Cvičení z termodynamiky a statistické fyziky

Transkript

1 Cvičení termodynamiky a statistické fyiky 1Nechť F(x, y=xe y Spočtěte F/ x, F/, 2 F/ x 2, 2 F/ x, 2 F/ x, 2 F/ x 2 2 Bud dω = A(x, ydx+b(x, ydy libovolná diferenciální forma(pfaffián Ukažte, ževpřípadě,žedωjeúplnýdiferenciál(existujefunkce F(x, ytak,žedω=df, musí platit a A = B x, (b pro každou uavřenou integrační cestu b dω=0, 3Bud dω 1 =(x 2 ydx+xdyjetoúplnýdiferenciál,jedω 2 =dω 1 /x 2 úplný diferenciál?vypočtěteintegrál dωmeibody(1,1a(2,2podélpřímek(1,1 (1,2 (2,2a(1,1 (2,1 (2,2 4Jedω= pdv+vdpúplnýdiferenciál?pokudano,určetefunkci Fjejímžúplným diferenciálemjedωspočtěteintegrál dωmeibody(v 1, p 1 a(v 2, p 2 podél přímek(v 1, p 1 (V 1, p 2 (V 2, p 2 a(v 1, p 1 (V 2, p 1 (V 2, p 2 5JedQ=cd+R V dvúplnýdiferenciál?spočtěteintegrál dωmeibody(v 1, 1 a(v 2, 2 podélpřímek(v 1, 1 (V 1, 2 (V 2, 2 a(v 1, 1 (V 2, 1 (V 2, 2 Jakoufunkcí f(v, musímedqvynásobit,abysoučin fdqbylúplným diferenciálem? Určete funkci S pro níž ds = f dq c a R jsou konstanty 6 x, ya jsou3stavovéveličiny,spojenéstavovourovnicí f(x, y, =0Ukažte platnost vtahů a = ( 1, x = + w = w y y ( w ( x přičemž dolní index onačuje konstantní veličinu a w je další stavovou veličinou, w=w(x, y, 7Stavová rovnice pv = Nk váže proměnné p, V a, přičemž N a k jsou konstantypřímýmvýpočtemověřte,že(/ =(/ 1,(/ V = ( / 1 V,(/ = (/ V ( / p,( / p = ( / V (/ 8Stavovárovniceideálníhoplynumůžebýtapsánajako pv= Nk, pv= n l R, p=ρk/µ, p=nk,kde p, V, jsoutlak,objemateplota, Njepočetčástic, n jejichkoncentrace, kjeboltmannovakonstanta(k=1, m 2 kgs 2 K 1, Rjeplynovákonstanta(R = 8,31Jmol 1 K 1, n l jelátkovémnožství, ρje hustota plynu a µ molekulová hmotnost Uvěřte roměr k a R Jaký roměr má n?ukažte,žejednotlivérovnicejsouekvivalentní(n A = mol 1 1

2 9Přikonstantníteplotě20 Cseideálníplynkvaistatickyropínáestavustlakem 20atmdostavustlakem1atmJakouprácivykoná1molplynu? 10 Při kvaistatické adiabatické expani 6 litrů hélia o teplotě 350K klesá tlak e 40 atm na 1 atm Vypočtěte výsledný objem a teplotu(předpokládejte platnost stavové rovnice ideálního plynu Získané výsledky srovnejte s hodnotami, které byvyšlyproiotermickouexpani(κ=1,63předpokládejte,žesejednáo ideální plyn 11 Spočtěte práci vykonanou ideálním plynem při kvaistatické adiabatické expani estavucharakteriovaného p 1, V 1 dostavu p 2, V 2 Určetepráci,kterouplynvykoná, přecháí-li počátečního do koncového stavu nejdříve iochorickým dějem a poté iobarickým, nebo nejdříve iobarickým dějem a poté iochorickým 12 Při výměně vduchu mei spodními a horními vrstvami troposféry docháí k expani, popř kompresi vduchu: stoupající vduch se roepíná v oblasti menšího tlaku Vhledem k malé tepelné vodivosti vduchu je možno pokládat procesy expane a komprese a adiabatické Vypočtěte měnu teploty s výškou následkem těchto procesů(vduch považujte a ideální plyn 13Plynjepopsánstavovourovnicí p=p(v, Ukažtepřímýmvýpočtem,že δq není úplným diferenciálem 14Energiečásticeuavřenévnekonečněvysoképotenciálovéjáměsroměry L x L y L jedánavtahem ( E= h2 n 2 x 2m π2 + n2 y L 2 x L 2 y + n2 y L 2 y Předpokládejte,že L x = L y = L = LPředpokládejte,žesystémjakocelekje charakteriován energií systému Jak je určen mikrostav, jak makrostav? Spočtěte sílu, kterou částice působí na stěny nádoby Určete vtah energie systému a tlaku 15Odvod teexistencestavovérovnice f(p, V, =0vtah α=p β κ ( mei termickým koeficientem rotažnosti α := 1, koeficientem iochorickéropínavosti β:= 1 V ( p akoeficientemiotermickékompresibility κ:= p V 1 V ( 16Stavovárovnicemátvar p=f(v Dokažte: ( E a =0 ( E bpokudplatía,pak =0 2

