1. K o m b i n a t o r i k a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. K o m b i n a t o r i k a"

Transkript

1 . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují růzé výsledky. Studiem zákoitostí rozděleí těchto možých výsledků se zabývá matematická statistika. Teorie pravděpodobosti uvádí algoritmy pomocí ichž se toto studium v jedotlivých případech provádí. V elemetárích úvahách a v řadě základích modelových situací si možé výsledky můžeme představit jako výběry z určité skupiy prvků. Přitom ás zajímají počty růzých možých výběrů, které splňují ějakou dodatečou podmíku. Uvedeme si yí ěkteré základí případy výběrů.. Věta: Obecé pravidlo kombiatoriky - pravidlo součiu. Nechť ve dvojici (A, B) můžeme místo A vybrat růzými způsoby a místo B celkem m růzými způsoby, potom dvojici (A, B) můžeme vybrat celkem.m růzými způsoby... Příklad: Při cestě z Klada do Bra přes Prahu můžeme použít: z Klada do Prahy - autobus, vlak, vlastí automobil: z Prahy do Bra - autobus, vlak, vlastí automobil, letadlo. Kolik je růzých možostí dopravy z Klada do Bra. Řešeí: Vidíme, že z Klada do Prahy máme tři možosti dopravy a z Prahy do Bra čtyři. Ke každé jedotlivé cestě z Klada do Prahy existují čtyři další možosti pokračováí cesty. Je tedy celkem.= možostí jak cestovat z Klada do Bra. (Obrázek grafu možostí.) Pozámka: Je zřejmé, že pravidlo lze uplatit i a trojice, čtveřice atd. Počet možostí pak získáváme postupým ásobeím... Defiice: Permutace. Uvažujme skupiu růzých prvků, apř. čísel {,,..., }. Růzá uspořádáí této skupiy prvků azýváme permutacemi z prvků... Věta: Počet permutací. Permutací z prvků je celkem ( )! =...., kde symbol! čteme faktoriál. Pozameejme ještě, že v ěkterých vzorcích se může objevit hodota! a tu defiujeme jako! =. Důkaz: provedeme matematickou idukcí. Je samozřejmé, že jede prvek můžeme uspořádat právě jedím způsobem a zároveň vidíme, že! =, tedy tvrzeí platí. Předpokládejme, že je pravdivé pro hodoty,,...,. Dokažme, že platí i pro + prvků. Utvoříme libovolou permutaci prvků. Potom růzé permutace + prvků vytvoříme umístěím + tého prvku do daé permutace prvků. Teto prvek můžeme umístit před prví prvek, ebo před druhý prvek a ebo až před tý prvek. To je celkem růzých možostí. Další možost získáme tak, že teto prvek umístíme za tý prvek. Je tedy celkem + možostí jak k daé permutaci prvků vytvořit růzé permutace + prvků. Počet všech růzých permutací + prvků je tedy ( + ).! = ( + )..... = ( + )!... Příklad: Při psaí slov aaas a matematika přeházejme písmeka. Kolika způsoby je možé přehodit písmea, aby se slovo ezměilo. Řešeí: Vidíme, že ve slově aaas můžeme vyměit mezi sebou písmeka a ebo. Prví jsou tři a tudíž je!=..=6 možých výmě - permutací. Druhé jsou dvě a jsou tedy!=.= možosti výmě. Podle pravidla součiu je tedy celkem 6.= možostí výmě, kdy se uvedeé slovo ezměí.

