POSOUVAČE FÁZE ZALOŽENÉ NA VYUŽITÍ PASIVNÍCH REALIZACÍ FRAKTÁLNÍCH KAPACITORŮ

Transkript

1 6 J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací Roč. 70 (04) Čílo POSOUAČE FÁZE ZALOŽENÉ NA YUŽITÍ PASINÍCH REALIZACÍ FRATÁLNÍCH APACITORŮ Doc. Ing. Jiří Petržela, Ph.D. Útav radioelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, UT v Brně, etrzelj@feec.vutbr.cz Abtrakt Tento říěvek řináší oznatky o možnoti využití dvojólů kontantním fázovým ouvem v nových tyech kmitočtových filtrů, tzv. aymtotických fázovačích ignálu. Exitují čtyři základní tyy nových řenoových funkcí, řičemž každá okytuje unikátní možnot libovolného očátečního nebo konečného fázového ouvu mezi výtuním a vtuním naětím. Jednotlivé třídy obecných fázovačů ignálu jou oány nejrve matematicky, ověřeny obvodovým imulátorem OrCAD PSice a nakonec laboratorním měřením. Odvozeny jou zaojení /4, / a 3/4 kaacitorů, k jejichž realizaci i vytačíme aivními, komerčně dotunými oučátkami. Závěrem článku je naznačen další výzkum v této erektivní interdicilinární oblati olu možnými raktickými alikacemi. líčová lova: Analogový obvod, filtrační truktura, fázový oouvač, rvek kontantním fázovým ouvem Abtract Thi aer bring a note on the oibility to ue contant hae element a core device for a new tye of the frequency filter, the o-called aymtotical hae hifter. There are four fundamental tye of the tranfer function, each of them having the unique roerty of arbitrary tarting or ending value of the hae hift between the outut and inut voltage. The articular clae of the general hae hifter are decribed mathema-tically, verified by OrCAD PSice circuit imulator, and finally validated by laboratory meaurement. The individual two-terminal contant hae element, namely /4, / and 3/4 caacitor are imlemented by uing aive comonent with realizable, commercially available value. Poible further reearch in thi erective interdicilinary area and everal future alication are finally dicued. eyword: Analog circuit, filtering tructure, hae hifter, contant hae element Úvod Přetože kalkulu fraktálního řádu (FŘ) je oměrně tarou matematickou ideou [], [], tále řitahuje ozornot mnoha výzkumníků a kontruktérů, nevyjímaje návrháře analogových elektronických obvodů. První záznam o možnoti exitence derivací a integrací necelitvých řádů e datuje až do konce 7. toletí, a to do koreondence mezi G. F. A. de L Hoitalem a G. W. Leibnizem. Záadním roblémem dynamikou FŘ je vlatní fyzikální interretace oerátoru tzv. diferintegrace a její geometrická vizualizace [3]. Tento lineární oerátor dovoluje ojitě řecházet mezi roceem integrace a derivace, a to změnou jediné kontanty. Zdá e, že diferenciální rovnice FŘ ředtavují obecnější aroximaci ecifických reálných dějů čaovou evolucí, čímž ouvií i řenější kvantifikace těchto jevů. Jedná e naříklad o behaviorální modelování roceu difúze [4] a viko-elaticity [5], velmi omalých chemických reakcí či elektrických rojevů na omezí dvou materiálů atd. Z hledika čitě analogových elektronických obvodů e outředěnými arametry můžeme raktické alikace rvků (dvojóly či dvojbrany) oaných dynamikou FŘ nalézt ve zětných vazbách dynamických ytémů, PI D β regulátorech (zde a β jou necelá číla), řídicích