MATEMATIKA. Základní poznatky z matematiky. Olomouc 2010

Transkript

1 MATEMATIKA Záklní pozntky z mtemtiky Cvičenie s klíčem Olomou 00 Autor Mgr. Dn Kprálová Zprováno v rámi projektu Digitální škol ICT ve výue tehnikýh přemětů registrční číslo projektu CZ..0/..0/0.0 Projekt je spolufinnován Evropským soiálním fonem státním rozpočtem České repuliky. - -

2 Informe o projektu Název projektu Digitální škol ICT ve výue tehnikýh přemětů Registrční číslo Příjeme CZ..0/..0/0.0 Vyšší oorná škol Stření průmyslová škol elektrotehniká, Olomou, Božetěhov Prtneři Vyšší oorná škol Stření průmyslová škol, Šumperk, Gen. Krátkého Stření průmyslová škol elektrotehniká, Mohelnie, Gen. Svooy Stření oorná škol průmyslová Stření oorné učiliště strojírenské, Prostějov, Liiká Stření průmyslová škol, Přerov, Hvlíčkov Cíl projektu Záklním ílem projektu je zváění novýh pomínek využívání ICT igitálníh výukovýh zrojů ve výue tehnikýh oorů pro žáky pegogy. Důrz je klen n poporu kretivity žáků, využívání popůrnýh ICT prostřeků (noteooky jko iniviuální stuijní pomůky, igitální učenie, zisk online informí možnost využívání všeh prvků e-lerningového weového portálu n rese Hlvní ktivity projektu Mezi hlvní ktivity projektu ptří tvor novýh igitálníh učeníh pomůek inovovnýh učeníh tetů se změřením n ngličtinu, mtemtiku, fyziku elektroniku, provníh listů, prezentí testovýh vičení. Neílnou součástí projektu je e-lerningový weový portál pro přístup žáků z tehnikýh oorů k igitálním mteriálům. Žái ruhýh ročníků zpojenýh škol uou moi využívt 0 noteooků jko iniviuální stuijní pomůku pro kžoenní igitální výuku. Velmi ůležitou součástí projektu je tké ekvátní proškolení v počítčové grmotnosti, které posiluje rozvoj klíčovýh kompetení oveností žáků v olsti ICT. - -

3 Osh INFORMACE O PROJEKTU... OBSAH... PRŮVODCE STUDIEM... ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY.... ČÍSELNÉ OBORY.... ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL.... POMĚR, TROJČLENKA, PROCENTA MOCNINY S PŘIROZENÝM A CELÝM EXPONENTEM.... PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK... VÝSLEDKY.... ČÍSELNÉ OBORY.... ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL POMĚR, TROJČLENKA, PROCENTA.... MOCNINY S PŘIROZENÝM A CELÝM EXPONENTEM.... PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK... SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY... SEZNAM OBRÁZKŮ... SEZNAM POUŽITÝCH IKON

4 Průvoe stuiem Tto sírk úloh příklů je určen jk učitelům jko pomůk při provičování v hoináh mtemtiky, tk přeevším žákům n smosttné upevňování pozntků formou smostui. Žái mjí možnost kontroly svýh věomostí oveností v ruhé části vičenie, ke njou výsleky všeh úloh příklů. Cvičenie je členěn pole temtikýh okruhů o pěti kpitol, ve kterýh si připomenete prohlouíte učivo, které jste si víe či méně osvojili n záklní škole, seznámíte se i s novým učivem. V první části si zopkujeme všehny číselné oory, záklní početní opere zákony s nimi souvisejíí. Dlší vě kpitoly jsou shrnutím učiv záklní školy elementární teorie čísel poměr, trojčlenk, proent. V posleníh vou kpitoláh provičíme moniny s přirozeným elým eponentem příkly s prvoúhlým trojúhelníkem. - -

5 Záklní pozntky z mtemtiky. Číselné oory Příkl.. Npište množinu všeh přirozenýh suýh čísel menšíh než 0 většíh než. Příkl.. Využijte soitivnost, komuttivnost istriutivnost vypočítejte e 0 f g Příkl.. Vypočítejte zpměti ( ( ( ( e f g ( h ( ( i ( j ( k ( ( l ( ( ( Příkl.. Vypočítejte zpměti ( ( ( ( ( ( e ( ( f ( ( g h ( ( Příkl.. Vyjářete zlomky v záklním tvru 0 0,,, ɺ ɺ ɺ. 0 Příkl.. Dná esetinná čísl vyjářete zlomkem v záklním tvru - -