2 Sado ahlédeme, že pro slovo matematika dostaeme celkem!.!.!=.6.= možostí. ( Dvě m, tři a, dvě t.).6. Příklad: Řešte předchozí úlohu pro slovo Mississippi. [].7. Defiice: Variace s opakováím. Uvažujme skupiu prvků a vybírejme postupě k tici prvků tak, že se mohou prvky ve výběru opakovat. Tyto výběry azýváme k-čleé variace s opakováím..8. Věta: Počet variací s opakováím. Je celkem k růzých k čleých variací s opakováím. Důkaz: Ve výběru a prví místo můžeme použít celkem růzých prvků. Protože se mohou prvky opakovat, pak pro každé další místo máme k dispozici vždy prvků. Podle pravidla součiu je tedy celkem.... = k možostí..9. Příklad: Dospělý člověk má celkem zubů. Jak velká musí být skupia lidí, aby se v í vyskytli alespoň dva lidé se shodou sestavou zubů. Řešeí: Na každém místě čelisti člověk buď zub má ebo emá. Můžeme tudíž vybírat ze dvou možostí. Výběr opakujeme -krát. Počet růzých sestav je počet -čleých variací ze prvků, což je = Skupia musí tedy obsahovat alespoň + = lidí, aby se v í vyskytli alespoň dva lidé se stejou sestavou zubů. Pozámka: Zakódujme si zub symboly a pro případy zub chybí a echybí. Počet sestav zubů je pak rove počtu růzých výběru z prvků a předepsaé délky. Symbol má tvar typu apř.. Takový způsob kódováí používají počítače, kdy všechy symboly převádí a čísla zapsaá ve dvojkové soustavě, tedy čísla složeá z a... Příklad: Morseova abeceda se sestavá ze symbolů, které obsahují a. Jestliže uvažujeme slova o ejvýše 6 symbolech, kolik růzých slov máme k dispozici. Řešeí: Každé slovo tvoříme výběrem ze dvou prvků (symbolů), tj. = a tvoříme výběry délky k, k =,,..., 6. Dostaeme tedy celkem = = 6 růzých slov... Příklad: Píšeme trojciferá čísla složeá z číslic,,,..., 9. Kolik růzých čísel můžeme apsat: a) číslo může začíat ulou; b) číslo esmí začíat ulou. Řešeí: V případě a) vybírame tři prvky z deseti, je tedy počet růzých čísel rove - čleým variacím s opakovaím z prvků. To je celkem = čísel. V případě b) můžeme a prví místo vybrat pouze 9 cifer (esmí být ula) a a zbývající dvě opět. Je tedy celkem 9.. = 9 růzých možostí... Defiice: Variace bez opakováí. Vybírejme z růzých prvků k, < k, prvků tak, že se prvky esmí ve výběru opakovat. Tyto výběry azýváme k-čleé variace bez opakováí... Věta: Počet variací bez opakováí. Je celkem k čleých variací bez opakováí. ( ).( ).( )... ( k + ), k, Důkaz: Vztah odvodíme podle kombiatorického pravidla součiu. Prví prvek lze vybrat způsoby, druhý už pouze způsoby, třetí způsoby a pro každý další máme vždy o

3 jedu možost méě. Počet variací je rove součiu k čísel, kde řada začíá číslem a každé ásledující je o meší. Dostaeme tak pro počet variací vzorec.( )... ( k + ). Pozámka: Všimeme si, že v případě kdy volíme k =, t.j. při výběru vyčerpáme všechy prvky daé možiy, volíme vlastě pouze jejich pořadí. Jsou tedy čleé variace bez opakováí z prvků shodé s jejich permutacei. I pro jejich počty dostaeme ze vzorců ( ) a ( ) shodou hodotu!... Defiice: Kombiace. Neuspořádaý výběr k prvků z možiy prvků, k, takový, že se v ěm každý prvek vyskytuje ejvýše jedou se azývá k-čleou kombiací z prvků... Věta: Počet kombiací. Je celkem ( ) kombiací z prvků..( )... ( k + ) k! k čleých Důkaz: Při výběru k prvků z, kdy uvažujeme i jejich pořadí jsme dostali k čleé variace z prvků. Ty z ich, které dostaeme jeom přerovaím jejich prvků odpovídají jedié k čleé kombiaci. Je jich vždy k!, eboť je získáme jako všechy jejich permutace. Počet kombiací je tudíž podílem počtu k čleých variací bez opakováí a počtu permutací k prvků. To je ovšem podle vzorců ( ) a ( ) vzorec ( )..6. Defiice: Kombiačí číslo. Číslo ze vzorce ( ), které uvádí počet k čleých kombiací z prvků ozačujeme symbolem.( )... ( k + ) ( ) =. k k! Nazýváme jej kombiačí číslo a čteme ad k. V souladu s defiicí hodoty!= defiujeme = pro =,,, Věta: Vlastosti kombiačích čísel. Pro všecha celá ezáporá čísla, k, k platí: a) = =, = ;! b) = = k k ( k)! k! ; + c) + =, k <. k k + k + Důkaz: a) Kombiačí číslo = podle defiice. Hodoty kombiačích( čísel ) dostaeme jestliže do vztahu ( ) dosadíme za k postupě ( )... ( + ) hodoty k = a k =. Je = =!!! = ; = + =. ( )... ( k + ) b) Úpravou vzorce ( ) dostaeme = = k k!