obvodech [6] a analogových blocích, jako jou ocilátory [7] nebo filtry [8]. Detailní vyvětlení matematického ozadí kalkulu FŘ může být oněkud náročnější ro inženýra-kontruktéra, avšak toto není z hledika návrhu ani alikace fraktálních obvodových rvků nutnotí. Outíme-li roblematické matematické artie, můžeme e zaměřit na tyické vlatnoti rvků FŘ, a to jako oučáti komlexnějších ytémů. Ukazuje e, že má myl zabývat e ředevším aivními lineárními dvojóly, u nichž je relace mezi roudovou odezvou a naěťovým buzením vyjádřena derivací v intervalu od 0 do. Tyto rvky budeme nazývat fraktálními kaacitory (F). Interní řád rvku označíme ymbolem. První ecifickou vlatnotí ideálního F je kmitočtová odezva jeho admitance, jejíž modul rote e měrnicí 0 decibelů na kmitočtovou dekádu. Fázový ouv mezi roudem a naětím zůtává ro všechny kmitočty kontantní, konkrétně π/ [rad], tedy 90 [ ]. Je zřejmé, že ro hodnotu 0 řechází F v obyčejný rezitor (vodivot), jehož imedance nezávií na kmitočtu a fázový ouv mezi roudem a naětím nenatává. Naoak ro limitní říad obdržíme klaický kaacitor, u něhož imedance kleá úhlovým kmitočtem e trmotí / a fázový ouv mezi roudem a naětím je 90. Admitanci F můžeme vyjádřit ve tvaru Y() I() / () Y 0, kde Y 0 je kontanta. Dvojól admitancí FŘ můžeme nadno tranformovat na dvojbran naěťovou řenoovou funkcí FŘ omocí vhodného obvodu, naříklad katalogového zaojení invertujícího zeilovače oeračním zeilovačem naěťovou zětnou vazbou. Podle umítění F a obyčejného rezitoru lze realizovat jak fraktální integrátor, tak i fraktální derivátor. Obr.. onfigurace aivního dvojólu ro modelování F.

2 Roč. 70 (04) Čílo J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací 7 Návrh kaacitorů e čtvrtinovým krokem Hlavní nevýhodou, která brzdí hromadné využívání F v raktických alikacích, je kutečnot, že tento element není běžně komerčně dotunou oučátkou. oučané době navíc neexituje olovodičový ani jiný materiál či technologický roce, jehož rotřednictvím bychom byli choni vyrobit takovou oučátku, která by dotatečně řeně a v širokém kmitočtovém rozahu vytihovala vlatnoti F. S ohledem na to jme nuceni chování F v kmitočtové oblati aroximovat ložitějším obvodem, jehož kutečný matematický řád je mnohonáobně vyšší než horní limit arametru, tedy jedna. Dooud byly ublikovány ráce, v nichž je k tomuto účelu oužito žebříkové nebo tromové RC truktury, aralelního nebo ériového řazení ložitějších RC a RL admitancí. Jedna z nejvýhodnějších toologií je oána v [9] a [0], ve které je Y arox n n i ai i i Y n 0 n k bk k k ( zi ) ( k ), () kde a i a b i jou kladné koeficienty, zi a i jou olohy nulových bodů a ólů admitance a n je matematický řád konečné realizace F. Otimální aroximace minimálním zvlněním fázového ouvu okolo nominální hodnoty vede na volbu nulových bodů a ólů, které leží na záorné čáti reálné oy komlexní roviny v ředem definovaných vzdálenotech (ve mylu úhlové rychloti a odle definované chyby, která je jedním ze vtuních arametrů yntézy) a vzájemně e třídají. Na každou dekádu kmitočtu řitom řiadá tejný očet nulových bodů a ólů admitance. latní realizace aroximace F je otom komromiem mezi řenotí a ložitotí. Čím větší bude n ve vztahu (), tím řenější bude aroximace