Maturitní příklady 2011/2012

Transkript

1 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky frnouzsky Víme, že osm studentů se učí špnělsky němeky, 0 studentů se učí špnělsky frnouzsky, 5 studentů se učí němeky frnouzsky Všehny jzyky se učí studenti Určete: ) Kolik studentů se neučí žádný jzyk? ) Kolik studentů se učí jen frnouzsky? ) Kolik studentů se učí němeky, le ne frnouzsky? Ve městě jsou tři enzínová čerpdl, pro jejihž provoz pltí: ) v provozu je vždy čerpdlo A neo C ) čerpdlo C není v provozu právě tehdy když je otevřeno čerpdlo A ) je-li otevřeno čerpdlo C, potom není v provozu čerpdlo A je otevřeno čerpdlo B Určete všehny možnosti provozu všeh tří čerpdel Při vyšetřování doprvní nehody ylo zjištěno: ) nehodu zvinil řidič B neo řidič C ) jestliže nehodu zvinil řidič C, zvinil ji i řidič A ) nehodu zvinil řidič B, jestliže ji zvinil řidič A d) jestliže nehodu zvinil řidič B, potom ji nezvinil řidič C Kdo zvinil nehodu? 5 Dokžte, že pro reálná,, kde 0 pltí: 6 Dokžte: Jestliže zápis přirozeného čísl končí číslií 5, potom jeho druhá monin končí 5 7 Proveďte nege následujííh výroků: A: Aspoň dv žái dnes přišli pozdě B: Sním nejvýše čtyři knedlíky C: Kždý trojúhelník má tři úhly D: Žádný protest neyl podán E: Máme pivo minerálky F: Jestliže udu oědvt ryu, udu pít víno G: Nemám hld nemám žízeň H: Bude-li ke koupi čerstvé ovoe, nekoupím kompot I : Pomernče koupím právě tehdy, neudou-li itrony 8 Pomoí Vennovýh digrmů rozhodněte, zd pro všehny podmnožiny A,B,C dné zákldní množiny U pltí: Moniny, odmoniny, irionální rovnie nerovnie Řešte v R: 0 8

2 Řešte v R: Zjednodušte: 0,5 8 : Zjednodušte : 5 Řešte v R nerovnii: 6 Řešte v R nerovnii: 7 Řešte v R rovnii: 0 8 Řešte v R rovnii: 9 Řešte v R rovnii: 8 0 Řešte v R rovnii: 7 5

3 Eponeniální funke, rovnie nerovnie 5 log = Je dán vzore y Stnovte reálná čísl, tk, y vzore určovl funki h, pro kterou pltí, že - je definovná v intervlu J= ; - h 6, h 7, kde J je od, v němž má h mimum, J je od, v němž je minimum funke h V kterýh odeh protne grf funke h osy soustvy souřdni? Je h sudá funke? d Nčrtněte grf funke h e Funke h h jsou určeny týmž vzorem, všk Dh R Určete H h 5 Je dán funke f: y Pro která reálná čísl, prohází grf funke f ody A ;, B0;? Zpište definiční oor oor hodnot funke, nčrtněte grf funke Zdůvodněte, proč k funki f je možné určit funki inverzní f Jký je definiční oor této inverzní funke? d Využijte náčrtek grfu funke určete množinu všeh, pro které je f 0 6 Je dán funke g: y Určete reálná čísl, ve vzori funke g: y, když g Uveďte definiční oor funke, oor hodnot funke nčrtněte její grf Doplňte hyějíí souřdnie odů G?; 0, G?;0, které náleží grfu funke g 00 7 Funke h je určen vzorem y 0 Zjednodušte funkční předpis určete definiční oor funke Stnovte oor hodnot funke nčrtněte její grf Dokžte, že pro žádné přirozené číslo není h násokem d Jkým vzorem je určen inverzní funke k funki h? 00 e Řešte v množině R rovnii Je dán funke f: y Nčrtněte její grf určete f H f funke prostá? Určete funkční předpis funke 9 Řešte v R: Řešte v R: g D, N kterém intervlu je tto f n tomto intervlu

4 Logritmiká funke, rovnie nerovnie Určete všehn R, pro která funke f: hodnot Jkou prvdivostní hodnotu mjí výroky: A: log 0,5 >0 B: log 0,5 > 0 C: log 0,5 0 y log, kde 0< <, nývá nezápornýh Určete definiční oor funke y log rozhodněte, zd je funke sudá či lihá Určete definiční oor funke y log Je zlomek log 0,00 log log 0log , zápisem elého čísl Jkýh hodnot nývjí reálná čísl, je- Grf funke g prohází ody G 6;, G;0 li vzore, jímž je funke g určen y log? Nčrtněte grf funke g, uveďte, která přímk je symptotou grfu kterými ody os soustvy souřdni grf prohází Určete definiční oor oor hodnot funke h určené vzorem y log Řešte rovnii: 9 log 5 log 9 9 )Vypočtěte log 6V, je-li V log 6 5 log 6 7, log 6 log 6 Řešte v R rovnie: ln+ln =ln 8+ln =ln 6 Funke f je určen vzorem y log log rozhodněte, zd je funke prostá, stnovte intervly monotonosti 7 Určete číslo, jestliže log 96 je o větší než log 6 8 Řešte v R: Určete její definiční oor, oor hodnot, nčrtněte grf, 9 Řešte v R, výsledek zokrouhlete n dvě desetinná míst: log log 9 0 Řešte v R: log log

