Maturitní příklady 2011/2012

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Maturitní příklady 2011/2012"

Transkript

1 Mturitní příkldy 0/0 Výroková logik, množiny, důkzy Ve třídě je 0 dívek 5 hohů Jedn čtvrtin dívek nosí rýle elkem 0% žáků ve třídě má rýle Kolik hohů nenosí rýle? Ze 00 studentů se 0 učí němeky, 8 špnělsky frnouzsky Víme, že osm studentů se učí špnělsky němeky, 0 studentů se učí špnělsky frnouzsky, 5 studentů se učí němeky frnouzsky Všehny jzyky se učí studenti Určete: ) Kolik studentů se neučí žádný jzyk? ) Kolik studentů se učí jen frnouzsky? ) Kolik studentů se učí němeky, le ne frnouzsky? Ve městě jsou tři enzínová čerpdl, pro jejihž provoz pltí: ) v provozu je vždy čerpdlo A neo C ) čerpdlo C není v provozu právě tehdy když je otevřeno čerpdlo A ) je-li otevřeno čerpdlo C, potom není v provozu čerpdlo A je otevřeno čerpdlo B Určete všehny možnosti provozu všeh tří čerpdel Při vyšetřování doprvní nehody ylo zjištěno: ) nehodu zvinil řidič B neo řidič C ) jestliže nehodu zvinil řidič C, zvinil ji i řidič A ) nehodu zvinil řidič B, jestliže ji zvinil řidič A d) jestliže nehodu zvinil řidič B, potom ji nezvinil řidič C Kdo zvinil nehodu? 5 Dokžte, že pro reálná,, kde 0 pltí: 6 Dokžte: Jestliže zápis přirozeného čísl končí číslií 5, potom jeho druhá monin končí 5 7 Proveďte nege následujííh výroků: A: Aspoň dv žái dnes přišli pozdě B: Sním nejvýše čtyři knedlíky C: Kždý trojúhelník má tři úhly D: Žádný protest neyl podán E: Máme pivo minerálky F: Jestliže udu oědvt ryu, udu pít víno G: Nemám hld nemám žízeň H: Bude-li ke koupi čerstvé ovoe, nekoupím kompot I : Pomernče koupím právě tehdy, neudou-li itrony 8 Pomoí Vennovýh digrmů rozhodněte, zd pro všehny podmnožiny A,B,C dné zákldní množiny U pltí: Moniny, odmoniny, irionální rovnie nerovnie Řešte v R: 0 8

2 Řešte v R: Zjednodušte: 0,5 8 : Zjednodušte : 5 Řešte v R nerovnii: 6 Řešte v R nerovnii: 7 Řešte v R rovnii: 0 8 Řešte v R rovnii: 9 Řešte v R rovnii: 8 0 Řešte v R rovnii: 7 5

3 Eponeniální funke, rovnie nerovnie 5 log = Je dán vzore y Stnovte reálná čísl, tk, y vzore určovl funki h, pro kterou pltí, že - je definovná v intervlu J= ; - h 6, h 7, kde J je od, v němž má h mimum, J je od, v němž je minimum funke h V kterýh odeh protne grf funke h osy soustvy souřdni? Je h sudá funke? d Nčrtněte grf funke h e Funke h h jsou určeny týmž vzorem, všk Dh R Určete H h 5 Je dán funke f: y Pro která reálná čísl, prohází grf funke f ody A ;, B0;? Zpište definiční oor oor hodnot funke, nčrtněte grf funke Zdůvodněte, proč k funki f je možné určit funki inverzní f Jký je definiční oor této inverzní funke? d Využijte náčrtek grfu funke určete množinu všeh, pro které je f 0 6 Je dán funke g: y Určete reálná čísl, ve vzori funke g: y, když g Uveďte definiční oor funke, oor hodnot funke nčrtněte její grf Doplňte hyějíí souřdnie odů G?; 0, G?;0, které náleží grfu funke g 00 7 Funke h je určen vzorem y 0 Zjednodušte funkční předpis určete definiční oor funke Stnovte oor hodnot funke nčrtněte její grf Dokžte, že pro žádné přirozené číslo není h násokem d Jkým vzorem je určen inverzní funke k funki h? 00 e Řešte v množině R rovnii Je dán funke f: y Nčrtněte její grf určete f H f funke prostá? Určete funkční předpis funke 9 Řešte v R: Řešte v R: g D, N kterém intervlu je tto f n tomto intervlu

4 Logritmiká funke, rovnie nerovnie Určete všehn R, pro která funke f: hodnot Jkou prvdivostní hodnotu mjí výroky: A: log 0,5 >0 B: log 0,5 > 0 C: log 0,5 0 y log, kde 0< <, nývá nezápornýh Určete definiční oor funke y log rozhodněte, zd je funke sudá či lihá Určete definiční oor funke y log Je zlomek log 0,00 log log 0log , zápisem elého čísl Jkýh hodnot nývjí reálná čísl, je- Grf funke g prohází ody G 6;, G;0 li vzore, jímž je funke g určen y log? Nčrtněte grf funke g, uveďte, která přímk je symptotou grfu kterými ody os soustvy souřdni grf prohází Určete definiční oor oor hodnot funke h určené vzorem y log Řešte rovnii: 9 log 5 log 9 9 )Vypočtěte log 6V, je-li V log 6 5 log 6 7, log 6 log 6 Řešte v R rovnie: ln+ln =ln 8+ln =ln 6 Funke f je určen vzorem y log log rozhodněte, zd je funke prostá, stnovte intervly monotonosti 7 Určete číslo, jestliže log 96 je o větší než log 6 8 Řešte v R: Určete její definiční oor, oor hodnot, nčrtněte grf, 9 Řešte v R, výsledek zokrouhlete n dvě desetinná míst: log log 9 0 Řešte v R: log log