4 ( )... ( k + ) ( k)( k )... = k! ( k)( k )... =! k!( k)!. Jestliže v tomto vztahu dosadíme za k hodotu k, pak ve jmeovateli zlomku dostaeme, že k!( k)! = ( k)!( + k)! = ( k)!k!, což jsou shodé hodoty. c) Vztah dokážeme pomocí vyjádřeí kombiačích čísel, které je uvedeo ve vztahu b). Je pak (! + = k k + ( k)!k! +! [ (k + )]!(k + )! =! [ (k + )]!k! k + ) = k +! = [ (k + )]!(k + )! + ( k)(k + ) = ( + )! + [ (k + )]!(k + )! = k +.8. Pozámka: Pascalův trojúhelík. Vlastost c) z věty ám umoží počítat hodoty kombiačích čísel. Čísla se dají uspořádat do tzv. Pascalova trojúhelíku. Je z ěj patrá jejich symetrie a ásledující jeho řádek dostaeme sčítáím dvou čísel z řádku předchozího. ( ) ( ) ( ) ( Po vyčísleí dostaeme pro kombiačí čísla uvedeé schema. V ěm vidíme, že dolí řádek dostávame jako součty dvou prvků z horího řádku. To ám dovolí efektivě počítat hodoty kombiačích čísel pro ízké hodoty a k Příklad: Jaovská loterie. Z 9 čísel se losuje. Můžeme si koupit lístek, který obsahuje,,, ebo čísel. Lístek vyhrává, pokud obsahuje pouze čísla, která jsou mezi pěti vylosovaými. Na lístek s číslem se vyplácí krát cea lístku. V případě výhry s dvěma čísly (ambo) se vyplácí 7 krát cea lístku. Pro lístek s čísly (tero) je výhra krát cea lístku, pro lístek se čísly (kvatero) je výhra 7 krát cea lístku a pro lístek s čísly (kvitero) je výhra krát cea lístku. Vypočtěte kolik je možých výsledků tahu a kolik z ich připadá a jedotlivé možosti výher. Řešeí: Při tahu vybíráme čísel z 9 a a jejich pořadí ezáleží. Počet všech možostí je počet všech -ti čleých kombiací z 9 a podle vzorce ( ) je rove 6 )

5 9 = = Pokud si koupíme lístek s jedím číslem, pak potřebujeme, aby se toto číslo shodovalo s ěkterým z tažeých. Ostatí čísla mohou být libovolá. Ta se ale losují ze zbývajících 89 čísel a tedy je jejich počet rove ( 89 ) = = 66. Poměr počtu šťastých lístků ku všem (pravděpodobost výhry) je rove = 9 = 8. Lze tedy říci, že v průměru vyhrává každý 8-tý lístek, ale vyplácí se a ěj výhra pouze v ceě lístků. Pořadatel loterie si echává ceu lístků. Pro ostatí možosti výher je teto poměr ve prospěch pořadatele ještě přízivější. V případě lístků se dvěma čísly musí být čísla z tažeých. Zbývající čísla jsou tažea z( 88 ) čísel a jejich počet je tedy rove 88 = = Poměr počtu šťastých lístků ku všem (pravděpodobost výhry) je rove = = 8. Lze tedy říci, že v průměru vyhrává přibližě každý -tý lístek, ale vyplací se a ěj výhra pouze v ceě 7 lístků. Pořadatel loterie si echává ceu lístků. Vypočtěte si poměry šťastých lístků a všech možostí pro zbývající případy lístků se, a čísly. [ 78 ; 8 ; 9968.] Pozámka: S kombiačími čísly se setkáme v pravděpodobosti především v situacích, které odpovídají tzv. biomickému rozděleí. Obecější případ multiomického rozděleí dostaeme, jestliže budeme uvažovat výběry při kterých budeme prvky rozmisťovat do přihrádek a ebude ás zajímat pořadí prvků. Kombiačí číslo odpovídá situaci dvou přihrádek. Jeda, do které ukládáme vybíraé prvky (k prvků) a druhá (původí), ve které zůstaou evybraé prvky ( k prvků)... Věta: Permutace s opakováím. Máme růzých prvků, které máme rozmístit do k, k přihrádek tak, že do m té přihrádky umístíme m prvků, přičemž k =. Potom je počet růzých rozmístěí prvků do přihrádek rove číslu! ( )!!... k!. Důkaz: Při popsaém výběru musíme vyčerpat všechy prvky. Výběrem vlastě provádíme jejich permutaci. Jejich počet je podle vzorce ( ) rove!. Pokud další permutaci získáme pouze výměou prvků v ěkteré s přihrádek, pak je to z pohledu rozdělováí tetýž výběr. Takových permutací můžeme provést v m té přihrádce m!, m k. Podle obecého pravidla komiatoriky je takových výmě celkem!.!... k!. Počet růzých možých rozděleí prvků je rove poměru všech možostí ku počtu shodých. To je ale uvedeý vzorec. Všimeme si, že v případě dvou přihrádek je = k, = k a počet výběrů je dá kombiačím číslem. 7