nebo širší kmitočtový rozah oužitelnoti rvku, ovšem za cenu vyšší ložitoti výledného obvodu. Je zřejmé, že aroximace () je vždy latná ouze v omezeném kmitočtovém rozahu, který je vtuním arametrem aroximace. Není ale výrazným roblémem vytvořit řenou aroximaci F ro audio ámo, která může být alikována naříklad na netradiční kmitočtové korekce, vytváření zvukových rotorových efektů, atd. citlivot aroximace na neřenoti v oužitých rvcích. Těmito neřenotmi mohou být jak výrobní tolerance, tak i fakt, že rezitory a kaacitory jou vyráběny v ortimentních řadách, kuříkladu E, E4, E96 a odobně. Diference mezi rávnými a kutečnými hodnotami je otřeba reektovat již ři návrhu univerzální exerimentální deky ro ovrchovou montáž tak, jak ukazuje obr.. Zde může být každý rezitor a kaacitor ložen ze ério-aralelní kombinace až tří dílčích. Tab.. Hodnoty rvků ro realizaci aroximace F řádem /4. R [kω] R [kω] R [kω] R 3 [kω] R 4 [kω] R 5 [kω] R 6 [kω] R 7 [Ω] R 8 [Ω] R 9 [Ω] R 0 [Ω] error ϕ C [F] C [nf] C [nf] C 3 [nf] C 4 [nf] C 5 [nf], ,5 C 6 [nf] C 7 [F] C 8 [F] C 9 [F] C 0 [F] Y 0, ,8,5 0-5 Tab.. Hodnoty rvků ro realizaci aroximace F řádem /. R [kω] R [kω] R [kω] R 3 [kω] R 4 [Ω] R 5 [Ω] R 6 [Ω] R 7 [Ω] R 8 [Ω] R 9 [Ω] R 0 [Ω] error ϕ C [F] C [nf] C [nf] C 3 [nf] C 4 [nf] C 5 [nf] C 6 [nf] C 7 [nf] C 8 [nf] C 9 [nf] C 0 [F] Y 6 6,5, Tab. 3. Hodnoty rvků ro realizaci aroximace F řádem 3/4. R [kω] R [kω] R [kω] R 3 [kω] R 4 [kω] R 5 [Ω] R 6 [Ω] R 7 [Ω] R 8 [Ω] R 9 [Ω] R 0 [Ω] error Obr.. onfigurace aivního dvojólu ro modelování F. Pro budoucí raktické exerimenty byly vytvořeny tři F, a to konkrétně ro hodnoty /4, / a 3/4. aždá realizace vychází z ředeané konfigurace deeti ekcemi R i C i uvedené na obr.. Numerické hodnoty obvodových komonent jou řehledně zahrnuty v tab., tab. a tab. 3. Podtatnou nevýhodou všech známých realizací F je značná ϕ C [nf] C [nf] C [nf] C 3 [nf] C 4 [nf] C 5 [nf] 4, C 6 [nf] C 7 [nf] C 8 [nf] C 9 [nf] C 0 [nf] Y 6 0 6,4 4,

3 8 J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací Roč. 70 (04) Čílo Odovědí na roblém citlivotmi je otimalizační roce, v jehož rvním kroku i definujeme ovolenou chybu fázového ouvu formou tolerančního kanálu. Pro tři navržené F je admitance rimárně nížena faktorem /R a dále narůtá e trmotí 5, 0, 5 db na dekádu kmitočtu. onečnou hodnotou admitance je nekonečno, tedy vf zkrat. Odovídající fázové ouvy F jou kontantní hodnoty,5, 45, re. 67,5. našem říadě byl kmitočtový rozah aroximace zvolen v intervalu od 0 Hz až do 0 MHz maximální dovolenou chybou menší než. Pro ověření vyočtených aroximací F byl využit obvodový imulátor OrCAD PSice. Přílušné výledky jou demontrovány na obr. 3. Pracovní rozah kmitočtů je natolik velký, že tyto F mohou loužit ro vytváření a zracování ignálů v ámu LF a IF, tedy nejenom ro oouvače fáze. Je známo, že řenoové funkce lineárních dvojbranů mohou být imulačnímu rogramu OrCAD PSice ředloženy ve formě bloků LAPLACE. Známe-li numericky množiny nulových bodů a ólů aroximující admitance, ak tento F můžeme římo využít v uzemněné nebo lovoucí alikaci, viz obr. 4 ro řád n 6. Právě bloku LAPLACE lze využít ro lně automatizované hledání otimální konfigurace nulových bodů a ólů funkce (), řičemž hodnota může být libovolná. Obr. 4. ϕ min Možnot alikace F modelovaného ABM bloky jednou nulou a jedním ólem, řičemž F je uzemněn (nahoře, fraktální dolní rout) nebo může být lovoucí (dole, fraktální horní rout). min [ ϕnom ϕ( ) ] ϕ nom n i arctan d zi + n k arctan k < ε, () kde ε definuje chybu (šířku kanálu), ϕ nom je nominální fázový ouv ro zadané, n je celkový řád aroximace, zi a k jou hledané úhlové kmitočty. Po úěšném hledání mohou být hodnoty všech aivních rvků F identifikovány orovnáním () admitancí F uravenou do racionálního lomeného tvaru Y C. (3) R + C + n i i CiRi + Obr. 3. Simulace fázových ouvů ideálních (červeně) a aroximovaných (modře) F řádem /4 (horní obrázek), / (urotřed) a 3/4 (dolní graf). Princi této metody je naznačen na obr. 5 (ro n 6), kde byla zavedena hyotetická kakáda bilineárních, re. bikvadratických filtrů. Parametry těchto filtrů jou v rvním říadě ouze úhlový kmitočet jedné nuly a jednoho ólu řenou, ve druhém říadě e jedná vždy o dvojici nul a ólů. Tyto kmitočty v rad/ jou cílem rocedury hledání, naříklad modulem okročilých analýz. Pro vytyčení chybového kanálu fáze je nutno vytvořit množinu účelových funkcí vyčílujících fázové rozdíly na definovaných ingulárních kmitočtech odél celého uvažovaného racovního kmitočtového rozahu. Analyticky lze každou tuto funkci rozdílu definovat jako Obr. 5. Možnot římé realizace F ři znaloti oloh nulových bodů a ólů aroximující admitance omocí bilineárních (nahoře) a bikvadratických (dole) filtrů. 3 Teoretický základ oouvačů fáze Známou kutečnotí je, že u elektronických obvodů e outředěnými arametry klaickými akumulačními rvky (tedy analogové obvody oané diferenciálními rovnicemi celitvých řádů) je nejmenší doažitelná aymtotická změna fáze kmitočtem ±90. Těmto obvodům říkáme obvody minimálním argumentem. říadě obvodů neminimálním argumentem, tedy všeroutných fázovacích článků, e tento základní fázový ouv zvětšuje na ±80. Pro některé analogové oerace e ignály je otřeba, aby očáteční a konečný fázový ouv u dvojbranu byl nulový a na konkrétním jednom

4 Roč. 70 (04) Čílo J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací 9 kmitočtu nabýval libovolné hodnoty mezi 0 a 90. Touto vlatnotí dionuje jednoduchý bilineární filtr kmitočtem nulového bodu menším než je kmitočet ólu řenoové funkce. Oačnou variantou, tedy říadem, kdy je kmitočet nulového bodu větší než kmitočet ólu, lze doáhnout toho, že na zadaném jednom kmitočtu bude fázový ouv v intervalu od 0 do -90, řičemž ro velmi nízké a velmi vyoké kmitočty e bude fázový ouv blížit nule. Označíme-li ožadovaný fázový ouv jako ϕ ve tuních na kmitočtu f v Hz, ak řenoová funkce a odovídající relace mezi nulovým bodem a ólem bude náledující: all out in + z, + ϕπ ϕπ z πf tan + tan ϕπ z + πf tan 80 πf. ϕπ πf z tan 80 +, Analogové elektronické obvody vyšších řádů můžeme ro jednoduchot uvažovat jako kakádní komozici bilineárních a bikvadratických ekcí. Náledkem toho zůobí obvod n-tého řádu fázový ouv ře celé kmitočtové ámo ±n90. 