KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN

Transkript

1 KINEMATICKÁ GEOMETRIE V ROVIN Kivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž souadnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), t I R. Tena kivky je urena bodem dotyku X a teným vektorem o souadnicích (dx/dt, dy/dt). Normála kivky je kolmice k ten v bod X. Kivka jako trajektorie pohybujícího se bodu parametr t mžeme chápat jako as. (kinematické pojetí kivek) Kivka jako obálka jednoparametrické soustavy kivek k(p), p je parametr. Obálku znaíme (k). Obálka (k) má s každou polohou kivky spolenou tenu v bod dotyku. Kivky dané jednotlivými body grafické, empirické, tvarov složité kivky, interpolaní kivky. Body kivek: - Regulární (v bod existuje práv jedna tena) - Singulární (všechny 1. derivace = 0) - bod uzlový (násobný bod) v bod existuje více než jedna tena - bod obratu (inflexní bod) 2. derivace = 0 (tena protíná kivku) - bod vratu dv splývající, ale opan orientované teny Technické kivky: - Ekvidistanta (paralelní kivka) na normálu kivky v každém bod naneseme stejnou vzdálenost. - Evoluta obálka normál (n) kivky = množina všech sted oskulaních kružnic, tj. množina všech sted kivostí. - Evolventa vznikne odvalováním teny po kivce.

2 Kinematická geometrie v rovin Studuje vlastnosti trajektorií bodu pi daném pohybu. Její pvod je v mechanice, kde zkoumá zákonitosti pohybu souástí stroje, ale všímá si pouze geometrických vlastností (neuvažuje as, hmotnost ). Nepromnná rovinná soustava (NRS) je množina všech geometrických útvar roviny, která se jako nepromnný celek pohybuje. Trajektorie pohybu jsou kivky, které opisuje pohybující se NRS. Obálka kivky je geometrický útvar v rovin, jehož se kivka ve všech svých polohách dotýká. Pohyb NRS je uren: 1. trajektoriemi dvou rzných bod, 2. obálkami dvou rzných kivek, 3. obálkou kivky a trajektorií bodu, 4. pevnou a hybnou polodií. Vta: V každé poloze pohybující se NRS procházejí normály trajektorií pevným (vlastním nebo nevlastním) bodem S = okamžitý sted otáení (OSO) = pól pohybu. Pevná polodie p je množina všech OSO pohybující se NRS. Hybná polodie h je množina všech bod NRS, které se pi jejím pohybu stanou OSO. Vta: Hybná poldie h se odvaluje po pevné polodii p, polodie se dotýkají v OSO. 1. základní vta kinematické geometrie v rovin: Jsou-li dány dv polohy NRS pi daném pohybu,pak existuje bu otoení nebo posunutí, které pemisuje danou NRS z jedné polohy do druhé. 2. základní vta kinematické geometrie v rovin: Každý pohyb NRS krom rotace a translace lze pevést na valení (kotálení) hybné polodie h po pevné polodii p. Vratný pohyb je ten, který vznikne z daného pohybu zámnou polodií. Vta: Jestliže bod A se pohybuje po trajektorii, pak pi vratném pohybu je bod A obálkou této trajektorie. Jestliže pi daném pohybu kivka k vytváí obálku, pak pi vratném pohybu tato obálka je obálkou kivky k.

3 Klasifikace pohyb: 1. Cyklické - polodiemi jsou 2 kružnice nebo kružnice a pímka - Cykloidální h - Epicykloidální p p h - Hypocykloidální p h - Pericykloidální p h - Evolventní p h 2. Eliptický Kardioidický - je uren dvma pímkovými trajektoriemi je uren dvma bodovými obálkami. Jsou to navzájem vratné pohyby. τ B τ A (k) (k ) 3. Konchoidální - je uren obálkou bodu a trajektorií τ A (k) 4. Kloubový tyúhelník D C A B

4 Cykloida Cykloida je cyklická kivka, kterou vytvoí bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po pímce. Prostá cykloida Pokud bod pevn spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak pi valení této kružnice po pímce opisuje tento bod prostou (obecnou, obyejnou) cykloidu. Prostou cykloidu lze vyjádit parametrickými rovnicemi x = a (t sint) y = a (1 cost) kde a je polomr kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice. Evolutou cykloidy je shodná cykloida, která je ve smru osy x posunuta o a souhlasn s pvodní cykloidou a ve smru osy y je posunuta o 2a nesouhlasn s orientací pvodní cykloidy. Evolventou cykloidy je opt posunutá shodná cykloida. Zkrácená a prodloužená cykloida Zkrácená cykloida. Prodloužená cykloida. Pokud bod pevn spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od stedu kružnice o polomru a je d, pak pro d < a získáme cykloidu zkrácenou a pro d > a cykloidu prodlouženou. Parametrické rovnice zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru x = a.t d.sint y = a d.cost Oblouk cykloidy snese ze všech oblouk nejvtší zatížení, proto mnoho oblouk most má práv její tvar. ást cykloidy je ešením úlohy o brahystochron

