ROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné

Transkript

1 ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná napjatost historicky první praktická aplikace metody konečných prvků [5]

2 2 GEOMETRICKÉ ROVNICE 2 2 Geometrické rovnice Poloha charakterizována x = {x, y} T Základní neznámé u(x) = {u(x), v(x)} T Vektor (nezávislých složek) deformace ε(x) = {ε x (x), ε y (x), γ xy (x)} T Geometrické rovnice ε x (x) ε y (x) γ xy (x) = x y y x u(x) v(x) ε(x) = T u(x) Pro rovinnou deformaci je ε z =, pro rovinnou napjatost se ε z dopočítává z konstitutivních rovnic

3 3 STATICKÉ ROVNICE 3 3 Statické rovnice Vektor (nezávislých složek) napětí σ(x) = {σ x (x), σ y (x), τ xy (x)} T Statické rovnice: x Ω x y y x σ x (x) σ y (x) τ xy (x) + X(x) Y (x) = σ(x) + X = σ z = pro rovinnou napjatost, σ z pro rovinnou deformaci vyplývá z konstitutivních rovnic E. Clapeyron C. F. Gauss T.J.R. Hughes O. A. Ladyženskaja J. C. Saint-Venant

4 4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 4 4 Konstitutivní rovnice Rovinná deformace Konstitutivní rovnice: σ(x) = D(x) ( ε(x) ε (x) ) ( σ z (x) = λ(x) ν(x) ( ε x (x) + ε y (x) ) + ( + ν(x) ) ) α(x) t(x) Lamého modul σ x (x) σ y (x) τ xy (x) λ(x) = = λ(x) Rovinná napjatost 2G(x) λ(x)( 2ν(x)), G(x) = 2ν(x) 2 ν ν ν ν 2ν 2 Konstitutivní rovnice: ν ν = ν/( + ν) ε z (x) = ν 2G (σ x(x) + σ y (x)) + α(x) t(x) ε x (x) α x (x) t(x) ε y (x) α y (x) t(x) γ xy (x) ()

5 4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 5 Domací úkol. S pomocí následující tabulky odvoďte konstitutivní rovnice pro rovinnou napjatost (RN) a rovinnou deformaci (RD) z trojrozměrných vztahů v první přednášce. Deformace RN RD Napětí RN RD ε x σ x ε y σ y σ z ε z γ zy τ yz γ xz τ xz γ xy τ xy

6 5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY 6 5 Okrajové podmínky Kinematické okrajové podmínky: x Γ u : u(x) u(x) = Statické okrajové podmínky: x Γ p n x(x) n y (x) σ x (x) σ y (x) n y (x) n x (x) τ xy (x) p x (x) p y (x) = n(x)σ(x) p(x) = Domací úkol 2. Odvoďte Clapeyronův vztah z první přednášky pro dvojrozměrné úlohy. Můžete vyjít z Gaussovy věty [3, str. 586, věta 5] f Ω x g dx = fgn x dx f g Γ Ω x dx f y g dx = fgn y dx f g y dx Ω Γ Ω

7 6 SLABÉ ŘEŠENÍ 7 6 Slabé řešení = Clapeyron = Ω Γ u Ω δu(x) T ( σ(x) + X ) dx {}}{ δu(x) T n(x)σ(x) dx + ( T δu(x) p {}}{ n(x)σ(x) dx δu(x) T Γ p ) T σ(x) dx + δu(x) T X(x) dx Přisoudíme-li váhové funkci δu(x) fyzikální smysl virtuálního posunu, můžeme člen T δu(x) identifikovat jako virtuální deformaci δε(x). δε(x) T σ(x) dx = δu(x) T p(x) dx + δu(x) T X(x) dx Ω Γ p Ω δw int = δw ext. Metodu vážených reziduí lze tedy chápat jako zobecnění principu virtuálních posunů (viz též druhý domácí úkol z přednášky č. ) Ω

