1 Úvod do číslicové regulace

Transkript

1 Automatické říení II Úvod do čílicové regulace V náledujícím textu budou uvedeny ákladní vlatnoti, popiy a přehledy týkající e problematiky čílicové regulace. Některé kapitol budou také obahovat řešené příklady pro nadnější vládnutí dané problematiky. Kompletní učební text bude kopírovat onovy předmětu Automatické říení II, vyučovaného na katedře automatiační techniky a říení, VŠB-U Otrava. První kapitola e bude věnovat enámení e ákladními pojmy teorie čílicové regulace, dále pojmy oblati -tranformace a vorkováním. Druhá kapitola bude aměřena na matematický popi lineárních dikrétních dynamických ytémů, rep. matematické modely. řetí kapitola e bude abývat popiem lineárního dikrétního regulačního obvodu a jeho ákladními přenoy. Ve čtvrté kapitole budou popány konvenční typy lineárních dikrétních regulátorů a jejich modifikace, rep. polohový a přírůtkový algoritmu čílicových regulátorů. Pátá kapitola bude aměřena na technické problémy při naaení PSD regulátoru, rep. filtraci u lineárních dikrétních regulačních obvodů. Šetá kapitola e bude abývat tabilitou lineárních regulačních obvodů a to jak dikrétních tak pojitých. de bude popán princip bilineární tranformace a také kritéria tability (algebraická, kmitočtová). V edmé kapitole e budou nacháet potupy při popiovaní kvality regulačního pochodu a to v čaové oblati a v oblati komplexní proměnné. Dále budou popány umační kritéria loužící ke komplexnímu poouení kvality regulačního pochodu a určování trvalých regulačních odchylek. Polední omá kapitola bude aměřena na yntéu regulačních obvodů, tedy na návrh truktury regulátoru a jeho parametrů tak, aby byla doažena požadovaná kvalita regulačního pochodu.. Výnam čílicové regulace V oučaném romachu čílicové techniky docháí k tále čatějšímu využívání čílicových regulátorů. Regulace vtupuje do našich životů v nejrůnějších formách. Ať už e jedná o přítroje, které využíváme v domácnoti či při výrobě v nejrůnějších ávodech. V případě tohoto učebního textu e aměříme na čílicové regulátory, které v dikrétní formě realiují tejné algoritmy jako analogové regulátory. V našem případě budou pojmy jako je čílicový (dikrétní v úrovni i v čae) a dikrétní (pojitý v úrovni a dikrétní v čae) považovány a totožné neboť kvantiační chybu považujeme a anedbatelnou [Vítečková, Víteček, 6].. Schéma a popi čílicového regulačního obvodu Čílicový regulační obvod je takový obvod, ve kterém alepoň jedna veličina má tvar poloupnoti dikrétních hodnot vytvářených v pravidelně e opakujících okamžicích onačovaných jako perioda. Na obr.. je náorněno blokové chéma regulačního obvodu čílicovým regulátorem.

2 Automatické říení II Obr.. Blokové chéma regulačního obvodu čílicovým regulátorem načení bloků: ČR čílicový regulátor, A/Č analogově-čílicový převodník, S regulovaná outava, Č/A čílicově-analogový převodník. načení veličin: w ( k ) žádaná veličina, e ( k ) regulační odchylka, u ( k ) dikrétní akční veličina, u () t tvarovaná akční veličina, v () t poruchová veličina, y () t regulovaná (výtupní) veličina, vorkovací perioda. Regulovanou outavu vždy považujeme a pojitou. O převod pojité (analogové) veličiny e tará A/Č převodník. ento převodník je obvykle apojen ve pětné vabě. Důležitou podmínkou je, že A/Č převodník muí být přenější než Č/A. aké e dá říci, že A/Č převodník považujeme a jakýi omeující člen, na jehož přenoti ávií přenot celého regulačního obvodu. čílicového regulátoru vytupuje dikrétní akční veličina u ( k ), která je náledně Č/A převodníkem převedena na tv. tvarovanou veličinu u ( t). Je řejmé, že můžeme tvarovanou veličinu uvažovat jako pojitou veličinu ( t) u e požděním o velikoti /, tedy u t. Průběhy akčních veličin v čílicovém regulačním obvodu jou obraeny na obr...