6 Pozámka: Kombiace s opakováím. Uvažujeme výběr ze skupiy druhů předmětů. Ptáme se kolik k tic předmětů můžeme vybrat, když epřihlížíme k pořadí ve skupiě a za růzé výběry se považují ty, které se liší alespoň v jedom předmětu. Počet takových výběrů je dá kombiačím číslem a mluvíme pak o kombiacích s opakováím... Věta: Počet kombiací s opakováím. Počet k kombiací s opakováím z druhů předmětů je rove + k ( + k )! =. k k!( )! Důkaz: Vzorec odvodíme dvěma způsoby, které využíváme při řešeí úloh, které odpovídají popsaému výběru. a) Nejprve si výběr popišme tak, že srováme prvky podle jedotlivých druhů. Výběr popíšeme pomocí symbolů z a tak, že píšeme tolik jediček, kolik obsahuje výběr prvků určítého druhu a potom apíšeme ulu. Pokud výběr prvky ěkterého druhu eobsahuje ásledují v zápise uly za sebou. Např. Symbol zameá, že výběr obsahuje prvky z. skupiy, jede z., žádý ze., tři ze. a jede z. skupiy. Je vidět, že zápis obsahuje k jediček a ul. Jedičky odpovídají prvkům výběru a uly oddělují jedotlivé druhy. Každému symbolu odpovídá jede výběr a každý výběr je jedozačě urče takovým symbolem. Počet výběrů je tedy rove počtu symbolů, které obsahují k jediček a ul. Te je ale rove počtu permutací s opakováím kdy + k prvků rozdělujeme do dvou skupi, které obsahují buď uly a ebo jedičky. Podle vzorce ( ) je teto počet rove ( + k )! + k + k = k!( )! k![( + k ) k]! =. k b) Jiý způsob odvozeí může odpovídat jié modelové situaci. Uspořádejme výběr tak, že prvky stejého druhu jsou za sebou. Dostaeme tak posloupost čísel,,...,k. Nyí k pořadovým číslům prvků z druhé skupiy přičteme, k pořadovým číslům prvků z třetí skupiy přičteme a postupujeme tak dále až k pořadovým číslům posledí skupiy přičteme číslo. Dostaeme tak vybraou rostoucí posloupost k čísel z poslouposti {,,..., +k }. Každá taková posloupost odpovídá jedozačě jedomu výběru požadovaé vlastosti. Počet takových posloupostí, tedy i výběrů, je rove počtu k čleých kombiací z + k prvků, což je číslo ze vzorce ve větě... Příklad: V cukrárě prodávají čtyři druhy zákusků, špičky, větríky, věečky a kremrole. Kolika způsoby lze akoupit 8 zákusků. Řešeí: Podle předchozích úvah se jedá o 8 čleé kombiace s opakováím ze prvků. Je tedy k = 8, = a + k = 8 + =. Jejich počet je rove kombiačímu číslu + k = =! k 8 8!.! =..9 = 6.. Pozámka: Výběry s podmíkami. V ěkterých úlohách řešíme výběry za omezujících podmíek. Výběry jsme často popisovali pomocí posloupostí z a, kdy zameá, že prvek eí vybrá a ozačuje výběr prvku. Řešme situaci takovou, že pokud z prvků v řadě jede vybereme esmíme již vybrat jeho souseda. Zameá to, že výběr je urče posloupostí a takovou, že se v í evyskytou dvě za sebou. Hledejme kolik je takových výběrů... Věta: Růzých posloupostí z a, které obsahují ( ul ) a k jediček, k +, + ( + )! a ve kterých ejsou žádé dvě jedičky za sebou je celkem = k ( k + )!k!. 8

