Frekvenční metody syntézy

Transkript

1 Frevenční metody yntézy Autor: etr Havel, Frevenční metody návrhu e naží upravit frevenční charateritiu otevřené myčy L ta, aby výledná frevenční charateritia uzavřené myčy T měla požadovaný průběh. Mezi L a T exitue ednoznačný vztah L T. L wt et C yt - L T Obr. Zpětnovazební řídicí ytém Typicý přeno uzavřené myčy bude vypadat ao dolní proput bude mít T až do ité frevence a od této frevence dále bude amplituda přenou leat, T <. V ideálním případě by měl mít ednotovou amplitudu na všech frevencích za předpoladu nulové fáze by pa přenášel libovolně rychlé změny reference wt v podtatě bez přechodového děe na výtup yt, to vša není reálně uutečnitelné např. vla by e rozel oamžitě na m/h a navíc by e tím přenášely na výtup i nežádoucí vyoofrevenční šumy. Rezonanční převýšení a šířa přenášeného páma ro hodnocení vality řízení můžeme na frevenční charateritice uzavřené myčy definovat náleduící míry: Rezonanční převýšení maximální hodnota zeílení. Velé rezonanční převýšení znamená velý přemit na přechodové charateritice. Většina řídicích ytémů e v praxi rezonančním převýšením až 3 db navrhue, protože různé nelinearity typu necitlivot, teré neou lineárním modelem popány, totiž přemity zpravidla utlumí. oud by e vyžadovalo rezonanční převýšení nulové, tedy bez přemitu, byla by ve utečnoti odezva zpětnovazebního řídicího ytému zbytečně pomalá. Šířa přenášeného páma frevence, na níž polene zeílení o 3 db oproti zeílení na nízých frevencích. Širší proputné pámo znamená rychleší odezvu ytému, t. ratší dobu náběhu přechodové charateritiy dobu, za terou přede výtup z % na 9% utálené

2 hodnoty. Na druhou tranu větší šířa přenášeného páma vša znamená, že ytém může reagovat i na vyoofrevenční rušení zpravidla přítomné na vtupech ytému. Amplitudová a fázová bezpečnot Z Nyquitova ritéria vyplývaí dvě bezpečnotí meze. Amplitudová bezpečnot gain margin, GM říá, olirát e eště může zvětšit zeílení v otevřené myčce, než e zpětnovazební ytém dotane na mez tability. oud ytém L přenáší ignály na ité frevenci GM fázovým pounutím -8, dotane e ta výtup do protifáze e vtupem bude mít záporné znaméno. Zápornou zpětnou vazbou pa tento ignál přivedeme zpět na vtup L, de e vša v tomto případě ečte e ignálem původním. oud má zpětnou vazbou vrácený ignál nižší amplitudu než ignál budicí, zůtane výtup omezený a zpětnovazební obvod tabilní. Natane-li opačný případ, t. bude zeílen, zpětnovazební ytém bude netabilní. Je-li zeílení pro frevenci GM ednotové, me na hranici tability. ři návrhu zpětnovazebního řízení e dobré vědět, olirát eště můžeme zvýšit zeílení, než e dotaneme na mez tability. 5 Bode iagram Magnitude db Sytem: S Gain Margin db: 23.8 At frequency rad/ec: 7.35 Cloed Loop Stable? Ye GM Sytem: S hae Margin deg: 3 elay Margin ec: 3.2 At frequency rad/ec:.7 Cloed Loop Stable? Ye hae deg -9-8 M Frequency rad/ec Obr. 2 Fázová a amplitudová bezpečnot na Bodeho diagramu Fázová bezpečnot phae margin, M podobně říá, o a velé zpoždění fázi i můžeme dovolit zpozdit vtupní ignál na frevenci M, pro terou má přeno L ednotové zeílení, než e fáze obrátí na -8 a zpětnovazební ytém e ta dotane na hranici tability. Jedním z parametrů při návrhu regulátoru pa může být předem určená fázová bezpečnot otevřené myčy. Jeí hodnota ouvií relativním tlumením, pro ytém druhého řádu a hodnoty M < 7 lze aproximovat vztahem 2