6 - -, 0,,0 0, 0, 0,, 0,,, 0, 0, Příkl.. Vyjářete jko esetinná čísl 0 Příkl.. Uspořáejte zlomky,,,,,,,, sestupně vzestupně Příkl.. Vypočítejte ( ( ( h g f e Příkl..0 Vypočítejte,,,,,,,,,,,,,,,,, (, (, Příkl.. Vypočítejte, 0, ] ( [, 0, 0 (, (,

7 - - Příkl.. Vypočítejte 0 Příkl.. N číselné ose znázorněte všehn reálná čísl, pro která pltí 0 < Příkl.. N číselné ose znázorněte všehn reálná čísl, pro která pltí > < h g f e

8 . Elementární teorie čísel Příkl.. Zpište všehn přirozená čísl, která jsou násokem čísl zároveň pro ně pltí Příkl.. Doplňte vynehnou číslii tk, y vzniklo číslo, které je ělitelné čtyřmi. Je-li víe možností, zpište všehny. 0 <. Příkl.. Njěte hyějíí číslii tk, y vzniklé číslo ylo násokem čísl evět. Je-li ví možností, uveďte všehny. 0 Příkl.. Doplňte vynehnou číslii tk, y vzniklé číslo ylo ělitelné šesti. Uveďte všehny možnosti. 0 Příkl.. Rozložte čísl n součin prvočísel 0, 0, 0,. Příkl.. Určete všehny přirozené ělitele čísl, 0,,. Příkl.. Vypočítejte součet součin všeh prvočísel většíh než 0 zároveň menšíh než 0. Příkl.. Určete D(0,. Příkl.. Určete D(, 0. Příkl..0 Určete D(0,,

9 Příkl.. Určete D(, 0. Příkl.. Určete n(0,. Příkl.. Určete n(, 0. Příkl.. Určete n(,,. Příkl.. Určete n(,. Příkl.. Potřeujete rozstříht revný pás ppíru tvru oélníku s rozměry m 0 m n o největší stejně veliké čtvere. Dokážete určit élku jejih strny? Kolik čtverů tk získáte? Příkl.. Z utousové zstávky vyjíží přesně v hoin utousy linek A, B C. Autousy linky A jezí kžýh minut, linky B kžýh minut linky C kžýh minut. V jkýh čseh mezi hoinou ojížějí utousy všeh tří linek ze zstávky součsně? Příkl.. Ovo oélníku je m osh 0 m. Určete jeho rozměry, jsou-li élky strn oélníku v entimetreh vyjářeny elými čísly. Příkl.. Bičk rozl pomernčů ořehů svým vnukům rovným ílem, niž nějký pomernč neo ořeh ělil n části. Kolik vnuků měl? Příkl..0 Kolik čtverovýh lži s élkou strny m je tře k vylážění hly tvru oélníku s rozměry, m, m? (Mezery mezi lžiemi zneejte. Příkl.. Do ohou ostli tři ruhy kpesníků ětskýh, ámskýh 0 pánskýh. Kpesníky jenotlivýh ruhů yly leny o kriček po stejném počtu kusů všeh tří ruhů. Určete tento počet, víte-li, že v kžé kriče ylo víe než kpesníků. Příkl.. Kolik jlek je v košíku, je-li možné je eze zytku rozělit o líčků po, i kuseh? Příkl.. Kričk o sirek má élky hrn mm, mm mm. Několik kriček máme posklát o krie tvru kryhle. Jké jsou nejmenší možné rozměry tkovéto zplněné krie kolik kriček o sirek lze o ní nsklát? - -

