8) 68
69 Příklad 1: rovinná příhradovina (9) Výpočet: Ukončení preprocesoru: fini Start řešiče: /solu Spuštění výpočtu: solve 69
70 Příklad 1: rovinná příhradovina (10) Práce s výsledky: Ukončení řešiče: fini Start postprocesoru: /post1 Vykreslení celových deformací: plns,u,sum,1 Poznámky k plns: 1 na konci značí kresli nezdeformované konečné prvky ; hodnota 2 by znamenala kresli jen obrys konstrukce místo sum (celkové deformace) může být jen konkrétní směr (x, y, z) volba ovlivní barvy, nikoli zobrazený tvar deformace. 70
71 Příklad 1: rovinná příhradovina (11) 71
72 Příklad 1: rovinná příhradovina (12) Vnitřní síly pomocí Element Table: Nastavení veličiny NX: etable,nx,smisc,1 Vykreslení NX po prvcích: plls,nx,nx Vykreslení celkových deformací: plns,u,sum,1 72
73 Příklad 1: rovinná příhradovina (13) 73
74 Příklad 1: rovinná příhradovina (14) Výpisy výsledků: Reakce: prrs Deformace: prns,ux Výpisy vnitřních sil: pretab,nx 74
75 Příkazy: jak zadat, kde najít (1) Soubor nazev.mac v pracovním adresáři ANSYSu. Lze volat příkazem nazev a provedou se v souboru obsažené příkazy. Použité příkazy: nazevulohy.log v pracovním adresáři AN- SYSu. Pozor: cca od verze 9 nelze tento soubor použít přímo (<CTRL>C, <Ctrl>V), třeba upravit (je uvedeno P51X místo seznamu prvků vybíraných myší apod.). 75
76 Příkazy: jak zadat, kde najít (2) Příkaz cdwrite uloží celou úlohu korekně jako sadu příkazů Příkaz cdread lato data načte. Pokud příponu vytvořeného souboru změníte na.mac, lze použít pkyny s předchozího snámku... 76
PRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceProgramový systém ANSYS
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Programový systém ANSYS Materiál pro interní potřebu FAST Jiří Brožovský Kancelář: LP H406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
VíceNosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)
Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek
VíceProstorové konstrukce. neznámé parametry: u, v w. (prvky se středostranovými uzly)
Konečné prvk pro řešení 3D úloh Prostorové konstrukce neznámé parametr: u, v w volba různého počtu uzlů a neznámých v uzlech možnost zakřivených hran prvků (prvk se středostranovými uzl) Opakování: Geometrické
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VíceDvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace
Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VíceFAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které
VíceMartin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017
Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu 2017 1 / 22 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především:
VíceMETODA KONEČNÝCH PRVKŮ VE STAVEBNÍ MECHANICE
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ VE STAVEBNÍ MECHANICE Jiří Brožovský, Alois Materna Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.7/2.2./7.332), na kterém se společně
VíceANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška
ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:
VíceAutor: Vladimír Švehla
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta
VíceTutoriál programu ADINA
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Tutoriál programu ADINA Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2010 1 Výstupy programu ADINA: Preprocesor
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VícePostup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou
Vysoké učení technické v Brně Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Postup při výpočtu prutové konstrukce obecnou deformační metodou Petr Frantík Obsah 1 Vytvoření modelu 2 2 Styčníkové vektory modelu
VíceKontraktantní/dilatantní
Kontraktantní/dilatantní plasticita - úhel dilatance směr přírůstku plastické deformace Na základě experimentálního měření dospěl St. Venant k závěru, že směry hlavních napětí jsou totožné se směry přírůstku
VícePružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test
Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled
VíceVedení tepla v MKP. Konstantní tepelné toky. Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua
Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1 Základní rovnice
VíceVŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Metoda konečných prvků MKP I (Návody do cvičení)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Metoda konečných prvků MKP I (Návody do cvičení) Autoři: Martin Fusek, Radim Halama, Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava
Více1 Ohyb desek - mindlinovské řešení
1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové
VícePružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.
Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových
VíceNelineární problémy a MKP
Nelineární problémy a MKP Základní druhy nelinearit v mechanice tuhých těles: 1. materiálová (plasticita, viskoelasticita, viskoplasticita,...) 2. geometrická (velké posuvy a natočení, stabilita konstrukcí)
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceZáklady matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice. Geometrické rovnice
Přednáška 1 Základy matematické teorie pružnosti Tenzor napětí a tenzor deformace Statické (Cauchyho) rovnice Rozšířený Hookův zákon Geometrické rovnice Ondřej Jiroušek Ústav mechaniky a materiálů Fakulta
VíceTéma 12, modely podloží
Téma 1, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Úvod Winklerův model podloží Pasternakův model podloží Pružný poloprostor Nosník na pružném Winklerově podloží, řešení
Více7. Základní formulace lineární PP
p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje
VícePřednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Přednáška 1 Obecná deformační metoda, podstata DM Základní informace o výuce předmětu SSK II Metody řešení staticky neurčitých konstrukcí
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
Více1.1 Shrnutí základních poznatků
1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i
VíceObr. 0.1: Nosník se spojitým zatížením.