5 5 Úprv lgerikýh výrzů, číselné oory Zjednodušte výrz : určete podmínky, z kterýh mjí provedené úprvy smysl Uprvte: : Uprvte: Dokžte, že pro přípustné hodnoty proměnnýh pltí: : 5 Je číslo ) 8 8 8, ) 75 os sin 75 os5 sin5 prvočíslo? Jsou čísl,7 8 log log 5 0, rionální? Které z nih je větší? 6 Ze vzore v h R T, kde T je oěžná do družie o ryhlosti v n kruhové dráze ve výše h, vyjádřete neznámou R Výsledek zpište ve tvru zlomku 7 Určete definiční oor výrzu T kráením jej zjednodušte: T= Stnovte podmínky vypočtěte: 6 : 6 9 Zjednodušte výrz: 6 8 : 6 0 Zjednodušte výrz: : y y y y y

6 6 Rovnie nerovnie s prmetrem p Řešte rovnii s neznámou R prmetrem p R p p Řešte rovnii p- p p s neznámou R prmetrem p R Řešte rovnii 5 p p 0 p s neznámou R prmetrem p R Jeden kořen kvdrtiké rovnie +-=0 je - 7 Určete prmetr R druhý kořen 5 Určete prmetr mr tk, y rovnie m +m=--m měl lespoň jeden reálný kořen 6 Určete prmetr mr tk, y rovnie m 6 6m 0 kořeny m měl dv různé reálné 7 Určete všehny hodnoty reálného prmetru tk, y kvdrtiká rovnie neměl reálné kořeny 0 8 Jeden z kořenů rovnie -+=0 je dvojnásokem druhého Určete vzájemný vzth mezi reálnými prmetry 9 Řešte nerovnii 0 proveďte diskusi vzhledem k reálnému prmetru p 0 Řešte rovnii p s neznámou R prmetrem p R 7 Nerovnie, soustvy rovni nerovni, rovnie nerovnie s solutní hodnotou Řešte nerovnii: Řešte v R: Řešte v R : + y z = 8 + y + z = 0 y + z = 5 Řešte v R nerovnii: 5 Řešte v R: + = + 0

7 6 Řešte v R: > 0 7 Řešte soustvu rovni s reálnými neznámými: +y=7 y 8 Řešte soustvu rovni s reálnými neznámými: +y= 8 y -y= 8 y 9 Zjistěte, zd nejmenší společný násoek dvou přirozenýh čísel y je větší než 00, když jejih poměr je 9: jejih ritmetiký průměr je o jedničku větší než jejih průměr geometriký 8 0 Řešte v R: Goniometriké funke, rovnie nerovnie sin os tg tg sin = sin sin sin os Sestrojte grf funke y sin tg sin 5 Dokžte, že pltí rovnost : ot g tg sin 6 Je dán vzore y sin, 0 ) Pro které hodnoty reálnýh prmetrů určuje vzore funki g s definičním oorem D g 0;, jejíž grf prohází odem T je g 0 =-? ) Uveďte množinu H g ) Njděte všehny dvojie 0 g d) Nčrtněte grf funke g 7 Vzorem?; ; 6 v odě 0, ož je její minimum, sin sin y je určen funke k sin D k zhrňte všehn z intervlu 0 ;, pro která je definován ) Do množiny Stnovte i oor hodnot funke k zorzte její grf ) V kterýh odeh protíná grf funke k osu? ) Má funke k v některém odě svého definičního ooru mimum neo minimum?