10 . Poměr, trojčlenk, proent Příkl.. Rozělte 0 sešitů n vě hromáky v poměru. Příkl.. Určete tři přirozená čísl, která jsou v postupném poměru, je-li první z nih. Příkl.. Polopřímk rozělil úhel o velikosti 0 n v úhly jejih velikosti jsou v poměru. Určete velikosti těhto úhlů. Příkl.. Tři přirozená čísl jsou v poměru 0, jejih součet je 0. Která jsou to čísl? Příkl.. Oélník má ovo, m. Určete jeho rozměry, víte-li, že jsou v poměru. Příkl.. Rozměry olitku tvru kváru jsou mm, mm, 0 mm. Jké rozměry ue mít olitek n plánku zhotoveném v poměru? Příkl.. Rovnostrnný trojúhelník má élku strny, m. O kolik entimetrů se změní jeho ovo, jestliže se jeho strn změní v poměru? Příkl.. Ve škole koupili ks učeni zeměpisu zpltili z ně 0 Kč. Kolik korun y zpltili z ks této učenie? Příkl.. Firm ostl o oeního úřu zkázku n vylážění náměstí. Slíil, že prái provee z ní. Mjitel firmy počítl se čtyřmi lžiči. Jeen z nih všk onemoněl. O kolik ní se práe n zkáze prolouží? Příkl..0 Při letekém práškování pole ylo n, h použito kg příprvku. Kolik kilogrmů příprvku musí ýt připrveno n práškování pole tvru oélníku s rozměry, km 00 m? Příkl.. Zvětšíme-li neznámé číslo o % ostneme číslo. Určete neznámé číslo. Příkl.. Zmenšíme-li neznámé číslo o ostneme % jeho honoty. Určete neznámé číslo. Příkl.. V loňském roe se n gymnázium hlásilo 0 žáků. Počet zájemů letos poklesl o %. Kolik žáků se letos hlásí ke stuiu? - 0 -

11 Příkl.. Určete čistý měsíční výělek řemeslník, víte-li, že 0 % tvoří ň, ož je 00,- Kč t mu je z hruého pltu oečten. Příkl.. Z plehovýh esek o elkové hmotnosti 00 kg yly zhotoveny sklové regály o elkové hmotnosti 0 kg. Kolik proent mteriálu připlo n op? Příkl.. Záklní školu nvštěvuje hlpů, ož je % všeh žáků. Kolik ěvčt je v této škole? Příkl.. Vypočítejte hyějíí úje v tule Měřítko mpy - plánu Skutečný rozměr Rozměr n mpě - plánu m m 0 km m m, m Příkl.. Zoží ylo vkrát zlevněno. Nejprve o 0 %, pozěji ještě o 0 % z nové eny. Jeho konečná en je Kč. Urči půvoní enu počet proent o kolik ylo elkem zlevněno. Příkl.. N sklě je 0 tun rmor. První en ovezli %, ruhý en 0 % zytku. Kolik tun rmor pk zue n sklě? Příkl..0 Roert l Olovi úkol Zstrlý výroek s půvoní enou 000 Kč yl třikrát z seou zlevněn o 0 % pk ještě o 0 %. Jká je jeho konečná en? Ol se omnívá, že výroek yl nkone zrmo. Měl prvu? Jká yl konečná en? - -

12 - -. Moniny s přirozeným elým eponentem Příkl.. Uprvte vypočítejte - y y y f e Příkl.. Uprvte pk vypočítejte n n n n Příkl.. Určete součiny monin zpměti s t s f e k k Příkl.. Určete poíly monin zpměti y y g g r r f e Příkl.. Zjenoušte Příkl.. Umoněte součiny ( ( ( ( n m y

13 - - Příkl.. Zjenoušte ( ( ( ( ( ( ( ( ( Příkl.. Vyjářete pomoí monin prvočísel ( ( ( ( 0 ( e Příkl.. Uprvte výsleky vyjářete ez použití zlomků Příkl..0 Zjenoušte né výrzy ( ( ( ( ( y y y y y y y y

14 - - Příkl.. Uprvte ( ( ( ( Příkl.. Zjenoušte násleujíí výrzy z přepoklu, že,,, jsou nenulová reálná čísl, výsleek zpište pomoí monin s přirozeným monitelem Příkl.. Zjenoušte násleujíí výrzy z přepoklu, že,,, jsou nenulová reálná čísl, výsleek zpište pomoí monin s přirozeným monitelem y y