4 Základní fázovače ignálu Předokládejme, že od lineárního dvojbranu očekáváme libovolný očáteční nebo konečný fázový ouv mezi výtuním a vtuním naětím. takovém říadě muí nutně tento obvod obahovat aleoň jeden rvek charakterizovaný fraktální dynamikou. Ukazuje e, že exitují celkem čtyři různé tyy řenoových funkcí, které dovolují takovou změnu fáze. První z nich označíme jako ytém A, mění fázový ouv od 90 až do 0, chéma je zobrazeno na obr. 6 yznačuje e naěťovou řenoovou funkcí v Lalaceově tranformaci Y0 R Y R + in 0 S (4) out. (5) Sytémem B budeme nazývat fázovač ignálu choný rovét aymtotickou změnu fáze v intervalu od -90 do 0. Odovídající zaojení je na obr. 6 a řenoová funkce má tvar Y0 RS Y R out +. (6) in Třetím členem rodiny fázovačů ignálu je ytém C, který lze oat naěťovou řenoovou funkcí 3 RS R Y R + in 0 S 0 out. (7) Jedná e de fakto o čitě fraktální dolní rout matematického řádu menšího než jedna (řád odovídá římo hodnotě ), tedy o filtrační obvod aymtoticky obracející fázi v intervalu 0 až do -90. Změna odoru rezitoru R má za náledek ouze vertikální ouv modulové kmitočtové charakteritiky filtru. Přílušná obvodová realizace je uvedena na obr. 7. Polední fázovač ignálu, ytém D, lze využít ro změnu fáze mezi 0 a 90. Přílušný elektronický obvod je na obr. 7 vravo, řičemž řenoovou funkcí je výraz Obr. 6. Obr. 7. ( Y R ) out R. (8) 4 0 S + in RS Imlementace fázovačů ignálu konečnou nulovou hodnotou, ytém A (vlevo) a B (vravo). Imlementace fázovačů ignálu konečnou nulovou hodnotou, ytém C (vlevo) a D (vravo). Pro numerické ověření rávné funkce navržených fázovačů ignálu jou vyneeny kmitočtové odezvy v grafu olárními ouřadnicemi. U fázovačů ignálu A, B konečnou nulovou hodnotou jou výledky uvedeny na obr. 8. U ytémů nulovou očáteční fází, tedy ytémů C a D, jou doažené numerické výledky uvedeny na obr. 9. Nezávile roměnná (kmitočet) je měněna v rozahu od 0, Hz do GHz tak, aby byla atrná limitace činnoti fázovače ignálu vlivem konečné aroximace F. Navrhovaná obvodová řešení mají dvě záadní výhody. První ramení římo z vlatnotí oužitého aktivního rvku AD844, který ředtavuje ozitivní roudový konvejor druhé generace, za nímž náleduje ledovač naětí. Jako blok je tedy oán čtyřmi rovnicemi, a to 0 I Z. (9) + IY I C I X 0 Druhá rovnice dělá z každé realizace ideálního kandidáta na kakádní yntézu. šechny dvojbrany v kakádě amozřejmě nemuí být fázovače ignálu, mohou to být obvody fraktálního i celitvého řádu, avšak záadní je doažení vyoké vtuní a nízké výtuní imedance. Další významnou výhodou zaojení je, že obahují vždy uzemněné F. To e může ukázat být řínoné v říadě, budou-li rezitory uvnitř F nahrazeny elektronicky řiditelnými (většinou externím zdrojem roudu) rezitory realizovanými omocí oeračních tranadmitančních zeilovačů. Takovou imlementaci bychom mohli označit za řiravenou k lné CMOS integraci. Hlavní nevýhodou koncece oouvačů fáze je zvýšený útlum některých truktur. Pro odtranění tohoto roblému můžeme využít širokoámového neinvertujícího zeilovače. Stejnou úlohu může ehrát i invertující zeilovač, oerace komlexního řenou v olárním grafu e však řeouvají do rotilehlých egmentů. C C