5 5 Úprv lgerikýh výrzů, číselné oory Zjednodušte výrz : určete podmínky, z kterýh mjí provedené úprvy smysl Uprvte: : Uprvte: Dokžte, že pro přípustné hodnoty proměnnýh pltí: : 5 Je číslo ) 8 8 8, ) 75 os sin 75 os5 sin5 prvočíslo? Jsou čísl,7 8 log log 5 0, rionální? Které z nih je větší? 6 Ze vzore v h R T, kde T je oěžná do družie o ryhlosti v n kruhové dráze ve výše h, vyjádřete neznámou R Výsledek zpište ve tvru zlomku 7 Určete definiční oor výrzu T kráením jej zjednodušte: T= Stnovte podmínky vypočtěte: 6 : 6 9 Zjednodušte výrz: 6 8 : 6 0 Zjednodušte výrz: : y y y y y

6 6 Rovnie nerovnie s prmetrem p Řešte rovnii s neznámou R prmetrem p R p p Řešte rovnii p- p p s neznámou R prmetrem p R Řešte rovnii 5 p p 0 p s neznámou R prmetrem p R Jeden kořen kvdrtiké rovnie +-=0 je - 7 Určete prmetr R druhý kořen 5 Určete prmetr mr tk, y rovnie m +m=--m měl lespoň jeden reálný kořen 6 Určete prmetr mr tk, y rovnie m 6 6m 0 kořeny m měl dv různé reálné 7 Určete všehny hodnoty reálného prmetru tk, y kvdrtiká rovnie neměl reálné kořeny 0 8 Jeden z kořenů rovnie -+=0 je dvojnásokem druhého Určete vzájemný vzth mezi reálnými prmetry 9 Řešte nerovnii 0 proveďte diskusi vzhledem k reálnému prmetru p 0 Řešte rovnii p s neznámou R prmetrem p R 7 Nerovnie, soustvy rovni nerovni, rovnie nerovnie s solutní hodnotou Řešte nerovnii: Řešte v R: Řešte v R : + y z = 8 + y + z = 0 y + z = 5 Řešte v R nerovnii: 5 Řešte v R: + = + 0

7 6 Řešte v R: > 0 7 Řešte soustvu rovni s reálnými neznámými: +y=7 y 8 Řešte soustvu rovni s reálnými neznámými: +y= 8 y -y= 8 y 9 Zjistěte, zd nejmenší společný násoek dvou přirozenýh čísel y je větší než 00, když jejih poměr je 9: jejih ritmetiký průměr je o jedničku větší než jejih průměr geometriký 8 0 Řešte v R: Goniometriké funke, rovnie nerovnie sin os tg tg sin = sin sin sin os Sestrojte grf funke y sin tg sin 5 Dokžte, že pltí rovnost : ot g tg sin 6 Je dán vzore y sin, 0 ) Pro které hodnoty reálnýh prmetrů určuje vzore funki g s definičním oorem D g 0;, jejíž grf prohází odem T je g 0 =-? ) Uveďte množinu H g ) Njděte všehny dvojie 0 g d) Nčrtněte grf funke g 7 Vzorem?; ; 6 v odě 0, ož je její minimum, sin sin y je určen funke k sin D k zhrňte všehn z intervlu 0 ;, pro která je definován ) Do množiny Stnovte i oor hodnot funke k zorzte její grf ) V kterýh odeh protíná grf funke k osu? ) Má funke k v některém odě svého definičního ooru mimum neo minimum?

8 8 ) Porovnejte definiční oor, oor hodnot grfy funkí r : y os sin os s : y sin 9 V množině J 0; řešte rovnii: tg os os os 0 V množině J 0; řešte rovnii: tg 0 os 9 Funke solutní hodnot, kvdrtiká funke, lineárně lomená funke Sestrojte grf funke: y = ² - + Nčrtněte grf funke y = - Sestrojte grf funke y Vypočtěte užitím difereniálního počtu rovnie symptot souřdnie středu hyperoly, která je grfem funke f: 8 y = Potom určete intervly monotónnosti této funke určete ody grfu funke f, ve kterýh má tečn grfu směrnii rovnu 5 Sestrojte grf funke: y = Sestrojte grf funke: y = + 7 Funke f je určen vzorem y=- ) Tuto funki je možné zdt výrzně jednodušším vzorem Njděte jej,stnovte definiční oor oor hodnot této funke ) Nčrtněte grf funke f ) Zpište její intervly monotonosti d) Eistuje k funki f funke inverzní? Pokud no, stnovte vzore, jímž je funke určen Pokud ne, zdůvodněte e) Přesvědčte se výpočtem, že přímk p: +y+=0 je tečnou grfu funke f V kterém odě? V 8 Určete definiční oor funke: y= 5 9 Určete funkční předpis kvdrtiké funke, sestrojte její grf určete její vlstnosti, jestliže pltí: f 0, f 6, f 5 ;0, ;0, 0;6 Vypočtěte funkční hodnotu f 0Grf kvdrtiké funke oshuje ody 0 Komplení čísl,inomiká rovnie 6 6 = 0 6 = 79i Vypočtěte: ( i ) 7