3 Automatické říení II Obr.. Průběhy akčních veličin v regulačním obvodu čílicovým regulátorem.3 -tranformace -tranformace je matematický aparát, který e využívá k popiu, analýe a yntée dikrétních regulačních obvodů [Wittenmark, Åtröm, Åren; Vítečková, 995]. Definiční vtahy -tranformace jou: ( ) { x( k )} x( k ) -k X (. ) k x( k ) { X ( ) } X ( ) d (. ) π j kde komplexní proměnná, k dikrétní reálná proměnná (dikrétní ča), ( k ) X ( ) dikrétní obra (-obra), x dikrétní originál (-originál), operátor přímé -tranformace, operátor pětné -tranformace, vorkovací perioda, r poloměr kružnice, uvnitř které leží všechny ingulární body funkce X ( ). pětná -tranformace e užívá, když hledáme k dikrétnímu obrau X ( ) originál x ( k ). Dikrétní čaovou funkci ( k ) pojitého čau t dikrétním čaem x ( k ), tn. r x íkáme e pojité čaové funkce x () t atoupením t tk k;,,,... (. 3) Pro dikrétní čaovou funkci e užívá ekvivalentní ápi x k x k x (. 4) ( ) [ ] k

4 Automatické říení II Aby dikrétní čaová funkce x ( k ) byla originálem, muí být: a) nulová pro áporné k, tn. x( k ) k ( k ) x (. 5) k < b) exponenciálního řádu, tn. muí vyhovovat nerovnoti k ( k ) Me α (, ) ;,,,... x M >, α k (. 6) Splnění první podmínky e dá ajitit tejně jako při L-tranformaci vynáobením dikrétní čaové funkce dikrétním Heaviideovým jednotkovým kokem, který je dán vtahem k η ( k ) (. 7) k < Stejně jako u L-tranformace apiujeme korepondenci mei dikrétním originálem a dikrétním obraem ve tvaru x ( k ) ˆ X ( ) (. 8) Ukážeme i ouvilot mei L-tranformací, definovanou vtahem X () L{ x() t } x( t) e -t dt (. 9) a -tranformací. V definičním vtahu (. 9) pojitý ča t atoupíme dikrétním čaem k a pojitý integrál dikrétní umou, dotaneme () x( k ) k X e (. ) Srovnáním vtahu (. ) a (. ) vidíme, že pro e (. ) bude platit X [ ] () X ( ) (. ) lim e.3. ákladní vlatnoti -tranformace ákladní vlatnoti -tranformace jou uvedeny v tab... Podrobnější jou uvedeny např. v [Vítečková, 995; Vítečková, 5]. ab.. ákladní vlatnoti -tranformace Linearita { a x ( k ) ± a x ( k )} a X ( ) ± a X ( ) Pounutí v čaové oblati vpravo (poždění) Pounutí v čaové oblati vlevo (předtih) Dopředná diference. řádu Δx k x k + x k ( ) [( ) ] ( ) m { x[ ( k m) ]} X ( ), m + m m i { x[ ( k m) ]} X ( ) x( i ), m i { Δx( k )} ( ) X ( ) x( )

5 Automatické říení II pětná diference. řádu x k x k x k ( ) ( ) [( ) ] n Dopředná diference n-tého řádu Δx ( k ) { x( k )} X ( ) n n n i i { } ( ) X ( ) ( ) Δ x( ) n pětná diference n-tého řádu x( k ) Sumace v čaové oblati typu I odpovídá dopředné diferenci [dopředná (pravá) obdélníková metoda] Sumace v čaové oblati typu II odpovídá pětné diferenci [pětná (levá) obdélníková metoda] i { } X ( ) k x i k x ( i ) X ( ) ( i ) X ( ) i Koncová hodnota v čaové oblati x( ) lim x( k ) lim X ( ) lim( ) X ( ) k.3. Ukáka e lovníku L a -tranformace Pro ukáku je k dipoici výtah e lovníku L a -tranformace. Podrobněji např. v [Vítečková, 995, Vítečková, 5]. ab.. Výtah e lovníku L a -tranformace x () t X () x ( k ) X ( ) δ () t ( k ) η () t t t 3 δ η ( k ) k ( ) ( k ) ( + ) ( ) 3 k k n ( m a) ; k n, n pro k < n, a ( ± a) n n mat e te -at m ak ± a ( + a) e ke -ak ( m a) k, a ; c e c c ( c) ma ; c e ± a a