5 0 J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací Roč. 70 (04) Čílo a derivátoru může být využita k vertikálnímu ouvu finální modulové kmitočtové charakteritiky. Předtavenou třídu fázovačů ignálu jedním F lze dolnit o komlementární invertory fáze, jejichž ymbolický výraz ro řeno může být +, (0) 0 5, kde 0 ředtavuje kvazi-mezní kmitočet dvojbranu. Obvod, který by realizoval vztahy (0) a zároveň obahoval ouze jeden F, však doud nebyl nalezen. Obr. 8. Polární graf kmitočtové odezvy fázovače ignálu třídy A (nahoře) a B (dole) využitím F kontantou 0,5 ro tři mezní kmitočty: 0 Hz (modrá), 00 Hz (červená) a khz (zelená). 5 Pokročilé fázovače ignálu Exituje celá řada různých tvarů řenoových funkcí fraktálními mocninami komlexního kmitočtu, které mohou být užitečné ro filtrování, ekvalizéry nebo zracování ignálu obecně. Naštětí není otřeba odvozovat nikterak ložité formy řenoových funkcí, ale lze využít kakádního zaojení výše uvedeného fázovače ignálu naříklad ideálním integrátorem nebo derivátorem. Změnu fáze začínající na hodnotě -β90 a končící na -90 lze obtarat kombinací ytému A, kde F je řádu β, dvojbranem majícím jeden ól řenou v očátku komlexní roviny, což je ideální integrátor. Podobně můžeme kmitočtovou změnu fázového ouvu v rozahu od β90 do 90 realizovat kakádním ojením ytému B, kde F bude oět řádu - β dvojbranem jednou nulou řenou v očátku komlexní roviny, ideálním derivátorem. Numerický důkaz obou koncecí je uveden na obr. 0. Souhrnně lze kontatovat, že kombinací základního fázovače ignálu integrátorem a/nebo derivátorem je možné doáhnout libovolného očátečního i konečného fázového ouvu mezi výtuním a vtuním naětím kakády. Budeme-li mluvit o komlexním řenou outavy v olárních ouřadnicích, ak lze říci, že můžeme ojit libovolné dvě římky libovolného egmentu. Čaová kontanta integrátoru Obr. 9. Polární graf kmitočtové odezvy fázovačů ignálu třídy C (nahoře) a D (dole) využitím F kontantou 0,5 ro tři mezní kmitočty 0,0 Hz (modrá), 0, Hz (červená) a Hz (zelená). 6 Neideální vlatnoti aktivních rvků Úloha fázového oouvání může být vážně narušena i zcela znehodnocena arazitními vlatnotmi oužitých aktivních rvků. Integrovaný obvod AD844 může být odle katalogového litu charakterizován odorem vtuní naěťové vorky MΩ a vtuní roudové vorky řibližně 50 Ω. To znamená, že obě imedance jou do dotatečně vyokého kmitočtu kmitočtově nezávilé a neovlivňují výlednou kmitočtovou odezvu, neboť jou římo uvažovány ři výočtu aivních rvků obvodu. Záadní vliv má charakter imedance

6 Roč. 70 (04) Čílo J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací výtuní roudové vorky, kterou lze modelovat aralelním zaojením rezitoru o odoru 3 MΩ a kaacitoru 5,6 F, definující mezní kmitočet f high 9,5 khz, který e nachází urotřed racovního áma. Tato RC kombinace je zodovědná za vložení dalšího ólu do originální řenoové funkce (5) tak, jak to ukazuje obvodová imulace rogramem OrCAD PSice výledky na obr.. Polední neideální vlatnotí AD844 [] je fakt, že roce ledování roudu nevykazuje ro celé kmitočtové ámo jednotkový řeno. Chování tohoto řenou lze vytihnout charakteritikou tyu dolní rout rvního řádu horním mezním kmitočtem řibližně 9 MHz. Pokle roudu e odrazí i na okleu výtuního naětí za ledovačem. Analogická ituace jako ro ytém A tudíž latí i ro fázovač ignálu D, kde rezitor R S má odor zvýšený na 400 Ω, viz obr.. zeilovačů roudovou zětnou vazbou, u nichž e důrazně nedooručuje řiojování kaacitorů k invertující