3 podle terého lze přibližně zvolit M při požadovaném tlumení ζ. M ζ, 2 V praxi e model nebo zíaná frevenční charateritia řízené outavy nidy nebude přeně hodovat realitou a proto při návrhu řízení na modelu zvolíme dotatečnou fázovou bezpečnot, abychom i byli iti, že i při apliaci na reálném, ne zcela totožném ytému bude zaištěna tabilita uzavřené myčy. V praxi e typicy používá fázová bezpečnot M 45. Hodnoty fázové a amplitudové bezpečnoti lze nadno nalézt napřílad na Bodeho diagramu Obr. 2. regulátor regulátor použieme tehdy, budeme-li chtít rozšířit proputné pámo uzavřené myčy a zvýšit tím rychlot odezvy ytému na vtupní ignál. Zume navrhnout regulátor pro ytém přenoem řeno regulátoru e C,. 4 arametr, zlomovou frevenci regulátoru, volíme ta, aby byla hodná e zatím neznámou frevencí M, na níž budeme měřit fázovou bezpečnot výledného přenou otevřené myčy L, tedy zvolíme M. Na této frevenci zvýší člen fázi outavy o 45 arg L arg arg C arg Fázová bezpečnot M e definována ao viz. Obr. 2 8 M arg L. 6 Kombinací vztahů 5 a 6 zíáme arg 8 M oud zvolíme M 45, vyde fáze outavy na frevenci plňuící 3

4 arg 8. 8 Neznámou frevenci tedy nademe na frevenční charateritice řízeného ytému v mítě, de eho fáze prochází -8. ro zvolený ytém, ehož frevenční charateritia e vyrelena na Obr. 2, vychází 7,35. Nyní zbývá určit druhý parametr regulátoru. Ten určíme z podmíny, že poud e frevence, na teré e odečítá fázová bezpečnot, muí na ní zeílení otevřené myčy L být ednotové o úpravě zíáme L C nebo po využití vztahu 4. 2 Zeílení opět odečteme z Obr. 2, 23,8 db, neboli, 64 db. o doazení do vyde,95, případně,49. Nyní iž můžeme vyrelit výlednou frevenční charateritiu otevřené myčy L, terá e výledem ečtení charateriti C a v Bodeho diagramu, viz. Obr. 3. Lze e převědčit, že fázová bezpečnot e utečně zvolených 45. Obr. 4 porovnává frevenční charateritiy uzavřené myčy bez regulátoru a e zapoeným regulátorem. Je vidět, že me doáhli požadavu na zvýšení proputného páma t. zrychlení odezvy ytému a přitom amplitudové převýšení e na rozumné hodnotě 2,37 db. Hodnoty na fázové charateritice ou vyšší a zmenšilo e tedy zpoždění v ytému. Na Obr. 5, terý uazue přechodovou charateritiu, e vidět, že e podařilo zrychlit odezvu ytému, tedy zmenšit dobu náběhu přechodové charateritiy. Výtup ytému e vša neutálil na žádané hodnotě, utálená hodnota regulační odchyly et e nenulová. To e dáno tím, že přeno L není ataticý, t. ani regulátor ani outava neobahue fator /. oud e naším cílem nulová utálená odchyla pro ontantní požadovanou veličinu, zvolíme např. regulátor. 4

5 5 Bode iagram C R Magnitude db G L S hae deg -9-8 Sytem: G hae Margin deg: 44.9 elay Margin ec:.6 At frequency rad/ec: 7.37 Cloed Loop Stable? Ye Frequency rad/ec Obr. 3 Frevenční charateritia otevřené myčy L regulátorem Magnitude db Bode iagram regulátorem 2,7 2 ednotový bez regulátoru -45 hae deg Frequency rad/ec Obr. 4 Frevenční charateritia uzavřené myčy T regulátorem 5