9 Řešte v množině kompleníh čísel řešení znázorněte grfiky: z + i ^ z + i > z 5 Řešte v C : 5 z + z = i i 6 Řešte v C: z 5 z 5 7 Vyjádřete v lgerikém i goniometrikém tvru všehn komplení čísl z=+i, pro která pltí: z =, = 5 5i i 8Komplení číslo z= - +i- vyjádřete v goniometrikém tvru pomoí i i Moivreovy věty vypočítejte reálnou imginární část kompleního čísl z 66 9 Řešte rovnii z -iz-=0 s neznámou zc 0 Npište kvdrtikou rovnii s reálnými koefiienty, jestliže jeden kořen této rovnie je =-i O kořeny této rovnie vyjádřete v goniometrikém tvru Ovody oshy geometrikýh orzů Kosočtvere je dán svým oshem S=50m poměrem úhlopříček e: f = : Určete v,, e, f Zákldn rovnormenného trojúhelník je 0 m, osh je 0m Vypočtěte ovod tohoto trojúhelník Do kružnie o poloměru r = 9 mm je vepsán prvidelný šestiúhelník Vypočtěte osh kruhové úseče, ohrničené strnou šestiúhelníku kružnie Odélníkový orz s rozměry 0m 60m má ýt zrámován rámem konstntní šířky Osh plohy rámu má ýt stejný jko osh orzu Určete šířku rámu 5 Určete osh prvidelného šestiúhelníku vepsného do kružnie o poloměru r=m 6 Ovody dvou soustřednýh kružni měří o 0, o 6 m Vypočítejte osh mezikruží určeného dnými kružniemi 7 V odélníku ABCD je BC 6m, CF 8,m, DF, m Bod F je středem úsečky CD Vypočítejte osh trojúhelníku ABE, je-li od E průsečíkem polopřímek AD BF 8 V lihoěžníku ABCD je vzdálenost průsečíku úhlopříček od zákldny AB rovn m, délk této zákldny je 8 m Vypočítejte délku druhé zákldny CD, jestliže osh lihoěžníku je 7m 9 Je dán lihoěžník ABCD se zákldnmi AB 6m, CD m průsečíkem úhlopříček S Vypočítejte osh trojúhelníku ABS, jestliže osh trojúhelníku CDS je m 0 Výšk oě zákldny lihoěžníku jsou v poměru v::=::5 Osh lihoěžníku je S=5m Určete délky oou záklden lihoěžníku n-úhelníky jejih konstruke Je dán úsečk AB, AB = 5 m Sestrojte všehny tětivové čtyřúhelníky ABCD, v nihž je AC = e = 8 m, β = 0 ε = 05, je-li ε velikost úhlu AEB, kde E je průsečík úhlopříček Sestrojte čtyřúhelník ABCD, pro který pltí, že je tečnový, = 7,5 m; =,5m; α = 5 ρ= m Sestrojte ABC,je-li : AB = 5m

10 = / v =,5m Sestrojte ABC,víte-li, že : + = 9m = 5,7m γ = 75 5 Sestrojte rovnormenný lihoěžník ABCD, jehož úhlopříčky jsou nvzájem kolmé ve kterém je dáno: 60, AB 7m, AB je rovnoěžná s CD 6 Sestrojte lihoěžník ABCD, je-li dáno: =0m, =5m, AC e 6m, BD f m 7 Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: =7m, =,5m, v =m 8 Je dán úsečk BS, BS 6m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk BS těžnií t pro které dále pltí: 5, 5m 9 Je dán úsečk AB, AB 6m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk AB strnou, v m, r m 0 Sestrojte kosočtvere ABCD, znáte-li = m, v = m Prvděpodonost sttistik Určete prvděpodonost, že při hodu dvěm hrími kostkmi, žlutou červenou, ) ude součet odů n oou kostkáh 6 ) ude součet odů n oou kostkáh menší než 5 ) pdne n oou kostkáh dvojk d) pdnou n oou kostkáh stejná čísl e) pdne n žluté koste číslo menší než n červené číslo větší než f) pdnou n oou kostkáh sudá čísl g) lespoň n jedné koste pdne lihé číslo Z čísli,,, vytvoříme všehn trojiferná přirozená čísl, v jejihž dekdikém zápisu se kždá z těhto čísli vyskytuje nejvýše jednou Určete prvděpodonost, že z nih nmátkou vyrné číslo je: ) dělitelné ) dělitelné ) dělitelné zároveň d) dělitelné neo Máme ílou černou kostku Jká je prvděpodonost, že při hodu černou kostkou pdne větší číslo, než při hodu ílou kostkou? Následujíí čísl jsou počty otelení u 50 krv:,,7,,5,,,5,,,6,,,6,5,,7,,8,9,,8,,7,5,6,,8,9,,0,5,,,,,,,0,,8,,,,6,,7,,6,9 ) sestvte tulku rozdělení četností podle počtu otelení znázorněte je spojniovým digrmem ) určete ritmetiký průměr, modus medián ) určete směrodtnou odhylku 5 5 studentů mturitního ročníku ylo vyzváno, y uvedli svoji tělesnou výšku ( znk ) tělesnou výšku ote ( znk y) Byly zjištěny tyto hodnoty: výšk syn výšk ote Vypočtěte koefiient korele mezi tělesnou výškou ote syn 6 Číslo n je z nměřenýh hodnot,n,5,,7,8,0,, největší Určete hodnotu n, jestliže víte, že medián tohoto souoru je roven ritmetikému průměru 7Geometriký průměr čtyř kldnýh čísel,6,, je Vypočítejte jejih hrmoniký průměr 8Klíčivost semen dné rostliny je 0,98 Pro pokusné účely ylo zszeno 0 semen Určete prvděpodonost, že z těhto semen vyklíčí právě 8