3 17Proideálníplynspočtěte (, ( ad 18Ukažte,žeproplynpopsanýstavovourovnicí f(p, V, =0platí ( ( c p = c ad V 19Ukažteplatnostrelace c p c V = R(Mayerovarelacemeiiobarickýmaiochorickým specifickým teplem jednoho molu ideálního plynu Vnitřní energie ideálního plynu neávisí na jeho objemu 20Ukažteplatnostrelace pv κ =konst(κ=c p /c V jeadiabatickýmexponentemv kvaistatickém adiabatickém procesu ideálního plynu Spočtěte κ a předpokladu, že c V = 3 2 R 21Vypočtěteentropiiideálníhoplynupři c p =konst, c V =konstukažte,že δqnení úplný diferenciál 22 Pro plyn bylo experimentálně jištěno, že součin tlaku a objemu je funkcí poue teploty, pv = f(aževnitřníenergieávisítaképouenateplotěcojeo takovém plynu možno říci hlediska termodynamiky? 23 Spočtěte entropii pole áření, platí-li pro tlak áření a hustotu áření vtahy p= 1 3 u, u=σ4,kde σjekonstantaspočtěterovniciiotermyaadiabaty 24Proplynpopsanýstavovourovnicí p = p(v, najdětevtahmei ( ( 25yčjekroucenamomentemsíly Moúhel ϕnajdětevtahmei ( M ϕ ( M ϕ ioterm ad a adiab a 26a1kgvodysteplotou0 Cjepřivedendotepelnéhokontaktusvelkýmreervoáremsteplotou100 CSpočtěteměnuentropievody,reervoáruacelésoustavy po ustavení rovnováhy b Spočtěte měnu entropie celé soustavy, pakliže voda byla nejprve v kontaktu sreervoáremsteplotou50 apotésreervoáremsteplotou100 C c Jak ajistit, aby se při ohřevu vody entropie soustavy neměnila? 27VanderWaalsovastavovárovnicepro1molplynumátvar(p+ a V 2 (V b=r, kde a, bjsoukonstantyprodané můžemítkřivkadvaextrémydanérovnicí (/ = 0Vkritickémboděurčenémparametry c, p c a V c navícplatí ( 2 p/ 2 =0Spočtětehodnoty c, p c a V c Zapištestavovourovnicipomocí proměnných = / c, p = p/p c a V = V/V c 28 Určete vnitřní energii a entropii Van der Waalsova plynu a vypočtěte: a práci Van der Waalsova plynu při vratné iotermické expani, b měnu teploty Van der Waalsova plynu při adiabatické expani do vakua 3

4 29Hustotavnitřníenergie u = U/V jefunkcíjenteploty,stavovárovniceje p= 1 u(určetetvarfunkce u( 3 30Ukažte,žepromaléodchylky δρ, δpodrovnovážnýchhodnothustoty ρ 0 atlaku p 0 jemožnéšířenívukovýchvlnpopsatvlnovourovnicí 2 δp = c 2 2 δp t 2 x, 2 kderychlostvukujedánavtahem c= (dp/dρ ad předpokládáme-li,žeděje jsou natolik rychlé, že nedocháí k výměně tepla mei jednotlivými elementy vduchuukažte,žerychlostvukumůžebýtspočtenatakéjako c= κ ad /ρ 0, kdeadiabatickákompresibilita κ ad := V ( Spočtěterychlostvukuve ad vduchuapředpokladu,ževduchjetvořenpouemolekulamin 2 aže κ= c p /c V =7/5 31 Ukažte, že termický koeficient rotažnosti α:= 1 V ( p splňujerelaci ( S = ( = V α p 32Ukažte,žespecifickéteplopřikonstantnímtlaku, c p,apřikonstantnímobjemu, c V,splňujívtah c p c V = ( ( ( S = V p ( S 33Volnáenergiesystému F(V, = 1 3 const V 4 Určetejehotlak,vnitřníenergii, entropii, entalpii a Gibbsův potenciál 34Ideálníplynseadiabatickyrošiřujeobjemu V 1 dovakuaspočtěterůstentropie, pokudplynvkonečnémstavumáobjem V 2 adokažte,žeprocesrošiřováníje nevratný 35Jouleův-homsonůvděj(Jouleův-homsonůvkoeficient λ= ( aukažte,žedh= ds+ Vdpaλ= V C p (1 α p ( α p := 1 jekoeficientemiobarickérotažnosti V p b Ukažte, že λ= ( + V ( V C p ( H 4