6 .4 Step Repone.2 regulátorem Amplitude.8.6 ednotový bez regulátoru regulátor Time ec regulátor řeno regulátoru e Obr. 5 řechodová charateritia regulátorem R, 2 Od přenou regulátoru 4 e v podtatě liší pouze členem /, potup bude proto podobný. Člen / způobí, že na rozdíl od regulátoru, na frevenci M níží člen fázi outavy o 45, taže po úpravě rovnice 5 dotaneme arg 9 3 Z frevenční charateritiy tedy odečteme frevenci v mítě, de fáze prochází -9, viz. Obr. 2,,63. Zbývá určit zeílení regulátoru ta, aby na frevenci bylo výledné zeílení ednotové L C 2 4 6

7 ro zeílení nebo náledně zíáme, Zeílení opět odečteme z Obr. 2, 4,53 db, neboli, 59 db. o doazení do 5 vyde,9, případně,94. Výledný přeno uzavřené myčy e 59,5 97 T ,5 97 Úpravou přenou otevřené myčy L me opravdu doáhli toho, že přeno uzavřené myčy T má zeílení a tedy utálená regulační odchyla e nulová. To lze pozorovat i na frevenční charateritice na Obr. 7 i na přechodové charateritice na Obr. 8. ntegrační loža vša nížila fázi uzavřené myčy na itých frevencích zvýšila zpoždění ignálu, čímž e prodloužila doba regulace. Bode iagram Magnitude db R C R G L hae deg Sytem: G -8 hae Margin deg: 45 elay Margin ec: At frequency rad/ec: Cloed Loop Stable? Ye Frequency rad/ec Obr. 6 Frevenční charateritia otevřené myčy L regulátorem 7

8 Magnitude db regulátorem ednotový bez regulátoru regulátor Bode iagram hae deg Frequency rad/ec Obr. 7 Frevenční charateritia uzavřené myčy T regulátorem.4 Step Repone.2 regulátorem Amplitude ednotový bez regulátoru Time ec Obr. 8 řechodová charateritia regulátorem 8

9 9 regulátor ři návrhu regulátoru potupueme podobně ao u regulátoru tím, že frevenci zvolíme taovou, aby e vliv integrační orece na frevenci M, de budeme měřit fázovou bezpečnot, téměř neproevil, t. typicy zvolíme,. řeno regulátoru e C 2 2, 7 de vztahy mezi zlomovými frevencemi a zeíleními ednotlivých lože ou,. 8 o rovnice 5 muíme v tomto případě přidat fázi, o terou e níží fáze otevřené myčy na frevenci díy integrační ložce, pro bude úbyte právě 5,7 viz frevenční charateritia regulátoru 7 5, 45 arg arg arg arg C L 9 oud zvolíme požadovanou fázovou bezpečnot M 39,3, vyde fáze outavy, na teré budeme odečítat frevenci teně ao pro případ regulátoru 8 arg, 2 tedy 7,35. odmína ednotového zeílení pro regulátor e 2.. C L 2 oud v poledním výrazu pod odmocninou zanedbáme člen, oproti edničce, vyde nám, 2 22 a využitím 8

10 23 2,,,d oadíme-li číelné hodnoty, dotaneme,5, 2,5, 8,2. rincip čítání charateriti a výledná charateritia otevřené myčy e vidět na Obr. 9. Frevenční charateritia uzavřené myčy vyazue a zvýšení proputného páma, ta i ednotové zeílení pro nízé frevence. orovnání odezvy na o pro uzavřenou myču, a regulátorem e uvedeno na Obr.. Bode iagram 5 C L R Magnitude db -5 S L G hae deg -9-8 Sytem: G hae Margin deg: 39.8 elay Margin ec:.925 At frequency rad/ec: 7.5 Cloed Loop Stable? Ye Frequency rad/ec Obr. 9 Frevenční charateritia otevřené myčy L regulátorem

11 Magnitude db Bode iagram regulátorem ednotový bez regulátor regulátoru -45 hae deg Frequency rad/ec Obr. Frevenční charateritia uzavřené myčy T regulátorem.4 Step Repone.2 Amplitude Time ec Obr. řechodová charateritia, a regulátorem

12 Literatura [] John, J. Sytémy a řízení, raha: Vydavateltví ČVUT, 999. [2] Horáče,., Sytémy a modely, raha: Vydavateltví ČVUT,