11 nevyklíčí ni jedno 9 Jká je prvděpodonost, že v rodině se čtyřmi dětmi jsou dv hlpi dvě dívky, jestliže víme, že mezi dětmi je lespoň jedn der? 0 N tiketu se tipuje 5 čísel z 5 možnýh Tiket ni nevyhrává, pokud oshuje méně než z 5 vylosovnýh čísel Jká je prvděpodonost, že náhodně vyplněný tiket něo vyhrje? Posloupnost geometriká, nekonečná geometriká řd Určete geometrikou posloupnost, víte-li, že + + = = 80 Přičteme-li k číslům, 7 7 totéž číslo, vzniknou první tři členy geometriké posloupnostiurčete je Řešte v R: 0 Určete n n n, 5 ) Posloupnost n n je určen rekurentním vzorem n n ; = Zpište několik jejíh prvníh členů zjistěte, zd součet prvníh členů je větší než 7!? ) Vypočtěte lim n n n n n log 8 n n 6 Pro které reálné číslo je součet řdy roven 0,5? Ve které geometriké posloupnosti pltí, 5, Rodiče student uložili k očnského roku n synovo konto částku Kč, roční úroková mír je,8%, úrokoví odoí je jeden rok Úroky z jeden rok z této částky mjí synovi nhrdit nákldy n eloroční uytování v pronjtém pokoji Dň z úroku je 5%, n kontě v průěhu roku neude zznmenán žádný pohy Určete mimální měsíční nájem zokrouhlený n stovky, který tk lze získným úrokem uhrdit 9 Jkou nejmenší částku zokrouhlenou n stovky je tře vložit v nkovním domě k očnského roku n účet, y tk při roční úrokové míře,% s ročním úrokovím odoím uhrdil z jeden rok získný úrok nákldy n roční nájemné z yt ( měsíční nájemné je 776Kč)Dň z úroku je 5%, n účtu neude v průěhu roku zznmenán žádný pohy 0 Eistuje R, pro něž je součet řdy roven 7? 8 5 Posloupnosti, ritmetiká posloupnost Ve které ritmetiké posloupnosti pltí: S 5 = S 6 = 60? Číslo 55 rozložte n součet několik čísel tk, y kždé následujíí ylo o větší než předházejíí poslední ylo 9 Délky strn prvoúhlého trojúhelník tvoří tři po soě jdouí členy ritmetiké posloupnosti Delší odvěsn má délku m Určete délky zývjííh strn )Pn M se rozhodl, že v sázkové kneláři ude sázet tk dlouho, dokud nevyhrje Jeho

12 sázk pro první th yl 0 Kč, kždá dlší pk o 5 Kč vyšší V 0 thu konečně poprvé vyhrál, to částku, která yl 8krát větší než t, kterou vsdil pro th Dál pn M už nesázel Má důvod k rdosti? Jký zisk mu přinesl popsný způso sázení? )Pn P upltnil úplně stejný způso sázení jko jeho koleg M Dl si do oálky tři tisíikoruny postupně z ní čerpl peníze n jednotlivé sázky Bohužel v žádném thu nevyhrál ni korunu Když v oále zyly poslední tři desetikorunové mine, rozhodl se, že dál neude štěstí pokoušet N kolik sázek mu částk, deponovná v oále, vystčil? Vsdil si víekrát, než jeho koleg? n je určen vzorem 5 n n n 6 n 5 Posloupnost ) Určete její člen ) Pokuste se njít jednodušší vzore, kterým je posloupnost určen, rozhodněte tké, zd je konvergentní 6 Zpište vzorem pro n-tý člen: ) posloupnost všeh přirozenýh sudýh čísel ) posloupnost všeh přirozenýh lihýh čísel ) posloupnost všeh přirozenýh čísel dělitelnýh d) posloupnost všeh přirozenýh čísel, která při dělení 5 dávjí zytek 7Rozhodněte, zd rostou neo klesjí následujíí posloupnosti: ) n n n n ) n n 8 Určete reálné číslo tk, y čísl,, tvořil tři následujíí členy ritmetiké posloupnosti: 6 9 Určete součet všeh přirozenýh čísel, která vyhovují rovnii: Nekonečná spirál se skládá z polokružni, poloměr první polokružnie je 6m, poloměr kždé dlší je o menší než poloměr kružnie předházejíí Vypočítejte délku spirály 6 Vektorová lger, nlytiké vyjádření přímky roviny Jsou dány ody A0,B- CDokžte,že tyto tři ody tvoří trojúhelníkvypočtěte velikost jeho vnitřníh úhlů, velikost těžnie t Jk dleko je těžiště T od vrholu A? Je dán prvidelný čtyřoký jehln ABCDV, velikost jeho podstvné hrny = 6m výšk jehlnu v = Zvolte vhodně v prostoru kss ) vypočtěte velikost oční hrny jehlnu ) dokžte, že pltí AV CV ) určete velikost úhlu vektorů AV BC Jsou dány ody: A[ ; 0; ]; B[ ; ; 7] C[ ; ; ] Rovin ρ má rovnii ρ: + y z 5 = 0 ) veďte odem A přímku p BC ) ukžte, že přímk p je různoěžná s rovinou ρ njděte jejih průsečík y +