8 7 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 8 7 Galerkinovská aproximace Řešenou oblast nahradíme n uzly Aproximace neznámých posunů u(x) u(x) N(x) ( r + r ), kde r odpovídá hodnotám předepsaných (tj. známých) posunů v uzlových bodech (detailnější rozbor viz cvičení č. 4) Aproximace polí deformací a napětí ε(x) B(x) ( r + r ) Aproximace váhových funkcí σ(x) D(x) ( B(x) ( r + r ) ε (x) ) δu(x) N(x)δr δε(x) B(x)δr

9 7 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 9 Po dosazení do slabé formulace podmínek rovnováhy dostáváme (podrobné odvození viz domácí úkol č. 3 z. přednášky) K R f {}}{{ }}{ δr T B(x) T D(x)B(x) dx r = δr T N(x) T X(x)dx +δr T Ω Neznámé uzlové posuny tedy splňují rovnici Ω { R }} { + δr T B(x) T D(x)ε (x) dx Ω ( ) δr T B(x) T D(x)B(x) dx r } Ω {{ } R r =Kr K r = R = R f + R p + R R r R p {}}{ Γ p N(x) T p(x) dx

10 7 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 7. Aproximace metodou konečných prvků Bázové funkce konstruujeme lokalizací bázových funkcí definovaných na n e prvcích Ω = n e e= Ω e Matice tuhosti K a vektor transformovaného zatížení R se určí lokalizací příspěvků jednotlivých prvků (viz též cvičení č. ) K = n e A K, R = ne A R e= e e, e= K e = R f e = B e (x) T D(x)B e (x) dx Ω e N e (x) T X dx Ω e

11 8 TROJÚHELNÍKOVÉ PRVKY 8 Trojúhelníkové prvky 8. Plošné souřadnice Trojúhelníkové souřadnice L i (x), i =, 2, 3, L i (x) = A i (x)/a Vztah mezi x L i (x) A (x) + A 2 (x) + A 3 (x) = A L (x) + L 2 (x) + L 3 (x) = L i (x, y) = a i + b i x + c i y 2A kde a i = x j y k x k y j, b i = y j y k, c i = x k x j, (2)

12 8 TROJÚHELNÍKOVÉ PRVKY Aproximační (interpolační, tvarové) funkce Lineární prvek N (x) = L (x), N 2 (x) = L 2 (x), N 3 (x) = L 3 (x)

13 8 TROJÚHELNÍKOVÉ PRVKY Kvadratický prvek N (x) = (2L (x) )L (x), N 3 (x) = (2L 3 (x) )L 3 (x), N 5 (x) = 4L 2 (x)l 3 (x), N 2 (x) = (2L 2 (x) )L 2 (x), N 4 (x) = 4L (x)l 2 (x), N 6 (x) = 4L (x)l 3 (x)

14 8 TROJÚHELNÍKOVÉ PRVKY Matice tuhosti lineárního trojúhelníkového prvku Aproximace posunů u u(x) v(x) = N (x) N 2 (x) N 3 (x) N (x) N 2 (x) N 3 (x) v u 2 v 2 u 3 v 3 u e (x) = N e (x)r e Výpočet matice B e vyžaduje členy N i x N i y = N i L L x + N i L 2 L 2 x + N i L 3 L 3 x = L i x = N i L L y + N i L 2 L 2 y + N i L 3 L 3 y = L i y viz (2) = b i 2A viz (2) = = c i 2A

15 8 TROJÚHELNÍKOVÉ PRVKY 5 B e (x) = T N e (x) B e = = 2A N x N y N y N N 2 x y N 2 x N 2 y N 2 N 3 x y b b 2 b 3 c c 2 c 3 c b c 2 b 2 c 3 b 3 N 3 x N 3 y N 3 x B e je po prvku konstantní Matice tuhosti K e (předpokládáme, že D e je též konstantní) (K e ) 6 6 = B T D B dx = e e e BTD B e e e Ω e dx = AB T D B e e e Ω e Výpočet zbylých členů soustavy je obdobný