5 cověřte,že λ=0proklasickýideálníplyn dukažte,žeprovanderwaalsůvplynplatí λ= bp+ 3ab 2a V 2 V ( p a V 2 + 2ab V 3 Cp e Vyjádřete rovnici inverní křivky, která v p V diagramu představuje rohraní meioblastí λ >0aλ <0propřípadVanderWaalsovaplynu 36VypočtěteúčinkovýkoeficientCarnotovacyklu(1iotermickáexpane, 2 = konst,2adiabatickáexpane, S=konst,3iotermickákomprese, 1 =konst, 4 adiabatická komprese, S = konst pro ideální plyn pomocí jeho stavové rovnice 37 Vypočtěte účinkový koeficient následujícího cyklu ideálního plynu Může tento proces být vedený vratně? 1iotermickáexpane 2 =konst 2iochorickéochlaení V 2 =konst 3iotermickákomprese 1 =konst 4iochorickéohřívání V 1 =konst 38 Určete účinkový koeficient(idealiovaného Ottova motoru, který pracuje s ideálnímplynemospecifickémteple c V = 5 2 R/molpřikompresnímpoměru10:1 1 adiabatická komprese, 2 iochorické ohřívání(=spálení paliva, 3 adiabatická expane(vykonání práce, 4 ochlaení(=výfuk horkého plynu, nový, studený plyn je nasátý 39 Dieselův cykl se skládá těchto částí: 1 adiabatické komprese atmosférického vduchu, 2 spálení vstříknuté směsi a iobarické expane, 3 adiabatické expane 4 a iochorického ochlaení Určete účinkový koeficient cyklu v ávislosti na kompresním poměru pro ideální plyn 40Jakájecelkováměnaentropie,kdyžsmícháme2kgvodyoteplotě363Kadiabatickyapřikonstantnímtlakus3kgvodyoteplotě283K?(c p =4184J/Kkg 41Chladničkamůžeahodinupřeměnit10litrůvodyo0 CvledotéžeteplotěK tomusemusíodevdatskupenskéteplo Q=800kcal(=800 1,163Whdo vduchu(27,3 CJakýnejmenšípříkonmusíchladničkamít? 42Dokažte,žepro 0neexistujesystémpopsatelný pv=const 43 Uavřený systém se skládá e dvou jednoduchých podsystémů, které jsou oddělené pohyblivou stěnou, která umožňuje a jen výměnu tepla, b jak výměnu tepla, tak výměnu hmoty, 5

6 c ani výměnu tepla, ani výměnu hmoty Jaké jsou odpovídající podmínky rovnováhy? 44Dvěstejnámnožstvíideálníhoplynusestejnouteplotou arůnýmitlaky p 1, p 2 jsouodsebeoddělenapřepážkouurčeteměnuentropienásledkemsmíšení obou plynů 45 Určete maximální práci, kterou le ískat při sloučení stejných množství téhož ideálníhoplynusestejnouteplotou 0 (arůnýmiobjemypopřtlaky 46Molárníobjemvody v (2 =18cm 3 /mol,molárníobjemledujeo91%větší(při tlaku10 5 Pa,molárníhmotnostvodyje18g/molLatentníteplotáníleduje 330 kj/kg Spočtěte měnu bodu varu při měně tlaku 47 Odvoďte tvar Maxwellova-Boltmannova rodělení rychlostí molekul plynu Vycháejte poue předpokladu, že prostor je iotropní a že pohyb molekul plynu v jednotlivých směrech je neávislý 48 Rodělení hybností atomů je dáno Maxwellovým-Boltmannovým rodělením Naleněte hodnotu C P(p=Cexp ( p2 2mk 49 Za předpokladu platnosti Maxwellova-Boltmannova rodělení rychlostí molekul plynuspočtěte p x, p, p 2 50Přiměněmagnetiace M odm vykonásystémprácidw = HdM,kde H je intenita magnetického pole(jde o práci vykonanou jednotkovým objemem; objem V=konst=1Určeterodíltepelnýchkapacit c H c M přikonstantním poli H a při konstantní magnetiaci 51 Určete rovnici adiabaty iotropního magnetika 6