13 Je dán od A[ ;;] přímk p : = = z ) Npište oenou rovnii roviny ρ, určené odem A přímkou p ) Určete prvoúhlý průmět M odu M[; 0; ] do roviny ρ 5 Vektory jsou rovnoěžné, přitom 6; 5;, 75 Jké souřdnie má vektor? 6Je dán trojúhelník ABC, A ;, B;, C5; Vypočtěte: ) vnitřní úhel ) odhylku osy úsečky AB osy ) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelníku ABC 7 Vypočítejte ovod, vnitřní úhly osh trojúhelníku RST, jsou-li souřdnie vrholů R ;;0, S; ;, T; ;0 8Jsou dány ody A ;, C8;5 Určete souřdnie odů B,D tk, y trojúhelník ABCD yl čtvere z ; ; 0 zpište jko lineární komini vektorů u,v w, kde 9Vektor u ;;, v;;, w;5; 0 Je dán vektor r ; Určete R q tk, y pro vektor q; s pltilo r s 5 7 Zákldní polohové metriké vlstnosti v rovině prostoru Určete vzdálenost d ( Q ; p ), víte-li, že Q =[ 7; ; 9] p: P =[ ; ; ], ū = ( ; ; ) Je dán rovin ρ : + y z 6 = 0 přímk p: = t y = + t z = + t t ptří do R ) Určete vzájemnou polohu přímky roviny, v přípdě různoěžnosti určete tké průsečík ) Npište rovnii přímky q, která je prvoúhlým průmětem přímky p do rovinyρ Který od přímky 5-y-8=0 má tu vlstnost, že jeho vzdálenost od odu M ;5 je Stejná jko vzdálenost od odu N7;? Určete vzájemnou polohu přímek p: -y-=0 q: -y+=0 r: -y+7=0 5 Je dán přímk p: =+t, y=-5-t, z=-t, tr, rovin : -y+9=0 rovin : 5-y-7z+=0 Určete: ) odhylku přímky p roviny ) přímky p od roviny ) odhylku rovin 6 Určete reálné číslo d, pro které mjí roviny,, společnou přímku Jké je prmetriké vyjádření této přímky? y 0 y z 0 y z d 0 7 Npište rovnii příčky mimoěžek p,q, která leží v rovině : y z 6 0 p: t; y t, z t, t R q: r; y r; z r; r R 8 Určete hodnoty prmetrů, R tk, y přímk

14 t t; tt p ; R yl s rovinou y z 0 0 ) různoěžná ) ležel v rovině ) rovnoěžná neležel v rovině 9 Kolmiemi, sestrojenými z odu A ;;8 n roviny y z 0 : y z 5 0 proloýte rovinu Určete její oenou rovnii 0Je dán od A ;; N ose y určete od Y tk, y pltilo AY 8 Shodná zorzení Jsou dány kružnie k,k přímk psestrojte všehny rovnostrnné ABC,jejihž těžnie je částí přímky p vrholy AB leží postupně n k k Je dán od A, přímk p kružnie k Sestrojte všehny prvoúhlé rovnormenné trojúhelníky ABC se zákldnou BC, pro které pltí, že B leží n k C leží n p Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, znáte-li: ++=m, 5, 75 N kulečníkovém stole leží dvě koule, červená ílá Červená leží ve středu stolu, ílá v jedné čtvrtině úhlopříčky stolu(kouli povžujte z od) ) určete dráhu červené koule tk, y se po jednom odrzu od některé stěny stolu srzil s ílou koulí ) určete dráhu červené koule tk, y se po odrzu od dvou sousedníh stěn stolu srzil s ílou koulí m k O;, 5m přímku p, která je kolmá n 5 Je dán úsečk OP, OP OP Sestrojte kružnii P p Dále sestrojte jeden od M, pro který pltí: OM m, POM 0 6 Kružnie k O 5m, k O ;m, O O m ; se protínjí ve dvou odeh Oznčte C jeden z těhto průsečíků Sestrojte všehny rovnormenné trojúhelníky ABC se zákldnou AB tk, y pltilo: A k B k ACB 0 7 Je dán úsečk CS, CS m Sestrojte všehny trojúhelníky ABC, pro které je úsečk CS těžnií pltí: =,5m, =5m 8 Sestrojte trojúhelník ABC, víte-li,že +=0, 5, 60 9 Je dán odélník ABCD, AB 6m, BC m uvnitř odélníku dv ody K,L tk, že pltí: AK 6m, BK,5m, AL m, BL,5m N úseče AB njděte od X tk, y součet vzdáleností KX LX yl minimální 0 Jsou dány dvě různoěžky p,q od M, který neleží ni n jedné z nih Sestrojte úsečku XY tk, y pltilo: X p, Y q od M je střed úsečky XY 9 Podoná zorzení, množiny všeh odů dné vlstnosti Jsou dány dvě rovnoěžné přímky, přímky, která rovnoěžky protínásestrojte kružnie,které se dotýkjí všeh dnýh přímek Umístěte úsečku BB, BB = 6m sestrojte všehny prvoúhlé trojúhelníky ABC, je-li dáno t, BCA = π víte-li, že B je střed AC Jké podmínky musí splňovt t, y množin trojúhelníků uvedenýh vlstností yl neprázdná? Jsou dány dvě různoěžky p,q uvnitř jednoho jejih úhlu od M Sestrojte kružnii k, která prohází odem M dotýká se přímek p,q Sestrojte ABC, je-li dáno: v = 5m :: = ::