16 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 6 Odvoďte matici B e pro kvadratický trojúhelníkový pr- Domací úkol 3. vek. 9 Bilineární obdélníkový prvek Výpočet provádíme v soustavě souřadnic xy Neznámé: posuny uzlových bodů 4. r e = {u, v, u 2, v 2, u 3, v 3, u 4, v 4 } T

17 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK Aproximační (bázové) funkce N (x, y) = 4ab (x a)(y b), N 2(x, y) = (x + a)(b y), 4ab N 3 (x, y) = 4ab (x + a)(y + b), N 4(x, y) = (a x)(y + b) 4ab

18 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 8 Matice N e N e (x, y) = N N 2 N 3 N 4 N N 2 N 3 N 4 Matice B e = 4ab B e (x, y) = N x N y N y N N 2 x y N 2 x N 2 y N 2 N 3 x y N 3 x N 3 y N 3 N 4 x y N 4 x y b b y y + b y b N 4 y N 4 x x a x a x + a a x x a y b x a b y x + a y + b a x y b

19 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 9 Matice tuhosti prvku (K e ) 8 8 = a a b b B T (x, y)d B (x, y) dy dx (3) e e e 9. Numerická integrace Výpočet matice tuhosti (3) může být značně komplikovaný, např. pro obecné čtyřúhelníkové prvky nahradíme ho přibližným vztahem Základní myšlenka numerické integrace (kvadratury) b a f(x) dx N i i= w i f(x i ), kde x i označuje polohu integračního bodu a w i je váha integračního bodu.

20 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 2 Příklad (Lichoběžníkové pravidlo) b a f(x) dx N i i= 2 (f(x i) + f(x i+ )) = 2 f(x ) + f(x 2 ) f(x Ni ) + 2 f(x N i ) V metodě konečných prvků se s výhodou používá Gaussovy kvadratury Přesná integrace polynomů řádu 2N i Integrační body nejsou nutně rozděleny rovnoměrně na intervalu a, b

21 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 2 Vztahy vetšinou uváděny v pomocných veličinách ξ i a α i. Platí x i = x l +x r 2 + x r x l 2 ξ i a w i = x r x l 2 α i. Podrobné odvození a vztahy pro více integračních bodů [, Dodatek B] N i ξ i α i Přesně 2 Lineární 2 ± 3 3 Kubické

22 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 22 Výpočet vícerozměrných integrálů je obdobný b a d c f(x, y) dx dy N i N j i= j= w x,i w y,j f(x i, y j ). Váhy w x,i w y,j a polohy integračních bodů (x i, y j ) volíme na základě jednorozměrných vztahů. Řád integrace 2 2

23 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 23 (Výpočet matice tuhosti obdélníkového prvku jednobodovou in- Příklad. tegrací) K e = = B e = 4 i= j= B T (x, y)d B (x, y) dy dx e e e ( ) w x,i w y,j B T (x e i, y j )D e B e (x i, y j ) ( 2 ( ) )( 2 ( ) 2 2 ) B T (, )D B (, ) e e e

24 9 BILINEÁRNÍ OBDÉLNÍKOVÝ PRVEK 24 Výpočet předchozího součinu programem Maple λ 8 3 4ν 4ν 3 + 4ν 4ν 3 4ν 4ν 3 + 4ν + 4ν 4ν 3 4ν + 4ν 3 + 4ν + 4ν 3 4ν 4ν 3 + 4ν 3 + 2ν 4ν 3 4ν + 4ν 3 + 4ν + 4ν 3 4ν 4ν + 4ν 3 + 4ν 4ν 3 4ν 4ν 3 4ν + 4ν 3 4ν Domací úkol 4. Určete matici tuhosti obdélníkového prvku numerickou integrací řádu 2 2. Jaký je rozdíl mezi získaným výsledkem a přesnou hodnotou?