15 . Prvoúhlý trojúhelník Příkl.. Vypočítej osh rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně, m. Příkl.. Kosočtvere má úhlopříčky m 0 m. Urči élku jeho strny. Příkl.. Jk vysoko je uhyený stožár, je-li lno louhé, m vzálenost kolíku ln o pty stožáru je, m. Příkl.. Vypočítej élku úhlopříčky AC oélníku ABCD, je-li m m. Příkl.. Kolik korun stojí omítnutí štítu omu tvru rovnormenného trojúhelníku, stojí-li jeen metr čtverečný omítky Kč? Zákln trojúhelníku je m rmen mjí élku 0 m. Příkl.. Dětský rk je upoután n motouzu louhém 0 m vznáší se n místem X, které je o stnoviště, oku je rk vypouštěn, m. Jk vysoko je rk? Příkl.. Zákln rovnormenného trojúhelníku má élku m, příslušná výšk m. Vypočítejte ovo tohoto trojúhelníku. Příkl.. Vypočítejte ovo osh čtyřúhelníku ABCD n or., jestliže pltí AB m, AD m, BC m, úhel DAB úhel DBC je prvý. D A B C Orázek Čtyřúhelník ABCD Příkl.. Žeřík louhý m je opřen o zeď. Jeho olní kone je o zi vzálen, m. V jké výše se žeřík otýká zi? Příkl..0 Kolmo rostouí topol nlomil vítr ve výše m n zemí. Vrhol opl n zem ve vzálenosti m o pty topolu. Určete půvoní výšku topolu. Příkl.. Vypočítej ovo prvoúhlého trojúhelníku ABC, je-li AC, m úhel α. - -

16 Příkl.. Je án prvoúhlý trojúhelník ABC. Určete élku ověsny vnitřní ostré úhly, jestliže, m m. Příkl.. Je án prvoúhlý trojúhelník ABC, ke je přepon. Určete zývjíí élky strn úhly, jestliže β 0 m. Příkl.. Vypočtěte ostré vnitřní úhly prvoúhlého trojúhelníku o oshu, m, jehož jen ověsn má élku, m. Příkl.. Vypočtěte élku zývjíí strny velikosti vnitřníh úhlů v prvoúhlém trojúhelníku ABC, je-li áno m m. Příkl.. Štít střehy má tvr rovnormenného trojúhelníku. Šířk je, m, sklon střehy. Vypočtěte výšku štítu. Příkl.. V prvoúhlém trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrholu C je m, m. Vypočítej velikost úhlu α β. Výsleek zokrouhli n elé stupně. Příkl.. Vypočítej velikost úhlu α β v prvoúhlém trojúhelníku s prvým úhlem při vrholu C. mm mm mm mm Příkl.. Sílu o velikosti F 0 N rozložte n vě kolmé složky F, F tk, y úhel mezi silmi F, F yl. Příkl..0 Vypočtěte élky strn rovnormenného trojúhelníku ABC, je-li áno v, m, úhel α. Příkl.. N hmotný o půsoí vě k soě kolmé síly o velikosteh F N, F N. Vypočtěte velikost výslenie F úhly, které svírjí síly F, F F, F. Příkl.. Prvoúhlý trojúhelník ABC má přeponu 0 m výšku v m. Jk velké úseky vytíná výšk v n přeponě? Příkl.. Lno élky 00 m spojuje vě stnie lnovky. Dolní stnie lnovky leží ve výše m. n. m. horní stnie leží ve výše 0 m. n. m. Jká je voorovná vzálenost stni lnovky? Příkl.. Stožár yl upevněn v metry po vrholem šesti lny o elkové éle, m. Kžé z nih je upevněno ve vzálenosti, m o pty stožáru. Jk vysoký je stožár? - -

17 Příkl.. K letišti letí vě letel. První z nih letí ryhlostí 00 km/h je o letiště vzáleno km, ruhé letí ryhlostí 00 km/h je o letiště vzáleno km. Jká ue nejkrtší vzálenost mezi letly z minut, jestliže jejih ráhy letu jsou nvzájem kolmé? - -

18 Výsleky. Číselné oory Příkl.. Množin K {,, 0,,,, } Příkl.. 0, 0, 0, 0, e 00, f000, g0 Příkl.. - 0, -,, -, e, f, g -, h 0, i -, j - 0, k, l -0 Příkl.., -,, -, e, f -, g -, h - Příkl.. Příkl.., 0,,, -,,, 0,,,,, 0,, Příkl..,,0,0 0, 0,, Příkl.. Příkl..,,,,,,,,,, g,, h,, e, f 0, Příkl..0 0,, 0,,,, Příkl..,,, Příkl..,,, 0 Příkl.. K { }, K, K R, K (