15 5 Vnitřní úhly trojúhelniku ABC jsou 75, 50 Střed S strny má od strny vzdálenost d=,8m Sestrojte tento trojúhelník 6 Sestrojte množinu všeh odů, ze kterýh je úsečk AB o velikosti 5m vidět pod úhlem 80 7 Sestrojte množinu všeh odů, ze kterýh je úsečk AB o velikosti 5m vidět pod úhlem 0 8 Je dán k S; mks; 5m SS 9m Sestrojte středy stejnolehlosti k k 9Sestrojte trojúhelník ABC 6m, 7m, 8m Nrýsujte těžiště T trojúhelníku ABC Sestrojte orz trojúhelníku ABC ve stejnolehlosti se středem T koefiientem 0Do trojúhelníku ABC 5m, 6m, 7m vepište čtvere KLMN tk, y pltilo: KL AB M BC N AC 0 Řešení prvoúhlého trojúhelníku, trigonometrie Ze dvou míst A,B, vzdálenýh n horizontální rovině od see m ylo pozorováno čelo mrku nd spojnií oou míst ve výškovýh úhleh α = 78 0 β = 6 50 Jk vysoko yl mrk? Při stvě primárního vedení lesem se má provést přímý průsek mezi ody A,B, ležíími n krjíh les Mimo les ylo zvoleno stnoviště C, z něhož jsou o kone plánovného průseku vidět, to pod úhlem γ = Vzdálenost mezi místy A C je 6 metrů, mezi místy B C metrů Jk ude průsek dlouhý? Kolmie p vedená středem přepony AB prvoúhlého trojúhelníku ABC s vnitřním úhlem 9,8 odvěsnou =m rozděluje trojúhelník n dvě části ) Budeme-li osh trojúhelníku pokládt z 00%, je možné, že se oshy těhto částí liší méně jk 0%? ) Má t část, která má větší osh, i větší ovod? Součástí rekonstruke lázeňského prku je i výměn krytiny čínského pvilonu Jk je uvedeno v neúplné dokumenti, t má tvr kulového vrhlíku, kružniovému olouku středový úhel 6, vzdálenost krjníh odů olouku je metrů Z částku, která je v plánu uveden jko nákldy n nákup měděného mteriálu, y se v součsné doě dlo nkoupit 900m plehu Osh vrhlíku je 95% mteriálu, který je tře n rekonstruki střehy Podle projektnt y 900m mělo stčit, pokrývč všk tvrdí, že je to málo Je jeho námitk oprávněná? 5 Z okn ve ptře domu je vidět n druhém řehu kmenný sloupek, ke kterému převozník přivzuje prmii, v hloukovém úhlu 9, z okn ptr, tj výš o tři metry, v hloukovém úhlu Jk je řek v tomto místě široká? 6 Přepon prvoúhlého trojúhelníku má délku 6m, součet velikostí odvěsen je 7m Zjistěte velikosti jeho vnitřníh úhlů 7 Jedn z odvěsen prvoúhlého trojúhelníku má velikost 0m, poloměr jemu vepsné kružnie je m Vypočtěte osh trojúhelníku (Výpočty zokrouhlujte n jedno desetinné místo) 8 V trojúhelníku ABC je =0m, =6m, =75 S přesností n dvě desetinná míst určete délku t 9 Určete poloměr kružnie opsné rovnormennému trojúhelníku, má-li úhel proti zákldně velikost 8 výšk n zákldnu má délku 0 m k S; 0m, jsou vedeny tečny ke kružnii k s ody dotyku 0 Z odu A, který leží vně kružnie T T T AT 60 Odoně z odu B B SA s ody dotyku T T T BT 0 jsou ke k vedeny tečny, tentokrát Určete velikost úsečky AB

16 Řezy těles, ojemy povrhy těles Ojem prvidelného šestiokého hrnolu V=50 Délk podstvné hrny je k déle výšky v hrnolu v poměru :5 Určete povrh hrnolu Do koule o poloměru r je vyvrtán otvor tvru rovnostrnného válev jkém poměru jsou ojemy koule vále? Kolik m zeminy je tře přemístit při výkopu přímého, 70 metrů dlouhého vodního příkopu, jehož průřez má tvr rovnormenného lihoěžníku se zákldnmi délek 50 m 80 m rmenem délky 90 m? Ve volném rovnoěžném promítání zorzte kryhli ABCDEFGH o hrně m v prvém ndhledu Potom sestrojte řez rovinou ρ= XYZ, je-li X středem AD Y středem BF Z odem HG; HZ : ZG = : 5 Sestrojte řez prvidelného čtyřokého jehlnu rovinou ρ= PQR, je-li P střed AV Q náleží BV ; BQ : QV = : 5 R náleží CV ; CR : RV = : 6 V rovině je umístěn kruh o poloměru r, který je společnou podstvou polokoule kužele Ty leží v témže poloprostoru, jehož hrnií je rovin Výšk kužele je r ) Celými čísly vyjádřete poměr ojemů kužele polokoule ) Porovnejte délku kružnie, která je průnikem plášťů polokoule kužele, ovod společné podstvy oou těles Řešte pro r= 7 Zorzte řez kryhle ABCDEFGH rovinou určenou ody K,L S K je střed hrny FG, L je střed hrny EF S střed stěny ABCD - Velikost hrny kryhle je, 0 Pomoí prmetru vyjádřete osh řezu - Njděte nejmenší přirozené číslo, pro které je osh řezu elé číslo - Jsou přímk BF rovin řezu rovnoěžné? Pokud ne, sestrojte jejih společný od V 8 Všehny hrny prvidelného trojokého hrnolu ABCDEF jsou stejně dlouhé, K je střed stěny CBEF ) Zorzte těleso ve volném rovnoěžném promítání ) Určete průsečík přímky AK roviny horní podstvy hrnolu ) Jk velká je odhylk přímky AK roviny DEF? d) Je-li kždá hrn tohoto hrnolu velikosti m, je jeho ojem v m dán elým číslem? 9Poměr oshu pláště rotčního vále k oshu podstvy je 7:6 Úhlopříčk osového řezu vále má délku 50m Určete ojem tohoto těles ( výsledek zpište jko násoek čísl ) 0Pláštěm rotčního kužele je půlkruh o poloměru m= 6 m Určete ojem tohoto těles Komintorik, inomiká vět Určete všehn reálná čísl tk,y čtvrtý člen inomikého rozvoje dného výrzu yl roven 00 log V inomikém rozvoji výrzu 5 6 zjistěte: ) třinátý člen rozvoje ) člen rozvoje, neoshujíí

