Výfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů

Transkript

1 Výfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů Úvod Ve fyzice obča narazíme na problémy jejichž řešení je mnohdy komplikované a zdlouhavé. Avšak v určitých případech e tyto ložité problémy dají vyřešit velmi jednoduše a elegantně za předpokladu že využijeme nějaký trik. Takovýchto triků exituje nepřeberné množtví z nichž některé i ukážeme v tomto Výfučtení. Obecné řešení Velmi důležitá jou tzv. obecná řešení kde míto číel využíváme pouze abtraktní označení veličin pímeny. Na rozdíl od řešení konkrétními hodnotami nedochází k zaokrouhlovacím nepřenotem a čatokrát e na konci dojde i k výledku ve zjednodušeném a elegantním tvaru. Obecné řešení je rovnice která obahuje na jedné traně neznámou veličinu a na druhé traně pouze známé veličiny nebo kontanty. Platí že příklady e vždy nažíme vyřešit nejprve obecně (algebraicky) tudíž i neznalotí číelných hodnot v zadání. Nicméně při obecném řešení potupujeme úplně tejně jako kdyby v rovnicích byla číla. Jediný rozdíl je v tom že všechny matematické operace provádíme pímeny. Takže z rovnic můžeme například vyjadřovat neznámé nebo je doazovat do jiných rovnic. Jak již bylo zmíněno největší výhodou tohoto potupu je přenot. Další nepornou výhodou je fakt že při obecném řešení čato dojdete ke zjednodušení výledného výrazu něco e nám např. pokrátí v případě že e jedná o nějakou kontantu (např. π) opět zvyšujeme přenot výledku. A v případě že e jedná o proměnnou můžeme zjitit že jme chopni úlohu vyřešit i pře to že neznáme všechny veličiny které e objevovaly v mezivýledcích. Tyto výhody i ukážeme na příkladu. První příklad Vypočítejte přenotí na jedno deetinné míto jakou hmotnot má dřevěná koule o hutotě ϱ 800 kg m jetliže její povrch je S 100 dm. Nejdříve počítejme potupně. Spočtěme poloměr koule Nyní určíme objem této koule a nyní počítáme její hmotnot S 4πr r S 4π 100 dm dm. V 4 πr 4 14 (8 dm). 919 dm m ϱv 919 dm 800 kg m. 75 kg. 1

2 Naopak budeme-li počítat obecně potup bude náledující: ( ) m ϱv ϱ 4 πr ϱ 4 π S 4π ( ) m 800 kg m dm kg Vidíme že rozdíl mezi potupem mezivýpočty a obecným řešením je až 17 kg. A věřte tomu že mnohdy bývá rozdíl ještě větší. Rozměrová zkouška Pokud řešíme příklady obecně může e nám tát že děláme mnoho poměrně komplikovaných úprav kde hrozí že při nich uděláme chybu. Proto je velmi výhodné i zíkané výledky průběžně kontrolovat. Avšak kontrola každého kroku by byla velmi zdlouhavá. Na užitečnou a rychlou kontrolu zda nemáme v potupu chybu polouží tzv. rozměrová zkouška. To není nic jiného než že za všechny veličiny ve vzorci doadíme jejich základní jednotky SI a pomocí úprav e nažíme zjitit jakou jednotku má výledná veličina kterou e nažíme počítat. Pokud nám vyšla jednotka kterou očekáváme (například u hmotnoti kilogramy) máme téměř vyhráno. 1 Jenom pozor rozměrová zkouška nám pouze napoví zda edí jednotky. Pokud však někde v úpravách zapomeneme nějakou bezrozměrnou kontantu (např. π) tuto chybu neodhalíme. Jedno je ale jité: pokud nám zkouška nedala očekávané jednotky (např. u hmotnoti nám vyšlo kg 1 ) rozhodně máme v úpravách chybu. Rozměrovou zkoušku v praxi i ukážeme na dalším příkladu. Druhý příklad Paťo počítal přeměnu potenciální energie na kinetickou a došel k rovnici mgh v m. Je jeho vzoreček právný? Provedeme-li rozměrovou analýzu Paťova vzorce dotaneme m kg m m kg m kg m kg m m m m. Vidíme že Paťův vzoreček je alepoň po rozměrové tránce právně. 1 Muíme i dát pozor že některé jednotky e kterými běžně počítáme například newtony u íly nejou základní jednotky SI. Tedy pokud děláme rozměrovou zkoušku pro ílu a vyjde nám že íla má jednotku kg m neznamená to že máme ve vzorci chybu protože pro newton z definice platí kg m N.