8 8 ) Porovnejte definiční oor, oor hodnot grfy funkí r : y os sin os s : y sin 9 V množině J 0; řešte rovnii: tg os os os 0 V množině J 0; řešte rovnii: tg 0 os 9 Funke solutní hodnot, kvdrtiká funke, lineárně lomená funke Sestrojte grf funke: y = ² - + Nčrtněte grf funke y = - Sestrojte grf funke y Vypočtěte užitím difereniálního počtu rovnie symptot souřdnie středu hyperoly, která je grfem funke f: 8 y = Potom určete intervly monotónnosti této funke určete ody grfu funke f, ve kterýh má tečn grfu směrnii rovnu 5 Sestrojte grf funke: y = Sestrojte grf funke: y = + 7 Funke f je určen vzorem y=- ) Tuto funki je možné zdt výrzně jednodušším vzorem Njděte jej,stnovte definiční oor oor hodnot této funke ) Nčrtněte grf funke f ) Zpište její intervly monotonosti d) Eistuje k funki f funke inverzní? Pokud no, stnovte vzore, jímž je funke určen Pokud ne, zdůvodněte e) Přesvědčte se výpočtem, že přímk p: +y+=0 je tečnou grfu funke f V kterém odě? V 8 Určete definiční oor funke: y= 5 9 Určete funkční předpis kvdrtiké funke, sestrojte její grf určete její vlstnosti, jestliže pltí: f 0, f 6, f 5 ;0, ;0, 0;6 Vypočtěte funkční hodnotu f 0Grf kvdrtiké funke oshuje ody 0 Komplení čísl,inomiká rovnie 6 6 = 0 6 = 79i Vypočtěte: ( i ) 7

9 Řešte v množině kompleníh čísel řešení znázorněte grfiky: z + i ^ z + i > z 5 Řešte v C : 5 z + z = i i 6 Řešte v C: z 5 z 5 7 Vyjádřete v lgerikém i goniometrikém tvru všehn komplení čísl z=+i, pro která pltí: z =, = 5 5i i 8Komplení číslo z= - +i- vyjádřete v goniometrikém tvru pomoí i i Moivreovy věty vypočítejte reálnou imginární část kompleního čísl z 66 9 Řešte rovnii z -iz-=0 s neznámou zc 0 Npište kvdrtikou rovnii s reálnými koefiienty, jestliže jeden kořen této rovnie je =-i O kořeny této rovnie vyjádřete v goniometrikém tvru Ovody oshy geometrikýh orzů Kosočtvere je dán svým oshem S=50m poměrem úhlopříček e: f = : Určete v,, e, f Zákldn rovnormenného trojúhelník je 0 m, osh je 0m Vypočtěte ovod tohoto trojúhelník Do kružnie o poloměru r = 9 mm je vepsán prvidelný šestiúhelník Vypočtěte osh kruhové úseče, ohrničené strnou šestiúhelníku kružnie Odélníkový orz s rozměry 0m 60m má ýt zrámován rámem konstntní šířky Osh plohy rámu má ýt stejný jko osh orzu Určete šířku rámu 5 Určete osh prvidelného šestiúhelníku vepsného do kružnie o poloměru r=m 6 Ovody dvou soustřednýh kružni měří o 0, o 6 m Vypočítejte osh mezikruží určeného dnými kružniemi 7 V odélníku ABCD je BC 6m, CF 8,m, DF, m Bod F je středem úsečky CD Vypočítejte osh trojúhelníku ABE, je-li od E průsečíkem polopřímek AD BF 8 V lihoěžníku ABCD je vzdálenost průsečíku úhlopříček od zákldny AB rovn m, délk této zákldny je 8 m Vypočítejte délku druhé zákldny CD, jestliže osh lihoěžníku je 7m 9 Je dán lihoěžník ABCD se zákldnmi AB 6m, CD m průsečíkem úhlopříček S Vypočítejte osh trojúhelníku ABS, jestliže osh trojúhelníku CDS je m 0 Výšk oě zákldny lihoěžníku jsou v poměru v::=::5 Osh lihoěžníku je S=5m Určete délky oou záklden lihoěžníku n-úhelníky jejih konstruke Je dán úsečk AB, AB = 5 m Sestrojte všehny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nihž je AC = e = 8 m, β = 0 ε = 05, je-li ε velikost úhlu AEB, kde E je průsečík úhlopříček Sestrojte čtyřúhelník ABCD, pro který pltí, že je tečnový, = 7,5 m; =,5m; α = 5 ρ= m Sestrojte ABC,je-li : AB = 5m