25 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 25 Modelování nestlačitelných materiálů za stavu rovinné deformace Materiály s ν, 4 se nazývají téměř nestlačitelné Toto chování vykazuje celá řada inženýrských materiálů guma, kapaliny, kovy a zeminy v plastickém stavu atd. Při modelování MKP narážíme na problém objemového zamknutí. Objemová a deviatorická složka deformace Rozklad vektoru deformace na část vyjadřující objemové a tvarové změny Objemové změny popsány jednou skalární veličinou objemovou deformací ε v ε v (x) = ε x (x) + ε y (x)

26 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 26 Změna tvaru (za nulové změny objemu) je charakterizována vektorem deviatorické deformace e e x (x) ε x (x) e y (x) e xy (x) = ε y (x) 2 γ xy(x) ε v(x) 2 = 2 (ε x(x) ε y (x)) 2 (ε y(y) ε x (x)) 2 γ xy(x) e(x) = ε(x) ε v(x) m (4) 2 = + ε = ε v2 m + e ε v (x) = m T ε(x) (5)

27 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 27.2 Střední a deviatorické napětí Rozklad vektoru napětí na část popisující všesměrné a deviatorické působení Všesměrné působení popsáno středním napětím σ m σ m (x) = 2 (σ x(x) + σ y (x)) = 2 mt σ(x) Záporná hodnota napětí má fyzikální smysl působícího tlaku p(x) = σ m (x) Vektor deviatorického napětí s je definován jako s x (x) σ x (x) s y (x) = σ y (x) σ m (x) s xy (x) τ xy (x) s(x) = σ(x) σ m (x)m

28 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 28 = + σ = σ m m + s.3 Konstitutivní rovnice pro rovinnou deformaci Naším cílem je vyjádřit závislosti ε v σ m a e s Maticový zápis (pro jednoduchost položíme ε = ) σ x (x) σ y (x) τ xy (x) = λ(x) ν ν ν ν 2ν ε x (x) ε y (x) 2 γ xy(x)

29 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 29 Vztah ε v σ m σ m (x) = σ x(x) + σ y (x) 2 = λ(x) 2 = λ(x) 2 (( ν)ε x (x) + νε x (x) + ( ν)ε y (x) + νε y (x)) (ε x (x) + ε y (x)) = λ(x) 2 ε v(x) Člen e s : využijeme vztahu s = σ σ m m (viz (5)) σ m (x)m = λ(x) 2 mε v(x) = λ(x) 2 mmt ε(x) = λ(x) ε x (x) ε y (x) 2 γ xy(x)

30 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 3 Tedy s x (x) s y (x) s xy (x) = λ(x) = 2G(x) viz () {}}{ λ(x)( 2ν) = 2G(x) 2 ν ν 2 ν 2 2 ν 2ν (ε x(x) ε y (x)) 2 (ε y(y) ε x (x)) 2 γ xy(x) ε x (x) ε y (x) 2 γ xy(x) ε x (x) ε y (x) 2 γ xy(x) viz (4) = 2G(x)e(x)

31 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 3 Shrnutí σ m (x) = λ(x) 2 ε v(x) s(x) = 2G(x)e(x) ε v (x) = 2 λ(x) σ m(x) e(x) = 2G(x) s(x) Pro nestlačitelné materiály ν 2 : λ = 2G 2ν Pro libovolnou hodnotu středního napětí σ m nebo tlaku p musí být hodnota objemové deformace ε v nulová v každém bodě konstrukce Diskretizované řešení musí být schopno tuto podmínku splnit (tj. musíme být schopni předepsat nulovou objemovou deformaci a zároveň umožnit vznik nenulové deviatorické deformace).

32 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 32.4 Objemové zamknutí lineárních trojúhelníkových prvků Matice B e je na každém prvku konstantní Požadujeme vznik nulové objemové deformace ε v obsah trojúhelníků 23 a 34 musí zůstat před zatížením i po zatížení stejný Prvek v 3 = m Prvek 2 u 3 = m Celkově je tedy zabráněno libovolnému posunu bodu 3 deviatorická deformace e prvek vykazuje objemové zamknutí