7 Důkaz: Podmíka k + je zřejmá. Pokud by bylo více ež musí být alespoň dvě za sebou. Zapišme si yí za sebou. Potom můžeme jedotlivé umísťovat po jedé vždy před. Dostaeme možostí. Další možost je, že můžeme umístit za posledí. Je tedy k dispozici celkem + pozic, ze kterých vybíráme k míst. Jejich počet je rove počtu k čleých kombiací z + prvků, což je vzorec z věty... Příklady k procvičováí.. Příklad: Z města A do města B vede růzých cest, z města B do města C vedou cesty a z města C do města D cesty. Kolik růzých cest vede z města A do města D. Řešeí: Počet růzých cest určíme z pravidla součiu. Je celkem..= cest.. Příklad: Kolika způsoby lze vybrat jedu souhlásku a jedu samohlásku ze slova lavice a ze slova statistika. Řešeí: Ve slově lavice jsou růzé souhlásky a růzé samohlásky. Podle pravidla součiu je tedy.=9 možých výběrů. Ve slově statistika jsou růzé samohlásky a růzé souhlásky. Je tedy celkem.=6 výběrů.. Příklad: Kolika způsoby je možé vybrat a šachovici dvě pole tak, aby platilo: a) pole jsou růzá; b) pole mají růzou barvu; c) pole eleží v jedé vertikále a ai v jedé horizotále; d) splí podmíku z c) a mají růzou barvu. Řešeí: a) Šachovice má celkem 6 polí, tudíž podle pravidla součiu je 6.6= možostí výběru. (-čleé variace bez opakováí z 6 prvků.) b) Šachovice má polí bíle barvy a polí čeré barvy. Podle pravidla součiu je celkem.= možostí. c) Prví pole vybereme ze všech 6 polí. Pro výběr druhého vyecháme ze šachovice sloupec a řádek. Zbyde ám čtverec, který má 7 krát 7, tedy 9 polí. Podle pravidla součiu je celkem 6.9= 6 možostí. d) Prví pole vybereme ze všech 6 polí. Pro výběr druhého vyecháme ze šachovice sloupec a řádek. Zbyde ám čtverec, který má 7 krát 7, tedy 9 polí. Z těchto polí je ale pouze polí druhé barvy ež jsme zvolili poprvé. Podle pravidla součiu je celkem 6.= 6 možostí.. Příklad: Kolik růzých čtyřciferých čísel je možé apsat pomocí číslic,,,..., 9 tak, aby: a) číslo ezačíalo ; b) číslo ezačíalo a všechy cifry byly rozdílé. Řešeí: Použijeme pravidlo o součiu. a) Prví cifru můžeme vybrat 9 způsoby (eí dovolea ) a každou další způsoby. Je tedy celkem 9...= 9 růzých čísel. b) Prví cifru můžeme vybrat 9 způsoby (eí dovolea ), druhou také 9 způsoby (přidáme a vyecháme použitou cifru), třetí 8 a čtvrtou 7 způsoby (vždy v dalším kroku vyecháme použité cifry). Je celkem = 6 růzých čísel. 9