10 = / v =,5m Sestrojte ABC,víte-li, že : + = 9m = 5,7m γ = 75 5 Sestrojte rovnormenný lihoěžník ABCD, jehož úhlopříčky jsou nvzájem kolmé ve kterém je dáno: 60, AB 7m, AB je rovnoěžná s CD 6 Sestrojte lihoěžník ABCD, je-li dáno: =0m, =5m, AC e 6m, BD f m 7 Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: =7m, =,5m, v =m 8 Je dán úsečk BS, BS 6m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk BS těžnií t pro které dále pltí: 5, 5m 9 Je dán úsečk AB, AB 6m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AB strnou, v m, r m 0 Sestrojte kosočtvere ABCD, znáte-li = m, v = m Prvděpodonost sttistik Určete prvděpodonost, že při hodu dvěm hrími kostkmi, žlutou červenou, ) ude součet odů n oou kostkáh 6 ) ude součet odů n oou kostkáh menší než 5 ) pdne n oou kostkáh dvojk d) pdnou n oou kostkáh stejná čísl e) pdne n žluté koste číslo menší než n červené číslo větší než f) pdnou n oou kostkáh sudá čísl g) lespoň n jedné koste pdne lihé číslo Z čísli,,, vytvoříme všehn trojiferná přirozená čísl, v jejihž dekdikém zápisu se kždá z těhto čísli vyskytuje nejvýše jednou Určete prvděpodonost, že z nih nmátkou vyrné číslo je: ) dělitelné ) dělitelné ) dělitelné zároveň d) dělitelné neo Máme ílou černou kostku Jká je prvděpodonost, že při hodu černou kostkou pdne větší číslo, než při hodu ílou kostkou? Následujíí čísl jsou počty otelení u 50 krv:,,7,,5,,,5,,,6,,,6,5,,7,,8,9,,8,,7,5,6,,8,9,,0,5,,,,,,,0,,8,,,,6,,7,,6,9 ) sestvte tulku rozdělení četností podle počtu otelení znázorněte je spojniovým digrmem ) určete ritmetiký průměr, modus medián ) určete směrodtnou odhylku 5 5 studentů mturitního ročníku ylo vyzváno, y uvedli svoji tělesnou výšku ( znk ) tělesnou výšku ote ( znk y) Byly zjištěny tyto hodnoty: výšk syn výšk ote Vypočtěte koefiient korele mezi tělesnou výškou ote syn 6 Číslo n je z nměřenýh hodnot,n,5,,7,8,0,, největší Určete hodnotu n, jestliže víte, že medián tohoto souoru je roven ritmetikému průměru 7Geometriký průměr čtyř kldnýh čísel,6,, je Vypočítejte jejih hrmoniký průměr 8Klíčivost semen dné rostliny je 0,98 Pro pokusné účely ylo zszeno 0 semen Určete prvděpodonost, že z těhto semen vyklíčí právě 8

11 nevyklíčí ni jedno 9 Jká je prvděpodonost, že v rodině se čtyřmi dětmi jsou dv hlpi dvě dívky, jestliže víme, že mezi dětmi je lespoň jedn der? 0 N tiketu se tipuje 5 čísel z 5 možnýh Tiket ni nevyhrává, pokud oshuje méně než z 5 vylosovnýh čísel Jká je prvděpodonost, že náhodně vyplněný tiket něo vyhrje? Posloupnost geometriká, nekonečná geometriká řd Určete geometrikou posloupnost, víte-li, že + + = = 80 Přičteme-li k číslům, 7 7 totéž číslo, vzniknou první tři členy geometriké posloupnostiurčete je Řešte v R: 0 Určete n n n, 5 ) Posloupnost n n je určen rekurentním vzorem n n ; = Zpište několik jejíh prvníh členů zjistěte, zd součet prvníh členů je větší než 7!? ) Vypočtěte lim n n n n n log 8 n n 6 Pro které reálné číslo je součet řdy roven 0,5? Ve které geometriké posloupnosti pltí, 5, Rodiče student uložili k očnského roku n synovo konto částku Kč, roční úroková mír je,8%, úrokoví odoí je jeden rok Úroky z jeden rok z této částky mjí synovi nhrdit nákldy n eloroční uytování v pronjtém pokoji Dň z úroku je 5%, n kontě v průěhu roku neude zznmenán žádný pohy Určete mimální měsíční nájem zokrouhlený n stovky, který tk lze získným úrokem uhrdit 9 Jkou nejmenší částku zokrouhlenou n stovky je tře vložit v nkovním domě k očnského roku n účet, y tk při roční úrokové míře,% s ročním úrokovím odoím uhrdil z jeden rok získný úrok nákldy n roční nájemné z yt ( měsíční nájemné je 776Kč)Dň z úroku je 5%, n účtu neude v průěhu roku zznmenán žádný pohy 0 Eistuje R, pro něž je součet řdy roven 7? 8 5 Posloupnosti, ritmetiká posloupnost Ve které ritmetiké posloupnosti pltí: S 5 = S 6 = 60? Číslo 55 rozložte n součet několik čísel tk, y kždé následujíí ylo o větší než předházejíí poslední ylo 9 Délky strn prvoúhlého trojúhelník tvoří tři po soě jdouí členy ritmetiké posloupnosti Delší odvěsn má délku m Určete délky zývjííh strn )Pn M se rozhodl, že v sázkové kneláři ude sázet tk dlouho, dokud nevyhrje Jeho