roudové vorce ohledem na možné roblémy e tabilitou. Obr.. Modulová (nahoře) a fázová (dole) kmitočtová odezva fázovače A nulovou výtuní admitancí (modrá) a výtuní admitancí loženou z aralelního ojení rezitoru a kaacitoru (červená). Obr.. Modulová (nahoře) a fázová (dole) kmitočtová odezva fázovače D nulovou výtuní admitancí (modrá) a výtuní admitancí loženou z aralelního ojení rezitoru a kaacitoru (červená). Obr. 0. Polární graf kmitočtové odezvy ytému A ojeného ideálním integrátorem (nahoře) a kakády ytému B ideálním derivátorem (dole) využitím F realizace kontantou 0,5 ro tři mezní kmitočty 0,0 Hz (modrá), 0, Hz (červená) a Hz (zelená). ýhodnější konfigurace z hledika kmitočtové oužitelnoti než jou na obr. 6 a obr. 7 okytuje invertující truktura e tandardním oeračním zeilovačem. ýběr oužitého aktivního rvku je amozřejmě klíčový i zde. Jako libné e jeví naříklad integrované obvody AD804 [], OPA847 [3], LT6 [4], THS450 [5] a jejich ekvivalenty. Naoak za oněkud nevhodný je možno ovažovat výběr oeračních 7 Exerimentální výledky Již rvotní exerimenty ukázaly, že kontaktní ole není vhodným nátrojem ro realizaci F a tedy ani ro verifikaci fázovačů ignálu. Tyto deky mají velké arazitní kaacity (jejichž velikoti jou rovnatelné racovními kaacitami) a indukčnoti. Jejich hodnoty bohužel nejme choni ředvídat ani roměřit tak, abychom byli choni ooudit jejich vliv na funkci fázovačů ignálu. To byl také jeden z důvodů vytvoření univerzální deky. Exerimentální ověření ytému A využitím F řádu /4, / a 3/4 je demontro-

7 J. Petržela: Poouvače fáze založené na využití aivních realizací Roč. 70 (04) Čílo váno na obr. 3. tomto říadě je ignifikantní kmitočet jednoznačně dán hodnotami R 50 kω a R S 330 Ω. Podobně obr. 4 ukazuje modulovou a fázovou kmitočtovou odezvu ytému B hodnotami R 33 kω a R S 53 Ω. 8 Závěr této ráce je ukázáno, jakým zůobem mohou být využity aivní realizace F ři zracování ojitých ignálů. Předtavené oouvače fáze e vyznačují libovolnou očáteční či konečnou hodnotou fázového ouvu mezi výtuním a vtuním naětím. Po rovedení značného očtu laboratorních exerimentů lze kontatovat, že ro rávnou činnot obvodů muí být aroximace F latná v kmitočtovém rozahu značně řeahujícím racovní kmitočtové ámo. S ohledem na to lze ovažovat oužitých deet R i C i ekcí za minimální očet ro F. aždý obvod jedním nebo více F je extrémně náchylný na neideální a arazitní vlatnoti aktivních rvků, ke kterým jou F řiojeny [6]. Další výzkum v oblati fraktálních elektronických ytémů bude největší ravděodobnotí měřovat na vývoj materiálů a technologických rocedur ro výrobu F nebo fraktálních obvodových rvků obecně. Několik libných tudií již bylo v olední době zveřejněno, naříklad [7], [8] nebo [9]. Nicméně komaktní truktura rozumných rozměrů a vhodných vlatnotí tále čeká na objevení. Součaně těmito racemi bude okračovat výzkum nových alikací fraktálních rvků. Nadcházející objevy mohou být očekávány zejména z oblati generátorů harmonických ignálů. Za úvahu tojí elektronicky řeladitelný zětnovazební ocilátor, u něhož je ve zětné vazbě zaojen fraktální dvojbran. Bude-li mít aturační zeilovač umítěný v římém měru dotatečné zeílení, ak v celém ámu řeladění bude fázový vztah