3 Zavádění vlatních veličin Dalším trikem který i ukážeme je zavádění vlatních veličin. Obča e může tát že při výpočtu potřebujeme počítat nějakou veličinou která reprezentuje něco co neznáme co není v zadání a co víc obča e může tát že jme o takové veličině ani nikdy před tím nelyšeli! Nicméně pokud e tohoto nezalekneme a budeme i přeto takovými veličinami počítat zjitíme že jednak e náš potup buď velmi zjednodušil nebo že e nám povedlo vypočítat příklad který bychom jinak vypočítat nezvládli. Možná to vypadá děivě ale není to nic těžkého. Až i zavádění vlatních veličin párkrát zkuíte nebude vám to připadat vůbec zvláštní. Pojďme i tento trik opět ukázat na příkladech. Třetí příklad Auto jede čtvrtinu dráhy rychlotí v 1 po zbytek dráhy zpomalí a jede rychlotí v. Určete průměrnou rychlot automobilu. Nejprve i vzpomeneme že průměrná rychlot v e vypočítá jako celková dráha uražená za celkový ča t. Ze zadání i tudíž muíme uvědomit co je naše celková dráha a jak e vypočte ča. Celková dráha je oučet drah prvního a druhého úeku. Můžeme tedy zapat (a vyřešit) rovnici Právě jme i zavedli celkovou dráhu o které e jednak nehovoří v zadání ba co víc ani ji nedokážeme počítat. Ničeho e nelekejme a počítejme ní dál. Jednotlivé čay na úecích vypočteme z klaického vzorce pro rovnoměrný pohyb: ča je podíl ujeté dráhy a rychloti: t 1 1 v 1 t v 1 4 v 1 4v 1 4. v 4v Celkový ča pohybu je pak jednoduše t t 1 + t. Nyní tačí jednotlivé neznámé doadit do prvotní myšlenky v /t: v t t 1 + t + 4v 1 4v ( 1 + ) 4v 1 4v 4v 1 v v + v 1. Vidíme že námi zavedenou dráhu nakonec nebylo ve výledku potřeba znát neboť e pokrátila. A takto to dopadá většinou námi zavedených veličin: pomohou nám pohodlně provádět mezikroky a ve výledku e pokrátí. Tento princip e využíval i ve. érii 4. ročníku v úloze čílo 4 Sněhuláci. V našem archivu na webové adree můžete nalézt jak zadání tak i řešení takže to je kvělý příklad pro případné procvičení doma.

4 Plocha pod grafem Zalechli jte někdy vaše tarší polužáky či ourozence mluvit o integrálech a zajímalo vá co to je? Velmi zjednodušeně vá teď naučíme trik který má integrály mnoho polečného ale jeho provedení je velmi nadné. Integrály jou jedny z nejpoužívanějších nátrojů ve fyzice. I pře to že mohou být velmi ložité jejich základní princip je že počítají velikot plochy pod grafem. A přeně toho můžeme využít i my v případech kdy bychom e k výledku jiným způobem dotávali jen velmi obtížně. Pokud počítáme nějakou veličinu jako oučin dvou jiných veličin (například u práce e jedná o oučin íly a dráhy) není problém počítat výledek pokud jou obě kontantní. Půobíme-li ilou F 5 N po dráze 5 m vykonaná práce je W F 5 N 5 m 5 J. To jme i neukázali nic nového že? Ale co když e jedna z veličin bude měnit v záviloti na té druhé? Pokud známe jejich vzájemnou závilot můžeme je zakrelit do grafu. Například je-li íla závilá na vzdálenoti z tohoto grafu bude zřejmé jak velká íla v daných bodech půobila. Pak námi hledaný výledek který e počte jako oučin těchto dvou veličin není nic jiného než plocha pod křivkou v tomto grafu. Tento trik je poněkud ložitější na předtavivot pojďme i ho tedy ukázat na příkladu. Čtvrtý příklad Auto jede rychlotí v 0 7 km h 1 až do okamžiku kdy začne brzdit. Od tohoto okamžiku e rychlot auta nižuje rovnoměrně (odborně řečeno lineárně kleá) až do okamžiku kdy auto zataví. Pokud auto brzdilo t 10 jakou dráhu urazilo od okamžiku kdy řidič začal brzdit? Jelikož víme že dráha e vypočítá jako vt a že rychlot auta e zde mění v čae nakrelíme i graf rychloti v záviloti na čae. Na vilou ou budeme vynášet rychlot a na vodorovnou ou ča. Ale pozor na jednotky hodnoty je potřeba vynášet v základních jednotkách SI! Nyní již můžeme počítat dráhu kterou auto urazilo jako velikot plochy která je pod grafem. Tato plocha je vlatně pravoúhlý trojúhelník odvěnami v 0 a t takže pro jeho obah můžeme napat: v0t 0 m m. Vidíme tedy že auto po dobu brzdění urazilo dráhu 100 m. Závěr V tomto Výfučtení jme i ukázali několik základních velmi užitečných triků které lze využít při řešení fyzikálních problémů. Pevně věříme že vám všechny tyto triky unadní řešení pouty úloh. Čím víc e budete fyzice věnovat tím více podobných triků poznáte a fyzika pro vá už bude jen nazší a nazší. Mnoho zdaru při řešení! Korepondenční eminář Výfuk je organizován tudenty MFF UK. Je zatřešen Oddělením pro vnější vztahy a propagaci MFF UK a podporován Katedrou didaktiky fyziky MFF UK jejími zamětnanci a Jednotou čekých matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeno pod licencí Creative Common Attribution-Share Alike.0 Unported. Pro zobrazení kopie této licence navštivte Pokud již znáte zrychlení velmi jednoduše i můžete ověřit že vzoreček ke kterému jme došli z obahu pod křivkou v grafu je tejný jako když na tuto úlohu půjdeme pře zrychlení. 4

5 0 15 rychlot m ča Obr. 1: Závilot rychloti auta na čae 5