12 sázk pro první th yl 0 Kč, kždá dlší pk o 5 Kč vyšší V 0 thu konečně poprvé vyhrál, to částku, která yl 8krát větší než t, kterou vsdil pro th Dál pn M už nesázel Má důvod k rdosti? Jký zisk mu přinesl popsný způso sázení? )Pn P upltnil úplně stejný způso sázení jko jeho koleg M Dl si do oálky tři tisíikoruny postupně z ní čerpl peníze n jednotlivé sázky Bohužel v žádném thu nevyhrál ni korunu Když v oále zyly poslední tři desetikorunové mine, rozhodl se, že dál neude štěstí pokoušet N kolik sázek mu částk, deponovná v oále, vystčil? Vsdil si víekrát, než jeho koleg? n je určen vzorem 5 n n n 6 n 5 Posloupnost ) Určete její člen ) Pokuste se njít jednodušší vzore, kterým je posloupnost určen, rozhodněte tké, zd je konvergentní 6 Zpište vzorem pro n-tý člen: ) posloupnost všeh přirozenýh sudýh čísel ) posloupnost všeh přirozenýh lihýh čísel ) posloupnost všeh přirozenýh čísel dělitelnýh d) posloupnost všeh přirozenýh čísel, která při dělení 5 dávjí zytek 7Rozhodněte, zd rostou neo klesjí následujíí posloupnosti: ) n n n n ) n n 8 Určete reálné číslo tk, y čísl,, tvořil tři následujíí členy ritmetiké posloupnosti: 6 9 Určete součet všeh přirozenýh čísel, která vyhovují rovnii: Nekonečná spirál se skládá z polokružni, poloměr první polokružnie je 6m, poloměr kždé dlší je o menší než poloměr kružnie předházejíí Vypočítejte délku spirály 6 Vektorová lger, nlytiké vyjádření přímky roviny Jsou dány ody A0,B- CDokžte,že tyto tři ody tvoří trojúhelníkvypočtěte velikost jeho vnitřníh úhlů, velikost těžnie t Jk dleko je těžiště T od vrholu A? Je dán prvidelný čtyřoký jehln ABCDV, velikost jeho podstvné hrny = 6m výšk jehlnu v = Zvolte vhodně v prostoru kss ) vypočtěte velikost oční hrny jehlnu ) dokžte, že pltí AV CV ) určete velikost úhlu vektorů AV BC Jsou dány ody: A[ ; 0; ]; B[ ; ; 7] C[ ; ; ] Rovin ρ má rovnii ρ: + y z 5 = 0 ) veďte odem A přímku p BC ) ukžte, že přímk p je různoěžná s rovinou ρ njděte jejih průsečík y +

13 Je dán od A[ ;;] přímk p : = = z ) Npište oenou rovnii roviny ρ, určené odem A přímkou p ) Určete prvoúhlý průmět M odu M[; 0; ] do roviny ρ 5 Vektory jsou rovnoěžné, přitom 6; 5;, 75 Jké souřdnie má vektor? 6Je dán trojúhelník ABC, A ;, B;, C5; Vypočtěte: ) vnitřní úhel ) odhylku osy úsečky AB osy ) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelníku ABC 7 Vypočítejte ovod, vnitřní úhly osh trojúhelníku RST, jsou-li souřdnie vrholů R ;;0, S; ;, T; ;0 8Jsou dány ody A ;, C8;5 Určete souřdnie odů B,D tk, y trojúhelník ABCD yl čtvere z ; ; 0 zpište jko lineární komini vektorů u,v w, kde 9Vektor u ;;, v;;, w;5; 0 Je dán vektor r ; Určete R q tk, y pro vektor q; s pltilo r s 5 7 Zákldní polohové metriké vlstnosti v rovině prostoru Určete vzdálenost d ( Q ; p ), víte-li, že Q =[ 7; ; 9] p: P =[ ; ; ], ū = ( ; ; ) Je dán rovin ρ : + y z 6 = 0 přímk p: = t y = + t z = + t t ptří do R ) Určete vzájemnou polohu přímky roviny, v přípdě různoěžnosti určete tké průsečík ) Npište rovnii přímky q, která je prvoúhlým průmětem přímky p do rovinyρ Který od přímky 5-y-8=0 má tu vlstnost, že jeho vzdálenost od odu M ;5 je Stejná jko vzdálenost od odu N7;? Určete vzájemnou polohu přímek p: -y-=0 q: -y+=0 r: -y+7=0 5 Je dán přímk p: =+t, y=-5-t, z=-t, tr, rovin : -y+9=0 rovin : 5-y-7z+=0 Určete: ) odhylku přímky p roviny ) přímky p od roviny ) odhylku rovin 6 Určete reálné číslo d, pro které mjí roviny,, společnou přímku Jké je prmetriké vyjádření této přímky? y 0 y z 0 y z d 0 7 Npište rovnii příčky mimoěžek p,q, která leží v rovině : y z 6 0 p: t; y t, z t, t R q: r; y r; z r; r R 8 Určete hodnoty prmetrů, R tk, y přímk

