Matematika IV, VŠB-TU Ostrava. Úvodní 5minutovky. Pavel Ludvík. 18. listopadu 2015

Transkript

1 Matematika IV, VŠB-TU Ostrava Úvodní 5minutovky Pavel Ludvík 18. listopadu 2015

2 Týden Vyřešte rovnici x 2 x 6 = 0. Ověřte dosazením, že funkce e 3x a e 2x splňují rovnici pro každé x R. f (x) f (x) 6 = 0 Určete hodnoty a R takové, že funkce f(x) = e ax vyhovuje rovnici pro všechna x R. f (x) 9f(x) = 0 2. Zatímco spali tři antičtí filozofové pod olivovníkem, začernil jim nějaký vtipálek obličeje černí. Když se probudili, začali se všichni smát. Každému se přitom zdálo, že se zbylí dva smějí sobě navzájem. Po chvíli se jeden smát přestal. Jak přišel na to, že je jeho obličej také začerněný? 3. Počet číslic nutných k očíslování všech stran knihy je Určete, kolik má kniha stran. 4. Dva hráči A a B hrají na čtvercovém stole tuto hru. Jeden po druhém pokládají na stůl pětikoruny. Prohraje ten z nich, který už nemá minci kam na stůl položit. První minci položí hráč A. Který z hráčů vyhraje? (Předpokládáme, že jsou oba inteligentní.) 5. Dokažte, že čísla tvaru 11, 111, 1111,... nejsou druhou mocninou přirozeného čísla. 6. Požádejte přítele, aby si vybral číslo od 1 do Následně mu můžete položit 10 otázek s odpověďmi ano-ne. Jaké otázky budete pokládat, abyste nakonec číslo přesně určili? 1

3 Týden Vyřešte lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty: y 10y + 25y = Vyřešte lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty a počáteční podmínkou: y 2y + 5y = 0, y(0) = 2, y (0) = Vyřešte lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty a počáteční podmínkou: y 4y + 13y = 0, y(0) = 1, y (0) = Vyřešte lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty: y 3y 4y = 4x 2 + 6x Máme prázdnou místnost, ve které je jen žárovka u stropu. Vypínač, který ji rozsvěcí, se nachází mimo místnost. Dokonce tam není jen jeden vypínač, ale hned tři naprosto identické. Víme, že rozsvítit můžeme jen jedním tlačítkem. Problém spočívá v tomto: Dveře místnosti jsou zavřené. Máme libovolné množství času uvnitř místnosti, vstoupit však do ní můžeme jen jednou. Při odchodu z místnosti bychom měli být schopni říci: Světlo se rozsvěcuje tímhle tlačítkem. Všechny tři vypínače jsou stejné a všechny se nacházejí ve vypnuté poloze. 2

4 Týden Vyřešte úplnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty: y + 8y + 16y = e 4x (18x 2). 2. Vyřešte úplnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty: y + 4y = 4 sin(2x)(4x 1). 3. Vyřešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty. Použijte eliminační metodu. x = 13x + 9y, y = 6x + 8y 4. Jistý muž bydlí v desátém patře domu. Každý den cestou do práce sjede výtahem do přízemí. Ale cestou z práce vyjede výtahem jen do sedmého patra a do desátého patra vyjde po schodech. Jestliže dotyčný tak strašně nerad chodí pěšky, proč to dělá? 5. Pomocí magických schopností jste se dostali do finále Wimbledonu proti Rogeru Federerovi (nebo Sereně Williamsové). Vaše magické schopnosti však během posledního zápasu vyprší. Za jakého stavu budete mít největší šanci na výhru? 3

5 Týden Vyřešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty. Použijte Eulerovu metodu. x = 2x y + z, y = x + 2y z, z = x y + 2z 2. Vyřešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty. Použijte Eulerovu metodu. x = 2x y z, y = 3x 2y 3z, z = x + y + 2z 3. (Náročnější.) Vyřešte soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu s konstantními koeficienty. Použijte Eulerovu metodu. x = x y z, y = x + y, z = 3x + 2z 4. Je dána číselná tabulka, v níž chybí jedno číslo. Můžete říci, o které číslo se jedná, a vysvětlit proč? 54 (117) (154) (513) (?) 71 4

6 Týden 5. Psala se písemka (tentokrát bez 5minutovky). 5

7 Týden Spočtěte integrál 2xy sin(x 2 y) dxdy, kde D = 0, 1 0, π. D 2. Spočtěte integrál y dxdy, kde Ω je uzavřená oblast ohraničená křivkami: x = y 2 3y, x + 2y 6 = 0. Ω 3. Spočtěte integrál 4e x2 e 2y x dxdy, Ω kde Ω je uzavřená oblast určená trojůhelníkem ABC, přičemž A = [0, 0], B = [2, 0] a C[2, 3]. 4. Z dvanácti sirek je utvořena rovnice : Arabskými číslicemi zapsáno jde o 6 4 = 9. Opravte rovnici posunutím jediné sirky. 6

8 Týden Spočtěte integrál 16 x2 y 2 dxdy, kde Ω je uzavřená oblast určená nerovností: x 2 + y 2 4x. Ω 2. Spočtěte integrál (x + y) 2 dxdy, kde Ω je uzavřená oblast určená nerovností: x 2 + y 2 2y. Ω 3. Spočtěte integrál x 2 y dxdy, kde Ω je uzavřená oblast určená nerovnostmi: x 2 + y 2 2x + 2y, y x. Ω 4. Utvořte čtverece s 9 tečkami jako na obrázku. Spojte čtyřmi rovnými čarami všechny body, aniž byste museli zvednout tužku z papíru. 7

9 Týden Spočtěte objem tělesa ohraničeného plochami z = x 2 + y 2, x + y = 2, x = 0, y = 0, z = Spočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = x 3 a y = x. 3. Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní rovinné oblasti ohraničené křivkami y = x 2 a x+y = 2 4. Rozdělte ciferník hodin dvěma přímkami tak, aby součet čísel v každé části byl stejný. Uměli byste rozdělit ciferník na 6 částí tak, že každá obsahuje právě dvě čísla a součty čísel v každé části jsou stejné? 5. Zapište číslo 100 pomocí pěti jedniček. Můžete použít závorky a symboly +,,,. (Najděte co nejvíce možností.) 8

10 Týden Pokud G = {[x, y, z] R 3, 0 x 1, 0 y 2, 0 z 3}, spočtěte integrál (x + y) dxdydz. G 2. Určete integrační meze uzavřené oblasti Ω, je-li omezena plochami z = xy, y = x, y = 1 a z = Určete integrační meze uzavřené oblasti Ω, je-li omezena plochami x + y = 1, x + y = 2, y = 0, y = 1, z = 0 a z = Zvětšíme-li věk dítěte o 3, dostaneme druhou mocninu určitého přirozeného čísla. Když od věku dítěte 3 odečteme, dostaneme právě toto přirozené číslo. 5. Dva hráči postupně odebírají 1-6 z 30 zápalek, dokud nejsou odebrány všechny. Hráč, který odebere poslední zápalku, vyhraje. Vy začínáte. Dokážete hru vyhrát? 9

11 Týden 10. Psala se písemka (tentokrát bez 5minutovky). 10