17 Řešte rovnii: log(+6)!-log(+5)!=log 6 5 Řešte rovnii: 5 Kolik čtyřifernýh čísel lze vytvořit z čísli 0,,,,,5 tk, y se žádná z ifer neopkovl? kolik z nih ude sudýh kolik jih ude dělitelnýh pěti kolik jih ude dělitelnýh deseti - kolik jih ude většíh než 000? 6 Určete všehn přirozená čísl, pro která pltí:!! 0! 6! 7 Jestliže zvětšíme počet prvků množiny o dv, zvětší se počet vrií třetí třídy o 8 Kolik Prvků má množin? 8 Kolik přímek je určeno 0 různými ody, jestliže ) žádné z nih neleží n jedné příme ) čtyři z nih leží n jedné příme 9 Ve třídě je 9 hlpů 6 dívek Kolik způsoy je možné vyrt do soutěže studenty tk, y ve vyrné skupině yli: ) pouze hlpi d) jedn dívk tři hlpi e) dvě dívky dv hlpi 0 Kolik je přirozenýh čísel menšíh než 0, jejihž ifry jsou nvzájem různé_

18 Neurčitý určitý integrál Vypočtěte: ln ) d ² Vypočtěte: ) os² d ) sin² os³ d d) ) e d ) tg d ) d ( ² + )³ d ln d) d Vypočtěte osh orze, ohrničeného křivkmi: y = ² + y = ² Určete ojem těles, které vznikne rotí orze, ohrničeného křivkmi: ² + y² = 0 y = kolem osy 5 Vypočtěte ln d 6 Určete reálné číslo tk, y d 0 7 Vypočítejte osh proliké úseče, jejíž hrnii tvoří grfy funkí f: y g : y 0,75 8 8Vypočtěte: ) d ) sin d 0 dvě úsečky, jejihž společný krjní od je počátek, druhé jejih krjní ody jsou průsečíky přímek -y=0 +y=0 s tímto kružniovým oloukem Určete ojem těles, které vznikne rotí kruhové výseče kolem osy 0 Vypočítejte osh hyperoliké úseče, jejíž hrnii tvoří grfy funkí 9 Hrnii kruhové výseče tvoří olouk kružnie určené rovnií y 00 0 f : y g : y 0,75 8

19 Limit funke, derive funke její užití Vyšetřete průěh funke: y Vyšetřete průěh funke : Vypočtěte následujíí limity: ) y lim 0 ) lim tg sin os ) lim 0 os tg sin d) lim e) lim 0 Vypočtěte následujíí limity: ) 5 Určete první derive složenýh funkí: y ) ) y = ( ² ) ( ³ + ) ( ² + )² ) y = 8 lim 6 5 sin sin ) lim ) lim sin d) lim 0 e) lim 0 sin tg

20 d) y = log ( ² + ) 6 Určete první derivi složenýh funkí ) y = e e ) y = e e ) y sin sin d) y = ( ² + )³ os² 7Npište rovnii tečny normály ke grfu funke f: y = ln v jeho odě T [?] 8 N konzervu tvru vále se má spotřeovt 5dm ílého potrvinářského plehu Jké má mít konzerv rozměry, y měl mimální ojem? 9 Njděte odélník, který má při dném ovodu o = 0 m mimální osh 0 Nádrž n vodu má mít čtverové dno, ojem 56 m tvr kvádru Vypočítejte rozměry nádrže tk, y spotře mteriálu n vyzdění stěn dn yl o nejmenší 5 Kuželosečky Je dán hyperol ² 9y² = od M [; ] ) Určete velikosti poloos hyperoly ) Zjistěte polohu odu M vzhledem k hyperole ) Npište rovnie všeh přímek, které proházejí odem M mjí s hyperolou právě jeden společný od Rozhodněte, zd je dná rovnie nlytikým vyjádřením hyperoly Pokud no, njděte její střed, velikosti poloos y y 55 = 0 Prol ( )² = p ( y + ) má tečnu + y + = 0 Určete prmetr p souřdnie odu dotyku T Npište rovnie všeh přímek, které proházejí odem M [ 0; ] mjí s prolou y + = 0 společný právě jeden od 5 Určete rovnie tečen k dné kružnii, které proházejí odem P[ 9 ; ], je-li rovnie kružnie: k: + y 6y = 0 6 Určete tečnu elipsy o rovnii 9 + 5y = 5, rovnoěžnou s přímkou p: + 5y 7 = 0 7 Npište rovnii přímky, která prohází středy kružni: k : + y + y + = 0 k : + y 8 + 6y + 9 = 0 8 Npište rovnii kružnie, která má poloměr r = 5 m, prohází odem Q[ ; 5] její střed leží n příme p: + y = 0 9 Určete střed, poloosy eentriitu elipsy: 9 + 6y 5 + 6y + = 0 0 Npište rovnii kolmie k příme p: y = 0 tk, y proházel ohniskem F [ 0; e] elipsy o rovnii 5 + 9y = 00

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice

Střední škola obchodu, řemesel, služeb a Základní škola, Ústí nad Labem, příspěvková organizace Vzdělávací středisko Trmice Střední škol ohodu, řemesel, služe Zákldní škol, Ústí nd Lem, příspěvková orgnize Vzděláví středisko Trmie MATURITNÍ TÉMATA Předmět: Mtemtik Oor vzdělání: Ekonomik podnikání Školní rok: 0/06 Tříd: EKP

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. / TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme:

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II 1.7.4 Výšky v trojúhelníku II Předpokldy: 010703 Opkování z minulé hodiny Výšk trojúhelníku: úsečk, která spojuje vrhol trojúhelníku s ptou kolmie n protější strnu. 0 0 v v 0 Př. 1: Nrýsuj trojúhelník

Více

Přijímací řízení akademický rok 2011/12 Kompletní znění testových otázek matematický přehled