14 t t; tt p ; R yl s rovinou y z 0 0 ) různoěžná ) ležel v rovině ) rovnoěžná neležel v rovině 9 Kolmiemi, sestrojenými z odu A ;;8 n roviny y z 0 : y z 5 0 proloýte rovinu Určete její oenou rovnii 0Je dán od A ;; N ose y určete od Y tk, y pltilo AY 8 Shodná zorzení Jsou dány kružnie k,k přímk psestrojte všehny rovnostrnné ABC,jejihž těžnie je částí přímky p vrholy AB leží postupně n k k Je dán od A, přímk p kružnie k Sestrojte všehny prvoúhlé rovnormenné trojúhelníky ABC se zákldnou BC, pro které pltí, že B leží n k C leží n p Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, znáte-li: ++=m, 5, 75 N kulečníkovém stole leží dvě koule, červená ílá Červená leží ve středu stolu, ílá v jedné čtvrtině úhlopříčky stolu(kouli povžujte z od) ) určete dráhu červené koule tk, y se po jednom odrzu od některé stěny stolu srzil s ílou koulí ) určete dráhu červené koule tk, y se po odrzu od dvou sousedníh stěn stolu srzil s ílou koulí m k O;, 5m přímku p, která je kolmá n 5 Je dán úsečk OP, OP OP Sestrojte kružnii P p Dále sestrojte jeden od M, pro který pltí: OM m, POM 0 6 Kružnie k O 5m, k O ;m, O O m ; se protínjí ve dvou odeh Oznčte C jeden z těhto průsečíků Sestrojte všehny rovnormenné trojúhelníky ABC se zákldnou AB tk, y pltilo: A k B k ACB 0 7 Je dán úsečk CS, CS m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk CS těžnií pltí: =,5m, =5m 8 Sestrojte trojúhelník ABC, víte-li,že +=0, 5, 60 9 Je dán odélník ABCD, AB 6m, BC m uvnitř odélníku dv ody K,L tk, že pltí: AK 6m, BK,5m, AL m, BL,5m N úseče AB njděte od X tk, y součet vzdáleností KX LX yl minimální 0 Jsou dány dvě různoěžky p,q od M, který neleží ni n jedné z nih Sestrojte úsečku XY tk, y pltilo: X p, Y q od M je střed úsečky XY 9 Podoná zorzení, množiny všeh odů dné vlstnosti Jsou dány dvě rovnoěžné přímky, přímky, která rovnoěžky protínásestrojte kružnie,které se dotýkjí všeh dnýh přímek Umístěte úsečku BB, BB = 6m sestrojte všehny prvoúhlé trojúhelníky ABC, je-li dáno t, BCA = π víte-li, že B je střed AC Jké podmínky musí splňovt t, y množin trojúhelníků uvedenýh vlstností yl neprázdná? Jsou dány dvě různoěžky p,q uvnitř jednoho jejih úhlu od M Sestrojte kružnii k, která prohází odem M dotýká se přímek p,q Sestrojte ABC, je-li dáno: v = 5m :: = ::

15 5 Vnitřní úhly trojúhelniku ABC jsou 75, 50 Střed S strny má od strny vzdálenost d=,8m Sestrojte tento trojúhelník 6 Sestrojte množinu všeh odů, ze kterýh je úsečk AB o velikosti 5m vidět pod úhlem 80 7 Sestrojte množinu všeh odů, ze kterýh je úsečk AB o velikosti 5m vidět pod úhlem 0 8 Je dán k S; mks; 5m SS 9m Sestrojte středy stejnolehlosti k k 9Sestrojte trojúhelník ABC 6m, 7m, 8m Nrýsujte těžiště T trojúhelníku ABC Sestrojte orz trojúhelníku ABC ve stejnolehlosti se středem T koefiientem 0Do trojúhelníku ABC 5m, 6m, 7m vepište čtvere KLMN tk, y pltilo: KL AB M BC N AC 0 Řešení prvoúhlého trojúhelníku, trigonometrie Ze dvou míst A,B, vzdálenýh n horizontální rovině od see m ylo pozorováno čelo mrku nd spojnií oou míst ve výškovýh úhleh α = 78 0 β = 6 50 Jk vysoko yl mrk? Při stvě primárního vedení lesem se má provést přímý průsek mezi ody A,B, ležíími n krjíh les Mimo les ylo zvoleno stnoviště C, z něhož jsou o kone plánovného průseku vidět, to pod úhlem γ = Vzdálenost mezi místy A C je 6 metrů, mezi místy B C metrů Jk ude průsek dlouhý? Kolmie p vedená středem přepony AB prvoúhlého trojúhelníku ABC s vnitřním úhlem 9,8 odvěsnou =m rozděluje trojúhelník n dvě části ) Budeme-li osh trojúhelníku pokládt z 00%, je možné, že se oshy těhto částí liší méně jk 0%? ) Má t část, která má větší osh, i větší ovod? Součástí rekonstruke lázeňského prku je i výměn krytiny čínského pvilonu Jk je uvedeno v neúplné dokumenti, t má tvr kulového vrhlíku, kružniovému olouku středový úhel 6, vzdálenost krjníh odů olouku je metrů Z částku, která je v plánu uveden jko nákldy n nákup měděného mteriálu, y se v součsné doě dlo nkoupit 900m plehu Osh vrhlíku je 95% mteriálu, který je tře n rekonstruki střehy Podle projektnt y 900m mělo stčit, pokrývč všk tvrdí, že je to málo Je jeho námitk oprávněná? 5 Z okn ve ptře domu je vidět n druhém řehu kmenný sloupek, ke kterému převozník přivzuje prmii, v hloukovém úhlu 9, z okn ptr, tj výš o tři metry, v hloukovém úhlu Jk je řek v tomto místě široká? 6 Přepon prvoúhlého trojúhelníku má délku 6m, součet velikostí odvěsen je 7m Zjistěte velikosti jeho vnitřníh úhlů 7 Jedn z odvěsen prvoúhlého trojúhelníku má velikost 0m, poloměr jemu vepsné kružnie je m Vypočtěte osh trojúhelníku (Výpočty zokrouhlujte n jedno desetinné místo) 8 V trojúhelníku ABC je =0m, =6m, =75 S přesností n dvě desetinná míst určete délku t 9 Určete poloměr kružnie opsné rovnormennému trojúhelníku, má-li úhel proti zákldně velikost 8 výšk n zákldnu má délku 0 m k S; 0m, jsou vedeny tečny ke kružnii k s ody dotyku 0 Z odu A, který leží vně kružnie T T T AT 60 Odoně z odu B B SA s ody dotyku T T T BT 0 jsou ke k vedeny tečny, tentokrát Určete velikost úsečky AB