6 Automatické říení II x () t X () x ( k ) X ( ) ω in ωt + ω co ωt + ω in ωk co ωk inω coω + coω coω tranformace řešené příklady Příklad. Určete obra dikrétní čaové funkce na obr.. 3. Obr.. 3 Dikrétní čaová funkce příklad. Řešení: obr.. 3 vyplývá, že dikrétní čaová funkce ( k ) x je originál. V ouladu definičním vorcem -tranformace, obra je dán oučtem nekonečné řady, kde u k mocniny x k. je odpovídající pořadnice dikrétní čaové funkce ( ) X ( ) { x( k )} x( ) + x( ) + x( ) Nyní apíšeme íkaný obra ( ) X v kladných mocninách komplexní proměnné a íkáme X ( ) 5 Při rovnání průběhů x ( k ) a obrau X ( ) v kladných mocninách komplexní proměnné jitíme, že dikrétní čaové funkci trvající r kroků (v našem případě r 5) odpovídá obra, který má r-náobný nulový pól, tn r

7 Automatické říení II Příklad. Určete obra dikrétní čaové funkce na obr.. 4. Řešení: X Obr.. 4 Dikrétní čaová funkce příklad. 4 5 ( ) { x( k )} Jak je vidět obou předchoích příkladů, naleení obrau, když náme čaové pořadnice v jednotlivých dikrétních čaových okamžicích je velmi jednoduché. Příklad.3 Pomocí přímé -tranformace určete obray dikrétních čaových funkcí: δ k Řešení:. ( ). η ( k ). Dikrétní Diracův impul je definován vtahy δ ( k ) k { δ ( k )} δ ( k ) k -obra dikrétního Diracova impulu je roven.. Dle vtahu (. 7) píšeme k k { η ( k )} η( k ) Výra vynáobíme. { η ( k )} Oba předešlé vtahy odečteme a íkáme { η ( k )} { η( k )} Po úpravě je -obra dikrétního Heaviideova koku:

8 Automatické říení II η { η( k )} ( k ) ˆ Příklad.4 Stanovte originál x ( k ) k funkci ( ) Řešení: Funkci X ( ) upravíme tak, že jí vydělíme. X ( ) ( + )( + 3)( + 4) ( 3 + 4) ( + )( + 3)( + 4) X. Nyní le provét roklad pravé trany na parciální lomky a doaovací metodou dopočítat koeficienty A, B a C parciálních lomků A B C + + ( + )( + 3)( + 4) ( + ) ( + 3) ( + 4) A( + 3)( + 4) + B( + )( + 4) + C( + )( + 3) a doadíme : A A 4 : 8 C C 4 : 5 B B 5 Po doaení a úpravě íkáme obra funkce ve tvaru 5 4 X ( ) + ( + ) ( + 3) ( + 4) Pomocí lovníku L a -tranformace tab.. provedeme pětnou -tranformaci podle vtahu k ( m a) ; a ± a X A íkáme originál k ( ) x( k ) ( ) k + 5( 3) k 4( 4) k Dotali jme řešení v tv. uavřeném tvaru. Hodnotu ( k ) libovolně velké k. Příklad.5 Stanovte originál x ( k ) k funkci ( ) Řešení: Provedeme dělení mnohočlenů. 3 X. + x můžeme dopočítat pro

9 Automatické říení II ( 3) : ( + ) ( + ) ( + 4 ) ( ) Nyní určíme originál k funkci X ( ). x( ) x( ) x( ) x( 3 ) 4 x( 4 ) x( 5 ) 8 oto řešení je v tv. otevřeném tvaru. Máme omeený počet hodnot originálu x ( k ). Na obr.. 5 je grafické náornění originálu funkce x ( k ) příkladu.5. Obr.. 5 Grafické náornění originálu x(k) příkladu.5.4 Vorkování Signály íkané měřením v reálném protředí jou obecně funkce pojitého čau a nabývají obvykle nekonečného počtu hodnot e pojitého intervalu. Naývají e analogové veličiny nebo analogové ignály. ánam těchto ignálů pro jejich pracování nebo jen protou reprodukci v čílicových ytémech (analyátorech, čílicových počítačích) nele ukutečnit be jejich vorkování a kvantování. Vorkování je tedy operace, při které je nahraen ignál e pojitým čaem poloupnotí vorků [ůma, 6]. Pro volbu vorkovací periody, rep. vorkovací frekvence ω V neexitují přená pravidla, ale její volba do načné míry může ovlivnit kvalitu a tabilitu dikrétního

