OBJEMY A POVRCHY TĚLES

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "OBJEMY A POVRCHY TĚLES"

Ludvík Vítek
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 OBJEMY A POVRCHY TĚLES Metodický mteiál do semináře MA SDM Růžen Blžkoá, Ien Budínoá KOMOLÝ JEHLAN Ojem komolého jehlnu Po zjednodušení ododíme zthy po komolý jehln, jehož podstmi jsou čtece. Oznčení: Délk hny dolní podsty. Délk hny honí podsty Výšk jehlnu Výšk jehlnu doplňkoého.. Ojem komolého jehlnu ypočítáme jko ozdíl ojemů dou jehlnů V = V V, kde V je ojem jehln doplněného V je ojem jehlnu doplňkoého. Po ojemy kždého z jehlnů pltí: V = ( + V = Výšku ypočítáme z podonosti tojúhelníků VSN VSL: V S L S N Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

2 + = = Pk V = ( + - V = ( + Doszením z úpou dostneme V = ( + + Oecně po ojem komolého jehlnu s podstmi o oshu S S pltí: V = ( S + SS + S Poch komolého jehlnu Síť komolého jehlnu (čtyřokého: h Po pidelný komolý jehln s podstmi tu čtece pltí: S = S + S + Spl kde h je stěnoá ýšk, h = S = + ( ( h Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

3 KOMOLÝ KUŽEL Oznčení: Polomě dolní podsty.. Polomě honí podsty.. Výšk kužele.. Výšk doplňkoého kužele Ojem komolého kužele Odození pomocí podonosti postředky žák zákldní školy s Ojem komolého kužele ypočítáme jko ozdíl ojemů dou kuželů V = V - V, kde V je ojem doplněného kužele V je ojem kužele doplňkoého. Po ojemy kždého z kuželů pltí: V = π ( + V = π Výšku učíme z podonosti tojúhelníků VSA VSB: V S B S A Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

4 + = Pk = V = π ( + - π Doszením z úpmi dostneme: V = π ( + + Názoně můžeme žákům demonstot, že ojem kužele je oen jedené třetině ojemu álce, kteý má stejnou podstu i ýšku jko kužel. Zolíme model álce (npř. plechoku, podst má polomě, ýšk álce je. Vyeeme hodný model kužele (npř. náleku tk, y měl tké polomě ýšku jko álec. Nléáním ody zjistíme, že do álce můžeme nlít tři náleky ody. Odození pomocí integálního počtu Nejpe uedeme zth po ýpočet ojemu kužele s podstou o poloměu ýškou. y B O A Tento kužel získáme otcí poúhlého tojúhelníku OAB kolem osy. Souřdnice odů ktézské soustě souřdnic: O[0,0], A[,0], B[,], >0, >0. Funkce: f( = Ojem otčního těles je dán zthem: V = π Ojem kužele: V = π d = π d π π = = f ( d 4 Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

5 y B C O A Komolý kužel získáme otcí poúhlého lichoěžníku OABC kolem osy. Souřdnice odů ktézské soustě souřdnic: O[0,0], A[,0], B[,], C[,0], >0, >0, >0. Funkce: f( = + ( ( π V= π + d = π d + π d + π d = ( = π ( + + Poch komolého kužele Nejdříe uedeme zth po ýpočet kužele s poloměem podsty ýškou. Jk nýsujeme síť kužele (přiližně: Do kuhu epíšeme pidelný mnohoúhelník (lespoň dnáctiúhelník n olouk se středem odě V poloměu s nneseme postupně úsečky (tětiy, ychom získli lespoň přiližně délku olouku π. Jestliže chceme získt přesnější konstukci pláště kužele, musíme ypočítt elikost středoého úhlu kuhoé ýseče. Poch kužele je oen součtu oshů podsty pláště. Podstou je kuh, plášť je kuhoá ýseč. Osh kuhoé ýseče můžeme ypočítt jko osh tojúhelníku se zákldnou π ýškou. S = Sp + Spl S = π + πs Kde s je stn kužele, s = +. Poch komolého kužele je oen součtu oshů oou podst komolého kužele pláště komolého kužele. Osh pláště můžeme ypočítt jko osh onomenného lichoěžníku se zákldnmi π π ýškou s. 5 Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

6 S = S + S + Spl S = π + π π + π + s kde s je stn kužele, s = + ( KOULE Poch koule Postředky žák zákldní školy: Předstme si, že kuloou plochu ozdělíme n 4 shodné části (npř. jko když loupeme pomenč. Těmito částmi pokyjeme 4 kuhy o poloměu shodném s poloměem koule. Tedy jedn část má osh π poch celé koule je S = 4 π. Pomocí integálního počtu: y= - Koule znikne otcí půlkuhu kolem osy. Oecná onice kužnice o poloměu je +y = Deice podle : + yy = 0 y = y Osh pláště otčního těles, kteé znikne otcí křiky kolem osy je dám zthem: + S = π f ( [ f ( ] d Doszením: 6 Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

7 Úpou: S = S = π y + d y π + y d = π d = π d S = π = 4π Ojem koule Postředky žák zákldní školy Předstme si, že n kouli můžeme ozdělit n jehlny, kteé mjí podstu n kuloé ploše chol e středu koule. Součet ojemů šech tkoých jehlnů je oen ojemu koule. V = 4 π = 4 π Pomocí integálního počtu: Necháme-li otot půlkuh kolem osy, dostneme kouli. Ronice kužnice o poloměu : V = +y =, pk y = f π ( d = ( π d = π d d = 4π π = π + [ ] π = 4 Koule má tedy ojem V = π. K ýpočtu ojemu koule můžeme yužít i jiných postupů, npř. pomocí tojného integálu sféických souřdnic. Litetu: Kuřin, F., Háoá, J.: Mtemtik po 9. očník zákldní školy. Fotun, Ph 99 7 Růžen Blžkoá, Ien Budínoá: Ojemy pochy těles

Podobné dokumenty

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES

29. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9. OBJEMY A POVRCHY TĚLES 9.. Vypočítejte poch kádu ABCDEFGH, jestliže ) AB =, BC = b, BH = u b) AB =, BH = u, odchylk AG EH je ϕ H G Poch kádu učíme podle zoce: S = b + c + bc ( ) c E F D b C ) A B u