16 Řezy těles, ojemy povrhy těles Ojem prvidelného šestiokého hrnolu V=50 Délk podstvné hrny je k déle výšky v hrnolu v poměru :5 Určete povrh hrnolu Do koule o poloměru r je vyvrtán otvor tvru rovnostrnného válev jkém poměru jsou ojemy koule vále? Kolik m zeminy je tře přemístit při výkopu přímého, 70 metrů dlouhého vodního příkopu, jehož průřez má tvr rovnormenného lihoěžníku se zákldnmi délek 50 m 80 m rmenem délky 90 m? Ve volném rovnoěžném promítání zorzte kryhli ABCDEFGH o hrně m v prvém ndhledu Potom sestrojte řez rovinou ρ= XYZ, je-li X středem AD Y středem BF Z odem HG; HZ : ZG = : 5 Sestrojte řez prvidelného čtyřokého jehlnu rovinou ρ= PQR, je-li P střed AV Q náleží BV ; BQ : QV = : 5 R náleží CV ; CR : RV = : 6 V rovině je umístěn kruh o poloměru r, který je společnou podstvou polokoule kužele Ty leží v témže poloprostoru, jehož hrnií je rovin Výšk kužele je r ) Celými čísly vyjádřete poměr ojemů kužele polokoule ) Porovnejte délku kružnie, která je průnikem plášťů polokoule kužele, ovod společné podstvy oou těles Řešte pro r= 7 Zorzte řez kryhle ABCDEFGH rovinou určenou ody K,L S K je střed hrny FG, L je střed hrny EF S střed stěny ABCD - Velikost hrny kryhle je, 0 Pomoí prmetru vyjádřete osh řezu - Njděte nejmenší přirozené číslo, pro které je osh řezu elé číslo - Jsou přímk BF rovin řezu rovnoěžné? Pokud ne, sestrojte jejih společný od V 8 Všehny hrny prvidelného trojokého hrnolu ABCDEF jsou stejně dlouhé, K je střed stěny CBEF ) Zorzte těleso ve volném rovnoěžném promítání ) Určete průsečík přímky AK roviny horní podstvy hrnolu ) Jk velká je odhylk přímky AK roviny DEF? d) Je-li kždá hrn tohoto hrnolu velikosti m, je jeho ojem v m dán elým číslem? 9Poměr oshu pláště rotčního vále k oshu podstvy je 7:6 Úhlopříčk osového řezu vále má délku 50m Určete ojem tohoto těles ( výsledek zpište jko násoek čísl ) 0Pláštěm rotčního kužele je půlkruh o poloměru m= 6 m Určete ojem tohoto těles Komintorik, inomiká vět Určete všehn reálná čísl tk,y čtvrtý člen inomikého rozvoje dného výrzu yl roven 00 log V inomikém rozvoji výrzu 5 6 zjistěte: ) třinátý člen rozvoje ) člen rozvoje, neoshujíí