5 Brachystochrona Brachystochrona (oznaovaná také jako kivka nejkratšího spádu) je kivka spojující dva body, po které se hmotný bod dostane z jednoho bodu do druhého psobením homogenního gravitaního pole za nejkratší as. Brachystochrona pedstavuje vždy ást oblouku cykloidy. Tento pojem zavedl poprvé Johann Bernoulli roku 1696 v asopise Acta Eruditorium. Úloha o brachystochron Úkolem je najít tvar spojnice místa A a B, po které by se tleso pohybující se vlivem gravitaní síly, dostalo z místa A do místa B v nejkratším ase. Pedpokládá se pohyb v homogenním gravitaním poli a odporové síly se zanedbávají. Schéma k úloze o brachystochron. Úlohu lze peformulovat tak, že hledáme takovou hladkou kivku spojující body A[x A,y A ],B[x B,y B ], piemž pedpokládáme y A > y B a x A < x B, po níž se hmotný bod o hmotnosti m pohybuje v tíhovém poli od bodu A do bodu B za nejkratší as. Volba souadnicového systému je zobrazena na obrázku. Podle zákona o zachování energie platí Úpravou tohoto vztahy dostaneme výraz pro rychlost v 2 = 2g(y A y) Rychlost je však možné podle vyjádit také jako, kde bylo užito vztahu pro délku oblouku rovinné kivky, piemž s pedstavuje oblouk kivky. Pedpokládáme, že platí y < y A. Pokud by totiž v nkterém bod platilo y = y A, byla by v tomto bod podle pedchozích vztah rychlost v nulová a k dalšímu pohybu by bylo nutné dodat hmotnému bodu další energii. Pokud tedy pedpokládáme y < y A pro, dostaneme z pedchozích výraz vztah

6 Celkovou dobu potebnou k probhnutí podél kivky z bodu A do B lze tedy zapsat jako Fyzikální problém se tedy redukuje na ešení varianího problému s funkcionálem. V tomto pípad se jedná o jeden ze speciálních pípad Eulerovy rovnice. Dosazením uvedeného funkcionálu získáme první integrál Eulerovy rovnice Úpravou posledního vztahu dostaneme, kde C je konstanta. a umocnním Za pedpokladu lze provést substituci, ímž získáme Položíme-li nyní, dostaneme ešením pedchozí diferenciální rovnice parametrické vyjádení hledané kivky ve tvaru kde jsou integraní konstanty, které se urí z podmínky, že extremální kivka prochází body A a B. Z parametrického vyjádení získané kivky je zejmé, že se jedná o ást cykloidy.

7 Epicykloida Epicykloida je cyklická kivka, kterou vytvoí bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnjší stran nehybné kružnice. Epicykloida je speciálním pípadem epitrochoidy. Znalost epicykloid využil Ptolemaios pi popisu pohybu planet ve své soustav, kdy pohybující se kružnice je oznaována jako epicyklus (epicykl) a pevná kružnice jako deferent. Prostá epicykloida Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnjší oblasti, opisuje rovinnou kivku, která se nazývá prostá (obecná, obyejná) epicykloida. Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté epicykloidy zapsat ve tvaru kde a je polomr nehybné kružnice a b je polomr kružnice hybné. Je-li jako parametr použit úhel otoení, pak dostaneme kde a je polomr nehybné kružnice a b je polomr kružnice hybné. Vlastnosti Dležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pomr a/b. Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá epicykloida uzavená kivka s m vtvemi, které vzniknou pi jednom obhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá epicykloida uzavená kivka s p vtvemi, které vzniknou pi q obzích hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzavenou kivkou a má nekonen mnoho vtví.

8 Zkrácená a prodloužená epicykloida Jestliže tvoící bod epicykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od stedu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje kivku oznaovanou jako zkrácená epicykloida (kivka k 1 na obrázku), leží-li vn hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje kivku oznaovanou jako prodloužená epicykloida (kivka k 2 na obrázku). Zkrácenou a prodlouženou epicykloidu lze vyjádit parametrickými rovnicemi kde t je úhel odvalení, a je polomr nehybné kružnice a b je polomr hybné kružnice. Použijeme-li jako parametr úhel otoení, lze parametrické rovnice zapsat jako Speciální pípady Kardioida Zvláštní pípad prosté epicykloidy získáme pro a = b, tzn. hybná kružnice má stejný polomr jako nehybná kružnice. Tato epicykloida se nazývá kardioida (srdcovka). Parametrické rovnice srdcovky jsou