Přijímací řízení akademický rok 2011/12 Kompletní znění testových otázek matematický přehled řijímí řízení kemiký rok / Kompletní znění testovýh otázek mtemtiký přehle Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď ) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které číslo oplníte

Více

Rovinné obrazce. 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 )

Rovinné obrazce. 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 ) Rovinné orze 1) Určete velikost úhlu α. (19 ) 32 103 2) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27. (99 ) x d y x y 3) Vypočítejte osh orze znázorněného ve čtverové síti. (2 500 m 2 ) C A B

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji

Více

Planimetrie. Obsah. Stránka 668

Planimetrie. Obsah. Stránka 668 Obsh 3. Plnimetrie... 669 3.. Úhel... 669 3.. Prvidelné mnohoúhelníky... 67 3.3. Pythgorov vět Eukleidovy věty konstruke úseček... 678 3.4. Euklidovy věty, prvoúhlý trojúhelník... 683 3.5. Obvody obshy

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

1. Integrální počet, vypočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): c) dx. x dx. x e

1. Integrální počet, vypočet obsahu plochy, objemu rotačního tělesa 1) Vypočítejte (integrace pomocí substituce): c) dx. x dx. x e . Integrální počet, vypočet oshu plochy, ojemu rotčního těles ) Vypočítejte (integrce pomocí sustituce): sin( ln ) ) d ) e d ) Vypočítejte (integrce metodou per - prtes): ln ) d ) ( ) sin d e c) d c) ln

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce 1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Projekt: Digitální učení mteriály e škole registrční číslo projektu CZ.1.07/1..00/4.07 Příjeme: Střední zdrotniká škol Vyšší odorná škol zdrotniká Huso 71 60 České Budějoie Náze

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata

Sbírka procvičovacích příkladů k maturitě. Maturitní témata Sírk procvičovcích příkldů k mturitě Mturitní témt. Tp důkzů, dělitelnost čísel. Výrok množin. Definice vlstnosti fcí, grf funkce, inverzní funkce. Lineární kvdrtická funkce. Mocnin s reálným eponentem,

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a. TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I .4.11 Konstruke n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogiká poznámk: Je důležité si uvědomit, že následujíí sled příkldů neslouží k tomu, y si žái upevnili mehniký postup n dělení úseček. Jediné, o y si měli

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Matematika- opakování (2009)

Matematika- opakování (2009) Mtemtik- opkování (009).ZÁKLADNÍ POZNATKY Z LOGIKY A TEORIE MNOŽIN, DŮKAZY VĚT ) Určete, které zápisy jsou výroky určete jejich prvdivostní hodnotu: ) Student gymnázi. Písek je hlvní město ČR. c) 0 Dnes

Více

Tangens a kotangens

Tangens a kotangens 4.3.12 Tngens kotngens Předpokldy: 040311 Př. 1: Úhel, pod kterým je možné ze pozorovt vrhol věže ze vzdálenosti 19 m od její pty, yl změřen n 53 od vodorovné roviny. Jk je věž vysoká? h 53 19 m Z orázku

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Výfučtení: Goniometrické funkce

Výfučtení: Goniometrické funkce Výfučtení: Goniometriké funke Tentokrát se seriál ude zývt spíše mtemtikým než fyzikálním témtem. Pokud počítáte nějkou úlohu, ve které vystupují síly, tk je potřeujete dost čsto rozložit n součet dopočítt

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

19. Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013

19. Pythagorova věta a goniometrické funkce ostrého úhlu Vypracovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosinec 2013 19. Pythagorova věta a goniometriké funke ostrého úhlu Vypraovala: Ing. Všetulová Ludmila, prosine 2013 Název školy Ohodní akademie a Střední odorné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY . ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY Zjednodušte uveďte, kdy mjí dné výrzy smysl: ) + + + ) y + + + y : y y y ) n + n n + n + n n :. n n + ) b b : +. + b b b + 5) + +. + 6) +. 7) + b b + b b. + b 8) 8

Více

1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie

1) ČÍSLA a VÝRAZY Teorie 1) ČÍSLA VÝRAZY Teorie číselné obory: roztřiďte čísl podle oborů: -,8; -. 5 ; 1 ; 1,1; ; 5, sin60 ; ; - 4 7; 0; 1; ; 17;,1 ; 0,001; -1; 7 ; 0, I ) Přirozená čísl znky dělitelnosti, násobek dělitel krácení

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Název školy: ZŠ A MŠ ÚDOLÍ DESNÉ, DRUŽSTEVNÍ 125, RAPOTÍN Název projektu: Ve svazkové škole aktivně - interaktivně Číslo projektu:

Název školy: ZŠ A MŠ ÚDOLÍ DESNÉ, DRUŽSTEVNÍ 125, RAPOTÍN Název projektu: Ve svazkové škole aktivně - interaktivně Číslo projektu: Název školy: ZŠ MŠ ÚOLÍ ESNÉ, RUŽSTEVNÍ 125, RPOTÍN Název projektu: Ve svzkové škole ktivně - interktivně Číslo projektu: Z107/1400/213465 utor: Mgr Monik Vvříková Temtiký okruh: Geometrie 7 Název:VY_32_INOVE_16_Čtyřúhelníky

Více

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny.

4.3.9 Sinus ostrého úhlu I. α Předpoklady: Správně vyplněné hodnoty funkce a c. z minulé hodiny. 4.3.9 Sinus ostrého úhlu I Předpokldy: 040308 Správně vyplněné hodnoty funke z minulé hodiny. α 10 20 30 40 50 60 70 80 poměr 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 0,94 0,98 Funke poměr se nzývá sinus x (zkráeně

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více