17 Řešte rovnii: log(+6)!-log(+5)!=log 6 5 Řešte rovnii: 5 Kolik čtyřifernýh čísel lze vytvořit z čísli 0,,,,,5 tk, y se žádná z ifer neopkovl? kolik z nih ude sudýh kolik jih ude dělitelnýh pěti kolik jih ude dělitelnýh deseti - kolik jih ude většíh než 000? 6 Určete všehn přirozená čísl, pro která pltí:!! 0! 6! 7 Jestliže zvětšíme počet prvků množiny o dv, zvětší se počet vrií třetí třídy o 8 Kolik Prvků má množin? 8 Kolik přímek je určeno 0 různými ody, jestliže ) žádné z nih neleží n jedné příme ) čtyři z nih leží n jedné příme 9 Ve třídě je 9 hlpů 6 dívek Kolik způsoy je možné vyrt do soutěže studenty tk, y ve vyrné skupině yli: ) pouze hlpi d) jedn dívk tři hlpi e) dvě dívky dv hlpi 0 Kolik je přirozenýh čísel menšíh než 0, jejihž ifry jsou nvzájem různé_

18 Neurčitý určitý integrál Vypočtěte: ln ) d ² Vypočtěte: ) os² d ) sin² os³ d d) ) e d ) tg d ) d ( ² + )³ d ln d) d Vypočtěte osh orze, ohrničeného křivkmi: y = ² + y = ² Určete ojem těles, které vznikne rotí orze, ohrničeného křivkmi: ² + y² = 0 y = kolem osy 5 Vypočtěte ln d 6 Určete reálné číslo tk, y d 0 7 Vypočítejte osh proliké úseče, jejíž hrnii tvoří grfy funkí f: y g : y 0,75 8 8Vypočtěte: ) d ) sin d 0 dvě úsečky, jejihž společný krjní od je počátek, druhé jejih krjní ody jsou průsečíky přímek -y=0 +y=0 s tímto kružniovým oloukem Určete ojem těles, které vznikne rotí kruhové výseče kolem osy 0 Vypočítejte osh hyperoliké úseče, jejíž hrnii tvoří grfy funkí 9 Hrnii kruhové výseče tvoří olouk kružnie určené rovnií y 00 0 f : y g : y 0,75 8

19 Limit funke, derive funke její užití Vyšetřete průěh funke: y Vyšetřete průěh funke : Vypočtěte následujíí limity: ) y lim 0 ) lim tg sin os ) lim 0 os tg sin d) lim e) lim 0 Vypočtěte následujíí limity: ) 5 Určete první derive složenýh funkí: y ) ) y = ( ² ) ( ³ + ) ( ² + )² ) y = 8 lim 6 5 sin sin ) lim ) lim sin d) lim 0 e) lim 0 sin tg

20 d) y = log ( ² + ) 6 Určete první derivi složenýh funkí ) y = e e ) y = e e ) y sin sin d) y = ( ² + )³ os² 7Npište rovnii tečny normály ke grfu funke f: y = ln v jeho odě T [?] 8 N konzervu tvru vále se má spotřeovt 5dm ílého potrvinářského plehu Jké má mít konzerv rozměry, y měl mimální ojem? 9 Njděte odélník, který má při dném ovodu o = 0 m mimální osh 0 Nádrž n vodu má mít čtverové dno, ojem 56 m tvr kvádru Vypočítejte rozměry nádrže tk, y spotře mteriálu n vyzdění stěn dn yl o nejmenší 5 Kuželosečky Je dán hyperol ² 9y² = od M [; ] ) Určete velikosti poloos hyperoly ) Zjistěte polohu odu M vzhledem k hyperole ) Npište rovnie všeh přímek, které proházejí odem M mjí s hyperolou právě jeden společný od Rozhodněte, zd je dná rovnie nlytikým vyjádřením hyperoly Pokud no, njděte její střed, velikosti poloos y y 55 = 0 Prol ( )² = p ( y + ) má tečnu + y + = 0 Určete prmetr p souřdnie odu dotyku T Npište rovnie všeh přímek, které proházejí odem M [ 0; ] mjí s prolou y + = 0 společný právě jeden od 5 Určete rovnie tečen k dné kružnii, které proházejí odem P[ 9 ; ], je-li rovnie kružnie: k: + y 6y = 0 6 Určete tečnu elipsy o rovnii 9 + 5y = 5, rovnoěžnou s přímkou p: + 5y 7 = 0 7 Npište rovnii přímky, která prohází středy kružni: k : + y + y + = 0 k : + y 8 + 6y + 9 = 0 8 Npište rovnii kružnie, která má poloměr r = 5 m, prohází odem Q[ ; 5] její střed leží n příme p: + y = 0 9 Určete střed, poloosy eentriitu elipsy: 9 + 6y 5 + 6y + = 0 0 Npište rovnii kolmie k příme p: y = 0 tk, y proházel ohniskem F [ 0; e] elipsy o rovnii 5 + 9y = 00