9 Je-li poátek soustavy souadnic ve stedu kivky a hrot na ose x, pak lze srdcovku vyjádit rovnicí Je-li poátek souadnicové osy ve dvojném bod a osa x je osou soumrnosti kivky, lze použít rovnici V polárních souadnicích lze rovnici kardioidy zapsat jako Nefrioda Prostá epicykloida s b = a/2 je oznaována jako nefroida. Epitrochoida Epitrochoida je kivka, která vzniká pohybem bodu spojeného s kružnicí, která se odvaluje okolo kružnice o menším polomru Menší pevná kružnice je pitom uvnit vtší pohyblivé kružnice. Pokud polomr menší (stojící) kružnice je a, polomr vtší kružnice b a pohybující se bod je ve vzdálenosti h od stedu vtší kružnice, lze kivku vyjádit v parametrickém tvaru jako: kde je úhel otáení. Pokud h = b (bod se nachází pímo na vtší kružnici) nazývá se kivka epicykloida. Použití: Epitrochoidní tvar má napíklad komora Wankelova motoru.

10 Hypocykloida Hypocykloida je cyklická kivka, kterou vytvoí bod pevn spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnitní stran nehybné kružnici. Hypocykloida je speciálním pípadem hypotrochoidy. Prostá hypocykloida Každý bod kružnice, která se kotálí (valí) po nehybné kružnici v její vnitní oblasti, opisuje rovinnou kivku, která se nazývá prostá (obecná, obyejná) hypocykloida. Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat ve tvaru kde a je polomr nehybné kružnice a b je polomr kružnice hybné. Je-li jako parametr použit úhel otoení, pak dostaneme kde a je polomr nehybné kružnice a b je polomr kružnice hybné. Vlastnosti Dležitou charakteristikou prosté epicykloidy je pomr a/b. Je-li a/b = m celé íslo, pak je prostá hypocykloida uzavená kivka s m vtvemi, které vzniknou pi jednom obhu hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b racionální íslo p/q, pak je prostá hypocykloida uzavená kivka s p vtvemi, které vzniknou pi q obzích hybné kružnice kolem nehybné kružnice. Je-li a/b iracionální íslo, pak prostá epicykloida není uzavenou kivkou a má nekonen mnoho vtví.

11 Zkrácená a prodloužená hypocykloida Jestliže tvoící bod hypocykloidy neleží na hybné kružnici, ale ve vzdálenosti d od stedu této (hybné) kružnice, pak leží-li uvnit hybné kružnice, tzn. d < b, opisuje kivku oznaovanou jako zkrácená hypocykloida (kivka k 1 na obrázek), leží-li vn hybné kružnice, tzn. d > b, opisuje kivku oznaovanou jako prodloužená hypocykloida (kivka k 2 na obrázek). Zkrácenou a prodlouženou hypocykloidu lze vyjádit parametrickými rovnicemi kde t je úhel odvalení, a je polomr nehybné kružnice a b je polomr hybné kružnice. Použijeme-li jako parametr úhel otoení, lze parametrické rovnice zapsat jako Speciální pípady Asteroida Zvláštní pípad prosté hypocykloidy získáme pro b = a/4. Tato hypocykloida se nazývá asteroida. Parametrické rovnice asteroidy jsou Úseka a elipsa Pro b = a/2 pechází prostá hypocykloida na úseku, ehož se využívá k pemn otáivého pohybu na pohyb kmitavý (pímoarý). Prodloužená a zkrácená hypocykloida pechází pro = a/2 v elipsu s rovnicemi: Využívá se v technické praxi pro pevod otáivého pohybu na pohyb eliptický. b

12 KINEMATICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Kivka je jednoparametrická množina bod X(t), jejíž souadnice jsou dány funkcemi: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I R. (bod + pohyb) Šroubovice: x = r. cos t y = r. sin t z = v 0. t Šroubový pohyb: rotace (osa o), posunutí ve smru osy o (v 0, ev.v ), orientace (pravo a levotoivá) Plocha (tvoící kivka + pohyb) - Translaní plochy - Rotaní plochy - Šroubové plochy - Obalové plochy (tvoící plocha + pohyb) v Charakteristika c obalové plochy Ω je kivka, podél níž se tvoící plocha α dotýká obalové plochy Ω. Charakteristika = tvoící kivka obalové plochy. r r v0 t v 0 α r v 0 t.r 2πr v Literatura: Urban Alois Deskriptivní geometrie II, SNTL, Praha 1967 Kargerová Marie - Deskriptivní geometrie pro technické školy, vysoké, vyšší a stední, Montanex a.s., Ostrava pedmt GS2 uební text