8 . Příklad: Jede člověk má 6 detektivek a druhý má 8 historických romáů. Kolika způsoby si mohou vyměit a) po jedé kize; b) po dvou kihách. Řešeí: Použijeme pravidlo součiu. Při výměě jedé kihy má prví 6 možostí a druhý ( 8. Celkem ) je tedy 6.8=8 možých výmě. V případě výměy dvou kih má 6 prví = 6. 8 = možostí a druhý má = 8.7 = 8 možostí. Je tedy.. celkem.8= možostí růzých výmě. 6. Příklad: Ze souboru karet vybereme. Kolik je možostí, že ve vybraé skupiě je: a) alespoň jedo eso; b) právě dvě esa. Řešeí: Je celkem =! = 8 možostí všech výběrů. Z ich je!.! 8 = 8! = těch, které eobsahují žádé eso,eboť musíme vybrat!.8! karet ze 8. Je tedy = možostí, kdy je ve výběru alespoň jedo eso. 8 Právě dvě esa můžeme vybrat celkem =. 8. 8! = způsoby. Vybíráme totiž esa ze a 8 karet ze zbývajících 8!.! Příklad: Máme k dispozici 7 růzých korálků, které avlékeme a šůru a dostaeme áhrdelík. Kolik růzých áhrdelíků můžeme sestavit. Řešeí: Náhrdelík je urče pořadím korálků. Růzých pořadí 7 korálků je tolik, kolik je jejich permutací, tedy 7!=. Ale ty permutace, které dostaeme pootočeím určí stejý áhrdelík. Ke každé permutaci takto získáme ještě 6 dalších, tedy celkem 7 permutací vždy určí týž áhrdelík. Je tedy počet áhrdelíků rove 7! 7 = 6! = 7. Když si ale takový áhrdelík akreslíme, vidíme, že jej můžeme převrátit kolem svislé osy a dostaeme hrdelík, který odpovídá jié permutaci korálků. Bude tedy celkový počet áhrdelíků polovičí, tudíž je rove Příklad: Kolika způsoby můžeme rozestavit 8 věží a šachovici. Řešeí: Jedié omezeí v této úloze je, že a poli smí být postavea ejvýše jeda věž. Zameá to, ( že ze ) 6 polí jich vybíráme 8. Počet je rove počtu 8-čleých kombiací 6 ze 6, tudíž = = ! 9. Příklad: Na šachovici máme rozestavit 8 věží tak, aby se avzájem eohrožovaly. Kolik je takových možostí. Řešeí: Ze zadáí úlohy vyplývá, že v každém sloupci a každém řádku smí být postavea jediá věž. Jestliže očíslujeme řádky a sloupce od do 8, třeba z levého dolího rohu doprava a ahoru, pak je postaveí věže v každém sloupci určeo číslem řádku, tedy dvojicí (k, a k ), k =,,..., 8 a čísla {a, a,..., a 8 } jsou permutací čísel,,...,8.

9 Každá z permutací určí jedo dovoleé postaveí věží a jejich počet je tedy rove počtu všech permutací 8 prvků, tudíž je 8!= možostí.. Příklad: Ve sportce se losuje 6 čísel ze 9 a potom ještě jedo číslo premiové. Výhra. pořadí zameá uhodout všecha tažeá čísla a výhra. pořadí vyžaduje uhádout prvích 6 čísel. Vypočtěte kolik je všech možostí losovaých čísel. Kolik je mezi imi těch, které odpovídají výhře. pořadí. Řešeí: V prví části tahu vybíráme 6 čísel ze 9 a ezáleží a pořadí. Jejich počet je tedy rovem počtu 6-čleých kombiací ze 9, tudíž 9 = = ! Ty odpovídají výhře. pořadí. Pro. pořadí ještě volíme další číslo a pro tuto volbu máme k dispozi zbývajících čísel. Všech možostí je tedy = Příklad: Krotitel šelem přivádí do maéže lvů a tygry. Kolika způsoby je může seřadit, jestliže esmí jít dva tygři za sebou. Řešeí: Úloha je podobá úloze o výběrech s podmíkami, ale zde záleží a pořadí zvířat, která jsou rozlišitelá. Způsob řešeí je ale shodý jako u počtu posloupostí z a. Nejprve seřadíme lvy a to můžeme udělat celem!= způsoby. Nyí můžeme umístit tygra vždy po jedou před lvy, tedy je možostí a další místo je za posledím lvem. Máme celkem 6 míst pro tygry. Protože jsou od sebe rozlišitelí, záleží tedy a pořadí a počet možých výběrů je počet čleých variací ze 6. Te je rove 6...=6. Podle pravidla o součiu je celkový počet možostí jak seřadit šelmy rove.6=.. Příklad: Na dvoře krále Artuše sedí u kulatého stolu rytířů. Každý z ich má epřátele a ti jsou u stolu jeho sousedy. Na výpravu k záchraě lady Giervy je třeba vybrat rytířů tak, aby mezi imi ebyli epřátelé. Kolik je možostí výběru. Řešeí: Úloha je podobá předchozí, liší se v tom, že rytíři ejsou v řadě, ale sedí v kruhu a v tom, že ezáleží a pořadí v jakém rytíře do skupiy vybereme. Řešeí provedeme tak, že kruh a jedom místě přetrheme. Mezi rytíři je ejvíce ctě sir Lacelot. Pro výběr máme dvě možosti. Ve skupiě je sir Lacelot, ebo eí.. ve skupiě je sir Lacelot. Potom tam esmí být jeho oba ( sousedé. ) Zbývá ám vybrat 6 rytíře ze skupiy 9 zbývajících. To lze udělat celkem = 6... = způsoby.... Je celkem 9 rytířů, vybereme a e. Ozačíme-li vybraé a evybraé, je počet výběrů rove počtu posloupostí ze čtyř a pěti takových, že v í ejsou dvě za sebou. Podle odstavce o výběrech z podmíkami je těchto možostí uvedeý počet.. ve skupiě eí sir Lacelot. Pak ho z řady vyecháme a zůstae( ám ) rytířů v řadě, 7 ze kterých jich vybíráme. Obdobě jako v. případě dostaeme = = možostí výběrů. Je zde pět a šest. Celkový počet výběrů je tedy +=6.