mezi dvěmi naětími v obvodě kontantní. Otázkou je využití fraktálních vícebranů, kdy mezi jednotlivými branami je fázová relace odovídající různým hodnotám. Syntéza těchto vícebranů by ak mohla využívat dílených nulových bodů a ólů. Fraktální rvky mohou být využity k rozkladu analogového ignálu a jeho rekontrukci, k řenému modelování dynamických ytémů, yntéze chaotických ytémů necelitvých řádů atd. Poděkování Rád bych touto cetou oděkoval Prof. Ing. Juraji alovi, CSc. za uvedení do roblematiky fraktálních dynamických ytémů a za neočet cenných rad tím ouviejících. Literatura [] Oldham,., Sainer, J. Fractional Calculu. New York, Academic Pre, 974. [] Podlubny, I. Fractional Differential Equation. New York, Academic Pre, 998. [3] Podlubny, I. Geometric and hyical interretation of fractional integration and fractional differintegration. Fractional Calculu and Alied Analyi, 00, vol. 5, no. 4, Pozn. red.: Obrázek umítěn na vnitřní traně obálky. [4] Oringher, E., Beghin, L. Fractional diffuion equation and rocee with randomly varying time. The Annal of Probability, 009, vol. 37, no., [5] Schieel, H., Metzler, R., Blumen, A., Nonnenmacher, N. Generalized vicoelatic model: their fractional equation with olution. Journal of Phyic A: Math. Gen., 995, vol. 8, [6] Podlubny, I., Petra, I., inagre, B. M., Oleary, P., Dorcak, L. Analogue realization of fractional-order controller. Nonlinear Dynamic, 00, vol. 9, [7] Radwan, A. G., Elwakil, A. S., Soliman, A. M. Fractional-order inuoidal ocillator: deign rocedure and ractical examle. IEEE Tranaction of Circuit and Sytem I: Regular Paer, 008, vol. 55, [8] Radwan, A. G., Soliman, A. M., Elwakil, A. S. Firt-order filter generalized to the fractional domain. Journal of Circuit, Sytem and Comuter, 008, vol. 7, [9] ala, J., lach, J. RC model of a contant hae element. International Journal of Circuit Theory and Alication, 0, vol. 0, [0] ala, J., Dvorak, P., Friedl, M. Network model of CPE. Radioengineering, 0, vol. 0, [] atalogový lit AD844 [online]. Analog Device. Dotuné z htt:// data_heet/ad844.df. [] atalogový lit AD804 [online]. Analog Device. Dotuné z htt:// com/tatic/imorted-file/ data_heet/ad804.df. [3] atalogový lit OPA847 [online]. Texa Intrument. Dotuné z htt:// /lit/d/ymlink/oa847.df. [4] atalogový lit LT6 [online]. Linear Technology. Dotuné z htt://cd.linear.com/doc/en/dataheet/ lt6.df. [5] atalogový lit THS450 [online]. Texa Intrument. Dotuné z htt:// th4503.df. [6] Galeone, L., Garraa, R. Exlicit method for fractional differential equation and their tability roertie. Journal of Comutational and Alied Mathematic, 009, vol. 8, [7] Biquert, J., Garcia-Belmonte, G., Bueno, P., Longo, E., Bulhoe, L. O. S. Imedance of contant hae element (CPE)-blocked diffuion in film electrode. Journal of Electroanalytical Chemitry, 998, vol. 45, [8] Berthier, F., Diard, J. P., Michel, R. Ditinguihability of equivalent circuit containing CPE art I: theoretical art. Journal of Electroanalytical Chemitry, 00, vol. 50,.. [9] Hirchorn, B., Orazem, M. E., Tribollet, B., ivier,. Frateur, I., Muiani, M. Contant-hae-element behavior caued by reitivity ditribution in film. Journal of the Electrochemical Society, 00, vol. 57,