19 0 Příkl.. K e K - 0 { }, K, K (, K ( (, (, f K (, g K, h K { } e f g 0 h

20 . Elementární teorie čísel Příkl.. množin A { 0,0,,,,0,} Příkl.. 0,,,,, { } Příkl.., 0,, 0, Příkl.. 0, { }, 0, 0, 0,,,,,,, Příkl..,,, Příkl.. {,,,,,,,,,,, }, {,,,,,0,,, 0, 0,,0} {,,,,, }, {,,,,,,, } Příkl.. 0 Příkl.. Příkl.. Příkl..0 Příkl.. Příkl.. 0 Příkl.. 0 Příkl.. Příkl.., Příkl.. Příkl.. Příkl.. Příkl.. Příkl..0 m0 ksčtverů utousy ojíží v h, v0 h, ve m, m neo vnuky lži h ve h - 0 -

21 Příkl.. Příkl.. Příkl.. kpesníků jlek mm kusů - -

22 . Poměr, trojčlenk, proent Příkl.. Příkl.., 0, Příkl.. 0 Příkl..,, 0 Příkl.. Příkl.. Příkl.. Příkl.. Příkl.. m,, m mm, mm, mm o 0, m Kč o ní Příkl..0, t Příkl.. 00 Příkl.. 0 Příkl.. Příkl.. žáků 00 Kč Příkl.. 0 % Příkl.. ívek - -

23 Příkl.. Měřítko mpy - plánu Skutečný rozměr Rozměr n mpě - plánu km m m, m km m 000 m, m Příkl.. Příkl.. Příkl Kč o %, t Ne, en je,0 Kč - -

24 - -. Moniny s přirozeným elým eponentem Příkl.. 0 y f e Příkl.. 0 n n Příkl.. 0 t s f e k Příkl.. r f e y g Příkl.. Příkl.. n m y Příkl.. Příkl.. e Příkl.. Příkl..0 0 y y Příkl.. 0 Příkl.. Příkl.. 0 0

25 . Prvoúhlý trojúhelník Příkl.., m Příkl.. m Příkl.., m Příkl.., m Příkl.. Příkl.. 0 Kč, m Příkl.. m Příkl.. Příkl.. o m,s m, m Příkl..0 Příkl.. Příkl.. m, m, m α 0' β 0' Příkl.., m, m α 0 β 0 Příkl.. α β Příkl.., m α β Příkl.. v m Příkl.. α β Příkl.. α β α, β, Příkl.. Příkl..0 F 0 N F 0 N, m, m Příkl.. F 0, N α β - -

26 Příkl.. Příkl.. Příkl.. Příkl.. m m s v 0, km m m km L km Orázek Nákres k příklu Nejprve vypočítáme vzálenosti, které letl urzí z minut 0, h.. letlo s v. t 00. 0, 0 km. letlo s v. t 00. 0, 0 km. O tyto vzálenosti se letl z minut přilížil k letišti, tkže v ném okmžiku je první letlo vzáleno o letiště km ruhé letlo pouhýh km. Nyní použijeme Pythgorovu větu pro výpočet přepony. l l s s l l km km km Orázek Nákres k příklu - -

27 Seznm použité litertury CALDA, E., PETRÁNEK, O., ŘEPOVÁ, J. Mtemtik pro SOŠ stuijní oory SOU. část. Dotisk. vyání. Prh Prometheus, 00. ISBN JIRÁSEK, F., BRANIŠ, K., HORÁK, S., VACEK, M. Sírk úloh z mtemtiky pro SOŠ stuijní oory SOU. část. Dotisk. vyání. Prh Prometheus, 00. ISBN BĚLOUN, F. kol. Sírk úloh z mtemtiky pro záklní školu. Dotisk. vyání. Prh Prometheus,. ISBN KUČINOVÁ, E. Mtemtiká vičení s iferenovným záním.. vyání. Prh SPN, 00. ISBN BUŠEK, I., CALDA, E. Mtemtik pro gymnázi Záklní pozntky z mtemtiky.. vyání. Prh Prometheus, 00. ISBN

28 Seznm orázků Orázek Čtyřúhelník ABCD... Orázek Nákres k příklu... Orázek Nákres k příklu

29 SEZNAM POUŽITÝCH IKON. Průvoe stuiem. Litertur. Klíč k úkolům - -