33 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 33.5 Objemové zamknutí bilineárních obdélníkových prvků přesná integrace Matice K e je vyjádřena přesně je použito integrační schéma 2 2 Díky podepření můžeme uvažovat pouze dva sloupce matice B e odpovídající uzlu 3. ε x (x) ε y (x) γ xy (x) 4ab y + b x + a x + a y + b u 3 v 3

34 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 34 Podmínka nulové objemové deformace pro všechna a x a a b y b ε v (x) 4ab ((y + b)u 3 + (x + a)v 3 ) = = u 3 = v 3 = m, deviatorická složka tenzoru deformace e a dochází k objemovému zamknutí prvku. Domací úkol 5. Proveďte obdobnou analýzu pro dva lineární prvky uvažované v předchozí kapitole. Lze obdobný geometrický přístup použít i při analýze bilineárních obdélníkových prvků?

35 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 35.6 Objemové zamknutí bilineárních obdélníkových prvků redukovaná integrace Matice B e se při sestavování matice tuhosti uvažuje pouze v počátku souřadného systému Opět stačí pouze uvažovat dva stupně volnosti u 3 a v 3 ε x (x) ε y (x) b u 4ab a 3 v 3 γ xy (x) a b

36 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 36 Podmínka nulové objemové deformace Deviatorická deformace e x (x) e y (x) e xy (x) ε v (x) 4ab (bu 3 + av 3 ) = u 3 = a b v 3 v 3 4ab Prvek tedy nevykazuje objemové zamknutí a a b a2 b Obdobného postupu bylo použito při analýze mindlinovských nosníků pro smykový člen Redukované (selektivní) integrace lze použít i pro obdélníkové prvky pro lepší vystižení ohybových účinků [, Kapitola 3.5.3]

37 MODELOVÁNÍ NESTLAČITELNÝCH MATERIÁLŮ ZA STAVU ROVINNÉ DEFORMACE 37.7 Porovnání objemového a smykového zamknutí Smykové Objemové Důvod h/l λ Deformace γ xz ε v = Zamknutí ϕ, w lineární u, v (bi)lineární Redukovaná integrace jednobodová - γ xz jednobodová B Bublinová funkce (a 2 x 2 )(b 2 y 2 ) Lagrangeovy multiplikátory ASM [4] Obecná analýza stabilního chování prvku tzv. podmínka Ladyževská- Babuška-Brezzi (LBB); viz např. [2, Kapitola III. 4]).

38 REFERENCE 38 Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -: Přidána kapitola 9.. (vylepšení navrhl V. Šmilauer), členění a obsah kapitoly vzniklo po diskusích s M. Jiráskem a M. Šejnohou, rozličné opravy na str. 4, 7,, 4, 2 22, 25, 28 3 a 35 na podnět J. Šejnohy, přidán člen 2 γ xy v kapitole (na chybu upozornil M. Šejnoha) str. 4: doplněny členy x u konstitutivního zákona, doplněn člen δ u vitruální deformace, vymazán člen v u vektoru Rr (opravy po přednášce) Opravy verze : str. 4: přidány členy pro výpočty N i / x (oprava po přednášce) Opravy verze 2: str. 8 a následující: opraveno znaménko u bázových funkcí N 2 a N 4, matice B a příklad na jednobodovou integraci (na chybu upozornil J. Bažil) Opravy verze 3: obrázek I. Babušky se odstěhoval do přednášky č. 9, nahrazen obrázkem O. Ladyževské. str. 9: změněno domácí viz na viz (na chybu upozornili R. Pekař a M. Jandera). Verze 4 Reference [] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES ČVUT, Praha, 992.

39 REFERENCE 39 [2] D. Braess, Finite elements. Theory, fast solvers and applications in solid mechanics, Cambridge University Press, 997, Překlad z němčiny Lary L. Schumaker. [3] K. Rektorys (ed.), Přehled užité matematiky, sixth ed., vol., Prometheus, Praha, 995. [4] J.C. Simo and T.J.R. Hughes, On the variational foundations of assumed strain methods, Journal of Applied Mechanics-Transactions of the ASME 53 (986), no., [5] M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and L. J. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex structures, Journal Aeronautical Science 23 (956),