10 Automatické říení II regulačního obvodu a jeho vlatnoti [Balátě, 3]. V náledující tabulce jou vypány doporučené hodnoty vorkovací periody pro růná naaení [Vítečková, Víteček, 6]. ab.. 3 Doporučené vorkovací periody pro růná naaení Vorkovací perioda ( 5) µ (,5 ) µ ( ) m Proce přené říení a modelování, elektrické ytémy, energetické ytémy, přené řídicí roboty tabiliace výkonových ytémů, letové imulátory, trenažéry pracování obraů, virtuální realita, umělé vidění monitorování a říení (,5 ) objektů, chemické procey, elektrárny ( 3) regulace průtoků ( 5) regulace tlaku (5 ) regulace hladiny ( ) regulace teploty Jak je vidět na obr.. 6 dikrétní čaové funkci x ( k ) odpovídá nekonečně mnoho pojitých funkcí x () t. Dle Shannonova Kotelnikova teorému je pro dokonalou reprodukci pojitého ignálu při převodu čílicového tvaru nutné, aby vorkovací frekvence ω V byla minimálně dvakrát větší než maximální frekvence ve pektru měřeného ignálu ω m jak je uvedeno v rovnici (. 3). π ωv ωm; (. 3) ωm Dikrétní čaovou funkci x ( k ) e pojité čaové funkce x ( t) íkáme nahraením pojitého čau t dikrétním čaem k. t t K k;,,..., n (. 4) Obr.. 6 Dikrétní čaová funkce a jí odpovídající růné pojité čaové funkce

11 Automatické říení II.4. Vorkovač a tvarovač varovač a vorkovač (obr.. 7) převádějí pojitý ignál u ( t) na tvarovaný ignál u () t v podobě chodovité čaové funkce na obr... Obr.. 7 Schéma δ -vorkovače a tvarovače varovač toho typu e onačuje jako tvarovač nultého řádu. varovaný ignál u () t v k-tém intervalu je pomocí pounutých Heaviideových koků dán vtahem [Víteček, 988] u () t u( k ){ η ( t k ) η[ t ( k + ) ]} (. 5) k t < ( k + ) Jak je vidět na obr.. celý tento výra vyjadřuje obdélník výškou u ( k ) a šířkou. varovaný ignál () t u pro t <, ) je dán vtahem u () t u( k ){ ( t k ) η[ t ( k + ) ]} η (. 6) Po provedení Laplaceovy tranformace vtahu (. 6) íkáme obra tvarovaného ignálu rep. U e k e k ( k + ) () L{ u () t } u( k ) e e u( k ) U * () G ( ) U ( ) G tvarování vorkování (. 7) (. 8) e (. 9) () () u( k ) * k U e (. ) předešlých vtahů je tedy viditelné, že amotný převod pojitého ignálu u ( t) na tvarovaný u () t e dá rodělit na vorkování a náledné tvarování. Vlatnoti tvarovače e dají popat jeho přenoem (. 9) a tohoto přenou e dá íkat impulní funkce. e g () t L { G ( ) } L η() η( t ) (. ) Obr.. 8 Impulní charakteritika tvarovače

12 Automatické říení II Impulní funkce g () t je tedy pravoúhlý impul jednotkovou výškou a šířkou. Ideálním vorkováním pojitého ignálu u ( t) íkáme u * ( t) Laplaceovou tranformací obrau U * ( ) daného vtahem (. ). kde * () t L U () { } u( k ) ( t k ), který íkáme pětnou * u δ (. ) V ouladu vlatnotmi Diracových impulů můžeme pát () t u() t ( t k ) u() t i() t * u δ (. 3) () t ( t k ) i δ (. 4) le brát jako poloupnot. Dle toho tedy můžeme u na ignál vorkovaný u * () t je jakoui fyikálně realiovatelnou matematickou fikcí a proto jej naýváme δ -vorkovačem. Reálný vorkovač i většinou předtavujeme ve formě A/Č převodníku. Pro jednoduchot většinou δ -vorkovač od reálného vorkovače nerolišujeme. Mluvíme tedy e vtahu (. 4) je vidět, že ideálně vorkovaný ignál u * ( t) Diracových impulů i () t modulovanou pojitým ignálem u ( t) říct, že vorkovač, který převádí pojitý ignál ( t) poue o vorkovači, na jehož výtupu je vorkovaný ignál u * ( t) u ( k ) [Víteček, 988]. nebo dikrétní ignál Obr.. 9 Vorkování a čaová dikretiace ignálu: a) poloupnot Diracových impulů, b) pojitý ignál, c) vorkovaný ignál, d) dikrétní ignál