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Vážeí zákazíci dovolujeme si Vás upozorit že a tuto ukázku kihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To zameá že ukázka má sloužit výhradì pro osobí potøebu poteciálího kupujícího (aby èteáø vidìl

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )! ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Variace, permutace, kombiace, kombiačí čísla, vlastosti, užití faktoriál, počítáí s faktoriály, variace s opakováím.. Upravte a urči podmíky: a)!! 6! b)!! 6! 9! c)!!!!. Řešte rovici: a) 4 b) 0 c) emá řešeí

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF

ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Úloha číského listooše ÚLOHA ČÍNSKÉHO LISTONOŠE, MATEMATICKÉ MODELY PRO ORIENTOVANÝ A NEORIENTOVANÝ GRAF Uvažujme situaci, kdy exstuje ějaký výchozí uzel a další uzly spojeé hraami (může jít o cesty, ulice

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 15. 9. 2012 Název zpracovaného celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY Předmět: Ročík: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ. 9. 0 Název zpracovaého celku: KOMBINACE, POČÍTÁNÍ S KOMBINAČNÍM ČÍSLY DEFINICE FAKTORIÁLU Při výpočtech úloh z kombiatoriky se používá!

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Kombiatoria Autor: Mgr. Haa Čerá Název šoly: Gymázium Jaa Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematia a její apliace Ročí: 5. ročí Tématicý cele: Kombiatoria a pravděpodobost

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa...

IV-1 Energie soustavy bodových nábojů... 2 IV-2 Energie elektrického pole pro náboj rozmístěný obecně na povrchu a uvnitř objemu tělesa... IV- Eergie soustavy bodových ábojů... IV- Eergie elektrického pole pro áboj rozmístěý obecě a povrchu a uvitř objemu tělesa... 3 IV-3 Eergie elektrického pole v abitém kodezátoru... 3 IV-4 Eergie elektrostatického

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

2. část: Základy matematického programování, dopravní úloha. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 2. část: Základy matematického programováí, dopraví úloha. 1 Úvodí pomy Metody a podporu rozhodováí lze obecě dělit a: Eaktí metody metody zaručuící alezeí optimálí řešeí, apř. Littlův algortimus, Hakimiho

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1.

DIM PaS Připomenutí poznatků ze střední školy. Faktoriály a kombinační čísla základní vzorce: n = k. (binomická věta) Příklady: 1. DIM PaS. Připomeutí pozatků ze středí školy Faktoriály a kombiačí čísla základí vzorce: ( )( 2 )...2.! =. 0! = =! ( k)! k! ( )...( k ). + = k! = k + + = k + k + 2 2 ( a + b) = a + a b+ a b +... + a b +...

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

2.5.10 Přímá úměrnost

2.5.10 Přímá úměrnost 2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad

Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení příklad Test hypotézy o parametru π alterativího rozděleí příklad Podik předpokládá, že o jeho ový výrobek bude mít zájem 7 % osloveých domácostí. Proběhl předběžý průzkum, v ěmž bylo osloveo 4 áhodě vybraých

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky.

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky. Návod pro cvičeí předmětu Výkoová elektroika Návod pro výpočet základích iduktorů s jádrem a síťové frekveci pro obvody výkoové elektroiky. Úvod V obvodech výkoové elektroiky je možé většiu prvků vyrobit

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovice RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Rovice kombiatorické VY INOVACE_5 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Skupiy prvků, kde záleží a pořadí Bez opakováí Počet Vk( )

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Střední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97. Vybrané části Excelu. Ing. Petr Adamec

Střední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97. Vybrané části Excelu. Ing. Petr Adamec INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Střední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97 Vybrané části Excelu Ing. Petr Adamec Brno 2010 Cílem předmětu je seznámení se s programem Excel

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více