Každý test obsahuje jeden příklad podobný níže uvedeným tpovým příkladům a několik otázek vbraných z níže uvedených testových otázek. Za příklad je možno získat maimálně bodů, celkový počet bodů z testu
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
VíceMechanika s Inventorem
Mechanika s Inventorem 2. Základní pojmy CAD data FEM výpočty Petr SCHILLING, autor přednášky Ing. Kateřina VLČKOVÁ, obsahová korekce Optimalizace Tomáš MATOVIČ, publikace 1 Obsah přednášky: Lagrangeův
Více1 Přesnost metody konečných prvků
1 PŘESNOST METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 1 1 Přesnost metody konečných prvků Metoda konečných prvků je založena na diskretizaci původní spojité konstrukce soustavou prvků (nebo obecněji na diskretizaci slabé
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více7 Lineární elasticita
7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
VícePružnost a pevnost I
Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická
VíceZjednodušená deformační metoda (2):
Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem
VícePostup zadávání základové desky a její interakce s podložím v programu SCIA
Postup zadávání základové desky a její interakce s podložím v programu SCIA Tloušťka desky h s = 0,4 m. Sloupy 0,6 x 0,6m. Zatížení: rohové sloupy N 1 = 800 kn krajní sloupy N 2 = 1200 kn střední sloupy
VícePružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14
Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:
VíceTAH/TLAK URČENÍ REAKCÍ
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Metoda konečných prvků MKP I (Návody do cvičení) Autoři: Martin Fusek, Radim Halama, Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava
Více16. Matematický popis napjatosti
p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti
VíceStatika soustavy těles.
Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho
VícePRUŢNOST A PLASTICITA
PRUŢNOST A PLASTICITA PŘEDNÁŠKY Doc Ing Vlastislav Salajka PhD 2 OBSAH 1 Úvod 6 11 Cíl 6 12 Požadované znalosti 6 13 Doba potřebná ke studiu 6 14 Klíčová slova 6 2 Základní pojmy 9 21 Pole posunutí 10
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VícePrincip virtuálních prací (PVP)
Zatěžujme pružinu o tuhosti k silou F k ū F Princip virtuálních prací (PVP) 1 ū u Energie pružné deformace W ext (skalár) je definována jako součin konstantní síly a posunu. Protože se zde síla během posunu
Víceb) Křehká pevnost 2. Podmínka max τ v Heigově diagramu a) Křehké pevnosti
1. Podmínka max τ a MOS v Mohrově rovině a) Plasticity ϭ K = ϭ 1 + ϭ 3 b) Křehké pevnosti (ϭ 1 κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt Ϭ red = max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) MOS : max (ϭ 1, ϭ 1 - κ R * ϭ 3 ) = ϭ Rt a) Plasticita
VíceCvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti
Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze
VícePružnost a plasticita CD03
Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VíceOHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )
3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =
VíceSedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:
Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky
VíceCvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceTvorba výpočtového modelu MKP
Tvorba výpočtového modelu MKP Jaroslav Beran (KTS) Modelování a simulace Tvorba výpočtového modelu s využitím MKP zahrnuje: Tvorbu (import) geometrického modelu Generování sítě konečných prvků Definování
VíceLibor Kasl 1, Alois Materna 2
SROVNÁNÍ VÝPOČETNÍCH MODELŮ DESKY VYZTUŽENÉ TRÁMEM Libor Kasl 1, Alois Materna 2 Abstrakt Příspěvek se zabývá modelováním desky vyztužené trámem. Jsou zde srovnány různé výpočetní modely model s prostorovými
VíceKapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).
Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace
VíceTéma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím
Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST Téma 3 Úvod ke staticky neurčitým prutovým konstrukcím Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Osnova přednášky
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceNOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)
NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou
VícePRUŽNOST A PLASTICITA I
Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice
VícePrizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )
1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti
VíceOkruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil
Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),
VíceFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz
VíceČVUT UPM 6/2013. Eliška Bartůňková
ČUT UPM 6/2013 Eliška Bartůňková Úvod 1. Motivace PMPD 1.1 Jednoosá napjatost Obsah 1.2 Zobecnění jednoosé napjatosti pro ohýbaný prut 2. Důkaz základní věty mezní analýzy pro diskrétní modely 3. Formulace
VíceVýpočet sedání kruhového základu sila
Inženýrský manuál č. 22 Aktualizace 06/2016 Výpočet sedání kruhového základu sila Program: MKP Soubor: Demo_manual_22.gmk Cílem tohoto manuálu je popsat řešení sedání kruhového základu sila pomocí metody
VícePrůhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky
VíceZde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu
index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.
VíceROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné
ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná
VíceBetonové konstrukce (S) Přednáška 3
Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární
Více2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.
obsah 1 Obsah Zde je uveden přehled jednotlivých kapitol a podkapitol interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. Na tomto CD jsou kapitoly uloženy v samostatných souborech, jejichž název je v rámečku
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Vícevztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další
p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů
VíceProjevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů)
PŘEDNÁŠKY Projevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů) Volné dotvarování Vázané dotvarování Dotvarování a geometrická nelinearita Volné dotvarování Vývoj deformací není omezován staticky
Více12. Prostý krut Definice
p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VícePříklad oboustranně vetknutý nosník
Příklad oboustranně vetknutý nosník výpočet podle viskoelasticity: 4 L fˆ L w, t J t, t 384I 0 průhyb uprostřed co se změní v případě, fˆ že se zatížení M mění x t v čase? x Lx L H t t0 1 fl ˆ M fˆ 0,
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky Odbor pružnosti a pevnosti Program pro analýzu napjatosti a deformaci hřídelů Studentská práce Jan Pecháček
VíceNumerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky
Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Přírodovědecká fakulta Karlova Univerzita v Praze Přednášky pro obor Geotechnologie David
VíceMECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ Statické řešení výztuže podzemních děl
STUDIJNÍ PODPORY PRO KOMBINOVANOU FORMU STUDIA NAVAZUJÍCÍHO MAGISTERSKÉHO PROGRAMU STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ -GEOTECHNIKA A PODZEMNÍ STAVITELSTVÍ MECHANIKA PODZEMNÍCH KONSTRUKCÍ Statické řešení výztuže podzemních
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceTENKOSTĚNNÉ A SPŘAŽENÉ KONSTRUKCE
1 TENKOSTĚNNÉ A SPŘAŽENÉ KONSTRUKCE Michal Jandera, K134 Obsah přednášek 2 1. Stabilita stěn, nosníky třídy 4. 2. Tenkostěnné za studena tvarované profily: Výroba, chování průřezů, chování prutů. 3. Tenkostěnné
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceTéma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření
Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu
VíceNáhradní ohybová tuhost nosníku
Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží
VíceVýpočet přetvoření a dimenzování pilotové skupiny
Inženýrský manuál č. 18 Aktualizace: 08/2018 Výpočet přetvoření a dimenzování pilotové skupiny Program: Soubor: Skupina pilot Demo_manual_18.gsp Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit použití programu
VíceKˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty
Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek:
Více10. Elasto-plastická lomová mechanika
(J-integrál) Únava a lomová mechanika J-integrál je zobecněním hnací síly trhliny a umožňuje použití i v případech plastické deformace většího rozsahu: d J = A U da ( ) A práce vnějších sil působících
VícePRUŽNOST A PLASTICITA
PRUŽNOST A PLASTICITA Ing. Vladimíra Michalcová LPH 407/1 tel. 59 732 1348 vladimira.michalcova@vsb.cz http://fast10.vsb.cz/michalcova Povinná literatura http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita Doporučená
VíceÚVOD DO PROBLEMATIKY LOMOVÉ MECHANIKY KVAZIKŘEHKÝCH MATERIÁLŮ. Zbyněk Keršner Ústav stavební mechaniky FAST VUT v Brně
ÚVOD DO PROBLEMATIKY LOMOVÉ MECHANIKY KVAZIKŘEHKÝCH MATERIÁLŮ Zbyněk Keršner Ústav stavební mechaniky FAST VUT v Brně 1 Motivace: trhliny v betonu mikrostruktura Vyhojování trhlin konstrukce Pražec po
VíceVlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti
Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze
VícePilotové základy úvod
Inženýrský manuál č. 12 Aktualizace: 04/2016 Pilotové základy úvod Program: Pilota, Pilota CPT, Skupina pilot Cílem tohoto inženýrského manuálu je vysvětlit praktické použití programů GEO 5 pro výpočet
VíceKONSTITUČNÍ VZTAHY. 1. Tahová zkouška
1. Tahová zkouška Tahová zkouška se provádí dle ČSN EN ISO 6892-1 (aktualizována v roce 2010) Je nejčastější mechanickou zkouškou kovových materiálů. Zkoušky se realizují na trhacích strojích, kde se zkušební
VíceOhyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.
Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech
Více